3.2. Axonometria –

Műszaki rajzok

párhuzamos vetítéssel

Párhuzamos vetítések, axonometriák

• Kevésbé valószerű – de közeli, kis tárgyaknál . . .

• Affin transzformáció

• A képsíkra merőlegesen, vagy ferde szög alatt

• 4 „független” pont és képe meghatározza

Emlékeztető

• Műszaki rajzoknál

- egyezményes ábrázolási módok:

- könnyen szerkeszthető

- a szakemberek által megszokott,

- könnyen értelmezik

- méretek és arányok jól „leolvashatók”

• A műszaki rajzolónak szerkesztési eljárások

- a számítógéphez számítási eljárások

Merőleges vetítés koordináta-síkokra

„Számítások”:

a harmadik koordináta elhagyása

A

F

HEJ B

Kiegészítő nézet ferde síkra

• A test jellemző síkjával párhuzamos síkra• Forgatással és nyírással

visszavezethető a merőleges vetítésre• A nézetek szabványos egyesítése

Axonometriák

• Frontális axonometria• Izometria• Dimetria• Trimetria (olv)

• Affin mátrix,

4-4 független ponttal

Affin transzformációk mátrixának előállítása

• A tér egy affin transzformációját

4 „független” pont és képe

• A „határozatlan együtthatók” módszere

• Pl. (gyakran): a TKR „ölében ülő” téglatest

O = (0,0,0)

A = (a,0,0), B = (0,b,0), C = (0,0,c)

Kavalier perspektíva, frontális axonometria

• Előírások:- vetítés: párhuzamos, ferde szögben- az UV képsík | | a TKR XY „homloksíkjával” - X’ = U, Z’ = V; 1 : 1- Y’: 45 fokban hátrafelé; 1 : 2

• P’ = MM · P;

• MM = ( 1 t 0 0); |0 t 1 0| |0 -1 0 0| (0 0 0 1)

t = 2/4

A határozatlan együtthatók módszerével:

1. O = [0, 0, 0, 1]; O’ = [0, 0, 0, 1]; a képsíkban

2. X tengely (TKR) képe || U tengely (KKR):

A = [1, 0, 0, 1]; A’ = [1, 0, 0, 1]

3. Z tengely (TKR) képe || V tengely (KKR)

C = [0, 0, 1, 1], C’ = [0, 1, 0, 1]

4. Y tengely képe 450 -ban hátrafelé:

B = [0, 1, 0, 1]; B’ = [bu, bv, bw, 1];

bu = cos() / 2, bv = sin() / 2,

bw = +1 (vagy más !!!)

mik kiszámítása:

mik = ? : M (A B C O ) := (A’ B’ C’ O’)

= (m11 m12 m13 m14) ( 1 0 0 0 ) := ( 1 bu 0 0 ),

(m21 m22 m23 m24) | 0 1 0 0 | | 0 bv 1 0 |

(m31 m32 m33 m34) | 0 0 1 0 | | 0 1 0 0 |

( 0 0 0 1 ) ( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 )

mik kiszámítása:

mik = ? : M (A B C O ) := (A’ B’ C’ O’)

( m11+m14 m12+m14 m13+m14 m14 ) := ( 1 bu 0 0 ),

| m21+m24 m22+m24 m23+m24 m24 | | 0 bv 1 0 |

( m31+m34 m32+m34 m33+m34 m34 ) | 0 1 0 0 |

( 0 0 0 1 ) ( 1 1 1 1 )

M = ( 1 bu 0 0 ), bu = cos () / 2,

| 0 bv 1 0 | bv = sin () / 2,

| 0 1 0 0 | ( 0 0 0 1 ) = 450, esetleg 300.

Axonometria – tengelyméretes ábrázolás

• Párhuzamos, merőleges vetítés egy ferde állású képsíkra

• „tengelyméretes ábrázolás”:

előírás a tengelyirányú rövidülésekre

• (Egy d szakasz rövidülése: k = d’ / d = cos )

• A három tengelyirányú rövidülésre: k2 + l2 + m2 = 2

• Megőrzi a párhuzamosságot

és egy-egy irányban a szakaszok arányát

• Affin transzformációval számolható

Axonometria - a rajz szokásos elrendezése:

Y’X’

Z’

U

V

Izometria, egyméretű axonometria

• k = l = m = 2/3 = 0.82…; ( ~1 !)

• A tengelyirányú távolságok

jól érzékelhetőek

• A TKR egységkockáját

a csúcsára állítva

a képsíkra merőlegesen

• A tengelyek vetülete

egymástól 1200-ra

Izometria, egyméretű axonometria

• MM = ( m11 m12 m13 m14 )=

| m21 m22 m23 m24 |

| m31 m32 m33 m34 )

( 0 0 0 1 )

=( -t t 0 0 ) | -f/2 -f/2 f 0 | ( -h –h -h h ) ( 0 0 0 1 )

h = 3/3, f = 2/3, és t = 1/2

Levezetés: 4 független pont és képe:

{O A B C} {O’ A’ B’ C’}

0 1 0 0 0 –f f 0 0 0 1 0 0 –g –g h 0 0 0 1 m 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

a = OA = 1, AB = 2 f = AB/2 = 2/2,g = AB (3/2)/3,h = 2g;m = akármi, de 0

Dimetria

• k = l/2 = 0.47…, l = m = 0.94..; • Rajzolási szabály (jó közelítés):

X” balra lefelé 7/8 irányban Y” jobbra lefelé 1/8 irányban Z” fölfelé

az X méretek: 1:2 az Y és Z méretek: 1:1

• P’ = MM · P;

MM = ( -2/4 21/8 0 0 )

|-14/12 –2/12 8/3 0 | ( -7/3 –1/3 –1/3 1/3) ( 0 0 0 1 )

Trimetria (olv.)

• k, l, m: három különböző, rögzíthető érték

• P’ = M · P ; 3D 3D mozgás:

- O’ a T (a KKR origója) fölött,

- Z” = V tengely

- X’, Y’, Z’

a képsíkot P, Q, R-ben döfi

cos = k, cos = l, cos = m

szög alatt.

•M a határozatlan együtthatók

módszerével