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CAMPO GRAVITATORIOCAMPO GRAVITATORIO
Física 2º BachilleratoFísica 2º Bachillerato
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LA CONCEPCIÓN PITAGÓRICA DEL UNIVERSO Y EL MODELO ARISTOTÉLICO
LA CONCEPCIÓN PITAGÓRICA DEL UNIVERSO Y EL MODELO ARISTOTÉLICO
La escuela pitagórica explicó la estructura del universo en términos matemáticos
El gran fuego central, origen de todo, se relacionaba con el Uno, origen de los números
A su alrededor girarían la Tierra, la Luna, el Sol y los planetas
El periodo de revolución de la Tierra en torno al fuego central era de 24 horas, a quien le ofrecía siempre su cara oculta
Los periodos de la Luna y el Sol eran un mes y un año respectivamente
El universo concluiría en una esfera celeste de estrellas fijas, y más allá se encontraba el Olimpo
El número de cuerpos que formaban el universo era de 10 (obsesión por los números)
Como solo observaban nueve, suponían que el décimo estaba situado entre la Tierra y el gran fuego, al que llamaron Antitierra
Pitágoras nació en Samos hacia el año 569 a.C.
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El universo estaba constituido por dos regiones esféricas, separadas y concéntricas
La Tierra que ocupaba el centro del universo, era la región de los elementos, fuego, aire, agua y tierra
Más allá de la esfera lunar se encontraba la región etérea de los cielos, cuyo único elemento era la incorruptible quinta esencia
Los movimientos de todos los astros situados en esferas concéntricas con la Tierra eran perfectos
El universo concluía con la esfera de las estrellas fijas
EL MODELO DE ARISTÓTELESEL MODELO DE ARISTÓTELES
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EL GEOCENTRISMO DE PTOLOMEOEL GEOCENTRISMO DE PTOLOMEO
Vivió en Alejandría en el siglo II y fue el más célebre astrónomo de la antigüedad
Las causas más importantes de los modelos geocéntricos frente a los heliocéntricos fueron:
La falta de cálculos y predicciones cuantitativas sobre las trayectorias de los planetas
Si la Tierra no fuese el centro del universo, a lo largo de su recorrido habría estrellas que tendrían que verse bajo distintos ángulos. Este fenómeno se denomina paralaje de las estrellas fijas
Ptolomeo justificó su modelo calculando los movimientos planetarios y prediciendo eclipses de Sol y de Luna Paralaje anual de las estrellas fijas
Estrella lejana
SolTierra
’
5
Tierra
Las estrellas se describen como puntos en la esfera celeste que giran en torno a la Tierra y mantienen las distancias fijas entre ellos, lo que justifica que pertenezca a una única esfera hueca
Ec Ex
t
Ptolomeo introdujo la excentricidad de las trayectorias, es decir, un desplazamiento del centro de la órbita (Ex) respecto al centro de la Tierra
La velocidad angular de las trayectorias debía se constante respecto de un punto fuera del centro de la trayectoria, punto que denominó ecuante (Ec)
Estos ajustes explican las diferencias de brillo y tamaño que se observan en el Sol y la Luna, y los cambios de velocidad del Sol a lo largo de su trayectoria
El Sol y la Luna presentan un movimiento diferente
Luna
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Ptolomeo observó que los planetas realizaban movimientos retrógrados, volviendo sobre su trayectoria formando lazos en la esfera celeste
Para justificarlo utilizó un movimiento compuesto por dos rotaciones
El planeta giraba alrededor de un punto que era el que en realidad rotaba con respecto a la Tierra
La órbita alrededor de la Tierra se denomina eclíptica y la del planeta epiciclo
Un modelo sencillo de epiciclos no daba respuesta a las caprichosas órbitas de algunos planetas, por lo que hubo que introducir varios epiciclos, e incluso epiciclos dentro de otros epiciclos
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COPÉRNICO. COPÉRNICO.
Desde la Tierra se apreciaba que planetas como Mercurio y Venus, que están más cercanos al Sol, tenían un brillo variable a lo largo del año, lo que parecía indicar que las distancias con respecto a la Tierra variaban y por tanto no podían girar alrededor de esta; se llegó a la conclusión que todos los planetas tenían que girar alrededor del Sol
Este planteamiento le permitió justificar el movimiento retrógrado de los planetas para el que Ptolomeo había introducido los epiciclos
A
AA
C
C
C
D
D
D
G
G
GH
H
H
B
B
B
I
II
F
F
F
E EE
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GALILEOGALILEO
Galileo consiguió observar las fases de Venus con la ayuda de un telescopio, convirtiéndose así en el primer defensor a ultranza del sistema copernicano
Encontró infinidad de estrellas nunca vistas hasta entonces y llegó a descubrir la deformidad de la Luna y su superficie rugosa
En 1610 Galileo descubrió los satélites de Júpiter, confirmando así que la Tierra no era el centro del universo
En 1632 publicó en Florencia su obra Diálogo sobre los dos grandes sistemas del mundo
Un año después fue procesado por la Inquisición
Galileo nació en Pisa en 1564
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LAS LEYES DE KEPLER. LAS LEYES DE KEPLER.
Sol
Foco Eje menor
Tras cuatro años de observaciones sobre Marte, llegó a la conclusión de que los datos colocaban las órbitas ocho minutos de arco fuera del esquema circular de Copérnico
Comprobó que este hecho se repetía para todos los planetas
Descubrió que la elipse era la curva que podía definir el movimiento planetario
La posición del extremo del semieje mayor más alejada del Sol se llama afelio
Primera ley: Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, estando situado este, en uno de sus focos
Afelio
b
a
Eje mayor
La posición más cercana, es el perihelio
Perihelio
10
Kepler observó que la velocidad de los planetas dependía de su posición en la órbita
El módulo del producto vectorial de 2 vectores es el área del paralelogramo que forman.
dtvxrdA
2
1Para un triángulo:
1 de enero
r enero1
Sol
AA
r julio1
30 de enero
30 de julio
1 de julio
siendo dA/dt la velocidad areolarctem
Lvxr
dt
dA
2
1
2
1
Segunda ley: El radiovector dirigido desde el Sol a los planetas, barre áreas iguales en tiempos iguales
Como en el sistema solo actuan fuerzas centrales, entonces y por tanto .
A partir de aquí se deduce que la velocidad areolar también es constante ya que es:
0M
cteL
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Sirvió como base de la ley de Newton de la gravitación universal, y permitió calcular la masa de los planetas
Cada planeta, parecía tener su órbita propia y su velocidad independiente del resto. Buscó la regla y encontró la solución en las medidas de Tycho Brahe
Esta ley muestra la relación entre los tamaños de las órbitas y el tiempo empleado por los planetas en recorrerlas
Tercera ley: El cuadrado de los periodos de revolución de los planetas alrededor del Sol (T) es proporcional a los cubos de los semiejes mayores, o radios medios, de sus órbitas (r), T
2 = Kr 3 siendo K una constante igual
para todos los planetas
Como el sistema solar es un sistema de fuerzas centrales, = 0, por tanto se conserva el momento angular = cte
M
L
La conservación de la dirección y el sentido obliga a que los planetas siempre giren en el mismo sentido y en órbitas planas
La conservación del módulo justifica la ley de las áreas
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CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR EN EL CAMPO GRAVITATORIO
CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR EN EL CAMPO GRAVITATORIO
m
Un campo de fuerzas es central cuando, en cualquier punto de él, la fuerza ejercida sobre un cuerpo está en la misma recta que une el cuerpo con el origen del campo y su valor solo depende de la distancia entre ambos:
La fuerza es de la forma: u)r(fF r
ur
F rk
2 Si el campo es gravitatorio:
La conservación del momento angular implica que se conserven módulo, dirección y sentido
m’v
r
F
ctemxcte vrLL
0dtLd
M
r Si el campo es central, los vectores y tienen la
misma dirección y su momento de fuerzas es nulo:F
0
FrM x
13Sol
Tierra
Por conservar el módulo:
Por conservar la dirección:
Si el vector se conserva en dirección, sentido y móduloctemx vrL
L
Por conservar el sentido
Representa el área del paralelogramo formado por los dos vectores que constituyen el producto vectorial
S r
Srxr
2
r
Como , la velocidad areolar también cteL
r
v
El momento angular será perpendicular al plano que forman los vectores y , por tanto la trayectoria de la partícula debe estar en un plano
Si conserva el sentido, la partícula siempre recorrerá la órbita en el mismo sentido, y por tanto las trayectorias de los cuerpos en el seno de campos de fuerzas centrales serán curvas planas
L
S
tm2L
trmr
x
2º LEY DE KEPLER
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NEWTON Y LA GRAVITACIÓN UNIVERSALNEWTON Y LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
mh
Rr
La atracción de la esfera actúa como si toda su masa estuviese concentrada en el centro
Si M es la masa de la Tierra y R su radio, la fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m situado a una altura h sobre su superficie responde a la ley de Newton:
)hR(
MmG
r
MmGF
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A partir de esta ley, Newton pudo explicar fenómenos tales como:
- Las protuberancias de la Tierra y de Júpiter a causa de su rotación
- El origen de las mareas
- Las trayectorias de los planetas
- La variación de la gravedad con la altura
- El cambio en el eje de rotación de la Tierra, etc
La fuerza gravitatoria con que se atraen dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que les separa
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H. Cavendish verificó experimentalmente el valor de la constante G, y a partir de su valor, se puede deducir la tercera ley de Kepler de la gravitación universal de Newton
En el sistema formado por un planeta en su giro en torno al Sol, la única fuerza que mantiene a los planetas en su órbita es la fuerza centrípeta
rv
mr
MmGFF
2
2cN Despejando v resulta:
Que es la velocidad de un planeta o satélite girando en una órbita de radio r alrededor de un cuerpo de masa M
Como v es aproximadamente constante:
Igualando (1) y (2):
r
MGv (1)
T
r2
t
sv
(2)
Este resultado permite calcular la masa de cualquier planeta conocido el período y el radio de uno se sus satélites
r
MG
T
r2 T
r4r
MG
2
22)Keplerdeleyª3(r
GM4
T3
22
Si M es la masa del Sol, el valor de la constante coincidirá con el valor que calculó Kepler
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Deducción de la ley de Newton a partir de las leyes de KeplerDeducción de la ley de Newton a partir de las leyes de Kepler
Se supone que las órbitas descritas por los planetas en torno al Sol son circulares, sin que ello suponga cometer un gran error puesto que en realidad son prácticamente así
Su aceleración centrípeta: a = 2 R
Sol
Tierra
RF
RT
4a
2
2
Por la 3ª ley de Kepler (T2 = kR3):R
cteR
Rk
4a
23
2
La fuerza F ejercida sobre un planeta de masa m es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
R
mcteamF
2
R
mMGF
2 Dicha constante incluye la masa del Sol es decir: cte = GM
Ley de la gravitación universal
La ley de gravitación universal indica que la fuerza de interacción entre dos partículas materiales es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia
Velocidad angular del planeta:T
2
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EL CAMPO GRAVITATORIOEL CAMPO GRAVITATORIO
La ecuación de Newton proporciona la expresión de la fuerza entre dos masas:
g
x
y
z
r
Para explicar la acción que una masa ejerce sobre otra situada a cierta distancia, se introduce el concepto de campo de fuerzas
La masa m hace que las propiedades del espacio que la rodea cambien, independientemente que en su proximidad se sitúe otra masa m’
m
m’
rrsiendormm
G ruur
F
)(221
rm
Gm
ur
Fg
22
1
cuyo módulo es:rfuentem
Gg 2
)( y se expresa en N/kg o también
m/s2 en el S.I.
La fuerza gravitatoria sobre otra masa inmersa en el campo es: gmF
La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza por unidad de masa situada en dicho punto
g
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Cuando se trata de cuerpos extensos, se supone la masa concentrada en el centro de masas, y además se considera para las distancias que r = RT + h
)hR(MGg
T2
T
El módulo del campo gravitatorio creado es:
En las proximidades de la superficie, donde h es despreciable frente al RT puede considerarse:
s/m8,9R
MGg 20 2
T
T
La fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m colocado a una altura h sobre la superficie terrestre será:
gm)hR(
mMGFT
2T
r = RT+h
P
A
h
RT
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Los campos de fuerzas se representan mediante líneas de campo
En el campo gravitatorio, las líneas de campo como es un campo atractivo se dirigen hacia las fuentes del campo
Características de las líneas de campo
Módulo: se indica mediante la densidad de líneas de campo. Si se dibujan más líneas de campo se trata de un campo más intenso
Dirección del campo en un punto es la tangente a la línea en dicho punto
El sentido viene indicado por la flecha, y es el que seguiría la unidad de masa colocada en dicha línea por efecto de las fuerzas del campo
m M
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Principio de superposiciónPrincipio de superposición
r1
r2
r3
g1
g2
g 3
g 3
g 1
g T
La intensidad del campo en un punto P, creado por un conjunto de masas puntuales, se obtiene calculando la intensidad de campo creada por cada una de las partículas y sumando los resultados parciales
m1
m2
m3
Pg...ggg n21T
u.rmG i
i2
in
1i
siendo r
rui
ii
También se puede aplicar al cálculo de la fuerza ejercida sobre cierta masa por la acción de un conjunto discreto de ellas
gmF TT
n
1iFi
Si un cuerpo está sometido a la acción de varias fuerzas gravitatorias, el efecto total resultante es la suma de los efectos individuales de cada fuerza
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m
CAMPOS DE FUERZAS CONSERVATIVOS CAMPOS DE FUERZAS CONSERVATIVOS
Sea una partícula de masa m situada en el seno de un campo de fuerzas
rd
r F
r
r
A
B
rdFdW
Para desplazamientos infinitesimales:
El camino total desde un punto A a otro B es la suma de todos los rd
Si en cada se realiza un trabajo dW, el trabajo total será la suma de todos los realizados en cada intervalo infinitesimal:
rd
rdFW B
A
Campos de fuerzas conservativos son aquellos en los que el trabajo depende solo de los puntos inicial y final, y no del camino seguido
Por cada desplazamiento que realice la partícula, la fuerza del campo realiza un trabajo:
rFW
r
22
C1
C2A
B
En un campo de fuerzas conservativo, el resultado de la integral del trabajo realizado para ir desde A hasta B puede expresarse como una nueva función, Ep que depende solo de los puntos inicial y final
)B(E)A(ErdFW ppB
ABA
Si el campo de fuerzas es conservativo,
BC2ABC1A WW
Si se invierte el segundo camino,
AWW C2BBC2A AWW
C2BBC1A
0WW AC2BBC1A
Cuando un cuerpo se desplaza por una trayectoria cerrada en un campo de fuerzas conservativo, el trabajo total realizado por las fuerzas del campo es nulo
0d rCF
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EL CAMPO GRAVITATORIO ES UN CAMPO CONSERVATIVO
m
m’A
B
Las fuerzas gravitatorias creadas por una partícula m que actúan sobre la partícula m’, son radiales y con sentido hacia m
Cualquier camino de A hasta B se descompone en suma de arcos circulares centrados en m y de desplazamientos radiales
El trabajo por el arco circular es nulo, por ser la fuerza perpendicular al desplazamiento
El trabajo por el camino radial, es igual para todos los caminos que se elijan entre A y B
Se define circulación de una magnitud vectorial a lo largo de una línea L a la integral definida entre los límites de dicha línea
v
LdvC B
A
Si el campo es conservativo, la circulación a lo largo de una línea cerrada es nula
0rdF0C C
Para el campo de fuerzas gravitatorio: 0rdFm1
rdg CC
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ENERGÍA POTENCIALENERGÍA POTENCIAL
Teorema de la energía potencial: En un campo conservativo el trabajo realizado por las fuerzas del campo es igual a la variación de la energía potencial cambiada de signo
EW)B(E)A(EW pppBA
Una característica de los campos conservativos es que puede definirse una magnitud denominada energía potencial
Los cambios producidos en la energía potencial, indican el trabajo realizado por las fuerzas del campo
Este trabajo no depende del camino recorrido sino de las posiciones inicial (A) y final (B) en las que se encuentra el cuerpo
rFEp
Conocido el valor de la fuerza:
rdFEd p
Considerando incrementos diferenciales:
rdFEp
Integrando:
Si se integra la fuerza del campo entre dos puntos A y B del campo gravitatorio, se obtiene la diferencia de potencial
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EP r
Para calcular su valor, basta con resolver:
rrr
E dmmGd p
221
rdFEd p
La Energía potencial gravitatoria es cero cuando r tiende a infinito, y por tanto C = 0
r'mm
GEp r'mm
GEp Cr
'mmGErd
r
'mmGE p2p
El trabajo realizado es máximo cuando los desplazamientos ( ) están en la misma dirección que , y así el producto escalar se reduce al producto de los módulos:
r
rd
rd
r
hR
mM
T
TGEp
.
La energía potencial de una masa a una cierta altura sobre la superficie de la Tierra es:
Cuando se trata de energías potenciales en realidad siempre se está calculando su diferencia entre dos puntos, tomando como referencia (valor cero) uno de ellos
En el caso del campo gravitatorio terrestre y para distancias cercanas a su superficie se puede tomar como referencia la propia superficie de la Tierra. De ahí sale la expresión Ep=m.g.h
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Por ser el campo gravitatorio conservativo, se puede definir una magnitud que depende únicamente del cuerpo m1 que crea el campo y no del m2 que se coloca como testigo
Dicha magnitud se denomina potencial U y se obtiene así:
rm
GUrdgdU
POTENCIAL GRAVITATORIO
)()()(T
TTpp R
mMG
T
mMGBEAE
hR
)()()(
hRh T
hGmMBEAE Tpp
)()()(
hRR TT
hGmMBEAE Tpp
)(
2
0)()(hRR TT
hRmgBEAE T
pp
Si estamos cerca de de la superficie de la Tierra o sobre ella h es mucho menor que RT y por tanto despreciable frente a ella:
hgmBEAE pp 0)()(
No se puede resolver un problema usando dos sistemas de referencia diferentes, así que mgh solo se emplea si todos los puntos del problema están muy cerca de la superficie de la Tierra y no hay ninguno en el espacio exterior.
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Ep rRT
Se obtiene de la misma forma que en el caso de la energía potencial
)hR(MG)P(UT
T
Para un punto P situado a una altura h de la superficie:
En la superficie, el potencial gravitatorio U0 será:
RMG)P(U
T
T
R
MGU
T
T0
Teniendo en cuenta los valores de G, MT y RT resulta:
U0 = g0 R = 6,2 . 107 J/kg
La diferencia de potencial entre dos puntos A y B cuyas distancias al origen son rA y rB respectivamente es:
rm
Grm
G)B(U)A(UBA
Potencial es energía potencial por unidad de masa introducida en el campo
Potencial es energía potencial por unidad de masa introducida en el campo
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Forma de las trayectoriasForma de las trayectorias
Sol
Dado que dentro de de un campo de fuerzas gravitatorio la energía potencial de un cuerpo siempre es negativa, y su energía cinética siempre positiva, la ET de ambas podrá ser negativa, nula o positiva
Si es la mitad de la Ep rmM
G21ET
Atendiendo al signo de dicha energía, la trayectoria descrita por el cuerpo, será una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola
CIRCUNFERENCIA
Si es mayor que la anterior pero menor que cero
0ErmM
G21
T ELIPSE
PARÁBOLA
HIPÉRBOLA
Si ET = 0 Ec = Ep
Si ET 0 Ec Ep
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SATÉLITES ARTIFICIALES: ENERGÍA TOTAL Y ENERGÍA DE SATELIZACIÓNSATÉLITES ARTIFICIALES: ENERGÍA TOTAL Y ENERGÍA DE SATELIZACIÓN
Cálculo de la velocidad del satélite en la órbita
Cálculo de las energías cinética y potencial
Cálculo de la energía total del satélite en órbita
Cálculo de la energía de satelización por el Principio de conservación de la energía
rMGv
rvm
rmMGFF T2
2
2T
c
rmMG
2
1vm
2
1E T2
c
rmMGE T
p
r2mMG
rmMG
r2mMGE TTT
r2mMGE T
c
r2mMGE T
E0 = Ef Ec,0 + Ep,0 = Ec,f + Ep,f
r2mMG
RmMGE T
T
T,c 0
r21
R1
mMGET
T,c 0
FF CG
FG
30
A partir del valor de la Ec de satelización, la v0 de lanzamiento necesaria para ponerlo en órbita circular desde la superficie terrestre, es:
r21
R1
mMGvm2
1E
TT
2,c 00
r21
R1
MG2vT
T0
Velocidad de lanzamiento de un satélite
Velocidad de escape de un satélite
Para que el satélite escape de la atracción terrestre,
supondremos que se marcha al infinito, (r es infinito), y
la energía de escape será:
RmM
GET
Te
La velocidad de escape será:
R
MG2v
T
T0
R
MGg
2T
T0
Rg2v T00
