3.1 Reducerea sistemelor de forţe ce acţionează asupra ... · 3.1 Reducerea sistemelor de forţe ce acţionează asupra

39

III. STATICA RIGIDULUI

3.1 Reducerea sistemelor de forţe

ce acţionează asupra unui rigid

3.1.1 Proprietăţile forţelor aplicate corpului rigid În cazul corpurilor rigide (nedeformabile), studiate în mecanica

clasică, se poate dovedi experimental valabilitatea următoarelor propoziţii, după cum urmează :

a) Două forţe egale şi opuse F şi F- , având acelaşi suport AB, ce sunt aplicate unui corp rigid C în punctele A şi B, formează un sistem de forţe în echilibru. (fig.3.1a).

a. b.

Fig.3.1 Sistem de forţe în echilibru aplicat unui corp rigid

Forţele aplicate în punctele A şi B caută să deformeze corpul C ( în cazul prezentat în fig.3.1a, să-l alungească).

Producerea acestei deformări ar presupune ca distanţa dintre punctele A şi B ce aparţin rigidului să se modifice. Distanţa AB rămâne însă constantă deoarece corpul este rigid şi nedeformabil, rezultând astfel că efectul celor două forţe este nul, respectiv că ele constituie un sistem de forţe în echilibru.

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii

40

b) Oricărui sistem de forţe ce acţionează asupra unui corp rigid, i se poate adăuga un alt sistem de două forţe egale şi opuse, F şi F- , situate pe acelaşi suport, fără ca efectul asupra rigidului să se modifice .

Deoarece sistemul de două forţe egale şi opuse F şi F- situate pe acelaşi suport, aplicate în B şi B′ constituie, conform propoziţiei (a), un sistem de forţe în echilibru, rezultă că operaţia efectuată în fig.3.1b nu are nici un efect asupra rigidului C.

c) Orice forţă care acţionează asupra unui corp rigid, are caracter de vector alunecător, putând să-şi schimbe punctul de aplicaţie pe suportul ei, fără ca efectul asupra rigidului să se modifice.

Pentru a demonstra valabilitatea acestei propoziţii, se studiază un corp rigid C, (fig.3.2a), asupra căruia acţionează în punctul A o forţă F . Efectul produs de forţă asupra corpului este acela de a-l deplasa de-a lungul suportului forţei, în sensul ei de acţionare.

a. b. c.

Fig.3.2 Caracterul de vector alunecător al forţei

În punctul B, situat pe suportul forţei F , se introduc două forţe egale şi opuse F şi F- (fig.3.2b), care, conform celor demonstrate la pct.a, constituie un sistem echivalent nul. Deoarece corpul C este nedeformabil, distanţa dintre punctele A şi B rămâne constantă, iar efectul forţei F din A se anulează prin efectul forţei F- din B, astfel încât asupra corpului îşi va manifesta efectul doar forţa F rămasă în punctul B, (fig.3.2c).

Se poate afirma deci, că o forţa care acţionează asupra unui corp rigid are caracter de vector alunecător, deoarece poate să-şi schimbe

STATICA RIGIDULUI

41

punctul de aplicaţie pe suportul ei, fără ca efectul asupra rigidului să se modifice.

3.1.2 Momentul forţei în raport cu un punct şi în raport cu o axă

Noţiunea de moment al forţei ce acţionează asupra unui rigid a fost

introdusă atât din necesitatea de a determina efectul forţei respective asupra corpului rigid, cât şi pentru a defini complet forţa care, fiind un vector alunecător, nu poate fi definită doar prin proiecţiile ei.

3.1.2.1 Momentul forţei în raport cu un punct Se consideră o forţă F aplicată unui rigid C, în punctul A, fig.3.3. Momentul forţei F în raport cu un punct O este, prin definiţie: ( ) Fx OAFM o =

(3.1) iar dacă punctul O se ia în originea axelor de coordonate, se poate scrie:

( ) F x r FM o = (3.1′)

Fig.3.3 Momentul unei forţe în raport cu un punct

Momentul unei forţe în raport cu un punct este o mărime vectorială,

ce are : * punctul de aplicaţie în O, punct în raport cu care s-a calculat momentul forţei ; * modulul, calculat cu relaţia :


42

( ) d F ) = F,r (sin F x r FM o ⋅⋅=

(3.2) unde d este braţul forţei şi reprezintă distanţa de la punctul O la direcţia forţei; * direcţia, perpendiculară pe planul determinat de direcţia forţei şi punctul respectiv, O. * sensul, dat de regula şurubului ( sau burghiului drept ) şi anume : sensul de înaintare al unui şurub drept, aşezat în punctul O, (fig.3.4), perpendicular pe planul determinat de acest punct şi direcţia forţei F şi rotit în sensul în care îl antrenează această forţă.

Fig.3.4 Reprezentarea momentului unei forţei F în raport cu un punct

Expresia analitică a momentului unei forţe în raport cu un punct se deduce prin detalierea relaţiei de definiţie (3.1), ţinând seama că punctul de aplicaţie A al forţei are coordonatele carteziene x,y,z , iar forţa F are proiecţiile pe axe Fx = X , Fy = Y , Fz = Z :

k + (xY-yX)j + (zX-xZ)i (yZ-zY) Z X Y

z x y k j i

= F r)F(M o =×= (3.3)

unde :

STATICA RIGIDULUI

43

=(xY-yX) ; M= (zX-xZ) ; M (yZ-zY) M OzOyOx= (3.4) reprezintă proiecţiile pe axele sistemului de coordonate ale vectorului moment oM . Cu ajutorul acestor proiecţii se poate determina modulul (mărimea) vectorului moment: 222

OzOyOxo MMMM ++=

(3.5) şi unghiurile pe care vectorul moment le face cu axele sistemului de coordonate :

( ) ( ) ( )o

Ozo

o

Oo

o

Oxo M

Mk,McosM

yMj,Mcos

MMi,Mcos === ; ; (3.6)

În concluzie:

Momentul unei forţe în raport cu un punct exprimă capacitatea respectivei forţei de a roti un rigid în jurul unei drepte care trece prin punct şi este un vector perpendicular pe planul determinat de direcţia forţei şi punctul respectiv.

Unitatea de măsură în S.I a momentului forţei în raport cu un punct este : [ ( )FM o ]SI = N . m (3.7)

Momentul forţei în raport cu punct are următoarele proprietăţi :

a) Momentul unei forţe în raport cu un punct este nul dacă : * punctul în raport cu care se calculează momentul forţei, aparţine direcţiei forţei respective ;

* forţa este un vector coliniar cu vectorul de poziţie r ; * forţa este nulă . b) Momentul unei forţe în raport cu un punct nu se modifică dacă forţa se deplasează pe direcţia ei.


44

c) Momentul unei forţe în raport cu un punct fiind un vector legat, se modifică atunci când se schimbă poziţia punctului în raport cu care se calculează momentul .

3.1.2.2 Momentul forţei în raport cu o axă Se consideră o forţă F care acţionează asupra unui rigid C în

punctul A şi o axă (Δ) având versorul u , (fig.3.5). Prin definiţie, momentul forţei F în raport cu axa (Δ), reprezintă

proiecţia pe axa (Δ) a momentului forţei în raport cu un punct oarecare O de pe axă, adică este :

( ) uFxruFMMFM oo ⋅=⋅=⋅=Δ )(cos)( 1α (3.8)

Fig.3.5 Momentul unei forţe în raport cu o axă

Momentul unei forţe în raport cu o axă, fiind exprimat printr-un produs mixt, este o mărime scalară, ce are următoarele proprietăţi :

* Momentul unei forţe în raport cu o axă este nul atunci când forţa şi axa sunt coplanare (în particular , concurente ori confundate) ;

STATICA RIGIDULUI

45

* Momentul unei forţe în raport cu o axă nu se schimbă atunci când forţa se deplasează în lungul suportului ei;

* Două forţe egale şi de sens contrar, situate pe acelaşi suport, au în raport cu o axă momente egale în valoare absolută , dar de semne contrare.

Expresiile analitice ale momentului unei forţe în raport cu axele Ox, Oy, Oz, se deduc din relaţia de definiţie (3.8) :

k)F x OA()F( ; Mj)F x OA()F( ; Mi)F x OA()F(M OzOyOx ⋅=⋅=⋅= (3.9)

De asemenea, ţinând seama de relaţiile (3.3) şi (3.4), se poate scrie:

X)Y-y)=(xF(Z); MX-x)= (zF(Y); MZ-z (y)F(M OzOyOx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= (3.10) în care: x,y,z sunt coordonatele carteziene ale punctului A de aplicaţie al forţei, iar X= Fx , Y = Fy , Z= Fz , proiecţiile pe axe ale forţei F .

3.1.3 Teorema momentelor ( Teorema lui Varignon )

Se consideră forţele ni F, ... , F, ... , F,F 21 concurente în punctul A de vector de poziţie r ,(fig.3.6), şi a căror rezultantă este R .

nF ... FFR +++= 21 (3.11)

Fig.3.6 Teorema momentelor: sistemul de forţe concurente

Momentul acestor forţe în raport cu punctul O se obţine înmulţind

vectorial relaţia (3.11) cu r :


46

F x r ... F x rF x rR x r n+++= 21 (3.12)

adică, ţinând seama de relaţia (3.1), de definiţie a momentului unei forţe în raport cu un punct, rezultă :

)F(M...)F(M)F(M)R(M noooo +++= 21 (3.13)

Momentul aceloraşi forţe în raport cu axa (Δ) ce trece prin punctul O, (fig.3.6), se calculează înmulţind scalar relaţia (3.12) cu versorul u şi se obţine:

)(...)()()(

,)(...)()()(

n21

n21

FMFMFMRM

uF ruFruFruRr

ΔΔΔΔ +++=

⋅++⋅+⋅=⋅

sau x x x x

(3.14)

Relaţiile (3.13) şi (3.14) reprezintă teorema momentelor (teorema lui Varignon), care se enunţă astfel :

* Momentul rezultantei unui sistem de forţe, în raport cu un punct, este egal cu suma vectorială a momentelor forţelor componente, calculate în raport cu acelaşi punct (relaţia 3.13). * Momentul rezultantei unui sistem de forţe, în raport cu o axă, este egal cu suma algebrică a momentelor forţelor componente, calculate faţă de aceeaşi axă (relaţia 3.14).

3.1.4 Cupluri de forţe. Reducerea cuplurilor Prin definiţie un cuplu de forţe, (fig.3.7), este un sistem alcătuit din

două forţe de module egale şi de sensuri contrare, situate pe suporturi paralele. Un cuplu aplicat unui corp rigid, caută să-l rotească în jurul unei axe perpendiculare pe planul determinat de suporturile celor două forţe.

STATICA RIGIDULUI

47

Fig.3.7 Cuplu de forţe. Proprietăţile cuplului

Principalele proprietăţi caracteristice unui cuplu de forţe sunt :

* Proiecţia unui cuplu pe orice axă este nulă. Această proprietate se demonstrează considerând o axă oarecare (Δ) de versor u , caz în care se poate scrie : ∑ =⋅−+⋅=−Δ 0u)F(uF)F,F(pr (3.15) * Rezultanta forţelor unui cuplu este egală cu zero: 0=−+= )F(FR (3.16)

• Momentul unui cuplu este un vector liber, egal cu suma momentelor forţelor ce alcătuiesc cuplul, în raport cu oricare punct O din spaţiu.

Pentru a demonstra această proprietate, se consideră cuplul )F;F( − care acţionează în planul (P), (fig.3.7) , şi se calculează momentul în raport cu un punct O, oarecare în spaţiu:

F x ABF) x OAOB( )F x (-OAF x OBM o =−=+= (3.17)

Aşa cum rezultă şi din relaţia (3.17), momentul unui cuplu se poate calcula şi ca moment al uneia dintre forţele cuplului, în raport cu punctul de aplicaţie al celeilalte forţe. Deoarece în relaţia (3.17) oM nu depinde de punctul faţă de care a fost calculat, rezultă că momentul cuplului este


48

un vector liber. Vectorul moment al cuplului este perpendicular pe planul (P) definit de direcţiile forţelor cuplului, are sensul stabilit cu regula şurubului drept, iar modulul său este: d FM o ⋅=

(3.18) unde d reprezintă distanţa dintre suporturile forţelor, numită braţul cuplului. Din cele prezentate, rezultă şi următoarele proprietăţi ale cuplurilor de forţe ce acţionează asupra unui rigid: 1. Un cuplu poate fi rotit şi deplasat în planul său fără ca efectul asupra corpului să se schimbe. 2. Un cuplu de forţe )F;F( − şi braţ d poate fi înlocuit cu un alt cuplu

)F;F( 1− 1 de braţ d1, cu condiţia ca :

1

11

1 FFd d

ddFF == sau

(3.19) 3. Un cuplu poate fi deplasat din planul său, într-un plan paralel, fără ca efectul său asupra corpului să se modifice, deoarece momentele celor două cupluri sunt vectori liberi şi egali. Reducerea cuplurilor este operaţia prin care două sau mai multe cupluri se înlocuiesc printr-un singur cuplu, care are asupra corpului rigid acelaşi efect, rezolvarea problemei constând astfel, în determinarea unui cuplu echivalent cuplurilor iniţiale. Două cupluri se numesc echivalente dacă au asupra unui rigid acelaşi efect, adică au acelaşi moment.

În cele ce urmează se va trata problema determinării cuplurilor echivalente pentru cazurile de cupluri coplanare, respectiv cupluri oarecare în spaţiu.

a)Reducerea cuplurilor coplanare

Se consideră corpul (C) asupra căruia acţionează un sistem de cupluri coplanare ( ) , ..., n , i=F, F ii 1 − situate în planul (P), (fig.3.8).

STATICA RIGIDULUI

49

∑=

=n

1iiMM

Fig.3.8 Sistem de cupluri coplanare. Determinarea cuplului echivalent

Momentele cuplurilor fiind vectori liberi, se pot reprezenta într-un punct oarecare O, ce aparţine planului (P).

Astfel, în punctul O se va obţine un sistem de vectori moment coliniari, dirijaţi după normala la plan. Momentul rezultant va avea aceeaşi direcţie, iar modulul său va fi egal cu suma algebrică a momentelor cuplurilor componente, adică :

∑=

=n

iiMM

1

(3.20) Rezultă deci că un sistem de cupluri coplanare este echivalent cu

un singur cuplu, al cărui moment are modulul egal cu suma algebrică a momentelor cuplurilor componente.

b. Reducerea cuplurilor oarecare în spaţiu

Se consideră corpul (C) asupra căruia acţionează un sistem de cupluri în spaţiu ( ) , ..., n1 , i=F, F ii − , (fig.3.9). Momentele cuplurilor fiind vectori liberi, se pot reprezenta într-un punct oarecare O .


50

M Mii

n=

=∑

1

Fig.3.9 Sistem de cupluri oarecare. Determinarea cuplului echivalent

În punctul O se va obţine un sistem de vectori moment concurenţi care se pot reduce la un moment rezultant, egal cu suma vectorială a momentelor cuplurilor componente, adică :

∑=

=n

iiMM

1

(3.21)

Rezultă că un sistem de cupluri oarecare în spaţiu este echivalent cu un singur cuplu al cărui moment este egal cu suma vectorială a momentelor cuplurilor componente.

3.1.5 Reducerea sistemelor de forţe oarecare 3.1.5.1 Reducerea unei forţe aplicată într-un punct al unui rigid. Torsor de reducere Se consideră un corp rigid (C) acţionat în punctul A de o forţă F

(fig.3.10a). Prin operaţia de reducere a forţei F într-un punct O al rigidului, se înţelege determinarea elementelor mecanice echivalente cu această forţă, aplicate în punctul de reducere .

Conform operaţiilor elementare de echivalenţă, în punctul O se poate introduce sistemul de forţe ) F;F( − ,(fig.3.10b), acesta fiind un sistem echivalent nul.

Forţa F din A şi - F din O, fiind egale, de sens contrar şi situate pe suporturi paralele, formează un cuplu al cărui moment este :

STATICA RIGIDULUI

51

FxrM Ao = (3.22)

a. b. c.

Fig.3.10 Reducerea unei forţe aplicată într-un punct al unui rigid

În final, (fig.3.10c), rezultă că în urma efectuării operaţiei de reducere, asupra corpului rigid (C) va acţiona forţa F şi momentul oM , ambii vectori având punctul de aplicaţie în O, în raport cu care s-a făcut reducerea forţei F .

Ansamblul acestor două elemente mecanice din punctul O, forţa F şi momentul oM , alcătuiesc torsorul de reducere în punctul O al forţei F aplicată în punctul A şi se notează simbolic : )M,F()F( o=oτ (3.23)

Torsorul de reducere în raport cu punctul O, exprimă efectul mecanic exercitat de forţa F aplicată în punctul A , fiind scris sub forma :

⎪⎩

⎪⎨⎧

×= o

FrM

F

Aoτ

(3.24)

Dacă reducerea forţei F se efectuează în raport cu un alt punct, de exemplu punctul O′, ( fig.3.11), se obţine torsorul de reducere :


52

( ) =

o⎪⎩

⎪⎨⎧

′−=×′−×′=′′

FxOOMFOOOAFAOM

F

ooτ (3.25)

Fig.3.11 Schimbarea reperului torsorului de reducere al unei forţe În relaţia (3.25) se remarcă faptul că, în raport cu poziţia punctului în

care se efectuează reducerea, torsorul de reducere îşi modifică doar momentul iar rezultanta rămâne neschimbată.

3.1.5.2 Reducerea unui sistem de forţe aplicat unui rigid.

Torsor de reducere al sistemului de forţe. Invarianţi ai torsorului de reducere

Se consideră corpul rigid (C) acţionat în punctele A1, A2,…,Ai,…,An de

forţele ni F, ... , F, ... , F, F 21 , ( fig.3.12a ). Se cere calcularea efectului mecanic produs în punctul O de

acţiunea simultană a tuturor forţelor din sistemul dat. Rezolvarea problemei constă în reducerea în punctul O, succesiv, a

tuturor forţelor sistemului, procedând pentru fiecare forţă din sistem aşa cum s-a prezentat în paragraful anterior.

În punctul O se obţin astfel două sisteme de vectori concurenţi, reprezentaţi în fig.3.12b :

STATICA RIGIDULUI

53

- forţele ni F, ... , F, ... , F, F 21 , echipolente cu forţele sistemului iniţial ce au fost aplicate în punctele Ai; - momentele ni M, ... , M, ... , M, M 21 , având expresiile :

nnn222111 FrM ; ... ;FrM ;FrM ×=×=×= (3.26)

a. b. c.

Fig.3.12 Reducerea unui sistem de forţe oarecare aplicat unui rigid Însumând vectorii concurenţi din fiecare sistem în parte, se obţin în

final, (fig.3.12c), elementele torsorului de reducere în O a sistemului de forţe dat, adică forţa rezultantă R şi momentul oM :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

×==++=

=++=

∑ ∑

∑

= =

=n

1i

n

1iiiin21o

n

1iin21

o

)Fr(MM ... +MMM

;FF ... +FFRτ (3.27)

Dacă reducerea sistemului de forţe dat se efectuează în alt punct, de exemplu O′,(fig.3.13a) , procedând în mod analog se obţine torsorul de reducere o′τ aferent, reprezentat în fig.3.13b.


54

a. b.

Fig.3.13 Schimbarea reperului torsorului de reducere al unui sistem de forţe Elementele mecanice ale torsorului de reducere o′τ sunt:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

×′=′=′+′+′=

=++=

∑ ∑

∑

= =′

=′ n

1i

n

1iiiin21o

n

1iin21

o

)Fr(MM ... +MMM

;FF ... +FFRτ

(3.28)

Cum momentul faţă de punctul O′ se calculează cu relaţia : R OOMM oo ×′−=′ (3.29) torsorul de reducere în punctul O′ în funcţie de elementele torsorului de reducere în punctul O este :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

×′−=

=

′

=′∑

R OOM M

;FRτ

oo

n

1ii

o

(3.30)

Din relaţiile (3.27) , (3.30) se deduce că în raport cu puncte diferite de reducere, rezultanta rămâne aceeaşi, adică rezultanta este un invariant al operaţiei de reducere al unui sistem de forţe într-un punct, dar momentul rezultant se modifică odată cu schimbarea punctului de reducere. Dacă relaţia (3.30)se înmulţeşte scalar cu R , se obţine:

STATICA RIGIDULUI

55

)R OO(RMR MR oo ×′⋅−⋅=⋅ ′ (3.31)

Deoarece în (3.31) produsul mixt având doi dintre termeni coliniari este nul, rezultă că:

.constcos M= R cos MR

const.MR MR

oo

oo

=⋅⋅=⋅=⋅

′

′

αβ

(3.32)

Exprimând analitic vectorii din relaţia (3.32) , adică : şi kMjMiMM kRjRiRR ozoyoxozyx ++=++= , rezultă că

const.MRMRMR ozzoyyoxx =⋅+⋅+⋅ (3.33) Expresia (3.33) se numeşte trinom invariant, această mărime fiind al doilea invariant al operaţiei de reducere în raport cu puncte diferite ale unui sistem de forţe.

Împărţind relaţia (3.32) cu R = R , se obţine :

MO cos α = MO′ cos β = MR = const. (3.34)

sau, ţinând seama că MR reprezintă proiecţia momentului pe direcţia rezultantei:

222zyx

ozzoyyoxxooRoR

RRR

MRMRMR

RRM

RRMuMM

++

++=

⋅=⋅=⋅= (3.35)

ceea ce înseamnă că proiecţia momentului pe direcţia rezultantei este tot un invariant al operaţiei de reducere, această mărime fiind obţinută ca raport între două mărimi invariante (trinomul invariant şi modulul rezultantei). Comparând însă relaţiile (3.33) şi (3.35), se observă că trinomul invariant şi proiecţia momentului pe direcţia rezultantei nu sunt două mărimi independente, rezultând că la reducerea într-un punct al unui sistem de forţe există doi invarianţi: R şi ). M (MR Ro sau⋅

3.1.5.3 Torsor minimal. Axa centrală


56

Efectuând reducerea sistemului de forţe în diferite puncte ale rigidului, se constată că torsorul de reducere este diferit doar datorită modificării momentului, rezultanta fiind o mărime invariantă.

Dacă momentul rezultant oM se descompune după direcţia rezultantei şi după o direcţie perpendiculară pe aceasta, se obţin componentele NR M M şi reprezentate în fig.3.14a.

a. b.

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=

= ∑

Rminmin

imin

u MM

FR τ

Fig.3.14 Componentele torsorului de reducere (a). Torsor minimal (b) Cum componenta RM este o mărime invariantă, rezultă că variaţia

momentului se datorează doar mărimii NM care, în funcţie de poziţia punctului de reducere, poate lua orice valoare, cea mai mică dintre ele fiind cea nulă.

În această situaţie, direcţia momentului oM va coincide cu direcţia rezultantei R (fig.3.14b)şi, totodată, momentul oM va avea valoarea cea mai mică posibilă numindu-se, de aceea, moment minimal.

Torsorul de reducere obţinut în acest caz, alcătuit din rezultanta R şi momentul minim min mino M M sau coliniar cu rezultanta, se numeşte torsor minimal şi se notează :

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=

= ∑

Rminmin

imin

u MM

FR τ

(3.36)

STATICA RIGIDULUI

57

Locul geometric al punctelor în raport cu care sistemul de forţe se reduce la un torsor minimal este o dreaptă care se numeşte axă centrală.

Pentru determinarea ecuaţiei axei centrale, se consideră că sistemul de forţe se reduce în punctul O la torsorul de reducere )M,R( ooτ , respectiv într-un punct P presupus ca aparţinând axei centrale, la torsorul minimal )M,R( minminτ , cu elementele reprezentate în fig.3.15.

)M,R( ooτ

)M,R()M,R( minminPP ττ =

Fig.3.15 Determinarea ecuaţiei axei centrale

Conform relaţiei (3.30), momentul torsorului minimal, PM , este :

zyx

ozoyoxoP

R R R zy x

k j i kMjMiMR x OPMM −++=−= (3.37)

Din condiţia de coliniaritate a vectorilor R şi PM , adică :


58

zRy Rx Rzy x k j i

zozMjoyMioxM λ kzRjyRixR

, MλR P

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−++=++

= : rezultă

(3.38)

respectiv : Rx = λ [ M ox - (y Rz -z Ry)]

Ry = λ [ M oy - (z Rx -x Rz)] (3.38′)

Rz = λ [ M oz - (x Ry -y Rx)]

sau :

z

xyoz

y

zxoy

x

yzox

R)y R(x RM

R)x R(z RM

R)z R(y RM −−

=−−

=−−

(3.39)

Cele trei rapoarte din relaţia (3.39), luate două câte două, reprezintă ecuaţiile a două plane intersectate după dreapta numită axa centrală.

3.1.6 Sisteme echivalente. Cazuri de reducere ale unui sistem de forţe oarecare Prin efectuarea operaţiei de reducere a unui sistem de forţe

oarecare într-un punct O, se obţine torsorul de reducere; acestuia, i se poate asocia un sistem de forţe mai simplu decât sistemul iniţial şi care se numeşte sistem echivalent, având în orice punct acelaşi torsor cu sistemul dat. Se pot distinge următoarele cazuri de reducere:

STATICA RIGIDULUI

59

Cazul I : ;R o M , 00 == Deoarece torsorul de reducere este nul, sistemul de forţe se numeşte

echivalent cu zero, fiind echivalent totodată cu orice sistem de forţe ce are torsorul nul. Forţele acestui sistem sunt în echilibru, iar un corp rigid acţionat de un astfel de sistem se află, de asemenea, în echilibru.

Cazul II : 0R = ; 0M0 ≠

Torsorul de reducere este alcătuit doar din momentul oM (fig.3.16a), rezultanta fiind nulă. Sistemul de forţe ce are faţă de un punct O un astfel de torsor de reducere, este echivalent cu orice cuplu al cărui moment coincide cu oM şi care acţionează într-un plan (P), perpendicular pe momentul oM (fig.3.16b).

a. b.

Fig.3.16 Sisteme echivalente. Cazul de reducere 0M , 0R o ≠=

Cazul III : ;0M , 0R o =≠ Torsorul de reducere constă doar în rezultanta R , sistemul de forţe

dat fiind echivalent cu o forţă unică R , aplicată în punctul O.

Cazul IV : , 0M , 0R o ≠≠ în care pot apare situaţiile :

a) 0=⋅ oMR , adică vectorii sunt ortogonali (fig.3.17a). Pentru a determina sistemul echivalent celui dat, se introduc forţele

R şi - R într-un punct O1 din planul (P), plan care conţine rezultanta R şi este perpendicular pe direcţia momentului oM (fig.3.17b).


60

a. b. Fig.3.17 Sisteme echivalente. Cazul de reducere 0=⋅ oMR

Dacă distanţa d dintre direcţiile vectorilor R şi - R se alege astfel

încât:

R

Md

o=

(3.40) atunci vectorii R din O şi - R din O1 alcătuiesc un cuplu ( R ,- R ) de moment (- oM ) care anulează momentul oM al torsorului.

Sistemul dat este deci echivalent cu forţa unică R din O1, direcţia ei fiind şi axa centrală a sistemului, deoarece pe această direcţie momentul are valoarea minimă (care în acest caz, este zero).

b) 0≠⋅ oMR , adică cei doi vectori, rezultanta şi momentul, fac

între ei un unghi 2πα ≠ , ca în fig.3.18a.

Sistemul de forţe poate fi înlocuit cu torsorul minimal (fiind echivalent cu acesta), aplicat pe axa centrală, ( fig.3.18b ): o forţă R şi un cuplu alcătuit din forţele F şi - F care acţionează în planul (P) normal pe axa centrală , astfel ales încât momentul acestui cuplu să fie egal cu .minM

STATICA RIGIDULUI

61

a. b.

Fig.3.18 Sisteme echivalente. Cazul de reducere 0≠⋅ oMR

Distanţa d dintre forţele F şi - F se calculează cu relaţia :

F

Md

.min=

(3.41)

rezultată din condiţia de egalitate a momentului oM al sistemului iniţial şi momentul cuplului ( F ; - F ) al sistemului echivalent. Se remarcă faptul că în cazul de reducere , 0M , 0R o ≠≠ sistemul echivalent care se obţine este dependent de valoarea produsului scalar dintre aceşti vectori, respectiv de unghiul dintre direcţiile lor.

3.1.7 Reducerea sistemelor de forţe particulare


62

3.1.7.1 Reducerea sistemelor de forţe cu direcţiile concurente

Se consideră corpul (C) asupra căruia acţionează sistemul de forţe cu direcţiile concurente într-un punct oarecare O, ce poate fi ales şi ca punct de reducere (fig.3.19).

Elementele torsorului de reducere în O sunt rezultanta ∑= iFR şi

momentul 0FrM iio ∑ =×= , astfel că torsorul τ0 coincide cu torsorul

minimal ( τ0 ≡ τmin ) şi deci, axa centrală reprezintă şi direcţia (suportul) rezultantei .

Fig.3.19 Reducerea sistemelor de forţe cu direcţiile concurente

Dacă reducerea se efectuează într-un alt punct , O1 , se obţine torsorul τo1

format din rezultanta R şi momentul R OOM 1o1 ×= ,

perpendiculare între ele. Din condiţia generală de perpendicularitate a elementelor torsorului, 0MR o =⋅ , rezultă următoarele două cazuri posibile : Cazul I: 0R = , 0M; o = , caz în care sistemul de forţe dat este în echilibru. Cazul II: 0M ; 0R o =≠ , când sistemul de forţe se reduce la o rezultantă unică, situată pe axa centrală.

3.1.7.2 Reducerea sistemelor de forţe cu direcţiile coplanare

STATICA RIGIDULUI

63

Se consideră un corp rigid (C) asupra căruia acţionează în punctele

Ai (i=1,2,… n) sistemul de forţe coplanare ..., n,2,1 i;) F( i = (fig.3.20). Ca plan Oxy se alege planul în care acţionează forţele. În această situaţie, rezultanta sistemului se obţine din cazul general

(3.33), considerând : z = 0 ; Rz = 0

(3.42)

şi observând totodată că :

Mox = Moy = 0 (3.42′)

Fig.3.20 Reducerea sistemelor de forţe cu direcţiile coplanare Deoarece :

kMM

jRiRR

ozo

yx

=

+=

(3.43)

rezultă că trinomul invariant 0MRMRMRMR ozzoyyoxxo =++=⋅ .

Fiindcă momentul rezultant oM este perpendicular pe planul în care acţionează forţele, un sistem de forţe coplanare nu poate fi niciodată


64

echivalent cu un torsor minimal complet (când momentul şi rezultanta ar trebui să fie coliniare).

Rezultanta este situată pe axa centrală, a cărei ecuaţie se obţine

din relaţia (3.39) ţinând seama de relaţiile (3.43) :

0

)y R(x RMR0

R0 xyoz

yx

−−== (3.44)

şi deci, ecuaţia direcţiei rezultantei sistemului este : x Ry - y Rx = Moz (3.44′)

Pentru sistemele de forţe cu direcţiile coplanare rezultă următoarele patru cazuri posibile de reducere:

Cazul I : 0R = , 0M; o = , caz în care sistemul de forţe este în echilibru.

Cazul II : 0M ; 0R o ≠= , în care sistemul de forţe dat se reduce la un cuplu coplanar cu sistemul iniţial şi caracterizat prin momentul oM ce are direcţia perpendiculară pe planul comun sistemului de forţe.

Cazul III : 0M ; 0R o =≠ , caz în care torsorul de reducere este format numai din rezultantă, situată pe axa centrală ce trece prin punctul de reducere.

Cazul IV : 0M ; 0R o ≠≠ , când sistemul se poate reduce la un torsor format numai dintr-o rezultantă situată pe axa centrală, iar aceasta nu trece prin punctul de reducere.

STATICA RIGIDULUI

65

3.1.7.3 Reducerea sistemelor de forţe cu direcţiile paralele. Axa centrală. Centrul forţelor paralele a) Reducerea sistemelor de forţe cu direcţii paralele Se consideră un corp rigid (C) asupra căruia acţionează în punctele

Ai (i=1,2,… n) sistemul de forţe , ..., n2, 1) i=F( i , ale căror direcţii sunt

paralele cu o direcţie comună de versor u , (fig.3.21).

Fig.3.21 Reducerea sistemelor de forţe cu direcţii paralele

În consecinţă, fiecare forţă a sistemului poate fi scrisă în funcţie de versorul direcţiei comune u , sub forma:

,...,n)2,1 (i=uFF ii = (3.45) unde Fi este o mărime algebrică, pozitivă când forţa este orientată în acelaşi sens cu u şi negativă, când este orientată în sens contrar. Efectuând reducerea sistemului în raport cu punctul O, se obţine torsorul:


66

⎪⎩

⎪⎨⎧

×=×=×=×=

==

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑

u)rF()uFr()uFr()Fr(M

)u( FFR)=M,R(τ

iiiiiiiio

iioo (3.46)

Trinomul invariant este egal cu zero, fiind un produs mixt cu doi termeni coliniari, şi are expresia :

( )[ ] ( )[ ] 0 u rF F u MR iiio =×⋅=⋅ ∑∑ (3.47)

În consecinţă, cazurile de reducere ale unui sistem de forţe paralele sunt:

Cazul I : 0R = , 0M; o = : în care sistemul de forţe este echivalent cu zero.

Cazul II : 0M ; 0R o ≠= : sistemul de forţe dat se reduce la un cuplu , ce are momentul oM .

Cazul III : 0M ; 0R o =≠ : în care sistemul se reduce la o forţă unică R , aplicată în punctul de reducere O.

Cazul IV : 0M ; 0R o ≠≠ : ‚ când sistemul este echivalent doar cu o forţă R , situată pe axa centrală.

b) Axa centrală. Centrul forţelor paralele Ecuaţia axei centrale se determină pe baza relaţiei (3.47), în care se

ţine seama de faptul că în cazul unui sistem de forţe paralele valoarea momentului minim este zero, deoarece R M o ⊥ .

Rezultă că, în această situaţie, axa centrală este locul geometric al punctelor de moment nul.

Astfel, dacă P este un punct ce aparţine axei centrale, (fig.3.21) , aplicând formula (3.29), momentul în acest punct este:

0R OPMM oP =×−= (3.48)

Cu relaţiile (3.46) şi notând rOP = , se obţine :

STATICA RIGIDULUI

67

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )[ ] 0u rFrF

, 0u rFu rF

, 0Fu ru rF

iii

iii

iii

=×−

=×−×

=×−×

∑∑

∑∑

∑∑

unde de

respectiv

(3.49)

Din ultima relaţie rezultă că, produsul vectorial fiind nul, cei doi vectori sunt coliniari; această condiţie se poate scrie sub forma :

( ) ( ) uλr FrF 1iii =− ∑∑ (3.49′)

unde λ1 este o mărime scalară. Rezultă că vectorul de poziţie r al unui punct curent situat pe axa centrală este :

uλF

rFr

,Fλ λ

Fuλ

FrFr

i

ii

i

1

i1

i

ii

−=

=−=

∑∑

∑∑∑∑ notând sau,

(3.50)

Relaţia (3.50) reprezintă ecuaţia vectorială a unei drepte de versor u , ce trece printr-un punct fix, notat C în fig.3.21. Acest punct se numeşte centrul forţelor paralele şi are vectorul de poziţie :

∑

∑=i

ii

FrF

Cr

(3.51)

Coordonatele carteziene ale centrului forţelor paralele se obţin proiectând relaţia (3.51) pe axele de coordonate :

i

iiC

i

iiC

i

iiC F

zF ; z

FyF

; yF

xF x

∑∑

∑∑

∑∑ ===

(3.52)

Principalele proprietăţi ale centrului forţelor paralele sunt :


68

1. Dacă direcţia tuturor forţelor din sistem se schimbă cu acelaşi unghi, axa centrală trece tot prin punctul C, deoarece Cr nu depinde de

versorul u al direcţiei comune a forţelor. 2. Poziţia centrului forţelor paralele nu depinde de alegerea

sistemului de referinţă. 3. Poziţia centrului forţelor paralele nu se modifică dacă toate

forţele sistemului se măresc sau se micşorează în acelaşi raport. Dintre cazurile de forţe cu direcţii paralele, cel mai des întâlnite în

tehnică sunt forţele denumite încărcări sau sarcini punctuale distribuite. Aceste sarcini (forţe) distribuite, pot fi înlocuite prin sarcini concentrate echivalente, care au acelaşi efect mecanic cu cel al sarcinilor iniţiale, distribuite.

3.2 Centre de greutate. Centre de masă

3.2.1 Consideraţii generale

Corpurile de masă m situate în câmpul gravitaţional al Pământului,

sunt supuse forţei de atracţie a acestuia, orientată spre centrul Pământului. Asupra fiecărui corp va acţiona o forţă G numită greutate şi orientată către centrul Pământului :

gmG ii = (3.53) unde g este acceleraţia terestră şi reprezintă rezultanta dintre acceleraţia gravitaţională (datorată forţei de atracţie gravitaţională) şi acceleraţia de transport (datorată mişcării de rotaţie a Pământului).

Valoarea acceleraţiei terestre g variază cu altitudinea şi cu latitudinea dar, aceste variaţii fiind relativ mici, în calcule se poate utiliza valoarea medie g = 9,81 m/s2 .

Ţinând seama atât de raportul dintre dimensiunile corpurilor uzuale şi ale Pământului, cât şi de efectul mişcării de rotaţie a Pământului, se poate considera cu suficientă exactitate că forţele de greutate au direcţia verticalei locului, deci sunt forţe paralele între ele.

STATICA RIGIDULUI

69

În consecinţă, forţele de greutate fiind un caz particular al sistemelor de forţe cu direcţii paralele, se pot utiliza rezultatele obţinute pentru aceste sisteme.

3.2.2 Centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale Se consideră un corp material de masă M, format din n puncte

materiale notate Ai (i=1,2,…, n ), (fig.3.22), cu masele mi . Greutăţile punctelor materiale, fiind forţe paralele, se reduc la o

rezultantă unică, numită greutatea corpului şi notată G :

gMmggmGGn

1ii

n

1ii

n

1ii ∑∑∑

=======

(3.54)

Greutatea G a sistemului este aplicată într-un punct definit ca centru de greutate, care este centrul forţelor paralele de greutate.

Fig.3.22 Centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale

În consecinţă, vectorul de poziţie al punctului de aplicaţie C al

greutăţii G este dat de relaţia centrului forţelor paralele:


70

∑

∑

=

== n

1ii

n

1iii

CG

rGr

(3.55) iar coordonatele sale carteziene sunt :

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

= === n

1ii

n

1iii

Cn

1ii

n

1iii

Cn

1ii

n

1iii

CG

zGz

G

yGy

G

xGx ; ;

(3.55′) Dacă în relaţia (3.55′) se ţine seama de (3.54), rezultă :

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=⋅

=⋅

=⋅

= n

1ii

n

1iii

n

1ii

n

1iii

n

1ii

n

1iii

Cm

rm

mg

rmg

gm

rgmr

(3.56) respectiv :

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

= === n

1ii

n

1iii

Cn

1ii

n

1iii

Cn

1ii

n

1iii

Cm

zmz

m

ymy

m

xmx ; ; (3.56′)

Relaţiile (3.56) sau (3.56′) care definesc poziţia punctului C,

demonstrează că centrul de greutate este un element geometric care depinde de modul de distribuire a maselor sistemului de puncte Ai , fapt ce justifică şi denumirea sa de centru de masă (sau centrul maselor).

Această noţiune este mai cuprinzătoare deoarece, aşa cum rezultă şi din relaţiile (3.56), (3.56′), care nu depind de g , ea poate fi definită şi în absenţa câmpului gravitaţional.

3.2.3 Centre de greutate ale corpurilor

STATICA RIGIDULUI

71

Conform celor prezentate în cap. I, în mecanica clasică corpul rigid este un continuu material nedeformabil adică, macroscopic, orice punct al corpului are masă iar distanţele dintre puncte rămân nemodificate.

Rezultă că, dacă corpul material se consideră divizat în volume elementare ΔVi , fiecare cu masa Δmi , rezultatele obţinute în cazul sistemelor de puncte materiale se pot utiliza şi pentru cazul corpurilor rigide.

Astfel, vectorul de poziţie al centrului de greutate, conform relaţiei (3.55), este :

∑

∑

=

=

Δ

Δ= n

1ii

n

1iii

Cm

mrr

(3.57) Trecând la limită când 0mi →Δ şi ∞→n , sumele din (3.57) devin

integrale care se extind pe domeniul (D) ocupat de corp şi se obţine :

= z; =y ; =x

,

CCC

respectiv

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

=

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

D

D i

D

D i

D

D i

D

D iC

dm

dmz

dm

dmy

dm

dmx

dm

dmrr

(3.58)

În relaţiile (3.58) termenii au următoarele semnificaţii: • ir reprezintă vectorul de poziţie al centrului de greutate al

elementului de masă dm luat în calcul; • xi ,yi , zi sunt coordonatele centrului de greutate al elementului de

masă dm considerat; • ∫ =)D( Mdm , este masa întregului corp.

Deoarece în mecanică corpurile materiale se clasifică în blocuri

(volume materiale), plăci (suprafeţe materiale) şi bare (linii materiale ), domeniul (D) ocupat de un corp se notează cu (V), (S) respectiv ( )l .

a) Pentru corpurile continue, sub formă de blocuri, raportul dintre masa elementului infintezimal, dm, şi volumul lui, dV, se numeşte densitate volumică (sau masă specifică) şi se notează :


72

dVdm

V =ρ ; dVdm Vρ=

(3.59) Un corp material care ocupă un volum V este neomogen dacă ρV

are o anumită lege de variaţie de forma ρV = f(x,y,z), respectiv omogen dacă ρV este o mărime constantă.

Înlocuind relaţia (3.59) în (3.58), centrul de greutate al corpurilor neomogene este determinat de :

, respectiv

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

=

(V) v

(V) vC

(V) v

(V) vC

(V) v

(V) vC

V v

V vC

dVρ

dVz ρ= ; z

dVρ

dVy ρ= ; y

dVρ

dVx ρ= x

dV

dVrr

)(

)(

ρ

ρ

(3.60)

În cazul corpurilor omogene, mărimea ρV fiind o constantă, iese de sub integrală şi se simplifică. Astfel, relaţiile (3.60) devin :

dV

z dV= ; z

dV

y dV= ; y

dV

x dV= x

,dV

dVr r

(V)

(V)C

(V)

(V)C

(V)

(V)C

(V)

(V)C

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

= respectiv

(3.60′)

unde ∫ =)V( VdV reprezintă volumul întregului corp.

b) Pentru corpurile bidimensionale de forma plăcilor, se defineşte ca densitate superficială (sau densitate de suprafaţă) mărimea :

STATICA RIGIDULUI

73

; dAdm

A=ρ dAdm Aρ=

(3.61) cu care, relaţiile pentru determinarea poziţiei centrului de greutate al plăcilor neomogene, la care ρA =f(x,y,z), devin :

= ;

= ;

=

, respectiv

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

=

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

A A

A AC

A A

A AC

A A

A AC

A A

A AC

dA

dAzz

dA

dAyy

dA

dAxx

dA

dArr

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

(3.62)

iar pentru plăcile omogene, pentru care ρA =const. :

dA

z dA= ; z

dA

y dA= ; y

dA

x dA= x

, dA

dAr r

(A)

(A)C

(A

(A)C

(A)

(A)C

(A)

(A)C

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

= respectiv

(3.62′) c) Pentru corpurile sub formă de bare, se defineşte densitatea liniară :

l

l ddm

=ρ

(3.63) cu care relaţiile pentru determinarea poziţiei centrului de greutate al barelor neomogene, pentru care )z,y,x(f=lρ , devin :


74

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

=

)(

)(C

)(

)(C

)(

)(C

)(

)(C

dρ

dz ρ= ; z

dρ

dy ρ= ; y

dρ

dx ρ= x

, dρ

dρr r

l l

l l

l l

l l

l l

l l

l l

l l

l

l

l

l

l

l

l

l respectiv

(3.64) iar pentru barele omogene, la care .const=lρ :

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

=

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(C

d

dz

d

dy

d

dx

d

drr

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

= z;

=y ;

=x

respectiv ,

CCC

(3.64′) d) Proprietăţile centrului de greutate al corpurilor

Principalele proprietăţi ale centrului de greutate al corpurilor sunt : 1. Poziţia centrului de greutate nu depinde de sistemul de axe ales

(la fel cu poziţia centrului forţelor paralele ) fiind un punct intrinsec al corpului; 2. Atunci când corpul admite un plan de simetrie (geometric şi masic) atunci centrul de greutate se găseşte în acest plan;

3. Când corpul admite axă de simetrie atunci centrul de greutate se găseşte pe această axă, iar dacă admite centru de simetrie, acesta coincide cu centrul de greutate.

3.2.4 Centre de greutate ale corpurilor omogene uzuale Poziţia centrului de greutate al unor corpuri omogene uzuale este dată în tabelul următor :

Tabelul 3.1

STATICA RIGIDULUI

75

Categoria şi denumirea

figurii

Profilul figurii Poziţia centrului de greutate

1. BARE OMOGEME (LINII MATERIALE)

Bara dreaptă

2LxC=

Contur triunghiular

La intersecţia bisectoarelor

triunghiului median

)cba(2)cb(hyC ++

+=

Arc de cerc

) radiani în α

αα

(

sinRxC =

2. PLĂCI OMOGENE (SUPRAFEŢE MATERIALE)

Dreptunghi

. 2by

;2ax

C

C

=

=


76

Triunghi

La intersecţia

medianelor triunghiului

3yyyy

3xxxx

321C

321C

++=

++=

Sector de cerc

) radiani în α

αα

(

sinR32xC =

Segment de cerc

) radiani în α

ααα

(

2sin2sinR

34x

3

C −=

Porţiune de coroană circulară

) radiani în α

αα

(

sinrRrR

32x 22

33

C ⋅−−

⋅=

Semielipsă

π3a4xC =

STATICA RIGIDULUI

77

3. Corpuri omogene ( Volume materiale )

Con şi

piramidă

4hyC=

Semisferă

R83yC=

Calotă sferică

hR3)hR2(

43z

2

C −−

=

Segment sferic

2122

21

2

22

21

221

C zzzz(R3)zzR2)(zz(

43z

−+−−+

=

Sector sferic

)hR2(83

)cos1(8R3zC

−=

=+=

α


78

3.2.5 Determinarea centrului de greutate al unui corp compus,

cu ajutorul centrelor de greutate parţiale Se consideră un corp (C) , având o formă care permite împărţirea sa în mai multe părţi componente, pentru fiecare parte cunoscându-se masa şi poziţia centrului de greutate. De exemplu, corpul din fig.3.23 se poate considera ca fiind alcătuit din alipirea domeniilor D1,D2, D3 , de volume V1, V2, V3 şi mase M1, M2, M3 , având vectorii de poziţie ai centrelor de greutate

321 CCC rr,r , :

∫∫

∫∫

∫∫

===)V(

)V(C

)V(

)V(C

)V(

)V(C

31

33

2

22

1

11 dm

dmrr

dm

dmrr

dm

dmrr

;

;

(3.65)

Poziţia centrului de greutate al întregului corp este dată de formula (3.58):

;rMdmr;rMdmr;rMdmr

dmdmdm

dmrdmrdmr

dm

dmrr

321

321

1 2 3

C3)C2)C1)

)V()V()V(

)V( )V( )V(

)V(

)V(C

===

++

++=

∫∫∫

∫∫∫∫ ∫ ∫

∫∫

321 (V(V(V

:unde ,

=

(3.66) iar : ∫∫∫ === )V( 3)V( 2)V( 1 321

MdmMdmMdm ; ;

(3.66′)

STATICA RIGIDULUI

79

Fig.3.23 Determinarea centrului de greutate al unui corp compus cu ajutorul centrelor de greutate parţiale

Cu relaţiile (3.66) şi (3.66′), formula (3.65) devine :

321

C3C2C1C MMM

rMrMrMr 321

++

⋅+⋅+⋅=

(3.67) În situaţia când corpul material (C) se descompune în n părţi

componente pentru care se cunosc poziţiile centrelor de greutate şi masele, centrul de greutate al întregului corp are vectorul de poziţie :

∑

∑

=

=⋅

=++

⋅+⋅+⋅= n

1ii

n

1iCi

n21

CnC2C1C

M

rM

MMMrMrMrM

ri

n21

+ ... + ...

(3.68)

iar coordonatele centrului de greutate sunt :

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=⋅

=⋅

=⋅

= n

1ii

n

1iCi

Cn

1ii

n

1iCi

Cn

1ii

n

1iCi

CM

zMz

M

yMy

M

xMx

iii

; ; (3.68′)

În cazul corpurilor omogene, pentru care Mi = ρv Vi , formulele (3.68′) devin:

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=⋅

=⋅

=⋅

= n

1ii

n

1iCi

Cn

1ii

n

1iCi

Cn

1ii

n

1iCi

CV

zVz

V

yVy

V

xVx

iii

; ;

(3.69) unde Vi sunt volumele părţilor componente.

În cazul plăcilor omogene, pentru care Mi = ρv Ai,

; ; ∑

∑

∑

∑

=

=

=

=⋅

=⋅

= n

1ii

n

1iCi

Cn

1ii

n

1iCi

CA

yAy

A

xAx

ii

∑

∑

=

=⋅

= n

1ii

n

1iCi

CA

zAz

i

(3.70) unde Ai sunt suprafeţele părţilor componente (considerate în planul Oxy).

În cazul barelor omogene, pentru care Mi = lρ l i ,


80

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=⋅

=⋅

=⋅

= n

1ii

n

1iCi

Cn

1ii

n

1iCi

Cn

1ii

n

1iCi

C

iiiz

zy

yx

xl

l

l

l

l

l

; ; (3.71)

unde l i sunt lungimile părţilor componente.

Aplicaţie : Determinarea centrului de greutate al unui corp compus, de forma unei plăci plane şi omogene, cu ajutorul centrelor de greutate parţiale

Modul de calcul al centrului de greutate pentru o placă plană şi omogenă este exemplificat în continuare, pentru cazul plăcii din fig.3.24.

Fig.3.24 Determinarea poziţiei centrului de greutate al unei plăci plane şi omogene

Placa poate fi considerată ca fiind alcătuită dintr-un pătrat de

latură 6a (suprafaţa notată 1), din care s-a decupat o jumătate de cerc având raza R=3a (suprafaţa notată 3) şi s-a alipit un triunghi, de laturi 3a şi 6a (suprafaţa notată 2).

STATICA RIGIDULUI

81

După marcarea poziţiei centrelor de greutate C1, C2, C3, aferente celor trei suprafeţe menţionate, s-a ales, arbitrar, sistemul de axe xOy faţă de care se efectuează calculele.

Calculele pentru determinarea centrului de greutate al plăcii sunt

sistematizate în tabelul următor, în rubricile căruia s-au înscris :

• pentru suprafaţa 1 : - aria A1 = (6a)2 = 36 a2 - coordonatele centrului de greutate al suprafeţei 1, respectiv a

punctului C1 : x1= 3a ; y1 = 3a ;

• pentru suprafaţa 2 :

- aria A2 = 21 3a . 6a = 9a2

- coordonatele centrului de greutate al suprafeţei 2, respectiv a

punctului C2 : x2= a7a3 31a6 =+ ; y2 = a2a6

31

=

;

• pentru suprafaţa 3 :

- aria A3= 222 a13,14aπ5,4π21Rπ

21

=== 29a

- coordonatele centrului de greutate al suprafeţei 3, respectiv a punctului C3 :

x3 = πa4

2π

2πsin

a332

ααsinR

32CO 33 =⋅⋅== ; y3= 3a ;

Cu aceste valori, rezultă:

Nr. supraf.

i xi yi Ai Ai xi Ai yi

1 3a 3a 36 a2 108 a3 108 a3 2 7a 2a 9 a2 63 a3 18 a3 3 4a/π 3a -14,13 a2 -17,95 a3 -42,39 a3


82

∑

=

3

1i

: 30,87 a2 153 a3 83,61a3

Obs: Aria A3 a jumătăţii de cerc s-a considerat cu semnul minus, deoarece este decupată din A1 a pătratului. Efectuând calculele specificate în rubricile tabelului, şi aplicând apoi relaţiile (3.70):

; ; ∑

∑

∑

∑

=

=

=

=⋅

=⋅

= n

1ii

n

1iCi

Cn

1ii

n

1iCi

CA

yAy

A

xAx

ii

particularizate pentru n = 3 , rezultă :

a 71,22a87,30

3a61,83

1i iA

1i iyiA

Cya ;96,42a87,30

3a153

1i iA

1i ixiA

Cx 3

3

3

3

==∑=

∑====

∑=

∑==

Poziţia centrului de greutate C (xc ; yc ) al plăcii plane şi omogene,

a fost marcat apoi în fig.3.24 în raport cu axele Oxy alese pentru calcul.

3.2.6 Teoremele Pappus-Guldin 3.2.6.1 Teorema I

Aria suprafeţei generată prin rotirea completă a unui arc de curbă în

jurul unei axe din planul său, dar care nu o intersectează, este egală cu lungimea arcului de curbă înmulţită cu lungimea cercului descris de centrul de greutate al curbei.

Pentru demonstrarea teoremei se consideră curba plană AB de

lungime l şi o axă (Δ) coplanară cu curba, dar care nu o intersectează (fig.3.25).

Curba AB se consideră compusă din n elemente l i = MN având centrele de greutate yi.

Centrul de greutate al curbei AB are vectorul de poziţie :

STATICA RIGIDULUI

83

∑

∑

=

== n

1ii

n

1iii

C

yy

l

l

(3.72)

Fig.3.25 Teorema I Pappus-Guldin

Din relaţia (3.62) rezultă:

lll ⋅== ∑∑==

C

n

1iiC

n

1iii yyy

(3.73) şi, înmulţind cu 2π relaţia (3.73), se obţine : ll Cii y2y2 ππ =∑ (3.74) în care : iy2 π - reprezintă lungimea cercului de rază yi ; iy2 li π - este aria elementară obţinută prin rotirea elementului MN în jurul axei (Δ); ∑ iiπ y2 l - este aria totală , A, obţinută prin rotirea curbei AB în jurul axei (Δ). Rezultă că aria căutată este : l⋅= Cπ y2 A (3.75)

3.2.6.2 Teorema II


84

Volumul generat prin rotirea completă a unei suprafeţe plane în jurul

unei axe din planul său, dar pe care nu o intersectează, este egal cu aria suprafeţei respective înmulţită cu lungimea cercului descris de centrul de greutate al suprafeţei.

Pentru demonstrarea acestei teoreme, se consideră suprafaţă plană

(S) şi o axă (Δ) coplanară cu suprafaţa, dar care nu o intersectează (fig3.26).

Fig.3.26 Teorema II Pappus-Guldin

Suprafaţa plană se consideră compusă din n suprafeţe elementare de arie Si şi centre de greutate yi. Centrul de greutate al întregii suprafeţe (S) are vectorul de poziţie :

∑

∑

=

== n

1ii

n

1iii

CS

ySy

(3.76)

de unde : SySyyS C

n

1iiC

n

1iii ⋅== ∑∑

==

(3.77)

Înmulţind relaţia (3.77) cu 2π, se obţine : Sy2Sy2 Cii ⋅=∑ ππ (3.78) în care :

STATICA RIGIDULUI

85

2

yyydx)yy(S 12i12i

+=−= şi

(3.79)

Înlocuind în (3.78) rezultă: ∑∑=

−⋅n

1i

22C dxdxyy2 2

1

n

1=iy =S πππ (3.80)

Termenii din relaţia (3.80) au următoarele semnificaţii : 2

2y π - reprezintă aria generată cu raza y2 ;

dxy22 π - este volumul elementar generat prin rotirea suprafeţei

(M1M N N1 ) în jurul axei (Δ) ;

2

n

1i

22 Vdxy =∑

= π - este volumul generat prin rotirea suprafeţei

(A1AMN BB1) în jurul axei (Δ) ; Efectuând un raţionament analog şi pentru cea de-a doua sumă

din relaţia (3.80), se obţine:

1

n

1i

21 Vdxy =∑

= π - adică volumul generat prin rotirea suprafeţei

(A1APQBB1) în jurul axei (Δ) ;

- volumul V generat de rotirea suprafeţei (S) în jurul axei (Δ) ca: V=V2-V1. Înlocuind în relaţia (3.80):

12

n

1i

21

n

1i

22C VVdxyπdxyπSyπ2 −=−=⋅ ∑∑

==

(3.80′) respectiv volumul V căutat: Syπ2V C ⋅= (3.81) Aplicaţii

a. Determinarea centrului de greutate al unui arc de cerc semicircular de rază R,(fig. 3.27a), utilizând teoremele Pappus-Guldin.

a. b.


86

Fig.3.27

Se aplică formula (3.75) : l⋅= Cπ y2 A lπ2

AyC =⇒

Rotirea semicercului în jurul axei Ox generează o sferă a cărei suprafaţă este : 2Rπ4A = iar lungimea arcului semicircular este Rπ=l .

Deci: πR2

Rππ2Rπ4

π2Ay

2

C =⋅

==l

b. Determinarea volumului torului generat de rotirea unui cerc de rază r în jurul unei axe aflate la distanţa R (fig.3.27b).

Se aplică formula (3.81) şi rezultă: Rrπ2rπRπ2SyπV 222

C =⋅⋅=⋅= 2

3.3 Echilibrul corpului rigid

3.3.1 Generalităţi. Grade de libertate Corpurile rigide reprezintă idealizări ale corpurilor reale, care îndeplinesc condiţia de invariabilitate a distanţei dintre punctele lor, oricare ar fi mărimea şi natura forţelor ce le acţionează. Rigidul liber este un corp care poate ocupa orice poziţie în spaţiu, această poziţie depinzând doar de forţele care acţionează asupra sa. Rigidul supus la legături, este un corp căruia i se impun anumite restricţii geometrice referitoare la parametrii săi de poziţie. Analog cu gradele de libertate ale punctului material, gradele de libertate ale corpurilor rigide reprezintă numărul parametrilor scalar independenţi prin care se stabileşte, la un moment dat, poziţia rigidului în spaţiu. Parametrii geometrici independenţi care definesc complet poziţia unui sistem material se numesc parametri de poziţie, coordonate generalizate sau coordonate Lagrange. Numărul coordonatelor generalizate este egal cu numărul gradelor de libertate ale sistemului. Pentru determinarea poziţiei unui corp rigid (C) în spaţiu,(fig.3.27a), este necesar să se cunoască coordonatele a trei puncte necoliniare ale sale A1(x1,y1,z1), A2 (x2,y2,z2), A3 (x3,y3,z3).

STATICA RIGIDULUI

87

a. b.

Fig.3.27 Grade de libertate ale unui rigid în spaţiu

Cele nouă coordonate nu sunt însă independente deoarece, corpul fiind nedeformabil, distanţele d1, d2, d3 dintre puncte, determinate cu relaţiile (3.82), rămân constante.

32

312

312

3113

22

232

232

2332

12

122

122

1221

d)zz()yy()xx(AA

d)zz()yy()xx(AA

d)zz()yy()xx(AA

=−+−+−=

=−+−+−=

=−+−+−=

(3.82)

Pentru că între cei nouă parametri scalari x1, x2 , x3, ,y1 ,y2 , y3 , z1 , z2, z3

se pot scrie cele trei relaţii notate (3.82), rezultă că doar şase dintre parametri sunt independenţi.

În concluzie, un rigid liber în spaţiu are 6 grade de libertate (de exemplu, în sistemul de referinţă cartezian, posibilitatea efectuării translaţiilor în lungul axelor Ox, Oy, Oz simultan cu rotaţiile în jurul aceloraşi axe, reprezentate în fig.3.27b).

În plan, pentru definirea poziţiei rigidului, este necesar să se cunoască poziţia a două puncte ale sale, A1(x1,y1) şi A2(x2,y2), fig.3.28a.


88

a. b.

Fig.3.28 Grade de libertate ale unui rigid în plan

Ţinând seama că distanţa A1A2 rămâne constantă, între cei patru parametri scalari x1, x2 , ,y1 ,y2 , se pot scrie trei relaţii independente, rezultând concluzia că rigidul liber în plan are trei grade de libertate (de exemplu, în sistemul de referinţă cartezian, posibilitatea efectuării translaţiilor în lungul axelor Ox, Oy simultan cu rotaţia în jurul unei axe perpendiculare pe planul xOy, reprezentate în fig.3.28b).

3.3.2 Echilibrul rigidului liber

Un corp rigid liber este în echilibru atunci când el se află în stare de repaos sau în mişcare de translaţie rectilinie şi uniformă. Dacă, în această situaţie de echilibru, asupra corpului acţionează un sistem de forţe, starea sa mecanică rămâne nemodificată doar dacă sistemul de forţe este în echilibru, adică, efectuând reducerea sistemului într-un punct arbitrar O, se obţine torsorul nul : 0M;0R o == .

Pentru ca un corp rigid să rămână în echilibru, condiţia necesară şi suficientă este, deci, ca sistemul de forţe care îl acţionează, să îndeplinească în orice punct condiţia : 0M;0R o == (3.83)

Cele două ecuaţii vectoriale (3.83) conduc la 6 ecuaţii scalare pentru rigidul în spaţiu :

STATICA RIGIDULUI

89

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

∑∑∑

0F

0F0F

iz

iy

ix

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

∑∑∑

0M

0M0M

iz

iy

ix

(3.84)

respectiv la 3 ecuaţii scalare în plan :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

∑∑∑

0M

0F0F

iz

iy

ix

(3.85)

Problemele echilibrului rigidului liber sunt : a) Se dau forţele care acţionează asupra rigidului şi se cere

determinarea poziţiei de echilibru a corpului. Problema este, în general , static determinată deoarece în spaţiu cele 6 necunoscute se pot determina din cele 6 ecuaţii de echilibru;

b) Cunoscându-se poziţia de echilibru, se cere determinarea sistemului de forţe care îl menţine în această stare. Problema este static determinată numai dacă numărul necunoscutelor este egal cu cel al ecuaţiilor.

c) Cunoscându-se o parte din parametrii poziţiei de echilibru şi parţial sistemul de forţe, se cere să se determine ceilalţi parametri ai poziţiei de echilibru şi definirea completă a sistemului de forţe.

3.3.3 Echilibrul rigidului supus la legături În majoritatea situaţiilor, corpurile materiale nu sunt izolate ci sunt în interacţiune cu alte corpuri. Rigidul supus la legături este corpul căruia i se impune o restricţie geometrică, de exemplu, obligaţia ca un punct al rigidului să rămână pe o suprafaţă, pe o curbă sau într-un punct fix. Pentru studiul echilibrului unui corp supus la legături se aplică axioma legăturilor, pe baza căreia legătura este îndepărtată şi înlocuită cu elemente mecanice - forţe şi/sau momente - corespunzătoare, care exprimă efectul mecanic al legăturii îndepărtate.

Astfel, în urma aplicării axiomei legăturilor problema echilibrului unui corp supus la legături se reduce la studiul echilibrului rigidului liber, acţionat de :


90

* forţe şi momente exterioare, direct aplicate; * forţe şi momente de legătură.

Cele două categorii de forţe menţionate se pot reduce într-un

punct O,(fig.3.29), în care se obţin: - torsorul forţelor exterioare: )M,R()F( oido ττ =

(3.86) - torsorul forţelor de legătură:

)M,R()F( oio lll ττ = (3.86′)

Fig.3.29 Echilibrul rigidului supus la legături

Ţinând seama de proprietăţile torsorului, este necesar ca pentru

echilibrul corpului să avem: 0)FF( iido =+ lτ (3.87) adică :

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

0MM

0RR

d

d

l

l

(3.88)

STATICA RIGIDULUI

91

Relaţiile (3.88) reprezintă ecuaţiile vectoriale de echilibru ale unui corp rigid cu legături, echivalente în cazul general cu 6 ecuaţii scalare de echilibru din care se pot determina şase necunoscute (atât poziţia de echilibru a corpului, cât şi reacţiunile din legături).

3.3.3.1 Legăturile mecanice ale rigidului. Clasificarea legăturilor

Forma de interacţiune care impune anumite restricţii parametrilor de poziţie ai rigidului se numeşte legătură mecanică. Orice legătură la care este supus un corp rigid, micşorează numărul gradelor sale de libertate. Restricţiile introduse de legăturile mecanice se exprimă prin relaţii matematice generale numite condiţii de legătură respectiv, în cazuri particulare, ecuaţii de legătură. • Din punct de vedere al comportării cinematice, legăturile mecanice se

clasifică în : - legături geometrice, care introduc restricţii numai pentru parametrii

de poziţie; - legături cinematice, care introduc restricţii atât pentru parametrii de

poziţie cât şi pentru derivatele acestora în raport cu timpul. • În funcţie de natura ecuaţiilor de legătură care le caracterizează,

legăturile sunt : - olonome, dacă ecuaţiile de legătură sunt integrabile; - neolonome, când ecuaţiile de legătură sunt neintegrabile.

• În funcţie de structura ecuaţiilor de legătură care le caracterizează, legăturile sunt :

- legături staţionare (sau scleronome) atunci când ecuaţiile de legătură nu conţin în mod explicit timpul t ;

- legături nestaţionare (sau reonome) dacă ecuaţiile de legătură conţin explicit timpul t .

• Din punctul de vedere al modului de realizare tehnică, legăturile mecanice se clasifică în :

- legături pasive, realizate cu elemente rigide ; - legături active, realizate prin intermediul unor elemente elastice.

• Din punct de vedere al existenţei forţelor rezistente, legăturile pot fi : - legături ideale, în care nu apar forţe de rezistenţă la deplasarea sau

tendinţa de deplasare a corpurilor ;


92

- legături reale, în care apar forţe de rezistenţă la deplasarea sau tendinţa de deplasare a unui corp faţă de alt corp ce face parte din legătură.

3.3.3.2 Echilibrul rigidului cu legături ideale

Dintre legăturile ideale, realizate prin intermediul unor elemente care pot fi încadrate în clasa corpurilor rigide, cele mai frecvente tipuri întâlnite în mecanică sunt următoarele : a) simpla rezemare (sau reazemul simplu); b) articulaţia (sau reazemul articulat) ; c) încastrarea ; d) legătura prin fire (sau prinderea prin fir ).

Pentru fiecare dintre aceste legături, în continuare se vor urmări : * aspectul geometric, referitor la numărul gradelor de libertate care

rămân rigidului după aplicarea legăturii ; * aspectul mecanic, legat de elementele mecanice - forţe şi momente - cu care se înlocuiesc legăturile, studiul efectuându-se ţinând seama că o forţă produce o mişcare de translaţie iar un cuplu, o mişcare de rotaţie în jurul unei axe coliniare cu momentul său.

a. Reazemul simplu Reazemul simplu este legătura care constrânge un corp rigid (C1), să rămână cu un punct O al său pe suprafaţa unui alt corp, (C2), ca în fig.3.29a. * Aspectul geometric

Obligaţia ca punctul O să rămână pe suprafaţa corpului (C2) introduce o restricţie geometrică, respectiv aceea ca punctul să se găsească pe o suprafaţa de o anumită ecuaţie, de exemplu, f(x,y,z)=0. Rezultă că reazemul simplu reduce un singur grad de libertate şi, în consecinţă, în spaţiu, rigidul rămâne cu 5 grade de libertate (de exemplu, cele reprezentate în fig.3.29b) .

STATICA RIGIDULUI

93

a. b.

Fig.3.29 Reazemul simplu. Grade de libertate

* Aspectul mecanic Pentru studiul forţelor din punctul teoretic de contact, O, elementele

torsorului de reducere se descompun după cum urmează : Rezultanta dR a forţelor direct aplicate, se descompune în : - ndR , după normala comună (n) din punctul O ;

- tdR , după dreapta (t1), rezultată din intersecţia planului (P),

tangent comun în punctul O, cu planul definit de dR şi normala (n). Momentul dM al forţelor direct aplicate , se descompune în:

- ndM , după normala comună (n) din punctul O ;

- tdM , după dreapta (t2), rezultată din intersecţia planului (P),

tangent comun în punctul O, cu planul definit de dM şi normala (n). Forţa tdR şi momentele ndM şi tdM caută să deplaseze corpul (C1) ,

iar în lipsa frecării nu este posibilă oprirea mişcării. De aceea, pentru a menţine starea de echilibru a corpului (C1), este necesar ca :


94

tdR = 0 ; ndM = tdM = 0 (3.89)

Forţa ndR este diferită de zero datorită rigidităţii corpurilor (C1) , (C2) în contact. În conformitate cu principiul acţiunii şi reacţiunii, în reazemul simplu se va dezvolta o forţă de legătură (reacţiune) N orientată după normala (n) în sens opus gradului de libertate blocat, deci egală şi opusă forţei ndR .

În concluzie, din aspectele studiate, rezultă că :

* reazemul simplu blochează un singur grad de libertate al rigidului (C1) acţionat de forţele direct aplicate, şi anume translaţia după direcţia normalei (n) la planul tangent (P), comun celor două suprafeţe în contact, (fig.3.29b) . * reazemul simplu introduce o singură necunoscută, înlocuindu-se cu o reacţiune N, (fig.3.30), dirijată după normala comună în punctul de contact .

Modul de simbolizare al reazemului simplu este exemplificat în

fig.3.30 a-d.

a. b. c. d.

Fig.3.30 Simbolizarea reazemului simplu

Simbolizările sunt echivalente şi dau o imagine intuitivă a gradelor de libertate ale rigidului supus la o astfel de legătură.

b. Articulaţia

Articulaţia este legătura prin care un punct O al unui corp rigid (C1) este obligat să rămână într-un punct fix pe suprafaţa unui alt corp, (C2), ca

STATICA RIGIDULUI

95

în fig.3.31a. În prezenţa legăturii articulate sunt împiedicate deplasările corpurilor, fiind permise doar rotiri (fig.3.31b)

a. b. Fig.3.31 Legătura articulată. Grade de libertate

După modalitatea de realizare practică, articulaţia poate fi

cilindrică (plană) sau sferică (spaţială) : - articulaţia cilindrică (plană), reprezentată în fig.3.32a.

a. b.

Fig.3.32 Articulaţia cilindrică (plană). Grade de libertate. Legătura de tip articulaţie plană se aplică unui corp solicitat de un

sistem de forţe plane, atunci când acesta trebuie să aibă numai un grad de libertate, de exemplu rotaţia în jurul axei perpendiculare pe planul xOy.


96

- articulaţia sferică (spaţială), reprezentată în fig.3.33a.

a. b.

Fig.3.33 Articulaţia sferică (spaţială). Grade de libertate.

* Aspectul geometric

În cazul articulaţiei plane, prin impunerea condiţiei ca punctul O al corpului (C1) să rămână într-un punct fix de coordonate (xo,yo), se introduc două restricţii geometrice care reduc numărul gradelor de libertate de la 3, la 1, fiind permisă 1 rotaţie (fig.3.32a).

În cazul articulaţiei sferice, impunând condiţia ca punctul O al corpului (C1) să coincidă cu punctul fix de coordonate (xo,yo,zo) pe suprafaţa corpului (C2), se introduc trei restricţii geometrice care reduc cele 6 grade de libertate ale rigidului. În consecinţă, în spaţiu, rigidul rămâne cu 3 grade de libertate şi anume 3 rotaţii, (fig.3.33a).

* Aspectul mecanic

Pentru studiul forţelor din punctul teoretic de contact O, se consideră elementele torsorului de reducere al forţelor direct aplicate, alcătuit din rezultanta dR şi momentul dM , (fig.3.31). Momentul dM caută să rotească corpul (C1) în jurul suportului său, iar în lipsa frecării nu este posibilă oprirea mişcării. De aceea, pentru a menţine starea de echilibru a corpului (C1), este necesar ca :

STATICA RIGIDULUI

97

dM = 0 (3.90)

Rezultanta dR caută să deplaseze corpul (C1) în lungul suportului său, mişcare împiedicată însă de prezenţa articulaţiei care va reacţiona cu o forţă egală şi de sens contrar lR , notată în fig.3.31, pentru simplificare, cu R . Astfel, reazemul articulat poate fi înlocuit cu o reacţiune R ce are modulul, direcţia şi sensul necunoscute. În calcule se lucrează cu proiecţiile reacţiunii R pe axele de coordonate, astfel că articulaţia plană introduce două necunoscute, Rx, şi Ry (fig.3.32b), iar articulaţia sferică trei necunoscute, Rx, Ry şi Rz (fig.3.33b).


* reazemul articulat spaţial blochează trei dintre gradele de libertate ale rigidului (C1) acţionat de forţele direct aplicate, iar reazemul articulat plan blochează două grade de libertate, în ambele cazuri fiind blocate translaţiile după direcţiile axelor de coordonate. * reazemul articulat se poate înlocui cu o reacţiune R , care introduce două necunoscute în plan, (fig.3.34a), şi trei necunoscute în spaţiu, (fig.3.34b)

a. b.

Fig.3.34 Reacţiuni în cazul reazemului articulat plan (a) şi spaţial (b)

Posibilităţile de simbolizare al reazemului articulat plan sunt exemplificate în fig.3.35a-c.

Fig.3.35 Simbolizarea reazemului articulat plan

c. Încastrarea


98

Încastrarea este legătura prin care un corp rigid (C1) este fixat de un alt corp (C2),(fig.3.36a), în aşa fel încât nu este permisă nici o deplasare sau rotire ( fig.3.36b,c).


Din definiţia încastrării se observă că în cazul acestei legături sunt suprimate toate cele 3 grade de libertate ale unui rigid în plan (fig.3.36b), respectiv cele 6 grade de libertate ale unui rigid în spaţiu (fig.3.36c).

a. b. c.

Fig.3.36 Încastrarea. Grade de libertate

* Aspectul mecanic

Pentru studiul forţelor din punctul teoretic de contact O, se consideră elementele torsorului de reducere al forţelor direct aplicate, alcătuit din rezultanta dR şi momentul dM .

Rezultanta dR caută să deplaseze corpul (C1) în lungul suportului său, mişcare împiedicată însă de prezenţa încastrării, în care se va dezvolta cu o forţă egală şi de sens contrar lR , notată în fig.3.36a, pentru simplificare, cu R . Momentul dM caută să rotească corpul (C1) în jurul suportului său, această mişcare nefiind însă posibilă datorită prezenţei încastrării, în care va lua naştere o forţă de legătură egală în modul şi de sens contrar, notată în fig.3.36a cu M .

STATICA RIGIDULUI

99

Astfel, reazemul încastrat poate fi înlocuit cu o reacţiune R şi un moment M , vectori ce au modulul, direcţia şi sensul necunoscute. În calcule se lucrează cu proiecţiile reacţiunii R , respectiv cu proiecţiile momentului M pe axele de coordonate.


* încastrarea blochează toate gradele de libertate ale rigidului (C1) acţionat de forţele direct aplicate, nefiind posibile nici translaţii şi nici rotaţii. * încastrarea se poate înlocui cu o reacţiune R şi un moment M care introduc şase necunoscute, Rx, Ry , Rz şi Mx, My, Mz în spaţiu (fig.3.37a) şi trei necunoscute, Rx , Ry şi Mz , în plan (fig.3.37b).

a. b.

Fig.3.37 Reacţiuni în cazul reazemului încastrat spaţial (a) şi plan (b)

Modul de simbolizare al reazemului încastrat este exemplificat în fig.3.38.

a. b.

Fig.3.38 Simbolizarea reazemului încastrat spaţial (a) şi plan (b)


100

d. Prinderea cu fire (legătura prin fir)

Prinderea prin fir este legătura prin care un corp rigid (C) este constrâns să se menţină cu un punct al său în contact permanent cu o suprafaţă sferică. Dacă firul este flexibil, inextensibil şi lungimea lui este constantă, această legătura este echivalentă cu o rezemare unilaterală pe o sferă a cărei rază este egală cu lungimea firului, fig.3.39a.

a. b.

Fig 3.39 Prinderea cu fire (legătura prin fir). Grade de libertate


Constrângerea ca punctul O al rigidului să rămână pe suprafaţa sferică, introduce o restricţie geometrică. Rezultă că legătura prin fir reduce un singur grad de libertate şi, în consecinţă, rigidul (C) rămâne cu 5 grade de libertate, (fig.3.39b).

* Aspectul mecanic

Deoarece punctul M al rigidului (C) are posibilitatea să se mişte pe o sferă, prinderea cu fir este o legătură unilaterală considerată drept caz particular al reazemului simplu. În această situaţie, forţa de legătură notată T şi numită efort în fir (sau tensiune mecanică în fir), este dirijată după normala la suprafaţa de rezemare, respectiv după raza sferei, adică este orientată de-a lungul firului şi având sensul spre interiorul sferei (fig.3.39a).

Din aspectele studiate rezultă că prinderea cu fir introduce o singură necunoscută, şi anume forţa de legătură T . Legătura prin fir se elimină tăind firul şi înlocuindu-l cu tensiunea T , al cărei punct de aplicaţie

STATICA RIGIDULUI

101

coincide cu punctul O de prindere a firului, direcţia este cea a firului, sensul este spre punctul de prindere iar modulul este necunoscut.

În tabelul 3.2 sunt prezentate sintetic legăturile rigidului, simbolurile utilizate şi elementele mecanice cu care se înlocuiesc.

Tabelul 3.2 Denumirea

legăturii

Simbolul legăturii şi elementele mecanice cu care se

înlocuieşte

Numărul necunoscutelor

introduse de legătură

1. Reazemul

simplu

1

2. Prinderea cu fir

1

-Plană

3. Articulaţia

2

- Spaţială

3

- Plană

4. Încastrarea

3

- Spaţială

6

Observaţie :


102

Reacţiunile se determină în urma rezolvării ecuaţiilor de echilibru static. Dacă o reacţiune, introdusă iniţial într-un sens arbitrar, rezultă din calcul negativă, înseamnă că în realitate din punct de vedere mecanic, ea este orientată în sens opus celui considerat.

Aplicaţii A1. Pentru grinda simplu rezemată cu console din fig.3.40 se cere

determinarea pe cale analitică a reacţiunilor din reazeme. Se dau: F1= 150kN; F2= 470kN; F3= 280kN; p1= 360kN/m; p2= 820kN/mkN; M= 600 kN.m; a=1,2m; b=0,5m; c=0,3m.

Fig.3.40 Grinda simplu rezemată, cu console

* Calculul rezultantelor forţelor distribuite p1 şi p2 :

kN2162apR 1

1 == kN1968a2pR 22 =⋅=

STATICA RIGIDULUI

103

* Determinarea reacţiunilor şi verificarea acestora se efectuează utilizând ecuaţiile de echilibru static:

Σ Fix = 0; Σ MA = 0 ; Σ MB = 0; Σ Fiy = 0,

scrise cu datele din schema de calcul prezentată în fig. 3.41:

Fig. 3.41 Schema de calcul a grinzii

Din rezolvarea ecuaţiilor de echilibru static, scrise în sistemul de axe xOy şi respectiv utilizând pentru rotiri convenţia de semne din fig. 3.41, se obţine:

ΣFix = 0 ; HA-F3 = 0 ; ⇒ HA = F3 = 280 kN ΣMA= 0 ;

0c]c)b(a2[c)-Fb(a2 Va)c2(bRc)(b- M-F3aR 2B211 =++++++++++

⇒ VB = - 467,95 kN ΣMB = 0 ;

( ) ( ) 0cb)-F(aRb)a2(cFM cba2-Vcba23aR 221A1 =+−+++−++⋅+++ ][ ;

⇒ VA = - 664,05 kN


104

Observaţie: Pentru reacţiunile VA şi VB, care au rezultat din calcul ca fiind negative, este necesar a se modifică sensul presupus iniţial, aşa cum este marcat în fig. 3.42.

Fig. 3.42 Reacţiunile din reazemele grinzii

Ecuaţia de echilibru utilizată pentru verificarea reacţiunilor, ΣFiy = 0 conţine proiecţiile pe axa Oy a tuturor forţelor care acţionează pe bară:

ΣFiy = 0 ; - R1 - VA -F1 + R2 -VB - F 2= 0 ; ⇒ - 216-664,05-150+1968-467,95-470=0 ; ⇒ 1968-1968=0

A2. Pentru bara din fig.3.40 se cere determinarea reacţiunilor din

reazeme, utilizând programul de calcul automat MdSolids. Se dau:

F1= 150kN; F2= 470kN; F3= 280kN; p1= 360kN/m; p2= 820kN/mkN; M= 600 kN.m; a=1,2m; b=0,5m; c=0,3m.

• Prezentare a programului MDSolids.

Modulul grinzi static determinate

MDSolids este un program educaţional pentru studiul solidelor deformabile, iar secţiunile de analiză sunt grupate în module dedicate unor tipuri particulare de probleme de mecanică şi rezistenţa materialelor.

Programul MDSolids conţine 12 module, pentru rezolvarea grinzilor static determinate utilizându-se modulul Determinate Beams (fig.3.43).

STATICA RIGIDULUI

105

Fig.3.43 Ecranul de demarare a programului de calcul MdSolids

b. Analiza structurii grinzii static determinate Datele de intrare aferente geometriei structurii şi acţiunilor

mecanice aferente grinzii propuse spre analiză, sunt prezentate în fig.3.44 Poziţiile punctelor caracteristice în lungul grinzii sunt determinate

faţă de sistemul de referinţă asociat implicit structurii analizate în programul de calcul.

F1= 150kN;

F2= 470kN;

F3= 280kN;

p1= 360kN/m;

p2= 820kN/mkN;

M= 600 kN.m;

Fig.3.44 Date de intrare pentru analiza structurii grinzii

Declararea geometriei grinzii se efectuează după alegerea tipului de structură, prin introducerea datelor solicitate în caseta din fig.3.45.


106

Fig.3.45 Ecranul de lucru în modulul Determinate Beam

Acţiunile mecanice exterioare, respectiv forţele şi momentele, se introduc accesând succesiv din zona stângă a ecranului de lucru pictogramele aferente acestora, prezentate în fig.3.46 cu exemplificare pentru încărcarea distribuită liniar şi notată p1.

Pe măsura introducerii acţiunilor mecanice şi a validării lor prin intermediul tastei enter a casetei de dialog (fig.3.45), acestea sunt reprezentate grafic pe structura grinzii, iar programul efectuează şi totodată afişează, secvenţial şi automat, rezultatele analizei statice a structurii la momentul respectiv.

Fig. 3.46 Introducerea acţiunilor mecanice, forţe şi momente exterioare

Pentru situaţia grinzii analizate, după introducerea ultimei încărcări

programul a generat imaginea prezentată în fig. 3.47, unde în caseta

STATICA RIGIDULUI

107

derulantă Loads se pot vizualiza acţiunile mecanice introduse, iar în caseta Reactions sunt afişate valorile şi sensul reacţiunilor din reazemele grinzii.

Fig.3.47 Rezultatele analizei statice a structurii.

Reacţiunile din reazemele grinzii

Observaţii:

- Reacţiunile determinate pe aceeaşi structură în aplicaţia precedentă prin calcul analitic, sunt identice ca mărime, direcţie şi sens cu cele rezultate prin utilizarea programului de calcul automat MdSolids .

- În modulul Determinate Beam, programul permite determinarea reacţiunilor generate de încărcări verticale (forţe concentrate şi distribuite) precum şi de momente.

- Programul MdSolids, prin modulele conţinute, este dedicat calculelor statice şi de rezistenţă caracteristice studiului solidelor deformabile. 3.3.3.3 Echilibrul rigidului supus la legături cu frecare


108

Deşi în mecanica clasică corpurile sunt considerate nedeformabile,

în realitate suprafeţele lor prezintă asperităţi, care sub acţiunea forţelor se întrepătrund şi se deformează. Ca urmare, contactul dintre corpuri nu este punctiform ci se realizează pe o suprafaţă pe care forţele de legătură ip , au o anumită distribuţie (fig.3.48a).

a. b.

Fig.3.48 Studiul echilibrului rigidului supus la legături cu frecare

Considerând că asupra corpului (C1) din fig.3.48a acţionează un sistem de forţe exterioare ,...,n)2,1 (i=F i , torsorul lor de reducere în punctul

teoretic de contact O este odτ , alcătuit din rezultanta dR şi momentul odM .

Torsorul în O al forţelor de legătură ip aplicate în punctele Ai , ale căror

componente ni

p şi it s-au reprezentat în fig.3.48b, este loτ , alcătuit din

rezultanta lR şi momentul loM :

loτ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

∑

∑

iio

i

OAM

pR

p x l

l

(3.91)

STATICA RIGIDULUI

109

Între corpurile (C1) şi (C2) legătura fiind neideală (reală), modulul componentelor torsorului τ ol creşte odată cu creşterea apăsării reciproce a celor două corpuri. Fenomenul se produce deoarece asperităţile lor din zona de contact se întrepătrund, iar la tendinţa de mişcare a corpului (C1) în raport cu corpul (C2), se întâmpină anumite forţe de rezistenţă.

Ecuaţiilor de echilibru ale rigidului:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

0MM

0RR

ood

d

l

l

(3.92) le corespunde imaginea geometrică din fig.3.49, în care : - (P) reprezintă planul tangent celor două corpuri în punctul teoretic de contact, O ; - (n) este normala comună; - (t1), direcţia conţinută în planul tangent (P), obţinută prin intersecţia acestuia cu planul determinat de normala (n ) şi suportul rezultantei dR ; - (t2) direcţia conţinută în planul tangent (P), obţinută prin intersecţia acestuia cu planul determinat de normala (n) şi suportul momentului odM ;

Fig.3.49 Componentele torsorului forţelor exterioare

şi torsorului forţelor de legătură


110

Componentele torsorului τ od şi τol s-au obţinut după cum urmează :

- tn dd RR şi din descompunerea dR după normala (n) şi direcţia (t1);

- todnod M M şi , din descompunerea odM după direcţiile (n) şi (t2) ;

* Componenta ndR caută să deplaseze corpul (C1) după direcţia normalei (n); în prezenţa legăturii, acestei tendinţe i se opune o forţă egală şi sens contrar, notată N şi numită reacţiune normală. * Componenta tdR caută să producă alunecarea corpului (C1) peste corpul (C2) în planul tangent, iar acestei mişcări i se opune o forţă egală în modul şi de sens contrar, notată fF şi numită forţă de frecare.

* Componenta nodM are efectul unui cuplu sub acţiunea căruia corpul (C1) prezintă tendinţa de a executa o mişcare de pivotare, rotindu-se peste corpul (C2) în jurul normalei (n). Acestei mişcări i se opune un moment notat pM şi numit moment de frecare de pivotare.

* Componenta todM caută să rostogolească corpul (C1) peste corpul (C2) prin rotire în jurul axei (t2) din planul tangent ; acestei mişcări i se opune momentul notat rM şi numit moment de frecare de rostogolire.

În situaţia analizată, pentru echilibru este necesar să fie îndeplinite condiţiile :

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

0MM

0MM

0FR

0NR

ro

po

fd

d

t

n

t

n

+

(3.93) Pe baza condiţiilor (3.93), formulate pentru cazul general al

echilibrului rigidului supus la legături cu frecare, vor fi studiate în continuare, următoarele cazuri particulare:

a. Frecarea de alunecare b. Frecarea de rostogolire c. Frecarea de pivotare d. Frecarea în lagăre şi articulaţii

STATICA RIGIDULUI

111

e. Frecarea de înfăşurare (frecarea firelor) a. Frecarea de alunecare Se consideră corpurile simplu rezemate (C1) şi (C2), fig.3.50. Asupra

corpului (C1) acţionează un sistem de forţe care se reduce în punctul O la rezultanta tn RRR += .

Datorită acţiunii componentei nR , corpul (C2) va reacţiona cu o forţă egală şi de sens contrar, notată N , astfel că sub acţiunea forţelor

nR şi N corpul (C1) este în echilibru,adică :

nR + N =0 (3.94)

Componenta tR caută să imprime corpului (C1) o mişcare de alunecare în planul tangent, mişcare ce va deveni efectivă numai atunci când forţa tR va depăşi o anumită valoare. Această observaţie a condus la concluzia că în planul tangent există o forţă egală şi de sens contrar cu

tR , numită forţă de frecare de alunecare şi notată fF .

Fig.3.50 Studiul echilibrului rigidului. Frecarea de alunecare


112

Este de remarcat faptul că forţa de frecare apare numai în situaţia existenţei tendinţei de alunecare şi nu este o forţă preexistentă. Forţa de frecare maximă este :

NF omaxf μ=

(3.95) unde μ o este coeficientul de frecare de contact, şi se atinge în momentul când echilibrul de alunecare este la limită; în acest caz şi rezultanta forţelor de legătură atinge valoarea sa maximă.

În consecinţă, pentru menţinerea echilibrului corpului este necesar ca forţa de frecare să îndeplinească condiţia :

max

fF0 F ≤≤

(3.96) Când corpul a depăşit starea de echilibru şi trece în starea de

mişcare, s-a constatat că forţa de frecare scade, fiind totodată funcţie de viteza de deplasare a corpului. Din punct de vedere practic însă, se acceptă că forţa de frecare este constantă tot timpul mişcării iar în calcule, se consideră egală cu valoarea ei maximă.

b. Frecarea de rostogolire Se consideră echilibrul unui corp, în cazul particular când torsorul

forţelor exterioare în punctul teoretic de contact este alcătuit din rezultanta tn RRR += şi momentul too MM = .

Torsorul forţelor de legătură ce apar în zona de contact are rezultanta fFNR +=l şi momentul rMM =l , (vezi fig.3.49).

Momentul forţelor direct aplicate too MM = , notat pentru

simplificare cu tM , caută să producă rostogolirea corpului dar acestei tendinţe i se opune momentul de frecare de rostogolire rM .

Pentru echilibru este necesar ca : 0RR =+ l

(3.97) şi : rtM M ≤

(3.98)

STATICA RIGIDULUI

113

În practică, asemenea situaţii se întâlnesc în cazul roţilor de

autovehicule şi al bilelor şi rolelor de rulmenţi. De exemplu, pentru analiza fenomenului frecării de rostogolire în

cazul roţilor de autovehicule, se consideră o roată deformabilă sub acţiunea forţelor P şi F , sprijinită pe o cale de rulare de asemenea deformabilă, fig.3.51a.

Zona de contact dintre roată şi calea de rulare este asimetrică faţă

de planul median al roţii, fiind mai mare spre partea în care roata are tendinţa să se deplaseze. Fenomenul este mai accentuat în cazul roţilor echipate cu pneuri şi din cauza fenomenului de histerezis elastic, specific cauciucului (energia disipată prin comprimarea părţii anterioare este mai mare decât energia recuperată prin întinderea părţii posterioare a zonei deformate).

a. b. c. Fig.3.51 Frecarea de rostogolire în cazul roţilor de autovehicule

Acţiunea forţelor active P şi F se manifestă pe suprafaţa de contact între roată şi calea de rulare prin dezvoltarea unor presiuni p i , fig3.51a. Aceste presiuni, variabile, sunt reprezentate în fig.3.51b la nivelul liniei mediane AB a suprafeţei de rezemare descompuse în componentele lor, respectiv prin presiunile normale np şi presiunile

tangenţiale tp .


114

Forţele active P şi F au fost reduse la nivelul punctului O, situat în planul median al roţii, la rezultanta R şi momentul oM , reprezentate în fig.3.51c .

Pentru o poziţie oarecare de echilibru, funcţie de legile lor de repartiţie, forţele np şi tp se pot înlocui cu rezultantele N şi fF , obţinându-se situaţia din fig.3.52a .

a. b. c.

Fig.3.52 Cazuri de echilibru în frecarea la rostogolire

Cazul echilibrului la limită este prezentat în fig.3.52b unde mărimea f (notată şi s) numită coeficient de frecare de rostogolire, reprezintă maximul distanţei a din fig.3.52a, cu care reacţiunea normală N este deplasată faţă de punctul teoretic de contact O.

Coeficientul de frecare de rostogolire are dimensiunile unei lungimi şi valoarea sa depinde de raza roţii de rulare şi de natura materialelor în contact. De exemplu, la roata de oţel pe şine de cale ferată f≈0,5…1mm, iar la bila de rulment pe inelul rulmentului (din oţel călit) f≈0,005…0.010 mm.

Dacă reducerea forţelor se efectuează faţă de punctul teoretic de contact O se obţine situaţia din fig.3.52c, unde se observă că apar ca reacţiuni atât forţele N , fF cât şi momentul de frecare de rostogolire rM ,

având sensul opus tendinţei de rostogolire şi modulul N f ⋅≤rM .

c. Frecarea de pivotare

STATICA RIGIDULUI

115

Se consideră echilibrul unui corp în cazul particular când torsorul

forţelor exterioare în punctul teoretic de contact este alcătuit din rezultanta nRR = şi momentul no MM = iar torsorul forţelor de legătură ce

apar în zona de contact are rezultanta NR =l şi momentul pMM =l (fig.3.53).

Fig.3.53 Studiul echilibrul rigidului. Frecarea de pivotare

Momentul forţelor direct aplicate, no MM = , caută să rotească

corpul în jurul normalei (n). Acestei tendinţe i se opune momentul de frecare de pivotare, pM ,

generat de existenţa în punctele Ai ale suprafeţei de contact a reacţiunilor normale pi n şi a forţelor tangenţiale ti=μ pi n ,(fig.3.54b).

Pentru echilibru este necesar ca: 0RR =+ l

(3.97)


116

şi : pnM M ≤

(3.98) În practică, asemenea situaţii se întâlnesc în cazul lagărelor

verticale ale maşinilor, numite şi pivoţi axiali. Pentru exemplificare, analiza fenomenului frecării de pivotare se va

efectua în cazul unui pivot axial, având fusul de rază r încărcat cu forţa axială activă G şi momentul activ oM , (fig.3.54a).

a. b.

Fig.3.54 Frecarea de pivotare în cazul pivotului axial

Pe suprafaţa de contact A dintre fus şi lagăr se consideră un element de suprafaţă θdρdρdA = , (fig.3.54b), pe care forţele active vor exercita: * o forţă elementară normală , Nd :

θdρdpdApdN ⋅=⋅= (3.99) * o forţă elementară de frecare , Td :

STATICA RIGIDULUI

117

θdρdρpμdNμdT = = (3.100)

Forţele Nd şi Td formează o distribuţie de forţe elementare aplicate pe întreaga suprafaţă de contact, A, dintre fus şi lagăr.

Din ecuaţia de momente faţă de punctul O rezultă momentul elementar:

dTdM o ρ = (3.101)

Momentul total M o pe suprafaţa de contact A se obţine cu relaţia: ∫∫ ==

)A()A(oo dTdMM ρ

(3.101′) iar la limita echilibrului, este egal cu momentul de frecare de pivotare Mp în lagărul axial, respectiv cu momentul cuplului de frecare de pivotare:

M o = M p (3.102) 1. Cazul lagărului nou (neuzat): suprafaţa de contact între fus şi

lagăr fiind perfect plană, presiunea p pe această suprafaţă este constantă (fig.3.55a) şi se determină cu relaţia:

2rGp π

=

(3.103)

a. b. c.

Fig.3.55 Presiunea de contact fus-lagăr. Cazul lagărului axial neuzat


118

Din relaţiile (3.101) - (3.103) rezultă: ∫∫=

)A(p θdρ dρpμM 2

(3.104)

respectiv: μμ r 32π2

3r

π rμ Gθdρdρ

rπGμM

3

2

π2

2p =⋅⋅== ∫∫2

0

r

0

(3.104′)

Notând cu ν coeficientul de frecare de pivotare rezultă:

r32 μν =

(3.105) şi, cum la limita echilibrului este îndeplinită egalitatea G = N , se obţine:

ν NM p = (3.106) sau, în general: NνM p ≤ (3.107) 2. Cazul lagărului uzat : după o anumită perioadă de funcţionare a unui pivot axial s-a constatat că uzura sa este maximă în zonele periferice ale fusului şi minimă în zona axului (fig.3.55b). Din această cauză presiunea la baza fusului nu mai este uniform distribuită ca în fig.3.55a, ci prezintă o variaţie de forma unei hiperbole echilatere cu valorile maxime înspre zona axului şi valorile mai mici la periferie (fig.3.55b). În cazul apariţiei uzurilor pronunţate şi neuniforme, valoarea presiunii în axul fusului devine foarte mare, fapt care poate provoca eliminarea uleiului şi griparea lagărului. Pentru evitarea acestui fenomen, în practică se adoptă soluţia executării fusului cu o degajare centrală, în acest mod suprafaţa de frecare devenind o coroană circulară (fig.3.55c); cu cât coroana de contact este mai îngustă, cu atât mai mult se poate considera că presiunea dintre fus şi lagăr este constantă, având mărimea:

)rr(

GAGp 2

12

2 −==

π

(3.108)

STATICA RIGIDULUI

119

în care r2 este raza fusului iar r1, raza degajării centrale. Momentul de frecare de pivotare se obţine cu relaţia (3.104)

integrând pe aria coroanei circulare:

G )r(r)r-(r μ

32 = M

2π3

)r-(r)rπ(r

G μ dθ dρρ)rπ(r

μG M

21

22

31

32

p

31

32

21

22

r

r

2π

0

22

12

2p

2

1

−

⋅⋅−

=−

= ∫ ∫

: sau

(3.109) În acest caz , ν , coeficientul de frecare de pivotare, are expresia:

ν = 21

22

31

32

rrrr2

−−

3 μ

(3.110) şi, cum la limita echilibrului este îndeplinită egalitatea N = G , se obţine: NM p ν= (3.111) iar în general: N M p ν≤ (3.112)

d. Frecarea în articulaţii şi lagăre Se consideră cazul lagărului radial cu joc din fig.3.56, la care

contactul teoretic dintre fusul de rază r şi lagăr are loc într-un punct A. Torsorul forţelor exterioare în punctul O de pe axa arborelui este alcătuit din forţa F şi momentul oM , a cărui direcţie coincide cu axa arborelui. În această situaţie momentul oM are tendinţa să imprime arborelui o mişcare de rotaţie, acţiune căreia i se opune momentul de frecare din lagăr, rM .


120

Fig.3.56 Frecarea în lagăre. Lagărul radial cu joc.

În punctul A având loc atât un fenomen de frecare de alunecare

cât şi unul de frecare de rostogolire, torsorul forţelor de legătură este alcătuit din reacţiunea normală N , forţa de frecare de alunecare fF şi

momentul de frecare de rostogolire rM (fig.3.56). Pe baza celor prezentate, se pot scrie următoarele ecuaţii:

( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

+−=

−=

−=

∑∑∑

0= 0 = =

αsinF r MM0M

αcosFN 0F

0αsinFF0F

orA

iy

fix

(3.113)

⎩⎨⎧

≤≤

N fM Nμ T

r

(3.114) Din relaţiile (3.113) se obţin:

Ff = F sin α ; N = F cos α ; Mr = Mo - F r sin α (3.115)

Prin înlocuirea relaţiilor (3.115) în (3.114), se obţin condiţiile de echilibru :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≤

≤

αcosrfαsin F r M

μαtg

o +

(3.116)

STATICA RIGIDULUI

121

Pentru funcţionarea corespunzătoare a maşinilor se urmăreşte ca

fenomenul frecării în lagăre să fie cât mai redus , adică valorile μ = tgα să fie cât mai mici. La limita echilibrului când tg α = μ = tg ϕ , deoarece unghiul α este mic, se pot face următoarele aproximaţii :

cos α = cos ϕ ≈ 1; sin α = sin ϕ ≈ tg ϕ = μ

(3.117) Pe baza relaţiilor (3.117), din (3.116) se obţine :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≤

rf + μ F rMo

(3.118) Coeficientul global de frecare din lagăr, notat μ′, prin care se ţine

seama atât fenomenul de frecare de alunecare cât şi de cel de frecare de rostogolire, are expresia :

μ′ = rf+ μ

(3.119) cu care rezultă : r FμMo ′≤ (3.120)

Momentul de frecare din articulaţie (lagăr), rM , conform principiului acţiunii şi reacţiunii, este egal şi opus momentului oM . Analog, forţa F este egală şi opusă rezultantei forţelor de legătură, respectiv reacţiunii, care se descompune în plan în componentele V şi H, iar în spaţiu în cele trei componente Rx , Ry , Rz . Pe baza acestor consideraţii, se obţin următoarele expresii ale momentului de frecare:

- în articulaţii şi lagăre cilindrice (plane) :

22f VHrμM +′≤

(3.121) - în articulaţii sferice (spaţiale) :

2z

2y

2xf RRRrμM ++′≤

(3.122) e. Frecarea de înfăşurare (frecarea firelor)


122

Frecarea firelor apare între un fir şi un corp peste care este înfăşurat

firul, când unul dintre elemente este fix iar celălalt are tendinţa de mişcare. În studiul firelor se acceptă ipoteza că acestea sunt flexibile, inextensibile şi de greutate neglijabilă.

Se consideră un fir trecut peste un scripete fix O, astfel încât contactul cu discul se realizează pe arcul AB, sub unghiul la centru θ, (fig.3.57a). Firul este acţionat la capete de forţele F şi Q iar coeficientul de frecare de alunecare între fir şi disc este μ .

Se va analiza mai întâi cazul F >Q , pentru care tendinţa de mişcare a firului este de la A spre B.

Pe linia de contact A-B se vor dezvolta presiuni variabile p care vor

genera reacţiuni normale elementare Nd şi forţe de alunecare elementare având valoarea limită Ndμ .

a. b.

Fig.3.57 Frecarea de înfăşurare (frecarea firelor)

Pentru studiul echilibrului se izolează arcul elementar MM′, căruia îi corespunde unghiul la centru dϕ şi care este acţionat de forţele de tracţiune T şi TdT + , de forţa de reacţiune normală Nd precum şi de forţa de frecare de alunecare Ndμ (fig.3.57b).

Ecuaţiile de echilibru pentru cazul limită, când forţa de frecare este maximă, sunt :

STATICA RIGIDULUI

123

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−=

=−−=

∑

∑

02φdsindTT

2φdsindN-T 0F

0μ dN2φdcosT

2φdcos T+dT0F

iy

ix

(3.123)

Deoarece unghiurile sunt mici se pot accepta aproximaţiile:

2

d2

dsin12

dcos ≈≈ ; , cu care ecuaţiile (3.123) devin :

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−−

=−−+

02

ddT2

dT2

dTdN

0dNμTdTT

(3.124)

Termenul 2φddT este neglijabil în raport cu ceilalţi termeni şi, din sistemul

de ecuaţii rezultă:

⎩⎨⎧

=−=−0TddN0dNμdT

(3.125)

se obţine o ecuaţie diferenţială cu variabile separabile, care conduce la:

∫ ∫=Q

F

θμ

TdT

0d

(3.126)

de unde , pentru cazul limită studiat, rezultă :

μθQFln = sau μθe

QF

= (3.127)

(în care e=2,71828… reprezintă baza logaritmilor naturali).


124

Relaţia (3.127) scrisă sub forma : μθQF e =

(3.128)

sau, în general : μθQF e ≤ (3.129) reprezintă formula lui Euler pentru frecarea firelor.

Dacă se schimbă sensul tendinţei de mişcare ( adică μ→ −μ ), se obţine : μθQF −≥ e (3.130)

Pe baza relaţiilor (3.129) , (3.130) se poate scrie condiţia generală de echilibru :

μθμθ QFQ e e - ≤≤ (3.131)

sau, împărţind cu Q:

μθμθ

QF e e - ≤≤

(3.131′)

Documents

3.1 Reducerea sistemelor de forţe ce acţionează asupra ... · 3.1 Reducerea sistemelor de forţe ce acţionează asupra