3.2 线性微分方程的基本理论

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3.2 线性微分方程的基本理论

线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程，它的理论发展十分完善，本节将介绍它的基本理论 .


一、基本概念

及其各阶x

均为一次的 n 阶微分方程，

n 阶线性微分方程 :

我们将未知函数

n

n

dt

xd

dt

dx,,

1

1 11( ) ( ) ( ) ( )

n n

n nn n

d x d x dxa t a t a t x f t

dt dt dt

……

导数

称为 n 阶线性微分方程 .

它的一般形式为 :

)1.2.3(


式中 ( )f t a t b

上的连续函数。

),2,1)(( nitai

)1.2.3(

及是区间

n 阶线性齐次微分方程 :

如果 ( ) 0f t 式中的

则 (3.2.1) 变为 1

1 11( ) ( ) ( ) 0

n n

n nn n

d x d x dxa t a t a t x

dt dt dt

…… )2.2.3(

我们称以上方程为 n 阶线性齐次微分方程，简称齐线性方程 , （ 3.2.1 ）称非齐线性方程。


22 2 2

2

2

2

( ) 0

4 sin

d x dxt t t n xdt dt

d xx t

dt

上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程。

关于高阶方程同一阶方程一样 , 也有相类似的解的

存在惟一性定理 .


定理 3.1：如果 (3.2.1 ）的系数

( )( 1,2, , )ia t i n

及右端函数在区间上连续， ( )f t a t b

则对任一个及任意的 0 ( , )t a b

方程（ 3.2.1）存在惟一的解 ( )x t

满足下列初始条件 1

(1) ( 1)0 00 0 0 01

( ) ( )( ) , , ,

nn

n

d t d tt x x x

dt dt

)1(0

)1(00 ,, nxxx


引入

称 L 为线性微分算子 .

为常数 .

( ) ( )L cx cL x c

性质 3.2 1 2 1 2( ) ( ) ( )L x x L x L x

线性微分算子 :

性质3.1

xtadt

dxta

dt

xdta

dt

xdxL nnn

n

n

n

)()()(][ 11

1

1

tnn

nnt etatatataeLn )]()()()([][ 1

221

1

例如 :


二、齐次线性方程解的性质和结构

定理 3.2 (叠加原理 )

如果 1 2( ), ( ), , ( )nx t x t x t 是方程（ 3.2.2 ）的 n 个解，

则它的线性组合

也是方程（ 3.2.2 ）的解，这里 1, , nc c

)()()( 2211 txctxctxc nn

是常数 .


例 1 验证

1 2sin ,cos , ( ) sin cost t t c t c t

是方程的解 .

'' 0x x

''(sin ) sin 0t t ''(cos ) cos 0t t

'' '' ''1 2( ) ( ) [(sin ) sin ] [(cos ) cos ] 0t t c t t c t t

解 : 分别将

1 2sin ,cos , ( ) sin cost t t c t c t

代入方程 , 得

所以为方程的解 .


基本解组 : 如果方程（ 3.2.2 ）的任意一个解

都可以表示为 ,

( )t

1

( )n

i ii

c x t

是方程组（ 3.2.2 ）

则称 1 2( ), ( ), , ( )nx t x t x t

的基本解组。

线性相关 : 对定义在区间 (a, b) 上的函数组

1 2( ), ( ), , ( )nx t x t x t

如果存在不全为 0 的常数，使得

1, , nc c

1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0n nc x t c x t c x t


在 (a,b)上恒成立 , 称这些函数在所给的区间上线性相关，不然称这些函数线性无关 .

例 2: 函数

在任何区间上都是线性

无关的，因为如果

(3.2.5)

只有当所有的时才成立 .

nttt ,,,,1 2

),,1,0(0 nici

02210 n

ntctctcc


事实上 , 如果至少有一个

,0ic 则 (3.2.5)

式的左端是一个不高于 n 次的多项式，它最多可有 n 个不同的根 . 因此 , 它在所考虑的区间上不能有多于 n 个零点 , 更不可能恒为零 .

注 1 ：在函数中有一个函数1 2( ), ( ), , ( )kx t x t x t

等于零 , 则函数 1 2( ), ( ), , ( )kx t x t x t

在（ a,b）上线性相关。


注 2 ：考虑到两个函数构成的函数组

1 2( ), ( )x t x t

如果 1

2

( )

( )

x t

x t或 2

1

( )

( )

x t

x t

则在（ a,b）上线性无关的充要条件为

1

2

( )

( )

x t

x t 或 2

1

( )

( )

x t

x t在（ a,b）上不恒为常数 .

在 (a, b) 上有定义 ,

例3:

在任何区间上都线性无关 .

sin ,cost t

2 2cos ,1 sint t 在任何区间上都线性相关 .


注 3 ：函数组的线性相关与线性无关是依赖于所取

例 4: 函数

1 2( ) , ( )x t t x t t 在（，）上是线性

无关 , 而在

( ,0) 上是线性相关的 .

的区间。

事实上

),0( 和

.0,1

,0,1

)(

)(

2

1

t

t

tx

tx

在区间 ),( 上不是常数 , 分别在区间

),0( 和

( ,0)

上是常数 .


Wronskian 行列式 :

由定义在区间（ a, b ）上的

k 个 k-1次可微函数所作成的行列式

称为这些函数的 Wronskian 行列式 , 通常记做 ).(tW

1 2( ), ( ), , ( )kx t x t x t

)()()(

)()()(

)()()(

)](),(),([

)1()1(2

)1(1

21

21

21

txtxtx

txtxtx

txtxtx

txtxtxW

kk

kk

k

k

k


定理 3.3 如果函数组

1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t，在区间

(a, b) 上线性相关 , 则在 (a, b) 上它们的 Wronskian

证明 :

由假设知存在一组不全为零的常数 ,,,, 21 nccc

使得 ),(,0)()()( 2211 battxctxctxc nn

依次将此恒等式对 t 微分 , 得到 n 个恒等式 ,0)()()( 2211 txctxctxc nn

,0)()()( 2211 txctxctxc nn

行列式恒等于零 , 即

0)( tW .


,0)()()( )1()1(22

)1(11 txctxctxc n

nnnn

,

上述 n 个恒等式所组成的方程组是关于

nccc ,,, 21

的齐次方程组 , 它的系数行列式就是Wronskian行列式 , 由线性代数的知识知 , 要使方程组存在非零解 , 则必有 .0)( tW


0t

处不等于0,

即 0( ) 0W t , 则该函数组在区

间

注 : 定理 3.3的逆定理不一定成立 . 例

2

2

, 01 0, 0

0, 02 , 0

( ) {

( ) {

t tt

t

t t

x t

x t

推论 3.1

如果函数组 1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t，

的 Wronskian 行列式在区间（ a, b ）上某点

上线性无关。

),( ba


显然对所有的 t, 恒有

,0)](),([ 21 txtxW 但 )(),( 21 txtx

在 ),( 上线性无关 .

事实上 , 假设存在恒等式

,0)()( 2211 txctxc

则当 0t 时 , 有

,02 c 当 0t 时 , 有

,01 c

故 )(),( 21 txtx 在 ),( 上线性无关 .


定理 3.4 若函数组

1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t，是方程（ 3.2.2 ）

在区间（ a,b）上的 n 个线性无关的解 , 则它们的Wronskian 行列式

1 2[ ( ) ( ), , ( )]nW x t x t x t，

在该区间上任何点都不为零 .

证明 : 用反证法

假设有 ),,(0 bat .0)( 0 tW使得

考虑关于 nccc ,,, 21 的齐次线性代数方程组


.0)()()(

,0)()()(

,0)()()(

0)1(

0)1(

220)1(

11

0022011

0022011

txctxctxc

txctxctxc

txctxctxc

nnn

nn

nn

nn

其系数行列式 ,0)( 0 tW 故它有非零解 ,,,, 21 nccc

现以这组解构造函数),(),()()()( 2211 battxctxctxctx nn

由定理 3.2 知 ,

)(tx 是方程 (3.2.2) 的解 .

又因为


.0)()()()(

,0)()()()(

,0)()()()(

0)1(

0)1(

220)1(

110)1(

00220110

00220110

txctxctxctx

txctxctxctx

txctxctxctx

nnn

nnn

nn

nn

即这个解满足初始条件 .0)()()( 0)1(

00 txtxtx n

又 0)( tx 也是方程 (3.2.2) 满足初始条件的解 , 由解的惟一性

知 , ),(,0)()()()( 2211 battxctxctxctx nn

nccc ,,, 21 由不全为零 , 知矛盾 , 从而定理得证 .


使得它的 Wronskian 行列式

1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t，

在区间（ a,b）上的 n 个解。如果存在

1 0 0[ ( ), ( )] 0nW x t x t ……，

则该解组在（ a,b）上线性相关 .

推论 3.2 ：设

),,(0 bat

是方程 (3.2.2)

推论 3.3 方程（ 3.2.2 ）的 n个解

1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t，

在其定义区间（ a,b）上线性无关的充要条件是在

存在一点 0t 使得 1 0 0[ ( ), ( )] 0nW x t x t ……，该区间上


定理 3.5 n阶齐次线性方程组（ 3.2.2 ）一定存在 n个线性无关的解 .

下面几个定理给出了线性无关解组 , 基本解组 ,及通解的关系 .

证明 : 由定理 3.1 知 , 方程满足初始条件

.1)(,,0)(,0)(

,0)(,,1)(,0)(

,0)(,,0)(,1)(

0)1(

00

0)1(

20202

0)1(

10101

txtxtx

txtxtx

txtxtx

nnnn

n

n


的解一定存在 , 因为

,01)](,),(),([ 00201 txtxtxW n

所以这 n 个解一定线性无关 , 故定理得证 .

定理 3.6 如果是 n 阶齐次方程

1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t，

（ 3.2.2 ）的 n 个线性无关的解。则它一定是该方程的基本解组，即方程（ 3.2.2 ）的任一

解 ( )x t 都可以

表示成

n

iii txctx

1

).()(

证明 : 设

)(tx 是方程 (3.2.2) 的任一解 , 并且满足条件

.)(,,)(,)( )1(00

)1(0000

nn xtxxtxxtx


考虑方程组

).()()(

),()()(

),()()(

0)1(

0)1(

220)1(

11)1(

0

00220110

00220110

txctxctxcx

txctxctxcx

txctxctxcx

nnn

nnn

nn

nn

由于它的系数行列式是方程的 n 个线性无关解的

Wronskian 行列式在处的值 , 故它不为零 .

0t

因而上面的方程组有惟一解 ,,,, 21 nccc 现以这


组解构造函数

n

iii txct

1

).()( 由解的叠加原理

和惟一性定理得 ),()( txt 即

n

iii txctx

1

).()(

定理 3.7 ( 通解结构定理 )

1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t，若是方程（ 3.2.2）的 n 个线性无关的解，则方程的通解可以表示成

n

iii txctx

1

).()( 其中 1 2, , nc c c 是任意常数 .


综上得到下列等价命题 .

定理 3.8

1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t，是方程（ 3.2.2 ）的 n 个解，

设则下列命题等价 (1) 方程（ 3.2.2）的通解

为

n

iii txctx

1

).()(

(2) 是方程的基本解组 .

1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t，

(3) 在 (a,b)上线性无关 .

1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t，

(4) 存在 ),,(0 bat 使 .0)( 0 tW

(5) 任给 ),,( bat 有 .0)( tW


定理 3.9 (刘维尔公式 )

注 1 ：在内有一点为零，则在整个)(tW ),( ba ),( ba

上恒为零 .

设是（ 3.2.2）的任意 n 个解，

1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t，

是它的 Wronskian行列式，则对 (a,b)上任意

都有

)(tW

t

tdssatWtW

0

).)(exp()()( 10一点，

上述公式我们称为刘维尔 (Liouville) 公式 .


注 2 ：对二阶微分方程 '' '( ) ( ) 0x p x x q x x

若 1( )x t 是方程的一个解，则可得通解 .设是与不同解，则由刘维尔公式可以推得2 ( )x t

' '1 1 22

exp( ( ) )x x x x c p t dt 用乘以上式两端可得 2

1

1

x

22

1 1

( ) exp( ( ) )xd c

p t dtdt x x

)(1 tx


由此得 212

1 1

exp( ( ) )x c

p t dt dt cx x

取则1 0, 1c c

为另一个解，因为

1121

12 ))(exp(1

)( xcdtdttpx

xctx

dtdttpx

xx ))(exp(121

12

0))(exp()(2'

1'

21 dttpxx

xxtW

所以 1x 与 2x 线性无关 .


例 5 求方程的通解 .

2 '' '(1 ) 2 2 0t x tx x

解：易知为通解，所以 1x t

1 1 2 2

1 2[ exp( ) ]

1

tx x c c dt dt

x t

1 2 2[ ]

(1 )

dtt c c

t t

)11

1ln2(1

t

ttctc


三、非齐次线性方程解的结构

定理 3.10 n阶线性非齐次方程

1

1 11( ) ( ) ( ) ( )

n n

n nn n


dt dt dt

的通解等于它所对应的齐次方程的通解与

它的一个特解之和。

(3.2.10)


证明 : 设

*x 是方程（ 3.2.10) 的一个特解，

x~ 是方程（ 3.2.2) 的通解。首先我们证明

xxx ~* 是方程（ 3.2.10) 的解。事实上

],~[][]~[][ ** xLxLxxLxL

).(]~[,0][ * tfxLxL

所以 ),(]~[][ * tfxxLxL

xxx ~* 是方程（ 3.2.10) 的解。即


xxx ~* 是方程（ 3.2.10) 的通解。其次证

即证对于（ 3.2.10 ）的任意一解 ,x 总可以表示为

,~0* xxx

0~x其中是由 x~ 中的任意常数取

某一特定的值而得到的。事实上，因为

,0)()(][][][ ** tftfxLxLxxL

所以 0* ~xxx 是方程（ 3.2.2 ）的解，其中 0

~x

可由 x~ 中的任意常数取某一特定的值而得到。.~0

* xxx 于是


定理 3.11 设与分别是非齐次线性方程

1( )x t2 ( )x t

1

1 1 11( ) ( ) ( ) ( )

n n

n nn n


dt dt dt

和1

1 1 21( ) ( ) ( ) ( )

n n

n nn n


dt dt dt

的解，则是方程 1 2( ) ( )x t x t1

1 1 1 21( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n

n nn n

d x d x dxa t a t a t x f t f t

dt dt dt

的解。


证明：由已知可得

).()]([),()]([ 2211 tftxLtftxL

因为 ).()()]()([ 2121 tftftxtxL

所以 )()( 21 txtx 是方程 )()(][ 21 tftfxL

的解。


常数变易法求特解

1 2( ) ( ), , ( )nx t x t x t，是方程（ 3.2.2 ）的 n 个线性

设

无关的解，因而 (3.2.2) 的通解为)()()()( 2211 txctxctxctx nn (3.2.11)

为求 (3.2.1) 的一个特解 , 将 (3.2.11) 中的常数看成关于 t 的函数 , 此时 (3.2.11) 式变为

)()()()()()()( 2211 txtctxtctxtctx nn (3.2.12)

将 (3.2.12) 代入 (3.2.1) 得到一个

),(,),(),( 21 tctctc n

所满足的关系式 .


我们还需要另外 n-1 个条件来求出 ),(,),(),( 21 tctctc n

在理论上这些条件是任意给出的 , 为了运算的方便 ,

我们按下面的方法来给出这 n-1 个条件 .

对 (3.2.12) 式两边对 t 求导得

)()()()()()()( 2211 txtctxtctxtctx nn

).()()()()()( 2211 txtctxtctxtc nn

令 ,0)()()()()()( 2211 txtctxtctxtc nn

得到 ).()()()()()()( 2211 txtctxtctxtctx nn


对上式两边继续对 t 求导 , 并象上面的方法一样 ,

我们得到

,0)()()()()()( 2211 txtctxtctxtc nn

).()()()()()()( 2211 txtctxtctxtctx nn

继续上面的做法 , 直到获得第 n-1 个条件

,0)()()()()()( )2()2(22

)2(11 txtctxtctxtc n

nnnn

).()()()()()()( )1()1(22

)1(11

)1( txtctxtctxtctx nnn

nnn


).()()()()()()( )()(22

)(11

)( txtctxtctxtctx nnn

nnn

最后 , 将上式两边对 t 求导得

).()()()()()( )1()1(22

)1(11 txtctxtctxtc n

nnnn

将上面得到的 )1(,,, nxxx 代入 (3.2.10), 得到

).()()()()()()( )1()1(22

)1(11 tftxtctxtctxtc n

nnnn

由 n 个未知函数

),(,),(),( 21 tctctc n 所满足的方程组


).()()()()()()(

,0)()()()()()(

,0)()()()()()(

)1()1(22

)1(11

2211

2211

tftxtctxtctxtc

txtctxtctxtc

txtctxtctxtc

nnn

nn

nn

nn

该方程组的系数行列式恰好是 (3.2.2) 的 n 个线性无关解的 Wronskian 行列式 , 故它不等于零 , 因而该方程组有惟一解 .

由上面方程组求得 ).,,2,1()()( nidtttc iii


这样我们就得到了 (3.2.1) 的特解 .

从而 (3.2.1) 的通解为

n

i

n

iiiii dtttxtxtx

1 1

.)()()()(


例 6 求方程的通解，已知它的对应

'' 1

cosx x

t

齐次线性方程的两个解为 cos ,sint t

解：利用常数变易法，令 1 2( ) cos ( )sinx c t t c t t

将它带入方程，可得关于的方程 ' '1 2( ), ( )c t c t

' '1 2

' '1 2

cos ( ) sin ( ) 01

sin ( ) cos ( )cos

tc t tc t

tc t c tt


解得 '1( ) tanc t t '

2 ( ) 1c t

1 1( ) ln cosc t t r

于是原方程的通解为

1 2cos sin cos ln cos sinx r t r t t t t t

22 )( rttc

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