Webnodemicrolinuxers.webnode.com/.../Matematica_Financeira_2013_1.pdf · 3 APRESENTAÇÃO Esse material apresenta uma discussão em torno dos conceitos da chamada “matemática financeira

Anima Educação

Matemática Financeira Básica

Disciplina na modalidade a distância

Minas Gerais 2012

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Gislene Garcia Nora de Oliveira

Matemática Financeira Básica

Livro Virtual

Minas Gerais

2012

3

APRESENTAÇÃO

Esse material apresenta uma discussão em torno dos conceitos da chamada

“matemática financeira básica”. A mesma foi subdivida em oito unidades. Na primeira

unidade apresenta-se um panorama geral da disciplina e os principais conceitos. Na

unidade dois apresenta-se o regime de juros simples: capitalização. A unidade três foi

dedicada ao regime de juros compostos: capitalização; essa unidade foi subdivida em

dois momentos, o primeiro com foco mais algébrico e o segundo mais tecnológico e

para isso utilizamos as funcionalidades da HP-12c. A quarta unidade foi destinada para

a discussão do conceito de desconto, no regime de juros simples e composto. Na

quinta unidade você encontra uma discussão em torno das taxas, a saber: nominal e

efetiva/ aparente e real. A sexta unidade discute o conceito de equivalência de

capitais, no regime de juros simples e composto. Na unidade sete apresenta-se a

classificação das séries e foca nas rendas certas ou anuidades. Finalizamos esse livro

virtual com a apresentação dos dois sistemas de amortização mais utilizados: PRICE e

SAC. Nessa última unidade tais sistemas foram apresentados por meio de cálculos

realizados na HP-12c.

Espera-se que ao final do estudo desse livro o aluno tenha uma visão geral da

importância e da aplicação da matemática financeira em seu dia a dia.

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Sumário UNIDADE 1: O QUE É A MATEMÁTICA FINANCEIRA ........ .......................................................... 7

1.1. OBJETIVO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ................. ................................................... 7

1.2. FUNDAMENTOS BÁSICOS ...................................................................................................... 9

1.3. PANORAMA GERAL DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ........... ..................................... 14

1.4. RESUMO DA UNIDADE .......................................................................................................... 16

1.5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................................................................. 18

UNIDADE 2: CAPITALIZAÇÃO NO REGIME DE JUROS SIMPLES ........................................... 25

2.1. CARACTERÍSTICAS DO REGIME DE JUROS SIMPLES ...................................................... 25

2.1.1. DEDUÇÃO DA FÓRMULA DE JUROS ..................................................................................... 26

2.1.2. DEDUÇÃO DA FÓRMULA DO MONTANTE .......................................................................... 28

2.1.3. TAXA PROPORCIONAL ............................................................................................................. 29



2.4. QUADRO DE FÓRMULAS ...................................................................................................... 34

UNIDADE 3: CAPITALIZAÇÃO NO REGIME DE JUROS COMPOST OS ................................... 35

3.1. CAPITALIZAÇÃO NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS ........ .................................... 35

3.1.1. DEDUÇÃO DA FÓRMULA DO MONTANTE ...................................................................... 37

3.1.2. DEDUÇÃO DA FÓRMULA DE JUROS ................................................................................. 38

3.1.3. TAXA EQUIVALENTE ............................................................................................................ 43

3.2. FUNCIONALIDADES FINANCEIRAS DA CALCULADORA HP- 12C ........................... 46

3.2.1. FUNÇÕES BÁSICAS DA HP-12C ........................................................................................... 46

3.2.1.1. FUNÇÕES SECUNDÁRIAS F E G ..................................................................................... 46

3.2.1.2. SEPARADORES DE DÍGITOS ........................................................................................... 47

3.2.1.3. NÚMEROS NEGATIVOS .................................................................................................... 47

3.2.1.4. NÚMERO DE CASAS DECIMAIS ..................................................................................... 47

3.2.1.5. INSERINDO NÚMEROS ..................................................................................................... 48

3.2.1.6. AS TECLAS “CLEAR” (APAGAR)/ LIMPAR REGISTROS E MEMÓ RIAS .............. 48

3.2.1.7. SIGLAS E NOMENCLATURAS DAS FUNÇÕES FINANCEIRAS BÁSI CAS ............. 49

3.2.2. INICIANDO O CÁLCULO FINANCEIRO .................... ........................................................ 49

3.2.3. TAXA EQUIVALENTE NA HP ............................................................................................... 51




UNIDADE 4: DESCONTO ...................................................................................................................... 59

4.1. O DESCONTO DE TÍTULOS .................................................................................................. 59

4.2. SIGLAS E NOMENCLATURAS ............................................................................................. 61

4.3. DESCONTO COMERCIAL SIMPLES ................................................................................... 63

5

4.4. DESCONTO RACIONAL SIMPLES ...................................................................................... 65

4.5. DESCONTO RACIONAL COMPOSTO ................................................................................ 67




UNIDADE 5: TAXAS .............................................................................................................................. 80

5.1. TAXA NOMINAL E EFETIVA ............................................................................................... 80

5.2. TAXA APARENTE E REAL .................................................................................................... 85




UNIDADE 6: EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS ............... ................................................................... 93

6.1. COMPREENDENDO O CONCEITO DE EQUIVALÊNCIA .......... .................................... 93

6.2. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JUROS SIMPLES ............................ 94

6.3. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME DE JUROS COMPOST OS .................... 96


6.5. RESUMO DA UNIDADE ........................................................................................................ 106

6.6. QUADRO DE FÓRMULAS .................................................................................................... 107

UNIDADE 7: SÉRIE DE PAGAMENTOS .......................................................................................... 108

7.1. RENDAS CERTAS OU ANUIDADES................................................................................... 108

7.1.1. CÁLCULO DO VALOR ATUAL DE UMA RENDA CERTA OU ANUIDA DE FINITA 111

7.1.2. CÁLCULO DO VALOR ATUAL DE UMA RENDA CERTA OU ANUIDA DE INFINITA 113

7.1.3. CÁLCULO DO VALOR FUTURO DE UMA RENDA CERTA OU ANUID ADE FINITA 114

7.2. TRABALHANDO COM A HP 12-C ...................................................................................... 115

7.3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ............................................................................................... 118

7.4. RESUMO DA UNIDADE ........................................................................................................ 126


UNIDADE 8: SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ............................................................................... 128

8.1. COMPREENDENDO ALGUNS CONCEITOS .................................................................... 128

8.2. O SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PRICE (FRANCÊS OU SAF) ... ................................. 130

8.2.1. TABELA DO FINANCIAMENTO ........................................................................................ 131

8.3. O SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO SAC .............................................................................. 137

8.3.1. TABELA DO FINANCIAMENTO ........................................................................................ 139

8.4. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ............................................................................................... 141

8.5. RESUMO .................................................................................................................................. 147


REFERÊNCIAS ..................................................................................................................................... 149

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Palavras do professor

Prezado aluno esse livro procura estabelecer um diálogo com você estudante. Para

isso as unidades foram construídas da seguinte forma: apresentação teórica, seguida

de exemplos. Essa discussão é complementada por exercícios resolvidos e um resumo

das discussões apresentadas. Ao final de cada unidade as fórmulas deduzidas ou

apresentadas foram resumidas em um quadro de fórmulas facilitando assim sua

utilização e localização.

Em alguns momentos é solicitado que você realize um exercício já resolvido de outra

maneira. Possibilitando, assim uma interação maior e consequentemente um

aprendizado mais efetivo. Esses momentos são facilmente identificados pelo símbolo

Não deixe de realizar essas interações propostas, pois, elas serão muito importantes

para seu efetivo aprendizado.

É importante destacar, também, que esse material não é o único objeto disponível

para sua aprendizagem. É necessária a exploração do ambiente virtual, bem como a

exploração de todas as suas potencialidades. Complemente seu estudo com as aulas

virtuais e não deixe de realizar as atividades propostas, tanto as de fixação quanto as

avaliativas.

Bons estudos!

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UNIDADE 1: O QUE É A MATEMÁTICA FINANCEIRA

Essa unidade aborda um panorama geral da disciplina Matemática Financeira Básica.

Para isso, a unidade foi organizada em quatro tópicos. O primeiro discute e apresenta

o objetivo da Matemática Financeira, no segundo são apresentados alguns

fundamentos essenciais para o bom entendimento da matemática financeira como um

todo, o terceiro destina-se a exploração da estrutura geral da disciplina e, por fim o

último item apresenta alguns exercícios resolvidos para uma visualização mais prática

da discussão apresentada.

1.1. Objetivo da Matemática Financeira

Para iniciar uma discussão sobre o objetivo da matemática financeira, analise o

seguinte contexto; uma pessoa possui hoje determinada quantia em dinheiro

guardada em sua casa. O que se pode dizer sobre a valorização dessa quantia ao longo

do tempo? Hipoteticamente, têm-se três situações possíveis:

1) a valorização dessa quantia;

2) a estabilidade do valor; e,

3) a desvalorização da quantia obtida.

É fato que essas três situações dependem das oscilações do mercado e por este motivo

a matemática financeira parte do pressuposto que o dinheiro sempre vai desvalorizar

em função do tempo, pois não é possível ter um controle desse mercado, além disso,

nas duas primeiras situações não existe perda para as partes e por este motivo ambas

não são levadas em consideração.

Se a matemática financeira parte do pressuposto que o dinheiro vai desvalorizar em

função do tempo, então, é necessário utilizar algum parâmetro de atualização dessa

quantia para que essa desvalorização seja recompensada de alguma forma. É nesse

8

contexto que entram em ação as taxas de juros. Na composição dessas taxas, muitas

vezes são levados em consideração:

o prazo: como o dinheiro desvaloriza em função do tempo, quanto maior o

tempo menor será o valor (poder de compra) da quantia em questão;

a inflação: refletirá na velocidade da desvalorização da quantia obtida.

Portanto é necessário conhecer e analisar o histórico da inflação ao longo dos

últimos anos;

o risco associado à operação: quanto maior o risco da operação maior será a

taxa cobrada;

o ganho: quem disponibiliza uma quantia em dinheiro está deixando de utilizá-

la para objetivos próprios e por esse motivo é cobrada uma taxa para

recompensar o proprietário por essa disponibilização da quantia monetária.

É nesse cenário que o mercado financeiro está alicerçado possibilitando inúmeras

operações financeiras, tais como:

� investimentos: poupança, títulos de capitalização, CDB’s, aposentadorias

privadas, dentre outros;

� financiamentos: de veículos, de utensílios domésticos, de eletrodomésticos, de

eletro portáteis, de imóveis, etc;

� descontos: títulos de crédito e antecipação de pagamentos.

De um modo geral, pode-se afirmar que a Matemática Financeira investiga relações

entre finanças, circulação e gestão do dinheiro e de outros recursos líquidos.

A partir dessa discussão define-se como objetivo fundamental da matemática

financeira: trabalhar o dinheiro ao longo do tempo.

É importante destacar que a forma como esse dinheiro será trabalhado ao longo do

tempo, dependerá não só dos pontos supracitados, mas, também pelo tipo de regime

de juros utilizado. Tem-se dois tipos de regime de juros: simples e composto. Ambos

serão aprofundados ao longo desse livro. Antes, porém, vamos compreender alguns

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fundamentos importantes para o bom desempenho na disciplina de matemática

financeira.

1.2. Fundamentos Básicos

A seguir serão apresentados alguns fundamentos básicos que orientarão a discussão

da matemática financeira como um todo, são eles: capital, juros, taxa de juros,

período, montante, capitalizar, desconto, prestação, diagrama de fluxo de caixa,

calendário e símbolos utilizados.

Capital (principal ou valor presente): entende-se por capital, do ponto de vista

da matemática financeira, qualquer valor expresso em moeda e disponível em

determinada época, denominada data zero.

Quando entendemos o capital como um valor presente, ele também pode

representar o valor à vista de determinado bem, ou ainda, o valor de um

empréstimo (data zero).

O capital é representado em moeda corrente; no caso do Brasil em reais (R$);

Juros: é a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de

forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro no tempo.

Nas palavras de Samanez (2002)

Se aplicarmos um capital durante um determinado período de tempo, ao final do prazo o capital se transformará em um valor (montante) que será igual ao capital aplicado, acrescido da remuneração obtida durante o período de aplicação. A diferença entre o montante e a aplicação denomina-se remuneração, rendimento ou juros ganhos: juros = montante – aplicação. (SAMANEZ, 2002: 13)

O juro também é representado em moeda corrente (R$);

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Taxa de Juros: está diretamente relacionada aos juros, pois é ela quem

determina a forma de composição/ crescimento dos juros obtidos em

determinada operação financeira. Normalmente, a taxa de juros é expressa em

porcentagem (%), considerada como uma simbologia de mercado, isso porque,

toda porcentagem é uma razão em que o denominador (consequente) é 100

podendo, portanto, ser representada da seguinte forma:

100%

xx =

Em outras palavras, a taxa de juros pode ser obtida pela razão entre o juro

recebido (ou pago) no fim de um período de tempo e o capital inicialmente

empregado. Nesse contexto, temos:

100

c

b

a =

Desta maneira, chamamos o a de juros, o b de principal (capital) e o cde taxa

percentual. Substituindo temos:

100100

i

p

jtaxa

principal

juros =⇒=

Dessa expressão, resulta:

100×=p

ji

A taxa de juros pode ser representada na forma percentual1 e/ou unitária

(fracionária). A forma unitária consiste em transformar a taxa de juros na

forma fracionária e realizar a divisão, obtendo, assim um resultado decimal.

1 Toda razão da forma

b

a, na qual o denominador é 100=b , é chamada razão centesimal. Uma

forma diferente de representar uma razão centesimal, muito utilizada, é a que substitui o consequente (denominador) 100 pelo símbolo % (por cento). O termo por cento é proveniente do Latim per centum e quer dizer por cem. Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operações mercantis. Em nosso dia a dia é comum observarmos expressões do tipo:

“Liquidação do Lápis Vermelho, descontos de até 70%”.

“A caderneta de poupança em 2007 rendeu 7,7%”.

11

Veja um exemplo:

Porcentagem Fracionária Decimal

(unitária)

%25 100

25 25,0

É importante destacar que quando substituimos porcentagens em fórmulas

matemáticas deve-se utilizar as formas: fracionária ou decimal. Já a percentual

é utilizada quando os cálculos são realizados por meio de calculadoras

financeiras, como por exemplo a HP 12-c, ou do Excel;

Período: é a quantidade de tempo acordada entre as partes. O período pode

ser representado em diferentes unidades de tempo; dias, meses, anos,

bimestres, trimestres, etc. No entanto, as unidades de tempo praticadas no

mercado são a mensal e também a anual.

Cabe destacar que como a matemática financeira, parte do pressuposto que o

dinheiro vai desvalorizar em função do tempo, então quanto maior o tempo,

maior será o grau de risco da operação e por este motivo poderão ser adotadas

diferentes taxas de juros, dependendo dos prazos acordados.

Montante (valor futuro): é o capital inicialmente investido acrescido da

remuneração do período. Em outras palavras, jPF += .

Todas estas expressões envolvem um tipo especial de cálculo chamado usualmente de percentagem ou porcentagem. Essa simbologia é muito utilizada em operações financeiras.

12

O montante, também pode ser entendido como um valor que seja

representado em uma data futura em relação à data zero (momento da

negociação), ou ainda o valor de uma dívida.

Capitalizar: segundo o dicionário de língua portuguesa, edição poliglota, pág.90,

capitalizar significa: 1. ajuntar ao capital; 2. Ajuntar, reunir; 3. acumular-se de

modo que forme um capital. Portanto, capitalizar nada mais é do que a

operação de adição dos juros ao principal.

Desconto: nas palavras de Samanez (2002)

Desconto é a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes de seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setor comercial, em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, notas promissórias, etc., pode levantar fundos em um banco descontando o título antes da data de vencimento. (SAMANEZ, 2002: 75)

Prestação: consiste na quantia paga de forma parcelada para amortização

(abatimento) de uma dívida. A prestação é composta por:

jurosoamortizaçãprestação += .

Diagrama de fluxo de caixa: é utilizado para retratar, de forma gráfica,

determinado contexto financeiro. Em outras palavras, o diagrama de fluxo de

caixa pode ser entendido como uma fotografia da situação financeira que se

deseja analisar.

Num diagrama de fluxo de caixa utiliza-se de setas indicativas para cima,

quando se desejar representar uma entrada de dinheiro ou para baixo quando

essa for utilizada para representar uma saída de dinheiro. Essas entradas e

saídas são representadas em uma seta horizontal que indica a linha do tempo.

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Veja as ilustrações a seguir:

Calendário: como o objetivo principal da matemática financeira é a valorização

do dinheiro em função do tempo, é necessário conhecer os tipos de calendário

que podem ser considerados nas operações financeiras.

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Calendário Característica

Comercial ano tem 360 dias; consideram-se todos os meses com 30 dias.

Cível ou Exato ano tem 365 ou 366 (se bissexto) dias e os meses com a contagem exata de dias.

Exato (dias úteis) considera a contagem regular dos dias, porém considera somente os dias úteis, somando-se 252 dias no ano.

É importante destacar que será considerado o calendário comercial, exceto se no

problema for solicitado outro tipo de calendário.

Símbolos utilizados: nesse tópico apresentaremos uma tabela contemplando a

simbologia básica que será demandada na disciplina de matemática financeira.

Termos

Simbologia

Livro Calculadora HP –

12c Excel

Capital/ Principal/ Valor Presente P PV VP Montante/ Valor Futuro F FV VF Juros J - - Taxa de Juros i i TAXA Desconto D - - Período n n NPER Prestação PMT PMT PGTO

1.3. Panorama geral da matemática financeira

A matemática financeira básica é subdividida em quatro grandes áreas, a saber:

capitalização, desconto, equivalência de capitais e série de pagamentos.

A capitalização é abordada em ambos os regimes de juros: simples e composto. Nesse

tópico envolve, também, os conceitos de taxa proporcional (regime de juros simples) e

taxa equivalente (regime de juros compostos), ainda no regime de juros compostos

abordam-se os conceitos de taxa efetiva e nominal, aparente e real.

O desconto, também é abordado em ambos os regimes. No regime de juros simples

são abordados os conceitos de desconto comercial e racional. Já no regime de juros

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compostos é abordado somente o desconto racional. As operações de desconto são

destinadas para antecipação de um título de crédito ou para a antecipação do

pagamento de uma dívida.

O conceito de equivalência de capitais, no regime de juros simples e composto, é

essencial para o entendimento do objetivo da matemática financeira; trabalhar o

dinheiro ao longo do tempo.

Já na série de pagamentos aborda-se como se dão os pagamentos ou acúmulo de

capital de forma parcelada. No Brasil, operações financeiras desse tipo ocorrem no

regime de juros compostos. Além de compreender a classificação da série serão

abordados dois sistemas de amortização: Price e SAC. Os sistemas de amortização

consistem em quitar uma dívida negociada de forma parcelada.

A seguir uma ilustração desse contexto:

16

1.4. Resumo da Unidade Por se tratar de uma unidade extremamete teórica o resumo da unidade deverá ser

construido por você. Para viabilizar essa construção, propõem-se a palavra cruzada a

seguir. A proposta é que você retome os principais fundamentos da matemática

financeira, discutidos nessa unidade.

Cabe destacar, também, que em especial nessa unidade o resumo antecederá aos

exercícios resolvidos, por entender que essa atividade contribuirá para um melhor

entendimento das atividades propostas para reflexão.

Então, mãos a obra!

17

18

1.5. Exercícios Resolvidos

A seguir alguns exercícios inseridos num contexto financeiro. Leia atentamente cada

exercício, e faça o que se pede:

� Indique os dados fornecidos e o valor que se deseja determinar;

� Indique o regime de juros;

� Construa o diagrama de fluxo de caixa.

O montante de uma aplicação de R$2.500,00, no regime de juros simples, à taxa

de 3,5% ao mês, por 4 meses é de?

Resolução

O valor a ser determinado é o montante, também chamado de valor futuro, como

pode ser observado pela frase: “O montante [...] é de?”

Para determinar o montante foram fornecidos:

O capital (valor presente ou principal) uma vez que foi mencionado que o valor da

aplicação foi de R$2.500,00, a taxa de juros (3,5% ao mês) e o período (4 meses).

Em resumo temos:

Descrição Valor

VALOR A SER DETERMINADO Montante ou Valor Futuro (F) ? VALORES FORNECIDOS Capital/ Valor Presente ou Principal (P) R$2.500,00 Taxa de Juros (i) 3,5% ao mês Período (n) 4 meses

O regime de juros sempre será fornecido no problema, nesse caso o regime de juros

utilizado foi o simples.

Considerando o diagrama de fluxo de caixa de quem realizou a aplicação, temos:

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Que quantia aplicada durante meio ano, à taxa simples de 2,75% ao mês,

produz um montante de R$307.343,75?

Resolução

Como a proposta é determinar a quantia que deve ser aplicada, entende-se que o

valor a ser determinado é o capital, também chamado de valor presente ou principal.

Para determinar esse valor, foram fornecidos: a taxa de juros (2,75% ao mês) o período

de meio ano que é o mesmo que seis meses e o montante, também chamado de valor

futuro de R$307.343,75.

Em resumo:

Descrição Valor

VALOR A SER DETERMINADO Capital/ Valor Presente ou Principal (P) ? VALORES FORNECIDOS Montante ou Valor Futuro (F) R$307.343,75 Taxa de Juros (i) 2,75% ao mês Período (n) 6 meses

O regime de juros utilizado foi o simples e o mesmo foi identificado a partir da frase

“[...] à taxa simples de [...] ”

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A seguir o diagrama do fluxo de caixa de quem realizou a aplicação:

Uma pessoa solicita um empréstimo de R$300,00 a juros compostos de

1,75% ao mês, pelo prazo de 02 meses. O montante a ser devolvido é de...?

Resolução

Nesse exercício o que se deseja determinar é o montante ou valor futuro e neste caso,

analisando o contexto, podemos considerá-lo, também, como valor da dívida.

Como mencionado no tópico 1.2 o empréstimo, é considerado como um valor

presente (P), que nesse caso consiste em R$300,00. Foram fornecidos, também, a taxa

de juros (1,75% ao mês) e o período de 02 meses.

Em resumo:

Descrição Valor

VALOR A SER DETERMINADO Montante ou Valor Futuro (F) ? VALORES FORNECIDOS Capital/ Valor Presente ou Principal (P) R$300,00 Taxa de Juros (i) 1,75% ao mês Período (n) 2 meses

O regime de juros utilizado foi o composto.

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A seguir o diagrama do fluxo de caixa de quem recebeu o empréstimo:

Uma pessoa compra uma geladeira que será paga em 10 prestações

mensais de R$167,00. Se a taxa de juros compostos for de 2% ao mês,

calcule o preço inicial desta geladeira.

Resolução

Nesse exercício o que se deseja determinar é o valor da geladeira. Cabe destacar que o

valor à vista de um bem é sempre o valor na data zero (data em que ocorreu a

negociação) e por este motivo o valor que se deseja determinar é o valor presente (P).

Para esse cálculo foram fornecidos o valor das prestações (R$167,00), a taxa de juros

(2% ao mês) e o período que neste caso está sendo representado pelo total de

prestações que serão pagas e sua periodicidade (10 meses).

Em resumo:

Descrição Valor

VALOR A SER DETERMINADO Valor Presente (P) ? VALORES FORNECIDOS Prestação (PMT) R$167,00 Taxa de Juros (i) 2% ao mês Período (n) 10 meses

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O regime de juros utilizado é o composto, uma vez que no Brasil, operações realizadas

de forma parcelada, sempre serão realizadas no regime de juros compostos.

A seguir o diagrama do fluxo de caixa de quem comprou a geladeira:

Uma caderneta de poupança oferece uma taxa efetiva de

rentabilidade de 0,75% ao mês, no regime de juros compostos. O valor do

depósito mensal necessário para acumular um montante de R$2.100,00 no

final de seis meses é de...?

Resolução

Neste caso está sendo solicitado o valor do depósito mensal. Como esse valor nos

remete a ideia de uma série de depósitos que serão realizados, o mesmo constitui-se

uma prestação. Portanto, se deseja determinar a PMT.

Para esse cálculo foram fornecidos o valor ao final dos depósitos, sendo, portanto, um

valor futuro/ montante (R$2.100,00), o prazo de seis meses e a taxa de juros de 0,75%

ao mês.

Em resumo:

Descrição Valor

VALOR A SER DETERMINADO Prestação (PMT) ? VALORES FORNECIDOS

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Valor Futuro/ Montante (F) R$2.100,00 Taxa de Juros (i) 0,75% ao mês Período (n) 6 meses

O regime de juros utilizado é o composto.

A seguir o diagrama do fluxo de caixa de quem realizou os depósitos:

O preço à vista de uma moto é de R$7.500,00, mas pode ser vendida a prazo em 12

prestações mensais de R$509,80, com 27% de entrada. Nessas condições, qual a taxa

de juros mensal cobrada nessa operação?

Resolução

O que se deseja determinar é a taxa de juros para a condição de pagamento de forma

parcelada (i). Para esse cálculo foram fornecidos: o valor à vista (valor presente) de

R$7.500,00, o período (n) de 12 meses, a quantidade de prestações (PMT) de R$509,80

e também a entrada, que consiste em se determinar 27% do valor à vista, ou seja, 27%

de R$7.500,00. Portanto, a entrada é de R$2.025,00.

Em resumo:

Descrição Valor

VALOR A SER DETERMINADO Taxa de Juros (i) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (à vista) (P) R$7.500,00 Entrada R$2.025,00 Prestação (PMT) R$509,80 Período (n) 12 meses

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O regime de juros utilizado é o composto.

A seguir o diagrama do fluxo de caixa de quem realizou a compra da moto na condição

parcelada:

Agora que já compreendem a estrutura geral da matemática financeira, vamos ver

detalhadamente cada um destes conceitos?

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UNIDADE 2: CAPITALIZAÇÃO NO REGIME DE JUROS SIMPLES

Como discutido na unidade I a capitalização pode ocorrer no regime de juros simples

ou no regime de juros compostos. Nessa unidade será apresentado o conceito de

capitalização no regime de juros simples. O objetivo da unidade é fazer com que o

aluno seja capaz de identificar e operar com os fundamentos básicos desse regime. A

unidade foi estruturada da seguinte forma: características do regime, discussão do

conceito e aplicação da taxa proporcional, exercícios resolvidos, resumo da unidade e

Quadro de Fórmulas.

2.1. Características do Regime de Juros Simples A capitalização, no regime de juros simples, consiste em somar os juros ao capital uma

única vez no final do prazo contratado. Esse tipo de capitalização resulta em um

crescimento da quantia de forma proporcional, ou seja, em cada período o valor

adicionado será sempre o mesmo.

Uma vez que o cálculo sempre será realizado sobre o capital inicial, o montante será a

soma do capital inicial com as várias parcelas de juros obtidas ao longo do período

contratado.

Para melhor entendimento acompanhe o exemplo:

Um capital de R$1.000,00 foi aplicado, no regime de juros simples, a uma taxa de

1,35% ao mês, por 10 meses. Acompanhe a evolução do montante ao longo do

período contratado.

26

Como, no regime de juros simples, a taxa de juros é sempre aplicada sobre o principal

(capital), temos:

CAPITAL TAXA DE JUROS

JUROS MONTANTE

R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.013,50 R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.027,00 R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.040,50 R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.054,00 R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.067,50 R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.081,00 R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.094,50 R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.108,00 R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.121,50 R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.135,00

Nesse exemplo, fica evidente que o montante está sendo construído a partir de um

crescimento mensal de R$13,50 e por esse motivo afirma-se que no regime de juros

simples a quantia monetária cresce de forma proporcional, ou seja, parcelas de mesmo

valor durante todo o período.

2.1.1. Dedução da fórmula de Juros Na unidade 1, no tópico “taxa de juros” foi apresentada, como possibilidade de cálculo

da taxa de juros, a seguinte expressão:

P

ji =

Dessa expressão, deduz que iPjP

ji ⋅=⇒= . Como a taxa de juros é sempre aplicada

sobre o mesmo capital, obtemos valores iguais para o juro auferido no período, ou

seja:

PinJ

temosdosubstituin

iPjmasnjjjjjJ

iPjjjj

n

n

=

⋅=⋅=+⋅⋅⋅+++=⋅==⋅⋅⋅===

:,

,,321

321

Para o cálculo da taxa de juros você pode utilizar uma calculadora (porcentagem %), ou, transformar a

taxa para o formato decimal e, então, realizar a multiplicação da taxa pelo capital

27

Retomando o exemplo 1, temos:

50,13

0135,0000.1100

35,1000.1

=⋅=

⋅=

=

j

j

j

Pij

Como a quantia ficou aplicada durante 10 meses e a taxa de juros é sempre aplicada

sobre o capital, então:

50,13$... 1054321 Rjjjjjj =======

Para determinar o valor total de juros obtidos ao final do período, no caso, 10 meses,

pode-se somar as dez quantias encontradas, ou como, todos os valores são iguais,

basta multiplicar a quantia encontrada (juros do período) pela quantidade de períodos

contratados, obtendo:

00,135

50,13...50,1350,1350,13

...

10

10321

=

++++=++++=

J

J

jjjjJ

vezes444444 3444444 21

OU

00,135

1050,13

=⋅=

J

J

Retomando as expressões de juros, temos que:

Pij

e

jnJ

=

=

Substituindo a equação dois, na primeira equação, obtemos, para o juro total a

expressão PinJ = . Voltando ao exemplo:

00,135

100135,0000.1

=⋅⋅=

=

J

J

PinJ

Equação 02

Equação 01

28

2.1.2. Dedução da fórmula do Montante O montante é o resultado final do valor principal capitalizado, ou seja, acrescido dos

juros, então, matematicamente, temos que JPF += .

É possível relacionar a fórmula do montante à fórmula de juros deduzida no item 2.1.1,

obtendo, assim, uma fórmula alternativa para o cálculo do montante, fórmula essa que

envolve as variáveis: taxa, período e capital. Retomando as equações envolvidas,

temos:

PinJ =

JPF +=

Substituindo a Equação 01, na equação 02, obtém-se:

PinPF +=

Colocando P em evidência

)1( inPF +=

Retomando o exemplo 1, vamos determinar o valor do montante, não mais por meio

da tabela, mas, sim pela fórmula. Inicialmente, vamos organizar as informações

fornecidas.

Descrição Valor

VALOR A SER DETERMINADO Montante (F) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$1.000,00 Taxa de Juros (i) 1,35% ao mês Período (n) 10 meses

Ao substituir taxas de juros em fórmulas matemáticas devemos utilizar o formato

unitário ou decimal (divisão por 100), portanto,

( )( )

00,135.1

135,1000.1

135,01000.1

100135,01000.1

=⋅=

+=⋅+=

M

M

M

M

É importante destacar que tanto a taxa de juros, quanto o período são grandezas que

obrigatoriamente devem vir acompanhadas da unidade de tempo a ser considerada.

Equação 02

Equação 01

Para resolver essa expressão deve-se primeiramente eliminar os parênteses. Dentro dos parênteses a

operação que deve ser priorizada é a de multiplicação em detrimento à soma.

29

No exemplo apresentado, ambas foram expressas na unidade de tempo mensal. No

entanto, nem sempre serão fornecidos taxa e período na mesma unidade de tempo e

nesse caso, antes de realizar os cálculos será necessário fazer uma adequação,

alterando, ou o período para a unidade de tempo da taxa ou a taxa para a unidade de

tempo do período.

Ao fazer a alteração no prazo, o procedimento utilizado é uma regra de três, uma vez

que estamos trabalhando com grandezas proporcionais. Já quando a alteração é

realizada na taxa de juros essa recebe uma conceituação diferenciada e a forma de se

fazer essa adequação dependerá do tipo de regime de juros utilizado. Em especial, no

regime de juros simples, essa alteração recebe o nome de “Taxa Proporcional”, a qual

será discutida de forma mais criteriosa no tópico seguinte.

2.1.3. Taxa Proporcional A transformação de taxas é uma operação bastante utilizada em operações

financeiras, mas, não basta saber operá-las, é necessário compreender o que significa

essa adequação aos prazos, igualando-os a uma mesma unidade de tempo.

A proposta é que essa adequação não interfira no resultado final obtido. Sabe-se que a

principal característica do regime de juros simples é a proporcionalidade. Por este

motivo, ao adequar unidades de tempo de taxas no regime de juros simples utiliza-se a

chamada “taxa proporcional” e o procedimento que possibilita essa adequação, nada

mais é do que uma regra de três simples.

Desse modo, pode-se definir taxas proporcionais como sendo àquelas que, aplicadas a

um mesmo valor presente (principal), geram um mesmo valor futuro (montante), para

um mesmo intervalo de tempo. Como ilustrado no exemplo a seguir:

Considere um capital de R$2.753,00, um período de 24 meses e uma taxa mensal de

0,75% ao mês. Nesse contexto, o valor do montante é de?

30

Descrição Valor


Substituindo na fórmula, temos:

54,248.3

)18,01(753.2

)240075,01(753.2

)1(

=+=

⋅+=+=

F

F

F

inPF

Agora, determine a taxa semestral, proporcional à taxa mensal fornecida no problema.

Como mencionado, para se determinar uma taxa proporcional, basta fazer uma regra

de três simples. Sabe-se, também, que no processo de resolução de uma regra de três,

uma relação entre as grandezas já é conhecida, bastando determinar a outra, da

seguinte forma:

Taxa Mês

0,75% 1 x 6

%5,4=x ao semestre.

A taxa de 4,5% ao semestre será proporcional a 0,75% ao mês se aplicada ao mesmo

capital, pelo mesmo período de tempo resultar em montantes iguais, portanto,

retomando ao enunciado, temos:

Descrição Valor

VALOR A SER DETERMINADO Montante (F) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$2.753,00 Taxa de Juros (i) 4,5% ao semestre Período (n) 24 meses = 4 semestres

31

54,248.3

)18,01(753.2

)4045,01(753.2

)1(

=+=

⋅+=+=

F

F

F

inPF

Portanto, conclui-se que 4,5% ao semestre é proporcional a 0,75% ao mês.


Dada uma aplicação com um rendimento de 10% ao mês, qual será o valor

dos juros simples recebidos em função do investimento de R$1.000,00, durante um

mês?

Resolução

Descrição Valor

VALOR A SER DETERMINADO Juros (j) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$1.000,00 Taxa de Juros (i) 10% a.m. Período (n) 1 mês

Colocando a taxa na representação unitária: 10,0100

10.%10 =⇒=⇒= iimai

Calculando os juros:

00,100$110,0000.1 RJJPinJ =⇒××=⇒=

Resposta: Os juros recebidos serão de R$100,00.

Se você fizer uma aplicação de R$100,00, a uma taxa de juros de 3% ao

mês, durante 2 anos qual será o montante a que terá direito no final do seu

investimento?

32

Resolução

Descrição Valor

VALOR A SER DETERMINADO Montante (F) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$100,00 Taxa de Juros (i) 3% a.m. Período (n) 2 anos

Colocando o prazo e a taxa de juros na mesma unidade de tempo:

mesesx

mês

12

1%3

−−

, multiplicando cruzado obtemos: aaxx .%363121 =⇒⋅=⋅ .

Colocando a taxa na representação unitária: 36,0100

36.%36 =⇒=⇒= iimai

Calculando o valor futuro:

00,172$)236,01(100)1( RFFinPF =⇒×+=⇒+=

Resposta: Ao fim de dois anos você terá direito a receber R$172,00.

Nesse exercício utilizamos taxa proporcional na adequação da

unidade de tempo da taxa ao período. Refaça o exercício

transformando o período e compare os resultados.

A taxa proporcional bimestral que produz um montante de R$3.756,00,

resultante de uma aplicação de R$1.500,00, durante 36 meses, no regime de

juros simples, é de?

33

Resolução

Organizando os dados fornecidos do problema.

Descrição Valor

VALOR A SER DETERMINADO Taxa bimestral proporcional à taxa encontrada no problema

?

VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$1.500,00 Valor Futuro (F) R$3.756,00 Período (n) 36 meses

Inicialmente, vamos encontrar a taxa na mesma unidade de tempo do período, ou

seja, mensal. Para isso basta substituir os valores fornecidos direto na fórmula.

0417777778,036

504,1

36504,1

361504,2

361504,2

3611500

3756

)361(15003756

)1(

=

=

==−+=

+=

×+=+=

i

i

i

i

i

i

i

inPF

No entanto, o problema está solicitando uma taxa na unidade de tempo bimestral, por

este motivo vamos fazer uma regra de três.

Taxa Mês

0,0417777778 1 x 2

bax

x

x

.%36,8

100083555556,0

083555556,0

=×=

=

Resposta: Portanto, a taxa bimestral da operação em questão é de 8,36%.

34

2.3. Resumo da Unidade

Principal Característica → taxa de juros é aplicada sobre o capital, resultando,

assim em um crescimento proporcional;

Taxas de juros → apesar das taxas de juros, normalmente, serem apresentadas

na forma percentual, no momento de efetuar os cálculos, a partir de fórmulas

matemáticas, deve-se utilizar a taxa na forma unitária/decimal, ou seja,

dividida por 100;

Unidades de tempo compatíveis → na realização dos cálculos, a taxa de juros e

o prazo da operação devem estar representados em unidades de tempo

compatíveis, ou seja, a taxa deve ser expressa em períodos iguais ao período de

capitalização;

Tratando-se de juros simples, tanto se pode compatibilizar o período (n) ou a

taxa (i), alterando uma ou outra variável, uma vez que as relações são

proporcionais;

Problemas envolvendo taxas proporcionais podem ser resolvidos por meio de

“regra de três”.

2.4. Quadro de Fórmulas

DESCRIÇÃO FÓRMULA

Juros PinJ

PFJ

=−=

Montante )1( inPF

JPF

+=+=

35

UNIDADE 3: CAPITALIZAÇÃO NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS

O objetivo dessa unidade é apresentar o conceito de capitalização no regime de juros

compostos. Espera-se que ao final dessa unidade o aluno seja capaz de realizar um

paralelo entre o juro simples e o composto, sabendo traçar suas principais

características e diferenças, bem como realizar cálculos diversos que apresentem tais

conteúdos em situações do dia a dia.

A proposta dessa unidade é apresentar o regime de capitalização composta sob dois

aspectos, a saber: 1) operacional: todas os cálculos deverão ser realizados por meio de

fórmulas, reforçando, assim, suas habilidades algébricas e, 2) tecnológica: com a

utilização de uma calculadora financeira, no caso, da HP-12c.

3.1. Capitalização no regime de juros compostos

O regime de juro composto cresce mais rapidamente se comparado ao regime de juro

simples. Esse regime de juros é muito utilizado em situações cotidianas das empresas e

de todas as pessoas que realizam operações financeiras no Brasil.

O capital aplicado ou emprestado cresce mais rapidamente nesse regime porque os

juros do período presente são incorporados ao capital, passando a render juros, no

período seguinte, juntamente com o capital aplicado. Ou seja, no final de cada período

os juros serão capitalizados e o montante assim constituído passa a render juros

durante o período seguinte.

Para melhor entendimento vamos retomar o exemplo I, da unidade 2, porém

alterando o regime de juros para o composto.

36

Um capital de R$1.000,00 foi aplicado, no regime de juros compostos, a uma taxa de

1,35% ao mês, por 10 meses. Acompanhe a evolução do montante ao longo do

período contratado.

Como, no regime de juros compostos, a taxa de juros é sempre aplicada sobre o

montante do período anterior, temos:

CAPITAL TAXA DE JUROS

JUROS MONTANTE

R$1.000,00 1,35% R$13,50 R$1.013,50 R$1.000,00 1,35% R$13,68 R$1.027,18 R$1.000,00 1,35% R$13,87 R$1.041,05 R$1.000,00 1,35% R$14,05 R$1.055,10 R$1.000,00 1,35% R$14,24 R$1.069,35 R$1.000,00 1,35% R$14,44 R$1.083,78 R$1.000,00 1,35% R$14,63 R$1.098,41 R$1.000,00 1,35% R$14,83 R$1.113,24 R$1.000,00 1,35% R$15,03 R$1.128,27 R$1.000,00 1,35% R$15,23 R$1.143,50

Observe que os juros foram aumentando em cada período e consequentemente, o

montante, foi maior que o montante obtido no regime de juros simples. Isso, porque,

uma vez aplicada a taxa de juros sobre um valor que aumenta, esse aumento refletirá

na variação periódica dos juros, fazendo com que o montante dessa aplicação cresça

de forma exponencial e não mais proporcional.

Para o cálculo da taxa de juros você pode utilizar uma calculadora (porcentagem %), ou, transformar a

taxa para o formato decimal e, então, realizar a multiplicação da taxa pelo montante obtido no

período anterior.

37

3.1.1. Dedução da fórmula do Montante No primeiro período a taxa é aplicada apenas sobre o capital, conforme ilustrado a

seguir:

1º PERÍODO

JUROS Pij =1

MONTANTE ( ) ( )iPFiPPiPjPF +=⇒+=+=+= 11 111

No segundo período, o valor a ser capitalizado (valor que será incidida a taxa de juros)

será o montante obtido no período anterior ( )1F e não mais sobre o capital ( )P .

2º PERÍODO

JUROS iFj 12 =

MONTANTE ( ) ( )( ) 222111212 )1(111 iPFiiPFiFiFFjFF +=⇒++=⇒+=+=+=

Da mesma forma, no terceiro período será considerado como base de cálculo o

montante obtido no período anterior ( )2F

3º PERÍODO

JUROS iFj 23 =

MONTANTE ( ) ( ) ( ) ( )33

2222323 1111 iPFiiPiFiFFjFF +=⇒++⇒+=+=+=

Acompanhando os resultados obtidos é possível perceber que:

( )iPFn +=⇒= 11 1

( )22 12 iPFn +=⇒=

( )33 13 iPFn +=⇒=

Portanto, generalizando para o enésimo período, temos:

Enésimo Período

JUROS iFj nn )1( −=

MONTANTE ( )nn iPF += 1

O fator ni)1( + é chamado de Fator de Capitalização. Pois, são essas variáveis (taxa e

período) que irão interferir no resultado final, uma vez que o capital é um valor fixo e o

montante será determinado pela variação destas duas variáveis (taxa e período).

38

3.1.2. Dedução da fórmula de Juros O montante é o resultado final do valor principal capitalizado, ou seja, acrescido dos

juros, então matematicamente, temos: JPF += , porém, no tópico anterior, vimos

que niPF )1( += , dessa forma:

[ ]1)1(

)1(

−+=−+=

−=+=

n

n

iPJ

PiPJ

PFJ

JPF

Apesar da taxa de juro, normalmente, ser representada na forma percentual, ao

substituí-la em fórmulas matemáticas é necessário utilizar a forma unitária ou decimal.

Por outro lado, quando utiliza-se calculadoras financeiras ou mesmo o Excel deve ser

utilizada a forma percentual, uma vez que tais recursos foram programados para

“receber” taxas nesse formato.

Camila aplicou R$2375,00 na caderneta de poupança, que rende juros compostos de

0,75% ao mês. Sabendo que Camila resgatou a quantia depositada 24 meses após a

aplicação, qual foi a quantia resgatada?

Resolução

Inicialmente, vamos retirar os dados do problema.

Descrição Valor


Lembrando que, como utilizaremos a fórmula do montante, será necessário dividir a

taxa de juros por 100, adequando-a para o formato decimal (unitário).

39

( )( )

48,841.2

196413529,12375

0075,12375

0075,012375

1

24

24

=⋅=⋅=

+=

+=

F

F

F

F

iPF n

Portanto, a quantia resgatada por Camila, após 24 meses da aplicação será de

R$2.841,48.

Um capital de R$16.500,00 foi aplicado por 36 meses. Ao final desse período foi

resgatada a quantia de R$28.200,80. Qual a taxa de juros mensal dessa operação?

Resolução


Descrição Valor

VALOR A SER DETERMINADO Taxa de juros (mensal) (i) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$16.500,00 Valor Futuro (F) R$28.200,80 Período (n) 36 meses

( )

( )

( )36

36

36

1709139394,1

116500

80,28200

)1(500.1680,200.28

1

i

i

i

iPF n

+=

+=

+×=

+=

Quando chega nesse ponto da igualdade, é necessário eliminar o 36 que está no

expoente, nesse caso, a operação que eliminará esse valor será uma divisão por 36 (no

expoente), que é o mesmo que multiplicar por 36

1. Mas, como temos uma igualdade,

qualquer alteração realizada em um lado deve, também, ser realizada do outro para

manter o equilíbrio. Deste modo,

Para resolver essa expressão deve-se primeiramente eliminar os parênteses (somar

1+0,0075). Em seguida tem-se uma multiplicação e uma potência. Respeitando a regra das operações fundamentais, deve-se

resolver primeiramente a potência para depois multiplicar o resultado.

Para resolver essa equação é necessário isolar a incógnita que se deseja determinar (i). Para isso, utilizamos

operações inversas, ou seja, vamos transferindo os valores que acompanham a incógnita para o outro lado

da igualdade, com a operação inversa.

40

( )

( )( )

014999998,0

1014999998,1

1014999998,1

1709139394,1

1709139394,1

1709139394,1

1027777778,0

36

3636

1

36

==−+=

+=

+=

+=

i

i

i

i

i

i

A taxa encontrada está no formato decimal (unitário). Para determinarmos a taxa em

porcentagem é necessário multiplicar a resposta por 100, obtendo 1,4999998%, ou

ainda, 1,5% ao mês.

Sempre que desejar determinar a taxa de juros, será necessário utilizar o

procedimento, acima, ou seja:

( )( )

( )

1

1

1

1

1

1

−

=

=+

+=

+=

n

n

n

n

P

Fi

P

Fi

iP

F

iPF

Cleiton adquiriu um empréstimo de R$23.800,00 para pagar R$28.171,03. Sabendo

que foi cobrada uma taxa de juros de 2,85% ao mês. Determinar o prazo dessa

operação financeira.

Inicialmente, multiplicamos ambos os expoentes da equação por 1/36. Como toda fração é uma divisão, basta fazer as respectivas divisões: 361÷ e 3636 ÷ .

Em seguida, utilizando uma calculadora científica resolvemos as potências. É necessário trabalhar com todas as casas decimais, pois arredondamentos são

realizados apenas na resposta final.

41

Resolução


Descrição Valor

VALOR A SER DETERMINADO Prazo (n) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$23.800,00 Valor Futuro (F) R$28.171,03 Taxa de Juros (i) 2,85% ao mês

( )( )

n

n

n

niPF

0285,1183656723,1

0285,123800

03,28171

0285,012380003,171.28

1

=

=

+=

+=

Quando chega nesse ponto da igualdade, é necessário isolar a incógnita n (período), no

entanto, esse valor está no expoente. Como proceder para retirar esse valor do

expoente? A operação utilizada será a de logaritmos, uma vez que essa possui uma

propriedade que possibilita retirar determinado valor do expoente sem alterar o

equilíbrio da equação.

“Em qualquer base a ( 0>a e 1≠a ), o logaritmo de uma potência de base real e

positiva e expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da

potência.”

bb aa log.log αα =

Como a calculadora financeira (HP – 12c) só possui o logaritmo na base e2, sempre

que utilizarmos a operação de logaritmos será considerada essa base, que, também é

2 Atribui-se a John Napier a descoberta do número de Neper. É um número irracional e surge como limite, para

valores muito grandes de n, da sucessão

n

n

+ 11 e representa-se pelo valor e = 2,7182818284590452353602874...

É um número irracional e transcendente (não podem ser raízes de polinômios de coeficientes racionais) e é estreitamente aparentado com o número π . Este número e é importante em quase todas as áreas do conhecimento: economia, engenharia, biologia, sociologia. A função exponencial, cuja base é o número de Neper modela fenômenos de importância vital, nos mais variados campos da ciência: físico-químicas, biológicas, econômicas, agronômicas, geográficas, médicas, sociais.

Para resolver essa equação é necessário isolar a incógnita que se deseja determinar (n). Para isso,

utilizamos operações inversas, ou seja, vamos transferindo os valores que acompanham a incógnita

para o outro lado da igualdade, com a operação inversa.

42

uma base comum às calculadoras científicas. Reescrevendo a propriedade na base e,

temos:

bLNbLN aa .αα =

Retomando o exercício;

n0285,1183656723,1 = → Aplicando a operação em ambos os lados da igualdade

nLNLN 0285,1183656723,1 = → Aplicando a propriedade da potência

0285,1183656723,1 nLNLN = → Utilizando uma calculadora financeira ou científica

determinamos o valor de ambos os logaritmos

02810143,0168608565,0 ⋅= n → Isolando n, obtemos o valor solicitado

999999443,5

02810143,0

168608565,0

=

=

n

n

Deste modo, o prazo da operação foi de 6 meses.

Numa aplicação financeira Keila aplicou R$3.725,00 durante 07 meses à uma taxa

mensal de juros de 0,78%. Qual o rendimento obtido?

Resolução


Descrição Valor

VALOR A SER DETERMINADO Rendimento (j) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$3.725,00 Período (n) 07 meses Taxa de Juros (i) 0,78% ao mês

Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/numeroe.htm> Acesso em: 15/11/2011 às 21:41h

43

( )[ ]( )[ ][ ][ ]

21,208

055894379,03725

1055894379,13725

10078,13725

10078,013725

11

7

7

=×=

−=−=

−+=

−+=

J

J

J

J

J

iPJ n

Esse exercício pode ser resolvido pela fórmula do montante. Ou seja, primeiro

determina-se o montante e ao final subtrai o valor encontrado pelo capital investido.

Agora é com você! Refaça o exemplo 4 pela fórmula do montante e veja como ficariam

os cálculos.

É importante destacar que se for solicitado o período ou a taxa de juros pela fórmula

de juros ( )[ ]( )11 −+= niPJ , deverão ser seguidos os mesmos procedimentos já

explicados nos exemplos anteriores.

Outro ponto a ser destacado é em relação à unidade de tempo da taxa e do período.

Nos exemplos abordados até aqui ambos foram fornecidos na mesma unidade de

tempo. No entanto, podem surgir situações em que essas grandezas não respeitem

essa condição. Nesse caso, é necessário fazer a adequação.

Para adequação da unidade de tempo é possível alterar o período, utilizando o

procedimento de regra de três ou alterar a taxa de juros. Como o juro composto é uma

grandeza exponencial, não é possível transformar a taxa por meio de uma regra de

três; o procedimento utilizado é denominado “Taxa Equivalente”.

3.1.3. Taxa Equivalente Conforme mencionado no item anterior, na realização de cálculos financeiros é

imprescindível que a unidade de tempo da taxa e do período sejam iguais. Mas, e se

isso não acontecer? No regime de juros simples, sabemos que basta aplicar uma regra

Para resolver essa equação é necessário eliminar os parênteses, em seguida resolver a potência. O

próximo passo é eliminar os colchetes subtraindo a unidade para ao final fazer a multiplicação pelo

capital aplicado.

44

de três, ou seja, uma taxa proporcional e o problema está resolvido. E na capitalização

composta, como devemos proceder?

Devido ao juro composto, não ser uma grandeza linear, ou seja, não existir uma

proporcionalidade entre as variáveis envolvidas, não podemos aplicar “regra de três”

na taxa; o recurso utilizado é o que chamamos de Taxa Equivalente, definida por Juer

(1984) como

[...] taxas diferentes entre si, expressas em períodos de tempo diferentes, mas que conduzem um capital a um mesmo resultado final no fim de determinado período de tempo. (JUER, 1984: 53)

Existem diferentes formas de se obter taxas equivalentes, no entanto, nesse material

utilizaremos

( ) 10011 ×

−

+= tenho

quero

eii

Onde,

→ei taxa equivalente (taxa que se deseja determinar);

→i taxa fornecida no problema (dividida por 100);

→quero unidade de tempo da taxa que se deseja determinar;

→tenho unidade de tempo da taxa fornecida no problema.

Antônio aplicou a quantia de R$2.532,00 na caderneta de poupança que rende juros

compostos de 8,084981% ao ano. Após 25 meses Antônio resgatou a quantia de?

Resolução


Descrição Valor

VALOR A SER DETERMINADO Montante (F) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$2.532,00 Período (n) 25 meses Taxa de Juros (i) 8,084981% ao ano

45

Como taxa e período não estão na mesma unidade de tempo, devemos fazer a

adequação. Optando por adequar a taxa, devemos utilizar o conceito de taxa

equivalente.

� Quero → mês

� Tenho → ano

Em seguida, devemos representar essas unidades em blocos de dias (sempre utilizando

o calendário comercial)

� Quero → mês → 30

� Tenho → ano→ 360

Substitui-se na fórmula de taxa equivalente obtemos:

( )

( )

( )[ ]{ }{ }

..%65,0

10010065,1

100108084981,1

100108084981,1

1001108084981,0

308,0

360

30

360

30

mai

i

i

i

i

e

e

e

e

e

=×−=

×−=

×

−

=

×

−

+=

Uma vez adequada a unidade de tempo da taxa ao período, basta substituir os valores

na fórmula do montante

( )( )

20,977.2

175829849,1532.2

0065,1532.2

0065,01532.2

1

25

25

=×=×=

+=

+=

F

F

F

F

iPF n

Resposta: ao final de 25 meses, Antônio resgatou a quantia de R$2.977,20.

Os problemas financeiros inseridos no contexto dos juros compostos podem ser

resolvidos algebricamente, ou seja, pelas fórmulas apresentadas. Porém, além desse

procedimento é possível obter soluções imediatas na resolução de tais problemas por

meio de outros recursos, como por exemplo, das calculadoras financeiras.

Representação da dízima periódica 0,083333...

46

A seguir será apresentada uma breve explanação sobre as funcionalidades financeiras

da HP-12c.

3.2. Funcionalidades Financeiras da Calculadora HP- 12c

A calculadora financeira HP-12c é uma das calculadoras financeiras mais utilizadas

na disciplina de Matemática Financeira de cursos diversos. Isso porque a mesma

possibilita soluções imediatas a questões que envolvem juros compostos.

Ao iniciar a utilização da HP-12c algumas informações são importantes, a saber:

3.2.1. Funções Básicas da HP-12c

3.2.1.1. Funções Secundárias F e G

As teclas da HP-12c podem possuir até 03 funções: primária (representada pela cor

branca), 1ª secundária (representada pela cor laranja) e 2ª secundária (representada

pela cor azul).

47

Observe que acima de algumas teclas existem funções representadas pela cor laranja e

abaixo de algumas teclas existem funções representadas pela cor azul. Para armazená-

las utilizamos, respectivamente, as teclas F e G.

3.2.1.2. Separadores de Dígitos

Ao digitar um número, cada grupo de três dígitos no lado esquerdo do ponto decimal é

automaticamente separado no mostrador. Esse separador pode estar no formato

americano, ou seja, separando as unidades de milhar com vírgula, ou no formato

brasileiro, separando as unidades de milhar com ponto.

Você pode alterar a configuração para o formato brasileiro ou americano realizando o

seguinte comando:

Desligue a calculadora. Depois, aperte e segure as teclas • e ON

simultaneamente. Em seguida, solte a tecla ON e depois a tecla

• ; Siga este mesmo procedimento para retornar à configuração

anterior.

3.2.1.3. Números Negativos

Muitas vezes, em cálculos financeiros é necessária a representação de um número na

forma negativa. A tecla que troca o sinal de um número que acabou de ser digitado, ou

até mesmo o resultado de um cálculo é a CHS . Essa tecla, também, pode ser

utilizada para positivar o resultado negativo de determinado cálculo.

3.2.1.4. Número de Casas Decimais

Você pode visualizar até nove casas decimais depois da vírgula. Para alterar o número

de casas decimais que deseja visualizar, basta pressionar a tecla f e número de casas

que deseja visualizar. Exemplo: 4f , 9f .

48

Você pode optar, também por visualizar os números em notação científica, ou seja, em

potência de 10 pressionando •f , para retornar basta realizar, novamente o comando

supracitado, ou seja, f e a quantidade de casas que deseja visualizar.

3.2.1.5. Inserindo números

Para inserir números na calculadora, devemos armazená-los em sequência.

É importante, ressaltar também, que a forma como realizamos cálculos na HP é

diferente daqueles realizados nas demais calculadoras, pois, lançamos:

NÚMERO NÚMERO

OPERAÇÃO

CUIDADO! A tecla • é utilizada para separar números decimais e não o separador de

unidades de milhar. Portanto, ao digitar, o número: 5.000, não devemos pressionar a

tecla • , mas sim, digitar o número direto, pois a calculadora irá separar

automaticamente as unidades de milhar. Já a digitação do número 0,525 deve ser da

seguinte forma: 5250 • e será exibido no visor 525,0 ou 525.0 dependendo do

formato que a mesma estiver programada.

3.2.1.6. As teclas “CLEAR” (apagar)/ Limpar

registros e memórias

Veja abaixo a função e como devem ser utilizados cada comando:

49

TECLAS COMANDO

CLx

f CLEAR REG

f CLEAR FIN

f ∑

f CLEAR PRGM

Apaga valores no visor ainda não armazenados, ou seja,

antes de se pressionar a tecla ENTER. Essa tecla,

também zero o visor. Apaga todos os registros Apaga somente os registros financeiros Apaga registros estatísticos Apaga programações realizadas

3.2.1.7. Siglas e nomenclaturas das funções

financeiras básicas

COMANDO

FUNÇÃO

n Período (dia, mês, ano, trimestre, ...)

i Taxa de Juros (%)

PV Valor Presente, Capital ou Principal

PMT Valor das prestações (iguais e consecutivas)

FV Valor Futuro ou Montante

7g Aciona a tecla BEGIN (início), indica a antecipação da 1ª parcela

8g Aciona a tecla END (fim), indica pagamentos postecipados.

3.2.2. Iniciando o cálculo financeiro Antes de iniciar os cálculos com a HP é necessário ativar a função “c”, que é uma

função específica para o cálculo de juros compostos. Vocês, certamente, devem estar

se perguntando; mas, a calculadora financeira foi “programada” para realizar cálculos

no regime de juros compostos, porque, então, devemos ativar a função “c”? A

resposta é simples, pois caso contrário, quando realizamos cálculos com período

fracionário, a mesma utilizará o método de regressão linear e não o exponencial.

50

Para ativar tal comando, basta pressionar: STO EEX . Aparecerá no canto inferior

do visor um “c”.

Para o cálculo envolvendo o regime de juros compostos utilizamos as teclas:

Onde:

→n Período;

→i Taxa de Juros (em %);

→PV Valor presente ou principal (present value);

→PMT Valor de uma parcela de pagamento, quando uma dívida é paga em

parcelas fixas;

→FV Valor Futuro ou Montante (future value).

Para realizar cálculos financeiros, utilizando a HP, basta fornecer três valores e solicitar

o cálculo do quarto. É importante, no entanto, atentar-se para que taxa de juros e

período estejam na mesma unidade de tempo, caso contrário, devemos fazer a

adequação.

Calcular os juros de uma aplicação financeira de R$12.500,00 pelo prazo de 5 meses, à

taxa de 3,1%a.m, considerando o regime de juros compostos.

Resolução


Descrição Valor

VALOR A SER DETERMINADO Rendimento/ juros (j) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$12.500,00 Período (n) 05 meses Taxa de Juros (i) 3,1% ao mês

51

Precisamos determinar o valor dos juros, porém, nas teclas de atalho da HP não tem

uma específica para o cálculo dos juros, no entanto, sabemos que PFj −= , ou seja,

montante menos o capital. Então, devemos, inicialmente, encontrar o valor do

montante, conforme abaixo:

TECLA VISOR

f CLx 0,00

12.500 12.500,00

5 5,00

3,1 3,10

-14.561,41

O sinal negativo apresentado para o valor futuro resulta do fato de que a calculadora

trabalha com a ideia de fluxo de caixa, ou seja, o que é entrada armazena-se

positivamente e o que for saída armazena-se negativamente. Na prática, despreze o

sinal, utilize somente o valor absoluto. A não ser quando, na entrada de dados, tiver

dois valores monetários (por exemplo, o capital, o montante ou o valor das parcelas),

nesses casos, deve-se atribuir a um deles o sinal negativo, o que é viabilizado pela tecla

CHS que significa “mudar sinal”, do inglês change sign.

Retomando o exercício, precisamos determinar de fato o que foi solicitado que é o

valor dos juros. Deste modo, vamos inicialmente alterar o sinal da resposta anterior

pressionando a tecla CHS e por fim subtrair o resultado encontrado de 12.500

obtendo, assim a quantia de 2.061,41. Logo, o juro dessa operação é de R$2.061,41.

3.2.3. Taxa Equivalente na HP A fórmula utilizada para o cálculo de taxa equivalente é:

( ) 10011 ×

−

+= tenho

quero

e ii

52

Os comandos na HP ficam:

COMANDOS HP

f CLx 0,00

Taxa dada ENTER

100 ÷ 1 +

quero ENTER

tenho ÷ xy

1 -

100 ×

Para uma visualização mais precisa desses comandos acompanhe a resolução do

exemplo 8.

Qual a taxa mensal equivalente a 15%a.a.?

Resolução

Para resolver esse exercício é necessário identificar a unidade de tempo da taxa que se

deseja transformar, bem como a unidade de tempo da taxa fornecida.

� Quero → mês

� Tenho → ano

Em seguida, devemos representar essas unidades em blocos de dias (sempre utilizando

o calendário comercial)


� Tenho → ano→ 360

Substitui-se na fórmula os dados fornecidos para em seguida determinar o valor com o

auxílio da HP.

( ) 1001115,0 360

30

×

−

+=ei

53

Resolvendo essa expressão com a HP, obtemos:

COMANDOS HP VISOR

f CLx 0,0000

15 ENTER 15,0000

100 ÷ 0,1500

1 + 1,1500

30 ENTER 30,0000

360 ÷ xy 1,0117

1 - 0,0117

100 × 1,1715

Outra forma de se calcular taxa equivalente pela HP-12c é gravando um programa dos

comandos que se repetem, agilizando, assim a obtenção do resultado. O comando a

seguir é realizado uma única vez e em seguida utilizamos apenas o comando para

obtenção da taxa.

f RP / f PRGM ENTER100 ÷ 1 + 0RCL xy 1 – 100 × f RP /

Uma vez armazenado o programa, para determinar a taxa solicitada devemos dar o

seguinte comando:

quero ENTER tenho÷ 0STO dadai SR/

Retomando o exemplo 8 e determinando a taxa pelo programa armazenado, temos:

SRSTOENTER /01536030 ÷

Logo, a taxa mensal será de 1,715%, como já determinado pela fórmula.


01) Imagine que você tenha pegado um empréstimo no valor de R$100,00. O

regime da capitalização é composto, a uma taxa de 10% ao ano. Após um ano,

qual será o valor da sua dívida?

Resolução

Descrição Valor

VALOR A SER DETERMINADO Montante (F) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$100,00 Período (n) 01 ano Taxa de Juros (i) 10% ao ano

54

Resolvendo pela fórmula faz-se necessária a transformação da taxa percentual em taxa

unitária, ou seja, 10,0100

10.%10 =⇒=⇒= iimai .

Substituindo os valores na equação de juros compostos, temos:

00,110$1,1100)10,01(100)1( 1 RMxMMiPM n =⇒=⇒+=⇒+=

Pela HP-12c:

Digitar Visor f CLEAR FIN

100 PV 100,00

10 i 10,00

1 n 1,00

FV -110,00

Resposta: Após o período de um ano a sua dívida será de R$110,00.

02) Qual a taxa mensal equivalente a 33,1% ao trimestre?

Resolução


� Tenho → trimestre → 90

Substituindo os valores na equação de taxa equivalente, temos:

( )

( )

..%10

100111001,33

10011100

90

30

mai

xi

xi

e

e

tenho

quero

dadaei

=

−

+÷=

−

+÷=

Sugiro utilizar sempre o período que quero e o período que tenho em dias

considerando o calendário comercial.

Substituindo os dados na HP-12c:

55


33,1 ENTER 33,1000

100 ÷ 0,3310

1 + 1,3310

ENTER 1,3310

30 ENTER 30,0000

90 ÷ 0,33333

YX 1,1000

1 - 0,1000

100 x 10,0000

Ou ainda, utilizando o programa, temos:

09030 STOENTER ÷ SR/1,33 , obtendo, 10% ao mês.

Resposta: A taxa mensal equivalente a 33,1%a.t. é 10%.

03) Em uma aplicação de R$4.300,00 a juros compostos de 5% ao mês, durante 6

dias, quanto se ganha de juros?

Resolução

Descrição Valor

VALOR A SER DETERMINADO Rendimento/juros (j) ? VALORES FORNECIDOS Valor Presente (P) R$4.300,00 Período (n) 06 dias Taxa de Juros (i) 5% ao mês

Nesse exercício é necessário atentar-se, pois, taxa e período não estão na mesma

unidade de tempo. Desse modo, é necessário adequá-las. É possível determinar o

período (regra de três) ou a taxa (taxa equivalente). Utilizaremos a adequação pela

transformação da taxa.

( ) ( ) 1001105,010011 30

1

xxi tenho

quero

ei −

+⇒−

+=

Utilizando a HP para os cálculos, obtemos:

56


5 ENTER 5,0000

100 ÷ 0,0500

1 + 1,0500

ENTER 1,0500

1 ENTER 1,0000

30 ÷ 0,3333

YX 1,0016

1 - 0,0016

100 x 0,1628

Após o término desse cálculo não limpe a memória da calculadora, pois iremos

armazená-lo diretamente na memória financeira e posteriormente lançaremos o

demais dados. Esse procedimento é importante, pois dessa forma será considerado

para o cálculo todas as casas decimais, caso contrário, poderá dar diferença no

resultado.

Resolvendo pela HP, temos:

Digitar Visor f CLEAR FIN 0,1628

i 0,1628

4.300 PV 4.300,0000

6 n 6,0000

FV -4.342,1649

Como o problema está pedindo o valor dos juros e não do montante, devemos subtrair

o valor absoluto (positivo) do montante pelo capital:

16,42$00,300.416,342.4 RJJPFJ =⇒−=⇒−= .

Resolvendo pela fórmula de juros, temos:

( )[ ]( )[ ][ ][ ]

17,42

009807842,04300

1009807842,14300

1001628,14300

1001628,014300

11

6

6

=⋅=

−=−=

−+=

−+=

J

J

J

J

J

iPJ n

57

Agora é com você! Resolva esse mesmo exercício, porém, ao invés de transformar a

taxa de juros transforme o período e compare os resultados.

3.4. Resumo da Unidade � Principal Característica → taxa de juros é aplicada sobre o montante do período

anterior, resultando, assim em um crescimento exponencial; em outras

palavras, temos que, os juros compostos, acumulados ou capitalizados são os

juros produzidos no 1º período que, somados ao capital que o produziu, passam

a produzir juntos, juros no período seguinte;

� Taxas de juros → apesar das taxas de juros, normalmente, serem apresentadas

na forma percentual, no momento de efetuar os cálculos, a partir de fórmulas

matemáticas, deve-se utilizar a taxa na forma unitária/decimal, ou seja,

dividida por 100. No entanto, ao resolver um problema pela HP-12c, utiliza-se a

taxa no formato percentual;

� Unidades de tempo → Para realização dos cálculos, taxa de juros e período

devem ser representados na mesma unidade de tempo;

� Tratando-se de juros compostos, ao transformar o período utiliza-se regra de

três para compatibilizar o período (n). No entanto, ao compatibilizar a taxa (i) é

necessário utilizar “Taxas Equivalentes”;

� Problemas envolvendo taxas equivalentes devem ser resolvidos pela fórmula

de “taxa equivalente”, nunca por uma “regra de três”, uma vez que o regime

de juros compostos cresce de forma exponencial e não proporcional.

58



Juros ( )[ ]11 −+=

−=niPJ

PFJ

Montante niPF

JPF

)1( +=

+=

Taxa Equivalente ( ) 10011100 ×

−

+÷= tenho

quero

e ii

59

UNIDADE 4: DESCONTO

Esse tópico foi destinado para a discussão do conceito de Desconto. Serão

apresentadas duas operações de desconto, a saber: comercial e racional, ambas serão

abordadas no regime de juros simples. Já no regime de juro composto será

apresentada, apenas, a operação de desconto Racional. A unidade foi organizada em:

discussão do conteúdo acompanhada de exemplos, exercícios resolvidos, resumo da

unidade e Quadro de Fórmulas.

4.1. O desconto de títulos Neste tópico, abordaremos o tema: Desconto. Certamente, você deve ter presenciado

diversas negociações comerciais que oferecem descontos em pagamentos à vista. No

entanto, o desconto não se restringe a essa conceituação. No mercado financeiro é

comum empresas, e até mesmo pessoa física, realizar o desconto de títulos a curto

prazo3, transformando um pagamento futuro em capital de giro.

Assim como os juros, o desconto também pode ser regido pelo juro simples ou

composto, porém, como os descontos de títulos e duplicatas são realizados quase que

em sua totalidade no curto prazo, o mercado opera normalmente no regime de juros

simples.

O desconto é muito semelhante aos juros; a moeda é o “ator” principal, uma vez que o

mercado está realizando a “troca” de um título, que nada mais é do que uma

promessa de pagamento, por moeda corrente. Pela antecipação deste dinheiro será

aplicada sobre o valor nominal, ou atual do título uma taxa de desconto praticada pela

instituição financeira. O detentor do título receberá o valor líquido, ou seja, já

deduzido dos juros cobrados antecipadamente.

3 O mercado considera como curto prazo negociações inferiores há um ano.

60

Você deve estar se perguntando: “Mas, que tipo de documento pode ser trocado no

mercado financeiro, o que vem a ser estes títulos de crédito?”

Chama-se título de crédito o documento comprobatório de uma dívida. Exemplos de

título de crédito são: promissórias, duplicatas, letras de câmbio, dentre outros.

Cabe ressaltar que, apesar do cheque (pré-datado) não ser um título de crédito; o

mercado o considera como tal em operações financeiras.

Esses títulos têm um valor declarado chamado valor nominal (F), que corresponde ao

valor que pode ser recebido pelo título na data do vencimento, que também vem ali

declarado.

Quando o portador de um título de crédito precisa de dinheiro, pode resgatá-lo antes

do seu vencimento, mediante endosso, numa corretora de valores ou banco que

procede a operação de desconto. Mas, ao resgatar o título ANTES do vencimento, o

portador não recebe o valor ali declarado. O valor nominal do título sofre um desconto

que será tanto maior quanto maior for a antecipação do pagamento em relação à data

de vencimento e também em relação ao risco na negociação.

O valor recebido pelo portador chama-se valor atual (P) do título e representa a

diferença entre o valor nominal e o desconto realizado.

DFP −=

O desconto corresponde, assim, aos juros cobrados pela instituição pela antecipação

do pagamento.

Existem duas formas para se calcular o desconto de um título:

61

Apesar de existir dois tipos de operação de desconto (Racional e Comercial), estudadas

em ambos os regimes de juros (simples e composto), no regime de juros compostos,

será abordada apenas a operação de Desconto Racional, por não ter aplicação no

Brasil do Desconto Comercial Composto.

4.2. Siglas e Nomenclaturas

Várias são as siglas utilizadas para representar os principais conceitos que permeiam o

tema “desconto”. No entanto, para facilitar seu entendimento utilizaremos as mesmas

siglas, já apresentadas no contexto da capitalização, resumidas no quadro a seguir:

62

Nomenclatura Sigla

Descrição Fórmula HP - 12c

Valor Nominal ou Valor Futuro F FV

É o valor expresso no título de crédito. Como o título de crédito é um valor que ainda vai vencer utiliza-se, também o termo, valor futuro. Outra interpretação para o valor nominal ou valor futuro, no contexto de desconto, é a de dívida, ou seja, valor já acrescido dos juros em determinada época.

Valor Atual/ Líquido ou Valor Presente P PV

Como um dos objetivos da operação de desconto é a antecipação de um título de crédito, ao realizar essa antecipação, recebe-se um valor menor do que o valor indicado no título. Pode-se dizer que esse desconto é o juro cobrado pela instituição financeira pela antecipação dessa quantia monetária ao cliente. O valor líquido recebido pelo cliente é chamado de valor atual, valor líquido ou valor presente. Já no contexto de antecipação de um pagamento o valor atual consiste no valor descapitalizado, ou seja, retirado o valor dos juros previamente estabelecidos.

Taxa de Desconto i i É a taxa de juros praticada na operação de desconto.

Tempo de Antecipação n n

É o tempo de antecipação do título de crédito ou o tempo de antecipação do pagamento de uma dívida. É importante destacar que esse tempo de antecipação, nem sempre consistirá no prazo acordado previamente, mas, sim na quantidade de períodos que foram antecipados.

Desconto D -

Como mencionado no tópico “valor atual”, o desconto é o juro cobrado pela instituição financeira pela antecipação do título ou do pagamento de uma dívida. Portanto, D = F – P

63

4.3. Desconto Comercial Simples O desconto comercial simples (também conhecido por Desconto Bancário, por ser uma

operação amplamente utilizada por instituições bancárias) é uma operação financeira

voltada para a antecipação de um título de crédito. Sua principal característica é a taxa

de juros incidir sobre o valor nominal do título.

FinD = Equação I

Para o cálculo do desconto, utiliza-se:

PFD −= Equação II

Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos:

� isolando P

� colocando F em evidência

Desse modo, a fórmula )1( inFP −= possibilita determinar o valor atual do título

recebido quando forem fornecidos o valor nominal, a taxa e o período de antecipação.

Um cheque4, no valor de R$10.000,00, pré-datado para 50 dias foi descontado a uma

taxa de desconto simples de 2,95% ao mês. Determine o valor do desconto e o valor

atual recebido pelo cliente.

4 O cheque pré-datado, legalmente, não é considerado um título de crédito, no entanto, o mercado o

considera como tal, sendo possível realizar operações de desconto.

64

Primeiramente, devemos retirar os dados fornecidos no problema:

DESCRIÇÃO VALOR

VALOR A SER DETERMINADO

Desconto (D) ?

Valor Atual (P) ?

VALORES FORNECIDOS

Valor Nominal (F) R$10.000,00

Tempo de Antecipação (n) 50 dias

Taxa de Desconto (i) 2,95% ao mês

Após retirar os dados do problema é necessário verificar se taxa e período estão na

mesma unidade de tempo. Como a taxa está expressa na unidade de tempo mensal e

o período na unidade de tempo diário, deve-se fazer a adequação. Uma vez que o

regime de desconto utilizado é o simples, é possível alterar a taxa ou o período por

meio de uma regra de três.

Alterando o período, temos como variáveis envolvidas, mês e dia, que consiste,

respectivamente, na unidade de tempo que se deseja determinar e na unidade de

tempo fornecida no problema.

Mês Dia

1 30

x 50

mesesx

x

x

x

...66666,13

530

50

5030

=

=

=

=

Para determinar o valor do desconto utiliza-se a fórmula:

Lembrando que em fórmula matemática é necessário utilizar a taxa no formato

decimal (dividida por 100), temos:

666666666,10295,0000.10 ××=D

65

É importante destacar que como o período é uma dízima periódica é necessário

utilizar, pelo menos nove casas após a vírgula, pois, em matemática financeira os

arredondamentos são realizados apenas no resultado final e não ao longo do processo.

Desse modo, o valor do desconto concedido foi de R$491,67.

Para o cálculo do valor atual, temos duas diferentes maneiras para a resolução, a

saber:

1ª)

33,508.9

67,491000.10

000.1067,491

=−=

−=−=

P

P

P

PFD

2ª)

)1( inFP −=

)666666666,10295,01(000.10 ×−=P � primeiro é necessário resolver a multiplicação

)049166667,01(000.10 −=P � resolve a subtração para eliminar os parênteses

950833333,0000.10 ×=P � é necessário considerar todas as casas após a vírgula

33,508.9=P

4.4. Desconto Racional Simples O desconto Racional simples é uma operação financeira voltada para a antecipação do

pagamento de uma dívida, também conhecido por descapitalização da dívida. Essa

descapitalização consiste na retirada dos juros previamente calculados pelo

financiamento de determinado valor. Sua principal característica é a taxa de juros

incidir sobre o valor atual da dívida.

Para o cálculo desse desconto, utiliza-se:

PinD = Equação 01

Ou ainda,

66

PFD −= Equação 02

Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos:

� isolando F

� colocando P em evidência

� isolando P

Joaquim adquiriu uma dívida de R$29.500,00 para ser quitada ao final de sete meses.

Desejando antecipar o pagamento para o quarto mês determine o novo valor a ser

pago, considerando uma taxa de desconto racional simples de 6% ao mês.


DESCRIÇÃO VALOR


Valor Atual (P) ?

VALORES FORNECIDOS

Valor Nominal (F) R$29.500,00

Tempo de Antecipação (n) 7 – 4 = 3meses

Taxa de Desconto (i) 6% ao mês

Como taxa e período estão na mesma unidade de tempo basta dividir a taxa por 100 e

substituir na fórmula:

in

FP

+=

1

306,01

29500

×+=P � Lembrando que primeiro multiplica, para depois somar, temos:

Lembrando que deve ser considerado o tempo de

antecipação, é necessário subtrair o tempo total

negociado pela nova data de pagamento.

67

18,01

29500

+=P

18,1

29500=P

000.25=P

Portanto, a quantia que deverá ser paga ao final do quarto mês para quitar a dívida é

de R$25.000,00.

4.5. Desconto Racional Composto O desconto racional composto, assim como o desconto racional simples, é uma

operação financeira voltada para a antecipação do pagamento de uma dívida, ou ainda

para a descapitalização de determinada quantia monetária; a única diferença é o tipo

de regime utilizado. Quando a dívida for contratada pelo regime de juros simples a

descapitalização deve ocorrer seguindo o mesmo regime de juros, quando for no

composto, utiliza-se desse último para a operação de descapitalização.

Para o cálculo do desconto, utiliza-se:

( )[ ]11 −+= niPD ou ainda PFD −=

Já para determinar o valor atual, basta utilizar a fórmula:

( )ni

FP

+=

1

Um título, com 90 dias a vencer, foi descontado à taxa de 1,5% ao mês, produzindo um

desconto no valor de R$1.379,77. Calcular o valor nominal do título considerando o

desconto racional composto.


68

DESCRIÇÃO VALOR


Valor Nominal (F) ?

VALORES FORNECIDOS

Desconto (D) R$1.379,77



Após retirar os dados do problema é necessário verificar se taxa e período estão na

mesma unidade de tempo. Como a taxa foi expressa na unidade de tempo mensal e o

período na unidade de tempo diária, deve-se fazer a adequação. Como o regime de

desconto utilizado é o composto deve-se:

• Fazer regra de três caso necessite transformar o período; ou,

• Fazer taxa equivalente se desejar transformar a taxa.

Para um melhor entendimento esse exercício será realizado pelos dois possíveis

caminhos. Cabe destacar, que nas atividades propostas, basta utilizar apenas aquele

que julgar mais apropriado para o seu aprendizado.

1º Procedimento: transformando o período

Mês Dia

1 30

x 90

mesesx

x

x

x

33

930

90

9030

=

=

=

=

Para determinar o valor nominal do título basta utilizar a fórmula:

( )[ ]11 −+= niPD

69

Lembrando que em fórmulas matemáticas é necessário utilizar a taxa no formato


( )[ ]( )[ ][ ]

20,206.30

04567875,0

77,379.1

045678375,077,379.1

1045678375,177,379.1

1015,177,379.1

1015,0177,379.13

3

=

=

×=−=

−=

−+=

P

P

P

P

P

P

2º Procedimento: transformando a taxa de juros

Como estamos trabalhando no regime de juros compostos a transformação de taxas

deve ser realizada pela fórmula de taxa equivalente.

� Quero → diária → 1

� Tenho → mensal → 30


( )

( )

( )[ ]{ }{ }

..%049641,0

100100049641,1

1001015,1

10011015,0

10011

03333333,0

30

1

dai

i

i

i

ii

e

e

e

e

tenho

quero

e

=×−=

×−=

×

−

+

×

−

+=

=

Substituindo na fórmula do desconto, temos:

( )[ ]11 −+= niPD

Lembrando que em fórmulas matemáticas é necessário utilizar a taxa no formato


Para resolver essa equação é necessário primeiro eliminar os parênteses, resolvendo a soma

entre 1+0,015, em seguida deve-se resolver a potência para

depois subtrair.

70

( )[ ]( )[ ][ ]

20,206.30

045678351,0

77,379.1

045678351,077,379.1

1045678351,177,379.1

100049641,177,379.1

100049641,0177,379.190

90

=

=

×=−=

−=

−+=

P

P

P

P

P

P


01) Suponha que você tenha vendido hoje um lote de mercadorias no valor de

R$15.000,00. O pagamento referente a tal venda deverá ser efetuado num

prazo de 125 dias. Porém, necessitando cumprir alguns compromissos de

ordem financeira, você decide ir ao banco descontar a duplicata relativa a esta

venda. A informação que você recebe do gerente do banco é que a taxa de

desconto comercial simples praticada pela instituição é de 4% ao mês. Sendo

assim, que valor receberá se descontar a duplicata?

Resolução

Inicialmente, vamos retirar os dados do problema

DESCRIÇÃO VALOR


Valor Atual ou Presente (P) ?

VALORES FORNECIDOS

Valor Nominal ou Futuro (F) R$15.000,00



Como taxa e período não estão na mesma unidade de tempo, devemos adequar. Pode-

se transformar a taxa ou o período. Transformando a taxa (taxa proporcional) temos:

Taxa Dia

4% 30

x 01

Para resolver essa equação é necessário primeiro eliminar os parênteses, resolvendo a soma

entre 1+0,00049641, em seguida deve-se resolver a potência para

depois subtrair.

71

..%133333333,030

4

%430

dax

x

x

=

=

=

É importante destacar que a taxa deve ser dividida por 100 para substituir na fórmula.

Substituindo, temos:

( )

00,500.12

833333333,0000.15

166666667,01000.15

)125001333333,01(000.15

)1(

=×=

−=×−=

−=

P

P

P

P

inFP

Resposta: Você receberá hoje R$12.500,00.

02) Uma nota promissória de R$18.600,00, vencendo em 272 dias, sofreu um

desconto bancário de R$3.600,00. A taxa mensal de desconto comercial

simples foi de?

Resolução

Retirando os dados do problema.

DESCRIÇÃO VALOR


Taxa de Desconto (i) ?

VALORES FORNECIDOS



Desconto (D) R$3.600,00

Substituindo os valores na fórmula do desconto, tem-se:

000711575,0200.059.5

600.3

200.059.5600.3

272600.18600.3

=

=

=××=

=

i

i

i

i

FinD

Para determinar a taxa em porcentagem deve-se multiplicar o resultado por 100,

obtendo: 0,071157495% ao dia. Porém, o problema solicitou uma taxa mensal, deste

72

modo, é necessário fazer uma regra de três para a adequação da unidade de tempo

solicitada.

Taxa Dia

0,071157495% 01

x 30

..%134724858,2

30%071157495,0

max

x

=×=

03) Em uma operação financeira, o valor nominal do título é igual a 12 vezes o

desconto comercial simples concedido. Sendo a taxa de desconto simples de

2% ao dia, o prazo de antecipação em dias é de?

Resolução

Nesse exercício não foram fornecidos exatamente o valor do título, bem como o valor

do desconto, somente uma relação entre eles. Nestes casos, temos duas formas de

resolver o problema.

1º) Utilizar as próprias variáveis;

2º) Atribuir um valor para uma das variáveis e a outra será determinada por

meio da relação apresentada.

Utilizando a primeira opção, temos:

DESCRIÇÃO VALOR


Tempo de antecipação (n) ?dias

VALORES FORNECIDOS

Desconto (D) D

Valor Nominal ou Futuro (F) 12D


Substituindo na fórmula do desconto.

73

mesesn

n

n

nDD

FinD

166666667,424

1

24,01

02,012

=

=

=××=

=

Porém, o exercício solicitou o período em dias, portanto, aplicando a regra de três.

Meses Dias

01 30

4,166666667 x

diasx

x

125

30166666667,4

=×=

Pelo segundo método, que consiste na atribuição de um valor, podemos atribuir o

valor do desconto como sendo R$100,00. Portanto, se o valor do título é 12 vezes o

valor do desconto temos que 200.1=F . Organizando os dados em uma tabela, tem-

se:

DESCRIÇÃO VALOR


Tempo de antecipação (n) ?dias

VALORES FORNECIDOS

Desconto (D) R$100,00



Substituindo na fórmula do desconto.

mesesn

n

n

n

FinD

166666667,424

100

24100

02,01200100

=

=

=××=

=

Adequando o prazo para a unidade de tempo solicitado no problema, obtemos 125

dias.

74

Outra forma de fazer esse exercício seria transformando a taxa para a unidade de

tempo diária, antes de substituir na fórmula. Faça essa substituição e resolva

novamente o exercício pelos dois métodos apresentados.

04) Calcular o desconto racional e o valor atual do título considerando um valor

nominal de R$70.000,00, um prazo de antecipação de três meses e uma taxa

de juros de simples de 2,85% ao mês.

Resolução


DESCRIÇÃO VALOR


Desconto (D) ?

Valor atual ou presente (P) ?

VALORES FORNECIDOS


Prazo de antecipação (n) 3 meses


Substituindo da fórmula do desconto racional, temos:

41,486.64

0855,1

000.70

0855,01

000.70

30285,01

000.701

=

=

+=

×+=

+=

P

P

P

P

in

FP

Desse modo, o valor liquido recebido será de R$64.486,41. Para determinar o valor do

desconto, basta subtrair 70.000 pelo valor encontrado (atual), obtendo:

59,513.5

41,486.64000.70

=−=

D

D

75

05) Um título no valor nominal de R$1.873,20 foi resgatado dois meses e meio

antes de seu vencimento e foi contratado à taxa de 30% ao ano. O desconto

racional composto concedido foi de:

Resolução


DESCRIÇÃO VALOR


Desconto (D) ?

VALORES FORNECIDOS


Prazo de antecipação (n) 2,5 meses

Taxa de Desconto (i) 30% ao ano

Como taxa e período não estão na mesma unidade de tempo é necessário fazer a

adequação transformando ou o período (regra de três) ou a taxa (taxa equivalente).

Transformando o período temos:

Ano Meses

01 12

x 2,5

anosx

x

x

208333333,012

5,2

5,212

=

=

=

Primeiro devemos determinar o valor Atual do título, pois, na fórmula do desconto,

não é possível substituir direto os dados fornecidos. Deste modo, utilizando

( )niPF += 1 , temos:

( )( )

56,773.1

05618063,1

20,873.1

05618063,120,873.1

30,120,873.1

30,0120,873.1208333333,0

208333333,0

=

=

==

+=

P

P

P

P

P

76

Para determinar o valor do desconto podemos utilizar AFD −= ou

( )[ ]11 −+= niPD .

64,99

56,773.120,873.1

=−=

−=

D

D

AFD

Outro método para resolução desse exercício é utilizando a HP-12c, uma vez que trata-

se de um problema de desconto no regime de juros compostos.


30 i 30,00000000

1.873,20 FV 1.873,20000

0,208333333 n 0,208333333

PV -1.773,56000

Como o problema está pedindo o valor do desconto e não o valor atual devemos

subtrair o valor absoluto (positivo) do valor encontrado:

64,99$56,773.120,873.1 RDDPFD =⇒−=⇒−= .

Outra forma de fazer esse exercício seria transformando a taxa para a

unidade de tempo mensal, antes de substituir na fórmula ou na HP.

Faça essa substituição e resolva novamente o exercício pelos dois

métodos apresentados.

06) Uma firma realiza um empréstimo em um banco no valor de R$20.000,00, por

um prazo de 10 meses, à taxa de 3,0% ao mês, em regime de juros compostos.

Sabendo-se que a taxa de desconto racional composto é de 2,0% ao mês, e

desejando antecipar para 4 meses o pagamento, essa firma pagaria ao banco:

Resolução

Esse problema envolve tanto o conceito de capitalização quanto o de desconto. Num

primeiro momento deve-se determinar qual o valor da dívida (valor futuro) e num

segundo momento realizar a antecipação desse pagamento.

77

Cálculo do valor futuro –

DESCRIÇÃO VALOR


Valor Futuro (F) ?

VALORES FORNECIDOS

Valor Presente (P) R$20.000,00

Prazo (n) 10 meses


Substituindo na fórmula temos:

( )

33,878.26

343916379,1000.20

03,1000.20

03,01000.20

)1(

10

10

=×=×=

+=

+=

F

F

F

F

iPF n

Porém, a empresa deseja antecipar a dívida de 10 para 4 meses pela operação de

desconto racional composto. Desse modo,

DESCRIÇÃO VALOR


Valor Presente (P) ?

VALORES FORNECIDOS

Valor Futuro (F) R$26.878,33

Prazo (n) 10 – 4 = 6m


( )

( )

19,867.23

126162419,1

33,878.26

02,1

33,878.26

02,01

33,878.26

1

6

6

=

=

=

+=

+=

P

P

P

P

i

FP

n

78

Portanto, o valor a ser pago no quarto mês para quitar a dívida será de R$23.867,19.

Agora é com você, refaça o exercício anterior utilizando a HP-12c.

Vamos lá?


� Temos duas modalidades para o desconto de títulos: racional e comercial,

também chamado de bancário. O desconto racional é calculado tanto no

regime de juros simples quanto no composto. Já o desconto comercial é

determinado apenas no regime de juros simples;

� Nas operações de desconto quando taxa e período não estão na mesma

unidade deve-se fazer as adequações. Nas operações de desconto simples

(racional e comercial) para adequar a unidade de tempo é necessário fazer uma

regra de três no período ou na taxa, quando a alteração é na taxa essa recebe o

nome de taxa proporcional. Por outro lado, nas operações de desconto

composto, para as adequações deve-se fazer regra de três no período ou se

preferir adequar a taxa utiliza-se o conceito de taxa equivalente;

� Quando a resolução do exercício acontece por meio de fórmulas matemáticas é

necessário dividir a taxa por 100, ou seja, utilizar a taxa no formato decimal ou

unitário. Já quando utiliza-se uma calculadora financeira, no caso, a HP-12c

essa divisão não é necessária.

79



Desconto de um modo geral PFD −=

Desconto Racional Simples PinD =

Desconto Comercial Simples FinD =

Desconto Racional Composto ( )[ ]11 −+= niPD

Desconto Racional Simples – Valor Atual in

FP

+=

1

Desconto Comercial Simples – Valor Atual

( )inFP −= 1

Desconto Racional Composto – Valor Atual ( )ni

FP

+=

1

80

UNIDADE 5: TAXAS

Nessa unidade serão apresentadas as diferentes taxas de juros praticadas no mercado

financeiro. As taxas normalmente são classificadas em nominal ou efetiva, aparente ou

real. Todas elas são abordadas no contexto do regime de juros compostos, uma vez

que no regime de juros simples as taxas de juros são sempre efetivas. Inicialmente,

serão apresentadas tais taxas conceitualmente em paralelo com a apresentação de

exemplos; em seguida serão abordados alguns exercícios resolvidos, seguidos de um

resumo da unidade e um quadro de fórmulas.

5.1. Taxa Nominal e Efetiva Como mencionado o conceito de Taxa Nominal e Efetiva só faz sentido quando

estudados no regime de juros compostos, pois nesse regime “os juros são capitalizados

mais de uma vez”, como afirma Samanez (2002: 49)

A Taxa Nominal é considerada como uma taxa de juros simples, uma vez que ela não

representa o ganho real da operação financeira, isso porque a mesma desconsidera as

várias capitalizações dos juros. Desse modo, essa taxa pode ser entendida como uma

taxa aproximada, uma vez que ela é calculada com base no valor nominal do título de

crédito ou da operação financeira realizada. (DUTRA, 2006)

Normalmente, as taxas nominais são identificadas pela comparação entre a unidade

de tempo da taxa e a unidade de tempo de seu período de capitalização. Uma taxa é

dita nominal quando sua unidade de tempo for expressa em uma unidade de tempo

diferente do período de capitalização. Como por exemplo, 12% ao ano capitalizada

mensalmente. Nesse exemplo a capitalização é mensal, porém, a taxa foi apresentada

ao ano, e para essa representação, não levou em consideração a capitalização dos

juros. Outro exemplo de taxas nominais são as chamadas taxas de overnight, que são

taxas expressas na unidade de tempo mensal, porém, a capitalização é diária.

81

Por outro lado, uma taxa é dita efetiva quando “representa o custo ou remuneração

efetiva da operação financeira em pauta, tomando-se como base de cálculo o valor do

capital que realmente foi recebido ou desembolsado na data da contratação”. (TOSI,

2007: 129)

Além disso, outra forma de identificarmos uma taxa efetiva é quando a unidade de

tempo da taxa coincide com a unidade de tempo da capitalização. Normalmente,

quando não menciona-se a unidade de tempo da capitalização é por que está sendo

levado em consideração uma taxa efetiva.

E qual a relação entre ambas?

Como a taxa nominal não representa um ganho real, para realizar cálculos é necessário

transformá-la em uma taxa efetiva. Mas, o que é uma taxa efetiva? Como mencionado,

uma taxa efetiva é aquela em que a unidade de tempo da taxa coincide com o período

de capitalização. Desse modo, devemos, então, utilizar algum procedimento que

possibilite adequar a unidade de tempo da taxa à unidade de tempo de seu período de

capitalização. Como a taxa nominal é considerada uma taxa simples para fazer essa

adequação da unidade de tempo basta fazer uma regra de três, e nessa regra de três é

necessário que seja realizada a adequação para o período de capitalização, pois, é esse

período de capitalização que nos permitirá determinar o ganho real da operação.

Uma vez determinada a taxa efetiva no período de capitalização, caso necessite

determinar uma taxa efetiva em outra unidade de tempo, basta utilizar o

procedimento de taxa equivalente.

Resumidamente, dada uma taxa nominal para transformá-la em efetiva devemos:

� aplicar uma regra de três para determinar a taxa no período de capitalização;

� uma vez deteminada a taxa efetiva no período de capitalização, caso necessite,

calcular a taxa efetiva em outra unidade de tempo deve-se utilizar taxa

equivalente.

82

Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com

capitalização mensal.

Resolução

Retirando os dados do problema, temos:

DESCRIÇÃO VALOR


Taxa de juros efetiva anual ?

VALORES FORNECIDOS

Taxa de juros nominal 12% ao ano

Capitalização mensal

A taxa de juros fornecida é uma taxa nominal uma vez que o período de capitalização

(mensal) não coincide com a unidade de tempo da taxa (anual). Portanto, o ganho real

anual não será de apenas 12%. Porém, não é possível determinar direto esse ganho

efetivo anual. Para determinar esse ganho, atendendo, assim a solicitação do

problema, é necessário, primeiramente, transformar essa taxa nominal em uma taxa

efetiva no período de capitalização. Ou seja, fazer uma regra de três.

Taxa Mês

12% 12

x 01

..%112

%12

%1212

max

x

x

=

=

=

Desse modo, o ganho efetivo será de 1% ao mês. Porém, o problema solicitou o ganho

efetivo anual, ou seja, o ganho que leva em consideração a capitalização dos juros. O

procedimento que permite levar em consideração tal capitalização é o de taxa

equivalente, portanto, aplicando taxa equivalente à taxa efetiva encontrada, temos:

83

� Quero → anual → 360

� Tenho → mensal → 30


( )

( )

( )[ ]{ }{ }

..%682803,12

1001126825030,1

100101,1

1001101,0

10011

12

30

360

aai

i

i

i

ii

e

e

e

e

tenho

quero

e

=×−=

×−=

×

−

+

×

−

+=

=

Desse modo, o ganho efetivo dessa operação financeira é de, aproximadamente,

12,68% ao ano e não de 12% como representado na taxa nominal.

Agora já aprendemos a transformar uma taxa nominal em uma efetiva em diferentes

unidades de tempo, mas, e se for fornecido o inverso, ou seja, a partir de uma taxa

efetiva determinar uma taxa nominal? Para compreensão desse contexto, acompanhe

a resolução do exemplo 2.

A taxa nominal anual capitalizada trimestralmente equivalente à uma taxa efetiva de

15% em seis meses é:

Resolução


DESCRIÇÃO VALOR


Taxa nominal anual com capitalização trimestral

?

VALORES FORNECIDOS

Taxa efetiva 15% ao semestre

84

Da mesma forma como foi realizado nas taxas nominais, o primeiro passo é sempre

determinar uma taxa efetiva no período de capitalização. Como a taxa efetiva

fornecida está na unidade de tempo semestral e o período de capitalização é

trimestral, é necessário fazer a adequação. Porém, nesse momento estamos

transformando taxas que já são efetivas, e por este motivo devemos, primeiramente

aplicar o conceito de taxa equivalente.

� Quero → trimestral → 90

� Tenho → semestral → 180


( )

( )

( )[ ]{ }{ }

..%2380529,7

1001072380529,1

100115,1

1001115,0

10011

5,0

180

90

tai

i

i

i

ii

e

e

e

e

tenho

quero

e

=×−=

×−=

×

−

+

×

−

+=

=

Uma vez determinada a taxa efetiva no período de capitalização, para determinar a

taxa nominal é necessário fazer uma regra de três simples.

Taxa Trimestre

7,2380529% 1

x 04

..%9522116,28

04%2380529,7

aax

x

=×=

Portanto, a taxa nominal solicitada será de, aproximadamente, 28,95% ao ano com

capitalização trimestral.

Desses dois exemplos podemos concluir que na transformação de taxas (nominal e

efetiva) sempre é necessário iniciar determinando a taxa efetiva no período de

capitalização, e para essa transformação é necessário atentar-se para que ao

85

� partirmos de uma taxa nominal → aplicar regra de três;

� partirmos de uma taxa efetiva → aplicar taxa equivalente.

5.2. Taxa Aparente e Real A taxa de Juros Aparente, também é considerada como uma taxa nominal, pois, é uma

taxa composta pela taxa real cobrada na operação adicionada pelo valor da inflação do

período.

Apesar da taxa de juro aparente ser considerada uma taxa nominal, simplesmente,

pela adição da inflação, ela pode ser classificada como taxa de juros aparente nominal

(quando além da inflação são adicionadas outras taxas ou quando o período de

capitalização é diferente da unidade de tempo da taxa) e taxa de juros aparente

efetiva (quando levamos em consideração apenas o acréscimo da inflação à taxa).

A fórmula utilizada para se calcular, tanto a taxa de juros efetiva aparente, quanto a

taxa de juros real é:

)1()1()1( Iii r +×+=+

Onde ,

→i Taxa efetiva aparente (forma decimal ou unitária)

→ri Taxa real (forma decimal ou unitária)

→I Taxa de inflação (forma decimal ou unitária)

Determinada empresa concedeu um aumento para seus funcionários de 9,5% no ano

de 2011. Sabendo que a estimativa da inflação para esse ano foi de 6,4%. Qual foi a

taxa real de aumento salarial?

Resolução


86

DESCRIÇÃO VALOR


Taxa Real ( )ri ?

VALORES FORNECIDOS

Taxa Efetiva Aparente ( )i 9,5%

Taxa da Inflação ( )I 6,4%

Substituindo os valores na fórmula que relaciona essas variáveis, temos:

( )

029135338,0

1029135338,1

029135338,11

064,1

095,11

064,11095,1

)064,01()1()095,01(

=−=

=+

=+

+=+×+=+

r

r

r

r

r

r

i

i

i

i

i

i

Para determinar a taxa no formato percentual, basta fazer a multiplicação por 100.

%9135338,2

100029135338,0

=×=

r

r

i

i

Portanto, o real aumento salarial dos funcionários dessa empresa foi de,

aproximadamente, 2,91%.


01) Uma aplicação financeira rende juros nominais de 6% a.a., capitalizados

mensalmente. Considerando a inflação de 5,5% a.a., calcular as taxas de juros

aparente (efetiva ao ano) e real obtidas pela aplicação.

Resolução

Como a taxa aparente está numa unidade de tempo diferente daquele expressa no

período de capitalização, devemos transformá-la em taxa efetiva. Aplicando, para isso

uma regra de três.

87

Taxa meses

6,0% 12

x 01

max

x

x

.%5,012

%6

%612

=

=

=

Para verificar qual é a taxa aparente efetiva ao ano, devemos utilizar o conceito de

taxa equivalente.

( )

( )[ ]{ }[ ]{ }

aai

i

i

i

e

e

e

e

.%16778112,6

1001061677812,1

1001005,1

10011005,0

12

1

12

=×−=

×−=

×

−

+=

Então, como podemos observar, a taxa aparente efetiva é de 6,17% e não de apenas

6% conforme destacado no enunciado do problema.

Já para determinar o valor da taxa real, devemos aplicar a fórmula:

)1()1()1( Iii r +×+=+

aai

i

i

i

i

i

Iii

r

r

r

r

r

r

r

.%6232968,0

100006232968,0

00632968,11

055,1

061677812,1)1(

)055,1()1(061677812,1

)055,01()1()061677812,01(

)1()1()1(

=×=

=+

=+

×+=+×+=+

+×+=+

Portanto, a taxa real será de, aproximadamente, 0,62% a.a.

88

02) A que taxa de juros anual com capitalização semestral devemos aplicar nosso

capital, de modo a obter-se um total de juros igual a 50% do capital aplicado,

no fim de 4 anos?

Resolução

Antes de retirar os dados do problema é importante destacar que não foi fornecido

diretamente o valor dos juros, tampouco o valor do capital aplicado, mas, sim uma

relação entre eles. Como já discutido em exercícios anteriores, em situações como

essa é necessário atribuir letras ou então atribuir qualquer valor para uma das

variáveis e determinar o valor da outra por meio da relação estabelecida no problema.

Esse exercício será resolvido pelo segundo método, ou seja, a partir da atribuição de

um valor. Portanto, considerando um capital de R$500,00, temos:

DESCRIÇÃO VALOR


Taxa nominal anual com capitalização semestral

?

VALORES FORNECIDOS

Capital (P) R$500,00

Juros (J) R$250,00

Período (n) 4 anos

No exercíocio pede-se para determinar uma taxa nominal. Por este motivo, devemos

substituir os dados na fórmula de juros, com o objetivo de encontrar a taxa efetiva no

período de capitalização. Para isso, será necessário adequar o período, inicialmente,

expresso em anos, para a mesma unidade de tempo do período de capitalização,

semestral. Adequando o período pela regra de três, temos:

Anual Semestral

1 2

4 x

semestresx

x

8

24

=×=

No enunciado informou que o juros corresponde a 50% do capital, como foi

atribuido o valor de R$500,00 para o capital, 50% desse valor resulta nos

R$250,00 indicados.

89

Substituindo na fórmula de juros compostos, uma vez que todo problema que envolve

taxa nominal só faz sentido quando abordada nesse sistema de juros, temos:

( )[ ]( )[ ]

( )

( )( )

( )

051989506,0

1051989506,1

1051989506,1

15,1

15,1

15,1

115,0

11500

250

11500250

11

125,0

8

88

1

8

8

8

8

=−=+=

+=

+=

+=

−+=

−+=

−+=

−+=

i

i

i

i

i

i

i

i

i

iPJ n

Para determinar a taxa em porcentagem devemos multiplicar o resultado por 100.

..%1989506,5

100051989506,0

sai

i

=×=

No entanto, foi solicitada uma taxa nominal anual com capitalização semestral. Desse

modo, o procedimento utilizado para adequar uma taxa efetiva para uma nominal é a

regra de três.

Taxa semestre

5,1989506% 1

x 2

..%3979012,10

21989506,5

aax

x

=×=

Desse modo, a taxa nominal anual com capitalização semestral será de,

aproximadamente, 10,40%.

90

Agora é com você, refaça esse exercício: 1º) atribuindo outro valor para o capital e, 2º)

utilizando variáveis. Compare os resultados encontrados.

03) Qual o montante de um capital de R$ 5.000,00, no fim de 2 anos, com juros de

24% a.a. capitalizados trimestralmente?

Resolução


DESCRIÇÃO VALOR


Montante (F) ?

VALORES FORNECIDOS

Capital (P) R$5.000,00

Período (n) 2 anos

Taxa nominal (i) 24% ao ano

Período de capitalização Trimestral

Antes de substituir os valores na fórmula do montante (juros compostos, pois trata-se

de um problema de taxa nominal) devemos determinar a taxa efetiva no período de

capitalização, ou seja, a taxa efetiva ao trimestre. Para essa adequação devemos

utilizar regra de três.

Taxa Trimestre

24% 4

x 1

..%64

%24

%244

tax

x

x

=

=

=

Em seguida substituímos os dados fornecidos na fórmula do montante.

( )( )( )

24,969.7

593848075,1000.5

06,1000.5

06,01000.5

1

8

8

=×=

=

+=

+=

M

M

M

M

iPM n

A unidade de tempo do período deve ser a mesma unidade de tempo da

taxa, ou seja, trimestral. Como um ano tem quatro trimestres, então dois anos

teremos oito trimestres.

91

Portanto, o montante da aplicação será de R$7.969,24.

04) Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 0,8% a.m. e

uma inflação de 20% no período?

Resolução


DESCRIÇÃO VALOR


Taxa Aparente ( )i ?

VALORES FORNECIDOS

Taxa Real ( )ri 0,8% a.m.

Inflação ( )I 20% a.m.

Substituindo na fórmula )1()1()1( Iii r +×+=+ , temos:

2096,0

12096,1

2096,11

20,1008,11

)20,01()008,01()1(

=−=

=+×=+

+×+=+

i

i

i

i

i

Multiplicando por 100 para determinar a taxa em porcentagem, temos:

..%96,20

1002096,0

mai

i

=×=

A taxa aparente será de 20,96% a.m.


� As taxas nominal e efetiva/ aparente e real estão inseridas no contexto de juros

compostos;

� Sempre que for solicitado um cálculo financeiro é necessário utilizar uma taxa

efetiva. Nunca será permitido o uso de taxas nominais;

92

� Para transformar uma taxa nominal em efetiva (ou vice-versa) utiliza-se regra

de três. Por outro lado para transformar taxa efetiva para efetiva (em unidades

de tempo diferentes) utiliza-se taxa equivalente.



Taxa Equivalente ( ) 10011 ×

−

+= tenho

quero

e ii

Taxa aparente/real )1()1()1( Iii r +×+=+

93

UNIDADE 6: EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

O objetivo desta unidade é apresentar o conceito de equivalência de capitais no

regime de juro simples e composto. O conceito de equivalência é considerado um dos

mais importantes na disciplina de matemática financeira, pois possibilita compreender

essa movimentação do dinheiro ao longo do tempo. Esperamos que ao final do estudo

o aluno seja capaz de realizar cálculos diversos que envolvam o conceito de

equivalência de capitais, compreendendo a sua principal essência, sabendo diferenciar

as particularidades de cada regime.

6.1. Compreendendo o conceito de equivalência Antes de iniciar uma discussão sobre equivalência de capitais, é importante

compreender o significado de equivalência. Segundo o dicionário escolar da língua

portuguesa, ed. DCL, o termo equivalente é utilizado para representar grandezas que

têm o mesmo valor. Porém, no contexto financeiro, é necessário acrescentar a essa

definição, que tais grandezas terão o mesmo valor em determinada data de avaliação.

O conceito de equivalência é importante, pois é a partir dele que operamos quantias

monetárias. Retomando a discussão dos conceitos apresentados na unidade I a

matemática financeira parte do pressuposto que a quantia vai perder valor em função

do tempo. Então, para equiparar os valores monetários utilizamos a capitalização ou a

descapitalização das quantias monetárias, viabilizando, assim a movimentação dessas

quantias para uma mesma data, para depois operar (somar ou subtrair) tais quantias;

uma vez que o dinheiro desvaloriza em função do tempo, para realizar operações é

necessário que as quantias envolvidas estejam em uma mesma data.

O conceito de equivalência é o mesmo, indiferente do regime de juros utilizado. No

entanto, o processo de capitalização e descapitalização atenderá às particularidades

de cada regime.

94

Para orientar a visualização de determinado contexto financeiro relacionado à

equivalência de capitais, costuma-se representar a situação por meio de um diagrama

de fluxo de caixa (ver unidade I). Pois, desse modo fica mais fácil identificar em quais

momentos devemos utilizar o conceito de capitalização ou descapitalização.

6.2. Equivalência de Capitais no Regime de Juros Simples

Para equiparar quantias monetárias utilizamos o conceito de capitalização e

descapitalização. Deste modo, iniciaremos esse tópico retomando as fórmulas já

estudadas no conceito de capitalização: ( )inPF += 1 ou descapitalização (desconto

racional): in

FP

+=

1, no regime de juros simples.

Além disso, é importante destacar que no regime de juros simples valores equivalentes

em uma data não o serão em outras, em função deste regime sempre levar em

consideração, para a base de cálculo dos juros, um valor específico (capital). Por este

motivo, ao se operar no contexto de capitais equivalentes, no regime de juros simples,

deve-se indicar em qual data essa equiparação deve acontecer. Essa data é chamada

de Data Focal.

Uma vez estabelecida a Data Focal, o procedimento para cálculo é visualizar todas as

quantias envolvidas nessa data, usando para isso o conceito de capitalização e/ou

descapitalização.

Uma pessoa tem os seguintes compromissos a pagar: R$2.000,00 daqui a três meses e

R$2.500,00 daqui a oito meses. Ela quer trocar esses débitos por dois pagamentos

iguais, um para dez meses e outro para quinze meses. Calcular o valor desses

95

pagamentos se a taxa de juros simples for de 10% a.m. Considere como data focal a

data zero.

Resolução

Inicialmente, vamos retirar os dados do problema e representá-los em um diagrama de

fluxo de caixa.

Esse diagrama representa a primeira situação acordada, porém, deseja-se substituir

ambos os pagamentos, por dois iguais vencendo em 10 e 15 meses, como ilustra o

diagrama a seguir.

O problema consiste em substituir ambos os pagamentos, por dois pagamentos iguais

vencendo nos prazos estipulados. Para fazermos essa troca, sem perda de valor para

ambas as partes, devemos utilizar o conceito de equivalência de capitais, considerando

a data focal como a data zero, ou seja, trazendo todos os valores para o presente; é

importante destacar que o valor negociado na data zero na primeira situação deverá

96

ser igual ao valor negociado na data zero na segunda situação. Portanto, o problema

consiste inicialmente, em determinar qual valor é esse.

Como as quantias monetárias não estão na data zero (data focal), devemos “levá-las”

para essa data. Uma vez que partimos de uma data futura para uma data presente,

devemos descapitalizar as quantias apresentadas, ou seja, (R$2.000, R$2.500,00, bem

como as parcelas a serem determinadas, identificadas pela letra ‘x’).

Utilizando a fórmula in

FP

+=

1 e lembrando que a soma dos valores, 000.2$1 RF = e

500.2$2 RF = , na data focal (zero), deve ser igual a soma das duas prestações

sugeridas, também consideradas na data zero.

61,252.3$9,0

35,927.2

5,2

1

2

135,927.2

1510,011010,01810,01

500.2

310,01

000.2

Rxx

xx

==⇒

+=

×++

×+=

×++

×+

Portanto, a pessoa substituirá ambos os títulos, R$2.000,00 e R$2.500,00, por dois

títulos iguais no valor de R$3.252,61.

6.3. Equivalência de Capitais no regime de Juros Compostos

Como no regime de juros simples, dois ou mais capitais, com data de vencimento

determinadas, serão equivalentes, considerando o regime de juros compostos quando

levados para uma mesma data à mesma taxa produzirem montantes iguais.

A diferença é que no regime de juros simples, capitais equivalentes em determinada

data, chamada de data focal, não o serão em outra data, isso porque é característica

dos juros simples é a taxa de juros ser aplicada sobre o capital inicial, e quando

97

fazemos a equivalência e tentamos fazer o caminho inverso, a taxa será aplicada em

um valor diferente, e, consequentemente não resultará no valor inicial.

Já no regime de juros compostos, por ser característica deste regime, os juros serem

incorporados ao montante obtido no período anterior, quando realizada a

equivalência, a mesma existirá em qualquer data, não demandando, assim a

determinação de uma data focal. Desse modo, é possível trabalhar com essa quantia

monetária de formas diferentes, desde que atendidos os objetivos propostos.

As fórmulas usadas para essa movimentação das quantias monetárias são a de

capitalização: ( )niPF += 1 e a de descapitalização (desconto racional): ( )ni

FP

+=

1.

O valor à vista de um bem é de R$6.000,00. A prazo paga-se uma entrada mais três

parcelas mensais de R$2.000,00 cada, sendo a primeira para daqui a um mês. Calcular

o valor da entrada, se a taxa de juros compostos aplicada for de 7% a.m.

Resolução

Primeiramente, vamos fazer o diagrama de fluxo de caixa dessa situação.

98

Como estamos no regime de juros compostos, não existe uma data focal. No entanto,

sugere-se trazer os três pagamentos para a data zero, uma vez que o valor que se

deseja determinar (entrada) está nessa data. Em seguida, deve-se verificar qual o valor

já foi pago, o restante, então será o valor que deverá ser dado como entrada.

Neste exemplo devemos utilizar a fórmula, , pois os valores fornecidos estão em uma

data futura à data que se deseja determinar os valores descapitalizados.

A soma das parcelas descapitalizadas = Valor devido – Entrada

Considerando a entrada como “x”, temos:

36,751

64,248.5000.6

000.664,248.5

600060,163288,746.116,869.1

000.6)07,01(

2000

)07,01(

2000

)07,01(

2000321

=−=

−=−=++

−=+

++

++

x

x

x

x

x

Logo, o valor a ser dado como entrada é de R$751,36, uma vez que os três

pagamentos de R$2.000,00 são equivalentes a R$5.248,64 na data zero.


Joaquim tem uma dívida de R$50.000,00 que vence em 16 meses. Pretende

pagar R$17.143,00 no fim de 158 dias e R$18.571,00, 189 dias depois desse

primeiro pagamento. Sabendo-se que o regime de juros utilizado é o simples e a

data zero, como data focal, pede-se: determinar o valor a ser pago, de modo que a

dívida seja liquidada na data de vencimento. Considere juros simples de 54% ao

ano.

Resolução

Inicialmente, vamos representar a situação acima em um diagrama de fluxo de caixa.

99

Como o diagrama foi representado na unidade de tempo mensal, houve a necessidade

de adequação dos períodos que foram expressos na unidade de tempo diária.

Considerando que o primeiro pagamento foi realizado no fim de 158 dias, por regra de

três, determinamos que esse pagamento ocorreu em, aproximadamente, 5,26...

meses. Já o segundo pagamento ocorreu 189 depois desse primeiro, ou seja, se o

primeiro pagamento ocorreu em 158 dias e o segundo ocorreu 189 depois, então, o

mesmo ocorreu 347 (158 + 189) após a aquisição da dívida, transformando para o

período mensal, por regra de três, obtemos que esse pagamento ocorreu,

aproximadamente, em 11,56... meses.

Como na equivalência no regime de juros simples deve-se respeitar a data focal e essa

foi indicada como data zero, todos os valores que não estão nessa data deverão ser

calculados nessa data. Uma vez que todos os valores estão em uma data futura, em

relação à data focal (data zero) será necessário descapitalizar os três valores, a saber: a

dívida e os dois pagamentos realizados.

Antes de descapitalizar tais valores é necessário adequar a taxa de juros às unidades

de tempo do período, uma vez que a taxa foi fornecida na unidade de tempo anual e

os períodos na unidade de tempo mensal. Utilizando o conceito de taxa proporcional

(regra de três), temos:

Taxa mês

54% 12

x 1

100

..%5,412

%54

%5412

max

x

x

=

=

=

Realizando os cálculos:

Descapitalizando a Dívida Descapitalizando o primeiro pagamento

Descapitalizando o segundo pagamento

Dados: F = R$50.000,00 n = 16 meses i = 4,5% a.m. Fórmula de descapitalização

in

FP

+=

1

77,069.29

72,1

000.50

16045,01

000.50

=

=

×+=

P

P

P

Dados: F = R$17.143,00 n = 5,26... meses i = 4,5% a.m. Fórmula de descapitalização

in

FP

+=

1

53,858.13

237,1

143.17

...26,5045,01

143.17

=

=

×+=

P

P

P

Dados: F = R$18.571,00 n = 11,56... meses i = 4,5% a.m. Fórmula de descapitalização

in

FP

+=

1

75,213.12

5205,1

571.18

...56,11045,01

571.18

=

=

×+=

P

P

P

Como a proposta é identificar o valor ainda devido, após ambos os pagamentos

devemos:

50,997.2

27,072.2677,069.29

)75,213.1253,858.13(77,069.29

=−=

+−=

ovalordevid

ovalordevid

ovalordevid

Portanto, para quitar a dívida de R$50.000,00, dentro de 16 meses deverá ser dada a

quantia de R$2.997,50.

Bianca adquiriu uma dívida de R$7.000,00 com um amigo que lhe cobrou

1,2% de juros por mês para ser paga em 6 meses. Um mês após a aquisição da

dívida, Bianca realizou o pagamento de R$1.500,00. Passados dois meses e

meio desse primeiro pagamento, Bianca realizou o pagamento de R$2.500,00 e

no quinto mês Bianca decidi quitar o valor devido. Porém, seu amigo,

concordou em atualizar os valores pagos pelo rendimento da poupança que na

Primeiro multiplica,

depois soma...

101

época estava em 0,50% ao mês. Deste modo, qual o valor pago por Bianca?

Considere o regime de juros simples e o 5º mês como Data Focal.

Resolução

Segue o diagrama de fluxo de caixa que representa essa situação.

Determinando todos os valores na data focal, percebemos que os pagamentos deverão

ser capitalizados por estarem em uma data presente em relação à data focal. Já a

dívida deverá ser descapitalizada por estar em uma data futura em relação à data

focal. Além disso, devemos nos atentar:

� às taxas de capitalização/descapitalização;

� ao tempo de antecipação/capitalização.

Acompanhem os cálculos:

Descapitalizando a Dívida Capitalizando o primeiro pagamento

Capitalizando o segundo pagamento

Dados: F = R$7.000,00 n = (6 – 5) = 1 mês i = 1,2% a.m. Fórmula de descapitalização

in

FP

+=

1

00,250.6

012,1

000.7

1012,01

000.7

=

=

×+=

P

P

P

Dados: P = R$1.500,00 n = (5 -1 ) = 4 meses i = 0,50% a.m. Fórmula de capitalização

)1( inPF +=

00,530.1

02,1500.1

)4005,01(500.1

=×=

×+=

F

F

F

Dados: P = R$2.500,00 n = (5 – 3,5) = 1,5 meses i = 0,50% a.m. Fórmula de capitalização

)1( inPF +=

75,518.2

0075,1500.2

)5,1005,01(500.2

=×=

×+=

F

F

F

“Passados dois meses e meio do primeiro pagamento [...] . Isso significa

que, em relação à data zero, temos 1 + 2,5 = 3,5 meses.

Primeiro multiplica, depois soma...

102

Como a proposta é identificar o valor a ser pago no quinto mês, devemos subtrair da

dívida atualizada para essa data os pagamentos, também atualizados, desse modo:

25,201.2

75,048.400,250.6

)75,518.200,530.1(00,250.6

=−=

+−=

ovalordevid

ovalordevid

ovalordevid

Portanto, para quitar a dívida no quinto mês Bianca deverá desembolsar a quantia de

R$2.201,25.

Zuleica tem os seguintes compromissos: R$7.000,00 vencendo em 7 meses,

R$5.000,00 três meses após e R$3.000,00 vencendo em 15 meses. Ela deseja trocar

esses débitos para três pagamentos iguais vencendo em 08, 16 e 24 meses. Qual o

valor desses pagamentos considerando uma taxa de juros compostos de 2,5% ao

mês?

Resolução

Seguem os diagramas de fluxo de caixa de ambas as situações.

Diagrama da 1ª situação

Diagrama da situação proposta (2ª situação)

103

Em problemas que substituem uma situação por outra, nesse caso, a renegociação de

uma dívida devemos determinar, inicialmente, o valor negociado, ou seja, o valor na

data zero. É importante destacar que no regime de juros compostos não existe uma

data focal pré-estabelecida e por este motivo podemos estabelecer uma data, nesse

caso, a data zero.

Como pretendemos determinar o valor na data zero, deveremos descapitalizar os

valores expressos nas datas, 7, 10 e 15; o mesmo deverá ser realizado com os

pagamentos nas datas, 8, 16 e 24, já que todos eles estão em uma data futura em

relação à data estipulada como data focal.

Descapitalizando os valores devidos, de acordo com o diagrama da primeira situação:

Descapitalizando a Dívida 1 Descapitalizando a Dívida 2 Descapitalizando a Dívida 3 Dados: F = R$7.000,00 n = 5 meses i = 2,5% a.m. Fórmula de descapitalização

( )ni

FP

+=

1

( )

86,888.5

188685754,1

000.7

025,01

7000

1

1

71

=

=

+=

P

P

P


( )ni

FP

+=

1

( )

99,905.3

280084544,1

000.5

025,01

5000

2

2

102

=

=

+=

P

P

P


( )ni

FP

+=

1

( )

05,976.8

448298166,1

000.13

025,01

000.13

3

3

153

=

=

+=

P

P

P

Portanto, o valor devido na data zero correspondente as três dívidas é de R$18.770,90

que corresponde a soma dos capitais, 321 PPP ++ . Para renegociar esse valor devido é

necessário que as propostas sejam equivalentes; isso significa que as novas parcelas

contratadas descapitalizadas devem corresponder a esse mesmo valor. Portanto,

descapitalizando, tais quantias, temos:

104

Descapitalizando a Dívida 1 Descapitalizando a Dívida 2 Descapitalizando a Dívida 3 Dados: F = x n = 8 meses i = 2,5% a.m. Fórmula de descapitalização

( )ni

FP

+=

1

( )

xP

xP

xP

820746571,0

218402898,1

025,01

4

4

84

=

=

+=

Dados: F = x n = 16 meses i = 2,5% a.m. Fórmula de descapitalização

( )ni

FP

+=

1

( )

xP

xP

xP

673624933,0

484505621,1

025,01

5

5

165

=

=

+=

Dados: F = x n = 24 meses i = 2,5% a.m. Fórmula de descapitalização

( )ni

FP

+=

1

( )

xP

xP

xP

552875354,0

80872595,1

025,01

6

6

246

=

=

+=

Igualando as duas situações e determinando o valor das novas prestações:

85,168.9

90,770.18047246858,2

==

x

x

Portanto, nessa nova proposta serão pagas três parcelas de R$9.168,85.

Hoje uma pessoa tem duas dívidas, a primeira, de R$8.000,00 vence em 36

dias e a segunda, de R$12.000,00, vence em 58 dias. Propõe-se a pagá-las por meio

de dois pagamentos iguais dentro de 45 e 90 dias, respectivamente. A juros simples

de 24% ao ano, calcular o valor de cada pagamento considerando como data focal

90º dia.

Resolução

A seguir representamos as situações apresentadas em um diagrama de fluxo de caixa.

Um método utilizado para eliminar a fração é realizar a divisão dos valores. O número que acompanha x é a unidade

(1), portanto, fazendo a divisão de 1 por 1,218402898 obtém 0,820746571.

105

Situação Proposta

Nova situação

Antes de realizar os cálculos é necessário adequar a unidade de tempo da taxa à

unidade de tempo do período. Como o regime utilizado é o simples, e optando por

transformar a taxa, utilizaremos o conceito de taxa proporcional, resultando em

..%60,0 da

Como a data focal está em uma data futura em relação aos valores, devemos

capitalizar aqueles que não estão na data focal. Isso porque, os valores que já se

encontram nessa data não deverão ser alterados.

Determinando o valor devido na data focal (90 dias), temos:

Capitalizando a Dívida 1 Capitalizando a Dívida 2 Dados: P = R$8.000,00 n = 90 – 36 = 54 dias

i = ..%60,0 da

Fórmula de capitalização

)1( inPF +=

00,288.8

036,1000.8

)54600,01(000.8

1

1

1

=×=

×+=

F

F

F

Dados: P = R$12.000,00 n = 90 – 58 = 32 dias

i = ..%60,0 da

Fórmula de capitalização

)1( inPF +=

00,560.14

213333312,1000.12

)32600,01(000.12

2

2

2

=×=

×+=

F

F

F

106

Pelos cálculos o valor devido na data focal será de R$22.848,00. Agora, capitalizando

os valores da nova proposta, temos:

Capitalizando a Dívida 1 Capitalizando a Dívida 2 Dados: P = x n = 90 – 45 = 45 dias

i = ..%60,0 da

Fórmula de descapitalização

)1( inPF +=

xF

xF

30,1

)45600,01(

3

3

=×+=

Dados: P = x n = 90 – 90 = 0 dias, pois o valor já está na data focal.

i = ..%60,0 da

Fórmula de descapitalização

)1( inPF +=

xF =4

91,933.9

30,2

848.22

848.2230,2

848.2230,1

848.2243

=

=

==+

=+

x

x

x

xx

FF

Desse modo, o valor das prestações será de R$9.933,91.


� Na equivalência, no regime de juros simples, é necessário indicar a data focal.

Essa data focal será a data em que todos os valores deverão convergir. Para

essa conversão, serão utilizados os conceitos de capitalização e

descapitalização (desconto racional), já estudados;

� É importante representar a situação por meio de um diagrama de fluxo de

caixa, facilitando, assim o entendimento do contexto, bem como das operações

que deverão ser realizadas;

� Caso taxa e período não estejam na mesma unidade de tempo é necessário

fazer a adequação. Para tanto, pode-se fazer regra de três no período, em

107

ambos os regimes de juros, ou se preferir alterar a taxa deve-se utilizar taxa

proporcional quando for o regime de juros simples e taxa equivalente quando

se tratar do regime de juros compostos;

� O termo “empréstimo” trata-se de um valor que se encontra da data zero. Já o

termo “dívida” trata-se de um valor já acrescido de juros e, portanto, estará na

data de vencimento (futura).



Capitalização – Regime de Juros Simples

( )inPF += 1

Descapitalização – Regime de Juros Simples in

FP

+=

1

Capitalização – Regime de Juros Compostos

( )niPF += 1

Descapitalização – Regime de Juros Compostos ( )ni

FP

+=

1

108

UNIDADE 7: SÉRIE DE PAGAMENTOS

Nessa unidade inicia-se a discussão da matemática financeira em um outro contexto, a

saber: amortização de uma dívida ou acumulo de um capital de forma parcelada. Será

apresentado o conceito de prestação, bem como contextos em que essa está inserida.

Apesar de abordamos, na unidade anterior situações que envolviam pagamentos

parcelados, essa apresentação limitava-se às discussões de equivalência de capitais.

Nessa unidade, apresentaremos uma tabela com a classificação das séries (parcelas) e

concluiremos apresentando as chamadas “rendas certas ou anuidades”. Esse conteúdo

contribuirá para um melhor entendimento da próxima unidade “Sistemas de

Amortização”. Esperamos que ao final do estudo o aluno seja capaz de realizar cálculos

diversos que envolvam o conceito de série de pagamentos, no geral, ou anuidades no

particular, fazendo um link com o próximo tema: Sistemas de Amortização.

7.1. Rendas Certas ou Anuidades Antes de iniciar a discussão sobre o significado de rendas certas ou anuidades é

necessário compreender o conceito de série de Pagamentos. As séries de pagamento

são utilizadas com dois objetivos:

As séries de pagamento são caracterizadas por pagamentos parcelados e não por

pagamentos únicos como já estudado nas unidades anteriores.

As séries podem ser classificadas quanto ao número de termos, à natureza, ao período,

ao vencimento e a ocorrência do 1º termo. Veja essa classificação na tabela a seguir:

Série de Pagamentos

Quitação de um empréstimo

(amortização)

Formação de um montante

(capitalização)

109

TABELA I: Classificação das Séries

TIPO DESCRIÇÃO EXEMPLO

Nº TERMOS

Finitas Existe um número limitado de prestações

- Financiamento de automóvel; - Crédito Direto ao Consumidor (CDC).

Infinitas Não existe a última prestação, ou seja, não é possível quantificar (perpetuidade)

- Aluguel; - Aposentadoria Privada (PGBL ou VGBL); - Pensão vitalícia.

NATUREZA

Uniformes Todos os pagamentos têm o mesmo valor (renda fixa)


Não uniformes Termos diferentes, também chamados de renda variável

- Financiamento de imóvel (prestações decrescentes).

PERÍODO

Periódicas Quando os períodos são iguais (termos constantes)


Não Periódicas Quando os períodos são diferentes

- Pagamento mínimo de contas de água e luz pelo consumo mínimo.

VENCIMENTO

Postecipadas 1º pagamento efetuado no final do período

- Financiamentos diversos do tipo

n+0 prestações.

Antecipadas 1º pagamento efetuado no início do período

- Financiamentos diversos do tipo

n+1 prestações.

OCORRÊNCIA 1º TERMO

Normal Quando o 1º termo ocorrer no 1º período

- Financiamentos com periodicidade mensal com o 1º pagamento sendo realizado ao final do primeiro mês.

Diferida Quando o 1º termo só ocorrer após algum período, ou seja, quando houver carência

- Financiamentos do tipo “compre agora e comece a pagar no dia dos pais”. Ou seja, o prazo concedido para pagamento da primeira prestação é maior que a periodicidade contratada.

110

Nessa unidade nos deteremos aos parcelamentos que possuem as seguintes

características para a série:

� periódica; e,

� uniforme.

Séries com essa característica recebem o nome de Rendas Certas ou Anuidades,

definidas por Juer (1984) como “uma sucessão de pagamentos ou recebimentos,

exigíveis em épocas pré-determinadas, destinada a extinguir uma dívida ou constituir

um capital” (p.200).

As anuidades, portanto, são uma sequência finita ou infinita de “pagamentos” ou

“depósitos” realizados em datas previamente estabelecidas. Essa sequência forma

uma série de pagamentos finitos, caracterizando-a como uma anuidade temporária,

ou, infinita caracterizando-a como uma anuidade perpétua.

Considerando o sistema financeiro brasileiro, as séries de pagamento ou anuidades são

realizadas no regime de juros compostos. Cabe destacar que, quando taxa e período

não estiverem na mesma unidade de tempo, não poderemos, a partir de agora alterar

o período, pois dessa forma estaríamos alterando a característica da série, portanto,

necessariamente, devemos alterar a taxa utilizando Taxa Equivalente.

De acordo com a tabela I, percebe-se que essa classificação das séries abre um “leque”

de opções às Anuidades (PMT), como ilustra a figura abaixo:

111

A seguir veremos cada um desses possíveis caminhos de forma detalhada.

7.1.1. Cálculo do Valor Atual de uma Renda Certa ou

Anuidade Finita

� Série Imediata5 e Postecipada: série em que o primeiro pagamento ocorre ao

final do período6 contratado.

Determinando o valor da prestação (PMT):

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]n

n

iiiiPMTP

i

PMT

i

PMT

i

PMT

i

PMTP

−−−− ++++++++=

+++

++

++

+=

1...111

1...

111321

321

5 Significa que neste pagamento não tem carência

6 Não entendam o período contratado como o prazo total da negociação financeira; esse refere-se ao

período em que serão realizados os pagamentos/recebimentos, ou seja, mensal, bimestral, etc. A soma desses pagamentos resultará no tempo total, também denominado prazo.

Progressão Geométrica (PG) em que 1

1 )1( −+= ia , n

n ia −+= )1( , razão (q)

1)1( −+= iq .

112

Portanto, substituindo na fórmula da soma dos termos de uma PG finita:

q

qaaSn n

−−=

11 , obtemos a expressão abaixo:

( ) ( ) ( )[ ]( )

+−+×++= −

−−−

1

11

11

111

i

iiiPMTP

n

Simplificando os termos, obtemos:

( )

+−+= n

n

ii

iPMTP

1

1)1(.

Como o nosso objetivo é determinar o valor da prestação, e não o valor presente isola-

se a expressão encontrada em função do PMT, obtendo:

( )

−++=

1)1(

1n

n

i

iiPPMT .

� Série Imediata e Antecipada: série em que o primeiro pagamento ocorre no

momento da compra.

Seguindo a mesma ideia do item anterior, ou seja, por equivalência de capitais,

obtemos: ( ) ( )

−++−= −

−

1)1(

11

1

n

n

i

iiPMTPPMT .

� Série Diferida: neste caso, o 1º pagamento só ocorre em prazos superiores a

um período. Cabe destacar que carência consiste na ausência de amortização

da dívida. A partir do momento em que se realiza o pagamento de uma

prestação (amortização + juros) essa carência deixa de existir.

113

Para o cálculo do valor atual dessa série devemos utilizar dois procedimentos:

1. Trazer para valor presente o valor das prestações, ou seja, o valor

financiado na data m; para este procedimento utilizamos a fórmula da série

imediata postecipada:

( )

+−+= n

n

ii

iPMTP

1

1)1(

2. Em seguida devemos trazer este valor para o presente utilizando-se o

conceito de “descapitalização” única em juros compostos e não mais o

conceito de série de pagamentos.

( )( ) ( ) ( )

+−+×

+×=⇒

+

+−+

= n

n

mm

n

n

ii

i

iPMTP

i

ii

iPMT

P1

1)1(

1

1

1

1

1)1(

É importante ressaltar que o primeiro pagamento ocorreu ao final do período m+1, por

ser uma série postecipada.

7.1.2. Cálculo do Valor Atual de uma Renda Certa ou

Anuidade Infinita

� Série Imediata e postecipada: somatório de um número “infinito” de termos de

uma série cujos pagamentos acontecem no final do período contratado.

i

PMTP =

114

� Série Imediata e antecipada: somatório de um número “infinito” de termos de

uma série cujos pagamentos acontecem no início do período, ou seja,

antecipados.

i

iPMTP

)1( +×=

7.1.3. Cálculo do Valor Futuro de uma Renda Certa ou

Anuidade Finita

� Montante de uma série postecipada: somatório do número finito dos

montantes dos termos de uma série cujos pagamentos são realizados no final

do período contratado.

Para se obter o valor do montante no final do período, mais uma vez temos aqui

presente o conceito de equivalência de capitais. Porém, agora, não estamos

descapitalizando tal valor, mas sim capitalizando-os para uma data focal n .

( )[ ]i

iPMTF

n 11 −+×=

� Montante de uma série antecipada: somatório do número finito dos

montantes dos termos de uma série cujos pagamentos são realizados no início

do período contratado.

115

( ) ( )[ ]i

iiPMTF

n 111

−+×+×=

É importante ressaltar que todos estes cálculos poderão ser realizados utilizando uma

calculadora financeira, tendo o seu procedimento, então, simplificado. Além disso,

apesar de apresentarmos fórmulas do valor presente (P) e do valor futuro (F), é

possível utilizar, por meio das fórmulas ou de uma calculadora financeira qualquer uma

das variáveis envolvidas.

Nessa unidade trabalharemos as atividades com o auxílio de uma calculadora

financeira (HP-12c), não utilizando, portanto, as fórmulas apresentadas.

7.2. Trabalhando com a HP 12-c

Como apresentado na unidade 3 a tecla PMT da calculadora permite determinar o

valor da prestação, que nada mais é do que uma série de pagamentos ou ainda, uma

renda certa ou anuidade por se tratar de um pagamento uniforme e periódico.

Para o cálculo da prestação, normalmente são fornecidos três valores, como por

exemplo: valor presente (PV), período (n) e taxa de juros (i), ou ainda, valor futuro

(FV), período (n) e taxa de juros (i).

Como vimos na classificação das séries, as mesmas podem ser, quanto ao vencimento,

postecipadas (pagamento da primeira parcela no final do período contratado) ou

116

antecipadas (pagamento da primeira parcela no início do período contratado). Neste

caso, devemos utilizar as teclas, antes de armazenar qualquer valor:

g 7 ( BEG) → indica que os pagamentos acontecerão no inicio do período;

g 8 ( END) → indica que os pagamentos acontecerão no final do período.

Além da classificação quanto ao vencimento a série, também pode ser classificada

quanto ao número de termos, podendo ser finita ou infinita. Para os casos em que a

série é infinita, o período não será fornecido como um dado do problema, uma vez que

a característica de uma série infinita é exatamente a impossibilidade de mensurar o

período, portanto, nesses casos devemos atribuir o valor 9999 para o mesmo, ou seja,

9999=n .

Acompanhe a resolução dos exemplos:

Qual o montante gerado pela aplicação de 8 parcelas mensais de R$1.500,00 cada, a

uma taxa de 1,5% ao mês, sabendo-se que as aplicações serão realizadas no final de

cada mês?

Resolução

Como as prestações serão realizadas no final de cada mês, basta digitar g8 que

corresponde ao comando, gEND; indicando, assim que os depósitos acontecerão ao

final de cada mês, em seguida, armazenar os dados na parte financeira conforme

abaixo:

TECLA VISOR

f CLx 0,00

g8 0,00

1.500 1.500,00

8 8,00

1,5 1,5

- 12.649,26

117

Resposta: O valor resgatado ao final do período será de R$12.649,26.

Um empréstimo no valor de R$95.000,00 foi contraído para ser pago em 18 parcelas

bimestrais. A taxa cobrada foi de 5,75% ao bimestre. Qual o valor das parcelas a serem

pagas, considerando que o primeiro pagamento acontecerá no ato da negociação?

Resolução

Como o primeiro pagamento será no ato da negociação isso caracteriza uma série

antecipada e devemos antes de armazenar os valores acionar o comando G7 (Begin). É

importante, destacar, também que empréstimo é a quantia recebida pelo tomador do

empréstimo na data zero, isso significa que tal quantia ainda não foi acrescida de juros

e, portanto consiste no valor presente.

Armazenando os valores na HP, temos:

TECLA VISOR

f CLx 0,00

g7 0,00

95.000 95.000,00

18 18,00

5,75 5,75

- 8.141,74

Resposta: O empréstimo deverá ser quitado em 18 prestações de R$8.141,74.

118

Quando estamos trabalhando com série de pagamentos ou anuidades, não podemos

alterar o período, pois estaríamos alterando a estrutura da série, uma vez que a

periodicidade da série, também é contratada; portanto, se taxa de juros e período não

estiverem na mesma unidade de tempo, devemos necessariamente utilizar o conceito

de “taxa equivalente”, na taxa.


Segue abaixo o diagrama do fluxo de caixa de determinado financiamento:

Após análise desse fluxo, pede-se:

a) elaborar um texto explicando a condição de pagamento proposta;

Essa é uma série de pagamentos, também chamada de rendas certas ou anuidades,

por ser composta por prestações periódicas e uniformes. O pagamento é composto

por uma entrada, prestações fixas e um pagamento intermediário, a saber:

- Entrada de R$7.500,00;

- 10 prestações mensais fixas de R$1.602,32;

- 01 parcela intermediária, também chamada de parcela “balão”, no valor de

R$1.000,00 acontecendo junto com o pagamento da quinta parcela.

b) determinar o valor financiado, sabendo que a taxa do financiamento é de

1,75% ao mês.

Para determinar o valor financiado, ou seja, o valor à vista do bem é necessário dividir

o problema em três etapas: descapitalização das prestações, descapitalização da

119

parcela intermediária e por fim a soma desses valores descapitalizados à entrada,

resultando, assim no valor presente (data zero) do bem.

Descapitalizando as Prestações

Vamos inicialmente retirar os dados do problema:

DESCRIÇÃO VALOR


Valor presente das prestações ?

VALORES FORNECIDOS

Prestação (PMT) R$1.602,32

Taxa de Juros (i) 1,75 a.m.

Período (n) 10 meses

Para realizar essa descapitalização vamos utilizar a calculadora HP-12c.

TECLA VISOR

f CLx 0,00

1.000,00 1.602,3200

10 10,0000

1,75 1,7500

-14.583,0715

Considerando o valor absoluto, temos que a quantia financiada em 10 prestações

mensais foi de R$14.583,07.

Descapitalizando a parcela intermediária

Para a parcela intermediária devemos considerar apenas o pagamento de R$1.000,00

que é realizado juntamente com a quinta parcela, totalizando, neste mês um

pagamento de R$2.602,32. Cabe destacar que essa parcela tem o valor de R$1.000,00

na data cinco, pois, já é um valor acrescido de juros. A proposta é determinar qual era

este valor antes da capitalização dos juros, para isso, sintetizamos os dados fornecidos

na tabela a seguir:

120

DESCRIÇÃO VALOR


Valor presente da parcela intermediária

?

VALORES FORNECIDOS

Valor Futuro (FV) R$1.000,00

Taxa de Juros (i) 1,75 a.m.


Utilizando a HP temos:

TECLA VISOR

f CLx 0,00

1.000 1.000,0000

5 5,0000

1,75 1,7500

-916,9125

Novamente, considerando apenas o valor absoluto determinamos que a parcela

intermediária de R$1.000,00 corresponde a um valor devido, na data zero, de

R$916,91.

Por fim, a última etapa deste exercício consiste em somar o valor das parcelas

descapitalizadas, ao valor da parcela intermediária descapitalizada e a entrada,

obtendo:

00,000.23

500.791,91607,583.14

=++=

PV

PV

Portanto, o valor financiado, foi de R$23.000,00.

Ana Paula, logo após o nascimento de seu filho, passou a depositar todo mês

R$150,00 na caderneta de poupança. Quando seu filho estiver com 18 anos, qual

será o montante adquirido por Ana Paula, sabendo-se que a rentabilidade, média,

do período foi de 8,47% ao ano e que os depósitos foram realizados no início de

cada mês?

121

Resolução

Como Ana Paula realizou depósitos mensalmente, ou seja, depósitos periódicos, a

quantia depositada, no caso, R$150,00 constitui as prestações. Apesar de num

primeiro momento, parecer desnecessária a adequação de taxa e período já que

ambos se encontram na mesma unidade de tempo, a saber, anual, devemos adequá-

los à periodicidade da série. Deste modo, como o prazo foi de 18 anos, com

periodicidade mensal, foram realizados 216 depósitos e a taxa anual de 8,47% é

equivalente a 0,6798292% ao mês. Não podemos esquecer que os depósitos foram

realizados no inicio de cada mês, caracterizando, assim, uma série antecipada.

Resumindo os dados obtidos, temos:

DESCRIÇÃO VALOR


Montante ou Valor Futuro (FV) ?

VALORES FORNECIDOS

Prestação (PMT) R$150,00

Taxa de Juros (i) 0,6798292% a.m.


Substituindo na HP, temos:

TECLA VISOR

f CLx 0,0000

g7 0,0000

150 150,0000

216 216,0000

0,6798292 0,6798

-73.771,5382

Deste modo, o valor resgatado pelo filho de Ana Paula será de R$73.771,54 ao final de

18 anos.

122

Analisando um folheto de propaganda você se interessa em adquirir o

celular anunciado abaixo.

Porém, antes de se decidir pela compra você pretende calcular a taxa de juros cobrada

no financiamento proposto no anúncio. Qual o valor dessa taxa?

Resolução

Nesse exercício é importante atentar-se para que não seja confundido montante de

uma renda com total pago, pois o total pago é o resultado do produto, valor da

prestação pela quantidade de períodos contratados ( )nPMT × e nada tem a ver com

os conceitos de montante e valor atual de uma série de pagamentos. Deste modo, os

dados fornecidos para determinar a taxa de juros serão:

DESCRIÇÃO VALOR


Taxa de juros (i) ?

VALORES FORNECIDOS

Prestação (PMT) R$49,90

Valor a vista ou presente (PV) R$499,00


123

Armazenando os dados na HP, temos:

TECLA VISOR

f CLx 0,0000

49,90 CHS -49,9000

499 499,0000

12 12,0000

2,9229

Deste modo, a taxa cobrada pelo financiamento do celular anunciado é de 2,92%

ao mês.

Perpétua procurou o BNDES para adquirir um financiamento para

ampliar o seu empreendimento: restaurante familiar. Foi concedido um

empréstimo no valor de R$35.000,00 para ser pago em 25 prestações mensais,

iguais e postecipadas. Porém, para que Perpétua pudesse colocar em prática

as obras e a ampliação dos serviços, gerando, assim um aumento em sua

renda, o Banco autorizou o pagamento da primeira parcela para 180 dias após

a aquisição do empréstimo. Sabendo que a taxa de juros cobrada pelo banco é

de 12,415034% ao ano, determine o valor das prestações por ela assumidas.

Resolução

Esse é um exemplo de uma série de pagamentos com carência. É importante destacar

que carência é ausência de amortização (pagamento) da dívida, portanto, se Perpétua

realizou o primeiro pagamento 180 dias (6 meses) após a aquisição do empréstimo,

isso significa que, o banco concedeu uma carência de 5 meses, pois, a partir do

momento em que Perpétua realiza o primeiro pagamento, o período em que o

pagamento foi realizado não é contabilizado como período de carência.

Analisando os demais dados, percebe-se que a periodicidade contratada é a mensal,

porém, a taxa de juros está na unidade de tempo anual, como não podemos alterar a

Nesse exercício é necessário atribuir o sinal de negativo para um dos dois valores monetários (PMT ou PV) utilizando para isso a tecla CHS.

124

periodicidade contratada devemos utilizar taxa equivalente para adequar a unidade de

tempo da taxa ao período, encontrando, uma taxa mensal de 0,98% ao mês.

Para determinar o valor das prestações a serem pagas por Perpétua, devemos

primeiramente atualizar o empréstimo pelo período de carência. Para essa atualização

devemos levar em consideração.

DESCRIÇÃO VALOR


Valor Futuro/ Dívida (FV) ?

VALORES FORNECIDOS

Valor Presente/ empréstimo (PV) R$35.000,00

Taxa de juros (i) 0,98


Utilizando a calculadora financeira, obtemos:

TECLA VISOR

f CLx 0,0000

35.000 35.000,0000

0,98 0,9800

5 5,0000

-36.748,9450

Desse modo, após o período de carência o valor devido por Perpétua é de

R$36.748,95. Esse valor que será financiado em 25 parcelas mensais. Portanto, para o

cálculo das prestações, temos:

DESCRIÇÃO VALOR


Prestação (PMT) ?

VALORES FORNECIDOS

Valor Presente (PV) R$36.748,95

Taxa de juros (i) 0,98% ao mês


125

Atribuindo os valores na HP, encontramos:

TECLA VISOR

f CLx 0,0000

36.748,48 36.748,4800

0,98 0,9800

25 25,0000

-1.664,5285

Portanto, Perpétua pagará, a partir do sexto mês, vinte e cinco prestações de

R$1.664,53.

João Paulo construiu um imóvel para alugar. Porém, estava na dúvida de

qual valor mensal deveria cobrar de seus futuros inquilinos. Então, ele adotou o

seguinte critério: utilizar como base de cálculo o valor do imóvel à vista, avaliado

em R$180.000,00 e a melhor taxa do mercado para aplicação, que no momento

era de 0,75% ao mês. Com base nestes dados, qual foi o valor mensal do aluguel

oferecido por João Paulo, considerando que o primeiro aluguel deve ser pago um

mês após a assinatura do contrato?

Resolução

Esse é um problema de série infinita, uma vez que o aluguel é uma série em que não é

possível mensurar a quantidade exata de prestações que serão pagas. Em problemas

como este, devemos utilizar como período, 9999, para o cálculo na HP. Em resumo,

temos:

DESCRIÇÃO VALOR


Prestação (PMT) ?

VALORES FORNECIDOS

Valor Presente/ à vista (PV) R$180.000,00

Taxa de juros (i) 0,75% ao mês


126

Utilizando a HP, obtemos:

TECLA VISOR

f CLx 0,0000

180.000 180.000,0000

0,75 0,7500

9999 9999,0000

-1.350,0000

João Paulo, nas condições apresentadas cobrará um aluguel mensal de R$1.350,00.


� As séries abordadas nessa unidade são chamadas de rendas certas ou

anuidades por terem como principal característica a uniformidade dos valores

(fixos) e a periodicidade da série;

� Carência é ausência de amortização da dívida, mas, não ausência de cobrança

de juros. Em toda carência serão cobrados juros e portanto o valor devido será

atualizado;

� Constituem séries infinitas, aquelas em que não é possível determinar uma

quantidade exata de períodos. São exemplos de uma série, o aluguel, pensões

vitalícias, etc. Para cálculo na HP, com uma série infinita, devemos utilizar para

o período 9999;

� Quando são fornecidos dois valores monetários, ao armazená-los na HP,

devemos atribuir o sinal de um deles negativo, uma vez que a HP funciona

como um fluxo de caixa.

127

7.5. Quadro de Fórmulas7


Valor Atual – Séria Imediata e Postecipada

( )

−++=

1)1(

1n

n

i

iiPPMT

Valor Atual – Séria Imediata e Postecipada

( ) ( )

−++−= −

−

1)1(

11

1

n

n

i

iiPMTPPMT

Valor Atual – Séria Diferida ( ) ( )

+−+×

+×=

n

n

m ii

i

iPMTP

1

1)1(

1

1

Valor Atual – Série Infinita Postecipada i

PMTP =

Valor Atual – Série Infinita antecipada i

iPMTP

)1( +×=

Montante – Série Postecipada

( )[ ]i

iPMTF

n 11 −+×=

Montante – Série Antecipada ( ) ( )[ ]

i

iiPMTF

n 111

−+×+×=

7 Nessa unidade propõem-se a realização das atividades com a utilização das funcionalidades financeiras

da HP-12c em detrimento à utilização das fórmulas.

128

UNIDADE 8: SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

Nessa unidade serão apresentados os Sistemas de Amortização: PRICE e SAC.

Certamente, vocês encontrarão no mercado outros tipos de sistemas de amortização;

no entanto, não é possível esgotar, neste curso, todos os tipos disponíveis, motivo pelo

qual, foram escolhidos os dois mais utilizados. A expectativa é que ao final desta

unidade o aluno seja capaz de identificar as principais diferenças entre os sistemas de

amortização apresentados, bem como as principais características de cada um,

facilitando o seu entendimento sobre os diferentes planos de pagamento que utilizam

desses sistemas.

8.1. Compreendendo alguns conceitos Antes de iniciarmos a exposição dos dois tipos de sistemas propostos é necessário

compreender o significado do termo amortizar; amortizar consiste em saldar uma

dívida, a qual foi realizada por determinado período de tempo, de forma parcelada e

definida a partir de um sistema pré-determinado em contrato.

Os sistemas de amortização são muito utilizados por instituições financeiras e pelo

comércio de forma geral, pois sabemos da inviabilidade da população, em sua maioria,

em realizar a aquisição de bens a partir de pagamentos à vista.

As prestações de qualquer financiamento são compostas por amortização e juros, ou

seja, jurosoamortizaçãprestação += . Portanto, não é amortizado todo o valor que

pagamos. Uma quantia será destinada para amortização da dívida e a outra será

utilizada para quitação dos juros, juros estes que nada mais é do que o pagamento

pelo serviço prestado pela instituição financeira, por parcelar o valor de um bem ao

invés de recebê-lo à vista.

Os sistemas de amortização foram definidos e construídos a partir da classificação da

série de pagamentos, discutido na unidade VII.

129

Ainda, conforme discutido na unidade VII, em pagamentos parcelados pode ou não

ocorrer carência (período que vai desde a data da concessão do empréstimo até a data

em que será paga a primeira prestação); nos sistemas de amortização, que são uma

particularidade das séries, também, poderão ocorrer ou não o período de carência,

dependendo, apenas, dos termos acordados em contrato.

É importante ressaltar que no Brasil, os sistemas de amortização são calculados

utilizando, sempre, o regime de Juros Compostos.

A seguir serão apresentados alguns conceitos que permearão o tema: sistemas de

amortização.

Vamos conhecer alguns conceitos usuais:

TERMO DEFINIÇÃO

Empréstimo

É um recurso financeiro disponibilizado ao cliente no ato da negociação, em outras palavras, é um valor presente e, portanto representado na data zero (diagrama de fluxo de caixa).

Saldo Devedor É o valor nominal da dívida.

Juros É o custo da dívida a cada período do financiamento.

Amortização É o processo pelo qual uma dívida é liquidada por meio de parcelas de modo que ao final do prazo estipulado essa dívida seja liquidada.

Prestação

É a soma da amortização do principal e os juros correspondentes a cada período.

Carência

Carência é o prazo de tolerância durante o qual a dívida não é amortizada. Neste período os juros podem ser ou não pagos. É importante destacar que, sempre serão cobrados juros pelo período de carência, a diferença é que esses juros podem ser pagos durante a carência, ou se esse pagamento não acontecer durante, o mesmo deverá ser pago depois, ou seja, os juros devidos da carência serão acrescidos ao saldo devedor. Quando os juros são pagos durante a carência, diz-se que houve carência do principal (apenas da amortização da dívida), por outro lado, quando os juros são pagos ao final do prazo de carência (acrescido ao saldo devedor) diz-se que houve carência de juros e principal.

130

8.2. O sistema de amortização Price (Francês ou SAF) A denominação Sistema de Amortização Francês originou-se do fato desse sistema ter sido utilizado inicialmente na França, no século XIX. O mesmo, também, recebe a nomenclatura de PRICE, em homenagem ao economista inglês Richard Price, que incorporou a teoria do juro composto às amortizações de empréstimo no século XVIII. (SAMANEZ, 2006: 150)

A principal característica do Sistema de Amortização Francês diz respeito à natureza:

uniforme, ou seja, todos os pagamentos têm o mesmo valor. Além dessa, a mesma

destaca-se quanto ao número finito de termos e a periodicidade.

No que diz respeito ao vencimento e a ocorrência do primeiro termo, ela pode ser,

respectivamente, postecipada ou antecipada e normal (imediata) ou diferida

(carência).

Para o cálculo das prestações pode-se utilizar os seguintes procedimentos:

CARACTERÍSTICA COMANDO HP-12c

Postecipada

Digitar f Fin Limpar memória financeira

g 8 Acionar o comando de série postacipada (END)

i Armazenar a taxa

n Armazenar o período

PV ou FV Armazenar o valor presente ou futuro

PMT Determinar a PMT

Antecipada

Digitar f Fin Limpar memória financeira

g 7 Acionar o comando de série antecipada (BEGIN)

i Armazenar a taxa

n Armazenar o período

PV ou FV Armazenar o valor presente ou futuro

PMT Determinar a PMT

131

Em caso de carência, o cálculo da prestação dependerá de dois itens:

1. Durante a carência o cliente efetuará o pagamento dos juros

Nessa situação, o valor financiado será realmente o valor à vista do bem, uma

vez que, durante a carência já foram quitados os juros do período. É

importante ressaltar que carência não é ausência de pagamento de juros, é

simplesmente uma forma de postergar a amortização da dívida, porém,

durante este período é cobrado juros, que, neste caso será pago durante o

período de carência.

2. Durante a carência o cliente não efetuará nenhum tipo de pagamento

Nessa situação, os juros que deveriam ser pagos durante o período de

carência serão incorporados ao valor à vista do bem (saldo devedor) que

servirá como base de cálculo para o valor das prestações.

8.2.1. Tabela do Financiamento Todo sistema de amortização pode ser acompanhado pela tabela do financiamento.

N PAGAMENTO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR

0 - - - SD0 = PV

1 PMT J1 = SD0 i A1 = PMT - J1 SD1 = SD0 - A1

2 PMT J2 = SD1i A2 = PMT - J2 SD2 = SD1 - A2




...

...

...

...

...

n PMT Jn = SDn-1i An = PMT - Jn SDn = SDn-1 - An = 0

Onde,

PMT → valor da prestação postecipada;

J → juros pagos no período;

A → valor amortizado;

SD → saldo devedor do período.

132

O cálculo dos juros é realizado sobre o valor do saldo devedor. Como a cada parcela

paga ocorre a amortização de parte da dívida, teremos uma redução deste saldo e

consequentemente uma redução do valor dos juros pagos a cada período, portanto,

quanto mais o tempo passa, menor será o valor pago de juros e maior será o valor

amortizado, uma vez que são realizados pagamentos constantes a cada período. Por

este motivo, esse sistema também é conhecido por sistema de amortização crescente.

Ana Maria comprou um fogão em uma conceituada loja de eletrodoméstico no valor

de R$299,00 em 11 pagamentos mensais, pelo CDC, com uma taxa de juros de 5,9% ao

mês. Determine o valor das prestações e elabore a tabela financeira.

Resolução


DESCRIÇÃO VALOR


Prestação (PMT) ?

VALORES FORNECIDOS

Valor à vista (PV) R$299,00


Taxa de Juros (i) 5,9% a.m.

Solução utilizando a HP-12c


5,9 i 5,900000000

11 n 11,00000000

299 PV 299,0000000

PMT -37,3200000

Portanto, pelo financiamento desse fogão serão pagas 11 prestações de R$37,32. Cuja

tabela do financiamento está representada a seguir:

133

N PRESTAÇÃO JUROS AMORTIZAÇÃO SALDO

DEVEDOR

0 R$ 299,00

1 R$ 37,72 R$ 17,64 R$ 20,08 R$ 278,92

2 R$ 37,72 R$ 16,46 R$ 21,26 R$ 257,67

3 R$ 37,72 R$ 15,21 R$ 22,51 R$ 235,15

4 R$ 37,72 R$ 13,88 R$ 23,84 R$ 211,31

5 R$ 37,72 R$ 12,47 R$ 25,25 R$ 186,06

6 R$ 37,72 R$ 10,98 R$ 26,74 R$ 159,32

7 R$ 37,72 R$ 9,40 R$ 28,32 R$ 131,00

8 R$ 37,72 R$ 7,73 R$ 29,99 R$ 101,01

9 R$ 37,72 R$ 5,96 R$ 31,76 R$ 69,25

10 R$ 37,72 R$ 4,09 R$ 33,63 R$ 35,62

11 R$ 37,72 R$ 2,10 R$ 35,62 R$ 0,00

A partir da construção da planilha do financiamento é possível identificar o saldo

devedor em cada período de tempo, bem como juros e amortizações pagos em cada

parcela ou acumulados por determinado período de tempo como representados nos

exemplos a seguir:

� Qual o saldo devedor após o pagamento da oitava parcela? R$101,01

� Qual o valor destinado ao pagamento de juros, referente a décima parcela?

R$4,09

� Qual o valor destinado à amortização da quarta parcela? R$23,84

� Qual o total amortizado após o pagamento da terceira parcela? R$20,08 +

R$21,26+ R$22,51 = R$63,85.

� Qual o total de juros pagos considerando a sétima e oitava parcelas? R$9,40 +

R$7,73 = R$17,13.

Porém, alguns financiamentos possuem um período (quantidade de prestações) que

inviabilize a construção manual da tabela. Nestes casos, como fazer para obter tais

informações?

Um caminho possível é a utilização de um recurso tecnológico, no nosso caso, da HP-

12c. A função que permite esses cálculos é a AMORT. Ao acionar essa função, a mesma

já determina o juro, a amortização e o saldo devedor. No entanto, para visualizar, tais

valores, devemos:

134

� Após o comando da AMORT o primeiro valor que aparece no visor é sempre os

juros (acumulado ou por período);

� Após o comando da AMORT, ao pressionar a tecla yx <> visualiza-se

amortização (acumulada ou por período), e;

� Para o saldo devedor, após o comando da AMORT deve-se pressionar RCL PV.

Para orientações mais detalhadas acompanhe as informações na tabela a seguir:

Descrição Comando HP

Total de juros pagos

Armazenar:

Solicitar:

Em seguida pressionar:

(quantidade de períodos que se deseja acumular) AMORT

Total de Amortizações pagas

Armazenar:

Solicitar:


(quantidade de períodos que se deseja acumular) AMORT yx <>

Determinar o saldo devedor

Armazenar:

Solicitar:


(quantidade de períodos que se deseja acumular) AMORT

Em seguida pressionar: RCL

135

Para melhor entendimento acompanhe a resolução de um exemplo.

Um financiamento de R$2.000,00 será saldado pela Tabela Price em 18 parcelas

mensais a juros de 2,5%a.m. Calcular: (a) o valor da prestação; (b) a soma das

amortizações dos três primeiros meses; (c) a amortização introduzida pela 13ª

prestação.

Resolução

(a) para obter o valor das prestações devemos utilizar os seguintes comandos na

HP:


2.000 PV 2.000,00000

18 n 18,00000000

2,5 i 2,500000000

PMT -139,3401611

Logo, o valor da prestação será de R$139,34.

(b) Para se obter a soma das amortizações dos três primeiros meses, basta, após

determinar o valor das prestações, pressionar a tecla:

É importante ressaltar que a prestação deve ser utilizada com o sinal negativo. O

três representa que queremos calcular o acumulado dos 3 primeiros meses de

amortização.


2.000 PV 2.000,00000

18 n 18,00000000

2,5 i 2,500000000

PMT -139,3401611

3 f AMORT -143,2436503

X>

<Y -274,776833

Logo, o valor amortizado acumulado ao final de três meses é de R$274,78 do total

da dívida.

3 AMORT

Esse primeiro valor que aparece no visor é o juro

acumulado após o pagamento dos três

primeiros meses.

136

(c) Neste item está sendo solicitado o valor amortizado ao final do pagamento da

13ª prestação. Observem que não está solicitando o acumulado, mas sim a

amortização deste mês. Como o valor amortizado é determinado pela

diferença entre a parcela (PMT) paga e os juros cobrados no período, devemos

inicialmente encontrar o valor dos juros. Sabemos que o juro é obtido pelo

seguinte cálculo: iSDj nn ×= −1 , logo substituindo o período solicitado temos:

iSDj ×= 1213 .

Por outro lado, utilizando a HP conseguimos determinar 12SD , conforme descrição

abaixo:


2.000 PV 2.000,00000

18 n 18,00000000

2,5 i 2,500000000

PMT -139,3401611

12 f AMORT -439,5850085

RCL PV 767,5030753

Este valor representa o saldo devedor após o pagamento da 12ª prestação, ou seja,

12SD . Como o juro do período é determinado aplicando a taxa de juros sobre o saldo

devedor, então, aplicando 2,5% de R$767,40 obtemos que 18757688,19$13 Rj = . Com

esses dados é possível determinar o valor amortizado com o pagamento da 13ª

prestação:

15,12019,1934,139 13131313 =⇒−=⇒−= AAjPMTA

Indica a quantidade de períodos que se deseja considerar. Nesse caso ,

determinar o Saldo Devedor após o 12º pagamento.

137

Outra maneira de se resolver o item “c” é realizar todos os cálculos utilizando a HP-

12c, da seguinte forma:


2.000 PV 2.000,00000

18 n 18,00000000

2,5 i 2,500000000

PMT -139,3401611

12 f AMORT -439,5850085

1 f AMORT -19,18757688

-120,1525842

Esse comando sucessivo da função AMORT é possível, pois a HP foi programada para

determinar valores acumulados durante um período, ou a partir de determinado

ponto, ou seja, quando damos o comando 12fAMORT e em seguida 1fAMORT a HP

entende que é para somar os 12 primeiros pagamentos e em seguida começar a

acumular deste ponto em diante, é como se o zero fosse “deslocado” para este valor e

começasse a acumular tudo de novo. Como pediu somente um valor após o “zero

deslocado”, então, obtemos exatamente o valor do juro e da amortização do 13º

pagamento.

8.3. O sistema de amortização SAC

Este sistema é extremamente simples. Sua denominação deriva da sua principal característica, ou seja, as amortizações periódicas são todas iguais ou constantes (no Sistema Price, as amortizações crescem exponencialmente à medida que o prazo aumenta). O SAC consiste em um plano de amortizações de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em progressão aritmética. (DUTRA, 2006: 230)

Nesse sistema como a amortização é constante, devemos inicialmente encontrar qual

será o valor amortizado no período. Como em todo financiamento o cliente só

amortiza o valor efetivamente contratado, para o cálculo da amortização, deve-se

dividir o valor presente pelo período.

n

PVA =

Esse comando sucessivo da função AMORT possibilita a

determinação dos juros (acumulado ou por período) e da amortização (acumulada ou

por período) de qualquer período solicitado.

138

Onde,

A → valor da amortização (constante);

Pv → valor da dívida ou valor à vista de um bem;

n → total de períodos contratados.

É sabido que o cliente, ao financiar uma dívida paga, além do valor devido

(amortizado) os juros pelo parcelamento dessa dívida. Desse modo, para o cálculo dos

juros deve-se aplicar a taxa de juros contratada ao saldo devedor atualizado.

iSDJ nn ×= −1

Onde,

Jn → juros pagos no período;

SDn-1 → Saldo devedor do período anterior;

i → Taxa do financiamento.

Como nesse sistema a amortização é constante e sabendo que em qualquer sistema de

amortização a prestação é composta por amortização mais juros, as parcelas tendem a

reduzir a cada período. Pois, os juros são calculados pelo saldo devedor e esse saldo

devedor diminui a cada parcela paga. Por este motivo, para determinar o valor da

prestação a ser paga em cada período deve-se utilizar a fórmula:

[ ])1(1 +−+= tniAPMTt

Onde,

PMTt → valor das prestações em cada período, também chamada de

prestações de ordem t;

A → valor da amortização (constante);

i → Taxa do financiamento;

n → total de períodos contratados;

t → a ordem da prestação que está sendo calculada.

139

Além dos valores já apresentados é possível determinar o total amortizado, o saldo

devedor em cada período e o valor dos juros de determinada prestação, para isso

deve-se utilizar o seguinte raciocínio:

Total Amortizado → Multiplica-se o valor amortizado em cada mês (resultado

da operação n

PV) pela quantidade de parcelas pagas;

Saldo Devedor → Encontra-se o total amortizado pelo procedimento

apresentado no item anterior. Em seguida deve subtrair o saldo devedor inicial

(SD0 ou Pv) desse valor encontrado;

Juros do período → Para o cálculo do juro do período é possível utilizar a

fórmula já apresentada, a saber: iSDJ nn ×= −1 , ou ainda, determinar o valor da

prestação e subtrair desse resultado o valor amortizado, ou seja, APMTj −= .

8.3.1. Tabela do Financiamento

Segue abaixo um modelo de como pode ser elaborada a tabela de financiamento

considerando o SAC:

N AMORTIZAÇÃO JUROS PAGAMENTO SALDO DEVEDOR

0 - - - SD0 = PV

1 A J1 = SD0 i PMT1 = A + J1 SD1 = SD0 - A1

2 A J2 = SD1i PMT2 = A + J2 SD2 = SD1 - A2




...

...

...

... ...

n A Jn = SDn-1i PMTn = A + Jn SDn = SDn-1 - An = 0

140

Um lote é vendido por R$100.000,00, financiado em 10 prestações mensais, à taxa de

3,0% ao mês, pelo sistema de amortização constante (SAC). Pede-se: determinar o

valor a ser amortizado a cada período e elaborar a planilha deste financiamento.

Resolução

Valor a ser amortizado: 000.1010

000.100 =⇒=⇒= AAn

PA

Tabela do Financiamento:

N AMORTIZAÇÃO JUROS PAGAMENTO SALDO DEVEDOR

0 - R$ 100.000,00

1 R$ 10.000,00 R$ 3.000,00 R$ 13.000,00 R$ 90.000,00

2 R$ 10.000,00 R$ 2.700,00 R$ 12.700,00 R$ 80.000,00

3 R$ 10.000,00 R$ 2.400,00 R$ 12.400,00 R$ 70.000,00

4 R$ 10.000,00 R$ 2.100,00 R$ 12.100,00 R$ 60.000,00

5 R$ 10.000,00 R$ 1.800,00 R$ 11.800,00 R$ 50.000,00

6 R$ 10.000,00 R$ 1.500,00 R$ 11.500,00 R$ 40.000,00

7 R$ 10.000,00 R$ 1.200,00 R$ 11.200,00 R$ 30.000,00

8 R$ 10.000,00 R$ 900,00 R$ 10.900,00 R$ 20.000,00

9 R$ 10.000,00 R$ 600,00 R$ 10.600,00 R$ 10.000,00

10 R$ 10.000,00 R$ 300,00 R$ 10.300,00 R$ -

Um apartamento é vendido por R$1.500.000,00, sendo R$300.000,00 de entrada e o

restante financiado em 60 prestações mensais, à taxa de 2,5% ao mês, pelo sistema de

amortização constante. Determine o valor da 1ª e da última prestação.

141

Resolução

Para obtermos o valor das prestações, precisamos obter, primeiramente, o valor da

amortização. Uma vez que foi dada uma entrada de R$300.000,00 o valor financiado

(P) foi de: 00,000.200.100,000.30000,000.500.1 =−=P .

Substituindo na equação de amortização:

00,000.20$60

000.200.1RAA

n

PA =⇒=⇒=

� Cálculo da primeira prestação:

[ ] [ ]00,000.50$5,2000.20

)1160(025,01000.20)1(1

RPMTPMT

PMTtniAPMT

=⇒×=⇒+−+=⇒+−+=

� Cálculo da última prestação:

[ ] [ ]00,500.20$025,1000.20

)16060(025,01000.20)1(1

RPMTPMT

PMTtniAPMT

=⇒×=⇒+−+=⇒+−+=


Uma dívida de R$1.500.000,00 contratada a juros nominais de 36% ao

ano, capitalizados trimestralmente, poderá ser amortizada pelo sistema Price

ou SAC, em oito anos por meio de pagamentos trimestrais. Com base nesses

dados pede-se para determinar:

a) o saldo devedor ao fim do terceiro ano (fim do terceiro ano corresponde ao

12º trimestre);

b) a distribuição do 20º pagamento em juros;

c) a amortização referente ao 30º pagamento;

d) A prestação de ordem 5.

142

Resolução

Inicialmente, vamos organizar os dados do problema.

DESCRIÇÃO VALOR

VALORES FORNECIDOS

Valor à vista (PV) – valor da dívida R$1.500.000,00

Período (n) 32 trimestres

Taxa de Juros (i) 9% ao trimestre

PR

ICE

1.500.000 pv 32 n 9i PMT = -144.144,28 12 f AMORT RCL PV 1.346.630,52

SAC

875.4632

000.500.1 ==A

Determina-se o total amortizado no período 46.875 x 12 = 562.500 Subtrai do valor devido o total amortizado 1.500.000 – 562.500 = 937.500,00

1.500.000 pv

32 n

9i

PMT = -144.144,28

19 f AMORT

1 f AMORT 97.127,49

Será utilizada a fórmula:

iSDJ ×= 1920

Para utilização dessa fórmula é necessário determinar o saldo devedor 19.

( )

375.609

625.890000.500.1

19875.46000.500.1

19

19

19

=×=

×=

SD

SD

SD

Como a taxa do financiamento é de 9% ao trimestre, temos:

75,843.54

09,0375.609

20

20

=×=

J

J

Para determinar essa taxa efetiva utilizou-se os

procedimentos de transformação de taxa nominal para taxa efetiva apresentado

na unidade 5 (Taxas).

O prazo do financiamento foi de oito anos, porém, prazo é o tempo total para

quitação da dívida. Para os cálculos é necessário determinar a forma de

pagamento; a mesma é determinada pautada no período de capitalização contratado, nesse caso, trimestral.

143

1.500.000 pv

32 n

9i

PMT = -144.144,28

29 f AMORT

1 f AMORT 32.838,45 x

>< y 111.305,83

875.4632

000.500.1 ==A

Não varia uma vez que nesse sistema a amortização é sempre constante.

1.500.000 pv

32 n

9i

PMT = -144.144,28

Não varia uma vez que nesse sistema a Prestação é sempre constante.

( )[ ][ ]

00,125.118

52,3875.46

2809,01875.46

153209,01875.46

5

5

5

5

=×=

×+=+−+=

PMT

PMT

PMT

PMT

Agora é com você! Refaça o item “b”, somente pelo sistema de

amortização SAC, porém, utilizando o segundo procedimento apresentado.

A saber, pela fórmula de prestação de ordem t.

Um carro, no valor de R$32.000,00, foi financiado pelo CDC (sistema

Price de amortização) em 24 pagamentos a uma taxa efetiva de 1,583479978%

ao mês.

Abaixo segue a planilha deste financiamento. Porém, alguns valores foram omitidos.

Determine e indique na tabela cada um destes valores.

144

Resolução

Segue tabela completa:

145

146

Utilizando-se o simulador do Banco EAD para aquisição de um Consórcio

imobiliário, pelo sistema SAC de amortização, obtém os seguintes dados.

Com base nestes dados, pede-se:

a) indicar o valor a ser pago na primeira prestação, sabendo-se que são adicionados a

cada prestação o valor de:

• R$29,90 – Seguro MIP

• R$19,28 – Seguro DFI

• R$25,00 – Taxa de Administração.

b) da parcela calculada no item anterior indicar na tabela abaixo o detalhamento dos

pagamentos:

Total Pago

Amortização

Juros

Demais pagamentos

Resolução

a) Primeiramente, devemos aplicar taxa equivalente à taxa efetiva anual (ver unidade

03) em seguida substituir os valores conhecidos na fórmula da prestação de ordem t.

147

( )[ ][ ]

06,679.1

67,4665979904,3

360007216640,0167,466

11360007216640,01360

000.168

1

1

1

1

=⋅=

⋅+=

+−+=

PMT

PMT

PMT

PMT

O valor da prestação é de R$1.679,06, porém são cobradas mais (R$74,18) de demais

taxas, deste modo, o valor da primeira prestação será de R$1679,06 + 74,18 =

1.753,24.

b) segue tabela resumo

Total Pago R$1.753,24 Amortização R$466,67 Juros R$1.212,39 Demais pagamentos R$74,18

8.5. Resumo

� Sistema se amortização abordados: PRICE e SAC;

� Sistema PRICE também pode ser denominado por: Francês, CDC ou SAF;

� Principal característica do sistema Price de amortização: prestações constantes

(mesmo valor);

� Principal característica do SAC: amortizações constantes;

� É importante ressaltar que no sistema SAC, a parcela correspondente à

amortização em cada prestação é constante e os juros incidem sobre o saldo

devedor. Como o saldo devedor diminui após o pagamento de cada prestação e

a parcela de amortização é constante, o valor da prestação reduz-se ao longo

do tempo.

� Caso taxa e período não estejam na mesma unidade de tempo é necessário

adequar a taxa utilizando: taxa equivalente se for fornecida uma taxa efetiva ou

regra de três, seguida de taxa equivalente, se for o caso, quando fornecida uma

taxa nominal.

148



Prestação

JAPMT +=

Amortização (SAC) n

PVA =

Juros do período iSDJ nn ×= −1

Prestação de ordem t (SAC) [ ])1(1 +−+= tniAPMTt

149

REFERÊNCIAS

JUER, Milton. Matemática Financeira: Aplicações no Mercado de Títulos. 2 ed. Rio de

Janeiro: IBMEC, 1984.

MACEDO, Luiz Roberto Dias de. Matemática Aplicada. Curitiba: BPEX, 2004.

MEDEIROS, Sebastião Silva. Matemática para os cursos de Administração, Ciências

Contábeis e Economia. 4ª ed. São Paulo: Atlas, 1998.

PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 5 ed. Rio de

Janeiro: LTC, 1993.

SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira, 3 ed. São Paulo: Prentice Hall,

2002.

SOBRINHO. José Dutra. Matemática Financeira, 7 ed. São Paulo: Atlas, 2006.

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Webnodemicrolinuxers.webnode.com/.../Matematica_Financeira_2013_1.pdf · 3 APRESENTAÇÃO Esse material apresenta uma discussão em torno dos conceitos da chamada “matemática financeira