Vibrations et ondes – TD 3 - Solutions – p 1

VIBRATIONS et ONDES – TD3 Solutions

3-1 Galvanomètre Introduction : Le galvanomètre est un élément essentiel dans les systèmes électriques. On le trouve dans les appareils de mesure (ampéremètres, voltmètres, ohmmètres) ; certains moteurs électriques fonctionnent sur le même principe. Un galvanomètre est constitué d'une bobine de fil suspendue dans le champ magnétique d'un aimant permanent. Dans le cas d'une boucle de n spires de forme rectangulaire (a.b) parcourue

par un courant i, et placée dans un champ magnétique uniforme B , on observe un moment de

force donné par M = n i ab B sin

où est l'angle entre la direction du champ B et la normale à la boucle.

Afin de rendre le moment (et donc la déviation ) indépendant de , on enroule la bobine autour d'un cylindre de fer et on donne aux pôles de l'aimant une forme cylindrique. Une telle géométrie permet d'avoir un champ radial ; les lignes de champ sont donc dirigées de la bobine. La force exercée sur le fil (force de Laplace) est donc perpendiculaire à la surface du cadre quelle que soit sa position ( sauf sur les bords). Le moment est alors indépendant de . a.1 - Dans la configuration décrite ici, l'enroulement est constitué de n spires sur un cadre de cotés L et 2 r1. Le passage d'un courant i s'accompagne donc d'un couple dit électromoteur donné par CE = n 2r

1 L B i = 0 i

lignes de champmagnétique

F

F

B

a.2 - Couple de rappel des ressorts : CR = - C

a.3 - Couple de frottement : Cf = f d

dt

a.4 - J ˙ ̇ = CE + CR + CF => J ˙ ̇ + f ˙ + C = 0 i b.1 - Schéma électrique.

Vibrations et ondes – TD 3 - Solutions – p 2

b.2 - Le cadre qui tourne à une vitesse angulaire ', coupe lors d'une rotation d pendant un intervalle de temps dt, un flux d = n 2r

1L B d =

0 d . Il en résulte une f.é.m. e' de :

e' = d

dt=

0 ' .

b.3 - Expression du courant :

i = E e'

R + r =

E 0 '

R + r = i0 0 '

R + r

Equation diférentielle :

b.4 - J " + f + 02

R + r

' + C = 0i0

ou encore :

J " + f + 02

R + r

' + C = 0 ( NB : C 0 = 0i0 )

b.5 - L'équation ci-dessus nous permet d'écrire par analogie : 02 =

C

J ; on en déduit une

période d'oscillations libres : T0 = 2 J C . b.6 - La forme générale de l'équation est la suivante :

" + 2 ' + 02 = 0 , on a donc pour : =

f + 02

R + r2J

b.7 - Résistance critique : = 0 => Rcrit = 02

2 JC f r

b.8 - Si R< Rc : mouvement apériodique trés amorti (en conséquence il convient avant de bouger l'appareil de le mettre dans ce régime en le court-circuitant , Rc= 0) Si R= Rc : mouvement apériodique critique ; le retour vers la position d'équilibre est le plus rapide. Si R> Rc : mouvement pseudo-périodique (fig. 17 du Polycop), d'autant moins amorti que R est grand.

b.9 - A.N. : s = 0/i0 = 0/C = 2,28 105 rad.A-1 ;

Pseudo-période T'0 Tp = 2 J C = 0,8 => J/C = 0,16 / 2 .

E

Vibrations et ondes – TD 3 - Solutions – p 3

Pour les faibles amortissements (circuit ouvert), on peut écrire la relation suivante entre les

amplitudes à l'origine (A0) et aprés m oscillations (Am) : Tp = 1

m ln

A0

Am

Nous avons = f

2J , Tp = 0,8 s

=> f Tp2J

= 1

20 ln 4,5( ) =>

f

J =

1

8 ln 4,5( )

D'autre part : Rcrit = 02

2 JC f r soit :

02

2 JC f = R + r = 1600 + 200 = 1800

De l'expression pour Rc (ci-dessus), on extrait une expression pour C :

2,282 1010 C2

20,16 C2

2 0,16 ln 4,5( ) C

8 2

= 1800

On en déduit C = 8,712 10-9 N.m.rad-1 ; 0 = 1,986 10-3 Wb ; J = 1,412.10-10 m2.kg

et f = 2,655.10-11 m2.kg.s-1. b.10 - La mesure expérimentale de la résistance critique peut se faire par tâtonnement, en cherchant la plus grande valeur de R pour laquelle le spot revient sans dépassement à la position d'équilibre.

3-2 Modèle d’enceinte acoustique.

B

Aimant

x

Enceinte

Membrane

V, P

Nord

Sud

Sud

P0

a1) Equation différentielle du mouvement. La membrane vibre ; la force de rappel est constituée par la différence de pression. La loi adiabatique étant supposée vérifiée à l’intérieur de l’enceinte, on peut écrire :

Vibrations et ondes – TD 3 - Solutions – p 4

dP

P0

+ dV

V0

= 0

soit une variation de pression dP :

dP = P0

S x

V0

(cf approximation ).

L’équation différentielle cherchée s’écrit donc :

P0 + dP( )S P0S S Vs

dx

dt = m

d2x

dt2 ou

m ˙ ̇ x + S Vs ˙ x + P0

S2x

V0

= 0 .

a2) Cette expression fait apparaître la pulsation propre de l’oscillateur :

0

2 = P0S

2

m.V0

ce qui correspond à une fréquence :

f0 = S

2

P0

mV0

Le coefficient de qualité est donné par :

Q = 0

2 =

1

Vs

P0m

V0

.

On peut sortir une expression pour m et pour V0 :

mV0 = P0S

2

2 f0( )2 et

m

V0

= Q Vs( )

2

P0

On en déduit m2 = … ou

m = Q VsS

2 f0

Et

V0 = P0S

2 f0Q Vs

AN : m = 67,6 g ; V0 = 23,3 litres. b) Le coefficient de qualité Q est égal à 1,5. Cette valeur correspond à un régime de faible amortissement avec des oscillations pseudo-périodiques.

Le coefficient d’amortissement est égal à

= 0

3 =

2 . 60

3 = 125,7 s 1

Pseudo-pulsation : p = 0

2 2 = 355,4 rad.s-1

Expression du mouvement : x = A0 e t cos pt + 0( )

Les conditions initiales permettent de déterminer l’amplitude et la phase.

A 0 = x02 +

2x02

p2

10,6 mm et

0 = Arc tan

x0

x0 p

=

Arc tan

1

8

= - 19°28’= 0,3398 rad

Il en résulte : x(t) = 10, 6 e 125,7 t cos 355 t 0, 34( ) c) Oscillations forcées.

Equation du m ouvement.

m˙ ̇ x + S Vs ˙ x + P0S

2

V0

x = Fm cos t( )

La résonance a lieu pour une fréquence f1 telle que :

1 = 1

0

= f1

f0

= 1 2 2 = 1 1

2Q2 =

1 1

2. 1,5( )2 = 0,8819

On en déduit la fréquence de résonance : f1 = 0,8819 x 60 = 52,9 Hz

Vibrations et ondes – TD 3 - Solutions – p 5

Amplitude maximale :

A(f1)

A(f = 0) =

1

2 1 2 =

Q

11

4Q2

= 1,591

On a

A(f = 0) = Fm

K =

Fm

m 02

=

25

0,0676 x 120 ( )2 = 0,0026 := 2,60 mm.

On en déduit l’amplitude à la résonance : A(f1) = 1,591 x 2,60 = 4,14 mm et A(f0) = 1,5 x 2,60 = 3,90 mm. Bande passante à –3dB :

f 3dB =

f0

Q = 40 Hz

Impédance mécanique : Z m = K' + j m

K

=

S Vs + j mP0S

2

V0

= 17 + j 0,0676

9613

kg/ s

Puissance active :

Pact =

1

2 S Vs A2 2 =

pour f0 = 60 Hz, on a Pact = 18,4 W ; pour f1 = 52,9 Hz, on a Pact = 16,1 W . Puissance réactive :

Préact = FmV sin =

1

2FmA cos m

K

V2

étant le déphasage entre l’ excitation et la vitesse vibratoire.

Préact = 1

2m 1 0

2

2

Pour f = f0 , on a : Préact = 0.

Pour f = f1 , on a : Préact =

1

2.0,0676.2 .52,9 1

60

52,9

2

4,14.10 3.2 .52,9( )

2 =

- 6,1 Volts.Ampère.Réactifs. La puissance réactive est la puissance échangée de manière révesible avec le générateur d’alimentation de la bobine. Le signe (-) de la puissanc réactive à f1, indique que la partie mobile du haut-parleur emmagasine une énergie potentielle élastique maximale supérieure à son énergie cinétique maximale. d) Le circuit électrique.

R i + L

di

dt +

1

C i dt = Um cos t( )

En utilisant la charge q =

i dt comme paramètre de l’oscillateur :

L ˙ ̇ q + R ˙ q +

1

C q = U m cos t( )

On a :

02 =

1

LC ;

=

R

2L ;

Q =

L 0

R

A.N. : C= 2 345 μF ; R = 0,754 .

Vibrations et ondes – TD 3 - Solutions – p 6

…

3-3 Pendules couplés. Modes propres (en DM). a ) Il s'agit ici d'un mouvement oscillatoire en rotation à 3 degrés de liberté.

Equations différentielles du second degré vérifiées par les élongations angulaires 1(t), 2(t) , 3(t) , pour les petites oscillations du système. On utilise donc le théorème du moment cinétique J ˙ ̇ = Somme des moments des forces par rapport à l’axe , soit pour le 1er pendule :

ml 2˙ ̇ 1 = mg l sin 1 + k x2 — x1( ) l cos 1 où x1 est le déplacement de la 1ère masse suivant l'axe horizontal Ox. Chaque pendule a une

inertie J = ml2. L'angle 1 étant petit, on peut écrire : sin 1 1 et cos 1 1.

L'équation du mouvement pour la 1ére masse s'écrit donc :

˙ ̇ 1 +

g

l 1

k

m 2 1( ) = 0

où ˙ ̇ 1 + 0

2+ 0

2( ) 1 02 2 = 0

De la même façon pour le 2ème pendule, on a :

ml 2˙ ̇ 2 = mg l sin 2 k x2 — x1( ) l cos 2 + k x3 x2( )l cos 2

soit :

˙ ̇ 2 0

21 + 0

2 + 2 02( ) 2 0

2 3 = 0

Enfin pour le 3ème pendule :

˙ ̇ 3 0

22 + 0

2+ 0

2( ) 3 = 0

b) Pulsations propres du système. A.N. : m = 1 kg ; k = 10 N/m ; g = 10 m/s2. On cherche les solutions de la forme i = mi exp j t( ) soit :

˙ ̇ = p

2

. Le système d'équations à résoudre s'écrit alors (1) :

02 + 0

2 p2( ) 1 0

2 2 = 0

02 1 + 0

2+ 2 0

2p

2( ) 2 02

3 = 0

Vibrations et ondes – TD 3 - Solutions – p 7

02 2 + 0

2+ 2 0

2p

2( ) 3 = 0

(1) On cherche des solutions autres que im = 0. Pour cela le déterminant doit être nul, ce qui amène à l'équation ci-après :

= 0

2 + 02 p

2 ) 02

+ 2 02

p2( ) 0

2+ 0

2p

2( ) 04[ ]( )

0

40

2+ 0

2p

2( ) = 0

ou

= 02 + 0

2 p2 ) p

4 2 02

+ 3 02( ) p

2 + 04 + 3 0

20

2 [ ]( ) = 0

Cette équation a pour solutions :

p = 0 , p = 0

2+ 0

2 et p = 0

2+ 3 0

2 .

soit (AN) : p = 3,16 rd.s-1, : p p = 4,46 rd.s-1 et : p = 6,32 rd.s-1 c) Les équations ci-dessus nous permettent d'écrire les rapports d'amplitude.

• Pour le 1er mode propre

2

1

= 1 et

3

1

= 1 .

• Pour le 2ème mode :

2

1

= 0 et

3

1

= 1

• Pour le 3ème mode :

2

1

= 2 et

3

1

= 1 .

Le résultat est résumé dans le tableau ci-aprés. • Le signe - indique que les pendules sont en opposition de phase. • Pour le 1er mode, les 3 pendules oscillent en phase avec la même amplitude. • Pour le second mode, le pendule 2 reste immobile. les 2 autres pendules oscillent en opposition de phase avec la même amplitude. • Pour le 3ème mode, les pendules extrêmes oscillent en phase et le pendule du milieu oscille en opposition de phase avec les 2 autres, avec une amplitude double.