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EJERCICIOS CON SUCESOS. MATEMÁTICAS AP 2º BACH. 0 1.- Se lanzan dos dados de distinto color al aire, y se consideran los sucesos A “la diferencia entre los puntos obtenidos es 2” y B “Obtener al menos un seis en la tirada”. a Describir los sucesos A y B. b Obtener los sucesos A B y A B.
c Describir el suceso A´ B´ (A´y B´ son los sucesos contrarios de A y de B respectivamente). 2.- Antonia y Basilio son los finalistas de un torneo de ajedrez. Gana el torneo quien gane dos partidas seguidas o tres partidas alternativas. Formar el espacio muestral o conjunto de resultados posibles. SUGERENCIA: formar un diagrama de árbol con los sucesos “gana Antonia” y “gana Basilio”. 3.- Los equipos de fútbol de Argentina y de Brasil disputan un campeonato. Se proclama vencedor el que gane tres veces. Hallar el espacio muestral. (sigue siendo válida la sugerencia del ejercicio anterior). 4.- Un aficionado a los casinos tiene tiempo para jugar a la ruleta cinco veces a lo sumo. La apuesta es de 10€. Empieza con 10€ y deja de jugar cuando pierde los 10€ o cuando gana 30 €. Obtener el espacio muestral mediante un diagrama de árbol. 5.- Se considera el experimento aleatorio consistente en tirar tres dados al aire y anotar los puntos de las caras superiores. Se pide: a El número de elementos del espacio muestral. b formar el suceso A “sacar al menos dos cincos”. c Formar el suceso B “sacar dos doses y un tres” 6.- Una urna contiene bolas blancas y negras en número superior a tres. Se sacan sucesivamente tres bolas de la urna. se pide: a El espacio muestral. b formar el suceso A “ sacar al menos una bola negra”. c Formar el suceso B “sacar las tres bolas del mismo color”. 7.- En una encuesta se interroga a cada persona y las respuestas se recogen en una tarjeta donde se considera el sexo, la edad (mayor o menor de 30 años) y la respuesta (Sí o No) a cierta pregunta. a Describir el espacio muestral de las posibles respuestas. b Formar el suceso B “ La tarjeta corresponde a un hombre menor de 30 años”. c Formar el suceso C “ La tarjeta corresponde a una mujer”. d Idem, “persona mayor de 30 años que ha respondido Sí”. 8.- Razonar si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones (acompañar si procede de los oportunos contraejemplos): a Si dos sucesos son incompatibles, entonces son contrarios. b Si dos sucesos son contrarios, entonces son incompatibles. 9.- En una zona determinada emiten tres emisoras de radio R1, R2 y R3. Si se designan por A, B y C a los sucesos “ser oyente de R1, R2 y R3 respectivamente, se pide describir el significado de los sucesos: 1 A B C; 2 A´ B´ C´
3 A (B C)
4 A (B C) 5 (A B)´
Sol: 1:oir alguna emisora. 2: No oye ninguna . 3: Sólo oye R1. 4:Ser oyente de R1 y de R2 pero no de R3. 5: No se es oyente ni de R1 ni de R2. 10.- Con el enunciado del ejercicio 9, describir en función de A, B y C los sucesos: 1 Ser oyente de las 3 cadenas. 2 Ser oyente de R1 pero no de R2 ni de R3. 3 Oir, al menos, una emisora. 4 No oir la radio. 5 Sólo oir R1 y R2. 6 Oir sólo una emisora 7 No ser oyente de las tres cadenas. 8 Sólo oir dos cadenas. Sol: 1:A B C 2:A B ´C´=A (B C) 3: A B C 4:A ´B ´C´ 5:A B C´ 6: (A B´ C´) (A ´B ´C´) (A ´B ´C) 7:A B C (A B C) 8: (A B) (A C) (B C) (A B C)
EJERCICIOS DE PROBABILIDAD CONDICIONADA. MATEMÁTICAS AP 2º BACH. 1
1.- Si el 12% de los habitantes de Tijuana (México) leen el periódico“ El Noticiero”, el 9% leen “El Actual” y el 2% leen ambos
periódicos, calcular:
a) La probabilidad de que una persona que lea “El Actual” lea también “El Noticiero”.
b) La probabilidad de que una persona que lea “El noticiero” lea también “el Actual”
RESP: a) 0,22 b) 0,17.
2.- Un año, en el Colegio, el 60% de los alumnos de 2º bach estudiaron matemáticas, y el 80% de los que estudiaron matemáticas
estudiaron también física. Se eligió al azar a un estudiante de 2ºbach de ese año ¿qué probabilidad hay de que el estudiante elegido
estudiara matemáticas y física?
RESP: 0,48.
3.- Una caja contiene 5 bolas blancas, 7 bolas rojas y 4 bolas negras. Se extrae una bola al azar y se comprueba que no es blanca.
Hallar, en estas condiciones, la probabilidad de que sea negra.
RESP: 4/11.
4.- Para probar la eficacia de dos medicamentos sobre cierta enfermedad, se aplica a 60 enfermos de un hospital el medicamento A y
se comprueba que se han curado 40. El medicamento B se aplica a 45 enfermos del mismo hospital y se comprueba que se han
curado 33.
De los enfermos a los que se ha aplicado uno u otro medicamento se elige uno al azar. Se pide:
a) Probabilidad de que se haya curado.
b) Sabiendo que se ha curado, ¿cuál es la probabilidad de que se le haya aplicado el medicamento A?
c) Sabiendo que se le ha aplicado el medicamento A ¿cuál es la probabilidad de que se haya curado?
SUGERENCIA: Elaborar una tabla de contingencia con los sucesos A, B ,curado (C) no curado (C´)
RESP: a) 73/105 b) 40/73 c) 40/60.
5.- Un determinado lote contiene 15 pilas de marca “Duramén” y 25 pilas de la marca “La Calina”. Se extraen al azar dos pilas, de
forma consecutiva y sin devolver la primera a la bolsa (es decir, sin reemplazamiento). Llamamos A al suceso “la primera pila es de
la marca “Duramén” y B al suceso “la segunda pila es de la marca “Duramén”. Se piden las siguientes probabilidades:
a) P(A) RESP: 3/8
b) P(B/A) RESP: 14/39
c) P(A B) RESP: 7/52
6.- En una caja hay x calcetines blancos y 1 calcetín rojo. Al extraer de la caja dos calcetines al azar, sin reemplazamiento, la
probabilidad de que sean ambos blancos es ½. Calcular el número de calcetines blancos que debe tener la caja.
RESP: 3 calcetines blancos.
7.- Sean A y B dos sucesos tales que P(A) = 0,5; P(B) = 0,6. Hallar P(A U B) sabiendo que A y B son sucesos independientes.
RESP: 0,8.
8.- Sean A y B dos sucesos tales que P(A) = 0,5; P(B) = 0,7; P(A U B) =0,9.
Estudiar si A y B son sucesos independientes.
RESP: No lo son.
9.- Dos sucesos A y B verifican que P(A B) = 0,3; P(A´) = 0,4 y P(B´) = 0,5.
Hallar P(A U B); P(A/B) y P(B/A) ¿son A y B independientes?
RESP: 0,8 0,6 0,5 son independientes.
10.- Un hombre y una mujer de la misma edad se casan a los 20 años. Las probabilidades de que lleguen a los 70 son 0,76 para el
hombre y 0,82 para la mujer. Se quiere saber la probabilidad de que a los 70 años:
a) Ambos estén vivos. RESP: 0,6232
b) No viva ninguno de los dos. RESP: 0,0432
c) Viva solamente la mujer. RESP: 0,1968
d) Viva al menos uno de ellos. RESP: 0,9568
EJERCICIOS DE PROBABILIDAD MATEMÁTICAS AP 2º BACH. 2
1.- La probabilidad de que un hombre viva 10 años más es ¼ , y la probabilidad de que su mujer
viva 10 años más es 1/3. Suponiendo que ambos sucesos son independientes, calcular la
probabilidad de que al menos uno de ellos siga vivo después de los 10 años.
2.- Un problema debe ser resuelto por dos alumnos. La probabilidad de que lo resuelva el 1º es de ½
, la de que lo resuelva el 2º es 1/3. Además, la probabilidad condicionada de que lo resuelva el 2º
sabiendo que lo ha resuelto el primero es 2/3. Se pide:
a) Probabilidad de que lo resuelvan los dos.
b) Demostrar que siempre que lo resuelva el segundo, también lo resolverá el primero.
3.- Se sortea un viaje entre los 120 mejores clientes de un banco. De ellos, 65 son mujeres, 80 son
clientela casada, y 45 son mujeres casadas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?
b) Si del afortunado se sabe que es casado ¿qué probabilidad hay de que sea una mujer?
nota: resolver este ejercicio de dos formas distintas: i) elaborando una tabla de contingencia y ii)
elaborando un diagrama de árbol; calculando en el caso a) la probabilidad del suceso pedido y en el
caso b) aplicando el teorema de Bayes.
4.- El proceso de fabricación de bombillas de bajo consumo se hace en tres máquinas A, B y C. La
máquina A hace un 1% de bombillas defectuosas, la máquina B, un 2% y la C un 3%. La
producción total se reparte de la siguiente forma: A fabrica el 20% del total, B fabrica el 30% y C
fabrica el 50% restante. Piden calcular:
a) La probabilidad de que una bombilla tomada al azar sea defectuosa.
b) La probabilidad de que una bombilla defectuosa la haya fabricado A.
5.- La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas y Lengua es 0,6; la de que apruebe
Lengua es 0,75 y la de que no apruebe Matemáticas es 0,2. Los sucesos “aprobar Matemáticas” y
“aprobar Lengua” ¿son dependientes? Hallar la probabilidad de aprobar Matemáticas si se sabe que
aprobó Lengua.
soluciones.
1.- 0,5
2.a) 1/3
2.b) Se deduce que P(1º/2º) = 1( suceso seguro)
3.a) 1/6
3.b) 45/80
4.a) 0,023
4.b) 0,087
5.a) son independientes
5.b) 0,8
EJERCICIOS DE PROBABILIDAD CONDICIONADA. MATEMÁTICAS AP 2º BACH 3
1.- En una asesoría fiscal se ha contratado a tres personas para hacer declaraciones de la renta. La primera de ellas se encarga de
efectuar el 30% de las declaraciones, la segunda el 45% y la tercera el 25% restante. Se ha comprobado que de las declaraciones
realizadas por la primera persona, el 1% son erróneas; la segunda comete errores en el 3% de los casos y la tercera en el 2% de los
casos.
a) Calcula la probabilidad de que, al elegir al azar una declaración de renta, ésta sea errónea.
b) Al elegir una declaración que resultó correcta ¿cuál es la probabilidad de que la haya realizado la segunda persona?
2.- Consideremos el siguiente juego entre dos personas:
De una bolsa con bolas rojas y negras se sacan dos bolas a la vez. Si son del mismo color se gana el juego, y si no, es el turno de otro
jugador. El juego continúa hasta que uno de los dos jugadores gana o en la bolsa no quedan bolas. Si en la bolsa hay 4 bolas rojas y 2
bolas negras:
a) Halla la probabilidad de que el jugador que empieza gane en la primera partida.
b) El primer jugador no ha ganado. Es el turno del segundo jugador. Halla la probabilidad de que gane en esta tirada.
3.- Para regular el abastecimiento de agua a una ciudad C desde un río R,
se plantean dos posibles esquemas de conducción del agua, según recogen
los esquemas I y II que se muestran al lado,
donde V son válvulas de regulación independientes que tienen una
probabilidad 0,7 de estar abiertas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue agua desde R hasta C según el
esquema I?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el agua no llegue, en el esquema II,
desde R hasta C?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que, sabiendo que el agua no llegó a C en
el esquema II, fuera debido a que la primera válvula estuviera cerrada?
Esquema I
R C
Esquema II
R V V V C
4.- Se lanza un dado dos veces. Sea A el suceso ”obtener 1 en la primera tirada” y sea B el suceso “obtener 2 en la segunda tirada”.
Calcula: P(A), P(B) y P(A B). ¿Son A y B sucesos independientes?
5.- Los sucesos A y B de un experimento aleatorio verifican que A B. Expresa las probabilidades P(A U B), P(A B), y P( B-
A ) en función de P(A) y P(B).
sols:
1a: 0,0215 1b: 0,446 2a:0,466 2b: 0,5
3a: 0,91 3b: 0,657 3c: 0,457
4a:1/6 4b: 1/6 4c: 1/36 4d: sí.
5a: P(B) 5b: P(A) 5c: P(B) P(A) (acudir a la resolución gráfica)
EJERCICIOS DE PROBABILIDAD CONDICIONADA. MATEMÁTICAS AP 2º BACH 4
V
V
1.- Sean A, B y C tres sucesos cualquiera de un espacio de sucesos S. Se pide expresar en función
de los sucesos A, B, C, y de sus contrarios, A´, B´ y C´, los siguientes sucesos:
a Se realizan A y B.
b Se realizan A y B pero no C.
c Se realiza al menos alguno de los tres.
d No se realiza ninguno de los tres.
2.- Sean los sucesos A: “Sacar un rey” y B: “Sacar una figura”. ¿Cuál de las dos aseveraciones siguientes es cierta?
a Siempre que se realiza A se realiza B.
b Siempre que se realiza B se realiza A.
3.- Una clase de 2º de Bach. está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido
Matemáticas como optativa.
a ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie matemáticas?
b ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica y no estudie matemáticas?
4.- Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana 3 automóviles con problemas eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapa, y por la tarde 2 con problemas eléctricos, 3 con problemas mecánicos y 1 con problemas de chapa.
a Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.
b Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.
c Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
d Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.
5.- Un archivador tiene 9 cajones. Una carta tiene probabilidad ½ de estar en el archivador, y si está en el archivador, tiene la misma probabilidad de estar en cualquiera de los nueve cajones.
a ¿Cuál es la probabilidad de que la carta esté en el noveno cajón?
b Abrimos los 8 primeros cajones y la carta no está en ninguno de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que esté en el noveno cajón?
6.- Sea A el suceso ”Un aspirante a una póliza de vida puede pasar examen médico”. Sea B el suceso “Puede pagar las primas” y sea C el suceso “ La
compañía de seguros autoriza la póliza”. Describir que probabilidades expresan los siguientes planteamientos: a P(C/A)
b P(C/B´)
c P(C/A B)
7.- Un hombre y una mujer de la misma edad se casan a los 20 años. Las probabilidades de que alcancen los 70 años son de 0,76 para el hombre y de
0,82 para la mujer. Se pregunta por la probabilidad de los siguientes sucesos: a A: “ Ambos alcanzan los 70 años”
b B: “Ninguno de los dos alcanza los 70 años”.
c C: “ Alcanza los 70 años sólo la mujer.
d D: “Alcanzan los 70 años al menos uno de los dos”
Respuestas:
1.- a A B b A B C´ c A B C d A´ B´ C´.
2.- a cierta. b falsa.
3.- a 0,75 b 0,25. 4.- a R.I. b 30% c 55% d 0,6.
5.- a 0,056 b 0,5.
6.- a probabilidad de que la compañía autoriza la póliza si se pasa el examen médico. b probabilidad de que la compañía autorice la póliza sabiendo que el cliente no puede pagar.
c probabilidad de que la compañía autorice la póliza sabiendo que el aspirante pasa el examen y puede pagar la prima.
7.- a 0,6232. b 0,00432 c 0,1968 d 0,9568.
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II, 2º BACHILLERATO.
“PROBABILIDAD EN UNAS PREGUNTAS TIPO TEST”
1.- Lanzamos un dado al aire y sumamos los puntos de las caras
visibles (en un dado de parchís la suma de los puntos de caras opuestas es 7).
Indica la validez (V)o invalidez (F) de cada una de las siguientes afirmaciones: a El espacio muestral está formado por seis elementos.
b El suceso “la suma es múltiplo de 5” está formado por dos sucesos
elementales. c El suceso “la suma es un número primo” contiene cuatro sucesos
elementales.
2.- ¿Con quién coincide el suceso contrario del contrario de un suceso
A?
a Con el espacio muestral. b Con el suceso imposible.
c Con el suceso A.
3.- ¿Cuál es la intersección de los sucesos A B y A B?
a El suceso A.
b El suceso B. c El suceso imposible.
d El espacio muestral.
4.- Completa los siguientes desarrollos de dados. (como antes, la suma
de caras opuestas debe valer 7)
7.- Se lanza un dado dos veces ¿Cuál es la probabilidad de que en
la segunda tirada resulte un número mayor que en la primera?
a 5/6. b 15/36.
c ½.
d ¾.
8.- Se lanzan dos dados y se suman los resultados obtenidos. Tal y
como se desarrolla el experimento, podemos preguntarnos por una probabilidad condicionada como la que sigue: Si la suma es un número
primo ¿cuál es la probabilidad de que en uno de los dados se haya obtenido
un 5? a 15/36.
b 4/36.
c 1/5. d 4/15.
9.- ¿cuántos sucesos elementales posee el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado y una moneda?
a 12.
b 8. c 2.
d 36.
a 5 b
3 1
4
5.- ¿Cuál es la afirmación errónea? a La frecuencia absoluta de un suceso es el número de veces que
aparece cuando repetimos un experimento aleatorio.
b La frecuencia relativa de un suceso es igual a la frecuencia absoluta
dividida por el número total de veces que repetimos un experimento aleatorio.
c La probabilidad de un suceso en experimento aleatorio depende del
número de veces que realicemos ese experimento aleatorio.
d Cuando repetimos un experimento aleatorio muchas veces, la
frecuencia relativa de un suceso A tiende a aproximarse a un valor fijo que se
define como probabilidad del suceso A.
6.- Si una urna contiene 100 bolas numeradas así: 00, 01, 02, 03,.....99
y se saca una bola al azar ¿cuál es la probabilidad de que los dos dígitos que
aparecen en la bola sean impares? a 50/100 = ½ .
b 25/100 = ¼ .
c 33/100 = 0.33.
10.- De una baraja española (40 cartas) se extraen dos naipes
consecutivamente sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de obtener caballo y rey?
a ¼.
b 4/40 · 4/39 = 2/195
c 4/40 · 3/39 = 1/130
d 4/10· 4/10 = 4/25.
11.- Siguiendo con las cartas de una baraja española; si ahora de una
baraja se sacan tres cartas a la vez...
a La probabilidad de sacar tres reyes vale 4,05 ·10 4 . b La probabilidad de que sólo una sea un rey es de 0,255.
c Las dos respuestas anteriores son ciertas.
d ninguna de las respuestas anteriores es cierta.
12.- Al considerar el experimento aleatorio consistente en lanzar tres veces
una moneda, la probabilidad de sacar tres caras es: a Mayor que la probabilidad de sacar tres cruces.
b Menor que la probabilidad de no sacar alguna cara.
c Igual que la probabilidad de sacar al menos una cara. d Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
13.- La probabilidad de un suceso también puede expresarse en
porcentaje. Cuando en una clase se elige un alumno al azar y se obtiene
17.- Considera dos sucesos A y B asociados a un experimento
aleatorio del que se conoce que P(A)=0,7; P(B)=0,6 y P(A´ B´)=0,58.
P(alumno) = 0,6; P(alumna)= 0,4, significa:
a Que el 60% son chicos y el 40% son chicas.
b Que el número de chicos en la clase sale multiplicando por 0,6 el número total de alumnos, y el de chicas, multiplicando por 0,4.
c Que hay 100 alumnos en esa clase entre chicos y chicas.
14.- En una ciudad en la que existe doble número de hombres que de
mujeres hay una epidemia. El 6% de los hombres y el 11% de las mujeres
están enfermos. Si se elige una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?
a 1/3.
b 2/3. c 3/5.
15.- En la ciudad del enunciado nº 14, ¿qué probabilidad hay de que al elegir una persona ésta sea una persona enferma?
a 23/300.
b 0,17. c 11/100.
16.- Y la última pregunta en relación al enunciado del ejercicio nº 14; ¿qué probabilidad hay de que la persona elegida haya sido un hombre, sabiendo
que se ha elegido a un enfermo?
a 66/100.
b 1,83.
c 52/100.
¿Cómo son los sucesos A y B?
a Dependientes.
b Incompatibles. c Independientes.
18.- Sean A y M dos sucesos de un espacio muestral E, tales que M
A (el suceso M está contenido dentro del suceso A). Sabiendo esto
¿cuánto vale la probabilidad P(M´/A´)? a 1
b 0
c No podemos saberlo sin conocer más datos.
19.- Dos niños escriben en un papel una vocal cada uno ¿cuál es la
probabilidad de que sea la misma? a 2/5
b 1/25
c 1/5
20.- Un dado se ha trucado de modo que la probabilidad de sacar número
par es el doble que de sacar número impar. Se lanza el dado. ¿que probabilidad hay de sacar un número impar?
a 1/6.
b 2/3.
c 1/3.
21.- Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color. A continuación se extrae una segunda
bola. ¿qué probabilidad hay de que las dos bolas extraídas sean del mismo
color? a 0,582
b 0,418
c 0,527
EJERCICIOS DE COMBINATORIA. MATEMÁTICAS AP 2º BACH. 5
1.- Dos chicos y dos chicas entran en una cafetería. Si por la puerta sólo cabe una persona ¿de
cuántas formas pueden entrar?
2.- Si los cuatro elementos del ejercicio anterior se sientan en una mesa circular de la cafetería ¿de
cuántas formas pueden disponerse en torno a la mesa’
3.- Sabiendo que la puerta de la cafetería sólo permite el paso de una persona ¿cuál es la
probabilidad de que cuando los cuatro jóvenes abandonen el local salga una chica detrás de otra?
4.- ¿De cuántas formas pueden ordenarse 10 libros en una estantería sabiendo que 4 son de
matemáticas, 3 son de Lengua y 3 son de Filosofía? Calcula la respuesta en los siguientes casos.
a Los libros son distintos.
b Los libros son iguales.
c Los libros son distintos pero están colocados juntos por materias.
d Los libros son idénticos pero están colocados juntos por materias.
5.- ¿Cuántos números de seis cifras distintas pueden formarse con los dígitos del conjunto {0, 1, 2,
3, 4, 5, 6}? ¿Cuántos empiezan por un número par? ¿Cuántos terminan en 2?
6.- Un restaurante tiene 4 clases de aperitivo, 5 de pescados y 6 de postre. ¿Cuántos menús
distintos se pueden preparar tomando un aperitivo, un pescado y dos postres?
7.- Tenemos 10 niños en una plaza de la que salen cuatro calles. ¿De cuántas formas podrán salir los
niños de la plaza?
8.- En una reunión hay cinco niños y seis niñas. ¿De cuántas formas podemos escoger 2 niños y 3
niñas para jugar a cierto juego?
9.- Un cliente compra en una tienda 6 productos distintos: 3 de alimentación y 3 de limpieza. ¿De
cuántas maneras pueden aparecer los 6 productos en el ticket de compra? ¿y si el cliente pasa
primero por caja los 3 productos de alimentación y después los 3 de limpieza?
10.- En una bolsa hay cuatro bolas blancas y tres bolas negras. Calcula la probabilidad de que al
sacar simultáneamente tres sean del mismo color.
RESPUESTAS.
1.- 24.
2.- 6.
3.- 4/24.
4.- a) 3.628.000 b) 4200. c) 864. d) 6.
5.-a) 4320. b) 2160. c) 720.
6.- 300 menús.
7.- 715 formas.
8.- 200.
9.- a) 720. b) 36.
10.- 1/7.
1.- P4=4!
2.- Pc4=3!
3.- Probabilidad=(P2·P2)/P4
4.- a)P10 b) PR(10;4, 3, 3) c)P4·P3·P3
5.- a) V7,6 V6,5 ó 6·V6,5 b)3·V6,5 c) V7,6 V6,5
ó V6,5
6.- 4·5·C6,2
7.- CR10, 4 = (13sobre4)
8.- C5,2 · C6,3
9.- a) P6 b)P3·P3
10.- (V4,3 + V3,3)/V7,3
EJERCICIOS DE FUNCIONES de DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD. MATEMÁTICAS AP. 2º BACH. 6
1.- Si el 60% de los alumnos de una clase aprueba una determinada asignatura ¿cuántos alumnos se espera que aprueben en una clase de 40? ¿cómo se
llama el parámetro obtenido?
2.- Indica las condiciones que deben cumplirse en una distribución para que siga el modelo de la binomial.
3.- Si una distribución binomial tiene por parámetros n =50 y p =0,6 ¿cuánto vale la desviación típica?
4.- Tenemos dos distribuciones binomiales; B(20; 0,6) y B(100; 0,23). ¿Cuál tiene mayor media? calcúlala. ¿Cuál tiene mayor desviación típica?
calcúlala.
5.- En una manzana de casas hay 10 aparcamientos. En cada aparcamiento puede encontrarse o no un automóvil con independencia de o que ocurra en
los otros. Si la probabilidad de que un aparcamiento esté ocupado es de 0,4:
a Identificar y describir este modelo de probabilidad. b Calcular la probabilidad de que en cierto día se encuentren 8 automóviles aparcados.
6.- Una encuesta revela que el 20% de la población juega al cupón de la ONCE y el resto no juega. Elegidas 6 personas al azar, se desea saber : a La probabilidad de que las 6 personas no jueguen al cupón de la ONCE.
b La probabilidad de que las seis personas jueguen al cupón de la ONCE.
7.- Si el 20% de los cerrojos producidos por una máquina son defectuosos, determinar la probabilidad de que de 4 cerrojos elegidos al azar:
a 1 sea defectuoso.
b Como máximo haya dos defectuosos.
8.- En un concurso de ajedrez, los jugadores Leoneses González y Rodríguez disputan la final. Gana el que antes gane 5 partidas. González gana la
primera partida, pero Rodríguez es igual de bueno que él. ¿Qué probabilidad tiene González de ganar el torneo, sin contar las partidas que acaben en
tablas?
9.- Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.
10.- Un examen tipo test de matemáticas está compuesto por nueve preguntas, con cuatro posibles respuestas cada una, de las cuales sólo una es
correcta. Supóngase que uno de los estudiantes que realiza la prueba responde totalmente al azar. a ¿Cuál es la probabilidad de que responda correctamente a 6 preguntas?
b ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna?
11.- Exponer cuál es la fórmula de la probabilidad de que al lanzar 3 monedas sin truco se obtengan x caras.
En particular, y habiéndose lanzado tres monedas sin truco, se quiere conocer:
a La probabilidad de obtener 1 cara. b La probabilidad de obtener 3 caras.
c Sabemos que se han obtenido un número impar de caras ¿Cuál es la probabilidad de que se haya obtenido una sola cara?
12.- Un laboratorio afirma que un compuesto contra la jaqueca produce efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para
contrastar esta información, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que le aplica el compuesto. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes
sucesos? a Ningún paciente siente efectos secundarios.
b Al menos dos sienten efectos secundarios.
c ¿Cuál es el número medio de pacientes que espera el laboratorio que sientan efectos secundarios si se eligen 100 pacientes al azar?
RESPUESTAS.
1.- 24. 3.- 3,46. 4.- En ambos casos, la segunda.. = 23, =4,208. 5.- B(10; 0,4); 0,0106.
6.- 0,262144; 0,000064. 7.- 0,4096; 0,9728 . 8.-P(X 4) en B(8, ½)=0,636718. 9.- 0,3125.
10.- 0,00865; 0,07508. 11.- Buscar fórmula. 0,375; 0,125; 0,75. 12.- 0,85873; 0,00848; 3.
EJERCICIOS DE FUNCIONES de DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD. MATEMÁTICAS AP. 2º BACH. 7 1.- Hallar la media, la varianza y representar la función de probabilidad y la función de distribución de la siguiente función de probabilidad:
x 2 3 5 6 8
p 0,2 0,1 0,4 0,2 0,1
Calcular las siguientes probabilidades: P(x 5); P(x 3); P(3 x 6).
2.- Un dado ha sido trucado con el fin de alterar las probabilidades de obtener las diferentes caras. Así, si x representa la puntuación alcanzada en una
tirada, se tiene: P(x=1) =1/6 – 2k P(x=2) = 1/6 – k P(x=3) = P(x=4) = 1/6
P(x=5) = 1/6 + k P(x=6) = 1/6 + 2k
Determinar k para que la esperanza matemática E(x) valga 4.
3.- Se ha pasado una prueba sobre fluidez verbal a un numeroso grupo de niños de una comarca socialmente deprimida, y se ha detectado que el 35% tiene una fluidez verbal prácticamente nula; el resto se puede considerar aceptable. De una muestra aleatoria formada por siete niños, hallar:
a) La media y la desviación típica.
b) La función de probabilidad. c) La probabilidad de que en el grupo haya al menos dos niños con fluidez verbal nula.
4.- Una determinada raza de perros tiene 4 cachorros en cada camada. Si la probabilidad de que un cachorro sea macho es de 0,55, se pide: a) Calcular la probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembras.
b) Calcular la probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras.
5.- Una familia tiene 10 hijos. La distribución por sexos es igualmente probable. Hallar la probabilidad de que haya:
a) Como mucho tres niñas.
b) Al menos una niña. c) Al menos 8 niños.
d) al menos una niña y un niño.
6.- En un determinado juego se gana cuando al lanzar los dados se obtiene suma de puntos 10 ò más. Un jugador tira en 12 ocasiones los dos dados.
Se pide: a) Probabilidad de que gane exactamente en tres ocasiones.
b) Probabilidad de que pierda las 12 veces que juega.
7.- Utilizando la tabla N(0, 1) calcular:
a) El área encerrada entre 0 y 0,25. b) El área encerrada entre - hasta 1,32. c) El área entre – 2,23 y 1,15. d) El área encerrada entre – 1 y 0.
8.- En una distribución N(0, 1), calcular:
a) P(z 1,32) b) P(z 1,32) c) P(z - 1,32) d) P(z - 1,32) e) P(-1,32 z 1,32)
f) P(z 2,17) g) P(z - 1,39) h) P(-2,27 z - 1,39) P(z=0,567) P(z -3)
9.- Calcula el valor de a sabiendo que
a) P(z a) = 0,9989 b) P(z a) = 0,5359 c) P(z a) = 0,9912 d) P(z a) = 0,9999
e) P(z a) = 0,8665 f) P(z a) = 0,9115 g) P(z a) = 0,2810 h) P(z a) = 0,4761
10.- Tipifica variable para obtener:
a) P(x 134) en N(126, 11) b) P(x 54) en N(60, 7) c)P(175 x 190) en N(184, 25)
d) Calcula b para que P(x b) = 0,8925 en N(15, 2). e) Calcula para que P(x 13) = 0,7019 en N( ,3)
f) Calcula para que P(x 10) = 0,6772 en N(8, ) f) Calcula y para que P(12 x 16) = 0,9808 – 0,7389
en N( , ).
EJERCICIOS DE APLICACIÓN: BINOMIAL, NORMAL, TIPIFICACIÓN, APROXIMACIÓN B(n, p)N(np; npq ). hoja 8
1.- En una distribución binomial B(10; 0,4), hallar P(x=0); P(x=3); P(x=5); P(x=10) y el valor de los parámetros y .
( = 4; =1,55)
2.- En la distribución N(0, 1), hallar P(z 0,84); P(z 1,5); P(z < 2); P(z < 1,87)
(0,7996; 0,9332; 0,9772; 0,9693)
3.- Deduce a partir de la tabla N(0, 1) el valor de k en cada caso: P(z k)=0,7019; P(z < k)= 0,8997; P(z k)= 0,5040.
(0,53; 1,28; 0,01)
4.- En una distribución N(173; 6) hallar: P(x 173); P(x 180,5); P(174 x 180,5); P(161 x 180,5); P(161 x 170).
(0,5; 0,1056; 0,3269; 0,8716; 0,2857)
5.- Calcula las probabilidades de las siguientes distribuciones binomiales mediante aproximación a la distribución normal correspondiente (en todas
ellas, ten en cuenta el ajuste –en 0,5 que hay que hacer al pasar de una variable discreta a una continua).
a) x es B(100; 0,1). Calcula P(x = 0); P(x < 2); P(5 < x < 15) (0,135; 0,0023, 0,8664)
b) x es B(1.000; 0,02). Calcula P(x > 30); P(x < 80). (0,0089; 1)
c) x es B(50; 0,9). Calcula P( x> 45) y P(x 30). (0,4052; 0)
6.- Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una con cuatro respuestas, de las cuales sólo una es correcta. Si un alumno contesta al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste bien 4 preguntas? (0,146)
b) ¿Y la de que conteste bien más de 2 preguntas? (0,474)
c) Calcula la probabilidad de que conteste mal a todas las preguntas. (0,056)
7.- Una urna contiene tres bolas rojas y 7 verdes. Se saca una al azar, se anota su clor y se devuelve a la urna. Si esta experiencia se repite cinco veces,
calcula la probabilidad de obtener: a) Tres bolas rojas. b) Menos de tres bolas rojas. c) Más de tres rojas. d) Alguna roja.
(0,1323; 0,8369; 0,038; 0,8319)
8.- En un examen tipo test, la media fue 28 puntos y la desviación típica 10 puntos. Calcula la puntuación tipificada de los alumnos que obtuvieron: a) 38 puntos. b)14 puntos. c) 45 puntos. d) 10 puntos.
(1; - 1,4; 1,7; - 1,8)
9.- Si en el mismo examen del problema anterior la puntuación tipificada de un alumno fue 0,8 ¿cuántos puntos obtuvo? ¿cuántos puntos corresponden a un valor tipificado de – 0,2?
(36; 26)
10.- Las puntuaciones tipificadas de dos estudiantes fueron 0,8 y – 0,4 y sus notas reales fueron 88 y 64 puntos. ¿Cuál es la media y la desviación típica de las puntuaciones del examen?
( =72; = 20)
11.- La talla media de los 200 alumnos de un centro escolar es de 165 cm y la desviación típica, 10 cm. Si las tallas se distribuyen normalmente, calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar mida más de180 cm. ¿Cuántos alumnos puede esperarse que midan más de 180 cm?
(0,0668; aprox. 13 alumnos)
12.- Los pesos de 2000 soldados presentan una distribución normal de media 65 kg y desviación típica 8 kg. Calcula la probabilidad de que un soldado elegido al azar pese:
a) Más de 61 kg. b) Entre 63 y 69 kg. c)Menos de 70 kg. d) Más de 75 kg.
(0,6915; 0,2902; 0,7357; 0,1056)
13.- Si lanzamos un dado mil veces ¿Cuál es la probabilidad de que el número de cincos obtenido sea menor que 100?
(0)
14.- Una moneda se lanza 400 veces. Calcula la probabilidad de que el número de caras: a) Sea mayor que 200. b) Esté entre 180 y 220.
(0,4801; 0,9727)
15.- En un bombo de lotería tenemos 10 bolas idénticas numeradas de 0 a 9, y cada vez que hacemos la extracción de una bola la devolvemos al
bombo. a) Si sacamos tres bolas, calcula la probabilidad de que el 0 salga una sola vez.
b) Si hacemos 100 extracciones, calcula la probabilidad de que el 0 salga más de 12 veces.
(0,243; 0,2033)
16.- El número de visitantes que diariamente acuden a una exposición se distribuye según una distribución normal N(2000, 250): a) Halla la
probabilidad de que un día determinado el número de visitantes no supere los 2100.
b) Calcula la probabilidad de que un día cualquiera los visitantes sean más de 1500. c) En un mes de treinta días ¿en cuántos cabe esperar que el número de visitantes supere los 2210?
(0,6554; 0,9772; en 6 días)
17.- En las últimas elecciones se abstuvo el 25% del censo electoral. a) Si se seleccionan 3 individuos al azar, calcula la probabilidad de que ninguno de ellos haya votado. b) Si se toman al azar 100 personas del censo ¿cuál es la probabilidad de que se hayan abstenido al menos 30? (0,0156; 0,1492)
EJERCICIOS: DISTRIBUCIONES, MUESTRAS Y TEST DE HIPÓTESIS. MAT APL. A LAS CC.SS. 2º BACH. 9
1.- Una población está formada por sólo cinco elementos, con valores 3, 5, 7, 9 y 11. Consideramos todas las muestras de tamaño 2 con
reemplazamiento que se pueden extraer de esta población. Se pide calcular: a La media de esta población.
b La desviación típica de esta población.
c La media de la distribución de medias muestrales. d La desviación típica de la distribución muestral de medias, es decir, el error típico de las medias.
RESP: a 7; b 2,8284; c 7; d 2.
2.-Las estaturas medias de 1.200 estudiantes de un centro de enseñanza superior se distribuyen normalmente con media de 1,72 y desviación típica de
0,9 m. Si se toman 100 muestras de 36 estudiantes cada una, se pide:
a La media y la desviación típica en la distribución muestral de medias.
b ¿En cuántas muestras cabría esperar una media entre 1,68 y 1,73 m?
c ¿En cuántas muestras es de esperar que la media sea menor que 1,69 m?
RESP: a =1,72 m; =0,15 m. b (100·0,1343); 13 aprox. c (100·0,4207) 42 aprox.
3.- Los tornillos fabricados por cierta máquina de precisión, que se distribuyen normalmente, tienen un peso medio de 142,32 gramos y una
desviación típica de 8,5 gramos. a Halla la probabilidad de que una muestra elegida al azar de 25 tornillos, tomada entre ellos, tenga un peso medio superior a 144,6 gramos.
b Realiza el mismo cálculo si la muestra que se toma es de 100 tornillos.
RESP: a 0,0901. b 0,0037.
4.- Una máquina ha fabricado 800 piezas de precisión con un peso medio de 150 gramos y una desviación típica de 20 gramos. Calcular la
probabilidad de que una muestra de 80 piezas elegidas entre las fabricadas tenga un peso total de más de 12.400 gramos.
RESP: 12,9 13 piezas.
5.- Demostrar que el intervalo de confianza para la media poblacional en función de la media de una muestra extraída de la población, de tamaño n,
para un nivel de confianza dado es (n
zxn
zx cc ,)
6.- Para estimar la proporción de estudiantes de una universidad que está a favor de la reinserción social del delincuente, se entrevistó aleatoriamente
a 500 estudiantes. El 58% estaba a favor. Calcula el intervalo de confianza, al nivel de confianza del 95%, en el cual se hallará la población universitaria que se encuentra a favor.
RESP: (0,5408; 0,6192)
7.- Se desea hacer una estimación sobre la edad media de una determinada población. Calcular el tamaño de la muestra necesario para poder realizar
dicha estimación con un error menor de medio año a un nivel de confianza del 99,73%. Se sabe por estudios previos que la edad media de dicha
población tiene una desviación típica de =3.
RESP: 342 personas.
8.- Deseamos conocer el número de personas mayores de edad que sería necesario incluir en una muestra nacional para estimar la clase de actividad en España con un error absoluto d=0,04 y un nivel de confianza del 99,73%. Se dispone de un valor de la proporción p=0,45 del último censo.
RESP: 1.392 personas.
9.- En cierto barrio se quiere hacer un estudio para conocer mejor el tipo de actividades de ocio que gustan más a sus habitantes. Para ello, van a ser
encuestados 100 individuos elegidos al azar.
a Explicar que método de selección sería más adecuado utilizar: muestreo con o sin reposición ¿por qué? b Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en el barrio viven 2.500 niños, 7.000 adultos y 500 ancianos, posteriormente se decide
elegir la muestra anterior utilizando muestreo estratificado.
b1 Define los estratos. b2 Determina el tamaño muestral de cada estrato.
RESP: a Muestreo sin reemplazamiento. b1 niños, adultos, ancianos. b2 25 niños, 70 adultos, 5 ancianos.
10.- Se sabe que el cociente intelectual (C.I.) de los alumnos de una universidad se distribuye según una ley normal de media 100 y varianza 729.
a Halla la probabilidad de que la muestra de 81 alumnos tenga un C.I. medio inferior a 109.
b Halla la probabilidad de que la muestra de 36 alumnos tenga un C.I. medio superior a 109.
RESP: a 0,9987. b 0,0228.
EJERCICIOS: DISTRIBUCIONES, MUESTRAS Y TEST DE HIPÓTESIS. MAT APL. A LAS CC.SS. 2º BACH. 10
11.- Una muestra aleatoria de 100 alumnos que se presenta a las pruebas de selectividad revela que la media de edad es de 18,1 años. Halla un
intervalo de confianza del 90% para la edad media de todos los estudiantes que se presentan a las pruebas, sabiendo que la desviación típica de la
población es de 0,4.
RESP: (18,034; 18,166)
12.- Se quiere conocer la permanencia media de los pacientes en un hospital. Se tienen datos referidos a la estancia, expresada en días, de 800
pacientes, de donde se han sacado los resultados siguientes:
1,8x días; s=9 días. Se pide obtener un intervalo de confianza del 95% para la estancia media.
RESP: (7,47; 8,73)
13.- En una muestra aleatoria de 1.000 personas, están a favor de que el ministerio de Economía mantenga la presión fiscal el 65%. Halla el intervalo
de confianza del 99%. En una encuesta realizada un año antes había resultado un 68% favorable al mantenimiento de la presión. ¿Cae este valor en el margen de confianza de la nueva encuesta?
RESP: Sí puesto que el intervalo de confianza es ( 0,6113; 0,6887).
14.- Se quiere dotar a un pabellón de deportes de un buen sistema de iluminación. A tal fin se analizan dos muestras de lámparas procedentes de dos
fábricas diferentes. Examinada la primera muestra de 100 lámparas, se tiene una vida media de 1.500 horas, con una desviación típica de 150 horas. La muestra de 130 bombillas procedente de la segunda fábrica ofrece una vida media de 1.380 horas con una desviación típica de 70 horas. Halla los
límites de confianza para la diferencia de medias al 99%. ¿Cuál será la lámpara elegida?
RESP: 78,18< 1 - 2 < 161,82. Como 1 - 2 > 0, 1 es mayor que 2, y por tanto elegimos el primer tipo de lámpara.
15.- Elabora un cuadro que recoja situaciones frente a decisiones, indicando cuando hay decisiones correctas, y cuando se producen errores de tipo I y
de tipo II.
16.- Una encuesta a 64 profesionales de una institución reveló que el tiempo medio de empleo en dicho campo era de 5 años, con una desviación
típica de 4. Considerando un nivel de significación del 0,05, ¿sirven estos datos de soporte de que el tiempo medio de empleo de los profesionales de esta institución está por debajo de los 6 años? Suponemos que la población de profesionales se distribuye normalmente.
RESP: Se rechaza la hipótesis nula (Ho: =6) y aceptamos la hipótesis alternativa (H1: < 6). (contraste unilateral)
17.- El salario medio correspondiente a una muestra de 1.600 personas de cierta población es de 93.500 pesetas. Se sabe que la desviación típica de
los salarios en la población es de 20.000 pesetas. ¿Se puede afirmar, con un nivel de significación de 0,01, que el salario medio en dicha población es
de 95.000 pesetas?
RESP: Se rechaza la hipótesis nula (Ho: =95.000) y aceptamos la hipótesis alternativa (H1: 95.000). (contraste bilateral).
18.- Un experto en temas electorales, basado en los resultados de anteriores comicios, sostiene que, si se celebran elecciones generales en la actualidad, tan sólo acudiría a votar el 48% del electorado. Sin embargo, en un sondeo electoral realizado recientemente con una muestra de 1.500
personas, 800 manifiestan su intención de votar. Plantea la prueba de hipótesis más adecuada, para un nivel de significación del 0,05 y comenta el
resultado.
RESP: Se rechaza la hipótesis nula (Ho: p=0,48) y aceptamos la hipótesis alternativa (H1: p > 0,48). (contraste unilateral)
19.- Estudiando dos muestras de ciudadanos de una determinada Comunidad, A y B, de 80 miembros cada una para conocer la identificación con dicha Comunidad. Sobre una escala de 1 a 10, la primera alcanzó una media de 7,2 con una desviación típica de 3,1, mientras que la segunda alcanzó
una media de 8,1 con una desviación típica de 4,2. Nuestra hipótesis de investigación es que el colectivo B se identifica más con la Comunidad que el
colectivo A. Comprueba la hipótesis para un nivel de significación del 0,01.
RESP: Se acepta la hipótesis nula (Ho: 1= 2) y rechazamos la hipótesis alternativa (H1: 1< 2). (contraste unilateral)
20.- Un test de inteligencia evaluado en EE.UU. se distribuye N ( 102, 15 ). Al transladarlo a la población española, en una muestra de 100 individuos se obtuvo una media de 104 ¿Qué podemos inferir al 95% de confianza?
RESP: Se acepta la hipótesis nula (Ho: =102) y rechazamos la hipótesis alternativa (H1 102). (contraste bilateral).
21.- Un profesor propone a sus alumnos 10 cuestiones para responder verdadero o falso. Para comprobar la hipótesis de que los alumnos contestan al
azar, adopta la siguiente decisión: si al menos 7 respuestas son acertadas, el estudiante no ha contestado al azar. Si hay menos de 7 respuestas
correctas, ha contestado al azar. Halla la probabilidad de rechazar la hipótesis cuando sea correcta.
RESP: La hipótesis nula es H0: P= ½. Aproximando la B(n, P) a la normal, y calculando en esta distribución P(x > 7), se obtiene una probabilidad de rechazar la hipótesis nula
de 0,102.
EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS. 11
1.- Resolver los siguientes sistemas:
a2zy2x
1zy
3zyx3
b5zy2x3
3zy2x2
4z2y3x
c3z2y2x
3zy2x2
4z3y2x5
d16z3yx2
5z2yx
3zy2x3
e8z5y3x3
7z4yx2
3z3y2x
sol*. (x; y; z): a) (2/3; 7/9; 2/9); b) (2; 0; 1); c) (13/5; 3/5; 17/5); d) (1; 2; 4); e) (2; 1; 1)
2.- Resolver los siguientes sistemas:
a3z6y3x
2z2yx2
1zyx3
b5z2yx2
2zy2x
3z3yx
c01y2x
05yx3
03yx
d 29z6y5x
11z5y3x2
2zyx
sol*. (x; y; z): a)(3/5; 4/5; 0); b) (8/3 5z/3; 1/3 + 4z/3; z) c) (?; ?; ?); d) (307/49; 20/7; 69/49)
3.- Resolver los siguientes sistemas según el valor del parámetro a:
a az2y
2zy
0zyx
b
az5y2x
3zy31z3yx2
2z2yx
sol*. :a) sistema compatible determinado para todo valor de a; x= 2; y= 4 a; z= a−2.
b) si a 1, el sistema es incompatible. Si a= 1, sistema compatible determinado, (4/3; 4/3, 1).
4.- Resolver los siguientes sistemas:
a
2tzyx
1tzyx
0tzyx
1tzyx
b
15tz4y2x
10t2zy2x3
9tz3yx2
6tzyx
sol*. (x; y; z; t): a) ( 1; 1; 3/2; ½) b) (1; 2; 3; 0)
5.- Por tres entradas de patio y seis de palco se han pagado 150 €. Estudiar los casos en los que se han pagado también:
a 70 € por dos entradas de patio y dos de palco. sol*.:(20; 15)
b 50 € por una entrada de patio y dos de palco. sol*:(no se puede precisar el precio de cada entrada)
c 110 € por dos entradas de patio y dos de palco. sol*:(el sistema sí tiene solución, pero el problema no)
6.- Se dispone de un recipiente de 24 litros de capacidad y de tres medidas A, B y C. Se sabe que el volumen A es el doble del
de B, que las tres medidas llenan el depósito y que las dos primeras lo llenan hasta la mitad. ¿Qué capacidad tiene cada medida?
sol*:(A = 8 L; B =4 L; C = 12 L)
7.- Hallar un número de tres cifras, sabiendo que suman 9, que si del número dado se le resta el que resulta de invertir el orden
de sus cifras la diferencia es 198 y que además la cifra de las decenas es media aritmética de las otras dos. sol*.:(el número buscado es
el 432)
8.- Una empresa tiene tres minas con las siguientes composiciones:
Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%)
Mina A 1 2 3
Mina B 2 5 7
Mina C 1 3 1
¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro? sol*.:(200 toneladas
de la mina A; 100 toneladas de la mina B y 300 de la mina C).
12.- Un amigo le dice a otro: ”Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú
tengas la edad que yo tengo ahora, la suma de nuestras edades será 36 años”. ¿Qué edad tiene cada uno? sol*.: (las edades son 12 y 16
años).
13.- El tío Evaristo tiene 10 litros de mezcla de agua y vino. Al probarla observa que es demasiado ligera, por lo que decide
añadir una cierta cantidad de vino, y entonces la cantidad de agua es del 30% del total. Como sigue siendo ligera, añade de nuevo la
misma cantidad de vino que antes, y entonces la cantidad de agua es del 20% del total. ¿Cuántos litros de vino se añade en cada
ocasión y cuántos hay de agua? sol*.: (inicialmente había 6 litros de agua. El vino añadido, 10 litros).
14.- Un individuo invirtió 60.000 € repartidos en tres empresas y obtuvo 4.500 € de beneficios. Calcular la inversión realizada
en cada empresa, sabiendo que en la empresa A hizo el doble de inversión que en la B y la C juntas y que los beneficios de las
empresas fueron del 5% en la empresa A, 10% en la B y 20% en la C.
sol*.: (las inversiones son de 40.000 € en la empresa A, 15.000 € en la B y de 5.000 € en la C)
15.- La suma de las tres cifras de un número es 6, y si se intercambian la primera y la segunda, el número aumenta en 90
unidades. Finalmente, si se intercambian la segunda y la tercera, el número aumenta en 9 unidades. Calcular dicho numero.
sol*.: (el número buscado es 123)
16.- Si un sistema de ecuaciones lineales tiene más incógnitas que ecuaciones ¿es necesariamente compatible?
17.- Si un sistema de ecuaciones tiene más ecuaciones que incógnitas ¿es necesariamente incompatible?
18.- En un sistema de dos ecuaciones lineales los coeficientes y el término independiente de la primera ecuación son
proporcionales a los correspondientes de la segunda. ¿Cómo es el sistema?
19.- Formar un sistema de ecuaciones lineales cuyas soluciones sean x= 1; y = 3 y z = 2.
20.- Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y mijo.
El trigo se vende cada “cahíz” por 4 denarios.
La cebada se vende cada “cahíz” por 2 denarios.
El mijo se vende cada “cahíz” por 0,5 denarios.
Si se venden 100 “ cahíces” y se obtiene por la venta 100 denarios, ¿cuántos cahíces de cada especie se venden? Interpretar la(s)
solución(es).
sol*.: (el sistema es compatible e indeterminado; hay infinitas soluciones.
Son todas de la forma x= x cahíces de trigo; y = (100 7x)/3 cahíces de cebada; z = (200+4x)/3 cahíces de mijo).
21.- La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la
diferencia de las edades actuales de los hijos) la edad del padre era triple que la suma de las edades en aquél tiempo de sus hijos.
Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será 150 años
¿qué edad tenía el padre en el momento de nacer sus hijos?
sol*.: ( el padre tenía 35 años cuando nació el hijo mayor y 40 años al nacer el hijo menor).
EJERCICIOS CON MATRICES. 12
1 Dadas A = (2 1 5) y B =
4
2
3
calcular: i) A·B ii)B·A iii)(B·A)t
2 Dadas las matrices A =
115
003
102
y B =
011
121
101
calcular:
i) A + B; A-B; A·B; B·A; A²; B².
ii) Comprobar que (A·B)t = B
t·A
t
3 Calcular A·B y B·A si fuera posible, siendo A =
43
01
12
B=043
521
4 Calcular A² - 3B – I siendo A =
115
003
102
y B =
011
121
101
(I es la matriz identidad de
orden 3)
5 Calcular por inducción matemática las potencias n-ésimas de A, siendo A=a
a
0
1
6 Calcular por inducción las potencias n-ésimas de A, siendo A =
111
111
111
7 Dada A =
221
131
122
a) Calcular (A –I )²·(A-5I)
b)Obtener At.
8 Obtener los valores de los números x, y z que verifican la ecuación matricial:
0
0
1
·
10
12
11
·
1
2
1
z
yx
9 Encontrar una matriz X que verifique X –B² = A·B, siendo A =
200
131
121
y B =
600
222
101
10 Dada A= aa
aacalcular A²; A³. Aplicar la inducción para obtener A
n.
11 Siendo A y B las matrices A=12
13 y B=
53
24averiguar si son ciertas las
siguientes igualdades:
(A + B)t = A
t + B
t (A·B)
t = B
t·A
t
12 Dada A =
144
112
245
comprobar que A² = 2A – I siendo I la matriz identidad. Luego,
utilizando el resultado anterior, calcular A4 .
13 Encontrar A y B para que la matriz A = ba
11verifique A² = 2·A.
14 Resolver el siguiente sistema expresado en términos de productos y sumas de matrices:
10
4
5
·
6
3
0
·
14
01
11
zy
x
15 Dadas A =112
321, B =
11
22
01
y C =01
11 obtener C +A·B
¿Son iguales las matrices Ct + (A·B)
t y (C + A·B)
t ?
EJERCICIOS DE LÍMITES E INDETERMINACIONES HABITUALES. 13
1.- Calcular el límite de las siguientes funciones.
a f(x) = x² 2x + 1 cuando x1; cuando x 0; cuando x+ .
b f(x) =35²³
23³
xxx
xx cuando x0, cuando x2, cuando x+ ; cuando x-
c f(x) = 1
1
x
x cuando x1; cuando x + d f(x) =
3
9²
x
xcuando x3.
e f(x) = x
x11cuando x0 f f(x) =
x
x
11cuando x0
g f(x) = 23²
4²
xx
xcuando x0; cuando x2 y cuando x+
h f(x) = xx1 cuando x i f(x) = 1
1³
x
x cuando x1
j f(x) = xx
x
2²
2cuando x2
2.- Halla el límite de las siguientes funciones definidas “a trozos” en los puntos que se indican
a f(x) = 0 xparax
0 xpara 2²x
cuando x0 b f(x) = 0 xpara3x -
0 xpara x
cuando x0
c f(x) =2 xpara 1/2-
2 xpara 2
2 xpara 2x
cuando x2
3.- Calcula el límite de las siguientes funciones:
a 7 xpara 49²
32)(
x
xxf b 3 xpara
9²
21)(
x
xxf
c 0 xpara ²11
)(x
xxf d 5 xpara
5
5)(
x
xxf
e xpara 2-x-2)( xxf f xpara 1-x²-1²)( xxf
g xpara 1-x-1)( xxf h xparax -1)( xxf
4.- Calcula, para x , los siguientes límites:
lim f(x); lim g(x); lim[f(x) g(x)]; lim[f(x) · g(x)]; lim[f(x) /g(x)]:
a 1x
34x g(x) y
13
42)(
x
xxf b
1x
1x² g(x) y
1²3
3)(
x
xxf
c 13x²
3-4x² g(x) y
14
22)(
x
xxf d
5x³
9-x² g(x) y
3²2
2³)(
x
xxf
EJERCICIOS DE OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES. 14
1.- Hallar dos números cuya suma valga 16 y su producto sea máximo.
2.- Se quiere construir un depósito cuadrangular abierto, de base cuadrada y capacidad de 4 m³. El material necesario cuesta 50
€/m². ¿Qué dimensiones debe tener para que el coste sea mínimo? Hallar dicho coste.
3.- Requiere construir una caja abierta, con base cuadrada, de modo que la superficie sea 147 cm² ¿Qué dimensiones debe
tener para que el volumen sea máximo?
4.- Hallar los puntos de la parábola y²=x que están más próximos al punto A(2, 0).
5.- Sea un semicírculo de radio R. Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área inscrito en él. Calcular el área de dicho
rectángulo.
6.- Se desea construir un depósito de latón, con forma de cilindro, de área total igual a 54 m². Determinar el radio de la base y
la altura del cilindro para que ese volumen sea máximo.
7.- Con un hilo de 60 cm, formar un rectángulo que al girar alrededor de uno de sus lados genere un cilindro de área lateral
máxima.
8.- Hallar la longitud de los lados del triángulo isósceles de área máxima cuyo perímetro es 60 cm. (Indicación: usar de la
fórmula de Herón).
9.- Un banco lanza al mercado un plan de inversiones cuya rentabilidad R(x), en miles de euros, viene dada en función de la
cantidad que se invierte, x, en miles de euros, por medio de la siguiente expresión: R(x) = - 0,001x² + 0,04x + 3,5
a.- ¿Qué cantidad de dinero se debe invertir para obtener la máxima rentabilidad?
b.- ¿Qué rentabilidad máxima se obtendrá?
10.- El coste total de fabricación de q unidades de cierto artículo es C(q) = 3q² + 5q +75 dólares.
El coste medio por unidad es M(q) = C(q) / q.
a.- ¿Cuántas unidades se deben fabricar para que el coste medio por unidad sea mínimo?
b.- Calcular C(q) y M(q) para el valor de q obtenido anteriormente.
11.- La función 9²
60)(
x
xxf indica los beneficios obtenidos por una empresa desde que comenzó a funcionar (f(x) en
miles de euros, x en años; x=0 indica el momento de constitución de la empresa).
a.- Hacer una representación gráfica aproximada de la función teniendo en cuenta el dominio válido en el contexto del
problema.
b.- ¿Al cabo de cuánto tiempo obtiene la empresa el beneficio máximo? ¿cuál es ese beneficio?
c.-. ¿Perderá dinero la empresa en algún momento? ¿Es posible que llegue un momento en que no obtenga ni beneficio ni
pérdidas?
12.- La suma de los catetos de un triángulo rectángulo mide 12 cm. Hallar las longitudes de los catetos para que el área del
cuadrado construido sobre la hipotenusa sea mínima.
13.- Calcular el valor de as constantes a y b para que la función f(x) = a x³ + bx² - 5 tenga un máximo relativo en el punto P (3,
4).
14.- Calcular dos números x e y tales que su producto sea máximo, sabiendo que suman 60.
15.- De todos los triángulos isósceles de perímetro 60 cm, hallar el de área máxima.
