3. Hipergeometrik DağılımBinom dağılım ekseriyette yerine koymak suretiyle yapılan örneklemelere tatbik edilmektedir. Örnek, kütleden yerine koymadan çekildiği takdirde artık bağımsız olay söz konusu olmadığından binom dağılım uygulanamaz. Bu gibi durumlarda yani deneylerin bağımsız olmadığı durumlarda Hipergeometrik dağılım uygulanır.

a: uygun, b: uygun olmayan a+b eleman içeren bir kütleden iadesiz olarak n elaman seçildiğinde x tanesinin uygun, n-x tanesinin uygun olmayan elemanlardan oluşma olasılığı hipergeometrik olasılık fonksiyonu ile ifade edilebilir. Hipergeometrik olasılık fonksiyonu şöyle yazılır.

Dağılımın a, b ve n olmak üzer üç paramet-

resi vardır.nx

ba

xn

b

x

a

banxf ,.....,3,2,1

n

);;;(

Hipergeometrik dağılımın beklenen değeri

• Hipergeometrik dağılım fonksiyonu

• Beklenen değer:

nx

n

ba

xn

b

x

a

xf ,...,2,1,0)(

xn

b

xaxx

aax

n

ba

n

ba

xn

b

x

a

xXE)!()!1(

)!1(1)(

1

1

1

1)(

n

ba

n

ba

a

xn

b

x

a

n

ba

aXE

n

baa

XE

)(

nba

aXE

)(

3. Hipergeometrik DağılımÖrnek: Bir dernekte 12 si erkek 8 i bayan toplam 20 üye vardır. 5

Kişilik bir komisyon kura ile seçiliyor.

a) Komisyonda 3 erkek bulunma olasılığı nedir?

Bu olasılığı binom dağılımı ile bulursak

b) Komisyonda en az iki erkek bulunma olasılığı nedir?

12 8

3 2 6160( 3) 0,397

20 15504

5

P X

9422,005778,0115504

840

15504

561

5

20

4

8

1

12

5

20

5

8

0

12

1)1()0(1)2(

XPXPXP

.3456,016,0216,0104,0.6,0.3

5)3( 23 olurxxXP

4. Poisson Dağılımı olduğu zaman binom dağılımı,

Poisson dağılımına yaklaşır. Bir olayın meydana gelme olasılığı (p) sıfıra, dolayısıyla q=1-p ; 1’e yaklaşırsa (terside mümkün ) ve n çok büyük olursa böyle olaylara nadir meydana gelen olaylar denir. Poisson dağılımı nadir meydana gelen olayların dağılımı olarak ta bilinir. Pratik olarak eğer bir olaydaki deney sayısı en az 50 (n≥50) ve np≤5 oluyorsa böyle olaylar nadir olaylar olarak düşünülebilir.

Poisson olasılık fonksiyonu şöyle yazılır:

sabitp n.p ven , 0

nxx

exf

x

,....,2,1,0!

)(

4. Poisson Dağılımıλ=np olup dağılımın ortalamasıdır (beklenen değeri E(X)=λ) ve dağılımın tek parametresidir. Poisson dağılımının varyansı da λ ya eşittir. Var(x)= λPoisson dağılımı da Binom dağılımı gibi bağımsız olaylarda kullanılır. Ancak kütle sınırsız olduğu zaman olayların bağımsızlığına bakmaksızın bu dağılımı kullanmak mümkündür.Poisson dağılımı mamul muayenesinde, sigortacılıkta, matbaacılıkta,iş kazalarında, telefon santrallerinde, az rastlanır hastalıkların olasılıklarının tahmininde kullanılır.

Poisson dağılımın beklenen değeri

• Poisson dağılımının beklenen değeri:

....3,2,1,0!

)(

xx

exf

x

)!1(!)(

1

xx

ex

x

exXE

xx

!

)(dersek)1()!1(

)(1

y

eXEyx

x

eXE

yx

olur.)( XE

Poisson dağılımının varyansıBunun için önce E(X2) hesaplanır.

• Varyans

)!1()11(

)!1(!)(

1122

x

ex

x

ex

x

exXE

xxx

])!1()!2)(1(

)1[()(12

2

x

e

xx

exXE

xx

]1)!2(

[)(2

2

x

eXE

x

22 )(XE

2222 ])([)()( XEXEXVar

olur.)( XVar

4. Poisson DağılımıÖrnek: Bir fabrikada iş kazalarının dağılımının Poisson’a uygunluğu tespit

edilmiştir. Yıllık kişi başına düşen ortalama iş kazası 0,5 alarak bulunmuştur. Tesadüfen seçilen bir kişinin;

a) Hiç Kaza geçirmemesi,

b) Bir kaza geçirmesi,

c) En az bir kaza geçirmesi olasılıklarını bulunuz?

Çözüm:

0,3930,607-10)P(X-11)P(X )

3035,0607,0.5,0.5,01!

5,0)1(f(1;0,5) )

607,0!0

5,0

!)0();()

5,015,0

5,005,0

c

ee

XPb

ee

x

eXPxfa

x

5,0

Örnek: Bir fabrikada üretilen malların 0,03’ü kusurludur.Muayene için 25 birimlik bir örnek çekildiğinde;

a) 4 kusurlu mal çıkması

b) 3 veya daha fazla kusurlu mal çıkması,

c) En fazla 2 kusurlu mal çıkması olasılığı ne olur?

d) Bu örnek için poisson olasılıklarını bulup grafikte gösteriniz.

Çözüm:

0,9601 !2

75,0.75,0

!1

75,0

!0

75,0 2)f(X c)

0,040,9601-1

0,1321)0,3540(0,472-1

)0,28.0,4720,75.0,472(0,472-1

)!2

75,0

!1

75,0

!0

75,0(-13)f(X

3 x0,75 b)

0,006 4.3.2.1

20,316.0,47

4!

75,0 )4( 0,75):f(4

!)f(x;

4 x0,7525.0,03 . )

275,02175,0075,0

275,0175,0075,0

475,0

eee

eee

eXP

x

e

pnax

Kusurlu sayısı

Olasılık f(x)

0 0,4723666

1 0,3542749

2 0,1328531

3 0,0332133

4 0,0062275

5 0,0009341

6 0,0001168

7 1,251E-05

8 1,173E-06

9 9,774E-08

10 7,33E-09

11 4,998E-10

12 3,124E-11

13 1,802E-12

14 9,654E-14

15 4,827E-15

4. Poisson Dağılımı

1.5- Bir örnek dağılım (Kesikli düzgün dağılım)

Eğer x tesadüfi değişkenine ait olan kümedeki her olayın olasılığı eşitse X’in olasılık dağılımı, süreksiz bir örnek (uniform-düzgün) dağılım olarak ifade edilir.

X rassal değişkenine ait örnek uzayıise bir örnek (kesikli düzgün dağılım) dağılım olasılık fonksiyonu şöyle

yazılır.

Örnek: olarak verildiğine göre; a) Olasılık fonksiyonunu yazarak X’in 8 den büyük olma olasılığını P(X>8);b) 6 dan küçük olma olasılığını bulunuz.Çözüm a)

b)

n321 x..........,.........x,x,x

n321 x...........xx xolup n

1)x(f

10,9,8,7,6,5,4,3X

10,...,4,38

1)( Xxf

4

1

8

2

8

1

8

1)10()9()8( ffXP

8

3

8

1

8

1

8

1)5()4()3()6( XPXPXPXP

6. Geometrik DağılımBinom dağılımının uygulandığı bazı durumlarda, verilen herhangi bir

deneyde uygun halin ilk defa meydana gelmesi olasılığı sorulabilir. Eğer uygun hal x inci deneyde ilk defa meydana geliyorsa x-1 sayıdaki deneyde uygun olmayan hal meydana gelmiş demektir. Bunun olasılığı dir. Buna göre X inci deneyde uygun halin ilk defa meydana gelme olasılığı şöyle olur.

Buna göre geometrik dağılım fonksiyonu şöyle yazılır.

Dağılımın tek parametresi p olup uygun hal olasılığını göstermektedir.

Geometrik dağılımın beklenen değer ve varyansı

.)1().1)........(1)(1)(1( 1olurppppppp x

1x)p1(

1( ) (1 ) burada 1,2,3.............xf x p p x

2

1)(

1)(

p

pXVar

pXE

6. Geometrik DağılımÖrnek: Bir bilardo oyuncusunun sayı yapma olasılığı 0,7 tür.

Oyuncunun;

a) 6. atışta ilk defa sayı yapmama olasılığını,

b) En az 6 sayı yapması olasılığını bulunuz.

Oyuncunun sayı yapabilmesi için aralıksız kazanması gerekmektedir.

Çözüm:

a)

b)

050421,016807,0.3,07,0.3,0)70,0(3,0)6( 516 XP

16807,083193,01

)07203,01028,0147,021,030,0(1

)5()4()3()2()1(1....7)P(X6)P(X

fffff

7. Negatif Binom Dağılımıx.inci deneyde uygun halin r.inci defa meydana gelme

olasılığıenın belirlenmesinde negatif binom dağılımı uygulanmalıdır. Negatif binom olasılık fonksiyonu şöyle yazılır.

Özel olarak r=1 olursa geometrik dağılım elde edilir.

Bu dağılımda x-1 deney binom dağılımı gösterir. x. Deneyin sonucu da uygun hal (p) olup x-1 deneyin dağılımı ile çarpılmaktadır.

Negatif Binom dağılımının beklenen değer ve varyansı

xrrrrxppr

xxf rxr ,....,3,2,1,.....2,1,)1(

1

1)(

2

)1()()(

p

prXVar

p

rXE

7. Negatif Binom DağılımıÖrnek: Bir avcının hedefi vurma olasılığı %30 dur.

a) Avcının yaptığı 5. atışın 3. isabetli atış olma olasılığı ne olur?

b) 10. atışın en fazla 2. isabetli atış olma olasılığı ne olur?

Çözüm:

a)

b)

3 2 3 2 3 25 1 4 4.3.2!( 3) 0,3 . 0,7 0,3 . 0,7 0,3 . 0,7 6 0,027 0,49

3 1 2 2!.2!

( 3) 0,162 0, 49 0,07938

P r x x

P r x

064,00121,00519,00,7 .3,0 11

1100,7 .3,0

12

110)1()2()2( 9182

rPrPrP

8. Multinomial Dağılım (Çok terimli dağılım)

• olaylarının meydana gelme olasılıklarının sırasıyla verilmesi halinde defa meydana gelme olasılığı Multinomial dağılım aracılığıyla bulunur.

Burada

k21 p,......p,p

kk22 11 x'E ........ x'E , x' nıınininE

.........3,2,1x .........p !!......!.x

N! )( k

x

21

1

1

k

k

x

k

pXx

xf

.dir'Nx.....xx k21 .'1.....21 dirppp k

k21 E,......E,E

8. Multinomial Dağılım (Çok terimli dağılım)

Örnek: Bir işletmede çalışan mühendisler arasından 9 kişilik bir proje grubu oluşturulacaktır. İşletmede 10 makine, 6 elektrik, 4 endüstri mühendisi çalışmaktadır. Proje grubunda 4 makine 3 elektrik, 2 endüstri mühendisi bulunma olasılığı ne olur.

Çözüm: N=9 x1=4, x2=3, x3=2

20

4

20

6

20

10321 ppp

08505,00000675,01260

)20

4()

20

6()

20

10(

!2!3!4

!9)2,3,4( 234

321

xxxP

Örnek ProblemlerBir işletmede 40 işçi çalışmaktadır. İşçilerden 10 tanesi bayandır.a) Bu işçilerden rastgele 8 tanesi seçilerek bir komisyon oluşturulduğunda 2 tanesinin bayan olma olasılığı ne olur?b) Seçilen 8 kişilik komisyonda en az 3 tane bayan eleman bulunma olasılığı ne olur?

Örnek ProblemlerBir işletmede bulunan bir makinenin herhangi bir günde arıza yapma olasılığı %3 tür. a) 50 günlük bir üretim süresinde makinenin ortalama arıza sayısı ve varyansı ne olur?b) 50 gün içinde makinenin 3 kere arıza yapma olasılığı ne olur?c) 50 gün içinde makinenin en az 2 kere arıza yapma olasılığı ne olur?d) yukarıdaki şıklardan bağımsız olmak üzere 50 gün içerisinde makinenin en az bir kez arıza yapma olasılığı %70 olduğuna göre makinenin bu süre içinde beklenen arıza sayısı ve herhangi bir günde arızalanma olasılığı ne olur?