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TEMA 3: FRACCIONES

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TEMA 3 : NÚMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES

1.- UNIDAD FRACCIONARIA .- FRACCIONES

Fracciones

En una fracción aparecen escritos dos números:

Uno escrito en la parte de abajo que se llama denominador. Este número indica el número de partes en las que se divide la unidad.

Otro escrito en la parte de arriba que se llama numerador. Este número indica el número de partes que cogemos.

Por ejemplo, si tenemos la fracción 7

3 tenemos una unidad dividida en 7 partes, de las cuales estamos

cogiendo 3.

Extensión del concepto de fracción

La idea de fracción también se puede aplicar a otras

situaciones de la vida real. Si decimos que 3 de cada 5

estudiantes de un instituto son chicas estamos dando la

fracción 5

3, ya que si dividimos el colegio en cinco

partes, tres serían de chicas.

Los porcentajes son también otra forma de expresar una fracción. Por ejemplo, si decimos que un artículo

está rebajado un 25%. Significa que de cada 100 euros

que marca nos rebajan 25.

En otras ocasiones utilizamos las fracciones para referirnos a una cierta parte de un número. Vamos a

verlo con un ejemplo:

Juan se compró una bici que le costó 200 euros. Si él pagó los 5

2 con el dinero que tenía ahorrado,

¿cuánto dinero pagó?

5

2 de 200 euros =

5

2 200 = 80 euros

Es decir, Juan tenía ahorrados 80 euros.

3

2.- FRACCIONES IGUALES .- NÚMEROS RACIONALES

Fracciones iguales o equivalentes

Veamos las fracciones 10

4

20

8y .

Dan el mismo cociente:

4,020

8 4,0

10

4

Tienen la misma fracción irreducible:

5

2

20

8

5

2

10

4

Tienen iguales los productos cruzados: 8 · 10 = 80 20 · 4 = 80

Actúan de la misma forma:

2520

8de 25

10

4de

Estas dos fracciones que representan lo mismo se llaman iguales o equivalentes.

Dos fracciones son iguales cuando el producto de extremos es igual al producto de medios.

d

c

b

a si cbda

a y d son los extremos; b y c son los medios.

Cómo obtener fracciones equivalentes

Para obtener fracciones equivalentes a una dada, se multiplican o dividen sus términos por el mismo

número, siempre y cuando este número no sea el 0.

Por ejemplo, para obtener una fracción equivalente a 3

2 multiplico el numerador y el denominador por

2, o por 3, o por cualquier otro número:

9

6

3·3

3·2

3

2

Todos estos números que se representan mediante fracciones se llaman números racionales.

EJERCICIO 1

Comprueba si los siguientes pares de fracciones son equivalentes:

a) 15

9

10

6y b)

9

3

18

6y c)

21

20

14

4y

4

3.- REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR COMPARACIÓN DE FRACCIONES

Reducción de fracciones a un común denominador

Para reducir varias fracciones a un común denominador se halla el m.c.m. de los denominadores, se

divide el m.c.m. entre cada denominador, y el resultado se multiplica por cada numerador.

EJEMPLO

Reducir al mismo denominador las siguientes fracciones: .6

5

4

3,

3

2y

3

4=22

m.c.m.(3,4,6) = 3·22 = 3·4 = 12

6=2·3

12:3=4 12

8

4·3

4·2

3

2

12:4=3 12

9

3·4

3·3

4

3

12:6=2 12

10

2·6

2·5

6

5

Comparación de fracciones

Si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.

9

3

9

7

Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador.

7

3

4

3

Para comparar dos fracciones cualesquiera se reducen a un común denominador y luego se mira

cuál es la que tiene mayor numerador.

7

4?

3

2

21

12

21

14

EJERCICIO 2

Ordena de menor a mayor cada grupo de fracciones, reduciéndolas en primer lugar a un común

denominador:

a) 6

5,

5

4,

4

3 b)

9

6,

8

5,

7

3 c)

8

3,

12

5,

6

3

5

4.- SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Con el mismo denominador

La suma o diferencia de dos fracciones con el

mismo

denominador es una fracción que tiene:

El mismo denominador.

El numerador igual a la suma o diferencia de los numeradores.

EJEMPLO:

7

5

7

3

7

2

Con distinto denominador

Para sumar o restar fracciones con distinto

denominador:

Se reducen a común denominador.

Se suman o restan las fracciones obtenidas.

EJEMPLO:

12

19

12

9

12

10

3·4

3·3

2·6

2·5

4

3

6

5

EJERCICIO 3

Haz las siguientes sumas y expresa el resultado como fracción irreducible:

a) 4

3

6

1 b)

3

2

6

4

9

7 c)

2

1

4

7

5

6

EJERCICIO 4

Calcula:

27

1

9

1

3

1

8

1

4

1

2

1

5 .- MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES

Multiplicación de fracciones

El producto de dos fracciones es una fracción que tiene:

El numerador igual al producto de los numeradores.

El denominador igual al producto de los denominadores.

6

2

3·2

2·1

3

2·

2

1

6

Fracción inversa de una dada

Dos fracciones son inversas cuando su producto es igual a la

unidad.

5

8

8

5y son inversas porque 1

5

8·

8

5

División de fracciones

Para dividir dos fracciones se multiplica el dividendo por la fracción inversa del divisor, o bien, se hace

el producto en cruz.

12

5

4·3

5·1

5

3:

4

1

EJERCICIO 5

Haz las siguientes operaciones y expresa los resultados en forma de fracción irreducible:

a) 8

5·

4

3·

5

2 b)

5

2:

8

3 c)

8

3·

6

5:

4

3

6 .- JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

Cuando tenemos que realizar operaciones combinadas con números hay que hacerlo siempre en un

orden determinado:

Lo primero deben resolverse los paréntesis que hay dentro de los corchetes y a continuación los corchetes.

Cuando no hay paréntesis, el orden en el que hay que realizar las operaciones es el siguiente:

1º.- Potencias y raíces

2º.- Multiplicaciones y divisiones

3º.- Sumas y restas.

7

7.- REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

RECTA RACIONAL

Los números enteros (positivos y negativos) se pueden representar en una recta, tal como hacemos aquí:

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

También podemos representar en la recta los números racionales (las fracciones). Para eso hay que

dividir cada unidad en tantas partes como nos indique el denominador:

-1 5

4

5

3

5

2

5

1 0

5

1

5

2

5

3

5

4 1

8.- PASO DE FRACCIÓN A DECIMAL

Fracciones con expresión decimal exacta

Dadas las fracciones 5

4

2

5

8

7

Calculamos su expresión decimal dividiendo su

numerador entre su denominador:

8,05:45

4 5,22:5

2

5

875,08:78

7

En todos los casos, al hallar el cociente llegamos a un resto igual a 0.

Estas fracciones se llaman decimales exactas.

Las fracciones decimales son aquellas cuyo cociente es un número

decimal exacto.

Fracciones con expresión decimal no exacta

Calculemos el cociente entre el numerador y el denominador de la

fracción 3

2.

6,0...666,03:23

2

Al hallar el cociente se suceden los restos iguales a 2. Nunca llegaremos a un resto igual a 0.

8

45,0...454545,011

5

Se dice que las fracciones 11

5

3

2y tienen una expresión decimal periódica.

Una fracción no decimal tiene una expresión decimal formada por infinitas cifras.

Se llama período a las cifras que se repiten indefinidamente.

Las fracciones no decimales se llaman fracciones periódicas.

Fracciones periódicas puras

Una fracción se llama periódica cuando las cifras

del cociente se repiten en bloques iguales después

de la coma.

Los dos casos que acabamos de ver de las

fracciones 11

5

3

2y son periódicas puras.

Fracciones periódicas mixtas

Una fracción se llama periódica mixta cuando las

cifras del cocientes se repiten en bloques iguales,

pero no después de la coma.

Por ejemplo:

...16666,26

13 2 es la parte entera

1 es el anteperíodo, porque es la parte decimal que no se repite

6 es el período, porque es la parte decimal que se repite.

EJEMPLOS:

375,08:38

3 . Expresión decimal exacta. Luego es una fracción decimal.

61,16:76

7 . Expresión decimal periódica mixta.

7,07777,09:79

7 . Expresión decimal periódica pura.

EJERCICIO 1

Dadas las fracciones 11

7,

4

9,

3

7, halla las expresiones decimales correspondientes. En las fracciones

periódicas, señala el período y la parte no periódica.

9

9.- PASO DE DECIMAL A FRACCIÓN.- FRACCIÓN GENERATRIZ

Fracción generatriz de un número decimal

exacto

La fracción generatriz tiene por:

Numerador: el número decimal sin la coma

Denominador: la unidad seguida de tantos ceros como decimales

tenga el número.

Fracción generatriz de un número decimal

periódico puro

La fracción generatriz tiene por:

Numerador: el resultado de la resta del número decimal sin la coma

menos la parte entera.

Denominador: tantos nueves como cifras tenga el período.

Fracción generatriz de un número decimal

periódico mixto

La fracción generatriz tiene por:

Numerador: el resultado de la resta del número decimal sin la

coma menor la parte entera seguida del anteperíodo .

Denominador: tantos nueves como cifras tenga el período,

seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

10

10.- ORDENACIÓN DE NÚMEROS REALES.

Ordenación de números reales

Cuando tenemos que ordenar fracciones lo podemos hacer de dos formas:

o Reduciéndolas a común denominador y comparando luego sus numeradores, como vimos en

el tema anterior.

o Pasándolas a forma decimal y comparando esos números.

Por ejemplo:

7

4?

3

2

7

4

3

2

...6666,03

2 ...5714,0

7

4 0,6666 > 0,5714

7

4

3

2

Valor absoluto

El valor absoluto de un número se designa por a y coincide con el número si es positivo o 0, y con

su opuesto si es negativo.

El número –5 está situado a 5 unidades de distancia de 0.

Se dice que -5 tiene un valor absoluto igual a 5, y le escribe 5 = 5.

El número 5 está situado a 5 unidades de distancia de 0.

Se dice que 5 tiene un valor absoluto igual a 5, y le escribe 5 = 5.

Dos números son opuestos si tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo.

Por ejemplo, se dice que –5 y 5 opuestos, porque 555 .

11.- MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN POR UN 1 SEGUIDO DE 0

Para multiplicar un número por un 1 seguido de 0, se le añaden tantos 0 como se indiquen.

Por ejemplo:

3001003 Como es un 1 con dos 0, al tres le tengo que añadir dos 0

11

Si se trata de un número decimal, entonces hay que correr la coma hacia la derecha tantos lugares

como 0 haya. Si no hay bastantes decimales completamos con 0.

Por ejemplo:

4,321024,3

1230100023,1

Para dividir un número por un 1 seguido de 0, se mueve una coma imaginaria a la derecha del número tantos 0 como se indiquen.

Por ejemplo:

3:100 = 0,03

Si se trata de un número decimal, entonces hay que correr la coma hacia la izquierda tantos lugares

como 0 haya.

Por ejemplo:

3,24 : 100 = 0,0324 1,23 : 1000 = 0,00123

EJERCICIO 2

Calcula los siguientes productos:

a) 0,1 · 10 =

b) 0,5 · 10 =

c) 0,9 · 10 =

d) 5,7 · 10 =

e) 0,01 · 100 =

f) 0,06 · 100 =

g) 0,75 · 100 =

h) 32,1 · 100 =

i) 12,5 · 1.000 =

j) 0,001 · 1.000 =

k) 2,1 · 100 =

EJERCICIO 3

12

Haz las siguientes divisiones:

a) 25,5 : 10 =

b) 0,5 : 10 =

c) 15,6 : 100 =

d) 0,09 : 1.000 =

e) 10,1 : 10 =

f) 10,1 : 100 =

g) 10,1 : 1000 =

h) 0,101 : 1.000 =

i) 0,1 : 10 =

j) 3628,5 : 100 =

k) 34,2 : 10.000 =

l) 0,025 : 100.000 =

12 .- POTENCIAS Y RAÍCES DE FRACCIONES

Para calcular la potencia de una fracción, elevamos

el numerador y el denominador al exponente de la

potencia.

Para calcular la raíz cuadrada de una fracción cuyos

términos son cuadrados perfectos, calculamos la

raíz del numerador y la raíz del denominador.