Upload
pavle-bosnic
View
214
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
otpornost materijala pt 3
Citation preview
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Teoretske osnove za izradu zadataka u narednom poglavlju nalaze se u knjizi «Otpornost materijala sa teorijom elastičnosti», autora Dr sci. Sadudina Hodžića, redovnog profesora na Rudarsko-geološko-građevinskom fakultetu u Tuzli, na stanicama broj 133 do 155.
81
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
7. Elastične linije
Zadatak 7.1 Za gredu prikazanu na slici 66. odrediti ugib na sredini raspona. Greda je od čelika i ojačana je čeličnim lamelama. Momenat inercije osnovnog nosača iznosi: Ix1=42500cm4, a momenat inercije ojačanog nosača iznosi: Ix2=85000cm4. Pri rješavanju koristiti «momentnu metodu».
l=1000cm
F2=100kN
B
F1=200kN
163cm
A
213cm
0,3l 0,3l 0,4l
Slika 66. Koeficijent korekcije momenata inercije:
5,08500042500
2
1 ===x
x
IIk
Određivanje otpora oslonaca:
kNFFFFkNF
lFlFlFM
AB
A
A
B
1301701002001701003,02007,0
03,07,00
21
21
=−+=−+==⋅+⋅=
=⋅⋅−⋅⋅+⋅=Σ
Momenti savijanja ispod sila:
kNcmFFMkNcmlFM
A
A
390004002007001704007005100010003,01703,0
12
1
=⋅−⋅=⋅−⋅==⋅⋅=⋅⋅=
Korigovan momenat savijanja:
kNcmMkM
kNcmMkM
19500390005,0
25500510005,0
22
11
=⋅=⋅=′=⋅=⋅=′
Momenat savijanja na početku lamela:
kNcmFM Aa 27710163170163 =⋅=⋅=
kNcmMkM aa 13855277105,0 =⋅=⋅=′ Momenat savijanja na kraju lamela:
kNcmFM Bb 27690213130213 =⋅=⋅=
kNcmMkM bb 13845276905,0 =⋅=⋅=′
82
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
MM
MM
kNcmMMM a 116451385525500
22
1///
1
11
=″
′′=
=−=′−′=″
kNcmM
kNcmM
b 56551384519500
600019500255002
=−=′−′=−=−
UF=100kN/1cm UM=10000kNcm/1cm
F1=200kN
F2=100kN A B
163 87137 400 213 l=1000cm
M/ a
M/ b
M/ 2
M/ 1
M// 2
Ma
M// 1
Mb
F8F7 142
M///
1
256,5F6F2 F5 271F4 F3
566,7500
F1
891,3
l=1000cm
768,5745,7
Slika 67. Slika 67. je nacrtana radi lakše orijentacije pri korištenju «momentne metode» za određivanje ugiba. Određivanje «fiktivnih sila»
F122258365
216327710
2163 kNcmM a =
⋅=
⋅=
F22189813513713855137 kNcmM a =⋅=⋅′=
F321 5,797682
213711645
2137 kNcmM
=⋅
=⋅″
=
F42
///1 1200000
24006000
2400 kNcmM
=⋅
=⋅
=
F52
2 780000040019500400 kNcmM =⋅=⋅′=
F622 5,245992
2875655
287 kNcmM
=⋅
=⋅″
=
83
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
F721204515871384587 kNcmMb =⋅=⋅′=
F822948985
221327690
2213
kNcmM b =
⋅=
⋅=
Određivanje fiktivnog otpora oslonaca (RA) ΣMB=0 RA⋅1000- F1⋅891,3- F2⋅768,5- F3⋅745,7- F4⋅566,7- F5⋅500- F6⋅271- F7⋅256,5- F8⋅142=0 RA=0,891⋅ F1+0,768⋅ F2+0,746⋅ F3+0,566 ⋅ F4+ +0,5 ⋅ F5+0,271 ⋅ F6+0,256⋅ F7+0,142⋅ F8 RA=2012203+1457768+595070+679200+3900000+66664+308365+418756 RA =9438026kNcm2 Određivanje fiktivnog «momenta savijanja» na sredini grede:
Slika 68.
F5/
Mb
M/ b
M// 2
M/ 2
MV
1 M
/V1 M
// 1
M/ a
Ma
l/2=500cm
F7
F2=100kN
B
F1=200kN
A
163 213l=1000cm
137 87400
F8 142
256,5271
F6F5
566,7500
768,5745,7
F3
F2
F1
100
245,7 135,3
F4/
268,5 391,3
RA =9438026 kNcm2 F1=2258365 kNcm2 F2=1898135 kNcm2 F1=797682,5 kNcm2
kNcmM
MM
IV
IIIIV
30005,06000400200
1
11
=⋅=
=
84
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
F4/
21 3000002
200 kNcmM IV
=⋅
=
kNcmMMM IVV 22500300025500111 =−=−′= F5
/ 21 4500000200 kNcmM V =⋅=
Fiktivni momenat savijanja: M(l/2)= RA⋅500- F1⋅391,3- F2⋅268,5- F3⋅245,7- F4
/⋅135,3- F5/⋅100
M(l/2)= 4719013000-883698224,5-509649247,5-195990590-40590000-450000000 M(l/2)=2639084939 kNcm3
Ugib na mjestu (l/2) je ujedno i maksimalni ugib. y(l/2)=ymax= M(l/2)/(E⋅Ix1)= 2639084939/(21000⋅42500)=2,96cm Zadatak 7.2 Za gredu prikazanu na slici 69. koja je od čelika i koja ima popriječni presjek kao na slici 70. poznat je maksimalni ugib. Greda ima maksimalni ugib: ymax=1o/oo od dužine grede. E=21000 kN/cm2. Dimenzionirati gredu, tj. odrediti parametar (R). q=50kN/m
B A
F=50kN
l/3 l=12,5m
2/3l
Slika 69. Određivanje momenta inercije popriječnog presjeka:
( ) ( ) ( ) ( )44444
22443
96,1164,0003,0785,091,2
77,04
42,024
214,02412
46,235,2
RRRRRI
RRRRRRI
x
x
⋅=⋅−⋅−⋅−⋅=
⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅
−⋅
−⋅⋅⋅
=πππ
Maksimalni ugib se očekuje na sredini raspona: x=l/2 Ugib na sredini raspona od kontinuiranog tereta:
xq IE
lqy⋅⋅
⋅⋅=
3845 4
)(
85
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
y
0,428R
0,428R
RR
x
0,23
R
0,35 R
2,46
R
0,77
R
0,77
R
2,35R
Slika 70. Ugib od sile (F) na mjestu x=l/2, to je slučaj gdje je a<x.
( ) ( )xx IE
axFxblIElxbFy
⋅⋅−⋅
+−−⋅⋅⋅⋅⋅
=66
3222
A B
F=50kN
a=l/3
x=l/2
b=2/3l
Slika 71.
( ) ( ) ( ) lyyy
IE
llFlll
IElllFy
qFl
xxF
⋅=+=
⋅⋅
−⋅
+
−
⋅
−⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
001,0
632
232
2362
2/
3
222
)(
xxx
xxx
IEl
IElF
IElF
lIEl
IElFl
IElFl
⋅⋅⋅
+⋅⋅
⋅+
⋅⋅⋅⋅
=
⋅⋅⋅⋅⋅
+⋅⋅
⋅+
⋅⋅
⋅⋅⋅
=⋅
3845,2
129664811001,0
1384
5,05129636
1118
001,0
322
432
86
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
cmRllR
llRllR
llFR
llFlFIE x
2,241250000158,012500215,0000158,00215,0
0065,0888,016,410065,05001777,016,41
0065,001777,0001,096,121000
0065,000077,0017,0001,0
3 323 32
324
324
324
322
=⋅+⋅=⋅+⋅=
⋅+⋅=⋅
⋅+⋅⋅=⋅
⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅
⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅
Zadatak 7.3 Za gredu koja je dimenzionirana i ojačana lamelama (zadatak 5.2) odrediti ugib grede ispod sile, koristeći “momentnu metodu”.
M1
M2
M/ 1
M/ 2
M/ 1
M/ 1
RB RA
F4F3 F2
272M1
B A
F=300kN
l=10m
215 144385 256
96
314,7528,3
856,7592,5
F1 F5 F6
Slika 72.
I profil I4221 ili I42,5 ima otpornim momentom Wxo=1740cm3 sa I1= Ixo=36970cm4.
Momenat inercije lamela: 479767cmIxl = Ukupni momenat inercije presjeka, ojačan lamelama: I2= 41167377976736970 cmIII xlxoxu =+=+=FA=120kN FB=180kN
87
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Određivanje fiktivnih sila:
317,011673436970
2
1 ===IIk
Momenti savijanja ispod sila:
kNcmkFMkNcmFM
A
A
22824600317,012060025800215120215
2
1
=⋅⋅=⋅⋅==⋅=⋅=
Korigovan momenat uvijanja:
kNcmMMM
kNcmMkM
146456,817822824
6,817825800317,0
122
11
=−=′−=′=⋅=⋅=′
Određivanje «fiktivnih sila»
F121 2773500
221525800
2215 kNcmM
=⋅
=⋅
=
F22
1 31487613856,8178385 kNcmM =⋅=⋅′=
F322 5,2819239
238514645
2385 kNcmM
=⋅
=⋅′
=
F422 1874500
225614645
2256 kNcmM
=⋅
=⋅′
=
F52
1 199987225625800256 kNcmM =⋅=⋅′=
F621 1857600
214425800
2144 kNcmM
=⋅
=⋅
=
Određivanje fiktivnih oslonaca ΣMB=0 RA⋅1000- F1⋅856,7- F2⋅592,5- F3⋅528,3- F4⋅314,7- F5⋅272- F6⋅96=0 RA=0,8567⋅ F1+0,5925⋅ F2+0,5283⋅ F3+0,3147 ⋅ F4+0,272 ⋅ F5+0,096 ⋅ F6 RA=2376057+1865640+1489404+589924+543965+178330 RA =7043320kNcm2 Fiktivni momenat ispod sile (F) M(F)= RA⋅600- F1⋅456,7- F2⋅192,5- F3⋅128,3 M(F)= 4225992000-1266657450-606136492-361708364 M(F)=1991489694 kNcm3
Ugib ispod sile:
cmIE
Myx
FF 56,2
36970210001991489694
)( =⋅
=⋅
=
88
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Zadatak 7.4 Za prostu gredu prikazanu na slici 73., koja je od čelika i čiji je popriječni presjek prikazan na slici 74., odrediti parametar (δ) ako ugib grede na udaljenosti od oslonca (A), x=0,8⋅l ne smije preći veličinu od 0,5o/oo ukupne dužine grede
Slika 73. l=10m
B
F=100kN
0,7l
x=0,8l
0,3l
A
10δ
30δ
3δ 3δ
20δ
δδ
δ
y 3,4
y 2
,3
y 1
A1
A2 A3
A4 A5
y
x
Slika 74. Slika 75.
Pošto presjek ima jednu osu simetrije, tražimo koordinatu težišta po visini. Tabela 12. br Ai(cm2) yi (cm) Sx(cm3) 1 60⋅δ2 31,5⋅δ 1890⋅δ3
2 4⋅δ2 29,5⋅δ 118⋅δ3 3 4⋅δ2 29,5⋅δ 118⋅δ3 4 28⋅δ2 15⋅δ 420⋅δ3 5 28⋅δ2 15⋅δ 420⋅δ3 6 10⋅δ2 0,5⋅δ 5⋅δ3 Σ 134⋅δ2 - 2971⋅δ3
89
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
δδδ
⋅=⋅⋅
=ΣΣ
= 22,171342971
2
3
ASy x
T
Određivanje momenta inercije za težišnu osu (x)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
4
44444444
2233
2
3333
16933
5223455,04,322128016006,253005,36322
33,96012
32012
3233,732
383,78
383,710
317,228
317,2210
δ
δδδδδδδδ
δδδδδδδδδ
δδδδδδδδ
⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
+⋅⋅
⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅
=
x
x
x
I
I
I
Slika 76.
9,33δ
7,83δ
10,8
3δ
7,83δ
22,1
7δ
B
F=100kN
b=0,3l
A
x
y
a=0,7l
x=0,8l l=10m
Slika 77. Jednačina ugiba (slučaj kada je x>a): l=1000cm; a=700cm; b=300cm; x=800cm E=21000kN/cm2; y=0,5o/oo od 1000cm; y=0,5cm
90
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
⋅−⋅+⋅−⋅−⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=⋅
−+−−⋅
⋅⋅
⋅⋅=
⋅⋅−⋅
+−−⋅⋅⋅⋅⋅
=
3222
3222
3222
7,08,064,009,08,03,0210006
1000005,0
6
66
llllll
llI
l
axxbllxb
IEFy
IEaxFxbl
IElxbFy
x
x
xx
cmll
l
I
llI
Ill
x
x
x
58,1100005,005,0000006165,0
1044,016933
16933
1044,063
58,6
;210006
58,60005,0
4 24 24 2
24
4
22
2
=⋅=⋅=⋅=
⋅=⋅
⋅=
⋅=⋅
=
⋅⋅⋅
=⋅
δ
δ
δ
Usvaja se standardna veličina δ=1,6cm Stvarna veličina momenata inercije:
444 1109726,11693316933 cmIx =⋅=⋅= δ Stvarni ugib:
cmI
lyx
s 47,0110972210006
100058,6210006
58,6 22
=⋅⋅
⋅=
⋅⋅⋅
=
Pošto je zadatkom predviđen maksimalni ugib y=0,5cm, a stvarni je ys=0,47cm, računa zadovoljava. Zadatak 7.5 Dimenzionisati gredu prikazanu na slici 78., tj. odrediti parametar (a), ako je greda od čelika i ako ima dozvoljeno naprezanje na savijanje: σdf=15kN/cm2. Popriječni presjek grede prikazan je na slici 79. l=10m
91
l=10m
F2=100kN F1=200kN
CBA0,1l 0,3l0,2l0,4l
0,4l0,6l
Slika 79.
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
92
Slika 80. Slika 81.
30a
a a
12a
10a
10a 10a
12a
10a
10a 10ay
3 x
22
1
Određivanje koordinata težišta (yT) Pošto je presjek simetričan u odnosu na osu (x), xT=10a Presjek je podijeljen na 4 segmenta
22
21
15023010
20
aaaA
aA
⋅=⋅⋅⋅
=
⋅=
U presjeku su dvije identične površine A2
2222321
23
33212300202
12
aaaaAAAA
aA
⋅=⋅+⋅+⋅=+⋅+=Σ
⋅=
Statički momenti površine za osu (x)
3233
3222
3211
62
122
3150)20(15003032
6305,31205,31
aaaaAS
aaaaaaAS
aaaaAS
x
x
x
⋅=⋅⋅=⋅=
⋅=+⋅⋅⋅=
+⋅⋅⋅=
⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
a
aa
⋅=⋅⋅ 9,20
3326936
2
3
AS
y
aaaaSSSS
xT
xxxx
=ΣΣ
=
⋅=⋅+⋅+⋅=++=Σ 693663150630 3333321
93
20a 19
,9a
10,1
a
12a
10a
10a 10a
xx T
y
x
10,1
a
10a
x
x
Slika 82.
Slika 81. Moment inercije za osu (x)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 444444223
223
33
22477,14994629087086,102012
20
4,201212
1212
1031,10212
9,192
63,69,1930
10
aaaaaaaaaa
aaaaaxaaxI
axa
xaa
x
⋅+⋅+⋅++⋅+⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅
+
+⋅⋅⋅+⋅⋅
+⋅⋅+
⋅⋅⋅+⋅⋅
⋅=
⋅=⇒⋅
=⋅⋅
34
max
max
4
10649,20
22242
9,2022242
aaa
yI
W
ayaI
xx
x
⋅=⋅⋅
==
⋅=⋅=
Otpori oslonaca grede Pošto je greda jedanput statički neodređena, rješavamo je iz uvjeta Σy=0 na mjestu oslonca (B)
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
Ugib od sile (FB)
l=10m
FB
CBA
b=0,4la=0,6l
Slika 83.
x
B
x
B
x
BF IE
lFIEl
llFIElbaFy
B ⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅
=32222
)(0192,0
3)4,0()6,0(
3
Ugib od sile (F2) F2=100kN
Ca=0,9l
xo=0,6l b=0,1l
BA
Slika 84.
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]xx
F
xF
IEllll
IEllly
lllIEl
llFy
ax
⋅⋅
=⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅=
⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅=
⟨
3222
)(
2222)(
63,06,01,06
6,01,0100
6,01,06
6,01,0
2
2
Ugib od sile (F1)
x=0,6l
F1=200kN
CBb=0,6l a=0,4l
A
Slika 85.
( ) ( )[ ] ( )xx
F IElF
lllIEl
llFy
ax
⋅⋅⋅⋅
+⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅=
⟩
62,0
6,06,06
6,06,0 312221
)( 1
( ) ( )[ ] ( )
)()()(
33222
)(
21
1
63,36
2,02006,06,06
6,06,0200
BRFF
xxxF
yyyIEl
IEllll
IEllly
=+⋅⋅
=⋅⋅⋅⋅
+⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅=
94
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
kNFF
lIE
IElF
IEl
IEl
B
B
x
x
B
xx
88,2210192,062,4
0192,063,063,33
333
=⋅=
⋅⋅
⋅⋅⋅
=⋅⋅
+⋅⋅
1
FC FB FA
F2=100kN F1=200kN
CBA0,1l 2
0,3l0,2l0,4l 0,4l0,6l
l=10m
Slika 86.
kNFl
lFlFlFlF
M
A
BA
C
25,411,01004,088,2216,0200
101,04,06,0
0
21
=⋅+⋅−⋅=
⋅=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅
=Σ
kNFF
FFFFF
C
C
CBA
87,3688,22125,41100200
21
=++=+
++=+
Momenti savijanja:
kNcmlM
llllFlFlFM
kNcmM
llllFlFM
kNcmlllFM
B
BA
B
AB
A
3680100068,368,3
3,088,2215,02009,025,413,05,09,0
15250100025,15
25,152,02006,025,412,06,0
1650010005,166,164,025,414,0
)(
1)2(
)(
1)(
)1(
=⋅=⋅=
⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=
−=⋅−=
⋅−=⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅=
=⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅=
Dimenzioniranje grede:
xdf W
M max=σ
cmla
laal
11000101,00010338,0
5,16159601064
5,1615
33
3
3
=⋅=⋅=
⋅=⋅⋅⋅
=
95
JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet
UF=100kN/1cm UM=10000kNcm/1,5cm F2
1
A B C21
FA
Slika 87.
—M
1=M
max
+
FB
+
FC
F =200kN
=100kN96