Embed Size (px)
Citation preview
108
III. RÉSZ
HIDRAULIKAI SZÁMÍTÁSOK
1. A hidrosztatika alapjai
Folyadékok és gázok nyomása
2. Folyadékok áramlása csővezetékben
Hidrodinamika
3. Áramlási veszteségek
4. Bernoulli törvény és alkalmazása
109
_______________________________________________________
A HIDROSZTATIKA ALAPJAI
FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK NYOMÁSA
_______________________________________________________
A HIDROSZTATIKA a nyugvó, álló folyadékok tulajdonságaival foglalkozik. Tárgyalja
- a folyadékoszlop nyomását egy tartály, medence, csatorna, töltés, gát, stb. falára – kiin-
duló adatot szolgáltat a műtárgyak tervezéséhez,
- a tartályokban, csövekben uralkodó nyomást a nyomástartó edények méretéhez és biz-
tonságos működéséhez,
- a vízbe merülő testekre ható felhajtó erőt és az úszás feltételeit.
1. A sűrűség és a fajtérfogat
2. A nyomás és mértékegységei
3. A Pascal tétel
4. A hidrosztatikai nyomás törvénye
5. Az U-csöves manométer
6. A felhajtóerő. A testek úszása
110
1.1 A SŰRŰSÉG ÉS A FAJTÉRFOGAT
A SŰRŰSÉG,
A homogén anyag m tömegének és V térfogatának hányadosa.
Mértékegysége: kg/m3
Megadja az 1 m3 anyag tömegét kg-ban.
A gázok és a folyadékok hézagmentesen kitöltik a rendelkezésre álló teret.
A folyadékok sűrűsége függ a hőmérséklettől. A gázoké még a nyomástól is.
A TÉRFOGATTÖMEG,
A szemcsés anyag m tömegének és V térfogatának hányadosa.
Mértékegysége: kg/m3
Megadja a hézagokkal kitöltött 1m3 térfogatú szemcsés anyag tömegét kg-ban.
A FAJTÉRFOGAT,
A sűrűség reciproka. Mértékegysége: m3/kg
Megadja 1kg tömegű anyag térfogatát m3-ben
1.2 A NYOMÁS ÉS MÉRTÉKEGYSÉGEI
A NYOMÁS, p
Egy felületre merőlegesen ható nyomóerő (P) és a nyomott felület (A) hányadosa.
Mértékegysége a pascal, Pa.
1 Pa nyomás akkor keletkezi, ha 1N erő egyenletesen és merőlegesen hat 1m2 felületre.
A LÉGNYOMÁS, po (ATMOSZFÉRIKUS vagy BAROMETRIKUS NYOMÁS)
A levegőoszlop nyomása
Függ a levegőoszlop magasságától és sűrűségétől a mérés helyén, a tengerszinten és 0°C-
on 760 mm magas higanyoszloppal tart egyensúlyt.
A légnyomást TORRICELLI határozta meg.
Légnyomás a tengerszinten és 0°C-on:
760 mm Hg oszlop nyomása 1,013·105 Pa
10,33 m H2O oszlop nyomása 1,013 bar
111
A TÚLNYOMÁS, pt
a légnyomásnál nagyobb nyomás.
AZ ABSZOLÚT NYOMÁS pa
a légnyomás és a túlnyomás összege: pa = po + pt
A VÁKUUM,
a légnyomás és a légnyomásnál kisebb nyomás különbsége a
vákuum. (Ami hiányzik a légnyomásból)
1.3 A PASCAL TÉTEL
A folyadékok összenyomhatatlanok
A nyugvó folyadék vagy gáz által bármely felületre kifejtett
erő merőleges a felületre.
Zárt térben a folyadékra vagy gázra kifejtett nyomás min-
den irányban egyenletesen terjed és a nyomóerők egyenlők.
1.4 A HIDROSZTATIKAI NYOMÁS TÖRVÉNYE
A folyadék szabad felületétől adott mélységben a nyomás
függ a folyadékoszlop magasságától (h), a folyadék sűrűsé-
gétől ( ) és a gravitációs gyorsulástól (g):
A hidrosztatikai nyomás lineárisan nő a folyadékoszlop ma-
gasságával.
Ha figyelembe vesszük a folyadék felszínére nehezedő légköri
nyomást (po) is, h mélységben az abszolút nyomás:
A hidrosztatikai paradoxon: a hidrosztatikai nyomás független
az edény alakjától, csak a folyadékoszlop magasságától és
sűrűségétől függ.
p = h g Pa h (m), (kg/m3), g (m/s2)
VÁKUUM
Po 760 mm
Hg Oszlop
Torricelli kísérlete
F1 = F2 = F3
F1 F2
F3
F4 F5
h
p
pa = po + h g
112
1.5 AZ U-CSÖVES MANOMÉTER
A manométer U-alakban meghajlított üvegcső, amelyben folyadék (alkohol, víz, higany)
van. A manométer egyik ágát ahhoz a térhez kapcsoljuk, amelyben a nyomást mérjük, a má-
sik ága nyitott, közvetlen kapcsolatban áll a légkörrel.
Nyitott edényben a manométer folyadékra mindegyik ágban a légköri nyomás nehezedik:
a manométer folyadék egyensúlyban van.
Növeljük meg a levegő nyomását az edényben. A manomé-
terben víz van. A manométer bal ágában nagyobb nyomás nehe-
zedik a vízre, mint a külső légnyomás a jobb ágban. Kialakul
egy szintkülönbség a két ágban, amely arányos a nyomással.
Legyen a „O” bázisszint a manométer folyadék alsó szintje.
A bal ágban a bázisszintre nehezedik a pa és a H magasságú
levegőoszlop hidrosztatikai nyomása: pa + H levg
A jobb ágban „O” szintre nehezedik a po légköri nyomás és a
h magasságú vízoszlop nyomása: po + h vízg.
A nyomás egyenlő a két ágban a „O” szinten:
pa + H levg = po + h vízg.
A túlnyomás :
AZ U-CSÖVES MANOMÉTER ALKALMAZÁSA
A manométer folyadékszint különbségének leolvasásával kiszámíthatjuk:
- a gázok (levegő) nyomását egy tartályban (1.9. példa)
- a gázok nyomását a folyadék felszíne felett egy tartályban (1.10. példa)
- a csőben áramló folyadék (gáz) nyomását (1.11. példa)
- a cső két pontja között bekövetkező nyomáscsökkenést (1.12. példa)
1.6 A FELHAJTÓERŐ, A TESTEK ÚSZÁSA
A felhajtóerő
egyenlő a test által kiszorított víz súlyával.
A vízbe merülő testtérfogat-középpontjában hat függőlegesen felfelé.
po po
po + pt po
H
„O” h
113
A felhajtóerő:
Ahol V a kiszorított víz térfogata, m3 (a test vízbemerülő részének térfoga-
ta), víz a víz sűrűsége kg/m3
Az úszás feltétele: a felhajtóerő (F) egyenlő a súlyerővel (G):
Abszolút nyomás.
Egy edényben a túlnyomás h = 300 mmHg oszloppal tart
egyensúlyt. A légköri nyomás 740 mmHg.
Mekkora az edényben uralkodó abszolút nyomás Pa-ban és bar-
ban?
ADATOK
pt = 300 mmHg 1 mmHg = 133,3 Pa
po = 740 mmHg 1 bar = 105 Pa
MEGOLDÁS
=
Vákuum
Egy edényben a légköri nyomásnál kisebb nyomás van.
A h = 600 mmHg. A légköri nyomás 740 mmHg. Mek-
kora az edényben uralkodó abszolút nyomás Pa-ban és
bar-ban? Hány százalékos a vákuum?
1.1 Példa
V vízg = mg
F = V vízg
m az úszó test tömege, kg
1.2 Példa
po
h = 300
mmHg
po
h = 600 mmHg
114
ADATOK
pv = 600 mmHg 1 mmHg = 133,3 Pa
po = 740 mmHg 1 bar = 105 Pa
MEGOLDÁS
Az edényben „maradó” nyomás:
Az atmoszférikus nyomás:
Az atmoszférikus nyomás 0,986 – 0,187 = 0,799 bar-ral csökkent. Ez a nyomás „hiányzik”
a légköri nyomásból
-os vákuum lenne
0,799 bar x%-os vákuum
A vákuum = 81%.
Hidrosztatikai nyomás nyomóerő.
Egy tengeralattjáró 50 méterre merül le. Ajtajának átmérője 1m.
Mekkora nyomás és nyomóerő hat az ajtóra?
ADATOK
MEGOLDÁS
Az ajtóra nehezedő vízoszlop nyomása:
Az ajtó felülete:
1.3 Példa
115
Az ajtóra ható nyomóerő:
MEGJEGYZÉS: Mekkora tömeg nehezedik az ajtóra?
A súlyerő:
N
1 kg tömeg kb. 10 N erővel nyomja az alátámasztó felületet.
Ha 10 N megfelel 1kg-nak, akkor megfelel m kg-nak
Ha egy tengerész ki szeretné nyitni az ajtót, 41,6 tonnát kellene felemelni.
Hidrosztatikai nyomás sűrűség.
Az U-csöves manométer alkalmas a különböző folyadékok sűrűségé-
nek meghatározására is a hidrosztatikai nyomás törvényének felhasználá-
sával.
Az U-csöves manométerben higany van.
Az U-cső egyik szárába olajat öntünk (ho), a másik szárába vizet (hv) a
higany fölé. Kialakul egy szintkülönbség a higany két szára közt (hHg)
ADATOK
hHg = 20 mm = 0,02m, = 13600 kg/m3
hv = 60 mm = 0,06 m, v = 1000 kg/m3
ho = 400 mm = 0,4 m
Számítsa ki az olaj sűrűségét: o = ?
MEGOLDÁS
A feladatot a hidrosztatikai nyomások alkalmazásával számíthatja ki. Válassza ki a
„O” szintnek a Hg alsó szintjét. Erre írja fel a hidrosztatikai nyomásokat az U-cső
két szárában:
Az egyenlőségből fejezze ki és számolja ki az olaj sűrűségét:
1.4 Feladat
( 830kg / m3)
ho hv
hHg
Hg
116
Pascal tétel – hidrosztatikai nyomás
Egy hasáb alakú tartály alapja 4x4 méter, magassága 4 méter. A tartály 3 méter magassá-
gig vízzel van töltve.
A folyadék mekkora erővel nyomja az edény alját és az oldalfalakat 1-2-3 méter mélység-
ben?
ADATOK: a = b = 4 m h = 3 m g = 10 m/s2
a/ A tartály aljára ható nyomás és nyomóerő
p = h g = 3 m 1000 kg/ 10
p = 30 000 Pa = 30 kPa = 30 kN/
F = pA = 30 kN/ 4 m 4 m = 480 kN
b/ Az oldalfalakra ható nyomás és nyomóerő
1 m mélységben:
= ρg = 1
2 m mélységben :
3 m mélységben:
Mekkora nyomás nehezedik a tartály aljára és az oldalfalakra 3 m mélységben?
A számítások melyik tételt igazolják?
A nyomásábra szerkesztése
Rajzolja meg az 1.5 feladatban szereplő víztároló medence aljára és oldalfalaira ható
nyomás ábráját. Számítsa ki a falakra ható koncentrált erőt és a támadáspontot.
a/ Nyomás a medence alján:
1.5 Feladat
1.6 FELADAT
h
b
a
117
A nyomásábra:
Lépték:
A koncentrált erő:
4
A koncentrált erő támadáspontja a 4x4 méteres fenéklemez súlypontjára esik.
b/ Nyomás az oldalfalakon:
A nyomásábra: Lépték:
A koncentrált erő a háromszög területével
egyenlő.
(a négyzet területének a fele)
=
A kN/m mértékegység azt jelenti, hogy az oldalfalak minden 1 m-es szakaszára 45 kN
koncentrált erő hat.
A koncentrált erő támadáspontja a felszínről számítva 2/3 mélységben van.
A támadáspont :
mélységben van.
A nyomások és a nyomóerők ismeretében méretezhetjük a víztároló falának vastagságát.
MEGJEGYZÉS
A víz mélységét felülről lefelé ábrázoljuk a függőleges tengelyen. Így a folyadék felszínén
az oldalfalakra nehezedő nyomás nulla. Az origóban ábrázoljuk a vízoszlop legmélyebb pont-
ját. ( A példában a 3 m-t.)
p (kPa) h (m)
0
1
2
3
0
10
20
30
h (m)
p (kPa) 10 20 30
1
2
3
0
118
Víznyomására ferde felületen.
Mekkora nyomás nehezedik egy csatorna ferde falára különböző mélységben? Mek-
kora a koncentrált erő?
Ezekre a kérdésekre a nyomásábra megszerkesztésével adhatunk választ.
ADATOK
A vízmélység h = 3 m
A fal rézsűhajlása 1:2 (A háromszög függőleges oldala 3 m, a vízszintes oldala 6 m)
MEGOLDÁS
A víznyomás h = 3 m mélységben:
A víznyomásábra:
A nyomás merőlegesen
hat a ferde fal lábánál:
A koncentrált erő a háromszög területével
egyenlő:
mivel a rézsűhajlás , a Pitagorász tételéből:
A koncentrált erő mértékegységre azt jelenti, hogy a csatorna falának minden 1 m
széles szakaszára 100,5 kN erő hat.
A koncentrált erő támadáspontja a felszíntől számítva 2/3 mélységben van:
A csatorna falának 1 m széles szakaszára 100,5 kN erő hat, amelynek támadáspontja a fel-
színtől 4,46 m mélységben van a rézsűn.
1.7 FELADAT
R
3m
6m
30 kN/m2
P
l
119
Nyomómagasság
A kútban a víz szintje 17 méterre van a talaj felszíne alatt. A csőből egy szivattyúval kiszív-
ják a levegőt.
A légnyomás milyen magasra nyomja fel a vizet? Eléri a szivattyút?
Írja fel a hidrosztatikai nyomás törvényét és
fejezze ki a vízoszlop magasságát.
Milyen magasra emelkedik fel a víz a légritkított csőben? Eléri a szivattyút?
Nyomás egy gázzal töltött tartályban.
A tartály 1 kg/ sűrűségű gáz van. A manométer-folyadék víz, a szintkülönbség 500
mm. Határozza meg : a/ a túlnyomást a tartályban
b/ a túlnyomást a tartályban, ha a gázoszlop nyomásával nem számo-
lunk
c/ az elhanyagolással elkövetett hibát.
1.8 FELADAT
1.9 FELADAT
H
po h
szivattyú
pa
H h
po
120
MEGOLDÁS
a/
b/ ha a ( a gáz sűrűsége elhanyagolható)
c/ Az elkövetett hiba:
A hiba csupán 0,16%. Ezért a gázoszlop nyomását a gyakorlati számításokban elha-
nyagolhatjuk.
a manométer-folyadék sűrűsége, h a szintkülönbség a manométerben.
A MEGOLDÁS ÁLTALÁNOS ALGORITMUSA
A manométer-folyadék egyensúlyban van.
1. Jelölje ki a bázisszintet:
a manométer-folyadék alsó szintje: 1
2. Határozza meg a nyomást a bázisszinten:
a bal ágban:
a jobb ágban :
3. Írja fel az egyenlőséget:
4. Fejezze ki a keresett mennyiséget:
az abszolút nyomás:
a túlnyomás :
ÁLTALÁBAN
121
Csőben áramló közeg nyomása
A csőben levegő áramlik. A manométerfolyadék víz. A szintkülönbség a manométer-
ben 200 mm vízoszlop. A külső légköri nyomás 750 mmHg.
ADATOK
Számítsa ki a túlnyomást és az abszolút nyomást a csőben
Pa-ban és bar-ban. A H magasságú levegőoszlop hidrosztatikai
nyomását hanyagoljuk el. A túlnyomás:
MEGOLDÁS
a/ A túlnyomás:
b/ Az abszolút nyomás:
a légköri nyomás : (mmHg oszlopban van megadva!)
Az abszolút nyomás:
A levegő túlnyomása a csőben 0,02 bar, abszolút nyomás 1,02 bar.
Nyomáskülönbség a csővezeték két pontja között.
A csőben áramló folyadék súrlódik a cső falán, csökken a mozgási energiája és a nyomása. A
nyomáscsökkenést meghatározhatjuk a csővezeték két pontja közé bekapcsolt U-csöves ma-
nométerrel.
Mekkora a nyomáscsökkenés ha a csőben víz áram-
lik? A manométerben higany van. A szintkülönbség
h = 30 mm,
1.10 FELADAT
1.11 FELADAT
LEVEGŐ
H
h
p1 p2
H1 H2
h
122
1. A „O” bázisvonalra nehezedő nyomás.
a bal ágban:
a jobb ágban:
2. A higany egyensúlyban van.
3. A nyomáskülönbség:
A nyomásesést kiszámíthatjuk a manométeren leolvasott szintkülönbségből:
A képletben két sűrűség szerepel: az egyik a manométerfolyadék, a másik az áramló
közeg sűrűsége.
MEGOLDÁS
FELADAT
Számítsa ki a nyomásesést ha az áramló közeg sűrűségű levegő. A mano-
méterben higany van, a szintkülönbség 30 mm.
Számítsa ki a nyomásesést, ha a levegő sűrűségét elhanyagoljuk.
A NYOMÁSCSÖKKENÉS A CSŐ KÉT PONTJA KÖZÖTT
ÁLTALÁBAN
a manométerfolyadék sűrűsége, kg/ az áramló közeg sűrűsége, kg/
„O”
123
2.
FOLYADÉKOK ÁRAMLÁSA CSŐVEZETÉKBEN
HIDRODINAMIKA
A HIDRODINAMIKA az áramló folyadékok tulajdonságaival foglalkozik.
Néhány alapvető fogalma, mennyiséget és mértékegységet kell rögzíteni az áramlás-
tan tanulmányozása előtt.
Ki kell számítani
- a csőben áramló folyadék vagy gáz térfogatát, tömegét, sebességét,
- a folyadék (gáz) előírt mennyiségének szállítására alkalmas csővezeték kereszt-
metszetét, átmérőjét,
- az áramlás jellegét kifejező számokat és azt a kritikus sebességet, amelynél a „si-
ma”, párhuzamos áramlás gomolygóvá válik,
- a változó keresztmetszetű csövekben a keresztmetszetek s az áramlási sebessé-
gek viszonyát.
1. A térfogat – és tömegáram.
2. A viszkozitás
3. Az áramlás jellege.
A Reynolds – szám
4. A folytonossági törvény
124
2.1 A TÉRFOGAT – ÉS TÖMEGÁRAM
A TÉRFOGATÁRAM, , V
A cső adott keresztmetszetén egységnyi idő alatt átáramlott
folyadék vagy gáz térfogata.
v a folyadék (gáz) áramlási sebessége m/s
A a cső keresztmetszete m2
d a cső belső átmérője m
Megadja, hogy a cső adott keresztmetszetén hány m3folyadék vagy
gáz áramlik át 1 s alatt.
A TÖMEGÁRAM, ,m
A cső adott keresztmetszetén egységnyi idő alatt átáramlott folyadék vagy gáz tömege.
kg/s
a folyadék (gáz) sűrűsége,
Megadja, hogy a cső adott keresztmetszeten hány kg folyadék vagy gáz áramlik át 1 s
alatt.
A térfogatáram képlete több feladat megoldására alkalmas.-
_____________________
- Hány m3 folyadék áramlik át a cső keresztmetszetén 1 s alatt?
Adott a cső átmérője (d) és az áramlás sebessége (v).
______________________
- Milyen sebességgel áramlik a folyadék?
Adott a térfogatáram (qv) és a cső átmérője.
______________________
- Milyen átmérőjűcső képes az előírt térfogatáramot adott
sebességgel elszállítani?
______________________
- A cső keresztmetszete az átmérő ismeretében:
______________________
v
125
2.2 A VISZKOZITÁS
A VISZKOZITÁS, η,ν
a folyadékok belső súrlódását fejezi ki.
A nagyobb viszkozitású folyadékok kevésbé folynak meg.
A viszkozitás függ a folyadék hőmérsékletétől: a nagyobb hőmérséklet csökkenti a
viszkozitást.
Két egymáson elcsúszó folyadékréteg között ellentétes erők, nyírófeszültségek
lépnek fel. Az erő arányos a folyadékrétegek felületével (A) és az
egymáshoz viszonyított relatív sebességükkel (v), fordítva arányos a
folyadékrétegek távolságával (l):
η A DINAMIKAI VISZKOZITÁS
Belső súrlódási együttható.
Mértékegysége :
KINEMATIKAI VISZKOZITÁS, ν
A dinamikai viszkozitás és a sűrűség hányadosa
Mértékegysége:
2.3 AZ ÁRAMLÁS JELLEGE. A REYNOLDS –SZÁM
A folyadékok áramlása lehet
lamináris vagy turbulens
A lamináris áramlásban a folyadékrészecskék egy irányba, az áramlás irányába ha-
ladnak, párhuzamos folyadékrétegek mozognak egymás mellett.
A turbulens áramlásban a folyadékrészecskék a csőfala felé is elmozdulnak, go-
molygó mozgást végeznek.
Az áramlás jellegét a Reynolds- számmal fejezzük ki.
A
l
v
126
2.1. PÉLDA
A csőben áramló folyadékra:
v a folyadék áramlási sebessége, m/s,
d a cső átmérője, m
Ha az áramlás
- lamináris: a Re
- átmeneti : 2360
- turbulens: a Re
Egy adott átmérőjű csőben a növekvő áramlási sebességgel a Re-szám is nő. Laminá-
ris az áramlás a kisebb sebesség és kisebb csőátmérő tartományban.
Az áramlás jellegének ismerete azért fontos, mert a lamináris tartományban kisebb
az áramlási veszteség, a folyadékot kisebb energiával szállíthatjuk a csővezetékekben.
A Reynolds-szám mindig tartalmaz egy jellemző sebességet és méretet (itt az áramlás
sebességét és a cső átmérőjét). Megadja az áramló közegre ható tehetetlenségi és belső
súrlódási erők arányát. Kifejezi az áramlás jellegét.
2.4 A FOLYTONOSSÁGI TÖRVÉNY
A változó keresztmetszetű csőben az áramló folyadék térfogatárama állandó:
Az áramlási sebesség fordítva arányos a cső keresztmetsze-
tével. A kisebb átmérőjű (keresztmetszetű) csőben az áramlás sebessége nagyobb. Így tud az
adott térfogatú folyadék azonos idő alatt átáramlani.
A gázok összenyomhatók, ezért a gázok áramlásakor a tömegárammal kell számolni.
Térfogat- és tömegáram
Egy csővezetékben etilalkohol áramlik.
Sebessége 1,5 m/s, sűrűsége 790 kg/m3. A csővezeték átmérője 35 mm.
Mekkora az etilalkohol térfogat- és tömegárama?
Lamináris, párhu-zamos rétegek
Turbulens, go-
molygó áramlás
A1
A2
v1 v2
127
2.2 PÉLDA
ADATOK
v = 1,5 m/s d = 35 mm = 0,035 m
MEGOLDÁS
A térfogatáram: m3/s
A tömegáram: kg/s
790
Az áramlás átmeneti a lamináris és a turbulens áramlás között.
Térfogatáram buborékos áramlásmérés
A buborékos áramlásmérés kis térfogatáramok mérésére alkalmas. A folyadék
egy átlátszó csőszakaszban áramlik. A folyadékba egy jelző buborékot nyomunk és mérjük a
buborék sebességét, amely jó közelítéssel azonos a folyadék átlagsebességével.
A buborék a 20 mm-es utat háromszor mérve 4,8 s, 5 s
és 4,6 s alatt tette meg. A cső átmérője 10 mm.
Számítsa ki a térfogatáramot: ml/s
ADATOK
s = 200 mm = 0,2 m v = s/t m/s
t = 4,8 + 5 + 4,6/3 = 4,8 s qv = vA m3/s
d = 10 mm = 0,01 m
s
128
2.3 PÉLDA
2.4 PÉLDA
MEGOLDÁS
A Reynolds-szám:
Dinamikai viszkozitás
Az álló és a mozgó lemez között 60 os
glicerin van. A lemezt 1 N erővel mozgatjuk, sebessége 10
mm/s, felülete 1 m2.
Mekkora a 60 os glicerin viszkozitása?
ADATOK
F = 1 N
A = 1 m2
l = 1 mm = 0,001 m
v = 10 mm/s = 0,01 m/s
MEGOLDÁS
Reynolds-szám
Számítsa ki, hogy milyen sebességnél vált át az áramlás laminá-
risból turbulensbe adott csőátmérő esetében, ha a csőben a/ víz áramlik, b/ levegő áram-
lik.
ADATOK
d = 10 mm
v
l
129
2.5 PÉLDA
MEGOLDÁS
a/ A víz áramlásakor
b/ A levegő áramlásakor
KÖVETKEZTETÉS
A lamináris áramlás kis átmérő és kis sebességek mellett alakul ki. A szokásos áram-
lási sebességeknél az áramlás általában turbulens.
Folytonossági törvény folyadékok áramlásakor
Egy változó keresztmetszetű csőben 600 dm3 folyadékot szállítunk
percenként. A keresztmetszet a cső elején 0,01 m2. A kilépő folyadék sebessége 4 m/s.
Számítsa ki a folyadék sebességét a cső elején és a keresztmetszetet a cső végén.
ADATOK
a folytonossági törvény a térfogatáram
MEGOLDÁS
A1, v1 v2, A2
130
2.6 PÉLDA
ALKALMAZÁS
A folytonossági törvényből kifejezhetjük bármelyik tagot, ha a másik hármat
ismerjük.
Kiszámíthatjuk
- a változó keresztmetszetű csőben a megváltozott áramlási sebességet,
- az előírt sebességhez a szűkítés vagy bővítés keresztmetszetété (átmérőjét).
Folytonossági törvény gázok áramlásakor
Egy állandó keresztmetszetű csőben levegő áramlik. A cső
elején az áramlás sebessége 15 m/s, a nyomás 2 bar. A cső végén a nyomás 14 bar. A levegő
sűrűsége a légköri nyomáson 1,22 kg/ .
Számítsa ki a kilépő levegő sebességét.
ADATOK
A folytonossági törvény : ,
állandó keresztmetszeten:
A levegő sűrűsége a különböző nyomáson eltérő.
A Boyle-Mariotte törvény a sűrűséggel:
A nyomások aránya egyenlő a sűrűségek arányával.
MEGOLDÁS
A levegő sűrűsége 2 és 1,4 bar nyomáson:
A kilépő levegő sebessége:
131
1. A veszteségmagasság
2. A nyomásveszteség
3. A csősúrlódási együttható
4. A szerelvények ellenállása
5. Az egyenértékű csőhossz
6. Az egyenértékű átmérő
3.
ÁRAMLÁSI VESZTESÉGEK
A vegyipari és környezetvédelmi üzemében nagy mennyiségű folyadékot (vizet) és gázt
(levegőt) kell szállítani a csővezetékekben, csatornákban.
Ki kell számítani
- a folyadékok, gázok (fluidumok) energiaveszteségét, amely azért keletkezik, mert
az áramló közeg súrlódik a cső vagy a csatorna falán,
- a cső minőségére jellemző csősúrlódási együtthatót,
- a folyadékok, gázok energiájának veszteségét a csővezetékbe beépített idomok-
ban, szerelvényekben, mert az áramló közeg ezekben irányváltoztatásra kénysze-
rül,
- az idomok, szerelvények ellenállására jellemző helyi ellenállás tényezőt.
132
3.1 A VESZTESÉGMAGASSÁG,
Az áramló gázok és folyadékok súrlódnak a cső falán, ami energiaveszteséget, nyo-
máscsökkenést okoz.
Ha egy cső két végére egy-egy üvegcsövet szerelünk
függőleges helyzetben, a folyadékszint különbsége közvetle-
nül megmutatja az áramló folyadék energiájának csökkenését,
a „veszteségmagasságot.”
Az energiaveszteség arányos a cső hosszával (l), az
áramlás sebességével (v) és fordítva arányos a cső átmérőjével
(d).
A veszteségmagasság
J/N
λ a csősúrlódási együttható
l a cső hossza (m), d az átmérője (m), v az áramlás sebessége (m/s)
A veszteségmagasság
megadja a csőben áramló egységnyi súlyú folyadék energiaveszteségét a kijelölt
hosszúságú egyenes csőszakaszon. Mértékegysége: joule/newton, J/N.
A veszteségmagasság mértékegysége az alapegységekkel
kifejezve : méter. Ezért beszélünk „magasságról”.
3.2 A NYOMÁSVESZTESÉG,
Az energiaveszteség nyomáscsökkenéssel jár a cső hossza
mentén.
A cső két pontjához kötött manométeren a szintkülönbség
arányos a nyomáscsökkenéssel.
hv
v
l
v d
P1 > P2
P1 P2
h
(m)
133
A nyomásveszteség
megadja a csövekben, csatornákban áramló folyadék nyomásának csökkenését
két kijelölt keresztmetszet között. Mértékegysége: pascal, Pa.
A nyomásveszteség
Pa
az áramló közeg sűrűsége, kg/m3
= λ
3.3 A CSŐSÚRLÓDÁSI TÉNYEZŐ, λ
Értéke függ a Re-számtól és a cső falának relatív érdességétől.
A relatív érdesség, δ
a jellemző egyenetlenség (k) és a belső átmérő (d) hányadosa:
δ=k/d
A csősúrlódási tényező meghatározása:
- a 3.1 diagramból a Re-szám és a δ ismeretében,
- empirikus egyenletekkel
lamináris áramlásban turbulens áramlásban
λ
λ
- kísérleti úton (4.3 példa)
Néhány cső érdességét a 3.1 táblázatban tüntettük fel.
3.4 A SZERELVÉNYEK ELLENÁLLÁS TÉNYEZŐJE,ζ
A csőhálózatba beépített idomok (könyök, elágazás…) és szerelvények (szelep, csap,
tolózár…) ellenállást fejtenek ki az áramlással szemben, ezért energiaveszteséget, nyomás-
esést okoznak.
A veszteségmagasság: A nyomásveszteség:
Pa
J/N
ξ az idom vagy szerelvény helyi ellenállás tényezője.
d k
134
3.5 AZ EGYENÉRTÉKŰ CSŐHOSSZ, le
Az egyenértékű csőhossz csőben:
annak az egyenes csőszakasznak a hossza, amelyben
ugyanakkora a nyomásveszteség, mint az adott idomban
vagy szerelvényben: szerelvényben:
ξ az idomra vagy szerelvényre, λ
és d a csőre vonatkozik.
A csőhálózatban bekövetkező veszteségmagasság kiszám tásakor az egyenes
csőszakaszok és az idomok, szerelvények egyenértékű csőhosszának összegével kell számolni:
3.6 AZ EGYENÉRTÉKŰ ÁTMÉRŐ, de
Ha a cső nem kör keresztmetszetű, az egyenértékű átmérővel kell számolni.
Az egyenértékű átmérő:
Nem körkeresztmetszetű csövekben (csatornákban)
a veszteségmagasság a Re-szám
m
a a
A= a a
K = 4 a
A= a
K= a + 2 m A = (R
2-r
2)
K =
135
PÉLDÁK, FELADATOK
3.1 PÉLDA
a csősúrlódási tényező, ha az áramlás lamináris
A csősúrlódási diagram
A betoncső belső átmérője 10 cm, érdessége 2 mm. A csőben vizet szállítunk, a térfo-
gatáram 200 dm3 percenként. Határozza meg a csősúrlódási tényezőt a diagram segítségével.
d= 10 cm = 0,1 m
k mm = 0,002 m
A 3.1 diagram a λ-t a Reynolds szám és a relatív érdesség függvényében ábrázolja:
A Δ nyomásveszteséget a cső két keresztmetszete között megmérjük:
A v áramlási sebességet kiszámítjuk a térfogatáram és a keresztmetszet ismeretében:
MEGOLDÁS
A 3.1. diagramból:
a
a
b
a a/b =
0,5
136
3.1.ÁBRA A csősúrlódási együttható
A lamináris áramlásban meredeken csökken a Re számmal. Ezt fejezi ki a
hányados is.
Pl: Re= 2000, a λ = 0,03.
A turbulens áramlásban ( a nagyobb Re-számok esetén), az egyes relatív érdességű
csövekben, nem függ a Re-számtól.
Sima falú, kisebb relatív érdességű csövekben kisebb a súrlódási veszteség, kisebb a
λ értéke.
Példa: Ha a Re = 2
k/d = 0,001, a ~ 0,02 (sima fal)
k/d = 0,05, a ~ 0,07
137
3.2 Példa
MEGJEGYZÉS
Lamináris áramlásban a Re-szám növekedésével a λ csökken. Ezt mutatja a merede-
ken lefelé futó görbe, ezzel összhangban a λ=64/Re összefüggés is.
Turbulens áramlásban – nagy Re-szám tartományban – a görbék vízszintesen helyez-
kednek el: a λ nem függ a Re-számtól.
Veszteségmagasság csősúrlódási tényező
Egy csővezeték két pontjához egy-egy üvegcső csatlakozik. A csőben víz áramlik. A
két üvegcsőben a vízszint különbség közvetlenül a veszteségmagasságot adja.
Számítsa ki a csősúrlódási tényezőt.
L = 2 m, D = 17 mm = 0,017 m
h =
λ=?
MEGOLDÁS
h
D
qv
L
138
3.3 FELADAT
FELADAT
A csősúrlódási tényező 0,011. Ez a kis érték simafalú, jó minőségű csőre utal.
A csősúrlódási tényező kísérleti meghatározása
Az acélcső (4) hossza 2 m, átmérője 17 mm. A szivattyúval
(1) vizet szállítunk. A szelep (2) és a rotaméter (3) segítségével
beállítunk 800 dm3/h térfogatáramot.
A Hg töltésű manométeren (5) leolvasunk 20 mm szintkü-
lönbséget.
Számítsa ki az acélcső csősúrlódási tényezőjét.
ADATOK
l = 2 m, d = 17 mm = 0,017 m
MEGOLDÁS
Az acélcső csősúrlódási együtthatója 0,045.
Ellenőrizzük az acélcső minőségét.
Feltételezzük, hogy az acélcső használt, rozsdás, az érdessége k~0,3mm (3.1. táblázat)
Számítsuk ki a Re-számot
a relatív érdességet.
1
2
3
4
5
h
139
FELADAT
3.4 PÉLDA
Határozza meg a λ-t a diagramból is.
Jó volt a feltételezés?
Ismételje meg a mérést 400 dm3/h térfogatárammal. A manométerben
a szintkülönbség 10 mmHg.
Számítsa ki a csősúrlódási együtthatót.
Ábrázolja a λ-t a Re-szám függvényében.
Hogyan változik a λ a növekvő Re-számmal (áramlási sebességgel)?
Lamináris vagy turbulens tartományban mér?
Egyenértékű csőhossz - veszteségmagasság
A csővezetéken vizet szállítunk. A víz energiát veszít az egyenes csőszakaszokban, a
szelepben, a könyökben és a kiömléskor. Mekkora a veszte-
ségmagasság s csővezetékben?
Az egyenes csőszakaszok
hossza: l = 120 m, átmérője: d = 0,2 m
A veszteségtényezők:
1. kilépés a csőből
2. 90o –os könyök
3. szelep nyitva 2,5
Σ ξ = 3,8
Számítsa ki:
- az egyenértékű cső hosszát: le
- az egyenes és az egyenértékű csőhossz összegét: lö
- az áramlási sebességet: v
- a veszteségmagasságot: hv
- a nyomásveszteséget,
1
2 3
D
140
3.5 FELADAT
MEGOLDÁS
A csőidomok és csőszerelvények egyenértékű csőhosszúsága:
A víz kiömlésekor, a könyökben és a szelepben akkora energiaveszteség keletkezik,
mint 30,4 m hosszú egyenes csőben.
A cső keresztmetszete:
A víz áramlási sebessége:
A veszteségmagasság:
A nyomásveszteség:
Δ
A folyadék nyomásvesztesége 23764 Pa (0,2376 bar) az adott csővezetékben.
MEGJEGYZÉS
A nyomásveszteséget másik összefüggéssel is kiszámíthatjuk a hv ismeretében:
Veszteségmagasság
Vizet szállítunk a felső tartályból az alsóba. A
csőátmérő 150 mm, csősúrlódási együttható 0,01.
Az egyenes csőszakaszok hossza 14 m. A térfo-
gatáram 234 m3/ h.
Számítsa ki a veszteségmagasságot.
J/N
ADATOK
d = 150 mm, l = 14 m, λ =0,01
qv = 234 m3/h = 0,065 m
3/s
be- és kiömlés: ξ1 = 1
könyök: 2 = 0,3 (háromszor)
1
2 2
2 1
3
141
FELADAT
3.6 PÉLDA
szelep: ξ3 = 2,3
Számítsa ki:
a/ az áramlás sebességét:
b/ az egyenértékű csőhosszat:
c/ a veszteségmagasságot:
Határozza meg a veszteségmagasságot úgyis, hogy külön kiszámolja az
egyenes csőben és a szerelvényekben bekövetkező veszteségeket:
és
Az eredmény azonos?
Egyenértékű átmérő - veszteségmagasság
A csatornában víz áramlik. Határozza meg az áramlás
jellegét, a veszteségmagasságot és a nyomásveszteséget.
l = 120 m
a = 180 mm = 0,18 m
m = 135 mm = 0,135 m
v = 1,5 m/s
λ = 0,03
de = ? Re = ? hv = ? Δpv = ?
MEGOLDÁS
A = a m 0,135 m = 0,0243 m2
K = a + 2 m = 0,18 m + 2 0,135 m = 0,45 m
de = 4A/K = 4 0,0243 m2/0,45 m = 0,216 m
Re =
turbulens
m 20°c
a
l
142
3.7 PÉLDA
A veszteségmagasság
Egységnyi súlyú (1 N) víz 1,92 J energiát veszít a csatornában.
A nyomásesés:
Δ
A nyomásveszteség a hv ismeretében:
Δ
Egyenértékű átmérő – veszteségmagasság
A „cső a csőben” hőcserélő gyűrű keresztmetszetében 800 kg/m3 sűrűségű, 1,6 10
-2
Pa s viszkozitású folyadék áramlik 1,5 m/s sebességgel. A körgyűrű külső sugara 0,05 m. A
cső hossza 10 m.
R = 0,06 m = 800 kg/m3
r = 0,05 m η = 1,6 10
-2 Pa s
l = 10 m v = 1,5 m/s
Számítsa ki a/ az egyenértékű csőátmérőt, b/ az áramlás jellegét, c/ a veszteségma-
gasságot.
MEGOLDÁS
A körgyűrű keresztmetszete :
A nedvesített kerület:
Az egyenértékű átmérő:
Az áramlás jellege:
lamináris
A csősúrlódási együttható:
A veszteségmagasság:
r R
143
3.8 FELADAT
A hőcserélő gyűrű alakú keresztmetszetében áramló 1 N súlyú víz 3,67 J energiát ve-
szít 10 m hosszú úton.
A szelep ellenállás tényezőjének kísérleti meghatározása
A szabályozó- és záró szerkezetek (szelepek, csapok, tolózárak)
ellenállást fejtenek ki az áramlással szemben. Csökken az áramló folyadék mozgási energiája
és a nyomása. Ha megmérjük a szerelvényekben bekövetkező nyomásesést (Δ pv),
meghatározhatjuk az ellenállás mértékét, kifejező helyi ellenállás tényezőt.(ξ).
A szivattyú (1), a szelep (2) és a rotaméter (3) segítségével beállítuk egy
térfogtáramot. A szelephez (4) kötött manométeren (5) leolvassuk a szintkülönbséget (h).
A nyomásveszteség a szerelvényeken:
A Δpv-t a manométerrel megmérjük: Δpv =hg(
Az áramlási sebességet kiszámítjuk: v = qv/A
A cső átmérője: d = 17 mm = 0,017 m
A térfogatáram: qv = 800 dm3/h = 0,00022 m
3/s
A szintkülönbség: h = 9,8 mm = 0,0098 mHg
Mekkora a szelep ellenállás tényezője?
MEGOLDÁS
A cső keresztmetszete:
A víz áramlási sebessége: v=
A nyomásveszteség:
Az ellenállás tényező:
ξ =
A szelep zárásával egyre nagyobb akadályt állítunk a víz áramlásának útjába, egyre
nagyobb lesz a nyomásesés és az ellenállás tényező.
Más szerelvények helyi ellenállás tényezőjét is meghatározhatjuk, ha ezeket a szelep
helyére beépítjük.
1
2
3
4
h
Hg 5 víz
144
FEL-
ADAT
FEL-
ADAT
MEGJEGYZÉS
A szelepek (csapok, tolózárak) ellenállás tényezője függ attól, hogy milyen mértékben
van nyitva.
A nyitottság mértéke, η
Az ellenállási tényező
ζ =
a teljesen nyitott szelep ellenállás tényezője
Számítsa ki a szelep ellenállási tényezőjét, ha 70 %-ig van nyitva.
A nyitottság mértéke: η = 0,7
Teljesen nyitott szelepre: = 2,5
( = 5)
Ismételje meg a mérést félig zárt szeleppel: zárja a szelepet addig, amíg a
rotaméter 400 dm3/h térfogatáramot mutat. Ekkor a szintkülönbség a mano-
méterben 18 mmHg.
Számítsa ki az ellenállás tényezőt.
Ábrázolja ζ-t a Re-szám (az áramlási sebesség) függvényében. Hogyan változik a
vizsgált Re-szám tartományban?
145
3.1 TÁBLÁZAT
Különböző csövek érdessége
A cső anyaga Belső felülete Érdesség, k, mm
Húzott vagy sajtolt réz,
bronz, alumínium, műanyag,
üveg
Új
Használt
0,0013 – 0,0015
0,0015 – 0,03
Húzott vagy hengerelt acél-
cső, varrat nélkül
Új
Horganyzott
Rozsdás
0,02 – 0,05
0,10 – 0,16
0,10 – 0,3
Hegesztett acélcsövek
Új
Rozsdás
Vízvezetéki lerakódás
0,05 – 0,15
0,25 – 0,3
1,5 – 3,0
Öntöttvas csövek Új
Használt
0,2 – 0,6
1,5 – 4,0
Beton csövek Új, sima
Új, érdes
0,3 – 0,8
1,0 – 3,0
Különböző közegek közepes áramlási sebességei
Közeg Vköz
m/s
Közeg Vköz
m/s
Víz
Forró víz
Viszkózus folyadék
Sűrített levegő
1 – 3
2 – 3
1 – 2
3 - 10
Kisnyomású gáz
Nagynyomású gáz
Nedves gőz
Túlhevített gőz
3 – 10
5 – 15
10 – 25
30 - 80
146
4.
BERNOULLI TÖRVÉNY
ÉS ALKALMAZÁSA
Az áramló folyadékokra három különböző energia jellemző.
- Helyzeti (potenciális) energia. Az m folyadéktömeg helyzetének magasságga
határozza meg egy bázisszinthez (tengerszinthez, talajszinthez stb.) viszonyítva.
- Nyomási energia. Áramlás közben a folyadék nyomásából származó erők
munkát végeznek. A V térfogatú folyadéktömeg elmozdulásából származó nyomás munka-
végző képessége jelenti a nyomási energiát.
- Mozgási (kinetikus) energia. A mozgó testek, fluidumok (folyadékok, gázok)
munkát végeznek. A munkavégző képességükben jelenik meg a mozgási energiájuk.
A Bernoulli törvény azt mondja ki, hogy az áramló folyadék három energiájának
összege állandó marad a csővezeték minden keresztmetszetében, miközben az egyes
energiák egymásba átalakulhatnak.
147
A BERNOULLI TÖRVÉNY
Az áramló folyadékok helyzeti, nyomási és mozgási energi-
ájának összege a csővezeték minden pontján egyenlő:
Minden tag egységnyi súlyú (1 N) folyadék energiáját (J) jelenti.
Mértékegysége: A helyzeti energia
Eh = mgh
N : kg
Egységnyi súlyra
Mértékegysége az alapegységekkel kifejezve m, ezért az egyes
tagokat „magasságnak” nevezzük:
h– a geometriai magasság
p/ρg – a nyomásmagasság
v2/2g – a sebességmagasság
A „magasságok” fajlagos (egységnyi súlyra eső) energiákat fejeznek ki.
A Bernoulli törvény az energiamegmaradás törvényét alkalmazza az áramló folyadékokra.
A Bernoulli törvénynek ez az alakja veszteségmentes áramlásra vonatkozik. Ha a vesztesé-
geket nem hanyagoljuk el, a jobb oldalt ki kell egészíteni a hv veszteségmagasággal.
A BERNOULLI TÖRVÉNY ALKALMAZÁSA
A Bernoulli törvényt sok feladat megoldására alkalmazhatjuk. Az áramlás két külön-
böző pontjára írja fel a folyadék magasságát (h1 és h2) az alapszinthez viszonyítva, a nyo-
mást (p1 és p2) és az áramlás sebességét (v1 és v2). Ezek közül mindegyiket kifejezhetjük az
egyenletből, miután az egyenletet egyszerűsítettük egyik-másik tényező elhanyagolásával.
Kiszámíthatjuk:
- a kiömlés sebességét (v2) és térfogatáramát (qv) egy adott átmérőjű csőből
(4.1 – 4.3) feladat,
- az állandó kifolyási sebességet biztosító cső átmérőjét (4.4 feladat)
v1
v2
P1
P2
h1 h2
148
4.1 PÉLDA
- a szelepre (csapra) nehezedő nyomást (p2) a cső végén (4.5 feladat)
Ha a folyadék útja csővezetékben rövid, néhány m, az áramlási veszteségeket elhanya-
golhatjuk.
A kifolyás sebessége a nyomópalackból.
A palackban a víz felszínére nyomás nehezedik.
Mekkora sebességgel áramlik ki a víz a cső végén? Hány m3 (dm3) vizet kapunk 1 s
alatt?
ADATOK
túlnyomás a palackban: pt = 2 bar
légköri nyomás: po = 1 bar
h = 0,2 m
d = 10 mm = 0,01 m
a veszteségeket elhanyagoljuk
Számítsa ki a kiömlő víz sebességét és térfogatáramát: ?
A Bernoulli egyenlet:
Meg kell határozni a rendszer célszerűen kiválasztott két pontján a h, p és a v
mennységeket és ki kell fejezni az ismeretlent.
PÉLDÁK, FELADATOK
A MEGOLDÁS ÁLTALÁNOS ALGORITMUSA
1. Jelölje ki a vonatkoztatási szintet.
2. Jelöljön ki két célszerű vizsgálati pontot.
3. Rögzítse a két ponton az ismert és az elhanyagolható h, p, és v ér-
tékeket.
4. Írja fel a Bernoulli egyenletet: az elhanyagolható mennyiségeket
nullával helyettesítve.
5. Fejezze ki keresett mennyiséget.
149
4.2 FELADAT
MEGOLDÁS
1. A vonatkoztatási szint: „O”
Célszerű a folyadék felszínét kijelölni: az 1. pont
magassága ezzel nulla, mert rajta van az alapszin-
ten.
2. A két vizsgálati pont : 1 és 2
A 2. pont a kiömlés helye legyen, mert itt keressük a kiömlés sebességét (v2).
3. Mennyiségek az 1. pontban:
h1= 0 (mert rajta van az alapszinten)
p1 = pt = 2 bar
v1 = 0 a folyadékfelszín süllyedésének sebességét elhanyagolhatjuk, mert a palack át-
mérője (keresztmetszete) lényegesen nagyobb, mint a kiömlés helyének átmérője
(keresztmetszete).
Mennyiségek a 2. ponton:
h2 = 0,2 m, p2 = po = 1 bar, v2 = ?
4. A Bernoulli egyenlet
mivel a v1 = 0, a is nulla.
5. A keresett mennyiség : v2
A kiömlés térfogatárama
= 0,001
A nyomópalackból pt = 2 bar túlnyomás hatására 1 dm3 víz áramlik ki 1 s alatt.
A pipacső visszaállítása
Hogyan lehet egy folyóból vizet kiemelni szivattyú nélkül? (A vödröt
felejtsük el). „Pipacsővel”!
Határozza meg a 15 m/s sebességgel áramló vízbe merülő pipacső vízszállítását.
150
FELADAT
h = 2 m
d = 60 mm = 0,06 m
v = 15 m/s
po = 1 bar
A Bernoulli törvény:
MEGOLDÁS
1. A vonatkoztatási szint: „0”
2. A vizsgálandó pontok: 1 és 2
3. Ismert adatok:
4. Elhanyagolható adatok:
5. Bernoulli egyenlet:
mivel a p1 = p2, a p1-p2/ g tag nulla.
13,63 m/s
Számítsa ki a pipacső vízszállítását.
a cső keresztmetszete: m2
a térfogatáram: m3/s
Hogyan alkalmazná a pipacsövet a víz kiemelésére egy állóvízből (tóból)?
Számítsa ki a pipacső vízszállítását.
a/ ha a folyó sebessége 18 m/s, a pipacső vízből kiemelkedő része 2 m,
b/ ha a folyó sebessége 15 m/s, a pipacső vízből kiemelkedő része 1 m.
Hogyan változik a pipacső vízszállítása?
P
o
v2
h2
v1
v
„O” 1
2
FELADAT
151
4.3 FELADAT
4.4 FELADAT
A szivornya vízszállítása
Egy hordóból, ha nincs rajta csap, gumicső segítségével tudunk bort áttölteni
egy másik edénybe, amely mélyebben helyezkedik el, mint a bor szintje a hordóban.
A szivornya alkalmas a folyadékok áttöltésére egyik edényből egy másikba.
Mennyi folyadékot tudunk átfejteni időegység alatt?
ADATOK
h = 2 m
d = 10 mm = 0,01 m
po = 1 bar
Számítsa ki a szivornya vízszállítását.
1. A vonatkoztatási szint: „0” (a kifolyás szintje)
2. A vizsgált pontok: 1. és 2.
3. Mennyiségek: h1 = h, p1 = po
v1 = 0 ( a folyadékszint süllyedésének sebességét elhanyagoljuk, mert a tartály ke-
resztmetszete lényegesen nagyobb, mint a kifolyás keresztmetszete).
h2 = 0, p2 = po, v2 = ?
4. A Bernoulli egyenlet
0 =
mivel a v1 = 0 és a p1 =p2
Fejezze ki a v2-t az egyenletből.
Számítsa ki a szivornya vízszállítását: m3/s, dm3/s
Mennyi idő alatt tölthetünk meg egy 20 literes demizsont?
Állandó kifolyási sebesség és vízszint
Egy csörgedeztető hűtő csöveire hidegvizet folyatunk egy tartályból. A hűtővíz lehűti a
csőben áramló folyadékot. Az állandó kifolyási sebességet az állandó vízszint (a vízoszlop
hidrosztatikai nyomása) biztosítja, amit egy túlfolyóval állíthatunk be a tartályban.
po
1
h
2 „O” po
152
4.5 FELADAT
Mekkora vízszint szolgáltatja a hűtővíz állandó térfogatáramát.
ADATOK
A hűtőre 21 m3 vizet kell folyatni óránként.
A kiömlő csonk átmérője 50 mm.
A feladatot a Bernoulli egyenlettel oldhatják meg.
A h1-et (az 1. pont magasságát) kell meghatározni.
1. Az alapszint: a kifolyás szintje.
2. Az 1. pont: a víz felszíne.
A 2. pont: a kifolyás szintje.
3. A p1 = p2 = po, ezért a p1/ q = p2/ g. A két hányados kiesik az egyenlet két oldalán.
A v1 = 0, a hányados is nulla, mert a vízfelszín magassága állandó.
A h2 = 0, mert rajta van az alapszinten.
4. Írja fel a Bernoulli egyenletet és fejezze ki a h1-et, a víz szintjének magasságát, amely
biztosítja a hűtővíz állandó térfogatáramát.
Ismerni kell a v2-t, a hűtővíz kifolyásának sebességét, amit az előírt térfogatáram (qv
= 0,0055 m3/s és a cső átmérőjéből (d = 0,05 m => A ) határozhat meg: v = qv/A.
Számítsa ki a hűtővíz állandó térfogatáramát biztosító vízszintet.
(v =2,9 m/s, h = 0,43 m)
Egy településen a tűzcsapokat a víztorony vizével tápláljuk. A
hidrosztatikai nyomás milyen magasra nyomja fel a vízsugarat a tüzek oltásához?
A víztoronyból (1) vizet szállítunk a tűzcsaphoz (2).
A csővezeték hossza 8 km, átmérője 400 mm. A cső-
súrlódási együttható 0,03. A vízhozam 120 dm3/s.
Az áramlás sebességét tekintsük egyenlőnek a cső
mentén: v1 =v2.
p1
1 v1
60 m
v2
P2
2
153
4.6 PÉLDA
A víztoronyban a nyomást hanyagoljuk el: p1 = 0. A veszteség is elhanyagolható a 60 m-es
csőszakaszon.
Számítsa ki a/ a veszteségmagasságot a 8 km-es csővezetékben, b/ a folyadék nyo-
mását a tűzcsapnál.
ADATOK
l =8 km = 8000 m, d = 400 mm = 0,4 m, λ = 0,03
qv =120 dm3/s = 0,12 m3/s
a/ A veszteségmagasság
J/N v = ? A = ?
b/ A nyomást a Bernoulli egyenlettel számolhatjuk ki a 2. pontban.
A bázisszint: a hosszú csővezeték szintje
1. A két pont: 1. és 2.
2. Adatok: h1 = 60 m, p1 = 0, v1
h2 = 0, p2 = ?, v2 (a v1 = v2)
3. A Bernoulli egyenlet
Fejezze ki a p2 nyomást. (N/m2)
Számítsa ki a nyomásmagasságot: H =
m
Milyen magasra ér fel a vízsugár?
MEGJEGYZÉS
A nyomásmagasságot úgy is kiszámíthatjuk, ha a szintkülönbségből levonjuk a vesz-
teségmagasságot.
Ellenőrizze!
A szivornya vízszállítása a veszteségekkel is számolva.
A szivornyával vizet „emelünk” ki a csatorná-
ból a töltésen át. h1,p1,v1
1.
h2, p2, v2
2.
Δh
154
Adott területet vízzel kell elárasztani.
A/ Mennyi vizet emelhetünk ki időegység alatt?
B/ Mennyi idő alatt áraszthatjuk el a kijelölt területet?
ADATOK
A szivornya (a csővezeték) hossza: l = 8,8 m
átmérője: d = 200 mm = 0,2 m
A csősúrlódási együttható: λ = 0,017
Az 1. és a 2. pont szintkülönbsége: Δh = h1 – h2 = 1,15 m
A helyi ellenállás tényezők: ζbe = 0,5, ζki = 0,65 ζk = 0,14
Az elárasztandó terület: 100 ha
A víz mennyisége hektáronként: 100 m3
MEGOLDÁS
Az áramlási veszteségeket nem hanyagolhatjuk el a szivornya hosszában, a be- és ki-
lépéskor és a két könyökben bekövetkező veszteségek miatt.
A Bernoulli egyenlet
1. Az alapszint: a tengerszint
2. A két pont, amire felírjuk a Bernoulli egyenletet, a víz belépésének és kömlésének
helye: 1. és 2.
3. Ismert mennyiségek: h1 és h2 => Δh = h1 –h2
4. Elhanyagolható mennyiségek:
p1 = p2 = po => p1 – p2 / g = 0
(légköri nyomás van az 1. és a 2. pontban).
(Az áramlás sebessége a csőben mindenhol egyenlő és megegyezik a kiöm-
lés sebességével: a v-t a veszteségmagasság hozza be az egyenletbe).
5. A Bernoulli egyenlet
155
4.7 PÉLDA
A/ A szivornya vízszállítása: qv = vA
Az egyenértékű csőhossz:
=16,82 m
A kiömlés sebessége:
= =3, 22 m/s
A vízhozam:
qv =vA =3,22 0,0314 = 0,1 m3/s
B/ Az elárasztás időtartama
Az elárasztáshoz szükséges vízmennyiség
V = 100 ha 100 m3/h = 10000 m3
Az időtartam:
t = V/qv = 10000 m3/0,1 m3/s = 100 000 s = 27,7 h
A víztartály vízhozama nagyobb szintkülönbség esetén.
Adott magasságban (fennsíkon, dombtetőn, víztoronyban) elhelyezett víztárolóból a
víz csővezetékeken jut el a mélyebben elhelyezkedő fogyasztóhoz a gravitáció hatására.
Mekkora a vízhozam? Hány m3 vizet kapunk időegység alatt a fogyasztó szintjén?
A víztároló 160 m, a fogyasztó helye 100 m magasságban van a tengerszint felett. A
csővezeték hossza 1500 m, átmérője 200 mm, a csősúrló-
dási együttható 0,02. A csővezeték végén a víz szabadon
folyik ki.
Számítsa ki a kiömlő víz sebességét és térfogatára-
mát ( a vízhozamot).
ADATOK
l = 1500 m λ = 0,02
d = 200 mm = 0,2 m
h1 = 160 m h2 = 100 m
A feladatot a Bernoulli egyenlet alkalmazásával oldhatjuk meg:
1.
160 m
1500 m
2.
. 100 m
156
FELADAT
v =
A Bernoulli egyenletben a v2 a víz sebessége a kiömléskor (ezt kell kiszámítani). A
veszteségmagasság képletében a v a víz áramlási sebessége a csőben. A két sebesség
egyenlő: v2 = v. A Bernoulli egyenlet egyszerűsítése érdekében v2 értékét válasszuk meg nul-
lának. A keresett sebességet a veszteségmagasság képlete adja.
A MEGOLDÁS ALGORITMUSA
a/ Bázisszint: a tengerszint
b/ A csővezeték két pontja: 1. pont a felső, 2. pont az alsó tároló szintje
c/ Az ismert adatok: h1 = 160 m, h2 = 100 m a bázisszinthez viszonyítva.
d/ Az elhanyagolható adatok
- A felső tárolásban a vízszint állandó, a felszín süllyedésének sebessége v1 = 0,
ezért a v1/2g is 0.
- A csővezetékből kifolyó víz sebességét elhanyagolhatjuk: v2 = 0 => v2/2g = 0.
- A víz felszínén a felső tartályban és a kiömlés helyén a nyomás: p1 = p2 = po,
ezért a p1/ρg =p2/ ρg. A két nyomásmagasság az egyenlet két oldalán egyenlő,
ezért kiesnek az egyenletből.
e/ A Bernoulli egyenlet
A kiömlés sebessége: v = =2,8 m/s
A vízhozam:qv = vA =2,8 0,0314 0,0879 m3/s ~ 88 dm3/s
A = d2
A felhasználó helyén 88 dm3 vizet kapunk másodpercenként.
Az áramlás sebessége v = qv/A. Az áramlási veszteség képletében a
v2-et helyettesítse a / hányadossal és fejezze ki a qv-t. Ezzel egy lépést kihagyva közvet-
lenül a vízhozamot számíthatja ki.
157
4.8 PÉLDA A víztároló vízhozama nagyobb szintkülönbség esetén, nagyobb nyomá-
son
A víztároló 160 m, a fogyasztó helye 100 m magasságban van a tengerszint felett. A
csővezeték hossza 1500 m, átmérője 0,2 m, a csősúrlódási együttható 0,02. A kifolyás helyén
a víz nyomását 1 bar túlnyomásra állítjuk be egy végszeleppel. A víztároló nyitott, a vízfel-
színre 1 bar légközi nyomás nehezedik.
Számítsa ki a kiömlő víz térfogatáramát.
ADATOK
p1 = po = 1 bar = 105 Pa pt = 1 bar = 105 Pa
p2 = po + pt = 105 +105 Pa = 2 105 Pa
h1 =160 m l = 1500 m λ=0,02
h2 =100 m d = 0,2 m
A Bernoulli törvény:
hv =
=
A p1 nem egyenlő a p2-vel. A nyomásmagasságok nem ejtik ki egymást az egyenlet
két oldalán. A két nyomómagasságot kiszámíthatjuk (p/ és az értéküket beírhatjuk a
Bernoulli egyenletbe.
Nyomás a tárolóban a víz felszínén
p1 = 105 Pa, =
Nyomás a kifolyás helyén
p2 = 2 105 Pa, =
1. Bázisszint: a tengerszint
2. A csővezeték két pontja: 1. pont a felső, 2. pont az alsó tároló szintje
3. Az ismert adatok: h1 = 160 m, h2 = 100 m a bázisszinthez viszonyítva,
~
4. Elhanyagolható adatok
- a vízszint süllyedésének sebessége a felső tárolóban: v1 = 0,
- a kifolyás sebessége: v2 = 0,
158
4.5 PÉLDA
5. A Bernoulli törvény:
160 m + 10 m + 0 = 100 m + 20 m + 0 +
Q = = 0,08 m3/s = 80 l/s
MEGJEGYZÉS
A 4.4 példában a víz szabadon folyik ki a cső végén. Itt a végszeleppel a víz egy részét
visszatartjuk a csőben, ezért kisebb a térfogatáram. A vízoszlop hidrosztatikai nyomása
megnő, ami biztosítja a 20 m-es nyomásmagasságot (pl. a tűzoltáshoz).
Adott vízhozamot biztosító csőátmérő
Vizet vezetünk 60 m magasságban található tárolóból 1500 m csővezetéken. A cső-
súrlódási együttható 0,02. A fagyasztó helyen a vízhozam Q = 40 l/s, a víz túlnyomása 2 bar
legyen.
Milyen átmérőjű csövet kell alkalmazni?
ADATOK
h1 = 60 m l = 1500 m Q = 40 l/s = 0,04 m3/s
p1 = po = 1 bar = 105 Pa pt = 2 bar = 2 105 Pa
p2 = po + pt = 3 105 Pa
hv =
Az áramlási (kiömlési) sebességet nem tudjuk kiszámítani, mert nem ismerjük
az átmérőt (a d-t keressük!) a keresztmetszet meghatározásához. A v2-t helyettesíteni kell a
Q2/A2 hányadossal, ahol az A2 = ( )2. Ezután a d-ket összevonhatjuk.
=
159
MEGOLDÁS
1. Bázisszint: a fogyasztó szintje.
2. A rendszer két pontja: 1. pont a tároló, 2. pont a fogyasztó szintje
3. Ismert adatok:
h1 = 60 m, h2 = 0 m
p1 = 105 Pa p1/ =
p2 = 3 105 Pa p1/ =
4. Az elhanyagolható adatok:
- a vízszint a tárolóban állandó: v1 = 0,
- a kiömlés sebessége elhanyagolható: v2 = 0
5. A Bernoulli törvény:
60 + 10 + 0 = 0 + 30 + 0 +
A d-t fejezzük ki az egyenletből:
(60 + 10 – 30) =
=
d = 0,158 m = 158 mm ~ 160 mm
A 160 mm átmérőjű csővezeték szolgáltat 2 bar túlnyomású 40 dm3 vizet másodpercen-
ként.
160
A FELHASZNÁLT IRODALOM
1. WISNOVSZKY IVÁN – ZSUFFA ISTVÁNNÉ
Vízgazdálkodás. Műszaki Könyvkiadó. 1982
2. MADARASSY László
Területi vízgazdálkodási példatár és segédlet. Typotex Kft. 1990
3. URBANOVSZKY István
Hidrológia és hidraulika. Vituki Kft. 2004
4. KONTÚR I. - -KORIS K. – WINTER J.
Hidrológiai számítások. Akadémiai Kiadó. 1993
161
TARTALOMJEGYZÉK
I. RÉSZ. VÍZGAZDÁLKODÁS. TESZTEK 3 oldal
1. Vízháztartás 4 oldal
2. A vízfolyások alaktana 10 oldal
3. Vízállás, vízmélység 16 oldal
4. Jellemző vízállások 22 oldal
5. Felszín alatti vizek 26 oldal
6. A felszíni víz biológiai minősége 32 oldal
7. A vízhozam mérése 39 oldal
8. A csapadék intenzitása, hozama 48 oldal
9. A csapadék lefolyása 57 oldal
II. RÉSZ. HIDROLÓGIAI SZÁMÍTÁSOK 64 oldal
1. A csatornák vízszállítása 65 oldal
2. A csatornák méretezése 77 oldal
3. A folyadékok kifolyása tartályból 81 oldal
4. A zsilipek vízhozama 85 oldal
5. A bukóélek vízhozama 88 oldal
6. Az úszás 90 oldal
7. A kutak vízhozama 96 oldal
8. A vízmozgások energetikai vizsgálata 103 oldal
III. RÉSZ. HIDRAULIKAI SZÁMÍTÁSOK 108 oldal
1. A hidrosztatika alapjai
Folyadékok és gázok nyomása 109 oldal
2. Folyadékok áramlása csővezetékben
Hidrodinamika 123 oldal
3. Áramlási veszteségek 131 oldal
4. A Bernoulli törvény és alkalmazása 146 oldal
A FELHASZNÁLT IRODALOM 160 oldal
162
