32|Jurnal Sangkareang Mataram ISSN No.2355-9292

Volume 2, No. 3, September 2016 http://www.untb.ac.id

SOLUSI PERSAMAAN DIRAC DENGAN PSEUDOSPIN SIMETRI UNTUK POTENSIAL ROSENMORSE PLUS COULOMB LIKE TENSOR DENGAN MENGGUNAKAN METODE

POLYNOMIAL ROMANOVSKI

Oleh:Alpiana Hidayatulloh

Dosen Fakultas Teknik UNTB

AbstrakPenelitian ini bertujuan untuk menentukan energi dan fungsi gelombang dari persamaan Dirac untukpotensial Rosen Morse plus potensial tensor tipe coulomb untuk kasus spin symetri dan pseudo spin symetridengan menggunakan metode Polynomial Romanovski . Penyelesaian persamaan Dirac denganPolynomial Romanovski dilakukan dengan cara mereduksi persamaan differensial orde dua menjadipersamaan differensial tipe Hipergeometri melalui substitusi variabel dan fungsi gelombang yang sesuai.Dengan membandingkan persamaan differensial orde dua tipe Hipergeometri dengan persamaan differensialstandar untuk Polynomial Romanovski diperoleh persamaan energi relativistic dan fungsi bobot. Fungsigelombang relativistik diperoleh dari fungsi bobot dan dinyatakan dalam bnetuk polynomial romanovski.Karena hasil energinya tidak bisa diselesaikan secara analitik, maka energy relativistic diperoleh denganmetode numerik menggunakan Matlab 2011. Dan untuk kasus pseudospin symetri diperoleh energi yangselalu negatif

Kata-kata kunci: Persamaan Dirac, Potensial Rosen Morse, Pseudospin symetri, Coulomb like tensor,metode Polynomial Romanovski

PENDAHULUAN

Pada fisika partikel, persamaan diracmerupakan persamaan gelombang relativistik yangdiformulasikan oleh ahli ilmu fisika inggris pauldirac pada tahun 1928. Persamaan dirac selalumendiskripsikan partikel dinamik spin ½ padamekanika kuantum. Persamaan Pencarian solusiyang tepat dari persamaan Dirac dengan berbagaipotensi fisik memainkan peran penting dalam fisikanuklir dan bidang terkait lainnya. Denganmenggunakan metode yang berbeda, pencariansolusi yang tepat persamaan Dirac dengan potensialSpin dan pseudo berputar. Pada penelitiansebelumnya persamaan dirac diselesaikan secaraanalitis untuk beberapa potensial seperti jenispotensial seperti Woods – Saxon, Hulthen, Eckart,Hylleraas, dan Manning – Rosen. Dan berbagaimetode telah diadopsi untuk mencari solusi daripersamaan Dirac Metode ini termasuk metodefaktorisasi, metode aljabar , mekanika kuantummetode Supersymmetrik , metode iterasi asimtotik ,metode Nikiforov - Uvarov dan lain-lain.

METODE

b. Persamaan Dirac untuk Pseudospin Simetri

Persamaan Dirac digunakan untuk mendeskripsikanpartikel yang berspin ½ atau kelipatannya dalam

mekanika kuantum. Pada persamaan Dirac, untuk kasusspin simetri berlaku bahwa selisih antara potensial vektorV(r) dan potensial skalar S(r) adalah konstan danjumlahnya sama dengan potensial yang mempengaruhisistem sedangkan untuk kasus spseudospin simetriberlaku jumlah antara potensial vektor V(r) dan rpotensial skala S(r) adalah konstan dan selisihnya samadengan potensial yang mempengaruhi sistem.Persamaan Dirac untuk potensial vektor V(r) dan skalarS(r) dituliskan sebagai berikut:

(1) (1)

Dimana , , ,

(2)

Dengan adalah matrik tiga dimensi Pauli, I adalahmatriks identitas . Jika nilai . Dan spinDirac dituliska sebagai berikut:

(3)

Dimana adalah spin Dirac arah atas dan adalahspin Dirac arah bawah. adalah spin bola

harmonik dan adalah pseudospin simetri bolaharmonik.

ISSN No.2355-9292 Jurnal Sangkareang Mataram|33

http://www.untb.ac.id Volume 2, No. 3, September 2016

Dengan memasukkan persamaan (2) dan (3)didapatkan

(4)

(5)adalah komponen arah atas dan adalah

komponen arah bawah, sehingga kita mendapakanpersamaan spin simetri dan pseudopin simetri masing-masing dituliskan sebagai berikut:Untuk spin simetri

(6)Dan

(7)Dimana adalah komponen spinarah atas dan adalahkomponen spin arah bawah. Untuk spin symetrimemiliki dan merupakan potensialyang mempengaruhi sistem. Sedangkan pseudospinsimetri memiliki dan merupakanpotensial yang mempengaruhi system.

Metode penyelesaian persamaan diferensial orde duayang belum banyak diaplikasikan untuk penyelesaianpersamaan schrodinger adalah menggunakan polynomialRomanovski.Persamaan Schrodinger satu dimensi untuk potensialshape invariance dapat diubah menjadi persamaandiferensial orde dua fungsi Hipergeometri dengansubstitusi variabel yang sesuai. Bentuk dari PersamaanSchrodinger satu dimensi:

(8)

Persamaan tipe Hipergeometri yang diperoleh daripersamaan schrodinger (8) dengan substitusi variabelyang sesuai, dimana tipe umum persamaan Hipergeometriadalah:

(9)

Persamaan diferensial tipe Hipergeometri yang dapatdiselesaikan dengan menggunakan polynomialRomanovski yang mula-mula diusulkan oleh S.J Routhdan kemudian dikembangkan oleh Romanovski, pers

(10)

Dengan dan

DanDimana persamaan (10) adalah persamaan yang self-adjoint dan fungsi bobotnya dinyatakan sebagai w(x)memenuhi persamaan diferensial pearson yang disajikansebagai:

(11)

Fungsi bobot yang diperoleh dari penyelesaiandifferensial pada persamaan (11) adalah

(12)

Persamaan (12) diatas disusun dari persamaan rodriguesyang dinyatakan sebagai

(13)

Dengan nilai-nilai parameter pada persamaan (13) adalahdan dengan p >

0Dengan memasukkan nilai parameternya ke persamaan(13) maka didapatkan fungsi bobot, yaitu:

(14)Dengan memasukkan nilai , dan dan nilaiparameternya pada persamaan (12) maka didapatkanbentuk Persamaan diferensial polynomial Romanovski

(15)Dan untuk penyelesaian persamaan fungsi gelombangpada polynomial Romanovski adalah:

(16)Dengan memasukkan persamaan fungsi gelombang padapersamaan (14) kedalam persamaan (13) danmemasukkan nilai parameternya maka didapatkan fungsibobotnya yaitu:

(17)

HASIL DAN PEMBAHASAN

a. Persamaan Dirac untuk Potensial Rosen MorsePlus Coulomb Like Tensor Menggunakanpsudospin Simetri.

Dengan menggunakan persamaan (6) danmemasukkan potensial ( ) yang mempengaruhinya

dimana:

(18)Dengan U yang merupakan Coulomb like tensor dimana

(19)

(20)

34|Jurnal Sangkareang Mataram ISSN No.2355-9292

Volume 2, No. 3, September 2016 http://www.untb.ac.id

Dimana Dengan memasukkan nilai Maka

persamaan (20) menjadi

(21)Dengan melakukan permisalan maka persamaan (21)dengan

Maka persamaan (21) menjadi

(22)

b. Solusi Energi Persamaan Dirac denganMenggunakan Pseudospin Simetri untukPotential Rosen Morse dengan MetodePolynomial RomanovskiDengan menggunakan substitusi varibel pada

cot α maka didapatkan

Dengan memasukkan permisalan diatas makapersamaan (22) menjadi

(23)Kemudian penyelesaian secara umum fungsi

gelombang pada metode polynomial Romanovskipada persamaan (16) didefferensialkan orde pertamadan kedua, maka persamaan (23) menjadi

(24)Persamaan (24) didapatkan

(25)

Dari Persamaan (25) melakukan pemisahan dengankomponen yang mengandung z, sehingga didapatkan

(26)

(27)

Sehingga kita mendapatkan persamaan polynomialRomanovski

(28)Dari persamaan (25) didapatkan nilai

Dan yaitu

(29)

(30)Kemudian untuk mencari energi,denganmenggunakan persamaan (26), maka didapatkanpersamaan energi

(31)

Dengan memasukkan persamaan (29) kepersamaan(30) maka didapatkan nilai energy sebagai berikut

ISSN No.2355-9292 Jurnal Sangkareang Mataram|35

http://www.untb.ac.id Volume 2, No. 3, September 2016

(32)Dari persamaan (32) didapatkan nilai energy yangdihitung dengan menggunakan matlab, adapaunhasilnya dapat dilihat pada tabel dibawah ini

Tabel 1. Spektrum energi potensial Rosen morsetrigonometrik dengan Coulomb like tensoruntuk b=0.6, nu=1,M=3, Cs=5 dan q=1

Nl K<

0J = l+

1/2Enk > 0

H= 0Enk > 0H=0.5

0 0 -1 0s1/2 -1.996 -1.832

0 1 -2 0p3/2 -1.957 -1.983

0 2 -3 0d5/2 -1.875 -1.921

0 3 -4 0f7/2 -1.766 -1.823

1 0 -1 s1/2 -1.435 -1.483

1 1 -2 p3/2 -1.316 -1.378

1 2 -3 d5/2 -1.182 -1.250

1 3 -4 f7/2 -1.040 -1.999

2 0 -1 2s1/2 -1,040 -1,087

2 1 -2 2p3/2 -0,923 -0,985

2 2 -3 2d5/2 -0,788 -0,857

2 3 -4 2f7/2 -0,645 -0,717

Nl K>

0j = l-1/2

Enk>0H=0

Enk>0 ,H=0.5

0 0 0 0s1/2 -1.996 -1.832

0 1 1 0p3/2 -1.957 -1.983

0 2 2 0d5/2 -1.875 -1.921

0 3 3 0f7/2 -1.766 -1.823

1 0 0 s1/2 -1.435 -1.483

1 1 1 p3/2 -1.316 -1.378

1 2 2 d5/2 -1.182 -1.250

1 3 3 f7/2 -1,040 -0,967

2 0 0 2s1/2 -1,040 -0,985

2 1 1 2p3/2 -0,923 -0,857

2 2 2 2d5/2 -0,788 -0,717

2 3 3 2f7/2 -1,040 -0,572

Dari hasil energi pada tabel 1 kita bisamenggambarkan grafik energinya seperti dibawahini

Gambar 1a. Grafik energi untuk pseudospin simetriuntuk n=0,1 dan 2 dengan H=0

Gambar 1b. Grafik energi untuk pseudospin simetriuntuk n=0,1 dan 2 dengan H=0,5

PENUTUPPenyelesaian persamaan Dirac dengan

polinomial Romanovski dilakukan dengan caramereduksi persamaan differensial orde duamenjadi persamaan differensial tipe

36|Jurnal Sangkareang Mataram ISSN No.2355-9292

Volume 2, No. 3, September 2016 http://www.untb.ac.id

Hipergeometri melalui substitusi variabel dan fungsigelombang yang sesuai.Dengan membandingkanpersamaan differensial orde dua tipe Hipergeometridengan persamaan differensial standar untukPolynomial Romanovski diperoleh persamaan energirelativistik dan fungsi bobot. Fungsi gelombangrelativistik diperoleh dari fungsi bobot dandinyatakan dalam bentuk polynomial Romanovski.Karena hasil energinya tidak bisa diselesaikan secaraanalitik, maka energi relativistik diperoleh denganmetode numerik menggunakan Matlab 2011, untukkasus pseudospin simetri diperoleh energi yangselalu negatif

DAFTAR PUSTAKA

A.Suparmi, C.Cari and U.A. Deta, Exact Solution ofDirac Equation for Scarf Potential with NewTensor Coupling Potential for spin andPseudospin Symmetri Using RomanovskiPolynomial, diterima untuk dipublikasikanpada journal Chinese Physics B sebagai artikelno. 140287 akan dipublikasikan pada juli 2014hal 12.

A.suparmi,and C,Cari, Solution of Dirac Equation for q-Deformed Eckart Potential with Yukawa-typeTensor Interaction for Spin and PseudospinSymmetry Using Romanovski Polynomial,Atom Indonesia, vol.39, no.3,2013, hal 112-123.

A.Suparmi,C, Cari, at el, Approximate Solution ofSchrodinger Equation for Modified Posch-Teller plus Trigonometric Rosen-Morse Non-Central Potentials inTerm of FiniteRomanovski polynomial, IOSR Journal ofApplied Physics, vol.2,no.2, 2012,pp. 43-51.

Cari, Mekanika Kuantum-penyelesian potensial non-central dengan supersimteri, hypergeometri,Nikivarof Uvarof dan Polynomial Romanovski,UPT Penerbitan; Surakarta Jawa Tengah, 2013.

Cari, Suparmi, at al, Solution of Dirac Equtaion forCotangent Potential with Coulomb-type TensorInteraction for Spin and Pseudospin SymetriUsing Romanovski polynomial, makarajournal of science Vol.17, No.3, 2013. hal 93-102.

Suparmi, Mekanika Kuantum II, Jurusan Fisika FakultasMIPA Universitas Sebelas Maret; Surakarta,2011.

Taskin,Ferhat and Kocak,Gokhan, Spin SymmetricSolution of Dirac equation with Poschl-Teller potential, Chin.Physic.B,vol.20,N0.7,2011, hal.070302-5