345])Kinematics of Machinery 2 Q R =4iˆ+4ˆj R =−3iˆ−10 ˆj P Q 점P 에서점Q 까지의위치차: R =R −R =−7ˆi−14ˆj=15.65∠243.4 QP Q P 2211 2.6 The Loop-Closure

기구메커니즘기구메커니즘Kinematics of MachineryKinematics of Machinery

181013181013

Ch2. Position and DisplacementCh2. Position and Displacement

※ ※ ※ ※ 각도각도각도각도 A에에에에 대한대한대한대한 기본기본기본기본삼각함수법삼각함수법삼각함수법삼각함수법

sin

cos

tan

aA

c

bA

c

aA

b

∠ =

∠ =

∠ =

※ ※ ※ ※ 각도각도각도각도 B에에에에 대한대한대한대한 기본기본기본기본삼각함수법삼각함수법삼각함수법삼각함수법

sin

cos

tan

bB

c

aB

c

bB

a

∠ =

∠ =

∠ =

Right triangle(Right triangle(Right triangle(Right triangle(직각삼각형직각삼각형직각삼각형직각삼각형))))

2.0 Preliminary

Kinematics of MachineryKinematics of Machinery

Pythagoreans theorem(피타고라스피타고라스피타고라스피타고라스 정리정리정리정리) : 직각삼각형의직각삼각형의직각삼각형의직각삼각형의 직각을직각을직각을직각을 포함하는포함하는포함하는포함하는 두두두두 변변변변 위의위의위의위의정사각형넓이의정사각형넓이의정사각형넓이의정사각형넓이의 합은합은합은합은 빗변빗변빗변빗변 위의위의위의위의 정사각형의정사각형의정사각형의정사각형의넓이와넓이와넓이와넓이와 같다같다같다같다.

2 2 2a b c+ =

삼각형삼각형삼각형삼각형 세세세세 내각의내각의내각의내각의 합은합은합은합은 180도도도도 이므로이므로이므로이므로 빗변의빗변의빗변의빗변의 두두두두 내각의내각의내각의내각의 합은합은합은합은

90A B∠ +∠ = o

22

240 cm

예제

실린더실린더실린더실린더 BC로써로써로써로써 수직수직수직수직 상승시키는상승시키는상승시키는상승시키는

기중기를기중기를기중기를기중기를 나타낸다나타낸다나타낸다나타낸다.

암암암암 AB를를를를 그림과그림과그림과그림과 같이같이같이같이 위치시키기위치시키기위치시키기위치시키기 위한위한위한위한

실린더의실린더의실린더의실린더의 요구길이를요구길이를요구길이를요구길이를 구하여라구하여라구하여라구하여라.


수직변수직변수직변수직변 BC:

수평변수평변수평변수평변 AC:

sin 35240

BC=o 240 sin 35 137.66( )BC cm∴ = ⋅ =o

cos35240

AC=o 240 cos35 196.60( )AC cm∴ = ⋅ =o

sina

Ac

∠ = cosb

Ac

∠ =35 ْ◌

240 cm

33

240 cm

180 cm

330 cm

예제

25도도도도 각도로각도로각도로각도로 기울어진기울어진기울어진기울어진 240 cm 길이의길이의길이의길이의

견인봉을견인봉을견인봉을견인봉을 가진가진가진가진 레커트럭이다레커트럭이다레커트럭이다레커트럭이다.

견인봉견인봉견인봉견인봉 끝이끝이끝이끝이 트럭으로부터트럭으로부터트럭으로부터트럭으로부터 벗어나는벗어나는벗어나는벗어나는

최대최대최대최대 길이를길이를길이를길이를 구하여라구하여라구하여라구하여라.


cosb

Ac

∠ =

견인봉의견인봉의견인봉의견인봉의 수평투영길이수평투영길이수평투영길이수평투영길이(AC)는는는는

cos 25240

AC=o 240 cos25 217.51AC cm∴ = ⋅ =o

그리고그리고그리고그리고 투영으로부터투영으로부터투영으로부터투영으로부터 벗어난벗어난벗어난벗어난 최대최대최대최대 길이는길이는길이는길이는 (180 217.51) 330 67.51cm+ − =

44

Oblique triangle(Oblique triangle(Oblique triangle(Oblique triangle(일반삼각형일반삼각형일반삼각형일반삼각형))))• Law of sines (사인법칙사인법칙사인법칙사인법칙)

• Law of cosines (코사인법칙코사인법칙코사인법칙코사인법칙)

sin sin sin

a b c

A B C= =

∠ ∠ ∠

a) 코사인코사인코사인코사인 제제제제1법칙법칙법칙법칙

cos cosa b C c B= +

2.0 Preliminary


b) 코사인코사인코사인코사인 제제제제2법칙법칙법칙법칙

cos cos

cos cos

cos cos

a b C c B

b c A a C

c a B b A

= +

= +

= +

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b c a ca B

c a b ab C

= + −

= + −

= + −

180A B C∠ +∠ +∠ = o

55

Sine Sine Sine Sine 법칙의법칙의법칙의법칙의 증명증명증명증명

2.0 Preliminary

Kinematics of MachineryKinematics of Machinery 66

CosineCosineCosineCosine 법칙의법칙의법칙의법칙의 증명증명증명증명

2.0 Preliminary


[경우경우경우경우 1] 한한한한 변의변의변의변의 길이길이길이길이(a)와와와와 두두두두 내각내각내각내각(∠∠∠∠A, ∠∠∠∠B)이이이이주어질주어질주어질주어질 때때때때

a) 먼저먼저먼저먼저 각도각도각도각도 C를를를를 계산계산계산계산.

b) 사인법칙으로부터사인법칙으로부터사인법칙으로부터사인법칙으로부터 나머지나머지나머지나머지 변의변의변의변의 길이를길이를길이를길이를 계산계산계산계산.

180C A B∠ = − ∠ − ∠o

sin

sin

sin

sin

Bb a

A

Cc a

A

∠ = ∠ ∠ = ∠

[경우경우경우경우 2] 두두두두 변의변의변의변의 길이길이길이길이(a, b)와와와와 한한한한 변변변변 끝의끝의끝의끝의 내각내각내각내각(∠∠∠∠A)이이이이주어질주어질주어질주어질 때때때때

a) 먼저먼저먼저먼저 사인법칙으로부터사인법칙으로부터사인법칙으로부터사인법칙으로부터 내각내각내각내각(∠∠∠∠B)를를를를 계산계산계산계산.

b) 나머지나머지나머지나머지 내각내각내각내각(∠∠∠∠C)를를를를 계산계산계산계산.

c) 코사인법칙을코사인법칙을코사인법칙을코사인법칙을 이용하여이용하여이용하여이용하여 나머지나머지나머지나머지 변의변의변의변의 길이길이길이길이c를를를를 계산계산계산계산.

1sin sinb

B Aa

− ∠ = ∠

180C A B∠ = −∠ −∠o

{ }2 2 2 cosc a b ab C= + − ∠

2.0 Preliminary


sin A∠ { }2 cosc a b ab C= + − ∠

[경우경우경우경우 3] 두두두두 변의변의변의변의 길이길이길이길이(a, b)와와와와 그그그그 사이각사이각사이각사이각(∠∠∠∠C)이이이이주어질주어질주어질주어질 때때때때

a) 먼저먼저먼저먼저 코사인법칙으로부터코사인법칙으로부터코사인법칙으로부터코사인법칙으로부터 나머지나머지나머지나머지 변의변의변의변의 길이길이길이길이c를를를를 계산계산계산계산.

b) 사인법칙을사인법칙을사인법칙을사인법칙을 이용하여이용하여이용하여이용하여 내각내각내각내각(∠∠∠∠A)를를를를 계산계산계산계산.

{ }2 2 2 cosc a b ab C= + − ∠

1sin sina

A Cc

− ∠ = ∠

c) 나머지나머지나머지나머지 내각내각내각내각(∠∠∠∠B)를를를를 계산계산계산계산.

180B A C∠ = −∠ −∠o

[경우경우경우경우 4] 세세세세 변의변의변의변의 길이길이길이길이(a, b, c)가가가가 주어질주어질주어질주어질 때때때때

a) 먼저먼저먼저먼저 코사인법칙으로부터코사인법칙으로부터코사인법칙으로부터코사인법칙으로부터 하나의하나의하나의하나의 내각을내각을내각을내각을 계산계산계산계산.

b) 사인법칙을사인법칙을사인법칙을사인법칙을 이용하여이용하여이용하여이용하여 또또또또 하나의하나의하나의하나의 내각을내각을내각을내각을 계산계산계산계산.

c) 나머지나머지나머지나머지 내각을내각을내각을내각을 계산계산계산계산.

( )2 2 21cos

2

a b cC

ab

− + −

∠ =

1sin sina

A Cc

− ∠ = ∠

180B A C∠ = −∠ −∠o

88

그림그림그림그림 3.6에서에서에서에서 암암암암 AB를를를를 그림과그림과그림과그림과 같이같이같이같이 자세를자세를자세를자세를 유지하기유지하기유지하기유지하기 위한위한위한위한 실린더의실린더의실린더의실린더의 길이를길이를길이를길이를계산하시오계산하시오계산하시오계산하시오.

240 cm

예제

예제예제예제예제


195 cm

99

[ 3] (a, b) ( C)

a)

{ }2 2 2 cosa b c bc A= + − ∠

( ){ }2 2195 240 2 195 240 cos 25= + − ⋅ ⋅ ⋅

b)

b

= 103.875 cm

예제

Solution


[경우경우경우경우 3] 두두두두 변의변의변의변의 길이길이길이길이(a, b)와와와와 그그그그 사이각사이각사이각사이각(∠∠∠∠C)이이이이주어질주어질주어질주어질 때때때때

a) 먼저먼저먼저먼저 코사인법칙으로부터코사인법칙으로부터코사인법칙으로부터코사인법칙으로부터 나머지나머지나머지나머지 변의변의변의변의 길이길이길이길이c를를를를 구한다구한다구한다구한다.

b) 사인법칙을사인법칙을사인법칙을사인법칙을 이용하여이용하여이용하여이용하여 내각내각내각내각(∠∠∠∠A)를를를를구한다구한다구한다구한다.

{ }2 2 2 cosc a b ab C= + − ∠

1sin sina

A Cc

− ∠ = ∠

c) 나머지나머지나머지나머지 내각내각내각내각(∠∠∠∠B)를를를를 구한다구한다구한다구한다.

180B A C∠ = −∠ −∠o

1sin sinb

B Aa

− ∠ = ∠

1 195sin sin 25103.897

− =

52.485= o

c)

180C A B∠ = −∠ −∠o

180 25 52.485= − −102.515= o

1010

그림그림그림그림 3.7은은은은 엔진에서의엔진에서의엔진에서의엔진에서의 구동기구이다구동기구이다구동기구이다구동기구이다. 그림의그림의그림의그림의 순간에순간에순간에순간에 대해대해대해대해 크랭크각을크랭크각을크랭크각을크랭크각을 구하여라구하여라구하여라구하여라.

예제

예제예제예제예제


12.5cm

2.5cm

13.25cm

1111

Solution a)

( )2 2 21cos

2

b c aA

bc

− + −

∠ =

2 2 21 13.25 2.5 12.5cos

2 13.25 2.5

− + −= ⋅ ⋅

67.3= o

_ 90 67.3 22.7crank angle∴ = − =o o o

예제


[경우경우경우경우 4] 세세세세 변의변의변의변의 길이길이길이길이(a, b, c)가가가가 주어질주어질주어질주어질 때때때때

a) 먼저먼저먼저먼저 코사인법칙으로부터코사인법칙으로부터코사인법칙으로부터코사인법칙으로부터 하나의하나의하나의하나의 내각을내각을내각을내각을구한다구한다구한다구한다.

b) 사인법칙을사인법칙을사인법칙을사인법칙을 이용하여이용하여이용하여이용하여 또또또또 하나의하나의하나의하나의 내각을내각을내각을내각을구한다구한다구한다구한다.

c) 나머지나머지나머지나머지 내각을내각을내각을내각을 구할구할구할구할 수수수수 있다있다있다있다.

( )2 2 21cos

2

a b cC

ab

− + −

∠ =

1sin sina

A Cc

− ∠ = ∠

180B A C∠ = −∠ −∠o

b)

1sin sinc

C Aa

− ∠ = ∠

1 2.5sin sin 67.312.5

− =

o

10.6= o

c)

180B A C∠ = −∠ −∠o

180 67.3 10.6= − −o o o

102.1= o

1212

위치를 정의하는 3대 요소

1. 원점 O: 점 P의 위치를 측저하기 위한 기준 위치.2. 좌표축: 측정하기 위해 합의된 방향을 제공하며,

또한 각도의 정의와 측정에 필요한 선과 면 제공.3. 각각의 축상에서의 단위 거리: 거리를

정량화하는 척도를 제공한다.

점 P의 위치:R

z

R

y

R

x=== γβα cos,cos,cos

2.1 Locus of Moving Point


점 P의 위치:RRR

=== γβα cos,cos,cos

매개변수 t :

(방향 코사인)

)(),(),( tzztyytxx ===

경로 (path) or 궤적 (locus) : 움직이는 점의 연속 위치

공간운동(spatial motion) vs 평면운동(planar motion) vs 직선운동(rectilinear motion)

평면곡선(plane curve)의 경로 : 2개의 좌표가 필요함

공간곡선(space curve) / 스큐곡선(skew curve)의 경로 : 3개의 좌표가 필요함

1313

예제 2.1

질점 P의 위치가 와 같이시간에 따라 변화할 때 그 운동을 기술하라.

btztaytax === ,2sin,2cos ππ

예제 2.1

a

a

a

zyxt

b

b

0

0

000

22

441

−


반지름 , 리드: 나선운동(helical motion)

ba

1414

ba

a

a

a

ba

a

a

b

b

b

b

b

202

0

0

0

01

0

0

47

47

46

46

45

45

43

43

42

42

−

−

−

−

� 위치: 위치벡터로 표시

� A점의 위치 표시• 직교좌표계(cartesian coordinate), 극좌표계(polar coordinate)

� θ : x축으로부터 반시계방향으로 측정

2.2 Position of a Point


kjiRz

PO

y

Po

x

POPO RRR ++=위치 벡터 :

위치 벡터의 크기 :

( ) ( ) ( )222 zyxPOPOPOPO

RRR

R

++=

⋅== RRR

2.2 Position of a Point


( ) ( ) ( )222 zPOyPOxPO RRR ++=

방향의 단위벡터 :POR POR̂

PO

POPO

R

RR =ˆ

1616

점 P 와 Q 의 위치차:QOPOPQ RRR −=

관측자 좌표계의 원점으로 표시:POP RR =

2.3 Position Difference b/w 2 Points


2121 POOOPORRR +=

좌표계 관측자 1 :111 zyx

좌표계 관측자 2는 가 변함222 zyx 2POR

2/2/1/1/ 21, PPOPPO RRRR ==

2/1/1/ 2 POPRRR +=

: 좌표계 2에 있는 관측자 에 대한R

2.4 Apparent Position of a Point


: 좌표계 2에 있는 관측자 에 대한점 P의 상대 위치.

2/PR

( ) ( ) ( )11/11/11/

12/1/12/2/12/1/

12/12/12/11/11/11/

2/1/1/

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

111

11

2

11

2

11

2

1111

2

1

2

1

2

2

kji

kji

kjikji

RRR

z

P

y

P

x

P

z

P

z

O

y

P

y

O

x

P

x

O

z

P

y

P

x

P

z

O

y

O

x

O

POP

RRR

RRRRRR

RRRRRR

++=

+++++=

+++++=

+=

1818

� 변위: 위치의 변화• 기준좌표계에서 움직인 시작점과 끝 점 사이의 직선 거리

• 변위와 한 점이 시작점에서 끝점까지의 이동한 경로는 반드시 같지는 않음

� 위치벡터• A점의 위치벡터: RA• B점의 위치벡터: RB

2.4 Apparent Position of a Point


B

� A점에 대한 B점의 상대위치벡터• RBA : 위치 차이, 상대위치

AOBOBA

ABBA

RRR

RRR

−=

−=

1919

� 절대좌표계• 다수의 좌표계를 고려해야 하는 경우 가장 기본이 되는 좌표계를 선정

2.5 Absolute Position of a Point

2/2 POPRRR +=

좌표계 1를 절대좌표계로 하면


좌표계 1를 절대좌표계로 하면일반적으로 1을 생략

2020

예제 2.2

움직이는 점의 경로가 식 로 정의된다. 이고인 경우 점 P에서 점 Q의 위치차를 구하여라.

282 3 −= xy

두 벡터의 y 성분 :

4=xPR3−=xQR

1028)3(2

428)4(2

2

2

−=−−=

=−=y

y

P

R

R

예제 2.2


1028)3(2 2 −=−−=yQR

jiRjiR ˆ10ˆ3ˆ4ˆ4 −−=+= QP

점 P 에서 점 Q 까지의 위치차:

°∠=−−=−= 4.24365.15ˆ14ˆ7 jiRRR PQQP

2121

2.6 The Loop-Closure Equation


Figure 2.6 Assembly drawing of a hand-operated clamp.

2222

041342312==== DDCCBBAA RRRR

AAAAA RRRR =+=0

1212

BAAB RRR +=

링크 2를 링크 1에 연결 :

링크 2를 링크 3에 부착 :

조인트 C와 D를 연결하면,



CBBAACBBC RRRRRR ++=+=

조인트 C와 D를 연결하면,

DCCBBAADCCD RRRRRRR +++=+=

링크 1의 점 A로 복귀하면,

ADDCCBBAAADDA RRRRRRRR ++++=+=

0=+++ ADDCCBBA RRRR정리하면,루프 폐쇄 방정식(loop-closed equation)

2323

제네바 기구(Geneva mechanism) / 몰타 십자기구(Maltese cross)

루프 폐쇄 방정식

02/ =++ ACCBA RRR

)( 2/ CBC RR =



•이러한 형태의 루프 폐쇄 방정식은 C가 를 따르는 홈 속에 있을때에만 수학적으로 타당한 모델이 된다. � 이 조건은 전체 운동주기에 걸쳐 성립되는 것은 아니다. •일단 롤러가 홈에서 벗어나면 운동은 각각 링크 2와 링크 3에 있는2개의 정합 원호에 의해 지배된다. � 이 영역에서는 새로운 형태의 루프 폐쇄 방정식이 필요하다.

2x

2424

3차원 벡터식 BEDC ++=zzzzyyyyxxxx BEDCBEDCBEDC ++=++=++= ,,

� 3개의 식이 선형 독립이면 3개의 미지수에 대하여 풀 수 있다.

2.7 Graphic Position Analysis


2차원 벡터식

� 2개의 식이 선형 독립이면 2개의 미지수에 대하여 풀 수 있다.

BEDC ++=yyyyxxxx BEDCBEDC ++=++= ,

2525

BAC +=⇒


BAC +=

평면평면평면평면 벡터식의벡터식의벡터식의벡터식의 미지수미지수미지수미지수

ÂA A= 벡터를 크기와 방향으로 분해


경우 미지수

1 동일 벡터의 크기와 방향. 예:

2 하나의 벡터의 크기와 또 다른 벡터의 방향. 예:

3 2 개의 서로 다른 벡터의 크기. 예:

4 2 개의 서로 다른 벡터의 방향. 예:

Ĉ,CB̂,A

BA,

BA ˆ,ˆ

2626

경우 2: 하나의 벡터의 크기와 또 다른 벡터의 방향

BAC +=√√ ?√ √?

이 해를 푸는 4 단계 과정 :1. 좌표계와 척도를 선정하고 벡터 를

그린다.C



그린다.

2. 의 원점을 지나고 에 평행한직선을 그린다.

3. 컴파스를 척도 크기 B 로 조정하고의 끝점을 중심으로 하는 원호를

그린다.

4. 작도된 직선과 원호가 만나는 2 개의교점으로 와 를 결정한다.

C Â

C

B̂,A B′′ ˆ,A

2727

경우 3: 2 개의 크기, 즉 A 와 B 를 구하는 것.

BAC +=√√ ?√ ?√

이 해를 푸는 4 단계 과정 :

1. 좌표계와 척도를 선정하고 벡터 를그린다.

C

ˆ



2. 의 원점을 지나고 에 평행한직선을 그린다.

3. 의 끝점을 지나고 에 평행한또 다른 직선을 그린다.

4. 작도된 직선이 만나는 교점에 의해 2 개의 크기 A 와 B 가 결정되는데, 이는양의 값이 될 수도 있고 음의 값이 될수도 있다.

C Â

C B̂

2828

경우 4: 2 개의 벡터의 방향, 즉 와 를 구하는 것.Â B̂

BAC +=√√ √? √?

이 해를 푸는 4 단계 과정 :

1. 좌표계와 척도를 선정하고 벡터 를그린다.

2. 의 원점을 중심으로 하는 반지름이

C

C



2. 의 원점을 중심으로 하는 반지름이A 인 원호를 그린다.

3. 의 끝점을 중심으로 하는 반지름이B 인 원호를 그린다.

4. 작도된 2 개의 원호가 만나는 2 개의교점에 의해 두 가지 해, 즉

와 가 결정된다.

을 만족할 때에만 가능.

C

C

BA ˆ,ˆ BA ′′ ˆ,ˆ

CBA ≥+

2929

그림은 물체를 강하게 조일 수 있는 토글 클램프이다. 핸들이 15도

눌러질 때 클램프의 수평변위를 구하라.

2.8 Algebraic Position Analysis


Solution

슬라이더-크랭크 기구

1 50sin sin 30 38.6840

BCA − ∠ = =

o

180 (30 38.68) 111.32ABC∠ = − + = o

2 2 2( )( ) cosAC AB BC AB BC CBA= + − ∠

2 250 40 2(50 40)cos111.32= + − ⋅

74.52mm=

Fig. 4.12 (c)

Fig. 4.12 (b)



' ' 1 50sin sin15 18.8840

BC A − ∠ = =

o

' ' 180 (15 18.88) 146.12ABC∠ = − + = o

' '2 ' '2 ' ' ' ' '2( )( ) cosAC AB BC AB BC C B A= + − ∠

2 250 40 2(50 40)cos146.12= + − ⋅

85.19mm=

점 C의 수평 변위는 AC’-AC=10.53 mm ∠180°

Fig. 4.12 (c)

3131

•••• In-line slider-crank mechanism: 슬라이더 운동 직선 상에크랭크 회전 중심이 있는 경우

4

32

32

:unknown

or (input)or :given

, :parameter

L

LL

θθγ


Slider-Crank mechanism


1 23 2

3

sin sinL

Lθ θ−

=

2 3180 ( )γ θ θ= − +

2 2

4 2 3 2 32( )cosL L L L L γ= + − ⋅

사인 공식 삼각형 내각의 합 코사인 공식

3322 coscos θθ LL +=

4:unknown L

3232

그림은 유압 실린더의 압력을 증가시키는 수동펌프이다. 핸들을

15도 반시계방향으로 회전시킬 때 피스톤의 변위를 구하시오.



Solution Offset slider-crank mechanism



편심편심편심편심 슬라이터슬라이터슬라이터슬라이터 크랭크크랭크크랭크크랭크 기구기구기구기구(Offset Slider-crank Mechanism)이며이며이며이며 그림그림그림그림 4.15 (b)와와와와(c)처럼처럼처럼처럼 2개의개의개의개의 직각삼각형을직각삼각형을직각삼각형을직각삼각형을 이용하면이용하면이용하면이용하면 효과적이다효과적이다효과적이다효과적이다.

3434

1. AD와와와와 BD의의의의 길이를길이를길이를길이를 구한다구한다구한다구한다.( ) co s 5 co s 80 0 .87

( ) s in 5 sin 80 4 .9 2

AD AB BAD cm

BD AB BAD cm

= ∠ = ⋅ =

= ∠ = ⋅ =

그리고그리고그리고그리고 길이길이길이길이 CE는는는는 1cm의의의의 편심과편심과편심과편심과 길이길이길이길이 AD를를를를 더하면더하면더하면더하면 되므로되므로되므로되므로

1 .0 0 .87 1 .87CE cm= + =2. BE는는는는 피타고라스피타고라스피타고라스피타고라스 정리로부터정리로부터정리로부터정리로부터 구할구할구할구할 수수수수 있다있다있다있다.

2 24 1 .87 3 .54BE cm= − =

3. 점점점점 A에서에서에서에서 점점점점 C까지의까지의까지의까지의 거리거리거리거리 Lc의의의의 수직거리를수직거리를수직거리를수직거리를 구할구할구할구할 수수수수 있다있다있다있다.

4 .92 3 .54 8 .46cL BD BE cm= + = + =

1. AD’와와와와 B’D’의의의의 길이를길이를길이를길이를 구한다구한다구한다구한다.



1. AD’와와와와 B’D’의의의의 길이를길이를길이를길이를 구한다구한다구한다구한다.' ' ' '

' ' ' ' '

( ) co s 5 co s 65 2 .11

( ) s in 5 sin 65 4 .53

AD AB B AD cm

B D AB B AD cm

= ∠ = ⋅ =

= ∠ = ⋅ =

그리고그리고그리고그리고 길이길이길이길이 C’E’는는는는 1cm의의의의 편심과편심과편심과편심과 길이길이길이길이 AD’를를를를 더하면더하면더하면더하면 되므로되므로되므로되므로' ' 1 .0 2 .11 3 .11C E cm= + =

2. B’E’는는는는 피타고라스피타고라스피타고라스피타고라스 정리로부터정리로부터정리로부터정리로부터 구할구할구할구할 수수수수 있다있다있다있다.' ' 2 24 3 .11 2 .52B E cm= − =

3. 점점점점 A에서에서에서에서 점점점점 C’까지의까지의까지의까지의 거리거리거리거리 Lc’의의의의 수직거리를수직거리를수직거리를수직거리를 구할구할구할구할 수수수수 있다있다있다있다.

'

' ' ' ' 4 .53 2 .52 7 .05cL B D B E cm= + = + =

점 C의 수직 변위는 8.46-7.05=1.41 (-90deg)

3535

4

32

321

:unknown

or (input)or :given

,, :parameter

L

LLL

θθγ

••••Offset slider-crank mechanism: 슬라이더 운동 직선 상에크랭크 회전 중심이 있지 않는 경우



1 1 2 23

3

sinsin

L L

L

θθ −

+=

2 3180 ( )γ θ θ= − + 4 2 2 3 3cos cosL L Lθ θ= +

사인 공식직각 삼각형

(코사인 제1법칙)내각의 합

3636

θ θ x문제 1: 가 주어진 상태에서 커넥팅로드 과 위치 를 구하는 문제




2θ 3θ Bx문제 1: 가 주어진 상태에서 커넥팅로드 과 위치 를 구하는 문제

2222 sincos θθ ryrx AA ==

)sin(1

sinsinsin 223

33322 θθθθ rer

err +=→−=

3322 coscos θθ rrxB +=2/1

3

2

3 )sin1(cos θθ −±=

[ ] 2/1222233 )sin(cos θθ rer +−±=[ ] 2/12222322 )sin(cos θθ rerrxB +−+= (2.22)

(2.21)

3737

문제 2: 가 주어진 상태에서 입력각 와 커넥팅 로드의 각도 를θx


θ



문제 2: 가 주어진 상태에서 입력각 와 커넥팅 로드의 각도 를구하는 문제

2θBx

2

3

2

222

2 cos2 rrrxx BB =+− θ

2

2

3

2

2

21

22

cosrx

rrx

B

B −+= −θ

편심도 e가 0인 경우,

[ ] 2/12222322 )sin(cos θθ rerrxB +−+=

3θ

3838

2 2

1 2 1 2 22 cosBD L L L L θ= + − ⋅ ⋅

2 2 21 3 4

3 4

cos2

L L BD

L Lγ −

+ −= ⋅ ⋅

2 2 22 2 21 1 4 31 2

4

1 4

180 cos cos2 2

L L BDL L BD

L BD L BDθ − −

− +− += − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

코사인 제2법칙•••• 4-bar linkage


크랭크-로커 링크 기구(crank-rocker mechanism)


1 42 2L BD L BD⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 2 22 2 21 1 4 31 2

4

1 4

180 cos cos2 2

L L BDL L BD

L BD L BDθ − −

− +− += − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Fig. 4.20(b)의 자세의 경우 θ4는다음과 같다. (θ4>180°)

θ3= θ4-γ

3939

그림은 가공 동안에 작업물을 고정시키기 위한 토글 클램프 이다.

클램프 암을 30도 시계방향으로 올리기 위한 핸들의 회전각도를

구하시오.



Solution



예제예제예제예제 4.5는는는는 일반적인일반적인일반적인일반적인 4절기구절기구절기구절기구(Four Bar Linkage)이며이며이며이며 해석의해석의해석의해석의 편의성을편의성을편의성을편의성을 위해위해위해위해그림그림그림그림 4.18 (b)와와와와 같이같이같이같이 2개의개의개의개의 삼각형을삼각형을삼각형을삼각형을 이용하면이용하면이용하면이용하면 효과적이다효과적이다효과적이다효과적이다.

1. BD의의의의 길이를길이를길이를길이를 피타고라스의피타고라스의피타고라스의피타고라스의 정리로정리로정리로정리로 부터부터부터부터 구한다구한다구한다구한다.

2 212 25 27.73BD mm= + =

2. 나머지나머지나머지나머지 각을각을각을각을 구한다구한다구한다구한다.

1

1

25sin 63.4

27.73

25cos 25.6

ABD

BDA

−

−

∠ = =

∠ = =

o

o

4. 내각내각내각내각 BDC는는는는 삼각형삼각형삼각형삼각형 내각합은내각합은내각합은내각합은 180도도도도 라서라서라서라서구할구할구할구할 수수수수 있다있다있다있다.

180 (103.9 44.4) 31.7BDC∠ = − + = o

5. 점점점점 B와와와와 점점점점D의의의의 내각이내각이내각이내각이 구해질구해질구해질구해질 수수수수 있다있다있다있다.

63.4 44.4 107.8

31.7 25.6 57.3

ABC

CDA

∠ = + =

∠ = + =

o

o



1 25cos 25.627.73

BDA − ∠ = =

o

3. 위위위위 삼각형에서삼각형에서삼각형에서삼각형에서 각각각각C를를를를 구한다구한다구한다구한다.

2 2 21cos

2

BC CD BDBDA

BC CD

− + −∠ = ⋅ ⋅ 2 2 2

1 (20) (15) (27.73)cos 103.92 20 15

− + −= = ⋅ ⋅

o

즉즉즉즉

1 20sin sin103.9 44.427.73

CBD − ∠ = =

o

31.7 25.6 57.3CDA∠ = + =

BCD

4242

1. B’D의의의의 길이를길이를길이를길이를 코사인코사인코사인코사인 법칙으로법칙으로법칙으로법칙으로 구한다구한다구한다구한다.' ' 2 2 ' '( ) ( ) 2 cosB D AB AD AB AD B AD= + − ⋅ ⋅ ∠

2. 내각내각내각내각 AB’D는는는는 사인법칙으로사인법칙으로사인법칙으로사인법칙으로 구하고구하고구하고구하고각각각각B’DA는는는는 내각합내각합내각합내각합 180도도도도 조건으로조건으로조건으로조건으로 구한다구한다구한다구한다.

' 1 25sin sin 60 88.3AB D − ∠ = =

o

4. 각각각각C’B’D는는는는 사인법칙을사인법칙을사인법칙을사인법칙을 이용하여이용하여이용하여이용하여 구한다구한다구한다구한다.

' ' 1 20sin sin 74.9 63.121.66

C B D − ∠ = =

o

5. 내각내각내각내각 B’DC’는는는는 삼각형삼각형삼각형삼각형 내각합내각합내각합내각합 180도도도도 조건조건조건조건으로으로으로으로 구한다구한다구한다구한다.

• • • • 클램프클램프클램프클램프 부분이부분이부분이부분이 30도도도도 시계방향으로시계방향으로시계방향으로시계방향으로 회전하면회전하면회전하면회전하면 각각각각DAB’는는는는 60도가도가도가도가 된다된다된다된다.

2 212 25 2 12 25cos60= + − ⋅ ⋅

21.66mm=

' ' 180 (63.1 74.9) 42.0B DC∠ = − + = o

6. 점점점점 B’에서의에서의에서의에서의 내각과내각과내각과내각과 점점점점 D에서의에서의에서의에서의 내각은내각은내각은내각은



' 1

'

25sin sin 60 88.3

21.66

180 (60 88.3) 31.7

AB D

B DA

− ∠ = =

∠ = − + =

o

o

3. 위위위위 삼각형에삼각형에삼각형에삼각형에 있어서있어서있어서있어서 각각각각B’C’D는는는는 코사인코사인코사인코사인 법칙을법칙을법칙을법칙을이용하여이용하여이용하여이용하여 구한다구한다구한다구한다.

' '

'

88.3 63.1 151.4

42.0 31.7 73.7

ABC

C DA

∠ = + =

∠ = + =

o

o

' 2 ' ' 2 ' 2 ' ' ' ' '( ) ( ) ( ) 2( )( ) cosB D BC C D BC C D BC D= + − ∠' ' 1cos 0.26 74.9B C D −∠ = = o

6. 점점점점 B’에서의에서의에서의에서의 내각과내각과내각과내각과 점점점점 D에서의에서의에서의에서의 내각은내각은내각은내각은다음과다음과다음과다음과 같이같이같이같이 구한다구한다구한다구한다.

4343

이제이제이제이제 링크링크링크링크 3의의의의 수평선에수평선에수평선에수평선에 대한대한대한대한 각도를각도를각도를각도를 구하기구하기구하기구하기 위해위해위해위해 그림그림그림그림 4.18(d)를를를를 고려한다고려한다고려한다고려한다.이동이동이동이동 전과전과전과전과 후의후의후의후의 경우는경우는경우는경우는 다음과다음과다음과다음과 같다같다같다같다.



회전회전회전회전 이전의이전의이전의이전의 링크링크링크링크 3의의의의 각도각도각도각도=107.8-90.0=17.8도도도도회전회전회전회전 이후의이후의이후의이후의 링크링크링크링크 3의의의의 각도각도각도각도=151.4-120.0=31.4도도도도

따라서따라서따라서따라서 링크링크링크링크 3의의의의 각도변위는각도변위는각도변위는각도변위는

3 31.4 17.8 13.6θ = − =o (반시계 방향)

4444

크랭크-로커 링크 기구(crank-rocker mechanism)

sr

rsr

1

2

2

22

11

2cos

−+= −β

rsr 2422

31cos−+

= −ψ


221

2

2

2

1 cos2 θrrrrs −+=


sr

rsr

3

431

2cos

−+= −ψ

sr

rsr

4

2

3

22

41

2cos

−+= −λ

각각의 값에는 일반적으로 2 개의 λ값존재한다.

범위에 있는 경우πθ ≤≤ 20βψθ −=3

βλπθ −−=4범위에 있는 경우πθπ 22 ≤≤

βψθ +=3βλπθ +−=4

전달각(γ)의 개념 ;

43

22

4

2

31

2cos

rr

srr −+±= −γ

4545

극좌표 표기법(polar notation) : θ∠= RR

jiR ˆˆ yx RR +=

θθ sinandcos RRRR yx ==

x

y

yxR

RRRR 122 tanand)()( −=+= θ

( θ : CCW )

2.9 Complex-Algebra Sols of Planar Vector Eqns


예제 2.3

벡터 와 를직교좌표 표기법으로 나타내고그 합을 구하라.

°∠= 3010A

풀이

각각의 벡터를 식으로 나타내면,

jijiA ˆ00.5ˆ66.8ˆ30sin10ˆ30cos10 +=°+°=

°−∠= 158B

ˆˆˆˆ

예제 2.3


합 벡터의 크기 :

평면 벡터 표기법의 최종 결과 :

jijiB ˆ07.2ˆ73.7ˆ)15sin(8ˆ)15cos(8 −=°−+°−=

jijiBAC ˆ93.2ˆ39.16ˆ)07.200.5(ˆ)33.766.8( +=−++=+=

6.1693.239.16 22 =+=C

방향각 : °== − 1.1039.16

93.2tan 1θ

°∠= 1.106.16C

4747

)1( −=+= jjRR yxR

θθθ θ sincos jRReRR j +==∠=R

벡터표시법: 복소수평면

2.10 Complex Polar Algebra


Euler 변환 공식: θθθ sincos je j ±=±

복소해석의 장점: 미적분이 쉬움

θθ

θj

j

jed

de=

복소연산: 212211 ,

θθ jjerRerR ==

)(

2

1

2

1

)(

2121

21

21

θθ

θθ

−

+

=

=⋅

j

j

er

r

R

R

errRR

4848

BAC += 복소 극좌표 형태 : BAC jjj BeAeCe θθθ +=

경우 1: 2 개의 미지수 (C, θC). 해는 실수부와 허수부로 분리해서 구함.

)sin(cos)sin(cos)sin(cos BBAACC jBjAjC θθθθθθ +++=+

BAC BAC θθθ coscoscos +=

BAC BAC θθθ sinsinsin +=

이 두 식을 제곱하여 더하면 θ 가 소거되고 C 의 해가 구해진다.

실수부 :

허수부 :



이 두 식을 제곱하여 더하면 θC 가 소거되고 C 의 해가 구해진다.

BA

BAC

BA

BA

θθθθ

θcoscos

sinsintan 1

++

= −

)(cos222 ABABBAC θθ −++=

4949

)()( ABAC jj BeACeθθθθ −− +=

실수부 :

허수부 :

)(cos)(cos ABAC BAC θθθθ −+=−)(sin)(sin ABAC BAC θθθθ −+=−

B

C ACAB

)(sinsin 1

θθθθ

−+= −


경우 2: 2 개의 미지수 (A, θB)

BAC jjj BeAeCeθθθ +=


BAB

)(cos)(cos ABAC BCA θθθθ −−−=

경우 3: 2 개의 미지수 (A, B )

)(sin

)(sin

AB

ACCBθθθθ

−−

=)(sin

)(sin

BA

BCCAθθθθ

−−

=

경우 4: 2 개의 미지수 (θA , θB)

5050

미끄럼 블록 링크 기구에서 θ4 와 거리 RAO4를 구하고

이 기구에 대한 위치 해석을 수행하라.

(a) 도식적 방법 (b) 해석적 방법

(c) 복소 대수법 (d) 벡터 대수법

(e) 수치 해석법

2.12 Position Analysis Techniques예제 2.5


(e) 수치 해석법

루프 방정식 : 22 AOOA

RRR +=?? √√ √√

5151

예제 2.4

(a) 도식적 방법. (b) 해석적 방법.

[ ][ ]

in.59.12

90135(cos)5.4)(9(25.49

)90(cos2

2/122

2/1

2

22

2222

=

°−°++=

°−++= θAOOAOOA RRRRR

+°

+°= −

cos90cos

sin90sintan

2

21

4

22

22

θ

θθ

AOO

AOO

RR

RR

2.12 Position Analysis Techniques


°= 3.104θ

in.48.12

)6(08.24

=

=AO

°−=

−

=

°+°°+°

=

+°

−

−

36.75182.3

182.12tan

135cos5.490cos9

135sin5.490sin9tan

cos90cos

1

1

222θAOO RR

실제 각도: °=°−°= 64.10436.751804θ

5252

예제 2.4

444 sincos θθθ AAAA RjRR +=∠=R

(c) 복소 대수법

이 값들을 에 대입하면

in9090sin990cos99092

jjO +=°+°=°∠=R

in182.3182.3

135sin5.4135cos5.41355.42

j

jAO

+−=

°+°=°∠=R


RRR +=?? √√ √√


이 값들을 에 대입하면

in182.12182.3)182.3182.3))90( jjjA +−=+−++=R

그러므로 구하는 값은

[ ] in.59.12)182.12()182.3( 2/122 =+−=AR

°=−

== −− 64.104182.3

182.12tantan 114

x

yθ

5353

22 AOOARRR +=

예제 2.5

4절 링크 기구에 대하여 그려진 2 개의 위치로부터 와 를 구하여 변위해석을 수행하라.

4θ3θ

개방 위치의 경우에는그림 (b)을 참조하면

in150140.0 °∠=R

예제 2.6


in0600.0

in150140.0

2°∠=

°∠=

O

A

R

R

그러므로,

in54.5725.0150140.00600.02

°−∠=°∠−°∠=−= AO RRS

5454

그림 (b)를 다시 참조하면 삼각형 ABO4 의 벡터 간에는 다음 관계식이 성립한다.

식 (2.49)를 사용하되 를 로 치환하고, 또한 A를 로, B를 로,를 로, 를 로 각각 치환하면 다음과 같다.

22 AOOARRR +=

√√ √? √? (경우 4)

3θCθ 4θBθC S

BAR 4BOR−

−+= −

2cos

222

1

4

4

4m

BO

BABO

SSR

RRSθθ



°+°−=°°−=

−−−+

°−= −

64.105or72.11618.11154.5

)400.0)(725.0(2

)690.0()400.0()725.0(cos54.5

2221

m

m

°=°±°−=

−+±= −

19.2772.3254.5

2cos

4

4

222

1

3

BO

BABA

SSR

RRSθθ

5555

이제, 다른 입력 각도에 대하여 동일한 계산을 반복한다. 그림 (c)를 사용하면,

°+°−=°°=

−−−+

°=′ −

99.115or47.9573.10526.10

)400.0)(681.0(2

)690.0()400.0()681.0(cos26.10

2221

4

m

mθ

in26.10681.0240140.00600.02

°∠=°∠−°∠=−= ′AO RRS



°=°±°=

−−+±°=′ −

18.4492.3326.10

)690.0)(681.0(2

)400.0()690.0()681.0(cos26.10

2221

3θ

5656

체이스 해법을 적용하면, AC RRS −=

BCBCBABA RR RRSˆˆ −=

미지수 : 2 개의 방향 ( )BCBA RR

ˆ,ˆ

SkSR ˆ2

)ˆˆ(2

ˆ222

2/12

2222

S

SRR

S

SRRR BABCBCBABABC

+−+×

+−−±=

2.13 Coupler-Curve Generation


SkSR ˆ2

)ˆˆ(2

ˆ222

2/12

2222

S

SRR

S

SRRR BCBABCBABABA

+−+×

+−−±=

)( 326 αθθθ ++== jPAi

A

j

PP eReReRR

)cos(2 2322

P θαθ −+++= PAAPAA RRRRR

)cos(cos

)sin(sintan

32

321

6 αθθαθθ

θ++++

= −

PAA

PAA

RR

RR

5757

예제 2.7

4절 링크 기구의 치수가 다음과 같을 때, 커플러 곡선에 있는 점들의 위치를 계산하고작도하라.

°−==

===

45,150

,300,mm100,mm200

αmmR

mmRRR

PA

BCAC

풀이

예제 2.7

221

2

2

2

1 cos2 θrrrrs −+=(1)


)cos(2 2322

P θαθ −+++= PAAPAA RRRRR)cos(cos

)sin(sintan

32

321

6 αθθαθθ

θ++++

= −

PAA

PAA

RR

RR

43

22

4

2

31

2cos

rr

srr −+±= −γ

sr

rsr

1

2

2

22

11

2cos

−+= −β

sr

rsr

3

2

4

22

31

2cos

−+= −ψ

(2)

(3)

(4)

βψθ −=3

0.0 18.2 100.5 212 40.1 162 136 10.0 18.9 99.4 232 36.9 186 13920.0 20.9 87.8 245 33.7 204 136 30.0 23.9 77.5 250 31.5 213 13140.0 27.4 69.2 248 30.5 213 12650.0 31.3 62.9 241 30.7 207 12360.0 35.2 58.3 230 31.7 196 12170.0 39.2 55.1 218 33.5 182 120

)(2 °θ )(°γ )(3 °θ )(6 °θ)(°PR )(°x

PR )(°y

PR

예제


70.0 39.2 55.1 218 33.5 182 12080.0 43.1 53.0 204 35.8 166 11990.0 46.9 51.8 190 38.3 149 118

5959

초기에 점 P에 위치한 질점은 도시된경로를 따라서 이동하여 일정 시간이 지난후에 위치 P’ 에 도착한다.이 시간 간격 동안의 점의 변위 는순수 위치 변위로 정의한다.

PR∆

QPP RRR ′−′=∆

2.14 Displacement of a Moving Point


QPP RRR ′−′=∆

는 순수 위치 변화이므로 점 P와 점 P’

사이에서 취한 특정 경로와는 상관이 없다.PR∆

6060

QPPQ RRR −=

QPPQ RRR ′−′=′

초기 순간 :

변형 후 :

두 점 간의 변위차 :

QPPQ RRR ∆∆∆ −=

[벡터 삼각형 에 해당]병진+회전 운동

PPP ′*

2.15 Displacement Difference b/w 2 Points


)()(

)()(

QPQP

QQPPPQ

RRRR

RRRRR

−−′−′=

−′−−′=∆

PQPQPQ RRR −′=∆

[벡터 삼각형 에 해당]PPQ ′′ *

오일러의 정리(Euler’s theorem) : 강체의 변위는 한 점(Q)의 순수 병진운동과 이 점을 중심으로 하는 강체의 순수

회전운동의 결과를 합한 것과 같다.병진운동의 결과로는 동일 강체에 있는 임의의 두 점 간의 변위가 발생하지 않는다.

6161

2.16 Rotation and Translation


병진(translation) :

강체에 있는 임의의 두 점 P와 Q의 변위차가 0이 되는 강체의 운동 상태

회전(rotation) :

강체에서 서로 다른 점들이 서로 다른 변위를 나타내는 운동 상태

QPQPPQ RRRRR ∆∆∆∆∆ =→=−= 0

6262

� 병진운동

• A점의 변위=B점의 변위=링크상의 모든 점의 변위

� 회전운동

• B점의 변위:

• 링크상의 모든 점의 변위는 다름

BBAA RR '' =

BAABBB RRR −= ''

병진, 회전, 복합운동


• 링크상의 모든 점의 변위는 다름

� 복합운동=병진성분+회전성분

• B점의 변위:

• A점에 대한 B점의 상대변위:

'''''' BBBBBB RRR +=

'''''' ABAAAB RRR +=→

6363

3 개의 물체물체 1 : 절대 기준좌표계 를

포함하는 고정 또는 정지 물체.물체 2 : 기준좌표계 가

적용되는 움직이는 물체.물체 3 : 물체 2에 대하여

이동 가능한 물체

111 zyx

222 zyx

2개의 관측자HE : 물체 1에 붙어 있는 관측자.

2.17 Apparent Displacement


SHE : 물체 2에 붙어 있는 관측자.

2/323 PPPRRR ∆∆∆ +=상대 변위식(apparent-displacement equation) :

두 관측자의 관측 내용의 관계

상대 변위 벡터는 움직이는 서로 다른 물체의 질점인 2 개의 일치점의절대 변위들의 관계를 맺어준다.

6464

•움직이는 점 의 절대 변위는

관측자가 절대좌표계에 부착된 상대 변위의 특별한 경우 이다.

1/3PR∆

•상대 변위를 물리적으로 깊게 이해하려면 절대 변위와의 관계에 대하여 알아야 함.예: 차도를 따라 이동하는 자동차 P3 을 이 차도 한쪽으로 얼마간 떨어져 있는

곳에서 절대 관측자가 관측하고 있다고 하자.이 관측자가 어떻게 이 자동차의 이동을 시각적으로 감지하는지 알아보자.

• HE는 이후의 모든 과정을 모를 수 있지만, 여기서 주안점은절대 관측자가 맨 먼저 점 P 과 일치하는 점 P 을 상상한다는 것인데,

2.18 Absolute Displacement


절대 관측자가 맨 먼저 점 P3 과 일치하는 점 P1 을 상상한다는 것인데, 이 점 P1 은 HE가 스스로 생각하기에 정지 상태라고 정의하는 점이므로,

• HE는 차도에 있는 고정점이나 근처에 있는 나무와 관계 있다고 할 수도 있다. 그런 다음, HE는 자동차 P3 에 대해 자신이 나중에 관측 결과를P1 에 대해 자신이 나중에 관측한 결과와 비교하여 변위를 감지한다.

HE는 자신의 위치와 비교하지 않고 초기 일치점 P1 과 비교한다는 사실이 중요함.

이 경우, 상대 변위식은 다음과 같은 항등식이 된다.0

1/313 PPPRRR ∆∆∆ +=

6565

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345])Kinematics of Machinery 2 Q R =4iˆ+4ˆj R =−3iˆ−10 ˆj P Q 점P 에서점Q 까지의위치차: R =R −R =−7ˆi−14ˆj=15.65∠243.4 QP Q P 2211 2.6 The Loop-Closure