Prof. Lic. Javier Velásquez Espinoza

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13/04/23 Racso Editores 2

OPERACIÓN BINARIA

Definición .- Una operación binaria, denotada por *, y definida sobre un conjunto «A», llamado conjunto de definición, es un tipo de función mediante la cual se asigna a cada par ordenado (x; y) de elementos de AA , un único elemento de «A», denotado como xy.

Se llama Regla de Correspondencia de la operación binaria a la forma de asignar a cada par (x; y) el elemento x*y.

Las reglas de correspondencia pueden estar prefijadas por una fórmula, por una tabla de doble entrada, por un diagrama cartesiano, un diagrama sagital, etc.

(x,y)AA x*yA

AA

(x,y)

A

x*y

*

1ra

Columnas

2da

3ra

y

x Filas

1ra 2da 3ra

a b c

aa b c

b b c a

c c a b

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Tabla de doble entrada

Ejemplo.- Dada la siguiente tabla de doble entrada, para la operación binaria definida en A = {a, b, c}, se pide determinar:

i) a*b

ii) c*c

iii) b*c

iv) c*a

a*b b*c

c*a c*c

Rpta: a*b = b

Rpta: c*c = b

Rpta: b*c = a

Rpta: c*a = c

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Propiedad de sustitución

«Un número puede ser sustituido por otro igual a él en cualquier expresión»

Ejemplo.- Sea A = {1; 2; 3; 4} el conjunto de definición para la operación @ cuya regla de correspondencia está dada por la tabla de doble entrada. Se pide calcular: (1 @ 3) @ 2.

Primero determinamos 1 @ 3 :

Aplicando el principio de sustitución, se tiene: (1 @ 3) @ 2 = 1 @ 2

Yde la tabla se observa que: 1 @ 2 = 2

Finalmente, se tiene: (1 @ 3) @ 2 = 2

1@3

1@2

1 @ 3 = 1

Propiedad de la cerradura

Propiedad

Conmutativa

Propiedad

Asociativa

Propiedad del

Elemento Neutro

Propiedad del

Elemento Inverso13/04/23 Racso Editores 5

PROPIEDADES DE LA OPERACIÓN BINARIA

Sea: S = {a; b; c; ....}, y sea * una operación binaria definida en S S.

, ,a b S a b S*

, ,a b b a a b S* *

( ) ( ), , ,a b c a b c a b c S* * * *

,a e e a a a S* *

-1 -1a a a a e* * , {a, a-1, e} S

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Ejemplo 1.- Determinar si las siguientes operaciones son o no cerradas en :

Rpta: SÍ

En efecto, si asignamos cualquier valor natural a los términos «a» y «b», el resultado siempre es otro número natural.

b) a*b= a+b Rpta: NO

En efecto, si a =3 y b = 5, se obtiene: y este número no es natural.

3*5= 3+5

a) a*b = 2a +b.

* a b

a a b

b b a

* a b

a a b

b b a

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Ejemplo 2.- Analizar si la operación: a * b definida en S = {a, b}, cuya regla de correspondencia está dada por la tabla adjunta, es conmutativa.

Para probar la conmutatividad de la operación dada haremos todas las evaluaciones posibles:

i) a * a = a

ii) a * b = b y b * a = b

iii) b * b = a

Finalmente concluimos que la operación binaria *, goza de la propiedad conmutativa

a*ba*a

b*a b*b

Luego: b * a = b * a

* 1 2

1 1 2

2 1 1

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Ejemplo 3.- Analizar si la operación: a * b, definida en S = {1; 2}, cuya regla de correspondencia está dada por la tabla adjunta, es asociativa.

Para probar la asociatividad de la operación haremos todas las evaluaciones posibles:

i) (1*1)*1= 1*1 = 1 y 1*(1*1)= 1*1 = 1

ii) (1*2)*1= 2*1 = 1 y 1*(2*1) = 1*1 = 1

iii) (2*1)*2 = 1*2 = 2 y 2*(1*2) = 2*2 = 1

Nos detenemos en este punto ya que hemos encontrado una terna de valores, del conjunto de definición, para la cual no se cumple la propiedad asociativa. Por lo tanto la operación no es asociativa.

Luego: (1*1)*1 = 1*(1*1)

Luego: (1*2)*1 = 1*(2*1)

Luego: (1*2)*1 1*(2*1)

* a b c

a a b c

b b a c

c c b a

* a b c

a a b c

b b a c

c c b a

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Ejemplo 4.- Analizar si S = {a, b, c}, tiene elemento neutro para la operación definida mediante la siguiente tabla de doble entrada:

La repetición de una fila y columna en el cuadro de resultados evidencia la existencia de un elemento neutro.

En nuestro caso, el elemento neutro está ubicado en la intersección de la 1ra columna y 1ra fila que se repiten.

Por lo tanto, el elemento neutro de S es: «a».

* a b c

a a b c

b b a c

c c b a

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Ejemplo 5.- Analizar si los elementos del conjunto «S», del último ejemplo, tienen inverso.

Recordando que el elemento neutro es « a », efectuamos una inspección de la operación:

ii) b * b = a

iii) c * c = a

Obsérvese que la identificación de los inversos es más directa si nos referimos a la diagonal formada por los elementos neutros de la tabla.

i) a * a = a «a» es el inverso de «a»

«b» es el inverso de «b »

«c» es el inverso de «c»

Por lo tanto en el conjunto S = {a, b, c}, cada uno de sus elementos es el inverso de sí mismo en la operación *.

* a b c d

a a b c d

b b d a c

c c a d b

d d c b a

a b c d

a a a a a

b a b c d

c a c d b

d a d b c

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Sean las operaciones definidas por:

Si: x = b * c, determinar: (c * x)(b * a)

A) c B) b C) a

D) b * a E) c * a

Problema:

Resolución:

i) De la 1ra tabla se sabe que: b*c =

a

ii) Reemplazando en: c*x = c*(b*c) = c*a = c

iii) Asimismo: b*a = b

iv) Finalmente: (c*x)(b*c) = cb =

c Rpta: A