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3.2 简单的三角恒等变换. 问题 1 :已知 cos α =0.8 ,. ,计算:. 的值。. 思考:一般的,如何用 cos α 表示. 变式 1 :已知 cos α =0.8 , α 是第一象限角,计算:. 的值。. 变式 2 :已知 cos α =0.8 ,计算 的值。. 变式 3 :已知 sin α =0.8 , α 是第二象限的角,计算:. 的值。. 3.2 简单的三角恒等变换. 问题 2 :使用不同的方法计算: 的值。. - PowerPoint PPT Presentation
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3.2 简单的三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换问题 1 :已知 cosα=0.8 , 0
2
α ( , ),计算:
sin ,cos , tan2 2 2
α α α 的值。
思考:一般的,如何用 cosα表示 2 2 2sin ,cos , tan2 2 2
α α α?
变式 1 :已知 cosα=0.8 , α是第一象限角,计算:sin ,cos , tan
2 2 2
α α α的值。
变式 2 :已知 cosα=0.8 ,计算 的值。tan2
α
变式 3 :已知 sinα=0.8 , α是第二象限的角,计算:sin ,cos , tan
2 2 2
α α α 的值。
3.2 简单的三角恒等变换问题 2 :使用不同的方法计算: 的值。
sin 52.5 cos 7.5
1sin cos [sin( ) sin( )]
2α α α
1cos sin [sin( ) sin( )]
2α α α
1cos cos [cos( ) cos( )]
2α α α
1sin sin [cos( ) cos( )]
2α α α
乘积形式
和差形式
思考:根据上面的式子,利用 30° 、 45° 、 135° 、210° 等等特殊角,你能设计一个类似于“问题 2”的计算题吗?
3.2 简单的三角恒等变换1
sin cos [sin( ) sin( )]2
α α α
1cos sin [sin( ) sin( )]
2α α α
1cos cos [cos( ) cos( )]
2α α α
1sin sin [cos( ) cos( )]
2α α α
乘积形式
和差形式
思考:通过上面的式子,我们发现可以将两个角的正、余弦的“乘积”的形式转化成为“和差”的形式,那么能否将两个角的正、余弦的“和差”的形式转化成为“乘积”形式呢?如果能,怎么转化?
• 例 1 、求证:
2cos
2sin2sinsin
3.2 简单的三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换
4
α + = ,例 2 :若 求:(1 tan )(1 tan )α ( 的值。
三角恒等变换时应注意公式的变形:tan tan
tan( )1 tan tan
α α α
tan( )(1 tan tantan )tan α α α
tan1
tan
tta
n )n
(a
at n
α α
α
tan tantan( )
1 tan tan
α α α
tan( )(1 tan tantan )tan α α α
tan1
tan
tta
n )n
(a
at n
α α
α
例 3 、已知函数 f(x) = 2sinx(sinx- cosx) 。
( 1 )求 f(x) 的最小正周期和最大值;
( 2 )画出函数 y= f(x) 在区间 上的图象。
( 3 )指出函数 y= f(x) 是由函数 y= sinx经过怎样的变换得到的。
]2
,2
[
)sin(cossin 22 xbaxbxa
这里的 由2222
sin,cosba
b
ba
a
来确定!
3.2 简单的三角恒等变换
• 例 4 、如图,已知 OPQ是半径为 1 ,圆心
角为 的扇形, C是扇形弧上的动点, AB
CD是扇形的内接矩形。请问:矩形 ABCD
的最大面积是多少?
3
3.2 简单的三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换
1 cos cos sin21 cossin sin
2
例 5 、求证:
练习:已知 ,求 的值。tan 22
α sin ,cos , tanα α α
一般的,设 ,有:tan2
t
2
2 2 2
2 1 2sin ;cos ;tan
1 1 1
t t t
t t t
3.2 简单的三角恒等变换例 6 、求下列函数的值域:
2
2
2 2
sin 2 cos(1) ( ) ;
1 sin
(sin cos )(2) ( ) ;
2 2sin 2 cos 2
(3) ( ) 1 .
x xf x
x
x xf x
x x
f x x x x
综合应用:
例 7 、在锐角三角形 ABC中,已知 sin(A+B)= ,sin(A-B)= 。
( 1 )求证: tanA=2tanB;
( 2 )若 AB=3 ,求 AB边上的高。
1
5
3
5
综合应用:
例 8 、已知 (1 cos ,sin ), (1 cos ,sin ), (1,0),a b cα α
(0, ), ( , 2 ),a cα 与 的夹角为 θ1 ,b c
与 的夹角为 θ2 ,
且 θ1 -θ2 = ,求 的值。6
sin
2
α
综合应用:
综合应用: