3 Mechanikai rendszerek dinamikája

1

3 Mechanikai rendszerek dinamikája

3.1 Alapfogalmak

3.1.1 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás

3.1.2 Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip

3.1.3 Kapcsolatok

3.1.4 Virtuális elmozdulások

3.1.5 Kinematika

3.2 Impulzus- und implzusnyomaték tétel Drallsatz

3.3 Kapcsolódások figyelembevétele

3.4 A d‘Alembert elv

3.5 Mozgásegyenletek

3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei

3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek

3.6 Állapotegyenletek

3.7 Másodfokú Lagrange egyenletek


2


Tömeg:

A tömeg függ az építőelemek sűrűségétől és a geometriai méreteitől. A klasszikus mechanika axiómái szerint áll:

• A tömeg mindig pozitív: m > 0 .

• Egy test tömege időben változatlan: m = 0 .

• A tömegek feloszthatók és összegezhetők: m = m1 + m2 .

.

Rugalmas elemek:

Megfelelő konstrukciós kialakítással elérhető, hogy az építőegység rugalmassága tömegéhez viszonyítva nagyon nagy. Ekkor rugóelemekről beszélünk (pl. laprugók, csavarrugók, tekercsrugók).

Csillapító és súrlódó elemek:

A csillapítási és súrlódási jelenségek okai lehetnek:

• Az alkatrészek anyagcsillapítása,

• Az egymáshoz képest relatív elmozdulást végző elemek súrlódása,

• Konstrukciósan létrehozott csillapítóelemek,

• Elemek, amelyek folyadékokban mozognak.

3


Külső erők:

Külső erők keletkezhetnek :

• Erőtér hatásából (Gravitáció, Mágneses, ...),

• Hajtó elemekből (Állító motorok, robbanó motorok, ...),

• Adott mozgásokból (durch Lagerung).

Modellképzés:

Egy mechanikai rendszer tulajdonságai egy- lehetőleg egyszerű- idealizált modellen keresztül írhatók le. Ekkor külünbségek adódnak a megoszló és koncentrált paraméterű modellek között mit verteilten Parametern.

• Megoszló paraméterű modellek:Kontinuumsmechanika (Kulcsszavak: Rugalmas test, Tartók, megoszló erők, ...)

• Koncentrált paraméterű modellek:Merev testek mechanikája (Kulcsszavak: tömegnélküli rugó, tömegnélküli csillapítás, Koncentrált erők, ...)

4


Mehrkörpersysteme (MKS):

Egy többtest rendszer tömeggel bíró merev testekből áll, amelyek egymással kapcsolóelemeken keresztül, mint rugók, csillapítások, támaszok, vezetékek egyesítettek. A kapcsolóelemeken keresztül hatnak az egyes testekre diszkrét pontokban koncentrált erők és nyomatékok. Emellett térbeli és megoszló erők hatnak a testre.

Starrkörper Massepunkt

Feder Dämpfer

Kraftstellglied Lagestellglied

Drehgelenk Feste Einspannung

5

3.1 Alapfogalmak



3.1.3 Kapcsolatok


3.1.5 Kinematika










6

3.1.2 Erők, Rendszerlehatárolás, Schnittprinzip

Erő alatt azokat a rendszerelemek közötti kölcsönhatásokat értjük, amelyek gyorsulásokat hoznak létre.

Azokat az erőket, amelyek kívülről a rendszerre hatnak, külső erőknek neveznek. Azokat az erőket, amelyek belül keletkeznek és hatnak belső erőknek nevezik. Hogy mit eveznek külső és belső erőknek a mindenkori rendszer lehatárolástól függ.

Az 1 rendszerre (terhelés) csak külső erők hatnak meg és F21.

A 2 rendszerre (felépítmény és kerekek) az mg, az F12, F3, F42 és F4 külső erők ,és az F32, F23, F42 és F24 belső erők hatnak.

Míg a szembe mutató … erőknek Schnittkräfteegyenlőnek kell lenni, a belső erők ellentétesek (F32 - F23 = 0 és F42 - F24 = 0) és ezért kifelé nem jelennek meg. .

H az 1 és 2 rendszer egy közös rendszernek tekintenénk, akkor Az F12 és F21 belső erőkké válnának

Mg

2

3 4

Aufbau

Räder

F12

F32

F23

F42

F24

System 2

mg1

Last

F21 System 1

F3 F4

7

3.1 Alapfogalmak



3.1.3 Kapcsolatok


3.1.5 Kinematika










8

3.1.3 Kapcsolatok

Gewöhnlich liegen aber Bindungen vor. gebundenes mechanisches System

A következő kapcsolatok különböztethetők meg:

Egyre több tulajdonság egyidejűleg jelenik meg.

Példa: Egy vágóél mozgása a merev alaplapra megfelel egy kinematikai, kétoldalú, skleronomen, nichtholonomen kapcsolatnak.

geometriai kapcsolatokkinematikai kapcsolatok

kétoldalú kapcsolatokegyoldalú kapcsolatok

skleronom kapcsolatokrheonom kapcsolatok

holonome kapcsolatoknichtholonome kapcsolatok

A helyvektor ri és a sebességvektor vi tetszőleges szabad mechanikai rendszer

9

3.1.3 Kapcsolatok

A geometriai kapcsolatok korlátozzák a rendszer helyzetét az alakzat formáján keresztül:

kétoldalú

r

egyoldalú

Egy kapcsolat rheonom, ha a kapcsolati egyenletekben az idő explicit lép fel; más esetekben azokat skleronomnak nevezik.

Φ(x1,…,zn) = 0

Φ(x1,…,zn) ≤ 0

Φ(x1,…,zn) ≥ 0

x² + y² -l² = 0 rúdinga

x² + y² -l² ≤ 0 fonalinga

x² + y² -l² ≥ 0 Tömegpont kör-keresztmetszetű felületen

Φ(x1,…,zn) = 0 skleronom, geometriai kapcsolat

Φ(t,x1,…,zn) = 0 rheonome, geometriai kapcsolat

10

3.1.3 Kapcsolatok

l

R

mgR

v

R

A kényszer feltételek kényszer- és reakcióerőkhöz vezetnek , amelyek a kényszerfeltételek fennállása nélkül nem lépnének fel.

A képen látható példákat általánosítjuk, akkor arra következtethetünk, hogy a reakcióerők állandóan merőlegesek a kényszerfeltételek szerinti felületekre. Ez a d'Alembert elv kiindulópontja.

v

v

v és R egymásra merőlegesek

Azaz az R irányában nincs mechanikai munkavégzés

11

3.1.3 Kapcsolatok

A Kinematikai kapcsolatok korlátozzák a rendszer sebességét:

0z,,x,z,,x,t

0z,,x,z,,x

N1N1

N1N1

skleronom, kinematikai kapcsolat

rheonom, kinematikai kapcsolat

0.,..,dz.,..,cy.,..,bx.,..,a N1

N

1iiN1iiN1iiN1i

rrrrrrrr

Ha az ai, bi, ci, d a t időtől függenek rheonom kapcsolat.

Integrálható kinematikai kapcsolatok Geometriai kapcsolatok

A gyakorlatban a kinematikai kapcsolatok lineárisak a sebességeknél

12

3.1.3 Kapcsolatok

holonom kapcsolatok geometriai kapcsolatok + integrálható kinematikai kapcsolatok

nichtholonom kapcsolatok nem integrálható kinematikai kapcsolatok

Hertz (1894):

Azok a rendszerek, amelyeknek valamennyi kapcsolata holonom, mint holonom rendszerek jellemezhetők.

Ha a rendszerben legalább egy nem holonom kapcsolat van, akkor a rendszer nem holonom, és nem holonom rendszerről beszélünk.

13

3.1 Alapfogalmak



3.1.3 Kapcsolatok


3.1.5 Kinematika

3.2 Impulzus- und implzusnyomaték tétel









14


Egy mechanikai rendszer virtuális elmozdulása alatt ennek a rendszernek a helyzetében bekövetkezett változást értjük, azaz a test egy önkényes (gondolati) elmozdulását, mint eredményt, ami ennek ellenére a kapcsolatokkal összeegyeztethető. A virtuális elmozdulás által a helyzet nagyságában?? okozott változást a d szimbólummal jelölt.

Példa: Gömbinga (térbeli matematikai inga)

l

m

x

y

z A gömbinga mozgásának leírása Descartesi koordinátarendszerben

r = [x y z]T

Az inga tömege csak a gömbfelületen kann sich nur auf einer Kugeloberfläche bewegen.

Kapcsolati egyenlet: Φ(r) = x² + y² + z² - l² = 0

Virtuális elmozdulásδr = [δx δy δz]T

csak a gömbfelületen belül lehet:

02

z

y

x

z2y2x2zyx

T

rrrrr

r

15


Példa: Gömbinga (térbeli matematikai inga)

l

m

x

y

z A tömeg helyzete két másik, megfelelően megválasztott koordinátával leírható, Pl. a Ψ und szögekkel. (Egy kiegészítő kapcsolati-egyenlet természetesen nem lép fel.)

Kevesebb mint két koordináta nem lenne elegendő az egyértelmű helyzetleíráshoz.

Ezért a Ψ und minimal koordináták, vagy általánosított, illetve generált koordináták.

cosl

sinlsin

coslsin

,z

,y

,x

,r

16


Egy virtuális elmozdulásnál a t időt rögzítettnek gondoljuk, szemben egy valóságos elmozdulással, amely egy véges dt időintervallumban fut le. Tehát a rendszer nyomatékfelvételének tekinti.

Ez tehát, egy tömegpont figyelembevételével, egy mozgó ferde síkon szemléltethető.

Richtung der möglichen Verschiebung

Richtung der virtuellen Verschiebung

1v

v2

v

v + v 1 2v1

Lejtő, kényszermoz

gás v1(t)

17

3.1 Alapfogalmak



3.1.3 Kapcsolatok


3.1.5 Kinematika










18

3.1.5 Kinematika

Koordinátarendszerek és koordináták:

Koordinátarendszer alatt értünk három egymáshoz rendelt ortogonális (egymásra merőleges) egységvektort ex, ey, ez, amelyek az R3 szemléltető térben a bázisát képezik minden abban ábrázolandó vektornak. Az O az euklideszi tér origója. Ezért az azzal meghatározott koordinátarendszert röviden az alábbiak szerint írjuk le:

K = {0;ex,ey,ez}

Egy K koordinátarendszer inerciarendszer, ha a bázisvektorok időben állandóak.

A K-t testhezkötöttnek nevezik, ha egy testponttal (Pl. tömegközépponttal) mereven kapcsolódik és ha a testpont koordinátáit ezen koordinátarenszerben mindig ugyanazok a koordináták írják le.

19

3.1.5 Kinematika

Kz

Ky

Kx

K

Iz

Iy

Ix

IKI

a

a

a

und

a

a

a

mit aaSaa

Ekkor feltétlenül figyelembe kell venni, hogy az aI és aK ugyanazt a vektort írják le. Az S transzformációs mátrix (forgatási mátrix) elemei a vizsgált esettől függően határozhatók meg.

Ismeretes hogy egy merev test helyzete és iránya 6 koordinátával írható le, Pl. a tömegközéppont három x, y, z a transzlációs koordinátáival és a három αβγ szöggel az inercia-rendszerhez viszonyítva.

Elfordulás:

A merev testtel szorosan összekapcsolt K koordinátarendszer elforgatása egy térbeli I koordinátarendszerhez (inerciarendszer) viszonyítva akkor egyértelműen definiált, ha mindkét vizsgált rendszerben egy tetszőleges vektor koordinátái közötti matematikai összefüggés ismert. KI aaa

20

a

eI

eyI

eK

eyK

eeI K=

γ

γγ

z z

x

xIax

aIy

aKx

aKy

3.1.5 Kinematika

γγγγ

γ100

0cossin

0sincos

zS

Példa: Egy merev test elfordulása a z-tengely körül γ szöggel.

Kz

Ky

Kx

Ky

Kx

Kz

Ky

Kx

zIz

Iy

Ix

I

a

γcosaγsina

γsinaγcosa

a

a

a

γ

a

a

a

Sa

Forgatási mátrix:

Az x és y tengelyek körüli megfelelő elfordulásokat az alábbi forgatómátrix írja le:

ββ

βββ

ααααα

cos0sin

010

sin0cos

und

cossin0

sincos0

001

yx SS

21

3.1.5 Kinematika

A forgatási mátrix ortogonális mátrix: S-1(α) = ST(α) = S(-α)

βcosαcosβcosαsinβsin

γcosαsinγsinβsinαcosγcosαcosγsinβsinαsinγsinβcos

γsinαsinγcosβsinαcosγsinαcosγcosβsinαsinγcosβcos

αβγα,β,γ xyzKardan SSSS

Egy merev test minden egyes tetszőleges helyzete általában legalább három egymást követő forgatás által, azaz a három forgástengely és három forgásszög megadásával adható meg.

Az egymást követő forgatások egyenkénti sorrendje alapján a forgatási szögek, mint kardánszögek (az x, y, z sorrend szerint, vagy fordított sorrend szerint), vagy mint Eulerszögek (z, x, y) jellemezhetők.

A kapott eredő forgatómátrixot az egyes mátrixok szorzásával kapjuk, pl.:

22

3.1.5 Kinematika

Tpppppp222222111111 ,γ,β,α,z,y,x,,γ,β,α,z,y,x,γ,β,α,z,yx z

Az MKS-ben (többtest rendszerben) előforduló helyzetelemek által a testkoordináták összefüggései egymás között a q algebrai egyenlet írhatók le. Φ(z) = 0 , i=1,…,q q < 6p-vel

Egy koordinátarendszerben több testnek van K1, K2, ... , Kp szerinti helyzete és iránya az ri tömegközéppont mindenkor helyvektora szerint, az Si forgatási mátrixot három szög αi,βi,γi (Pl. kardan- vagy Eulerszög) ír le, és amely koordináták egy helyzetvektorban foglalhatók össze.

A többtest rendszer helyzete egyértelműen leírható az f = 6p - q független koordinátákkal: y = [y1, … , yf]T. Ezeket az yi koordinátákat a mechanikában mint általánosított, vagy generált koordinátáknak nevezik (de lehet minimálkoordináták, vagy helyzetnagyságok Lagergrößen).Az általánosított koordináták:

• függetlenek,

• a rendszer helyzetét egyértelműen leírják,

• a kapcsolatoknak megfelelő .

23

3.1.5 Kinematika

Azért, hogy az állandósult állapotát az MKS-nek leírjuk még a sebességeket is figyelembe kell venni. Egy mechanikai szabadságfok alapvetően két állapot nagysághoz vezet. Ezzel az MKS számára adódik az állapotvektor:

Tf1T

f1f2 y,,yund,y,ymit

yy

y

yx

Az x(t) vektor minden egyes időpontban egyértelműen leírja a többtest rendszer helyzetét és sebességét.

Az x által leírt teret ezért állapottérnek nevezzük (vesd össze a 2. fejezettel).

2

12

12

ycosl

ysinlsiny

ycoslsiny

cosl

sinlsin

coslsin

,z

,y

,x

, yry

Példa: Golyóinga: l

m

x

y

z

24

3.1.5 Kinematika

p,,1i , t

p,,1i , t

iiTi

Ti

Ti

ii

iiTi

Ti

ii

ayJv

yy

vy

y

rva

vyJr

yy

rrv

Transzláció:

Egy merev test helyzetét a tömegközéppontjának helyvektora írja le: Massenmittelpunktes beschrieben:

ri = ri(t,y)

A sebességet és gyorsulást az idő szerinti fokozatos differenciálással kapjuk:

amelynél a JTi a (3 x f) - funkcionális- vagy a transzlációs Jacobimatrix.

Rheonom kapcsolatoknál ebből kiindulva még a helyi (3 x 1) – sebességvektor lép fel. A vektor a rendszer transzlációs gyorsulásának centrifugális, Coriolis- és centrifugális részét írja le.

iv

25

3.1.5 Kinematika

,p,1i,iiRi

iiRi

αyJα

ωyJω

Forgás:

Hasonlóan a tömegközéppont transzlációjához a merev test forgása is a kapcsolatok által korlátozott Ebben az esetben kapjuk:

Ahol a JRi a (3 x f) – a forgás funkcionális- vagy Jacobimatrixa.

A vektorban a a szöggyorsulás centrifugális-, Coriolis- és centrifugális része van összefoglalva.

Rheonom kapcsolatoknál ebből kiindulva még a helyi (3 x 1) – sebességvektor lép fel.

iα

iω

26

3.1 Alapfogalmak



3.1.3 Kapcsolatok


3.1.5 Kinematika










27


Egy Ki merev test Newton-i egyenletei (Impulzustétel):

miai =fi

Az inerciarendszerben az Euler-i egyenletek (Impulsusnyomaték tétel):

θiαi + ωi x (θiωi) = li

Ha a merev test (3 x 3) – a tehetetlenségi tenzor

és a külső nyomatékok li vektora (3 x 1) – a Ci tömegközéppontra vonatkozóan adódik.

iziyzixz

iyziyixy

ixzixyix

i

θθθ

θθθ

θθθ

θ

28


Példa: Egy merev test Euler-i egyenletei, amelyre M nyomaték hat, felírhatók:

ha a tehetetlenségi tenzor egy főkoordinátarendszert feltételez??

zyxxyzz

yzxzxyy

xzyyzxx

M

M

M

(Dinamikai Euler egyenletek)

29

3.1 Alapfogalmak



3.1.3 Kapcsolatok


3.1.5 Kinematika










30


A külső erők és nyomatékok feloszthatók ható erőkre és nyomatékokra, valamint rekcióerőkre és -nyomatékokra :

Newton-Euler-egyenletek:

A kapcsolódási egyenletek (explizit) figyelembe vételével (3.2 fejezet) a Newton-Euler-egyenletek a következő formában adódnak:

r

ieiiRiRi

ri

eiiTiTi

,,t

,,tm

llyykyJθ

ffyykyJ

Erők egy erőtörvényből

súlyerők,rugó- és csillapítóerők,magneses és elektromos erők, stb.

Erők a kapcsolódásokból és kényszerfeltételekből

támasztóerők,vezetékerők,adott mozgásegyenletek, stb.

ri

ei

Rik

iiiiiRii

ri

ei

Tik

iiTii amm

llωθωαθyJθ

ffyJ

fie = fi

e + fir

li = lie + li

r

miai = fi = fie + fi

r

θiαi + ωi x (θiωi ) = li = lie + li

r

31

3.1 Alapfogalmak



3.1.3 Kapcsolatok


3.1.5 Kinematika










32

3.4 Das d‘Alembertsche Prinzip

0Ap

1i

ri

Ti

ri

Ti

lsfr

0lJfJyly

sf

y

ry

p

1i

rii

TR

rii

TT

Tp

1i

ri

Tir

i

TiT

TiT

TiT

i

yr

yyyr

r

A d‘Alembert elv szerint a rekcióerők virtuális munkája eltűnik.

vagy

és

Mivel a δy tetszőlegesen megválasztható, következik hogy:

0p

1i

rii

TR

rii

TT

lJfJ

33

3.1 Alapfogalmak



3.1.3 Kapcsolatok


3.1.5 Kinematika










34


Newton-Euler-egyenletek (vesd össze 3.3 fejezettel):

p

1iri

eiiRiRi

ri

eiiTiTi

iTR

iTT

,,t

,,tm

llyykyJθ

ffyykyJ

J

J

yyqyykyM

lJfJkJkJyJθJJJ

,,t

p

1i

eii

TR

eii

TT

,,t

p

1iiRi

TRiTi

TT

,t

p

1iiRii

TRiTii

TT m

Ebből az általános, nemlineáris mozgásegyenletek adódnak a (holonom) többtest rendszer számára:

yyqyykyyM ,,t,,t,t

ahol M szimmetrikus és pozitív (f x f) – tömegmátrix,

k (f x 1) – a Coriolis-, Centrifugal- und Kreiselerők vektora valamint

q (f x 1) – az általánosított erők vektora.

A reakcióerők a szorzásnál kiesnek

35


α

A

B

g

m,2l

x

y

β

m,2l

mg

mg

Z

Z

ZZ

Z

Z

1y

1x

2x2y

2x

2y

A kettős inga két m tömegű homogén rúdból áll, amelyek hossza 2l. A rudak az A és B pontokban csuklósan és súrlódásmentesen csapágyazott.

A tömegközéppontok helykoordinátái:

βαβα

αα

0

coslcosl2

sinlsinl2

,

0

cosl

sinl

21 rr

Általánosított koordináták:

βα

y

r1

r2

36


y

J

ω

yJ

ω

yJ

v

yJ

v

βα

βα

βα

ββ

αα

β

ββ

α

αα

βα

αα

2R

2

1R

1

2T

2

1T

1

1

0

0

0

0

0

,

0

0

0

1

0

0

0

sinl

cosl

0

sinl2

cosl2

0

sinl

cosl

0

sinl2

cosl2

,

0

0

0

0

lsin

lcos

Differenciálással adódnak a sebességek:

További differenciálással adódnak a gyorsulások:

y

J

α

yJ

α

ay

J

a

ay

J

a

βα

βα

β

ββ

α

αα

βα

ββ

αα

α

αα

βα

αα

2R

2

1T

1

2

22

2T

2

1

2

1T

1

1

0

0

0

0

0

,

0

0

0

1

0

0

0

cosl

sinl

0

cosl2

sinl2

0

sinl

cosl

0

sinl2

cosl2

,

0

cosl

sinl

0

0

0

0

sinl

cosl

37


0ll

ff

e2

e1

e2

e1

0

mg

0

Eingeprägte erők és nyomatékok:

Jacobimátrix:

βαβα

αα

10

00

00

,

01

00

0000

sinlsinl2

coslcosl2

,

00

0sinl

0cosl

2R1R

2T1T

JJ

JJ

Reakcióerők:

0

Z

Z

,

0

ZZ

ZZ

y2

x2r2y2y1

x2x1r1 ff

Reakciónyomaték:

ββ

αα

αα

0

z

z

x

0

cosl

sinl

l

0

Z

Z

x

0

cosl

sinl

0

Z

Z

x

0

cosl

sinl

l

y2

x2r2

y2

x2

y1

x1r1

38


Newton-Euler-egyenletek:

ββ

βα

αααα

βα

ββααββαα

βα

βαβα

α

αα

βα

αα

y2x2z

y

x

y2x2y1x1z

y

x

y2

x2

22

22

y2y1

x2x1

2

ZsinlZcosl

0

0

0

0

0

10

00

00

00

00

00

ZsinlZcoslZsinlZcosl

0

0

0

0

0

01

00

00

00

00

00

0

Z

Z

0

mg

0

0

coslcosl2

sinlsinl2

m

00

sinlsinl2

coslcosl2

m

0

ZZ

ZZ

0

mg

0

0

cosl

sinl

m

00

0sinl

0cosl

m

r1

e11T1T m ffkyJ

r2

e22T2T m ffkyJ

r1

e11R1 llyJθ

r2

e22R1 llyJθ

T

1TJ

T

2TJ

T

1RJ

T

2RJ

TranszlációTest 1

TranszlációTest 2

ForgásTest 1

ForgásTest 2

39


A Newton-Euler-egyenletek szorzásával a Jacobi mátrixok-kal és összegzéssel a rendszer nemlineáris mozgásegyenletei adódnak:

βsinmgl

αsinmgl3

βαsinαml2

βαsinβml2β

α

mlθβαcosml2

βαcosml2ml5θ22

22

2z

2

22z

yyqyykyyM ,,t ,,t ,t

A reakcióerők szorzásnál kiesnek és ezért már a Newton-Euler-egyenletek felállításánál elhagyhatók.

40

3.1 Alapfogalmak



3.1.3 Kapcsolatok


3.1.5 Kinematika










41


Egy mechanikai rendszer linearizálása értelemszerűen egyensúlyi helyzet körül, vagy általában előírt mozgás körül megy végbe. Ez a kényszermozgás vagy a rendszerben magában keletkezhet, vagy valamilyen szabály szerint pl. kívülről hat. Egy rendszer jellemző előírt mozgásait a nemlineáris mozgásegyenletének partikuláris megoldásai adják.

sssssss ,t,,t,t, mit t yyqyykyyMy

Egy előírt mozgás környezetében a rendszert csak kis zavarómozgások η(t) | η(t) | << | ys(t) | érhetik:

y(t) = ys(t) + η(t)

Eine entsprechende Aufteilung muss man für die von außen eingeprägten Stellkräfte vornehmen:

ttt ees

e fff

42


Ha azokat az eredeti nemlineáris egyenletekbe helyettesítjük, kapjuk az ott keletkező értékeket.

...ff

)f,y,y,t(q

y

)f,y,y,t(q

y

)f,y,y,t(q)f,y,y,t(qff,y,y,tq

...y

)y,y,t(k

y

)y,y,t(k)y,y,t(ky,y,tk

...)y(y

M)y,t(My,tM

ee

esss

esss

essse

sss

f

eesss

ssssss

y

s

y

s

f

1ii

eingesetztyy

si

s

y

s

e

s

43


A nemlineáris egyenletekbe való behelyettesítés után mindig egy az előírt mozgás egyenletét és az előírt mozgástól való eltérés egyenletét kapjuk.

Előírt mozgás:

Zavaró mozgás:

esssssss ,,t,,t,t, fyyqyykyyM

t

ees

es,s,s,s,t

s

esssss

es,s,s,t

esssss

s,,,t,,t,,,t,,t

,t

ηundηη,vontenKoeffiziennachgeordnetleichungenG

hfyyyQfyyP

ff

qηy

yM

y

fyyq

y

yykη

y

fyyq

y

yykηyM

hQyyPyM

Az η helyett ismét y –t írva:

44


A P és Q mátrixok, mint minden qudratikus mátrix egy szimmetrikus és egy ferdeszimmetrikus mátrix részből áll, összegként felírva:

TT

N

T

K

T

TTG

T

D

T

, mit

Q-Q2

1QQ

2

1

, mit

P-P 2

1PP

2

1

NNKK

Q

GGDD

P

A mechanika klasszikus lineáris mozgásegyenletei:

hyNKyGDyM

hyNyyKyyyGyyDyyMy TTTTTT

hP S2 Udt

d 0 R2 T

dt

d

Az M szimmetrikus tömegmátrix meghatározza a mozgási energia változást és ezáltal a tömegerőket. A D csillapítási mátrix az R Rayleigh függvényen keresztül jellemzi a csillapítóerőket és a G pedig leírja a gyroszkopikus erőket, amelyek semmi hatással nincsenek az energiamérlegre. A Kmátrix a potenciális energiát határozza meg, és ezzel a helyzeti erők hatását, miközben az N a nemkonzervatív helyzeti erőket írja le.

Ha D=N=0 a rendszer konzervativ, azaz a h külső erők hatása nélkül az összenergia T+U állandó.

45


Példa: Kettős inga lineáris mozgásegyenletei (vesd össze 3.5.1 fejezettel)

A 3.5.1 fejezetben ismertetett kettős inga kis kilengéseinél áll: 1,,, βαβα

Ezt figyelembe véve a nemlineáris egyenletekben kapjuk a linearizált mozgásegyenleteket:

mglβ

mglα3

β

α

mlθml2

ml2ml5θ2

z2

22z

vagy ismert formában:

βα

βα

0

0

mgl0

0mgl3

mlml2

ml2ml52

z2

22z

A tömeg és merevségi mátrix:

mgl0

0mgl3 und

mlml2

ml2ml52

z2

22z KM

46

3.1 Alapfogalmak



3.1.3 Kapcsolatok


3.1.5 Kinematika










47


Egy MKS dinamika további kezeléséhez célszerű a másodrendű mozgásegyenleteket állapotegyenletekké átalakítani. Helyettesítéssel:

A nemlineáris állapotegyenletek figyelembevételével:yxx 21

engkeitsgrößGeschwindi

Lagegrößen

2

1

y

y

x

xx

uxxf

kqM

x

y

yx

,,,t

12

Lineáris esetben a lineáris állapotegyenletek::

bxA

hM

0

x

x

PMQM

E0

hQxPxM

x

y

yx

1

2

111

121

2

48

3.1 Alapfogalmak



3.1.3 Kapcsolatok


3.1.5 Kinematika










49

3.7 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art

Eine wichtige Alternative zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen ist die Methode von Lagrange (1788).

Dabei handelt es sich im Gegensatz zu der in Kapitel 3.5 beschriebenen synthetischen Methode

(Freischneiden der Einzelkörper, anschließende Anwendung von Impuls- und Drallsatz und Elimination der Reaktionskräfte)

um eine analytische Methode,

die auf der Auswertung von Energieausdrücken für das Gesamtsystem basiert.

nich

t beh

ande

lt

50


anteilRotations

iiTi

anteilnsTranslatio

i2Mi 2

1m

2

1T

ωθωv

Da die kinetische Energie unabhängig von den verwendeten Koordinatensystemen ist, spielt es keine Rolle, in welchen Koordinatensystemen die einzelnen Energieanteile berechnet werden. Klar ist hingegen, dass die Winkelgeschwindigkeit im gleichen System anzugeben ist wie der Trägheitstensor.

Die kinetische Energie eines Mehrkörpersystems wird aus der Summe der kinetischen Energien der Einzelkörper gebildet. Als Bezugspunkt wählt man vorteilhaft die Massen-mittelpunkte der Einzelkörper:

p

1iii

Tii

2Mim

2

1T ωθωv

Kinetische Energie

Für die kinetische Energie Ti eines starren Körpers Ki mit der Masse mi, dem Trägheits-tensor i , der absoluten Schwerpunktsgeschwindigkeit vMi

und der Winkelgeschwindig-

keit i gilt:

nich

t beh

ande

lt

51


Potentielle Energie

Ist die von den eingeprägten Kräften geleistete Arbeit unabhängig vom dabei durch-laufenen Weg, so besitzen die Kräfte bekanntlich ein Potential und können aus diesem durch Differentiation bestimmt werden. Es gilt:

, U

zUyUxU

e

f

wobei es sich bei der potentiellen Energie U = U(x,y,z) um eine skalare Ortsfunktion handelt.

Die potentielle Energie eines Mehrkörpersystems ergibt sich als Summe der potentiellen Energien der Einzelkörper:

p

1iiUU

nich

t beh

ande

lt

52


Kräfte, die sich gemäß aus einem Potential ableiten lassen, sind energieerhaltend und heißen deswegen konservativ.

Nichtkonservative Kräfte verändern die mechanische Gesamtenergie. Handelt es sich speziell um Kräfte, die Energie vernichten, so spricht man von dissipativen Kräften.

Ue f

Beispiele für konservative Kräfte sind Gewichts- und Federkräfte:

fG = -mg und fF = -cs

Die zugehörigen Potentiale lauten:

2

FGcs

21

U und mgzU

Potentiale sind nur bis auf eine additive Konstante bestimmt, d.h. der Potentialnullpunkt kann beliebig festgelegt werden.

Enthält ein Mehrkörpersystem nur konservative Kräfte, so wird auch das ganze System als konservativ bezeichnet und es gilt der Satz von der Erhaltung der mechanischen Energie:

T + U = T0 + U0 = const

nich

t beh

ande

lt

53


Die beschriebenen Energieausdrücke werden nun zur Herleitung der Bewegungsgleichungen verwendet. Dabei werden im Gegensatz zur synthetischen Methode die Einzelkörper nicht freigeschnitten, sondern das System wird als Ganzes betrachtet.

Zunächst wird die kinetische Energie in Abhängigkeit von den verallgemeinerten Koordinaten und gegebenenfalls der Zeit dargestellt:

Aus den eingeprägten Kräften und Momenten lassen sich die verallgemeinerten Kräfte bilden:

Mit diesen Größen erhält man die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen zweiter Art zu:

p

1iii

Tii

2Mi ,t,t,tm

2

1,,tT yωyθyωyvyy

f,,1k , yy

qp

1i

ei

TkiR

ei

TkiT

p

1i

ei

T

k

iei

T

k

ik

lJfJls

fr

f,,1k , qyT

yT

dtd

kkk

nich

t beh

ande

lt

54


Anmerkungen:

• Man erhält also genau so viele Bewegungsgleichungen, wie das System Freiheitsgrade hat. Weiterhin ist es bei dieser Methode nicht erforderlich, die Reaktionskräfte einzuführen. Umgekehrt können diese so aber auch nicht berechnet werden.

• Zur Ermittlung der Bewegungsgleichungen sind partielle und totale Differentiationen der Funktion zu berechnen. Bei der totalen Differentiation von T nach der Zeit t ist die Kettenregel zu berücksichtigen.

Bei konservativen Systemen lassen sich die verallgemeinerten Kräfte auch durch formale Differentiation der potentiellen Energie U nach den verallgemeinerten Koordinaten berechnen.

kk y

Uq

Führt man nun noch die Lagrange-Funktion L=T - U ein, so erhält man die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen zweiter Art in der klassischen Form:

f,,1k , 0yL

yL

dtd

kk

nich

t beh

ande

lt

55


f,,1k , q~p

1i

ei

TkiR

ei

TkiTk

lJfJ

Treten neben konservativen Kräften auch nichtkonservative Kräfte auf,

so sind diese (und nur diese) weiterhin durch einen Ausdruck der Formk

k y

Uq

kq~

auf der rechten Seite der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen zweiter Art zu berücksichtigen.

f,,1k , q~yL

yL

dtd

kkk

ni

cht b

ehan

delt

56


Beispiel: Doppelpendel (vgl. Kapitel 3.5.1)

Mit den Beziehungen für die Translations- und Winkelgeschwindigkeiten des Doppelpendels aus Kapitel 3.5.1 erhält man für die kinetische Energie des Gesamtsystems:

βαβαβα

βαβαβαβαα

cosml2ml2

1ml5

2

12

1

2

1cos44ml

2

1ml

2

12

1

2

1m

2

1m

2

1T

222z

22z

2z

2z

22222

22z

21z

22

21

ωωvv

und für die potentielle Energie:

U = -mgl(3cosα + cosβ)

Lagrange-Funktion:

L = T - U

βαβαβαβα coscos3mglcosml2ml2

1ml5

2

1 222z

22z

nich

t beh

ande

lt

57


Für die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion erhält man:

βαβαβααβααβ

β

βαββαβαβαβα

α

βααββ

βαβαα

ββαβαβ

αβαβαα

sinml2sinml2cosml2mlL

dtd

sinml2sinml2cosml2ml5L

dtd

cosml2mlL

cosml2ml5L

sinmglsinml2L

sinmgl3sinml2L

22222z

22222z

22z

22z

2

2

nich

t beh

ande

lt

58


Setzt man diese Ausdrücke in die Lagrangeschen Gleichungen

ein, so ergeben sich die gesuchten Bewegungsgleichungen:

βα

21kk

y , y mit 2,1k , 0yL

yL

dtd

0sinmglsinml2mlcosml2

0sinmgl3sinml2cosml2ml5222

z2

2222z

ββααββαααβαββαβα

Man erhält also auch in diesem Fall die Bewegungsgleichungen in der Form

mit

yyqyykyyM ,,t,,t,t

βα

βααβαβ

βαβα

sinmgl

sinmgl3,,t

sinml2

sinml2,,t

mlcosml2

cosml2ml5,t

22

22

2z

2

22z

yyq

yyk

yM

nich

t beh

ande

lt

59


Anmerkungen:

• Die Bewegungsgleichungen, die sich aus den Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art ergeben, sind bei gleicher Wahl der verallgemeinerten Koordinaten vollständig identisch mit den in Kapitel 3.5 durch das d'Alembertsche Prinzip aus den Newton-Euler-Gleichungen berechneten Gleichungen.Dies gilt auch im allgemeinen Fall. Die beiden Methoden unterscheiden sich also ausschließlich in der Vorgehensweise, nicht aber im Ergebnis.

• Im Gegensatz zum Newton-Euler-Formalismus gestatten die Lagrangeschen Gleichungen (in dieser Form) nicht die Berechnung von Reaktionskräften (Lagerkräften).Umgekehrt ist die Berücksichtigung dieser Kräfte bei der Aufstellung der Gleichungen nicht erforderlich, was in der Praxis einen nicht zu unterschätzenden Vorteil darstellen kann.

nich

t beh

ande

lt

Documents

3 Mechanikai rendszerek dinamikája