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第四讲 离散图像变换. 3.2 二维离散余弦变换( DCT ). 离散余弦变换 DCT (Discrete Cosine Transform) 是图像数据压缩中常用的一个变换编码方法。 任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项 ,余弦变换是傅里叶变换的特例,余弦变换是简化傅里叶变换的重要方法。. 3.2.1 一维离散余弦变换( DCT ). 将一个信号通过对折延拓成实偶函数,然后进行傅里叶变换,我们就可用 2 N 点的 DFT 来产生 N 点的 DCT 。信号 f(n) 的离散余弦变换的定义式为: 式中. 3.2.2 二维离散余弦变换( DCT2 ). - PowerPoint PPT Presentation
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第四讲 离散图像变换
3.2 二维离散余弦变换( DCT ) 离散余弦变换 DCT (Discrete Cosine Transform) 是图像数据压缩中常用的一个变换编码方法。
任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项 ,余弦变换是傅里叶变换的特例,余弦变换是简化傅里叶变换的重要方法。
3.2.1 一维离散余弦变换( DCT ) 将一个信号通过对折延拓成实偶函数,然后进行傅里叶变换,我们就可用 2N点的 DFT 来产生N 点的 DCT 。信号 f(n) 的离散余弦变换的定义式为:
式中
1
0 2)12(cos)(2)()(
N
n Nknnf
NkCkF
11,1
0,2
1)(
Nk
kkC
3.2.2 二维离散余弦变换( DCT2 ) 二维信号同样可以推出它的离散余弦变换
DCT 逆变换为
这些函数被成为 DCT 的基本函数(图像)。一幅 8×8的图像,是由 64个基本图像的线性组合。
1
0
1
0
)21(cos)
21(cos),(2)()(),(
M
x
N
y
yvN
xuM
yxfMN
vCuCvuF
1
0
1
0
)21(cos)
21(cos),()()(2),(
N
v
M
u
yvN
xuM
vuFvCuCMN
yxf
% DCT coefficient function close all clear all M=8;N=8; figure, number=1; for u=1:1:M for v=1:1:N for i=1:1:M for j=1:1:N
f(i,j)=cos(pi/M.*(i+0.5).*(u-1)).*cos(pi/N.*(j+0.5).*(v-1));
end end I=mat2gray(f); subplot(M,N,number),imshow(I); number=number+1; end end
二维离散余弦变换的应用 DCT 的典型应用是进行数据压缩编码,可以进行图像数据压缩,目前的国际压缩标准 JPEG 的格式中就应用了 DCT 变换。 DCT 的 MATLAB 函数: dct2 , idct2 。 B=dct2(A); %A 是 M×N的矩阵, B是 A的 DCT 系数,大小为M×N。
close all clear all f = zeros(10,10); f(2:2,1:10) = 1;f(5:5,1:10) = 1;f(8:8,1:10) = 1; imshow(f,'notruesize') J = dct2(f) ; figure, imshow(log(abs(J)),[],'notruesize'),
J(abs(J)<0.5) = 0 K = idct2(J); figure, imshow(K,[],'notruesize')
J(abs(J)<1) = 0 K = idct2(J); figure, imshow(K,[],'notruesize')
f=imread('C:\MATLAB701\toolbox\images\icons\hand.gif');
imshow(f,'notruesize')
J = dct2(I); figure, imshow(log(abs(J)),[]), colormap(jet(64)),
colorbar
0246
J(abs(J)<0.03e+003) = 0 K = idct2(J); figure, imshow(K,[],'notruesize')
J(abs(J)<0.08e+003) = 0
看 MATLAB 中的 demo
3.3 二维离散沃尔什 -哈达玛变换( DHT ) 余弦型变换的基函数是余弦型函数。 沃尔什变换是由+ 1 或者- 1 的基本函数的级数展开而成的 ,它也满足完备正交特性 。由于沃尔什函数是二值正交函数,与数字逻辑中的二个状态相对应,因此它更适用于计算机技术、数字信号处理。
沃尔什函数有三种排列或编号方式,以哈达玛排列最便于快速计算,采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什 - 哈达玛变换,简称 WHT 或简称哈达玛变换。
3.3.1 哈达玛变换 我们定义元素仅由+ 1和- 1组成的正交方阵为哈达玛矩阵。所谓正交方阵,即指它的任意两行(或两列)都彼此正交,或者说它们对应元素之和为零。哈达玛变换要求图像的大小为 N= 2n。
最低阶的哈达玛矩阵为 :
高阶哈达玛矩阵可以通过如下方法求得:
1111
2H
2/2/
2/2/
NN
NNN HH
HHH
N = 4的哈达玛矩阵为 :
2130
1111111111111111
4
H
3.3.2 沃尔什变换 哈达玛变换矩阵,其列率的排列是无规则的。将无序的哈达玛核进行列率的排序,之后得到的有序的变换就成为沃尔什( Walsh )变换。如 N= 4时的矩阵:
3210
11111111
11111111
4
H
一维 Walsh 变换核为
二维沃尔什正变换和反变换为
1
01 )()(1
0)1(1),(
n
iini ubxbN
iNuxg
1
0
1
0
)]()()()([1
0
1
011
)1(),(1),(N
x
N
y
vbybubxbn
i
n
iiniini
yxfN
vuW
1
0
1
0
)]()()()([1
0
1
011
)1(),(1),(N
u
N
v
vbybubxbn
i
n
iiniini
vuWN
yxf
沃尔什变换在图像处理中的应用 例 1 :一个二维数字图像信号矩阵为
该图像的的二维 DWT : W=1/N2×GFG
例 2:一幅均匀分布的数字图像
该图像的的二维 DWT : W=1/N2×GFG
得到 W 后,可以通过公式 F=GWG 得到图像矩阵。
由此可看出,二维沃尔什变换具有能量集中的作用,而且,原始数据中数字越是均匀分布,经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。
因此,二维沃尔什变换可应用于图像压缩。
3.5 二维离散小波变换 近几年来,小波变换的数学理论和方法已经引起科学技术界的广泛兴趣和注意。 小波分析是一个数学分支,是泛函分析、傅立叶分析、数学分析的完美结晶。 小波变换在信号处理、图像处理、语音分析、模式识别、量子物理及众多非线性领域,在工具和方法上都有重大突破。
小波分析结合了三角函数系和 Haar 函数系的优点,满足了时频分析的要求。 三角函数在频域上是局部化的,但在时间域上没有局域性;而 Haar 函数在时间上是完全局部化,但在频域上的局部性很差。 小波由基小波构造,包含了平移和伸缩银子。 小波变换在实现上有 S.Mallat提出的快速算法。 S.Mallat提出的多分辨分析的概念,给出了小波构造的方法,并将小波变换应用于图像分解和重构,是小波变换理论上的一个突破性进展。
看 MATLAB 的 DEMO
小波变换在图像处理中的应用 图像压缩:压缩比很高。 图像增强:通过改变小波域中的某些系数的幅度,提升感兴趣的分量,而忽略不需要的东西。
图像融合:将两幅图像中,取各自幅度最大的系数进行组合,产生完美结果。