力学2・解析力学

東京理科大学理学部物理学科

平成26年度版

目 次

第 I部 力学 2 2

第 0章 質点の運動，質点系の運動の復習 1

0.1 質点の運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.1.1 Newtonの運動法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.1.2 Newton運動方程式に従う運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.1.3 運動量保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

0.1.4 角運動量保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

0.1.5 エネルギー保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.2 質点系の運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.2.1 質点系の運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.2.2 質点系の運動量保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.2.3 質点系の重心の運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.2.4 質点系の角運動量保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.2.5 重心のまわりの角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

0.3 質点系のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.3.1 質点系の運動エネルギーと仕事 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.3.2 内力がポテンシャルによって与えられる場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

0.3.3 質点系のポテンシャルの例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

0.3.4 重心運動と相対運動への分離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

0.4 ビリアル定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

第 1章 Lagrange方程式 14

1.1 質点系の力学の基本法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.1 質点の運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.2 質点系の運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 拘束条件がある場合の運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 仮想仕事の原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Lagrange方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.1 一般化座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.2 Lagrange方程式の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.3 Lagrange方程式の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5 時間に依存する拘束条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6 加速度系での運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6.1 原点が加速度運動する場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6.2 回転座標系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

第 2章 剛体の運動 39

2.1 剛体の運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.1 剛体の自由度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

i

2.1.2 剛体のつり合い . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2 固定軸を持つ剛体の運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.1 固定軸を持つ剛体の運動エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.2 固定軸を持つ剛体の Lagrange方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.3 エネルギー保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3 剛体の角運動量と慣性モーメント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.1 剛体の角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.2 剛体の慣性モーメント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.3 剛体に働く外力の行う仕事 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4 剛体の平面運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4.1 剛体の平面運動の Lagrange方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4.2 エネルギー保存則と仕事 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.3 拘束条件がある場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.5 剛体の三次元的な運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

第 II部 解析力学 62

第 3章 Hamiltonの変分原理 63

3.1 変分原理による力学法則の定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.1 質点の一次元運動の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.2 一般的な場合への拡張 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1.3 周期運動の場合の変分原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2 仮想仕事の原理から Hamiltonの変分原理を導くこと . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3 変分原理に関する補足 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3.1 Euler-Lagrange方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3.2 汎関数微分について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3.3 物理学における変分原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

第 4章 Hamiltonの正準形式 70

4.1 正準運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2 位相空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3 Poisson括弧式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

第 5章 正準変換 84

5.1 座標変換と正準変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2 母関数による正準変換の方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.2.1 Hamiltonianによる変分原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.2.2 母関数による正準変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.2.3 正準変換の形式と母関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.3 正準変換の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.3.1 正準変換の必要十分条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.3.2 正準変換不変量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.4 無限小変換と保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.4.1 無限小変換の生成子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.4.2 ネーターの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

ii

第 6章 微小振動 102

6.1 １次元の微小振動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.2 多自由度系の微小振動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.2.1 微小振動の Lagrange方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.2.2 基準振動と基準座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.2.3 Hamiltonianによる記述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.3 連続体の振動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

iii

はじめに

「力学 2」では「力学１」に引き続き，ニュートン力学におけるより高度な問題を扱う．前半では Lagrange

形式について学ぶ．Newton運動方程式から出発して，座標系の取り方によらない形の方程式（Lagrange方

程式）を導き，質点系の運動や拘束条件付きの運動の問題に対する Lagrange方程式を用いた解法を学ぶ．後

半では，「力学１」では触れられなかった剛体，連続体の力学について学ぶ．

「解析力学」では Hamiltonの変分原理により力学を定式化し直す．次に，力学変数として運動量と座標

（正準変数）を用いたHamiltonの正準形式について学ぶ．この講義では，上に述べた解析力学の基本的な考え

方について紹介し，そこに出てくる諸概念,たとえば作用積分，Hamiltonian, 正準変数，位相空間，Poisson

括弧式,などについて説明する．さらに，量子力学,統計力学を学ぶ上で必要となる基本的知識を身につける

ことを目的とする．

第I部

力学2

第0章 質点の運動，質点系の運動の復習

0.1 質点の運動

ある物体の運動を記述する場合，その大きさが無視できるようなとき，その物体を質点と呼ぶ．質点の運

動をデカルト座標（直交座標）を用いて r(t) = (x(t), y(t), z(t))で表す．ベクトル rを位置ベクトルと呼ぶ．

位置ベクトル rの時間 tについての導関数を速度，二階導関数を加速度という．

v =dr

dt= r, a =

d2r

dt2= r (1)

0.1.1 Newtonの運動法則

質点の運動は，以下の Newtonの運動法則に従う．

• 慣性の法則：力が働いていない場合，物体は等速直線運動をする．

• 運動法則：加速度は力に比例する．

md2r

dt2= F (2)

(2)式は Newtonの運動方程式と呼ばれる．

• 作用・反作用の法則：物体 1が物体 2に及ぼす力（F21）は，物体 2が物体 1に及ぼす力（F12）と大

きさが同じで逆向きである．

F12 = −F21 (3)

0.1.2 Newton運動方程式に従う運動

上でも述べたように，Newton力学の出発点は Newtonの運動方程式

md2r

dt2= F (4)

である．力 Fが具体的に座標 rと時間 tの関数として与えられていれば，運動方程式を指定された初期条件

のもとで解くことにより，様々な運動を実際に求めることができる．「力学 1」で学んだように，以下に挙げ

る力については運動方程式を解析的に解くことが出来る．

• 自由落下：mz = −mg

• 速度に比例する抵抗下での落下：mz = −mg − kz

• ばの運動：mx = −kx

• 振子の運動：mθ = −mgl sin θ

• ケプラー運動：mr = −GMmr2

rr

1

上に挙げた運動方程式を適当な初期条件のもとで解く方法については，各自の自習に任せる．

ポテンシャル U が存在する場合，力は

F = −∇U (5)

で与えられる．ここで

∇ = x∂

∂x+ y

∂

∂y+ z

∂

∂z(6)

である．このように，ポテンシャルによって与えられる力を保存力と呼ぶ．このときのNewton運動方程式は

md2r

dt2= −∇U (7)

となる．

0.1.3 運動量保存則

質点の運動量 pは

p = mv = mr (8)

で定義される．質点の運動方程式を運動量 pを用いて表すと

dp

dt= F (9)

と書ける．特に，質点に力が働いていない場合（F = 0）

dp

dt= 0 (10)

となり運動量は時間によらない定数となる．これを運動量保存則と呼ぶ．

0.1.4 角運動量保存則

質点の角運動量は

l = r× p = mr× r (11)

で定義される．角運動量の時間変化を考えよう．(11)式の時間微分

dl

dt=

d

dt(mr× r) = m(r× r+ r× r) = mr× r (12)

に Newton運動方程式を用いるとdl

dt= r× F (13)

を得る．右辺の r×Fは力のモーメント，又はトルクと呼ばれる．特に力が中心力で F = F (r)rという形に

与えられる場合は r× F = 0なのでdl

dt= 0 (14)

であり角運動量は時間によらない定数となる．これを角運動量保存則と呼ぶ．力が球対称なポテンシャルU(r)

によって与えられる場合，力は

F = −∇U = −dUdr

r (15)

と中心力になるので角運動量が保存する．

2

0.1.5 エネルギー保存則

力が保存力の場合を考える．質点の力学的エネルギーは

E =m

2v2 + V (r) =

m

2r2 + U(r) (16)

で与えられる．第一項は運動エネルギー，第二項はポテンシャルエネルギーである．エネルギーの時間変化

を考えるとdE

dt=

d

dt

[m2r2 + V (r)

]= mr · r+ r · ∇U = r · (mr+∇U) (17)

となる．Newton運動方程式よりmr+∇U = 0であるから

dE

dt= 0 (18)

となり，エネルギーは時間によらない定数となる．これをエネルギー保存則と呼ぶ．

0.2 質点系の運動

0.2.1 質点系の運動方程式

質点が多数集まって運動している場合を考える．質点の集まりを「質点系」と呼ぶ．一般にN 個の質点か

らなる系の運動を記述するためには 3N 個の変数が必要となる．

(r1(t), · · · , rN (t)) = (x1(t), y1(t), z1(t), x2(t), y2(t), z2(t), · · · , xN (t), yN (t), zN (t)) (19)

質点系の Newton運動方程式は

mid2ridt2

= Fi (20)

と書ける．

一般に，質点系に作用する力は質点系の外から作用する力（外力）と質点系の中の質点間に働く力（内力）

がある．i番目の質点に働く外力を Fexi ，k番目の質点から i番目の質点に働く内力を Fik と書くことにする．

このとき i番目の質点に働く力 Fi は

Fi = Fexi +

∑k =i

Fik (21)

と書ける．i番目の質点の運動方程式は

mid2ridt2

= Fexi +

∑k =i

Fik (22)

となる．ここで二項目の和から k = iが除かれているのは，質点がそれ自身に力を及ぼすことがないからで

ある．そこで全ての iに対して Fii = 0と定義すれば運動方程式は

mid2ridt2

= Fexi +

N∑k=1

Fik (23)

と書くことができる．

3

0.2.2 質点系の運動量保存則

i番目の質点の運動量を pi = miriと書く．質点系の運動量（全運動量）は，系の中にある質点の運動量の

和として

P =∑i

pi =∑i

miri (24)

で定義される．質点系の運動量の時間変化を考えると

dP

dt=∑i

miri =∑i

Fi =∑i

Fexi +

N∑i=1

N∑k=1

Fik (25)

となる．ここで，最後の項は和の変数を入れ替えることができるので

N∑i=1

N∑k=1

Fik =N∑

k=1

N∑i=1

Fki (26)

である．よってN∑i=1

N∑k=1

Fki =1

2

N∑i=1

N∑k=1

(Fik + Fki) (27)

と書くことができる．ここで運動の第三法則（作用・反作用の法則）より Fik = −Fkiであるので (27)式は

恒等的に 0になる．よって (25)式はdP

dt=∑i

Fexi (28)

となる．これは質点系の全運動量の時間変化は外力のみに依存し，内力にはよらないことを表している．特

に，質点系に外力が働かない場合（系が孤立している場合）には Fexi = 0だから

dP

dt= 0 (29)

となり系の全運動量は時間によらず一定になる．これを運動量保存則と呼ぶ．

0.2.3 質点系の重心の運動

質点系の重心（または質量中心）は

rG =

∑Ni=1miriM

, M =N∑i=1

mi (30)

で定義される．この定義は一座標の原点のとり方にはよらない．例えば，原点を定ベクトル r0だけずらした

座標系で定義される位置ベクトルを r′i とすると

ri = r0 + r′i (31)

であるから

rG =

∑Ni=1mi(r0 + r′i)

M= r0 +

∑Ni=1mir

′i

M= r0 + r′G (32)

となる．また，重心 rG を原点とする座標系をとって

ri = rG + r′′i (33)

とすればN∑i=1

mir′′i =

N∑i=1

mi(ri − rG) =MrG −MrG = 0 (34)

4

であるから，当然のことながら r′′G = 0である．

重心の位置ベクトル rG に対する運動方程式を考えると

M rG =N∑i=1

miri =N∑i=1

Fi (35)

となる．前節での議論により最後の項からは内力の寄与が消えて

M rG =

N∑i=1

Fexi (36)

となる．質点系に作用する外力の和を

Ftotal =N∑i=1

Fexi (37)

と表すと (36)式は

M rG = Ftotal (38)

と書ける．これは形式的には外力 Ftotal のもとで運動する質量M の質点の運動方程式と同じ形をしている．

孤立系，つまり外力が無い場合を考えると

M rG = 0 (39)

となり自由な質点の運動と一致する．つまり，孤立系の重心は等速直線運動を行う．これを重心の運動保存

の法則と呼ぶ．

一般に質点系に外力が働いている場合，外力の和∑N

i=1 Fexi を重心の位置 rGだけで表すことはできないた

め，質点系の重心の運動はいつでも一つの質点の運動と同じ様に振る舞うというわけではない．特別な場合

として，系の各質点に以下のような力が働く場合には，重心の運動が１質点の運動と同じになることが示さ

れる．

(1)Fi = −migz（自由落下） (2)Fi = −miω2ri （調和振動子）

0.2.4 質点系の角運動量保存則

質点系の角運動量は，各質点の角運動量 li = mri × ri の和として

L =N∑i=1

li =N∑i

mi(ri × ri) (40)

で与えられる．質点系の角運動量の時間変化を考えると

dL

dt=

N∑i

dlidt

=

N∑i=1

(ri × Fi) =

N∑i=1

[ri × (Fexi +

N∑k=1

Fik)] (41)

となる．ここで，内力からの寄与は

N∑i=1

N∑k=1

(ri × Fki) =1

2

N∑i=1

N∑k=1

(ri × Fik + rk × Fki) (42)

と書けるが，作用・反作用の法則により Fki = −Fik であるから

N∑i=1

N∑k=1

(ri × Fik) =1

2

N∑i=1

N∑k=1

(ri − rk)× Fik (43)

となる．通常，二つの質点 i, k間に働く力Fikは（例えばクーロン力や万有引力など）相対ベクトル rik ≡ ri−rk

に平行である．このような場合は

Fik × (ri − rk) = 0 (44)

5

であるから (41)における内力の寄与は消えて

d

dtL =

N∑i=1

(ri × Fexi ) = N (45)

となる．ここでN =∑N

i=1(ri × Fexi )は系に働く外力のモーメントの和である．

孤立系で外力が働かない場合は外力のモーメントも 0であるから

d

dtL = 0 ⇒ L = constant (46)

となり Lは一定である．孤立系でなくてもN = 0であればやはり角運動量は保存する．これを質点系の角

運動量保存則という．

0.2.5 重心のまわりの角運動量

質点系の運動を議論するとき，その運動を重心の運動とこれに相対的な運動とに分けて考えると便利な事

が多い．質点の座標 ri を重心座標 rG とこれに対する相対座標 r′i を用いて表す．

ri = rG + r′i (47)

質点系の角運動量を重心運動と重心まわりの運動に分けて表すと

L =N∑i=1

mi(rG+ r′i)× (rG+ r′i) =MrG× rG+N∑i=1

(mir′i× r′i)+

(N∑i=1

mir′i

)× rG+ rG×

(N∑i=1

miri

)(48)

ここでN∑i

mir′i =

N∑i

mi(ri − rG) =M(rG − rG) = 0 (49)

であるから，(48)式の 3，4項目は消える．よって

L =MrG × rG +N∑i=1

(mir′i × r′i) = LG + L′ (50)

となる．ここで

LG =MrG × rG (51)

は重心の角運動量であり，

L′ =N∑i=1

(mir′i × r′i) (52)

は重心のまわりの角運動量である．

重心の角運動量 LG に対する運動方程式は

dLG

dt=

d

dt(MrG × rG) =M rG × rG +MrG × rG =MrG × rG (53)

ここで重心の運動方程式 (38)よりdLG

dt= rG × Ftotal (54)

となる．また，重心のまわりの角運動量 L′ に対する運動方程式を導くために (45)式を用いると

dL

dt=dLG

dt+dL′

dt= rG × Ftotal +

dL′

dt=

N∑i=1

[(rG + r′i)× Fexi ] (55)

6

ここで右辺の第一項は rG ×∑N

i=1 Fexi = rG × Ftotal であるから左辺の同じ項と打ち消しあい

dL′

dt=

N∑i=1

(r′i × Fexi ) = N′ (56)

を得る．ここで

N′ =

N∑i=1

(r′i × Fexi ) (57)

は外力の重心のまわりのモーメントである．

0.3 質点系のエネルギー

0.3.1 質点系の運動エネルギーと仕事

質点系の運動エネルギーは各質点の持つ運動エネルギーの和で与えられる．

T =N∑i=1

1

2mir

2i (58)

質点系の運動エネルギーの時間変化は運動方程式より

dT

dt=

d

dt

N∑i=1

1

2mir

2i =

N∑i=1

miriri =N∑i=1

ri · Fi (59)

時刻 t1 から t2 の間に質点系の運動エネルギーが T1 = T (t = t1)から T2 = T (t = t2)へ変化したとする．こ

の運動エネルギーの変化は (59)式の両辺を時間で積分することによって与えられる．

T2 − T1 =

∫ t2

t1

N∑i=1

Fi ·dridtdt =

∫ (2)

(1)

N∑i=1

Fi · dri (60)

ここで (1), (2)はそれぞれ時刻 t1, t2 における質点系の配置を表す．

(1) = (r1(t1), r2(t1), · · · , rN (t1)), (2) = (r1(t2), r2(t2), · · · , rN (t2)) (61)

上式は，質点系の運動エネルギーの変化が各質点に働く力が行う仕事の和に等しいことを示している．前節

までで学んだように，質点系に働く力には内力と外力がある．

T2 − T1 =

∫ (2)

(1)

N∑i=1

Fexi · dri +

∫ (2)

(1)

N∑i=1

N∑k=1

Fik · dri (62)

運動量の変化や角運動量の変化を考えた場合，内力の効果が消えることをすでに学んだ．しかし運動エネル

ギーの変化を考えた場合，一般には内力の効果，つまり (62)式の第二項は 0にはならない．

特別な場合として，二つの質点間の距離が変わらないように束縛されている場合（例えば質点が固い棒で

つながれている場合），質点間に作用する内力は仕事をしない．例えば質点 1，２に内力 F12,F21 が行う仕

事は

dW12 = F12 · dr1 + F21 · r2 (63)

である．ここで作用・反作用の法則 F12 = −F21 より

dW12 = F12 · (dr1 − dr2) = F12 · dr12 (64)

ただし，r12 = r1 − r2, dr12 = dr1 − dr2 とした．ここで二点間の距離が一定であれば

(r12 + dr12)2 ≃ r212 + 2r12 · dr12 = r212 (65)

7

つまり

r12 · dr12 = 0 (66)

で dr12 は必ず r12 に垂直な向きになる．角運動量保存則の議論の際にも仮定したように，内力が

F12||r12 (67)

であると仮定すれば，F12 · r12 でああるから内力 F12,F21 が行う仕事は 0となる．

0.3.2 内力がポテンシャルによって与えられる場合

特に，内力がポテンシャルによって与えられる場合（保存力の場合）を考える．

Fik = −∇riUik(ri, rk), Fki = −∇rkUki(rk, ri) (68)

ここで，

∇ri = x∂

∂xi+ y

∂

∂yi+ z

∂

∂zi(69)

である．ここで，ポテンシャルが二質点間の相対ベクトル rik = ri − rk だけの関数であると仮定しよう．

Uik = Uik(ri − rk) = Uik(rik), Uki = Uki(rk − ri) = Uki(rki) (70)

ただし rik = ri − rk である．このとき，例えば内力の x成分は

Fikx = − ∂

∂xiUik(xik, yik, zik) = −∂Uik

∂xik

∂xik∂xi

= −∂Uik

∂xik(71)

Fkix = − ∂

∂xkUki(xki, yki, zki) = −∂Uki

∂xik

∂xik∂xk

=∂Uki

∂xik(72)

となる．ただし，xik = xi − xk, yik = yi − yk, zik = zi − zk である．y, z 成分に付いても同様で，まとめて

ベクトルの形で表すと

Fik = −∇rikUik, Fki = ∇rikUki (73)

となる．ここで，作用・反作用の法則 Fik = −Fki であることを要請すると

∇rikUik = ∇rikUki (74)

となる．したがって，定数を除いて

Uik = Uki (75)

内力を与えるポテンシャル Uik はしばしば，二体ポテンシャルと呼ばれる．多くの二体ポテンシャル Uik は

二質点間の距離 |ri − rk| = rik のみに依存し，相対的なベクトル rik の方向にはよらない．このようなポテ

ンシャルを球対称ポテンシャルと呼ぶ．球対称ポテンシャルの場合，内力 Fik は

Fik = −∇rikUik(rik) = −∂Uik

∂rik

(∂rik∂xik

xik +∂rik∂yik

yik +∂rik∂zik

zik

)= −∂Uik

∂rikrik (76)

となり相対ベクトル rik の向きと平行になる．

質点系の内力ポテンシャル（又は相互作用ポテンシャル）を

U int(r1, r2, · · · , rN ) =∑i<k

Uik(rik) (77)

とおく．右辺の i < kは U12 はとって U21 はとらないことを意味する．つまり，質点の対（ペア）に対して

総和をとるという意味であり，∑

(i,k) と記すこともある．この相互作用ポテンシャルを用いると，質点 iに

働く内力の総和は ∑k

Fik = −∇riUint (78)

8

と書ける．

質点系がある配置 (1)から他の配置 (2)に移るまでに内力が行う仕事は

W int(1 → 2) =

∫ (2)

(1)

∑i

∑k

Fik · dri = −∫ (2)

(1)

∑i

∇riUint · dri = −

∫ (2)

(1)

dU int = U int1 − U int

2 (79)

となる．ポテンシャル U intが質点の配置 (r1, r2, · · · , rN )によって一意に決まる一価関数ならば，仕事W int

の値は途中の経路によらない．このときW int を状態 2を基準とした状態 1の内部ポテンシャルエネルギー

と呼ぶ．特に U int = 0の状態をポテンシャルの基準とすれば，U intそのものが内部ポテンシャルエネルギー

となる．

外力もポテンシャルによって与えられる場合を考える．

Fexi = −∇riU

exi (ri) (80)

このとき，質点系の外部ポテンシャルを

U ex(r1, r2, · · · , rN ) =N∑i=1

U exi (ri) (81)

で定義すると

Fexi = −∇riU

ex (82)

である．このとき，ある配置 (1)から他の配置 (2)に移るまでに外力が行う仕事は

W ex(1 → 2) =

∫ (2)

(1)

∑i

Fi · dri = −∫ (2)

(1)

∇riUex · dri = −

∫ (2)

(1)

dU ex = U ex1 − U ex

2 (83)

となる．内力の場合と同様，U exが質点系の配置によって一意に決まれば，仕事W exは経路によらない．こ

のときW exを (2)の状態を基準とした (1)の状態の外部ポテンシャルエネルギーと呼ぶ．特に U ex = 0の状

態をポテンシャルの基準とすれば，U ex そのものが外部ポテンシャルエネルギーとなる．

以上をまとめると，内力も外力もポテンシャルによって与えられる場合，運動エネルギーの変化　 (62)式は

T1 − T2 = −(U int1 − U int

2 )− (U ex1 − U ex

2 ) (84)

となる．これを書き換えると

T1 + U int1 + U ex

1 = T2 + U int2 + U ex

2 (85)

となる．質点系のエネルギーを

E = T + U int + U ex (86)

によって定義すると，(85)式が任意の状態変化に対して成り立つことより

E =一定 (87)

が成り立つ．これを質点系のエネルギー保存則と呼ぶ．また，内力のポテンシャルと外力のポテンシャルを

まとめて

U(r1, r2, · · · , rN ) = U int(r1, r2, · · · , rN ) + U ex(r1, r2, · · · , rN ) (88)

と書いて U を単にポテンシャルと呼ぶことにすると，質点系のエネルギー E は

E = T (r1, r2, · · · , rN ) + U(r1, r2, · · · , rN ) = T (ri) + U(ri) (89)

と書ける．

9

0.3.3 質点系のポテンシャルの例

(i)重力場

一様な重力

Fi = −migzi (90)

は一体ポテンシャル

U exi (ri) = migzi (91)

によって与えられる．質点系のポテンシャルは

U =

N∑i=1

migzi (92)

となる．ところで，(92)式は重心座標 rG =∑

imiri/M を使うと

U =

(N∑i=1

mizi

)g =MzGg (93)

と書ける．今の場合では，重力のもとになっている物質（通常は地球を想定する）は考えている質点系の外

にあるので，重力ポテンシャル (92)によって与えられる力は外力である．

(ii)互いにばねで結ばれているとき

質点 iと質点 kを結ぶばねの自然長を rik0，ばね定数をKik とすると，質点 kから iに作用する内力は

Fik = −Kik(|ri − rk| − rik0)rik = −Kik(rik − rik0)rik (94)

である．この力を与える二体ポテンシャルは

Uik =1

2Kik(rik − rik0)

2 (95)

であり，質点系のポテンシャルは

U =1

2

∑i<k

Kik(rik − rik0)2 (96)

となる．

(iii)万有引力

質量mk の質点 kから質量mi の質点 iに働く万有引力は

Fik = −Gmimk

r2ikrik (97)

である．万有引力の二体ポテンシャルは

Uik = −Gmimk

rik(98)

であり，質点系のポテンシャルは

U = −G∑i<k

mimk

rik(99)

となる．

(iv)クーロン力

電荷 qk を持つ質点 kから電荷 qi を持つ質点 iへ働くクーロン力は

Fik =1

4πϵ0

qiqkr2ik

rik (100)

10

である．クーロン力の二体ポテンシャルはとなる．

Uik =1

4πϵ0

qiqkrik

(101)

となる．したがって質点系のポテンシャルは

U =1

4πϵ0

∑i<k

qiqkrik

(102)

である．

(v)レナード・ジョーンズポテンシャル

アルゴンなどの希ガス中の分子間の相互作用を表すモデルポテンシャルとして，レナード・ジョーンズポ

テンシャル

Uik = 4ε

[(σ

rik

)12

−(σ

rik

)6]

(103)

がよく用いられる．質点系のポテンシャルは

U =∑i<k

4ε

[(σ

rik

)12

−(σ

rik

)6]

(104)

となる．このポテンシャルによって与えられる分子間力（粒子 kから粒子 iへ働く力）は

Fik = 24ε

[2

(σ

rik

)12

−(σ

rik

)6]rikr2ik

(105)

である．

0.3.4 重心運動と相対運動への分離

質点系の運動エネルギーを重心の運動とそれに相対的な運動とに分けて考える．

ri = rG + r′i, rG =N∑i=1

miri/M, (M =N∑i=1

mi) (106)

とすると

T =N∑i=1

1

2mi(rG + r′i)

2 =N∑i=1

1

2mi[(rG)

2 + 2rG · r′i + r′2i ] =1

2M r2G + rG ·

N∑i=1

mir′i +

N∑i=1

1

2mir

′2i (107)

ここで右辺第二項目にあらわれる∑

imir′i = d(

∑imir

′i)/dtは

∑imir

′i = 0より常に 0である．よって

T =1

2M r2G +

N∑i=1

1

2mir

′2i (108)

となる．つまり，質点系の運動エネルギーは重心運動のエネルギーと相対運動のエネルギーの和で表される．

0.4 ビリアル定理

以下の量を定義しよう．

G =N∑i=1

pi · ri =N∑i=1

miri · ri (109)

11

Gの時間微分を考える．dG

dt=

N∑i=1

mi(ri · ri + ri · ri) (110)

ここで，右辺第一項に運動方程式miri = Fi を使いて，第二項を運動エネルギー T =∑

imir2i /2を用いて

書くとdG

dt=

N∑i=1

Fi · ri + 2T (111)

となる．ここで両辺を時刻 t = 0から t = T まで積分すると，左辺は∫ T

0

dG

dt= G(T )−G(0) (112)

となる．また，物理量 A(t)の時間平均を

⟨A⟩ = 1

T

∫ T

0

A(t)dt (113)

と定義すると，右辺は ∫ T

0

(N∑i=1

Fi · ri + 2T

)dt = T

(⟨N∑i=1

Fi · ri

⟩+ 2⟨T ⟩

)(114)

となる．よってG(T )−G(0)

T=

⟨N∑i=1

Fi · ri

⟩+ 2⟨T ⟩ (115)

ここで，質点系の運動が周期的である場合，T をその周期に選べば (115)式の左辺は 0となる．また，周期

運動ではない場合でも座標と速度が全ての質点に対して有限の値を持ち，したがってGの値にも上限がある

場合には，T を十分大きくとれば G(T )−G(0)T

∣∣∣T→∞

→ 0となる．いずれの場合でも，長時間平均に対して

⟨T ⟩ = −1

2

⟨N∑i=1

Fi · ri

⟩(116)

が成り立つ．これはビリアル定理と呼ばれる．

もしも力がポテンシャルから導かれるならば Fi = −∇riU であるからビリアル定理は

⟨T ⟩ = 1

2

⟨N∑i=1

∇riU · ri

⟩(117)

内力が無視できて，ポテンシャルが一体ポテンシャルのみである場合は

⟨T ⟩ = 1

2

⟨N∑i=1

∇riUexi · ri

⟩(118)

となる．さらに，外力が中心力であれば

⟨T ⟩ = 1

2

⟨N∑i=1

dU exi

driri

⟩(119)

特に一体ポテンシャルが中心からの距離 ri のべき関数で

U exi = αir

n+1i (120)

であるならばdU ex

i

driri = (n+ 1)αir

n+1i = (n+ 1)U ex

i (121)

12

であるから

⟨T ⟩ = n+ 1

2⟨U⟩ (122)

となる．

ビリアル定理の応用

(i)体積 V の箱の中に閉じ込められた自由粒子からなる理想気体では

⟨T ⟩ = 3

2pV (123)

が成り立つ．ただし pは気体の圧力である．

(ii)調和振動子ポテンシャル

U exi (ri) =

mi

2(ω2

xx2i + ω2

yy2i + ω2

zz2i ) (124)

による外力のもとで運動する自由粒子の系では

⟨T ⟩ = ⟨U⟩ (125)

が成り立つ．

(iii)万有引力にしたがう軌道運動（ケプラー運動）の場合，

⟨T ⟩ = −1

2⟨U⟩ (126)

が成り立つ．

13

第1章 Lagrange方程式

1.1 質点系の力学の基本法則

1.1.1 質点の運動

ある物体の運動を記述する場合，その大きさが無視できるようなとき，その物体を質点と呼ぶ．質点の運

動をデカルト座標（直交座標）を用いて r(t) = (x(t), y(t), z(t))で表す．ベクトル rを位置ベクトルと呼ぶ．

位置ベクトル rの時間 tについての導関数を速度，二階導関数を加速度という．

v =dr

dt= r, a =

d2r

dt2= r (1.1)

Newtonの運動法則

質点の運動は，以下の Newtonの運動法則に従う．

• 慣性の法則：力が働いていない場合，物体は等速直線運動をする．

• 運動法則：加速度は力に比例する．

md2r

dt2= F (1.2)

(1.2)式は Newtonの運動方程式と呼ばれる．

• 作用・反作用の法則：物体 1が物体 2に及ぼす力を F21，物体 2が物体 1に及ぼす力を F12 とすると，

F12 と F21 は大きさが同じで逆向きである．

F12 = −F21 (1.3)

Newton運動方程式に従う運動

上でも述べたように，Newton力学の出発点は Newtonの運動方程式 (1.2)である．力 Fが具体的に座標 r

と時間 tの関数として与えられていれば，運動方程式を指定された初期条件のもとで解くことにより，様々

な運動を実際に求めることができる．「力学 1」で学んだように，以下に挙げる力については運動方程式を解

析的に解くことが出来る．

• 自由落下：mz = −mg

• 速度に比例する抵抗下での落下：mz = −mg − kz

• ばねの運動：mx = −kx

• 振子の運動：mθ = −mgl

sin θ

• ケプラー運動：mr = −GMm

r2r

r

14

上に挙げた運動方程式を適当な初期条件のもとで解く方法については，各自において復習しておくこと．

保存力

ポテンシャル U が存在する場合，力は

F = −∇U (1.4)

で与えられる．ここで

∇ = x∂

∂x+ y

∂

∂y+ z

∂

∂z(1.5)

である．このように，ポテンシャルによって与えられる力を保存力と呼ぶ．このときのNewton運動方程式は

md2r

dt2= −∇U (1.6)

となる．

運動量保存則

質点の運動量 pは

p = mv = mr (1.7)

で定義される．質点の運動方程式を運動量 pを用いて表すと

dp

dt= F (1.8)

と書ける．特に，質点に力が働いていない場合（F = 0）

dp

dt= 0 (1.9)

となり運動量は時間によらない定数となる．これを運動量保存則と呼ぶ．

角運動量保存則

質点の角運動量は

l = r× p = mr× r (1.10)

で定義される．角運動量の時間変化を考えよう．(1.10)式の時間微分

dl

dt=

d

dt(mr× r) = m(r× r+ r× r) = mr× r (1.11)

に Newton運動方程式を用いるとdl

dt= r× F (1.12)

を得る．右辺の r×Fは力のモーメント，又はトルクと呼ばれる．特に力が中心力で F = F (r)rという形に

与えられる場合は r× F = 0なのでdl

dt= 0 (1.13)

であり角運動量は時間によらない定数となる．これを角運動量保存則と呼ぶ．力が球対称なポテンシャルU(r)

によって与えられる場合，力は

F = −∇U = −dUdr

r (1.14)

と中心力になるので角運動量が保存する．

エネルギー保存則

力が保存力の場合を考える．質点の力学的エネルギーは

E =m

2v2 + U(r) =

m

2r2 + U(r) (1.15)

15

で与えられる．第一項は運動エネルギー，第二項はポテンシャルエネルギーである．エネルギーの時間変化

を考えるとdE

dt=

d

dt

[m2r2 + U(r)

]= mr · r+ r · ∇U = r · (mr+∇U) (1.16)

となる．Newton運動方程式よりmr+∇U = 0であるから

dE

dt= 0 (1.17)

となり，エネルギーは時間によらない定数となる．これをエネルギー保存則と呼ぶ．

1.1.2 質点系の運動

r1!

r2! r

3!

)

∂∇ri

= x∂

∂xi

y∂

∂yi

+ z∂

∂zi

+

図 1.1: 質点系の運動

N 個の質点からなる系において，i番目の質点の質量をmi，位置ベクトルを ri とすると，運動方程式は

mid2ridt2

= Fi (i = 1, 2, · · · , N) (1.18)

で与えられる．一般に，力 Fi は外力と内力の和

Fi = Fexi +

N∑j=1

Fij (1.19)

で与えられる．ここでFexi は質点 iに働く外力，Fij は質点 jから質点 iに働く内力（Fii = 0とする）を表す．

外力と内力が両方とも保存力であるときは，質点系のポテンシャルを以下のように定義することができる．

U(r1, r2, · · · , rN ) =N∑i=1

U exi (ri) +

∑i<j

Uij(ri, rj) (1.20)

ただし Uij(ri, rj) = Uji(rj , ri)であるとする．ここで U exi は外部ポテンシャル，又は一体ポテンシャルと呼

ばれ，以下のように外力を導く．

Fexi = −∇riU

exi (1.21)

ただし，

∇ri ≡ x∂

∂xi+ y

∂

∂yi+ z

∂

∂zi(1.22)

である．また，Uij は内部ポテンシャル，又は二体ポテンシャルと呼ばれ，以下のように内力を導く．

Fij = −∇riUij (1.23)

もしも二体のポテンシャルが二質点間の距離 rij = |ri − rj |のみに依存する関数（つまり，中心力ポテンシャル）であるとき，内力は

Fij = −∂Uij

∂rijrij = −Fji (rij ≡ (ri − rj)/rij) (1.24)

16

となる．内力がこのような形を持つとき，外力が無ければ質点系の運動量と角運動量は保存する．

保存力の場合の運動方程式はポテンシャルを使って

mid2ridt2

= −∇riU (1.25)

と書ける．また，このとき系の力学的エネルギー

E = T + U (1.26)

T =N∑i=1

1

2mir

2i (1.27)

は保存する．

N 質点系の運動方程式は 3N 個の座標変数

(r1, r2, · · · , rN ) = (x1, y1, z1, x2, y2, z2, · · · , xN , yN , zN ) (1.28)

に対する連立方程式として与えられる．ところで，実際の問題を考える際には様々な座標変換を行うことが

多い．そこで，3N 個の座標変数に，x, y, z 成分をまとめて通し番号をつけて表記すると便利なことがある．

つまり，

(r1, r2, · · · , rN ) = (x1, x2, · · · , x3N ) (1.29)

とするのである．この記法では質点系の運動方程式は

mid2xidt2

= Fi (i = 1, 2, · · · , 3N) (1.30)

となる．保存力の場合は Fi = −∂U/∂xi であり，

mid2xidt2

= − ∂U

∂xi(i = 1, 2, · · · , 3N) (1.31)

となる．この記法は数学的な取り扱いを楽にすることが多いが，物理的なイメージは逆に持ちづらくなる．

また，二体ポテンシャル，運動量，角運動量などをこの記法で表そうとするとかえって複雑になってしまう．

よって，この記法はあくまでも機械的に計算するときのみに用いる記法であると考えた方が良いだろう．

17

演習問題

質点の運動

【1-1-a】質量mの質点が xy平面内を運動している．質点はポテンシャル U による力を受けている．今，ポ

テンシャルは原点からの距離 s =√x2 + y2 のみに依存するものとする．

(1)質点の座標を二次元極座標

x = s cosϕ, y = s sinϕ (1.32)

を使って表し，質点の運動方程式を (s, ϕ)を用いて書け．

(2)角運動量 Lz = m(xy− yx)を (s, ϕ)を用いて書け．また，問題 (1)の結果より Lz が保存することを示せ．

(3)運動エネルギー T = m2 (x

2 + y2)を (s, ϕ)を用いて表せ．また，問題 (1)の結果より力学的エネルギー

E = T + U が保存することを示せ．

【1-1-b】質量mの質点が中心力ポテンシャル U(r)による力を受けながら運動している．

(1)質点の座標を三次元極座標

x = r cosϕ sin θ, y = r sinϕ sin θ, z = r cos θ (1.33)

を使って表し，質点の運動方程式を (r, θ, ϕ)を用いて書け．

(2)角運動量 Lz = m(xy − yx)を (r, θ, ϕ)を用いて書け．また，問題 (1)の結果より Lz が保存することを

示せ．

(3)運動エネルギー T = m2 (x

2 + y2 + z2)を (r, θ, ϕ)を用いて表せ．また，問題 (1)の結果より力学的エネル

ギー E = T + U が保存することを示せ．

質点系の運動

【1-1-c】N 個の質点から構成される質点系に関して，以下の問いに答えよ．ただし，i番目の質点の質量を

mi，その位置ベクトルを riとする (i = 1, 2, · · · , N)．また，i番目の質点に働く外力を Fexi ，j番目の質点が

i番目の質点に及ぼす内力を Fij とする．

(1) 以下の関係式が成り立つことを示せ．

N∑i=1

miri =

N∑i=1

Fexi (1.34)

この関係式を導出する際に用いた内力に対する条件を明記せよ．

(2)質点系の角運動量はL =∑N

i=1 (miri × ri)で与えられ，質点系に働く外力のモーメントはN =∑N

i=1 (ri × Fexi )

で与えられる．質点間に働く内力が中心力，つまり Fij = F (rij)rij であれば，

d

dtL = N (1.35)

が成り立つことを示せ．

(3) 保存力の場合，系の力学的エネルギーが保存すること，つまり

dE

dt= 0 (1.36)

が成り立つことを示せ．

18

1.2 拘束条件がある場合の運動

mg!

mg

(a) (b)

図 1.2: 拘束条件がある場合の運動の例 (a)振子の運動 (b)滑らかな斜面の上の運動

実際の物理系では運動に様々な制限が課せられていることが多い．例えば振子の問題では糸の長さが一定

という条件が課せられる．また，滑らかな斜面の上での質点の運動では，質点は面の表面だけを運動するよ

うに制限される．

x y

(x,y)

l

mg

!

図 1.3: 振り子の運動

拘束条件の与え方にはいろいろな種類があるが，ここでは拘束条件が質点の座標変数 xiに対する独立なK 個の関係式

fi(x1, x2, · · · , x3N , t) = 0, i = 1, 2, · · · ,K (1.37)

によって与えられる場合を考える．このような拘束をホロノミック（holonomic）な拘束と呼ぶ．拘束条件

を満たす点 xiの集まりは 3N 次元空間における曲面（超曲面）を作る．例えば，図 1.3の振子の運動にお

ける，糸の長さが一定という条件は

x2 + y2 + z2 = l2 ⇒ x2 + y2 + z2 − l2 = 0 (1.38)

と表すことができる. この条件を満たす点の集まりは球面を作る．また，質点の運動が何らかの理由により

xy平面内に限られる場合は，さらにもう１つの拘束条件

z = 0 (1.39)

が課せられる．このとき拘束条件を満たす点の集まりは円を作る.

19

N 個の質点系の運動は 3N 個の座標変数によって表される．しかし,運動に上のような拘束条件が付く場

合には,運動の自由度は n = 3N −K となる．このとき，ある適当な n個の独立変数 qiを使って xiを表すことができる．例えば単振子の二次元的な運動の場合は拘束条件が二つ（(1.38)式と (1.39)式）なので

自由度は n = 3− 2 = 1である．よって１つの独立変数，例えば振子の振れ角，によって質点の座標を表す

ことができる．

f (r) = 0

! f

"r

F!

F’!

f (r) = 0 "r

(a) (b)

図 1.4: 拘束条件を満たす運動

簡単のため，時間に依存しない一つの拘束条件

f(x1, x2, · · · , x3N ) = 0 (1.40)

のもとで運動する質点系を考えよう．拘束条件を満たしながら xiを微小変化させて xi + δxiとしたとき，関数 f の値はこの微小変換に対して変化しないので

δf =3N∑i=1

∂f

∂xiδxi = 0 (1.41)

である．これは 3N 次元のベクトルを

r = (x1, x2, · · · , x3N ) (1.42)

3N 次元の gradientを

∇f = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, · · · , ∂f/∂x3N ) (1.43)

と書けば，

∇f · δr = 0 (1.44)

と書くことができる．図 1.4(a)に示すように，これは，拘束条件に従う運動の場合の微小変位が f = 0で決

まる曲面（拘束面）の法線ベクトルと直交することを表している．質点には，図 1.4(b)に示す様に，重力の

ような外から受ける力 Fの他に，面からの抗力や振子の糸の張力のように質点を拘束するための力 F′ が働

いている．したがって，Newton運動方程式は

mid2xidt2

= Fi + F ′i (1.45)

となる．滑らかな面からの抗力や振子の糸の張力は拘束面に垂直に (法線方向に)働く．そこで，より一般的

に拘束力 F′が拘束面に垂直に働く場合を考えることにする．このとき拘束力と拘束条件を満たすような微小

変位は直交する．つまり3N∑i=1

δxiF′i = δr · F′ = 0 (1.46)

である．これは，拘束力が系に仕事をしないことを表す．このような拘束を滑らかな拘束と呼ぶ．今後は滑

らかな拘束の場合のみを考えることにする．

20

演習問題

【1-2-a】単振り子の運動方程式を，以下の手続きによって導出せよ．

(1)図 1.3のよう に，質点には重力mgの他に張力 F′がかかっているために，糸の長さが一定に保たれてい

る。直交座標による運動方程式は

mx = F ′x, my = −mg + F ′

y (1.47)

で与えられる．この問題を直交座標のまま扱うのは面倒なので，振り子の糸の長さ rと振れ角 θを変数とし

て用いる．運動方程式を書き換えると，以下を得ることを示せ．

m[r − r(θ)2] = mg cos θ − F ′, m(2rθ + rθ) = −mg sin θ (1.48)

上の第一式は動径方向の運動方程式を表し，第二式は角度方向の運動方程式を表す．

(2)糸の長さが一定（r = l）である条件より，張力の大きさ F ′ を θ, θを使って表せ．

(3)角度方向の運動方程式に糸の長さ一定の条件 (r = l)を代入することにより，θに対する運動方程式を導け．

(4)微小振動 θ ≪ 1を仮定することにより運動方程式を線形化し，その解を求めよ．

21

1.3 仮想仕事の原理

Newton運動方程式から拘束条件がある場合の運動を求める場合，以下の二つの困難が生じる．第一に，座

標 xi が拘束の条件式 fi = 0によって関係付けられるために，3N 個の運動方程式はすべてが独立なわけで

はなくなる．第二に，拘束力は最初から与えられるわけではなく拘束条件を満たすように決めなければなら

ない．また，拘束条件が無い場合であっても直交座標以外の座標変数を使う場合や，質点系の問題で自由度

が大きい場合などは運動方程式が複雑になる．このような場合の運動法則を定式化するには，見方を変えて，

仮想仕事の原理とダランベールの原理の考え方から運動方程式を見直すと便利である．

F2!

F1!

F3!

F= F1+

F

2 +

F

3

=0!

= 0

図 1.5: 質点のつり合いの条件

まず，簡単な場合として一つの質点が力を受けている場合のつり合いの条件を考えよう．質点に作用する

力の総和をを Fとすると，質点が静止しているときは力がつり合っているので F = 0である．この状態を表

すのに，質点の位置 rを仮想的に δrだけ動かしてみることを考える．（ここで言う仮想的な変化とは，与え

られた瞬間 tにおいて座標を任意に変化させることを意味し，時間間隔 dtの間に系に起こる実際の変化と明

確に区別しなければならない．）つり合いの条件より，このときなされる仮想的な仕事 δW は

δW = δr · F = 0 (1.49)

である．つまり，力がつり合っている状態では，任意の微小な仮想変位に対して仮想仕事がゼロになる．こ

れを仮想仕事の原理と呼ぶ．

$r!

F!

F’!

図 1.6: 拘束条件がある場合の質点のつり合いの条件

振子の運動のように，拘束力によって拘束条件が課せられている場合について考えてみよう．図 1.6に示

す様に，この場合は重力のような通常の力Fの他に，糸の張力のような拘束力F′が質点に作用している．こ

の場合，仮想仕事の原理は次のように書ける．

δW = δr · (F+ F′) = 0 (1.50)

ここで，仮想変位 δrを拘束条件を満たすような変位に限ることにする．滑らかな拘束の場合,拘束力 F′は仮

22

想変位 δrに直交するので，仮想仕事の原理は

δW = δr · F = 0 (1.51)

と拘束力を含まない形に書ける．つまり，拘束力がある場合のつり合いの条件は「拘束条件を満たすような

任意の仮想変位に対して仮想仕事がゼロである」と書くことが出来る．

F

) = 0

r

図 1.7: 運動状態に対するダランベールの原理の考え方．自由落下している状態では重力と慣性力がつり合っ

ていると考えられる．

仮想仕事の原理の考え方を，質点が運動している状態に拡張しよう．運動状態では力の和はゼロではなく，

質点は運動方程式mr = F に従って運動している．これを

F+ (−mr) = 0 (1.52)

のように書き換えると −mrを質点に作用する見かけ上の力（慣性力）と考えることが出来る．このように，

運動状態も，作用する力と慣性力がつり合った状態と見なすことが出来る．これをダランベールの原理と呼

ぶ．ダランベールの原理によって，仮想仕事の原理を運動状態に拡張することができる．すなわち，運動状

態では質点の仮想変位に対して

δW = δr · [F+ (−mr)] = 0 (1.53)

が成り立っている．（これも含めてダランベールの原理という場合もある．）ここで再び，振子のような拘束さ

れた運動を考えよう．この場合は拘束力 F′ も含めて

δW = δr · [F+ F′ + (−mr)] = 0 (1.54)

となる．しかし，仮想変位 δrを拘束条件を満たすような変位に限ることにすると，滑らかな拘束の場合は

δr · F′ = 0より結局

δW = δr · [F+ (−mr)] = 0 (1.55)

となって拘束力を含まない形に運動法則を表すことができる．

N 個の質点系の運動の場合についても同様に仮想仕事の原理を考えることができる．N 質点系の運動方程

式mixi = Fi + F ′i（ただし F ′

i は拘束力を表す）を書き直して

Fi + F ′i + (−mixi) = 0 (1.56)

とすれば，これは i番目の質点に作用する力と慣性力がつり合った条件を表す．ここで仮想変位 δxiを考えると仮想仕事は

δW =3N∑i=1

δxi(Fi + F ′i −mixi) = 0 (1.57)

となる．拘束条件を満たす仮想変位の場合は∑3N

i=1 δxiF′i = 0が成り立つため拘束力に関する項が消えて

δW =3N∑i=1

δxi(Fi −mixi) = 0 (1.58)

となる．以上によって，N 質点系の運動法則を拘束力を含まない形に表すことができた．

23

【例題 1-3-a】

振子（図 1.3を見よ）の運動方程式を仮想仕事の原理を使って導出せよ．

【解答】

質点の座標 (x, y)を振れ角 θで表すと

x = l sin θ, y = −l cos θ (1.59)

となる．拘束条件（l =一定）を満たす仮想変位は

δx = lδθ cos θ, δy = lδθ sin θ (1.60)

と書ける．また，拘束条件を満たしながら運動している場合の速度と加速度は

x = lθ cos θ, x = lθ cos θ − l(θ)2 sin θ (1.61)

y = lθ sin θ, y = lθ sin θ + l(θ)2 cos θ (1.62)

と書ける．一方，質点に作用する重力は

F = −mgy (1.63)

である．

F · δr = Fyδy = (−mgl sin θ)δθ (1.64)

mr · δr = m[lθ cos θ − l(θ)2 sin θ]l cos θ + [lθ sin θ + l(θ)2 cos θ]l sin θ

δθ = ml2θδθ (1.65)

これらを仮想仕事の原理を表す式 (F−mr) · δr に代入すると

(−mgl sin θ −ml2θ)δθ = 0 (1.66)

となる．この式は任意の仮想変位 δθに対して成りたたなければならないので，

mlθ = −mg sin θ (1.67)

を得る．両辺をmlで割れば

θ = −glsin θ (1.68)

となる．

24

【例題 1-3-b】図 1.8のように，支点が動く振子の運動方程式を仮想仕事の原理を使って導出せよ．

x

y

(X(t), Y (t))

(x, y)

θl

mg

図 1.8: 支点が動く振子の運動

【解答】

振子の支点の位置座標 (X(t), Y (t))が時間によって変化する場合を考える．振れ角を使って質点の座標を

表すと

x = X + l sin θ, y = Y − l cos θ (1.69)

まず，ある時刻 tにおいて拘束条件を満たす仮想変位は，支点が動かない場合と同様に

δx = lδθ cos θ, δy = lδθ sin θ (1.70)

である．また，加速度には支点の加速度が加わるので

x = X + lθ cos θ − l(θ)2 sin θ, y = Y + lθ sin θ + l(θ)2 cos θ (1.71)

となる．よって

mr · δr = m[(X cos θ + Y sin θ)l + l2θ]δθ (1.72)

となり，仮想仕事の原理を表す式は−mgl sin θ −m[(X cos θ + Y sin θ)l + l2θ]

δθ = 0 (1.73)

となる．従って，求める運動方程式は

mlθ = −mg sin θ −m(X cos θ + Y sin θ) (1.74)

となる．両辺をmで割れば

lθ = −g sin θ − (X cos θ + Y sin θ) (1.75)

となる．

25

1.4 Lagrange方程式

前節では仮想仕事の原理（又はダランベールの原理）(1.55)式によって力学の基本法則を表した．この定

式化では（滑らかな拘束の場合は）拘束力が式の中に入ってこないので，拘束条件がある場合の運動方程式

を機械的に導出することができる．しかし，(1.55)式は直交座標を使って表されているため，実際に仮想仕

事の原理 (1.55)から運動方程式を導出するためには，直交座標を適当な新しい座標で書き直す手間が必要と

なる．例えば例題において振子の運動方程式を導出する際には，x, yを振れ角 θで表し，仮想変位や加速度

を θで書き直す必要があった．この節で導出する Lagrange方程式では，どのような座標系を使っても力学法

則を同じ形で表すことができる．

1.4.1 一般化座標

振子の運動の場合，拘束条件（x2 + y2 = l2 =一定）に従う運動を記述するために，振れ角 θを使って x, y

を表した．一般に，N 個の質点系の運動は 3N 個の座標変数 (x1, · · · , x3N )によって記述されるのだが，K

個の拘束条件がある場合は，n = 3N −K 個の独立変数によって直交座標変数を表すことができる．このと

きの nを系の運動の自由度という．系の運動を記述するために，直交座標に限らず一般に適当な変数を使う

とき，これを一般化座標と呼ぶ．たとえば極座標，相対（重心）座標，振子の場合の振れ角 θなどが一般化

座標の例として挙げられる．今後は，一般化座標を q1.q2, · · · , qn で表すことにしよう．拘束条件を満たす直交座標 xiは一般化座標　 qiの関数として与えられる．

xi = xi(q1, q2, · · · , qn, t) (1.76)

拘束条件に従う仮想変位 δxi は一般化座標の仮想変位 δqi を使って

δxi =n∑

j=1

∂xi∂qj

δqj (1.77)

と表される．また，速度を一般化座標を用いて表すと

xi =n∑

j=1

∂xi∂qj

qj +∂xi∂t

(1.78)

と書ける．

1.4.2 Lagrange方程式の導出

前節で説明したように，N 質点系の運動方程式を仮想仕事の原理を用いて表すと

δW =3N∑i=1

δxi(Fi −mixi) = 0 (1.79)

となる．ただし δxiは拘束条件に従う任意の仮想変位である．ここで仮想変位を (1.77)式によって一般化座

標を使って表すと仮想仕事の原理は

δW =3N∑i=1

n∑j=1

(Fi −mixi)∂xi∂qj

δqj = 0 (1.80)

と書ける．ここで既知の力 Fi が保存力であり，ポテンシャル U によって Fi = −∂U/∂xi で与えられる場合を考える．このとき (1.80)式は

3N∑i=1

n∑j=1

(mixi +

∂U

∂xi

)∂xi∂qj

δqj = 0 (1.81)

26

となる．ただし，後の都合を考えて項の順番と符号を変えている．

まず，(1.81)式の第一項目が

3N∑i=1

n∑j=1

mixi∂xi∂qj

δqj =n∑

j=1

[(d

dt

∂

∂qj− ∂

∂qj

) 3N∑i=1

1

2mix

2i

]δqj (1.82)

と書けることを示そう．まず

3N∑i=1

n∑j=1

mixi∂xi∂qj

δqj =

3N∑i=1

n∑j=1

mi

[d

dt

(xi∂xi∂qj

)− xi

d

dt

(∂xi∂qj

)]δqj (1.83)

である．後に示すように∂xi∂qj

=∂xi∂qj

,d

dt

(∂xi∂qj

)=∂xi∂qj

(1.84)

が成り立つので

3N∑i=1

n∑j=1

mixi∂xi∂qj

δqj =3N∑i=1

n∑j=1

mi

[d

dt

(xi∂xi∂qj

)− xi

(∂xi∂qj

)]δqj

=

3N∑i=1

n∑j=1

mi

[1

2

d

dt

(∂

∂qjx2i

)− 1

2

(∂

∂qjx2i

)]δqj

=n∑

j=1

[(d

dt

∂

∂qj− ∂

∂qj

) 3N∑i=1

1

2mix

2i

]δqj (1.85)

となる．(1.84)式は以下のように示すことができる．

xi =n∑

k=1

∂xi∂qk

qk +∂xi∂t

(1.86)

∂xi∂qj

=∂

∂qj

(n∑

k=1

∂xi∂qk

qk +∂xi∂t

)=

n∑k=1

∂xi∂qk

∂qk∂qj

=n∑

k=1

∂xi∂qk

δkj =∂xi∂qj

(1.87)

d

dt

(∂xi∂qj

)=

n∑k=1

∂

∂qk

(∂xi∂qj

)qk +

∂

∂t

(∂xi∂qj

)=

∂

∂qj

[n∑

k=1

(∂xi∂qk

)qk +

∂xi∂t

]=∂xi∂qj

(1.88)

運動エネルギーの表式 T =∑3N

i=112mix

2i を使って (1.82)式を表すと

3N∑i=1

n∑j=1

mixi∂xi∂qj

δqj =n∑

j=1

[(d

dt

∂

∂qj− ∂

∂qj

)T

]δqj (1.89)

となる．

次に，(1.81)式の第二項目は3N∑i=1

n∑j=1

∂U

∂xi

∂xi∂qj

δqj =n∑

j=1

∂U

∂qjδqj (1.90)

と書ける．

以上をまとめると，仮想仕事の原理はn∑

j=1

[(d

dt

∂

∂qj− ∂

∂qj

)T +

∂U

∂qj

]δqj = 0 (1.91)

と書くことができる．通常，ポテンシャル U は座標 xiのみの関数として与えられ，速度 xiには依存しない．（時間 tに陽に依存することはあり得る．）したがって U を一般化座標 qjで表したときも，qjには依存しない関数として与えられる．そこで，Lagrangian（Lagrange関数）を

L = T − U (1.92)

27

によって定義すれば ∂L/∂qj = ∂T/∂qj より (1.91)式は

n∑j=1

(d

dt

∂L

∂qj− ∂L

∂qj

)δqj = 0 (1.93)

となる．仮想変位は δq1, δq2, · · · , δqnについて互いに独立にとれるので，(1.93)式が恒等的に成り立つために

は δqj の係数部分が全ての j についてそれぞれ 0になる必要がある．この条件より

d

dt

∂L

∂qj− ∂L

∂qj= 0 (1.94)

を得る．この方程式を Lagrange方程式と呼ぶ. このように Lagrangianによって力学を定式化するやり方

を Lagrange形式と呼ぶ．

Lagrange方程式は座標系の選び方によらず (1.94)の形をとる．滑らかな拘束の場合，拘束力が方程式に現

れないので，拘束条件に従う運動を扱う場合には特に威力を発揮する．また，質点系の運動を Newton方程

式で表す場合，例えば N 個の質点系の運動は 3N 個の連立方程式で記述されるのに対し，Lagrange形式で

は一つの関数 Lagrangianを与えれば系の運動が決まる．よって，Lagrange形式では自由度が大きな系の運

動を見通しよく表すことができる．

1.4.3 Lagrange方程式の例

質点の Lagrange方程式

ポテンシャル U(r)による力を受けながら運動する質量mの質点の Lagrangianを直交座標を使って表すと

T (r) =m

2r2 =

m

2(x2 + y2 + z2) (1.95)

より

L(r, r) = T − U =m

2r2 − U(r) =

m

2(x2 + y2 + z2)− U(x, y, z) (1.96)

となる．Lagrange方程式はd

dt

∂L

∂x− ∂L

∂x= 0 (1.97)

d

dt

∂L

∂y− ∂L

∂y= 0 (1.98)

d

dt

∂L

∂z− ∂L

∂z= 0 (1.99)

であるが，d

dt

∂L

∂x=

d

dtmx = mx,

∂L

∂x= −∂U

∂x(1.100)

d

dt

∂L

∂y=

d

dtmy = my,

∂L

∂y= −∂U

∂y(1.101)

d

dt

∂L

∂z=

d

dtmz = mz,

∂L

∂z= −∂U

∂z(1.102)

より

mx+∂U

∂x= 0 (1.103)

my +∂U

∂y= 0 (1.104)

mz +∂U

∂z= 0 (1.105)

を得る．ベクトルの形で書くと

mr+∇U = 0 (1.106)

28

となる．これは保存力の場合の Newton運動方程式と全く同じである．

質点系の Lagrange方程式

N 個の質点からなる系の Lagrangianを直交座標を用いて表す．質点系のポテンシャルが U(r1, r2, · · · , rN )

によって与えられているものとする．

T =N∑i=1

mi

2r2i =

N∑i=1

mi

2(x2i + y2i + z2i ) (1.107)

より

L = T − U =N∑i=1

mi

2r2i − U =

N∑i=1

mi

2(x2i + y2i + z2i )− U (1.108)

Lagrange方程式はd

dt

∂L

∂xi− ∂L

∂xi= 0 (i = 1, 2, · · · , N) (1.109)

d

dt

∂L

∂yi− ∂L

∂yi= 0 (i = 1, 2, · · · , N) (1.110)

d

dt

∂L

∂zi− ∂L

∂zi= 0 (i = 1, 2, · · · , N) (1.111)

であるが，d

dt

∂L

∂xi=

d

dtmixi = mixi,

∂L

∂xi= − ∂U

∂xi(1.112)

d

dt

∂L

∂yi=

d

dtmiyi = miyi,

∂L

∂yi= −∂U

∂yi(1.113)

d

dt

∂L

∂zi=

d

dtmizi = mizi,

∂L

∂zi= −∂U

∂zi(1.114)

より

mixi +∂U

∂xi= 0 (1.115)

miyi +∂U

∂yi= 0 (1.116)

mizi +∂U

∂zi= 0 (1.117)

ベクトルの形で書くと

miri +∇riU = 0 (1.118)

となる．これは保存力の場合の質点系の Newton運動方程式と全く同じである．

一般化座標を用いた場合の Lagrange方程式

以上によって Lagrange方程式が通常の直交座標によるNewton運動方程式を再現することを確かめた．し

かしながら，Lagrange方程式は直交座標以外の一般化座標を用いる場合に，より威力を発揮する．一般化座

標を用いた場合の Lagrange方程式は演習問題で扱う．

29

演習問題

【問題 1-4-a】質量m，糸の長さが lの振り子の運動に対して，角度 θを用いて Lagrangianを与えよ．また，

Lagrange方程式より θに対する運動方程式を導け．

【問題 1-4-b】１個の質点が xy平面内を２次元的に運動する場合を考える．このとき２次元極座標 (s, ϕ)を

使って，Lagrangianを書き下し，それぞれの変数に対する運動方程式を導け．ただし，質点は原点からの距

離 s =√x2 + y2 のみに依存するポテンシャル中を運動しているものとする．

【問題 1-4-c】３次元極座標 (r, θ, ϕ)を使って１個の質点の運動に対する Lagrangianを書き下し，それぞれ

の変数に対する運動方程式を導け．ただし，質点は原点からの距離 |r| = rのみに依存するポテンシャル中を

運動しているとする．

【問題 1-4-d】図のように、自然長 l0，弾性率 kの軽いバネに質量mの質点がつながれた一様重力下の振子

を考える。

図 1.9: ばねでつながれた振子

(1)角度 θとばねの長さ lを独立変数として Lagrangianを与えよ。

(2)Lagrange方程式より θと lに対する運動方程式を導け。

(3)上式の平衡解（θ = 0, l = 0を満たす解）を求めよ．また，平衡状態まわりの微小振動を仮定してLagrangian

を揺らぎの二次まで展開せよ．

(4)前問の Lagrangianより線形化された方程式を導き，その解を求めよ．

【問題 1-4-e】質量m1の質点 1とm2の質点 2が相互作用しながら運動している．これらの質点の位置座標

を r1, r2 とする．この系の Lagrangianを重心座標R = (m1r1 +m2r2)/(m1 +m2)と相対座標 r = r1 − r2

を使って与え，運動方程式を導け．ただし相互作用ポテンシャルは相対座標のみに依存する．

【問題 1-4-f】二原子分子を長さ l の棒でつながれた２つの質点とみなして、その運動を考える。この系の

Lagrangianを重心座標R = (m1r1 +m2r2)/(m1 +m2)と相対座標 r = r1 − r2を使って与え、運動方程式を

導け。相対座標については、質点間の距離が一定（r = l）という拘束条件のもとで、３次元極座標を用いよ。

30

【問題 1-4-g】質量m1，m2 の二重振り子の運動を考える．それぞれの糸の長さを l1，l2 とし，図のように

x-y座標系を設定する．また，それぞれの振り子の糸と y軸との角度を ϕ1，ϕ2とし，重力加速度は gとする．

このとき以下の問いに答えよ．

(1) ϕ1，ϕ2 を独立変数として Lagrangianを導け．

(2)微小振動 (ϕ1 ≪ 1，ϕ2 ≪ 1)を仮定して，問 (1)で導いた Lagrangianを ϕ1, ϕ2 の二次まで展開せよ．

(3)問 (2)で導いた微小振動の Lagrangianから Lagrange方程式を導出せよ．

(4)微小振動の解として ϕj = Aje−iωt，(j = 1, 2)を仮定する．ただし Aj は定数である．このとき微小振動

の角振動数 ωを求めよ．

φ

x

y

φ

1

2

l1

l2m

m

1

2

図 1.10: 二重振り子

【問題 1-4-h】なめらかな板にあけた小穴に全長 lの糸を通し，板上の糸の端に質量m1の質点をつけて板上

におき，板下の糸の端に質量m2 の質点をつけて鉛直に垂れ下げる．ただし，小穴における摩擦は無視でき

るとし，また重力加速度を gとする．このとき，この系の Lagrange方程式を導け．

31

1.5 時間に依存する拘束条件

前節で導出した Lagrange方程式は，拘束条件が時間に陽に依存する場合や直交座標と一般化座標の変換

関係が時間に陽に依存する場合でも使える．この節では拘束条件が時間に陽に依存する場合を扱い，次節で

座標変換が時間に陽に依存する場合を扱おう．

【例題 1-5-a】図 1.8のように，振り子の支点の位置が時間変化する場合を考える．ただしここでは支点が x

軸方向にのみ運動する場合を考え，支点の x座標は適当な関数 F (t)によって

X(t) = F (t) (1.119)

で与えられるものとする．この場合の拘束条件は

[x− F (t)]2 + y2 − l2 = 0 (1.120)

と書くことができる．振子の振れ角 θを一般化座標として用いて Lagrange方程式を導け．

bf 【解答】位置座標 x, yを角度 θを使って表すと

x = l sin θ + F (t), y = −l cos θ (1.121)

となる．これより

x = lθ cos θ +dF

dt, y = lθ sin θ (1.122)

T =m

2

[(lθ cos θ +

dF

dt

)2

+(lθ sin θ

)2]=m

2

[l2θ2 + 2lθ cos θ

dF

dt+

(dF

dt

)2]

(1.123)

L =m

2

[l2θ2 + 2lθ cos θ

dF

dt+

(dF

dt

)2]+mgl cos θ (1.124)

となる．Lagrange方程式は

d

dt

∂L

∂θ=

d

dtm

(l2θ + l cos θ

dF

dt

)= ml2θ −mlθ sin θ

dF

dt+ml cos θ

d2F

dt2(1.125)

∂L

∂θ= −mlθ sin θdF

dt−mgl sin θ (1.126)

より

ml2θ +ml cos θd2F

dt2+mgl sin θ = 0 (1.127)

となる．両辺をmlで割ると

lθ + cos θd2F

dt2+ g sin θ = 0 (1.128)

となる．

【例題 1-5-b】振子の糸の長さ lが時間の関数 l(t)として時間変化する場合を考える．この場合の拘束条件は

x2 + y2 − l2(t) = 0 (1.129)

と書くことができる．振子の振れ角 θを一般化座標として用いて Lagrange方程式を導け．

【解答】位置座標 x, yを角度 θを使って表すと

x = l(t) sin θ, y = −l(t) cos θ (1.130)

32

となる．これより

x = lθ cos θ + l sin θ, y = lθ sin θ − l cos θ (1.131)

T =m

2

[(lθ cos θ + l sin θ

)2+(lθ sin θ − l cos θ

)2]=m

2

(l2θ2 + l2

)(1.132)

L =m

2

(l2θ2 + l2

)+mgl cos θ (1.133)

となる．Lagrange方程式はd

dt

∂L

∂θ=

d

dtm(l2θ)= ml2θ + 2mllθ (1.134)

∂L

∂θ= −mgl sin θ (1.135)

より

ml2θ + 2mllθ +mgl sin θ = 0 (1.136)

となる．両辺をml2 で割ると

θ +2

llθ +

g

lsin θ = 0 (1.137)

を得る．特に微小振動 θ ≪ 1を仮定すれば sin θ ≃ θより

θ +2

llθ +

g

lθ = 0 (1.138)

となる．

33

演習問題

【問題 1-5-a】例題 1-5-aの支点が動く振り子について，F (t)の関数形が具体的に

F (t) = A sinωt (1.139)

で与えられている場合を考える．

(1)Lagrange方程式より θに対する運動方程式を求めよ．

(2)微小振動を仮定して Lagrangianを θの二次まで展開し，θに対する線形化された運動方程式を導け．ま

た，その解を求めよ．

【問題 1-5-b】支点が y方向に振動する振子を考えて，前問と同様に運動方程式を導け．また，微小振動の解

を求めよ．

【問題 1-5-c】糸の長さが

l(t) = l0(1 + ϵ cosΩt) (1.140)

のように周期的に振動する振子の運動方程式を求めよ．ただし，微小振動を仮定して例題 1で求めた運動方

程式 (1.138)を用いてよい．また，ϵ≪ 1として方程式を ϵの一次まで展開せよ．これはブランコの原理を理

解するための簡単化されたモデルと考えることができる．得られた方程式の解を求めることは容易では無い

が，Ω = 2ωのときには共鳴が起こり振動の振幅が時間と共に増大することを示せる．

34

1.6 加速度系での運動方程式

Lagrange方程式は，座標変換が時間に陽に依存する場合でも使える．ここでは，原点が加速度運動する場

合と，座標軸が一定の角速度で回転する場合を考える．

1.6.1 原点が加速度運動する場合

図 1.11: 加速度運動する座標系．

原点 Oを中心とする直交座標系 O−xyzをとり，これは慣性系であるとする．この慣性系に対して並進運動する別の座標系 O′ − x′y′z′ を考える．時刻 tにおける原点 O′ の，O−xyz 系における位置座標をR(t) =

(X(t), Y (t), Z(t))とする．質点の座標系O−xyzにおける位置座標を r(t) = (x(t), y(t), z(t))，O′ − x′y′z′に

おける位置座標を r′(t) = (x′(t), y′(t), z′(z))とすると

r′(t) = r(t)−R(t) (1.141)

という関係がある．この時間微分をとると速度の関係式

r′ = r− R (1.142)

を得る．O−xyz系における Lagrangianを

L =m

2r2 − U(r) =

m

2(x2 + y2 + z2)− U(x, y, z) (1.143)

とすると，O′ − x′y′z′ 系における Lagrangianは

L =m

2(r′ + R)2 − U =

m

2(r′2 + 2r′ · R+ R2)− U (1.144)

となる．Lagrange運動方程式は

mr′ = −∇′U −mR (1.145)

となる．今の場合，∇U = ∇′U である．

O′ − x′y′z′系がO−xyz系に対して等速直線運動をしている場合，つまりO′ − x′y′z′系も慣性系である場

合は，Rが定ベクトルとなり R = 0となるので運動方程式の形は変わらない．一方，O′ が加速度運動して

いる場合，O′ − x′y′z′系における運動方程式では力−mRが余分に働いているように見える．このような見

かけ上の力は慣性力と呼ばれる．

35

1.6.2 回転座標系

時間に依存する座標変換として，回転座標系を考える．z軸のまわりを角速度 ωで回転している座標系を

x′y′z′ とするとx = x′ cosωt− y′ sinωt

y = x′ sinωt+ y′ cosωt

z = z′(1.146)

である．この時間微分をとると

x = x′ cosωt− y′ sinωt− ω(x′ sinωt+ y′ cosωt)

y = x′ sinωt+ y′ cosωt+ ω(x′ cosωt− y′ sinωt)

z = z′(1.147)

となる．これを用いて運動エネルギーを x′y′z′ で表すと

x2 + y2 = [x′ cosωt− y′ sinωt− ω(x′ sinωt+ y′ cosωt)]2

+[x′ sinωt+ y′ cosωt+ ω(x′ cosωt− y′ sinωt)]2

= (x′ cosωt− y′ sinωt)2 − 2ω(x′ sinωt+ y′ cosωt)(x′ cosωt− y′ sinωt) + ω2(x′ sinωt+ y′ cosωt)2

+(x′ sinωt+ y′ cosωt)2 + 2ω(x′ cosωt− y′ sinωt)(x′ sinωt+ y′ cosωt) + ω2(x′ cosωt− y′ sinωt)2

= x′2 cos2 ωt− 2x′y′ cosωt sinωt+ y′2 sin2 ωt+ x′2 sin2 ωt+ 2x′y′ sinωt cosωt+ y′2 cos2 ωt

+2ω(−x′x′ sinωt cosωt− y′x′ cos2 ωt+ x′y′ sin2 ωt+ y′y′ cosωt sinωt

+ x′x′ cosωt sinωt+ x′y′ cos2 ωt− y′x′ sin2 ωt− y′y′ sinωt cosωt)

+ω2(x′2 sin2 ωt+ 2x′y′ sinωt cosωt+ y′2 cos2 ωt+ x′2 cos2 ωt− 2x′y′ cosωt sinωt+ y′2 sin2 ωt)

= x′2 + y′2 + 2ω(x′y′ − y′x′) + ω2(x′2 + y′2) (1.148)

より

T =m

2(x2 + y2 + z2)

=m

2[x′ cosωt− y′ sinωt− ω(x′ sinωt+ y′ cosωt)]2

+ [x′ sinωt+ y′ cosωt+ ω(x′ cosωt− y′ sinωt)]2 + z′2

=m

2(x′2 + y′2 + z′2) +mω(x′y′ − y′x′) +

1

2mω2(x′2 + y′2) (1.149)

となる．これより，回転座標系における Lagrangianとして

L =m

2(x′2 + y′2 + z′2) +mω(x′y′ − y′x′) +

1

2mω2(x′2 + y′2)− U(x′, y′, z′, t) (1.150)

を得る．

Lagrange方程式より x′, y′, z′ に対する運動方程式を導くと

mx′ = −∂U∂x′

+mω2x′ + 2mωy′ (1.151)

my′ = −∂U∂y′

+mω2y′ − 2mωx′ (1.152)

mz′ = −∂U∂z′

(1.153)

となる．この運動方程式は以下のように書くこともできる．

mr′ = F+ Fcent + FCoriolis

F = −∇′U

Fcent = mω2(x′, y′, 0) = −∇′Ucent, Ucent = −m2ω2(x′2 + y′2)

FCorioulis = 2mω(y′,−x′, 0) = 2m(r′ × ω), ω = ωz (1.154)

36

z = z′

x

x′

y

y′

ωt

ωt

1

s!

! !

図 1.12: 回転座標系．

Fcentは遠心力，FCoriolisはコリオリ力と呼ばれる．これらは加速度運動する座標系を用いたために現れた見

かけの力，すなわち慣性力である．Ucent は遠心力ポテンシャルと呼ばれる．

ここで，

A = mω(−y′, x′, 0), ∇×A = 2mω (1.155)

Ueff = U + Ucent = U − m

2ω2(x′2 + y′2) (1.156)

とすると Lagrangianを簡潔に表すことができる．

L =m

2(x′2 + y′2 + z′2) +A · r′ − Ueff (1.157)

Lagrangianの第二項は速度に依存するポテンシャルの形をしており，ベクトルAはベクトルポテンシャル

と呼ばれる．

37

演習問題

【問題 1-6-a】航空機が速度

v(t) = v0 − gzt (1.158)

で飛行するするとき，これを放物線飛行（またはパラボリックフライト）という．ここで v0 は定ベクトル

であり gは重力定数である．このような放物線飛行を行っている航空機内での質量m物体の Lagrangianを，

航空機内に固定された座標系を使って表し，運動方程式を導け．ただし，物体には一様な重力 −mgzのみが働いているものとする．

【問題 1-6-b】質量mの質点が時間に依存するポテンシャル

U(x, y, z, t) =m

2[k1(x cosωt+ y sinωt)2 + k2(−x sinωt+ y cosωt)2 + k3z

2] (1.159)

のもとで運動している．

(1)角速度 ωで z 軸のまわりを回転する座標系ではこのポテンシャルは時間に依存しない関数となる．そこ

で，回転座標系を用いて Lagrangianを表せ．

(2)Lagrange方程式を導け．

(3)質点が xy面内で振動する解として

x′(t) = A exp(iΩt), y′(t) = B exp(iΩt) (1.160)

の形を仮定し，A,B,Ωが満たすべき方程式を導け．

(4)前問で導いた方程式の解を求めよ．

38

第2章 剛体の運動

2.1 剛体の運動方程式

2.1.1 剛体の自由度

x

y

z

ϕ

θC (xC, yC, zC)

ψ)

O

図 2.1: 剛体の位置と配向

質点系で，それを構成する任意の２つの質点間の距離が不変であるものを剛体と呼ぶ．以下に示すように，

剛体の運動の状態を指定するには 6個の変数が必要である．まず，剛体内に一つの決まった点（例えば重心）

Cをとる．この点の位置を決めるために三つの座標変数 (xC, yC, zC)が必要である．点 Cを通って剛体内に

固定された直線を考えると，この直線の方向は極座標 (θ, ϕ) で決まる．最後に，剛体はこの直線のまわりに

回転できるので，この角を ψとする．以上より，６つの変数 (xC, yC, zC, θ, ϕ, ψ)によって剛体内の全ての質

点の位置が決定され，したがって剛体の位置と配向が決まる．このことを剛体の自由度は 6であるという．

よって，自由に運動できる剛体の運動は 6個の独立な運動方程式によってきめられる．

剛体の運動を決める運動方程式としては重心の運動方程式と角運動量の運動方程式を用いればよい．剛体

がN 個の質点から構成されているものとすると，剛体の重心の位置ベクトルは

rG =

∑Ni=1miri∑

imi=

∑Ni=1miriM

(2.1)

で与えられ，角運動量は

L =

N∑i=1

mi(ri × ri) (2.2)

で与えられる．ここでmi, riはそれぞれ剛体中の i番目の質点の質量を位置ベクトルを表し，M は剛体の全

質量を表す．重心 rG と角運動量 Lに対する運動方程式は力学１で学んだように（詳細は 0.2節を見よ）

Md2rGdt2

=N∑i=1

Fexi (2.3)

dL

dt=

N∑i=1

(ri × Fexi ) = N (2.4)

39

で与えられる．ただし Fexi は質点 iに作用する外力である．(2.4)式の右辺のNは

N =N∑i=1

(ri × Fexi ) (2.5)

で与えられ，力のモーメントまたはトルクと呼ばれる．(2.4)式はトルク方程式とも呼ばれる．重心 rGと角

運動量 Lはそれぞれ３つの成分を持つベクトルであるから変数の数は合計で６つとなる．剛体の運動に制限

が課せられるときは，自由度の数は 6よりも少なくなり，運動を記述するのに必要な運動方程式の数も少な

くなる．

剛体に力が作用する点を着力点と呼ぶ．着力点を通って力のベクトルと一致する直線を作用線と呼ぶ．着

力点を作用線上でずらしても，力のベクトル和やモーメントは変化しないので，剛体への作用は変わらない．

O

F

r1

r2

−F

図 2.2: 偶力

剛体の２点に大きさが等しく方向が反対の力 F,−Fが作用するとき，これを偶力と呼ぶ．偶力の場合，力

の和は

F+ (−F) = 0 (2.6)

であることから重心の運動には作用しない．また，力のモーメントは

N = r1 × (−F) + r2 × F = (r2 − r1)× F = r21 × F (2.7)

となる．よって，偶力は物体は回転させるよう作用するが，並進運動をさせる働きは無い．

2.1.2 剛体のつり合い

剛体がつり合って静止しているための条件を考える．このときは

d2rGdt2

= 0,dL

dt= 0 (2.8)

であるから

Ftotal =N∑i=1

Fexi = 0 (2.9)

N =N∑i=1

ri × Fexi = 0 (2.10)

でなければならない．

40

演習問題

R

ba

F1

F2

A BC

F

bF

図 2.3: てこのつり合い．

【2-1-a】図で Cを支点として，AC = a,BC = b とする．点 Aに働く力を F1，点 Bに働く力を F2，支点 C

での抗力を Rとする．このとき，てこがつり合いにあるための F1, F2, Rに対する条件を与えよ．

【2-1-b】図のように長さ l，質量M のはしご ABがなめらかな鉛直な壁とあらい水平な床との間に立てかけ

てあり，水平となす角を θ，はしごと床との静止摩擦係数を µとする．質量mの人間が下端 Aから xの距

離の点 Pにたつとき，はしごがすべらないための µに対する条件を導け．ただし，はしごの重心Gは中点に

あるとし，人間は質点とみなして良いとする．

G

P

A

B

図 2.4: はしごのつり合い．

41

2.2 固定軸を持つ剛体の運動

2.2.1 固定軸を持つ剛体の運動エネルギー

図 2.5: 固定軸を持つ剛体

O

(xi, yi, zi)

図 2.6: 円柱座標

剛体がある一直線のまわりに運動するように固定されている場合の運動を考える．この直線を固定軸と呼

ぶ．剛体は固定軸まわりの回転以外の運動はできないものとする．固定軸を z 軸にとると，z 軸まわりの角

度のみで剛体の位置がきまるので，自由度は 1である．このとき剛体の運動を記述する Lagrangianを求め

よう．そのためにまず，運動エネルギーの表式を求める．剛体がN 個の質点から構成されているものとする

と，運動エネルギーは

T =N∑i=1

1

2mi(x

2i + y2i + z2i ) (2.11)

で与えられる．固定軸を z軸とすると，各質点の位置を円柱座標

xi = si cosϕi, yi = si sinϕi (2.12)

42

を用いて表すのが便利である．固定軸周りを運動する剛体の場合，zi と si は時間と共に不変であるから

zi = 0, si = 0である．よって，各質点の速度は

xi = −siϕi sinϕi, yi = siϕi cosϕi, zi = 0 (2.13)

となる．剛体が標準の位置にあるときの ϕiを ϕi0，剛体が標準の位置からまわった角度 ϕとすると，各質点

の角度 ϕi(t)は

ϕi(t) = ϕi0 + ϕ(t) (2.14)

と書ける．したがって剛体では dϕi/dtは各質点で共通であり

dϕidt

=dϕ

dt= ω (2.15)

と書ける．ここで ωは剛体の回転角速度である．したがって

xi = −siϕ sinϕi = −siω sinϕi, yi = siϕ cosϕi = siω cosϕi (2.16)

となる．これより運動エネルギーは

T =N∑i=1

1

2mis

2i ϕ

2 =N∑i=1

1

2mis

2iω

2 (2.17)

となる．ここで，

I =

N∑i=1

mis2i (2.18)

と書くと

T =1

2Iϕ2 =

1

2Iω2 (2.19)

と表すことができる．ここで I は剛体の固定軸のまわりの慣性モーメントと呼ばれる．慣性モーメントは剛

体の質量分布と固定軸によって定まる量である．剛体の慣性モーメントにの物理的意味については次節で述

べる．

2.2.2 固定軸を持つ剛体のLagrange方程式

剛体を構成する各質点が保存力の作用を受けているとし，そのポテンシャルエネルギーを U としよう．一

般にはポテンシャルは各質点の位置を変数とする多変数関数として U(r1, r2, · · · , rN ) のように与えられる

が，上でも述べたように，各質点の位置は剛体の角度 ϕによって完全に指定されるのでポテンシャル U は

ϕの関数（ポテンシャルが時間に陽に依存する場合は ϕと tの関数）として与えることができる．従って，

Lagrangianは

L =1

2Iϕ2 − U(ϕ) (2.20)

と表すことができる．

この系の運動方程式は Lagrange方程式

d

dt

∂L

∂ϕ− ∂L

∂ϕ= 0 (2.21)

より導くことができる．ここで，d

dt

∂L

∂ϕ=

d

dtIϕ = Iϕ (2.22)

∂L

∂ϕ=∂U

∂ϕ(2.23)

より，運動方程式

43

Iϕ = −∂U

∂ϕ(2.24)

を得る．これが固定軸を持つ剛体の運動を記述する運動方程式である．具体的に U(ϕ)の関数形が与えられれ

ば，(2.24)式を解く事によって剛体の運動を調べることができる．例えばU が ϕによらず定数であれば ϕ = 0

より ϕ = ϕ0 + ωtとなり，一定の角速度で回転するという解が得られる．これは運動量保存則を意味する．

2.2.3 エネルギー保存則

力学的エネルギーの保存を証明しておこう．全エネルギーは E = T + U の時間微分

dE

dt=dT

dt+dU

dt(2.25)

を考える．ここで運動エネルギーの時間微分は

dT

dt=

d

dt

(1

2Iϕ2)

= Iϕϕ (2.26)

となる．一方，ポテンシャルエネルギーの時間微分は

dU

dt=∂U

∂ϕϕ (2.27)

である．以上をまとめるとdE

dt= ϕ

(Iϕ+

∂U

∂ϕ

)(2.28)

であるが，運動方程式 (2.24)より括弧の中は 0となる．よって

dE

dt= 0 (2.29)

であり，従って全エネルギーが保存することが示された．

44

演習問題

【問題 2-2-a】図 2.7のように水平な回転軸Oの周りで自由に回転する半径 aの円板があるとし，Oに関する

円板の慣性モーメントを I とする．この円板に質量が無視できる糸を巻き付け糸の端に質量mのおもりがつ

けてある．鉛直上向きに y軸をとり，おもりが円板の中心軸と同じ高さにあるときを y = 0とする．

(1)おもりの位置 yと円板の回転角 θに対する運動方程式を導け．

(2)時刻 t = 0でおもりを初速度 0で静かに落下させたとき，後の時刻におけるおもりと円板の運動を求めよ．

(3)時刻 t = 0で糸が巻かれる向きに円板に角速度 ω を与えたとき，後の時刻におけるおもりと円板の運動

を求めよ．おもりは最初の位置に比べてどれだけの高さまで上がることができるであろうか．

a

m

O

図 2.7: おもりをつけた糸を巻き付けた円板．

【問題 2-2-b】図のように中心軸 Oの周りで自由に回転する半径 aの円板があるとし，Oに関する円板の慣

性モーメントを I とする．これに質量が無視できる糸をかけ，その両端に質量がm，m′のおもり P，Qを結

ぶ．m > m′ とすれば，Pは落下し Qは上昇していく．糸はすべらないとものとする．

(1)おもり P,Qの位置と円板の回転角に対する運動方程式を求めよ．

(2)おもり P，Qに働く糸の張力 T，T ′ を求めよ．

【問題 2-2-c】質量M の剛体の一点Oを通る水平な軸を固定軸として，剛体を平衡の位置から傾けて離すと

剛体は鉛直面内で振動する．このような一種の振り子を剛体振り子，または物理振り子という．図のように

点 Oと重心 Gの間の距離を dとし，また Oを通り紙面と垂直な軸の周りの剛体の慣性モーメントを I とす

る．このとき，剛体振り子が微小振動するときの周期を求めよ．

45

a

PQ

O

図 2.8: 滑車の運動

O

x

y

G

図 2.9: 物理振り子

46

2.3 剛体の角運動量と慣性モーメント

2.3.1 剛体の角運動量

前節では，固定軸まわりを運動する剛体の運動方程式 (2.24)を Lagrange方程式より機械的に導いた．こ

こで，(2.24)式の物理的意味を考えよう．剛体の回転軸まわりの全角運動量（ここでは角運動量ベクトルの

z成分）

Lz =N∑i=1

mi(xiyi − yixi) (2.30)

を考える．円柱座標 (2.16)を使って角運動量を表すと

Lz =N∑i=1

mi[(si cosϕi)(siϕ cosϕi)− (si sinϕi)(−siϕ sinϕi)] =N∑i=1

mi(s2i cos

2 ϕi + s2i sin2 ϕi)ϕ

=

(N∑i=1

mis2i

)ϕ = Iϕ (2.31)

となる．従って (2.24)式の左辺は角運動量の z 成分の時間微分を表す．一方，右辺に表れる ∂U/∂ϕを各質

点に働く力を使って表すと

∂U

∂ϕ=

N∑i=1

(∂xi∂ϕ

∂U

∂xi+∂yi∂ϕ

∂U

∂yi

)= −

N∑i=1

(Fix

∂xi∂ϕ

+ Fiy∂yi∂ϕ

)(2.32)

ここで

∂xi∂ϕ

=∂

∂ϕ[si cos(ϕi0 + ϕ)] = −si sin(ϕi0 + ϕ) = −yi (2.33)

∂yi∂ϕ

=∂

∂ϕ[si sin(ϕi0 + ϕ)] = si cos(ϕi0 + ϕ) = xi (2.34)

であるから∂U

∂ϕ= −

N∑i=1

(−yiFix + xiFiy) = −N∑i=1

(ri × Fi)z = −Nz (2.35)

ここでN =∑N

i=1(ri × Fi)は系に働く力のモーメントである．よって，運動方程式 (2.24)は

dLz

dt= Nz (2.36)

という，剛体の角運動量に対するトルク方程式の形に書ける．また，剛体の回転角速度を用いて運動方程式

を書けば

Id2ϕ

dt2= I

dω

dt= Nz (2.37)

と書くこともできる．

慣性モーメントは剛体の回転運動の慣性の大きさを示すものである．力のモーメント N を一定にしたと

き，I が大きいほど回転角加速度 ω = ϕは小さい．また，慣性モーメントの表式 (2.18)より剛体の質量が同

じでも軸から遠くの方に質量が分布しているほど慣性モーメントが大きいことがわかる．フィギュアスケー

トでスピンの際にスケート選手が腕を縮める事で回転が早くなるのは，慣性モーメントが減少することによ

る．また，体操競技で屈身（膝を曲げる）よりも伸身（膝を伸ばす）の技の方が難易度が高いのも，慣性モー

メントが大きいために同じ回転速度を得るためにはより大きなトルクを必要とするためである．

2.3.2 剛体の慣性モーメント

剛体の慣性モーメントについて詳しく考察してみよう．

47

回転半径

剛体の質量分布と回転軸が与えられれば，この軸のまわりの慣性モーメントは

I =N∑i=1

mis2i (2.38)

で与えられる．ただし si は質点 iの軸からの距離である．ここで剛体の回転半径を

χ2 ≡ I

M=

∑Ni=1mis

2i∑N

i=1mi

(2.39)

で定義すると（M は剛体の全質量）慣性モーメントは

I =Mχ2 (2.40)

と書ける．

Steinerの定理

剛体の z軸まわりの慣性モーメントを考える．これは

I =N∑i=1

mi(x2i + y2i ) (2.41)

で与えられる．一方，剛体の重心G(xG, yG, zG)を通り，x, y, z軸に平行に x′, y′, z′軸をとると，z′軸のまわ

りの慣性モーメントは

I(G) =N∑i=1

mi(x′i2+ y′i

2) (2.42)

となる．ここで

xi = xG + x′i, yi = yG + y′i (2.43)

である．(2.43)式を使って慣性モーメント (2.41)式を書き直すと

I =

N∑i=1

mi[(xG + x′i)2 + (yG + y′i)

2] =

N∑i=1

mi(x2G + 2xGx

′i + x′i

2+ y2G + 2yGy

′i + y′i

2)

=M(x2G + y2G) +

N∑i=1

mi(x′i2+ y′i

2) + 2xG

N∑i=1

mix′i + 2yG

N∑i=1

miy′i (2.44)

となる．重心の定義より∑N

i=1mix′i = 0,

∑Ni=1miy

′i = 0であるから上式の最後の２項は消える．そこで

x2G + y2G = h2 (2.45)

とおけば

I = I(G) +Mh2 (2.46)

となる．この関係式を回転半径を使って書けば

χ2 = χ2G + h2 (2.47)

となる．ただし χG は z′ 軸のまわりの回転半径である．この式は Steinerの定理（又は平行軸の定理）とし

て知られている．この式を使えば，重心を通る軸のまわりの慣性モーメントがわかっていればこの軸に平行

で hだけ離れている軸のまわりの慣性モーメントを知ることができる．

48

特別な形状の剛体の場合について成り立つ定理

剛体中に原点Oをとり，x軸，y軸，z軸のまわりの慣性モーメントをそれぞれ Ix, Iy, Iz とする．これらは

Ix =

N∑i=1

mi(y2i + z2i ), Iy =

N∑i=1

mi(z2i + x2i ), Iz =

N∑i=1

mi(x2i + y2i ) (2.48)

で与えられる．ここで，剛体が非常に薄く xy平面上に広がっているとしよう．このときほとんど全ての質点

について zi ≪ xi, yi であるから (2.48)式の慣性モーメントはそれぞれ

Ix =N∑i=1

miy2i , Iy =

N∑i=1

mix2i , Iz =

N∑i=1

mi(x2i + y2i ) (2.49)

となる．したがって関係式

Iz = Ix + Iy (2.50)

が成り立つ．この式の両辺をM で割れば回転半径に対する関係式

χ2z = χ2

x + χ2y (2.51)

を得る．また，剛体が非常に細く，z軸方向を向いているとすると，ほとんど全ての質点について xi, yi ≪ zi

であるから

Ix =

N∑i=1

miz2i , Iy =

N∑i=1

miz2i , Iz = 0 (2.52)

となる．したがって

Ix = Iy, Iz = 0 (2.53)

が成り立つ．回転半径で書くと

χx = χy, χz = 0 (2.54)

となる．

連続的な質量分布を持つ剛体の慣性モーメント

剛体は非常に多くの質点から構成されている場合が多く，その場合は質量分布を連続的とみなすことがで

きる．このときには密度 ρ(r)を用いて慣性モーメント I を

I =

∫∫∫s2ρ(x, y, z)dxdydz (2.55)

と積分の形に書くことができる．ただし sは点 (x, y, z)の回転軸からの距離である．たとえば回転軸が z軸

であれば s2 = x2 + y2 である．密度 ρと N 質点系の質量分布の関係は，形式的にはデルタ関数を使って

ρ(x, y, z) =N∑i=1

miδ(x− xi)δ(y − yi)δ(z − zi) (2.56)

によって与えられる．実際に (2.56)式を (2.55)式に代入すれば慣性モーメントの表式 (2.18)を再現すること

は容易に示せる．

簡単な形状の剛体の慣性モーメントの具体的な計算は演習で行う．

49

2.3.3 剛体に働く外力の行う仕事

剛体に働く外力 Fexi によって，剛体中の各質点の位置ベクトルが dri だけ変位したとき，外力が行った仕

事は

dW =N∑i=1

Fexi · dri (2.57)

で与えられる．固定軸のまわりの運動に対しては

dxi = −yidϕ, dyi = xidϕ, dzi = 0 (2.58)

であることより

dW =

[N∑i=1

(xiFexiy − yiF

exix )

]dϕ = Nzdϕ (2.59)

となる．

50

演習問題

【2-3-a】太さの無視できる，質量M，長さ lの一様な剛体の棒について，以下の量を計算せよ．

(1) 重心を通って棒に垂直な回転軸に関する慣性モーメント IG （図 2.10(a)）．

(2) 端を通って棒に垂直な回転軸に関する慣性モーメント I （図 2.10(b)）．

O x

(a)

O x

(b)

図 2.10: 剛体棒の慣性モーメント．

【2-3-b】半径 a，質量M の一様な円板の中心を通り円板と垂直な固定軸に関する慣性モーメントを求めよ．

【2-3-c】半径 aの一様な球の中心を通る固定軸に関する慣性モーメントを求めよ．ただし，球の質量をM と

する．

51

2.4 剛体の平面運動

2.4.1 剛体の平面運動のLagrange方程式

O x

y

x′

y′

G(xG, yG)

図 2.11: 剛体の平面運動

剛体の各点が常にある一つの平面に平行に運動するとき，この運動を平面運動とよぶ．剛体の重心が xy平

面内を運動するものとすると，剛体の位置は重心座標 (xG, yG)で表すことができる．また，剛体の向きは，

重心を通り xy面内にある直線が x軸となす角 ϕによって表すことができる．このようにして，剛体の位置

と向きを３変数 (xG, yG, ϕ)によって与えることができる．剛体中の質点の位置座標は，重心に対する相対座

標を使って表すことができる．

xi = xG + x′i, yi = yG + y′i, zi = z′i (2.60)

各質点が平面上を運動するので zi は時間によらない定数であり，従って zi = z′i = 0である．

平面運動を行う剛体の Lagrangianを導こう．まず，質点系の運動エネルギーの一般的表式は

T =N∑i=1

1

2mi(x

2i + y2i + z2i ) (2.61)

である．zi = 0であることと，重心座標と相対座標を用いると

xi = xG + x′i, yi = yG + y′i (2.62)

x2i + y2i = x2G + y2G + 2xGx′i + 2yGy

′i + x′i

2+ y′i

2(2.63)

より

T =1

2

(N∑i=1

mi

)(x2G + y2G) +

(xG∑

mix′i + yG

∑miy

′i

)+

N∑i=1

1

2mi

(x′

2

i + y′2

i

)(2.64)

となる．ここで第一項は全質量M =∑N

i=1mi を用いると

TG =1

2M(x2G + y2G) (2.65)

と書ける．これは重心運動のエネルギーを表す．また，第二項は 0となることを以下に示そう．まず，重心

座標の定義 xG =∑N

i=1mixi/M, yG =∑N

i=1miyi/M より

N∑i=1

mix′i =

N∑i=1

mi(xi − xG) =N∑i=1

mixi −MxG =MxG −MxG = 0 (2.66)

52

N∑i=1

miy′i =

N∑i=1

mi(yi − yG) =

N∑i=1

miyi −MyG =MyG −MyG = 0 (2.67)

が成り立つ．これらの時間微分も 0であるから

d

dt

(N∑i=1

mix′i

)=

N∑i=1

mix′i = 0,

d

dt

(N∑i=1

miy′i

)=

N∑i=1

miy′i = 0 (2.68)

となる．これより (2.64)式の第二項は 0となる．第三項は相対運動の運動エネルギー

T ′ =N∑i=1

1

2mi(x′i

2+ y′i

2) (2.69)

を表す．以上より運動エネルギーは重心の運動エネルギーと相対運動のエネルギーの和

T = TG + T ′ =1

2M(x2G + y2G) +

N∑i=1

1

2mi

(x′

2

i + y′2

i

)(2.70)

で与えられる．剛体の平面運動に限らず，一般に質点系の運動エネルギーは重心運動の運動エネルギーと相

対運動の運動エネルギーの和で与えられる．

ここで，相対運動については固定軸を持つ剛体の運動を考えた時と同様に考えればよい．まず，相対座標

を (x′i, y′i)を円柱座標 (si, ϕi)で表す．

x′i = si cosϕi, y′i = si sinϕi (2.71)

さらに，全ての質点の角度変数 ϕi を剛体の代表的な角度 ϕを用いて ϕi(t) = ϕi0 + ϕ(t)と表す．前節と同様

の手続きによって，相対運動の運動エネルギーは

T ′ =1

2I(G)ϕ

2 (2.72)

と書ける．ここで I(G) は剛体の重心を通って z軸に平行な軸のまわりの慣性モーメント

I(G) =N∑i=1

mi(x′i2+ y′i

2) (2.73)

である．以上より，平面運動する剛体の運動エネルギーは

T =1

2M(x2G + y2G) +

1

2I(G)ϕ

2 (2.74)

となる．

剛体の各質点に，ポテンシャル U から導かれる保存力が働いているものとする．剛体中の各質点の位置は

三変数 (xG, yG, ϕ)で指定されるので，ポテンシャルエネルギーは xG, yG, ϕの関数 U = U(xG, yG, ϕ)として

与えることができる．以上より，平面運動を行う剛体の Lagranganは

L(xG, yG, ϕ, xG, yG, ϕ) =1

2M(x2G + y2G) +

1

2I(G)ϕ

2 − U(xG, yG, ϕ) (2.75)

となる．

xG, yG, ϕに対する Lagrange方程式d

dt

∂L

∂xG− ∂L

∂xG= 0 (2.76)

d

dt

∂L

∂yG− ∂L

∂yG= 0 (2.77)

d

dt

∂L

∂ϕ− ∂L

∂ϕ= 0 (2.78)

53

より運動方程式の具体的表式を導こう．Lagrangianの表式 (2.75)より xG, yG, ϕに対する運動方程式を具体

的に導出すると

Md2xGdt2

= − ∂U

∂xG(2.79)

Md2yGdt2

= − ∂U

∂yG(2.80)

Id2ϕ

dt2= −∂U

∂ϕ(2.81)

となる．これらの運動方程式を，各質点に働く力を使って表すことも出来る．質点の座標を xG, yG, ϕを使っ

て表すと

xi = xG + x′i = xG + si cos(ϕi0 + ϕ), yi = yG + y′i = yG + si sin(ϕi0 + ϕ) (2.82)

と書ける．ポテンシャルがもともと各質点の座標の関数 U = U(xi, yi, zi)として与えられているものとすると，U を xG, yG, ϕでそれぞれ微分したものは (2.82)式より

∂U

∂xG=

N∑i=1

∂xi∂xG

∂U

∂xi=

N∑i=1

∂U

∂xi= −

N∑i=1

Fix = −Fx (2.83)

∂U

∂yG=

N∑i=1

∂yi∂yG

∂U

∂yi=

N∑i=1

∂U

∂yi= −

N∑i=1

Fiy = −Fy (2.84)

∂U

∂ϕ=

N∑i=1

(∂xi∂ϕ

∂U

∂xi+∂yi∂ϕ

∂U

∂yi

)=

N∑i=1

(∂x′i∂ϕ

∂U

∂xi+∂y′i∂ϕ

∂U

∂yi

)=

N∑i=1

(y′iFix − x′iFiy) = −N ′z (2.85)

となる．ただし Fx, Fy は剛体に働く力の和の x, y成分，N ′z は重心を通って z軸に平行な回転軸のまわりで

の力のモーメントである．以上より，平面運動する剛体の運動方程式は，以下のように書くこともできる．

Md2xGdt2

= Fx (2.86)

Md2yGdt2

= Fy (2.87)

Id2ϕ

dt2= N ′

z (2.88)

重心を通って z軸に平行な軸のまわりの角運動量は

L′z =

N∑i=1

mi(x′iy

′i − y′ix

′i) (2.89)

と書けるので，(2.88)式はトルク方程式の形

dL′z

dt= N ′

z (2.90)

に書くことも出来る．

2.4.2 エネルギー保存則と仕事

剛体の力学的エネルギー

E(xG, yG, ϕ, xG, yG, ϕ) = T (xG, yG, ϕ) + U(xG, yG, ϕ) =1

2M(x2G + y2G) +

1

2I(G)ϕ

2 + U(xG, yG, ϕ) (2.91)

が保存することは容易に示せる．まず運動エネルギーの時間微分は

dT

dt=MxGxG +MyGyG + I(G)ϕϕ (2.92)

54

となる．次にポテンシャルエネルギーの時間微分は

dU

dt=

∂U

∂xGxG +

∂U

∂yGyG +

∂U

∂ϕϕ (2.93)

となる．これらを合わせると

dE

dt=

(MxG +

∂U

∂xG

)xG +

(MyG +

∂U

∂yG

)yG +

(I(G)ϕ+

∂U

∂ϕ

)ϕ = 0 (2.94)

を得る．

剛体が外力のもとで運動するときに，外力が行う仕事を求めよう．平面運動を行っているとき剛体の各点

は z方向には動かないので，剛体の各質点の位置が微少量 dxi, dyi だけ移動したときの仕事は

dW =N∑i=1

(Fixdxi + Fizdyi) (2.95)

である．ここで

dxi = dxG + dx′i = dxG − r′i sinϕidϕ = dxG − y′idϕ (2.96)

dyi = dyG + dy′i = dyG + r′i cosϕidϕ = dyG + x′idϕ (2.97)

である．これらを (2.95)式に代入すれば

dW = FxdxG + FydyG +N ′zdϕ (2.98)

を得る．

2.4.3 拘束条件がある場合

以上の議論は剛体が平面運動を行うということ以外には拘束条件は課せられていないものと仮定していた．

しかしながら，重心運動と回転運動の間に何らかの拘束条件が課せられている場合も少なくない．具体的に

以下の例題によって拘束条件が課せられている場合の剛体の平面運動の取り扱いを説明する．

【例題 2-4-a】半径 a，質量M の一様な円柱が粗い水平面上を滑らずに転がっている．円柱の重心は x軸に平

行に運動しているものとする．円柱にはポテンシャルU から導かれる外力が働いており，その総和はF = F x

である．また，重心を通る軸のまわりの外力のモーメントは 0であるとする．

x

F G

xGFf

a

図 2.12: 平面上を滑らずに転がる円柱の運動

(1)円柱の重心座標 xG と角度 ϕを用いて Lagrangianを表せ．

(2)円柱が滑らないという拘束条件より角度 ϕを xG を用いて表し，Lagrangianを xG のみの関数として与

えよ．

(3)Lagrange方程式より xG に対する運動方程式を導け．

55

(4)円柱に働く力の総和 Ftotは外力 Fと床との摩擦力 Ff の和で与えられる．前問で導いた運動方程式より，

摩擦力 Ff を外力 F で表せ．また，円柱に働く力のモーメントを求め，角度 ϕに対する運動方程式を与えよ．

(5)円柱と水平面の間の静止摩擦係数を µとしたとき，円柱が滑らないための条件を求めよ．

【解答】

(1) 外力が x 成分のみを持つことから ∂U/∂y = 0 である．また，外力のモーメントが 0 であることから

∂U/∂ϕ = 0 である．よってポテンシャル U は xG のみの関数 U = U(xG) として与えられる．ただし，

dU/dxG = −F である．また，重心は x方向のみ運動することから yG = 0である．以上より Lagrangianは

L =M

2x2G +

1

2Iϕ2 + U(xG) (2.99)

となる．

(2) 円柱が滑らずに転がっている場合は，水平面と円柱の間に働く摩擦力は仕事をしない．よって，円柱が滑

らないという拘束条件は滑らかな拘束と見なすことができる．この拘束条件より，xG = −aϕという関係が成り立つ．よって

L =M

2x2G +

1

2I(xG/a)

2 + U(xG) =M

2

(1 +

I

Ma2

)x2G + U(xG) (2.100)

となる．

(3) Lagrange方程式d

dt

∂L

∂xG− ∂L

∂xG(2.101)

より

M

(1 +

I

Ma2

)d2xGdt2

= F (2.102)

となる．円柱の慣性モーメントが I/Ma2 = 1/2であることを使うと

3

2Md2xGdt2

= F (2.103)

となる．この運動方程式は，円柱が滑らずに回転する場合は，円柱が回転せずに滑らかに運動するときに比

べて，実効的に質量がM →M(1 + I

Ma2

)= 3M/2と増大していることを示している．

(4) 円柱の重心座標 xG に対する運動方程式を外力 F と摩擦力 Ff を使って書くと

Md2xGdt2

= F − Ff (2.104)

となる．この式と，前問で導いた運動方程式

Md2xGdt2

=

(1 +

I

Ma2

)−1

F =Ma2

Ma2 + IF (2.105)

を比較すると，

Ff = F − Ma2

Ma2 + IF =

I

Ma2 + IF (2.106)

となる．円柱の慣性モーメントMa2/I = 2を使うと

Ff =F

3(2.107)

となる．また，円柱に働く力のモーメントの大きさは N = aFf であるから

Id2ϕ

dt2= −aFf (2.108)

となる．

56

(5) 最大静止摩擦力は

F0 = µMg (2.109)

であるから，円柱が滑らないための条件は Ff < F0 より

F < µMg

(1 +

Ma2

I

)= 3µMg (2.110)

となる．

演習問題

【問題 2-4-a】半径 a，質量M の一様な円柱が，水平面と角 αをなすあらい斜面 (静止摩擦係数 µ)の上を滑

らずに転がり落ちる．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，重力加速度を gとする．

(1)図 2.13のように座標軸をとる．摩擦力を F，重心の座標を xG，重心の周りの回転角を θとする．このと

き，Lagrangianを xG, θおよび円柱の重心を通る回転軸に関する慣性モーメント I を用いて表せ．

(2)今，円柱は斜面にそって滑らないとしているので，xG = aθが成り立つ．この条件を用いて，Lagrangian

を xG, xG の関数として与えよ．

(3)Lagrange方程式より xG に対する運動方程式を求めよ．

(4)水平面と円柱の間に働く摩擦力を Ff とする．Ff を g,M, a, I などを用いて表せ．

(5)円柱が滑らないための µに対する条件を求めよ．

x

y

G

図 2.13: 斜面を滑らずに転がる円柱．

【問題 2-4-b】図 2.14のように，質量M，半径 aの一様な円板の周りに糸を巻き付け，糸の一端を固定して

円板を落下させる．円板の重心は鉛直線上を運動するものとする．

(1)鉛直下向きに x軸をとり，円板の重心の座標を xG，円板の回転角を θとする．Lagrangianを xG, θを用

いて表せ．

(2)円板の重心の速度と回転角速度の関係を用いて Lagrangianを xG のみを用いて表せ．

(3)円板の重心の加速度および糸の張力を求めよ．

57

G

a

図 2.14: 糸を巻き付けた円板の運動．

【問題 2-4-c】一様で長さ 2a，質量M の棒の両端に鉛直な長さ lの糸をつけ水平につるしてある（図 2.15(a))．

a

a

図 2.15: 糸でつるされた棒の運動．(a)t < 0 では棒の両端につけた糸により棒は水平につるされている．

(b)t = 0において一方の糸を切断すると，t > 0では棒は運動を行う．(c)棒の運動を一般化座標 θ, ϕで表す．

(1)時刻 t < 0では棒は静止していた．このとき，それぞれの糸の張力を求めよ．

(2)図 2.15(b)のように，t = 0において一方の糸を切断すると，棒は運動を始める．t > 0における棒の運動

を記述する Lagrangianを求めよう．図 2.15(c)のように座標軸をとり，一般化座標として糸の振れ角 θを棒

の振れ角 ϕをとることにする．棒の重心座標 (xG, yG)を θ, ϕで表すことにより，Lagrangianを θ, ϕを使っ

て与えよ．

(3)Lagrange方程式より θ, ϕに対する運動方程式を導け．

(4)棒の重心まわりトルクは糸の張力によって与えられる．このことと (3)で導いた ϕに対する運動方程式よ

り糸の張力を回転角加速度 ϕを使って表せ．

(5) t = 0（片方の糸が切断された瞬間）における棒の重心の加速度，棒の回転角加速度，糸の張力を求めよ．

58

【問題 2-4-d】図 2.4.3のように，半径 Rの円筒の内部の面に沿って滑らずに転がる半径 a，質量M の一様

な円柱の運動を考える．円柱の軸の周りの慣性モーメントを I とする．鉛直上向きに y軸をとり，円柱には

一様な重力Mgが鉛直下向きに働いている．

(1)円柱の軸の x, y座標 (xG, yG)，円柱の代表的な角度を φとする．Lagrangianを (xG, yG, φ)を用いて表せ．

(2)円柱が円筒の内部表面に沿って運動するという拘束条件を取り入れるために，図 (b)のように角度 ϕを一

般化座標として用いる．円柱の位置 (xG, yG)および速度 (xG, yG)を ϕを用いて表せ．

(3)さらに，円柱が滑らずに転がるという条件より φを ϕを用いて表し，Lagrangianを ϕ, ϕのみの関数とし

て表せ．【ヒント：円柱が滑らずに転がっている場合，図より a(ϕ+ φ) = Rϕが成り立つ．】

(3) Lagrange方程式より ϕに対する運動方程式を導け．

(4)ϕ≪ 1のとき，運動方程式を ϕについて線形化し，その一般解を求めよ．

59

2.5 剛体の三次元的な運動

今までは剛体の回転軸が常にある軸に平行である場合を考えてきた。ここでは，剛体が固定軸を持たない

様な場合も含んだ一般的な運動の記述を考える．前節でも見たように，剛体中の各点の座標を重心座標 rGと

相対座標 r′i = r− rG を用いて表すと運動エネルギーは

T = TG + T ′, TG =1

2M r2G, T ′ =

N∑i=1

1

2mir

′i2

(2.111)

と表すことができる．この表式は剛体に限らず全ての質点系に対して一般的に成り立つ．この質点系が剛体

を構成している場合，剛体の定義により剛体内の各質点と重心の距離は常に不変である．従って剛体内の各

質点は重心Gを中心とする球面上を運動し，剛体全体としては重心Gを固定点としてそのまわりを回転する

ことになる．そこで以下では，固定点を持つ剛体の回転運動を考えることにする．実際に剛体のある一点が

固定されている場合であっても良いし，剛体が並進運動を行っている場合には重心からの相対座標を考えて，

重心の位置を固定点とすればよい．例えば，コマの運動においてコマの一部分が地面に接していて動かない

場合，ここを固定点とする．

前にも扱ったように，回転軸が z軸に固定されている場合は，剛体中の各質点の相対座標を円柱座標

xi = si cosϕi, yi = si sinϕi (2.112)

と表したとき si は時間によらず一定となり ϕi の時間微分は剛体の全ての点で共通，つまり ϕi = ϕとなる．

ここで ϕは剛体の代表的な点の z軸まわりの回転角である．これらを用いると，各質点の速度は

xi = −ϕsi sinϕi = −yi, yi = ϕsi cosϕi = ϕxi, zi = 0 (2.113)

となる．ここで角速度ベクトルをΩ = ϕzとすると (2.113)式は

ri = Ω× ri (2.114)

と表すことができる．これは回転軸が一般の向きの場合であっても，角速度ベクトルを回転軸の向きを持ち

大きさが軸まわりの回転角速度 ϕに等しいベクトルとして定義すれば，やはり各質点の速度は (2.114)式の

形に表すことができる．

非常に短い時間内の剛体の回転を考えると，これは重心を通る１つの軸の周りの微小回転によって表され

るはずである．そこで，時間に依存する角速度ベクトルΩ(t)を導入すれば，微小時間 t ∼ t+ dtにおける剛

体各点の座標ベクトルの変化は

ri(t+ dt) = ri + (Ω× ri)dt (2.115)

と表すことができて，その時間微分，つまり速度ベクトルは

ri = Ω× ri (2.116)

で与えられる．

以上を用いて剛体の一般的な運動に対する運動エネルギーの表式を導こう．(2.114)式を質点系の運動エネ

ルギーの一般的表式に代入すると，回転運動エネルギーの表式

T =

N∑i=1

1

2mi(Ω× ri)

2 (2.117)

を得る．この表式をベクトル解析の公式 (A×B)2 = A2B2 − (A ·B)2 1を使って書き換えると

(Ω× ri)2 = Ω2ri

2 − (Ω · ri)2 =∑

µ=1,2,3

ω2µ

∑ν=1,2,3

xiν2 −

( ∑µ=1,2,3

ωµxiµ

)2

=∑

µ=1,2,3

∑ν=1,2,3

[ω2µxiν

2 − ωµωνxiµxiν]

(2.118)

1幾何学的には，二つのベクトル A,B のなす角を θ とすると A × B の大きさは |A × B| = |A||B| sin θ となる．これと，A ·B = |A||B| cos θ を使えばこの公式が得られる．

60

となる．ただし，Ω = (ω1, ω2, ω3), ri = (xi1, xi2, xi3)とした．ここで慣性モーメントテンソルを

Iµν =∑i

mi(δµνri2 − xiµxiν) (2.119)

で定義すると，回転運動のエネルギーは

T =1

2

3∑µ,ν=1

Iµνωµων (2.120)

と表される．剛体中の質点の分布が連続的な質量密度分布関数 ρ(r)で与えられる場合，慣性モーメントテン

ソルは

Iµν =

∫dr′ρ(r)(δµνr

2 − xµxν) (2.121)

で与えられる．Iνµは νµの入れ替えに対して対称であるから，実対称行列である．線形代数でも勉強したよ

うに，このような行列は適当な直交行列によって対角化できる．つまり，適当な直交座標系をとることによっ

て Iµν が対角成分のみを持つ，つまり

Iµν = δµνIµ (2.122)

となるようにできる．このときの座標軸を慣性主軸，I1, I2, I3 を主慣性モーメントを呼ぶ．

固定軸を持つ剛体の場合，剛体の角運動量と回転角速度は慣性モーメントによって結びつけられていた．今

の場合においても類似の関係が成り立つかどうか見てみよう．質点系の角運動量の表式 L =∑N

i=1mir× ri

において (2.116)式を代入すると

L =∑i

miri × (Ω× ri) (2.123)

となる．ここでベクトルの外積の公式A× (B×C) = B(A ·C)−C(A ·B) を用いると

L =∑i

mi

[Ωr2i − ri(Ω · ri)

](2.124)

となる．各運動ベクトルの各成分を L = (L1, L2, L3)と書く事にすると

Lµ =∑i

mi

[ωµr

2i − xiµ

3∑ν=1

ωνxiν

]=

3∑ν=1

∑i

mi

(δµνr

2i − xiµxiν

)ων

=3∑

ν=1

Iµνων (2.125)

となる．

61

第II部

解析力学

第3章 Hamiltonの変分原理

この章では力学法則を変分原理によって定式化しよう．1章で導入した Lagrange方程式が Hamiltonの変

分原理によって導出されることを示す．

3.1 変分原理による力学法則の定式化

Hamiltonの変分原理によると，力学法則は以下のように定式化される．ある系の力学的状態が n個の

一般化座標 qiによって表されているとする．時刻 t = t1 および t = t2 (t1 < t2)に，系が 2組の座標値

(qi1, qi2)で与えられる状態にあったとしよう．つまり

qi(t1) = qi1, qi(t2) = qi2, (i = 1, 2, · · · , n) (3.1)

であったとする．この間の時刻 t1 < t < t2 では，系は次のように定義された作用積分

S =

∫ t2

t1

L(qi, qi, t)dt (3.2)

が停留値を取るように運動する．この変分原理は最小作用の原理とも呼ばれる．（一般には作用積分はかなら

ずしも最小値であるとは限らない．あとで示すように，運動方程式を導くのには停留条件のみを使う．）

3.1.1 質点の一次元運動の場合

x(t1) = x1 x(t) x(t2) = x2

x

図 3.1: 粒子の一次元的な運動

一番簡単な，運動の自由度が１である場合について具体的に，変分原理が確かに力学法則を正しく表して

いることを見てみよう．質量mの質点が x軸上で一次元的な運動を行っているとする．図 3.1に示すように，

時刻 t1 に空間の点 x1 から出発し，時刻 t2 に点 x2 に達する質点の運動の，時刻 t1 < t < t2 における運動

x(t) を求めたい．言うまでもなく，質点の運動は以下の Newton方程式に従う．

md2x

dt2= F (x) = − d

dxU(x) (3.3)

ただしここでは保存力の場合のみを考え，力がポテンシャル U によって与えられるとした．

時刻 t1 < t < t2 における質点の位置 xは時刻 tの関数 x(t)として与えられる．これを運動の経路と呼ぼ

う．実際に Newton方程式に従って実現する経路（図 3.2の 1⃝ とする）はただ１つだけである．しかしここ

では，物理的には実現不可能な仮想的な経路（例えば図の 2⃝， 3⃝）もならべて考えることにする．もちろん，この２つ以外にも仮想的な経路は無数存在する．数多くの可能な経路の中から，物理的に実現する経路を選

び出すというのが変分原理の考え方である．微分方程式により逐次的に位置を求めていくのではなく，「いっ

63

x

x1

x2

tt1 t2

1©

2©

3©

図 3.2: 粒子の運動の経路

t

x

x1

x2

t1 t2

1©

2©

t

図 3.3: 経路の微小変化

ぺんに」経路を求めてしまう，という考え方であると言ってもよいだろう．Lagrangianを時間に沿って積分

した作用積分を考えよう．

S =

∫ t2

t1

L(x(t), x(t))dt (3.4)

先にも述べたように，ここでは様々な仮想的な経路 x(t)を考える．経路 x(t)（つまり x(t)の関数形)を与える

と作用 Sの値が一つに決まる．このような Sを xの汎関数（functional）と呼ぶ．いわば，汎関数は「関数の関

数」である．ある経路 x(t)（図 3.3の 1⃝）を少しだけずらして x(t)+ δx(t)としたとき（図 3.3の 2⃝）の Sの

値の微小変化，つまり変分 δSを考えよう．ただし，始点と終点は固定されているので，δx(t1) = δx(t2) = 0

である．変分 δS = S[path 2]− S[path 1]を δxの 1次まで計算しよう．ここで

S[path 1] =

∫ t2

t1

L(x(t), x(t))dt (3.5)

S[path 2] =

∫ t2

t1

L(x(t) + δx(t), x(t) + δx(t))dt (3.6)

である．S[path 2]の被積分関数の Lagrangianを δxと δxの一次まで展開すると

S[path 2] ≃∫ t2

t1

L(x(t), x(t))dt+

∫ t2

t1

(∂L

∂xδx+

∂L

∂xδx

)dt

64

= S[path 1] +

∫ t2

t1

(∂L

∂xδx+

∂L

∂xδx

)dt (3.7)

であるから，作用積分の変分 δS は

δS =

∫ t2

t1

(∂L

∂xδx+

∂L

∂xδx

)dt (3.8)

となる．ここで上式の積分の第二項目を部分積分できて∫ t2

t1

∂L

∂x

(d

dtδx

)dt =

[∂L

∂xδx

]t2t1

−∫ t2

t1

d

dt

(∂L

∂x

)δxdt = −

∫ t2

t1

d

dt

(∂L

∂x

)δxdt (3.9)

となる．ただし，最後の式変形では支点と終点が固定されていること (δx(t1) = δx(t2) = 0)を使った．以上

より，変分 δS は

δS =

∫ t2

t1

[∂L

∂x− d

dt

(∂L

∂x

)]δxdt (3.10)

で与えられる．

ここで「δx(t) の関数形をどのように選んだとしても（つまり任意の δx に対して），必ず変分 δS が 0で

ある」という条件を課してみよう．

δS =

∫ t2

t1

[∂L

∂x− d

dt

(∂L

∂x

)]δxdt = 0 (3.11)

この条件は，「作用積分が停留値を取る」ということもできる. 任意の δx に対してこれが成り立つためには，

積分の [ ]の中が 0になる必要がある．したがって，

∂L

∂x− d

dt

(∂L

∂x

)= 0 (3.12)

を得る．これは Lagrange方程式に他ならない．これは作用積分が停留値をとるための十分条件でもある．以

上より，「運動方程式を満たす現実の運動は作用積分の停留値を与える経路 x(t)で与えられる」ことが示さ

れた．

3.1.2 一般的な場合への拡張

今までの話を一般に運動の自由度が nである場合に拡張しよう．例えばN 個の質点系で自由度が 3N の場

合である．時刻 t = t1 および t = t2 (t1 < t2)に，系が 2組の座標値 qi1, qi2で与えられる状態にあったとし，この間の時刻 t1 < t < t2 での運動を考える．様々な仮想的な経路 qi(t)の中から，運動方程式に従い実際に実現する唯一の経路がHamiltonの変分原理によって選び出されることを示したい．つまり，ある経

路が作用積分

S =

∫ t2

t1

L(qi, qi, t)dt (3.13)

の停留値を与えるという条件は Lagrange方程式

∂L

∂qi− d

dt

(∂L

∂qi

)= 0 (3.14)

と同値であることを示したい．

ある経路 qi(t) を少しだけずらして qi(t) + δqi(t)としたときの S の変分 δS = S[qi + δqi]− S[qi]を考えよう．ただし， 始点と終点は固定されているので，全ての iについて δqi(t1) = δqi(t2) = 0である．

S[qi] =∫ t2

t1

L(qi(t), qi(t), t)dt (3.15)

65

S[qi + δqi] =∫ t2

t1

L(qi(t) + δqi(t), qi(t) + δqi(t), t)dt (3.16)

1自由度の場合と同様に S[qi + δqi]を δqi と δqi の一次まで展開して

S[qi + δqi] ≃∫ t2

t1

L(qi(t), qi(t), t)dt+n∑

i=1

∫ t2

t1

(∂L

∂qiδqi +

∂L

∂qiδqi

)dt = S[qi] + δS (3.17)

したがって，作用 S の変分は

δS =n∑

i=1

∫ t2

t1

(∂L

∂qiδqi +

∂L

∂qiδqi

)dt (3.18)

となる．ここで積分の中の第二項目を部分積分できて∫ t2

t1

∂L

∂qi

(d

dtδqi

)dt =

[∂L

∂qiδqi

]t2t1

−∫ t2

t1

d

dt

(∂L

∂qi

)δqidt = −

∫ t2

t1

d

dt

(∂L

∂qi

)δqidt (3.19)

となる．ここで最後の式変形では始点と終点が固定されていること（全ての iに対して δqi(t1) = δqi(t2) = 0）

を使った．以上より，作用積分の変分 δS は以下のように与えられる．

δS =n∑

i=1

∫ t2

t1

[∂L

∂qi− d

dt

(∂L

∂qi

)]δqidt (3.20)

ここで「δqi(t)の関数形をどのように選んだとしても（つまり任意の δqi に対して），必ず変分 δS が 0であ

る」という停留条件を課そう．

δS =

n∑i=1

∫ t2

t1

[∂L

∂qi− d

dt

(∂L

∂qi

)]δqidt = 0 (3.21)

任意の δqi に対して上式の変分 δS が 0になるためには，積分の [ ]の中が全ての iに対して常に 0である必

要がある．したがって，∂L

∂qi− d

dt

(∂L

∂qi

)= 0 (3.22)

を得る．これは一般化座標の場合の Lagrange方程式に他ならない．したがって，以下の変分原理が示された．

Hamiltonの変分原理 運動方程式を満たす現実の運動は作用積分の停留値を与える経路 qi(t)で与えられる．

3.1.3 周期運動の場合の変分原理

変分原理より Lagrange方程式を導く際に，(3.19)式の変形において端点条件（全ての iに対して δqi(t1) =

δqi(t2) = 0）を用いた．ここで，系が周期 T の周期運動を行っている場合を考えてみよう．つまり，全ての

iに対して

qi(t+ T ) = qi(t), qi(t+ T ) = qi(t), δqi(t+ T ) = δqi(t) (3.23)

を仮定する．作用積分において t2 = t1 + T とおけば (3.19)式の第一項は[∂L

∂qiδqi

]t1+T

t1

=∂L

∂qiδqi

∣∣∣∣t1+T

− ∂L

∂qiδqi

∣∣∣∣t1

= 0 (3.24)

となり消える．したがって周期運動の場合は１周期 T にわたる作用積分を考えれば端点を固定するという条

件無しでも変分原理が成り立つ．

66

演習問題

【問題 3-1-a】質量mの粒子が一次元的な運動をして，時刻 t1で x1を出発して時刻 t2で x2に到達する．こ

こで，次のように tの 2次関数で与えられる経路のみを考える．

x(t) = a+ bt+ ct2 (3.25)

(1) 端点の条件 x(t1) = x1, x(t2) = x2 より係数 a, bを cを用いて表せ．

(2) 一様重力下の運動を考える．Lagrangianは

L(x, x) =m

2x2 −mgx (3.26)

である．上の２次関数の経路について具体的に作用積分 S を計算し，係数 cの関数として与えよ．

(3) 作用が停留値をとる条件 ∂S/∂c = 0より係数 cを定め，経路を決定せよ．

【問題 3-1-b】単振り子の Lagrangian

L(θ, θ) =m

2l2θ2 −mg cos θ (3.27)

を θの４次まで展開すると

L =m

2l2θ2 +mgl

(1− θ2

2+θ4

24

)(3.28)

となる．展開の２次まで止めると，これは調和振動子の Lagrangianと等価であり，角振動数√g/lの単振動

が運動方程式の解となる．展開の 4次までとると運動方程式の解は単振動ではなくなるが，ここで近似的な

解として

θ(t) = A sinωt (3.29)

を仮定しよう．ここで，t1 = 0, t2 = 2π/ωとすれば，上の近似解は係数 Aによらず，θ(t1) = θ(t2) = 0を満

足する．最適な係数 Aを求めるために変分原理を用いよう．

(1) 試行関数を用いて作用積分を計算し，Aの関数として与えよ．

(2) 作用の停留条件 ∂S/∂A = 0より，振幅 Aと角振動数 ωの関係式を Aの二次まで求めよ．

ω2 =g

l

(1− A2

8

)(3.30)

を導け．

【問題3-1-c】原点に固定された質量Mの質点のまわりを万有引力を受けて運動する質量mの質点のLagrangian

は

L(r, r) =m

2r2 +G

mM

|r|(3.31)

で与えられる．

(1)質点が xy平面内で半径 a，角振動数 ωの等速円運動を行っていると仮定して，１周期 T = 2π/ωにわた

る作用積分

S(a) =

∫ T

0

Ldt (3.32)

を aの関数として求めよ．

(2)作用が停留値をとる条件より半径 aと周期 T の関係を求め，この結果がケプラーの第３法則と一致して

いるかどうか確かめよ．

67

3.2 仮想仕事の原理からHamiltonの変分原理を導くこと

これまでは，Hamiltonの変分原理 δS = 0を天下り的に与えて，ここから Lagrange方程式が導かれるこ

とを示した．ここでは，運動状態に対する仮想仕事の原理 (1.93)式より変分原理が導かれることを示そう．

仮想仕事の原理を Lagrangianを使って表すと

n∑j=1

(∂

∂qj− d

dt

∂

∂qj

)L(qi, qi, t)δqj = 0 (3.33)

と書ける．上式の両辺を時間に沿って t1 から t2 まで積分しよう．∫ t2

t1

dtn∑

j=1

(∂

∂qj− d

dt

∂

∂qj

)L(qi, qi, t)δqj = 0 (3.34)

ここで積分第二項目は部分積分できて∫ t2

t1

dt

(− d

dt

∂L

∂qj

)δqj = −

[∂L

∂qjδqj

]t2t1

+

∫ t2

t1

dt

(∂L

∂qj

)δqj (3.35)

ここで，仮想変位としては必ず始点と終点は固定されているものを考えることにすると δqi(t1) = δqi(t2) = 0

より右辺第一項目は消えて ∫ t2

t1

dt

(− d

dt

∂

∂qj

)δqj =

∫ t2

t1

dt

(∂L

∂qj

)δqj (3.36)

となる．これを用いると (3.33)式は∫ t2

t1

dtn∑

j=1

(∂L

∂qjδqj +

∂L

∂qjδqj

)= δ

∫ t2

t1

dtL(qi, qi, t) = 0 (3.37)

となる．これは正に作用積分の停留条件 δS = 0に他ならない．

3.3 変分原理に関する補足

3.3.1 Euler-Lagrange方程式

Hamiltonの変分原理から Lagrange方程式を導く際に，Lagrangianの関数形については何も指定しなかっ

た．したがって，より一般的にある任意の関数 F (x, x, t)が与えられているとき，汎関数

I[F ] =

∫ t2

t1

F (x, x, t)dt (3.38)

が x(t1) = x1, x(t2) = x2 のもとで極値をとるための x(t)に対する条件は，

∂F

∂x− d

dt

(∂F

∂x

)= 0 (3.39)

で与えられる．このように，一般に汎関数の極値を与える条件が微分方程式で表されるとき，これを Euler

（オイラー）方程式又は Euler-Lagrange方程式と呼ぶ．関数 F (x, x, t)のとり方を変えれば Newton運動

方程式とは異なる方程式，例えば相対論的運動方程式を導出するような作用積分を作ることも可能である．

3.3.2 汎関数微分について

関数 x(t)の汎関数である S の変分 δS が

δS =

∫ t2

t1

[∂L

∂x− d

dt

(∂L

∂x

)]δxdt (3.40)

68

のように書けるとき，これを

δS =

∫ t2

t1

δS

δxδxdt (3.41)

と書いてδS

δx=∂L

∂x− d

dt

(∂L

∂x

)(3.42)

を汎関数 S[x]の汎関数微分を呼ぶ．これはあくまでも記号の定義であり決して単に δS を δxで割ったもの

ではないことに注意されたい．（そもそも S は数なのに対して xは tの関数なので，割ることはできない．）

3.3.3 物理学における変分原理

n1

n2

図 3.4: 屈折率が異なる二つの媒質が接している場合の光の伝播．光の経路は Fermatの原理に従う．

力学以外にも，様々な物理法則を変分原理によって記述することが出来る．詳しくは物理数学 2Bで学ぶ

はずである．例えば，幾何光学における Fermatの原理は次のように表される．

Fermatの原理 二点間を伝わる光はその伝播時間を最小にするような経路をたどる．

Fermatの原理から Snellの屈折の法則を導くことができる．例えば図 3.4のように屈折率が異なる二つの媒

質が接している場合，屈折の法則に従う光の経路は，その伝播時間が最小であるような経路である．

「作用を最小にするように物体の運動が実現する」という記述は，何がしかの「目的」に従って物事が起

こるような感じを与える．このことから，変分原理は単なる物理法則以上に「神の摂理」の現れである，と

いうような意味づけをされていたこともあるようだ．実用的には，演習問題 3-1-a～cのように運動方程式の

解を変分原理を使って近似的に求めることができる．このような計算方法は変分法と呼ばれる．

69

第4章 Hamiltonの正準形式

4.1 正準運動方程式

これまでに学んだ Lagrange形式では，運動を一般化座標 qi(t)の時間変化として表した．Lagrange方程

式から導かれる一般化座標についての運動方程式は，時間に関して２階の微分方程式であった．運動方程式

が２階の微分方程式であることは，運動を決定するにはある時刻における座標と速度を指定する必要がある

ことを示している．このことは，Newton運動方程式mr = Fを座標と速度に対する連立方程式の形

dr

dt= v, m

dv

dt= F (4.1)

に書き直してみるとよく理解できる．図 4.1に示すように，時刻 tにおける位置と速度が r(t),v(t)であった

とすると，微小時間∆t後における位置と速度は運動方程式に従えば

r(t+∆t) = r(t) + v∆t, v(t+∆t) = v(t) +F

m∆t (4.2)

で与えられる．力 Fは通常，座標 rの関数として定められる．よって，ある時刻における座標と速度が次の

瞬間の座標と速度を決めることが分る．

r(t)

v(t)F

r(t + ∆t) = r(t) + v∆t

v(t + ∆t) = v(t) +F

m∆t

図 4.1: 運動方程式に従う位置と速度の時間発展．

これから学ぶ Hamilton形式では，新たに一般化運動量 pi(t)なる量を導入し，運動を qi(t), pi(t)の空間での一階の微分方程式としてとらえる．

Lagrange形式では，独立変数として一般化座標 qi(t)とその時間微分 qi(t)を用いて Lagrangian

L(qi, qi, t) = T (qi, qi, t)− U(qi, t) (4.3)

を表す．ここで T は運動エネルギー，U はポテンシャルエネルギーである．ただし，力が保存力である場合

を仮定し，ポテンシャルは速度にはよらないとした．ここで，新しい変数として座標 qi に共役な運動量

pi =∂L

∂qi(4.4)

を導入しよう．一般化座標に対して上のように定義された運動量を一般化運動量と呼ぶ．一般化運動量の時

間微分は Lagrange方程式よりd

dt

(∂L

∂qi

)=∂L

∂qi⇒ dpi

dt=∂L

∂qi(4.5)

で与えられる．（この式は後で正準運動方程式を導くときに使う．）通常のデカルト直交座標 xiでは

pi =∂

∂xi

∑j

mj x2j

2

= mixi (4.6)

70

となり，普通の運動量と速度の関係に一致する．一般の座標系では，運動量 pi は座標と速度の関数として

pi = pi(qj, qj, t) (i, j = 1, 2, · · · , n) (4.7)

のように与えられる．ただし nは系の自由度の数である．

これから学ぶ正準形式では運動の状態を記述する独立変数として，一般化座標 qiとそれに共役な一般化運動量 piを用いる．これらの変数を正準変数と呼ぶ．座標と運動量を独立変数とする関数として，ハミルトニアン（Hamiltonian）と呼ばれる関数を導入する．

H(qi, pi, t) =∑i

piqi − L(qi, qi, t) (4.8)

上式の右辺は qi を使って書かれているが，(4.7)を qi について解いて

qi = qi(qj, pj, t) (i, j = 1, 2, · · · , n) (4.9)

と qi, piの関数で表すものとする．ここで，時間 t は変えずに座標と運動量を qi, pi → qi + dqi, pi + dpi と微小変化させたときの

Hamiltonianの微小変化H → H + dH を考えよう．

dH =∑i

(dpiqi + pidqi)− dL(qi, qi, t) =∑i

(dpiqi + pidqi −

∂L

∂qidqi −

∂L

∂qidqi

)=∑i

(dpiqi + pidqi −

∂L

∂qidqi − pidqi

)=∑i

(qidpi −

∂L

∂qidqi

)(4.10)

となり，確かにH は座標と運動量を独立変数とする関数であることがわかる．ここで (4.5)式を使うと

dH =∑i

(qidpi − pidqi) (4.11)

となる．一方，dH は次のように書けるはずである．

dH =∑i

(∂H

∂qidqi +

∂H

∂pidpi

)(4.12)

(4.11)式と (4.12)を比較すると，座標と運動量に対する運動方程式が以下のように与えられることが分る．

dqidt

=∂H

∂pi

dpidt

= −∂H∂qi

(4.13)

これらの運動方程式の組は正準運動方程式，あるいはハミルトン (Hamilton) の運動方程式と呼ばれる．

Newton方程式が時間に関して二階の微分方程式であったのに対して，正準運動方程式は一階の微分方程式

になっている．その代わり，独立変数の数が 2倍になっている．

簡単な場合として，デカルト直交座標 xi を用いて Hamiltonian を具体的に書き下してみよう．まず，

Lagrangianは

L(xi, xi) =∑i

mi

2x2i − U(xi) (4.14)

で与えられる．運動量は前にも求めたように pi = mixi であるから，Hamiltonianは

H(xi, pi) =∑i

pixi −

[∑i

mi

2x2i − U(xi)

]=∑i

p2imi

−

[∑i

p2i2mi

− U(xi)

]

=∑i

p2i2mi

+ U(xi) = T + U (4.15)

71

ここで第一項目は ∑i

p2i2mi

=∑i

(mixi)2

2mi=∑i

1

2mix

2i = T (4.16)

であるから，

H = T + U (4.17)

となる．

よって，Hamiltonianは力学的エネルギーになる．Hamiltonianから正準方程式を導くと

dxidt

=∂H

∂pi=

pimi

,dpidt

= −∂H∂xi

= − ∂U

∂xi(4.18)

となる．上の二式から運動量 pi を消去すると

mid2xidt2

=dpidt

= − ∂U

∂xi⇒ mi

d2xidt2

= − ∂U

∂xi(4.19)

となり，通常の Newton運動方程式が得られる．

一般の座標系の場合でも，座標変換が時間に陽に依存しない場合は Hamiltonianが力学的エネルギーにな

ることを示そう．デカルト座標は一般化座標の関数として

xi = xi(q1, · · · , qn) (4.20)

と与えられるので，速度は

xi =n∑

j=1

∂xi∂qj

qj (4.21)

となる．したがって運動エネルギーは

T =3N∑i=1

1

2mix

2i =

3N∑i=1

1

2mi

n∑j=1

∂xi∂qj

qj

2

=3N∑i=1

n∑j=1

n∑k=1

1

2mi

∂xi∂qj

∂xi∂qk

qj qk (4.22)

と書ける．これは

T =

n∑j=1

n∑k=1

1

2Ajk qj qk, Ajk(qi) ≡

3N∑i=1

mi∂xi∂qj

∂xi∂qk

= Akj(qi) (4.23)

と簡潔に書くこともできる．ポテンシャルが速度に依存しない場合を考えているので, 一般化運動量は

pi =∂L

∂qi=∂T

∂qi=

∂

∂qi

n∑j=1

n∑k=1

1

2Ajk qj qk =

n∑j=1

n∑k=1

1

2Ajk

∂

∂qi(qj qk)

=n∑

j=1

n∑k=1

1

2Ajk(δikqj + δij qk) =

1

2

n∑k=1

Aikqk +1

2

n∑j=1

Ajiqj

=n∑

j=1

Aij qj (4.24)

を得る．これよりn∑

i=1

piqi =

n∑i=1

n∑j=1

Aij qj qi = 2T (4.25)

となる．したがって Hamiltonianは

H = 2T − (T − U) = T + U (4.26)

となる．以上より，一般化座標と直交座標の変換関係が時間に陽に依存しない場合は，Hamiltonianは座標

系の取り方によらず力学的エネルギーになる．一般化座標 qiとデカルト直交座標 xiとの変換が時間に陽に依存しているときは運動エネルギーの表式 (4.22)に速度の一次の項が加わるので，Hamiltonianにも余

分な項が加わる．（演習問題 4-1-h∼jを見よ．）

72

補足：独立変数とLegendre変換

この節の説明では座標 qiと運動量 piを独立変数として持つ関数として Hamiltonianの表式を天下り

的に与え，それらの変数に対する正準運動方程式が Hamiltonianによって表されることを示した．このよう

に，独立変数の入れ替えに伴う L→ H のような変換をルジャンドル（Legendre）変換と呼ぶ． Legendre

変換は熱力学や統計力学などでもしばしば使われるので，ここで簡単に解説しておこう．

例として，２つの変数 (x, y)を独立変数として持つ関数 f(x, y)を考えよう．変数を (x, y) → (x+dx, y+dy)

と微小変化させたときの f の変化 df（これを関数 f の全微分と呼ぶ）は

df = Xdx+ Y dy (4.27)

と書ける．ただし，係数X,Y は次のように与えられる．

X =

(∂f

∂x

)y

, Y =

(∂f

∂y

)x

(4.28)

物理学ではしばしば，xの代わりに X を独立変数にする必要が出てくる．このとき，xは X と y の関数と

して与えられることになる．さて，ここで適当な関数 g(X, y)を用いてX と xの関係を

x =

(∂g

∂X

)y

(4.29)

の形に与えるには，g(X, y)をどのように定義すればよいだろうか？実は，g(X, y)を以下のように定義すれ

ばよいことが知られている．

g(X, y) = Xx(X, y)− f(x(X, y), y) (4.30)

上式では xはもはや独立変数では無く X と yの関数として与えられることに注意せよ．関数 f から gへの

変換を Legendre変換と呼ぶ．独立変数を (X, y) → (X + dX, y + dy)のように微小変化させたときの関数

gの微小変化は次のように書ける．

dg =

(∂g

∂X

)y

dX +

(∂g

∂y

)X

dy (4.31)

関数 gの定義 (4.30)式に従うと(∂g

∂X

)y

= x+X

(∂x

∂X

)y

−(∂f

∂x

)y

(∂x

∂X

)y

= x+X

(∂x

∂X

)y

−X

(∂x

∂X

)y

(4.32)

(∂g

∂y

)X

= X

(∂x

∂y

)X

−(∂f

∂x

)y

(∂x

∂y

)X

−(∂f

∂y

)x

= X

(∂x

∂y

)X

−X

(∂x

∂y

)X

− Y = Y (4.33)

となる．以上より，Legendre変換によって定義された関数 gの全微分は

dg = xdX − Y dy,

(∂g

∂y

)X

= −Y,(∂g

∂X

)y

= x (4.34)

という形で与えられる．

一自由度の系で Lagrangianから Hamiltonianへの変換 L(q, q) → H(q, p)の場合，

x→ q, y → q, f → L

X → ∂L

∂q= p, Y → ∂L

∂q= p (4.35)

g → H = pq − L

という対応関係になっている．従ってただちに以下の正準運動方程式を得る．

dH = qdp− pdq, q =∂H

∂p, p = −∂H

∂q(4.36)

73

熱力学では Legendre変換がよく使われる．例えば，エントロピー S はエネルギー E，体積 V，粒子数N

の関数として与えられ，エントロピーの微分から温度 T，圧力 P，化学ポテンシャル µが以下のように与え

られる．1

T=

(∂S

∂E

)V,N

,P

T=

(∂S

∂V

)E,N

,µ

T= −

(∂S

∂N

)E,V

(4.37)

しかし，熱的な測定はたいていの場合，温度や圧力を制御しつつ行われる．このような場合に独立変数とし

て E, V,N を選ぶよりも実験で直接的に制御しうる T, V,N や T, P,N を選び，これらを独立変数として持つ

熱力学母関数を考える方が便利である．このような母関数として，内部エネルギーE(S, V,N), Helmholtz自

由エネルギー F (T, V,N), Gibbs自由エネルギーG(T, P,N), エンタルピーH(S, P,N), 熱力学ポテンシャル

Ω(T, V, µ)等がある．これらの母関数はエントロピーの Legendre変換によって得られる．

74

演習問題

【問題 4-1-a】質量mの質点のポテンシャル U(x, y, z)の中の運動をデカルト直交座標を使って考える．

(1)Lagrangian L(x, y, z, x, y, z)より一般化運動量 px, py, pz を導け．

(2)Hamiltonianが

H =1

2m(p2x + p2y + p2z) + U(x, y, z) (4.38)

となることを示せ．

(3)正準運動方程式より x, y, z, px, py, pz に対する方程式を導け．また，方程式より px, py, pz を消去すること

により，Newton運動方程式に帰着することを示せ．

【問題 4-1-b】質点の運動を円柱座標

x = s cosϕ, y = s sinϕ, z = z (4.39)

を使って考えよう．

(1)Lagrangian L(s, ϕ, z, s, ϕ, z)より一般化運動量 ps, pϕ, pz を導け．

(2)Hamiltonianが

H =1

2m

(p2s +

p2ϕr2

+ p2z

)+ U(s, ϕ, z) (4.40)

で与えられることを示せ．

(3)正準方程式より s, ϕ, z, ps, pϕ, pz に対する運動方程式を導け．

(4)もしもポテンシャル U が角度 ϕに依存しなければ pϕ =一定となる (角運動量保存則) を示せ．

【問題 4-1-c】質点の運動を三次元極座標

x = r cosϕ sin θ, y = r sinϕ sin θ, z = r cos θ (4.41)

を使って考える．

(1)Lagrangian L(r, θ, ϕ, r, θ, ϕ)より一般化運動量 pr, pθ, pϕ を導け．

(2)Hamiltonianが

H =1

2m

(p2r +

1

r2p2θ +

1

r2 sin2 θp2ϕ

)+ U(r, θ, ϕ) (4.42)

で与えられることを示せ．また，軌道角運動量 L = r× pを用いると

L2 = p2θ +p2ϕ

sin2 θ(4.43)

であり，Hamiltonianを

H =p2r2m

+L2

2mr2+ U(r, θ, ϕ) (4.44)

と書けることを示せ．　

(3)正準方程式より r, θ, ϕ, pr, pθ, pϕ に対する運動方程式を導け．

(4)もしもポテンシャル U が rのみの関数であれば pϕ =一定となることを示せ．また，このとき

d

dtL2 = 0 (4.45)

となる．これは，中心力では角運動量ベクトル Lが保存することから当然の帰結である．

75

【問題 4-1-d】単振子の運動を考える．

(1)

x = l sin θ, y = −l cos θ (4.46)

として，一般化運動量 pθ を導け．

(2)Hamiltonianが

H =p2θ

2ml2+ U(θ) =

p2θ2ml2

−mgl cos θ (4.47)

となることを示せ．

(3)正準方程式より θ, pθ に対する運動方程式を導け．

【問題 4-1-e】質量m1,m2 の二つの質点が中心力より相互作用している．それぞれの位置座標を r1, r2 とし

て，二体ポテンシャルを U(|r1 − r2|)とする．相対座標と重心座標

r = r1 − r2, R =mer1 +mpr2me +mp

(4.48)

を使って考える．

)

r

r1 = (x1, y1, z1)

r2 = (x2, y2, z2)

m1

m2

図 4.2: 相互作用する二つの質点

(1) 重心座標Rと相対座標 rに正準共役な運動量 P,pを導け．

(2)Hamiltonianが

H =P2

2M+p2

2µ+ U(r) (4.49)

となることを示せ．

【問題 4-1-f】二原子分子の Hamiltonianを以下の手続きによって求めよう．

m2

m1

m1

l

m2

図 4.3: 二原子分子の剛体モデル

76

二原子分子を長さ lの棒でつながれた２つの質点とみなして，その運動を考える（剛体モデル）．前問で導い

た，二質点系の運動エネルギーを重心座標と相対座標で表した式を相対座標を極座標を使って表す．

x = l cosϕ sin θ, y = l sinϕ sin θ, z = l cos θ (4.50)

(1)R, θ, ϕに正準共役な一般化運動量 P, pθ, pϕ を導け．

(2)Hamiltonianが

H =P2

2M+p2θ2I

+p2ϕ

2I sin2 θ(4.51)

となることを示せ．ただし I = µl2 は重心のまわりの慣性モーメントである．

【問題 4-1-g】剛体の平面運動を考える．重心座標を (X,Y )，剛体の回転角を φ，剛体の慣性モーメントを I

とすると

(1)一般化運動量 PX , PY , pφ を求めよ．

(2)Hamiltonianが

H =1

2M(P 2

X + P 2Y ) +

p2φ2I

+ U(X,Y, φ) (4.52)

となることを示せ．

(3)正準運動方程式よりX,Y, PX , PY , φ, pφ に対する方程式を求めよ．

【問題 4-1-h】1.5 節の例題 1-5-a で扱った支点が動く振子について，Hamiltonian を導出せよ．この場合，

Hamiltonianは力学的エネルギーに一致するか？また，正準運動方程式より θに対する運動方程式を導け．

【問題 4-1-i】1.6.1節で扱った，原点が加速度運動する座標系における Hamiltonianを導出せよ．この場合，

Hamiltonianは力学的エネルギーに一致するか？また，正準運動方程式より x′, y′, z′ に対する運動方程式を

導け．

【問題 4-1-j】1.6.1節で扱った，回転座標系におけるHamiltonianを導出せよ．この場合，Hamiltonianは力

学的エネルギーに一致するか？また，正準運動方程式より x′, y′, z′ に対する運動方程式を導け．

77

4.2 位相空間

運動の状態を表すために，位相空間の概念を導入しよう．まず簡単のため，一粒子の一次元的な運動を考

える．前節で述べたように，ある時刻における座標と運動量 x(t), p(t)を決めると，運動方程式によって系の運動は一意に決まる．このことから「系の力学状態は座標と運動量 x(t), p(t)の組によって完全に指定される」と言うことができる．よって，系の力学状態を x, pを軸とする空間（位相空間）内の点（状態点）で表し系の運動を位相空間内の状態点 x(t), p(t)の軌跡が作る曲線として表すことができる．

0 x

p

√

2E

mω2

√

2mE

図 4.4: 一次元調和振動子の運動の位相空間での軌跡．

簡単な例として，一次元調和振動子を考えよう．Hamiltonianは

H =p2

2m+mω2

2x2 (4.53)

で与えられる．xに対する運動方程式はmx = −mω2xであり，一般解は

x(t) = A cosωt+B sinωt (4.54)

で与えられる．運動量は p = mxより

p(t) = mω(−A sinωt+B cosωt) (4.55)

となる．初期条件を x(t = 0) = x0, p(t = 0) = p0 とすると

x(0) = A = x0, p(0) = mωB = p0 (4.56)

より

x(t) = x0 cosωt+p0mω

sinωt (4.57)

p(t) = −mωx0 sinωt+ p0 cosωt (4.58)

を得る．このとき状態点 (x, p)は位相空間内で

H =p2

2m+mω2

2x2 =

mω2

2x20 +

p202m

= E (4.59)

で表される楕円上を時計回りに運動する．ここで Eは質点の力学的エネルギーである．状態点は位相空間内

の等エネルギー線上を運動することがわかる．エネルギーが異なれば状態点の軌跡も異なる．

以上のように，一粒子の一次元運動は，二次元の位相空間の中の点 (x, p)の軌道運動として表される．三

次元運動の場合，粒子の運動は 6次元位相空間内の点 (x, y, z, px, py, pz)の軌道運動として表される．デカ

78

ルト直交座標に限らず一般化座標 qi と正準共役な運動量 pi を用いて位相空間を表してもよい．N 質点系の場合，系の力学状態は（拘束条件が無ければ）3N 個の正準変数の組 qi(t), pi(t)によって指定される．したがって，系の力学状態は qi, piを軸とする 6N 次元位相空間内の点によって表され，運動は状態

点 qi(t), pi(t)の軌道運動として表される．一般に，運動の自由度が nである系の状態点は 2n次元位相空

間内でによって与えられる等エネルギー面（2n− 1次元の超曲面）の上を運動する．

(x(t), p(t))(x(t + ∆t), p(t + ∆t))

図 4.5: 質点の一次元運動の位相空間での軌跡の例．実線が物理的に実現している軌跡．破線のように，他の

軌跡と交わるような軌跡はあり得ない．

状態点が作る軌跡は決して交わらないことを示そう．状態点 (qi, pi)が正準運動方程式に従って時間発展しているものとする．ある時刻 tにおける状態点 (qi(t), pi(t))が与えられたとすると，微小時間∆t後

の状態点は

qi(t+∆t) = qi(t) +∂H

∂pi∆t, pi(t+∆t) = pi(t)−

∂H

∂qi∆t (4.60)

によって一意に決まる．したがって一つの状態点は必ず１つの軌道に属するので複数の軌道が交わることは

無い．（図 4.5を見よ．）

ただし，特別な場合として，異なる軌道がある一点で接することは起こり得る．例えば単振子の場合，振

子が真上で静止した状態は運動方程式の解ではあるが，そこから少しずらすと大きく振動するか回転を続け

るどちらかの解に分岐する，不安定な状態である．このように，不安定な定常状態が存在する場合は，この

点で異なる軌道が接することがある．図 4.6に例を示す．白丸が不安定な定常状態で，ここで静止した状態

が運動方程式の解であるとする．状態点が丁度白丸上にあれば状態点は静止したまま変化しないが，状態点

がこの点からわずかにずれたときにどの軌跡の乗るかは，定常点からのずれによって大きく異なる．

図 4.6: 位相空間における軌跡の分岐の例．白丸が不安定な定常状態を表す．この点で異なる軌跡が接して

いる．

79

演習問題

【問題4-2-a】一様重力下の一粒子の運動を考える．鉛直上向きの方向をx軸の正の向きにとると，Hamiltonian

は以下で与えられる．

H =p2

2m+mgx (4.61)

位相空間内での状態点の軌跡を図示せよ．エネルギー E によって軌跡がどのように変化するか示せ．

【問題 4-2-b】単振子の運動を考える．Hamiltonianは以下で与えられる．

H =p2θ

2ml2−mgl cos θ (4.62)

位相空間内における状態点の軌跡を図示せよ．エネルギー E によって軌跡がどのように変化するか示せ．

【問題 4-2-c】Hamiltonianが

H =p2

2m− k

2x2 + αx4 (k, α > 0) (4.63)

で与えられているとき，位相空間内で状態点 (x, p)が描く軌跡を図示せよ．エネルギー E によって軌跡がど

のように変化するか示せ．

【問題 4-2-d】Hamiltonianが

H =p2

2m+k

2x2 − αx3 (k, α > 0) (4.64)

で与えられているとき，位相空間内で状態点 (x, p)が描く軌跡を図示せよ．エネルギー E によって軌跡がど

のように変化するか示せ．

【問題 4-2-e】質量mの質点が図 4.7(1)-(3)のポテンシャル中を１次元的に運動しているとき，位相空間内で

状態点 (x, p)が描く軌跡の概形を図示せよ．エネルギー E によって軌跡がどのように変化するか示せ．

(1) (2) (3)

図 4.7: １次元ポテンシャル．

80

【問題 4-2-f】調和振動子を考える．

(1)位相空間内において全エネルギーが E 以下であるような領域の面積∫H(x,p)≤E

dxdp (4.65)

を求めよ．

(2)全エネルギーが以下の条件を満たすような運動の状態点は，位相空間内でどのような軌跡を描くか．

H(x, p) = nAω (n = 0, 1, 2, 3, · · ·) Aは適当な定数 (4.66)

nの値を 0, 1, 2, 3と変化させたときの軌跡を図示せよ．また，そのとき (1)で求めた面積はどうなるか．こ

の問題は量子力学や統計力学と関連があるのだが，その意味については 2年次後期の量子力学 1Aや 3年次

の統計力学の講義で詳しく学ぶであろう．

81

4.3 Poisson括弧式

自由度が nである系の力学的状態は，各時刻 tにおける n組の正準変数 qi(t), pi(t)によって指定される．したがって，運動に付随する物理量（力学的物理量）は正準変数の関数として与えられる．例えば，運動エ

ネルギー，ポテンシャルエネルギー，角運動量，等である．また，ある物理量を A(t) = A(qi(t), pi(t))とすると，その時間微分は

dA

dt=∑i

(∂A

∂qiqi +

∂A

∂pipi

)(4.67)

によって与えられる．正準方程式

qi =∂H

∂pi, pi = −∂H

∂qi(4.68)

を使うと (4.67)式はdA

dt=∑i

(∂A

∂qi

∂H

∂pi− ∂A

∂pi

∂H

∂qi

)(4.69)

と書ける．ここで

A,H ≡∑i

(∂A

∂qi

∂H

∂pi− ∂A

∂pi

∂H

∂qi

)(4.70)

と表すことにすると，運動方程式は次のように書ける．

dA

dt= A,H (4.71)

上の括弧式を一般の関数 A(qi(t), pi(t)), B(qi(t), pi(t))にも拡張して定義する．

A,B ≡∑i

(∂A

∂qi

∂B

∂pi− ∂A

∂pi

∂B

∂qi

)(4.72)

これをPoisson（ポアソン）の括弧式と呼ぶ．物理量の関数形が時間に陽に依存する場合A = A(qi, pi, t)，運動方程式は

dA

dt= A,H+ ∂A

∂t(4.73)

となる．

教科書によっては Poisson括弧式を [A,B]と表すものも少なくない．しかし，同じ記号を量子力学では別

の意味（交換子）で用いるので，この講義では混同を避けるために A,Bを用いることにする．量子力学では，(4.71)に類似した方程式が演算子に対して成り立ち，Poisson括弧式が量子力学と古典力学の対応付けに

重要な役割を果たす．

82

演習問題

【問題 4-3-a】Poissonの括弧式について，以下の式が成り立つことを示せ．

(1) 任意の力学的物理量 A,B に対して

A,B = −B,A (4.74)

A+B,C = A,C+ B,C (4.75)

A,BC = A,BC +BA,C (4.76)

AB,C+ BC,A+ CA,B = 0 (4.77)

A, B,C+ B, C,A+ C, A,B = 0 (4.78)

(2) A,B が力学変数 qi, piの場合

qi, qj = pi, pj = 0 (4.79)

qi, pj = δij (4.80)

【問題 4-3-b】Poissonの括弧式を用いて，以下を導け．

(1)角運動量 L = r× pに対してdL

dt= r× F (4.81)

(2)力学的エネルギーH に対してdH

dt= 0 (4.82)

(3)ある物理量 A(t) = A(qi(t), pi(t))について Hamiltonianとの Poisson括弧式がゼロであれば，Aは

保存量 (時間に依存しない，一定の量）である．

【問題 4-3-c】角運動量 L = r× pに対して Poisson括弧式が以下を満たすことを示せ．

Lx, Ly = Lz, Ly, Lz = Lx, Lz, Lx = Ly (4.83)

【問題 4-3-d】調和振動子の Hamiltonianを考える．

(1) 新しい変数 ξ = p+ imωxを導入し，Hamiltonianを ξを用いて表せ．

(2) ξと ξ∗ の Poisson括弧式 ξ, ξ∗を求めよ．(3) Poisson括弧式を用いて ξに対する運動方程式を導け．

(4) 上で導いた運動方程式の解を求め，x(t), p(t)を求めよ．

83

第5章 正準変換

5.1 座標変換と正準変換

Lagrange形式で運動を表すには，適当な一般化座標 qiで Lagrangian L(qi, qi, t)を表せば Lagrange

方程式より運動方程式を導けばよかった．Lagrange方程式は座標系のとりかたにはよらないので，ある座標

系 qiの代わりに別の座標系 Qiを選んでもよい．そこで，二種類の座標変数 qi, Qiの間に，

Qi = Qi(q1, · · · , qn, t) = Qi(qi, t) (5.1)

という変換関係がある場合を考えよう．どちらの一般化座標も，同じ形の Lagrange方程式に従う．

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= 0,

d

dt

∂L

∂Qi

− ∂L

∂Qi= 0 (5.2)

ここで，一般化座標の時間微分（一般化速度）の間の変換関係を考えてみる．Qi の時間微分は

Qi =∑j

∂Qi

∂qjqj +

∂Qi

∂t(5.3)

と表されるが，∂Qi/∂qj は座標 qiの関数であるから，一般化速度の変換関係は

Qi = Qi(qi, qi, t) (5.4)

のように，座標と速度の関数として表される．（例えば極座標変換の場合を考えてみればよい．）

Hamiltonの正準形式では，独立変数として一般化運動量を導入し，座標と運動量の組（正準変数）を用い

て運動を表す．一般化座標 qiに共役な一般化運動量は pi = ∂L/∂qi で定義される．このとき一般化運動量は

pi = pi(qi, qi, t) (5.5)

のように，一般化座標と一般化速度の関数として表される．新しい変数 Qiに共役な運動量は Pi = ∂L/∂Qi

によって定義されるが，(5.5)式と同様に運動量は一般化座標と一般化速度の関数として

Pi = Pi(Qi, Qi, t) (5.6)

のように表される．上で述べた変数の書き換えを，正準変数 qi, piから新しい正準変数 Qi, Piへの変換と見なすと，一般には

Qi = Qi(qi, t), Pi = Pi(qi, pi, t) (5.7)

という形で表されることがわかる．古い正準変数 qi, piと新しい正準変数 Qi, Piに対するHamiltonian

をそれぞれH,H ′ とすると

H =∑i

piqi − L, H ′ =∑i

PiQi − L (5.8)

である．どちらの正準変数も，Hamiltonの正準運動方程式に従う．

qi =∂H

∂pi, pi = −∂H

∂qi(5.9)

Qi =∂H ′

∂Pi, Pi = −∂H

′

∂Qi(5.10)

84

4.1節で示したように，直交座標から一般化座標への変換が時間に陽に依存しなければ，Hamiltonianは座標

系のとりかたによらずH = H ′ =力学的エネルギーである．後で示すように，一般的には，qiから Qiへの座標変換が時間に陽に依存しなければH = H ′ である．

ところで，(5.7)式の変換関係は座標と運動量について非対称な形をしている．つまり，座標から座標への

変換関係は運動量を含まないが，新しい運動量は一般には古い座標と運動量両方を含んだ形で表さている．一

方，正準方程式は力学変数 qi, piについて対称な形をしている．よって，新しい座標変数Qiへの変換として，

もっと一般的に qi と pi が混ざった変換を考えることもできるのではないだろうか．そこで，以下のような，

一般に正準方程式が成り立つ新しい力学変数の組 Qi, Piへの変換を考え，これを正準変換と呼ぶ．

正準変換 (1) 二種類の一般化座標と運動量の間の変換が

Qi = Qi(qi, pi, t), Pi = Pi(qi, pi, t), (5.11)

の形で与えられる．

(2) Qi, Piの従う運動方程式が qi, piの場合と同様，正準運動方程式の形に書ける．

qi =∂H

∂pi, pi = −∂H

∂qi⇔ Qi =

∂H ′

∂Pi, Pi = −∂H

′

∂Qi(5.12)

H とH ′ は同じでなくても良い， 正準変換の例 1：座標回転

座標変換の簡単な例として，二次元運動における座標回転の場合を考えてみよう．(X

Y

)=

(cosϕ sinϕ

− sinϕ cosϕ

)(x

y

),

(x

y

)=

(cosϕ − sinϕ

sinϕ cosϕ

)(X

Y

)(5.13)

新しい座標系での Lagrangianは

L =m

2(X2 + Y 2)− U(X,Y ) (5.14)

である．新しい座標系での運動量は

PX =∂L

∂X= mX, PY =

∂L

∂Y= mY (5.15)

で与えられる．時間に陽に依存しない座標変換なので，新しい正準変数でのHamiltonianも力学的エネルギー

H =1

2m(P 2

X + P 2Y ) + U(X,Y ) (5.16)

で与えられる．また，新しい運動量と古い正準変数の間の変換関係は(PX

PY

)=

(cosϕ sinϕ

− sinϕ cosϕ

)(px

py

),

(px

py

)=

(cosϕ − sinϕ

sinϕ cosϕ

)(PX

PY

)(5.17)

で与えられる．

正準変換の例 2：位置と運動量の交換

座標と運動量が混ざった変数変換の例として，位置と運動量を取り替える変換 (X,P ) = (p,−x)を考えてみよう．この変換は位相空間の 90 回転に相当する．これは正準変換であろうか？新しい変数に対する運動

方程式を考える．

X = p = −∂H∂x

, P = −x = −∂H∂p

(5.18)

85

ここで，偏微分の関係式

∂H

∂x=∂X

∂x

∂H

∂X+∂P

∂x

∂H

∂P= −∂H

∂P,∂H

∂p=∂X

∂p

∂H

∂X+∂P

∂p

∂H

∂P=∂H

∂X(5.19)

を用いれば，以下のようにX,P に対する正準方程式を得る．

X =∂H

∂P, P = −∂H

∂X(5.20)

したがって，この変換は正準変換である．（この場合はH = H ′ である．）

正準変換の例 3：回転座標系

時間に陽に依存する変数変換の例として，回転座標系への変換を考える．(X

Y

)=

(cosωt sinωt

− sinωt cosωt

)(x

y

)(5.21)

「力学２」の授業（1.6.2節）でも学んだように，回転座標系 (5.21)で Lagrangianを表すと

L =m

2(X2 + Y 2 + Z2) +mω(XY − Y X) +

1

2mω2(X2 + Y 2)− U(X,Y, Z, t) (5.22)

となる．これより一般化運動量は

PX =∂L

∂X= mX −mωY, PY =

∂L

∂Y= mY +mωX, PZ =

∂L

∂Z= mZ (5.23)

となる．これを X, Y , Z について解き直せば

X =PX

m+ ωY, Y =

PY

m− ωX, Z =

PZ

m(5.24)

である．Hamiltonianは

H ′ = PXX + PY Y + PZZ − L

= PX

(PX

m+ ωY

)+ PY

(PY

m− ωX

)+ PZ

PZ

m− m

2

[(PX

m+ ωY

)2

+

(PY

m− ωX

)2

+

(PZ

m

)2]

− mω

[X

(PY

m− ωX

)− Y

(PX

m+ ωY

)]+

1

2mω2(X2 + Y 2) + U(X,Y, Z, t)

=1

2m(P 2

X + P 2Y + P 2

Z) + U(X,Y, Z, t)− ω(XPY − Y PX) (5.25)

となる．これを元の直交座標での Hamiltonian

H =1

2m(p2x + p2y + p2z) + U(x, y, z) (5.26)

と比較するために，運動量の変換関係 (px, py, pz) → (PX , PY , PZ)がどうなっているか考える．まず，

px = mx, py = my, pz = mz (5.27)

である．一方，回転座標系での速度を考えると

X = ω(−x sinωt+ y cosωt) + x cosωt+ y sinωt = ωY +pxm

cosωt+pym

sinωt (5.28)

Y = ω(x cosωt+ y sinωt)− x sinωt+ y cosωt = −ωX − pxm

sinωt+pym

cosωt (5.29)

である．これらを (5.23)に用いれば，運動量の変換関係(PX

PY

)=

(cosωt sinωt

− sinωt cosωt

)(px

py

)(5.30)

86

を得る．これは座標の変換関係と同じである．このような変換では P 2X + P 2

Y = p2x + p2y が成り立つので，

Hamiltonianの変換関係は

H ′ = H − ω(XPY − Y PX) = H − ωLZ (5.31)

となる．ここで，LZ = XPY − Y PX は角運動量の Z 成分である．ただし，回転座標変換では

LZ = XPY − Y PX = xpy − ypx = Lz (5.32)

が成り立つ．以上より，回転座標系でのHamiltonianは力学的エネルギーに余分な項−ωLZ が加わったもの

になる．

以上の議論では，Lagrangianから出発して一般化運動量を求め，Hamiltonianを導いた．一方，Lagrangian

を持ち出さずに Hamiltonの正準運動方程式

x =∂H

∂px, y =

∂H

∂py, px = −∂H

∂x, py = −∂H

∂y(5.33)

のみを前提として議論を進めることもできる．もしも (x, y, z, px, py, pz) → (X,Y, Z, PX , PY , PZ)の変換が(X

Y

)=

(cosωt sinωt

− sinωt cosωt

)(x

y

),

(PX

PY

)=

(cosωt sinωt

− sinωt cosωt

)(px

py

)(5.34)

で与えられていたとすると，この変換は正準変換であり，変換後の Hamiltonianと正準運動方程式が

H ′ = H − ω(XPY − Y PX) (5.35)

X =∂H ′

∂PX, Y =

∂H ′

∂PY, PX = −∂H

′

∂X, PY = −∂H

′

∂Y(5.36)

で与えられることは，以下のように示すことができる．

正準運動方程式を新しい座標変数X,Y を使って書くと

X = ω(−x sinωt+ y cosωt) + x cosωt+ y sinωt = ωY +∂H

∂pxcosωt+

∂H

∂pysinωt (5.37)

Y = ω(x cosωt+ y sinωt)− x sinωt+ y cosωt = −ωX − ∂H

∂pxsinωt+

∂H

∂pycosωt (5.38)

となる．ここで偏微分の関係式

∂H

∂px=

∂H

∂PX

∂PX

∂px+

∂H

∂PY

∂PY

∂px=

∂H

∂PXcosωt− ∂H

∂PYsinωt (5.39)

∂H

∂py=

∂H

∂PX

∂PX

∂py+

∂H

∂PY

∂PY

∂py=

∂H

∂PXsinωt+

∂H

∂PYcosωt (5.40)

を用いてまとめると，以下の運動方程式を得る．

X = ωY +∂H

∂PX, Y = −ωX +

∂H

∂PY(5.41)

同様にして PX , PY に対する運動方程式を求めると

PX = ωPY − ∂H

∂X, PY = −ωPX − ∂H

∂Y(5.42)

となる．以上に導いた新しい運動方程式は，一見すると，正準方程式の形になっていないように見える．し

かし，新しい Hamiltonianを (5.31)式で定義すれば，正準方程式 (5.36)の形に運動方程式を表すことがで

きる．したがって，この変換は正準変換である．このように時間に陽に依存する変数変換の場合，新しい

Hamiltonianは元の Hamiltonianを新しい変数で書き換えたものに，余分な項が加わったものになる．以上

の議論は，Hamiltonianの具体的な関数形にはよらず一般に成り立つ．

87

演習問題

【問題 5-1-a】(1) 変数 (x, p)から新しい (X,P )への変換 X = X(x, p), P = P (x, p)を考える．（ただし，変

換は時間に陽に依存しないものとする．）古い変数 (x, p)が正準変数であり，その時間発展が Hamiltonian H

を用いて正準運動方程式 x = ∂H/∂p, p = −∂H/∂x によって与えられるとする．このとき新しい変数 (X,P )

に対する運動方程式が

X = X,P∂H∂P

, P = −X,P∂H∂X

(5.43)

で与えられることを示せ．ただし X,P =∂X

∂x

∂P

∂p− ∂P

∂x

∂X

∂pである．

以上より，一自由度の系の時間に陽に依存しない変換が正準変換であるための必要十分条件は

X,P = 1 (5.44)

であることがわかる．

(2) 前問を多自由度系に拡張しよう．時間に陽に依存しない変数変換Qi = Qi(qi, pi), Pi = Pi(qi, pi)を考える．古い変数 (qi, pi)が正準変数であり，その時間発展が Hamiltonian H を用いて正準運動方程

式 qi = ∂H/∂pi, pi = −∂H/∂qi によって与えらるとする．このとき新しい変数 (Qi, Pi)に対する運動方程式が

Qi =∑k

Qi, Qk∂H

∂Qk+∑k

Qi, Pk∂H

∂Pk, Pi =

∑k

Pi, Qk∂H

∂Qk+∑k

Pi, Pk∂H

∂Pk(5.45)

で与えられることを示せ．

以上より，Qi, Piが関係式

Qi, Pj = δij , Qi, Qj = Pi, Pj = 0 (5.46)

を満足していれば，これらは正準変数であリ (qi, pi) → (Qi, Pi)の変換が正準変換であることがわかる．

【問題 5-1-b】

(1)正準変数 (qi, pi)から新しい変数 (Qi, Pi)への変換を直交行列 Aによって

Qi =∑j

Aijqj , Pi =∑j

Aijpj (5.47)

のように与える．直交行列なので ∑j

ATijAjk =

∑j

AjiAjk = δik (5.48)

が成り立つ．この変換が正準変換であることを示せ．

(2)Hamiltonianが

H(qi, pi) =∑i

p2i2m

+1

2

∑ij

Uijqiqj (5.49)

で与えられているものとする．ただし U は実対称行列 Uij = Ujiである．線形代数でも学んだように，実対

称行列 U に対しては

AUAT = K, Kij = δijKi (5.50)

88

とできるような直交行列Aが必ず存在する．ただしKiは行列U の固有値である．このような行列Aを (5.47)

式の形の正準変換 (qi, pi) → (Qi, Pi)に用いることによって Hamiltonianを

H(Qi, Pi) =∑i

P 2i

2m+

1

2

∑i

KiQ2i (5.51)

と出来ることを示せ．これは，質量m，ばね定数Ki を持つ独立な調和振動子の集まりと等価であり，運動

方程式の一般解は容易に求まる．

【問題 5-1-c】以下の (x, p)から (X,P )への変換が正準変換であることを確かめよ．[ヒント：5-1-a(1)の結

果を使う．]

(1) X = ln

(1

xsin p

), P = x cot p, (2) X = arctan

ax

p, P =

ax2

2

(1 +

p2

a2x2

)

【問題 5-1-d】以下の (x1, x2, p1, p2)から (X1, X2, P1, P2) への変換が正準変換であることを確かめよ．[ヒン

ト：5-1-a(2)の結果を使う]

(1) X1 = x1, P1 = p1 − 2p2, X2 = p2, P2 = −2x1 − x2

(2) X1 = x1x2, P1 =p1 − p2x2 − x1

+ 1, X2 = x1 + x2, P2 =x2p2 − x1p1x2 − x1

− (x1 + x2)

89

5.2 母関数による正準変換の方法

前節では，適当な qi, piと Qi, Piの変換を天下り的に与え，それらが正準変換になっていることを確かめた．しかし，一般に正準変換を与えるためには，新しい正準変数への変換 (5.11)と新しい変数が従

う正準運動方程式を与える新しい Hamiltonianを同時に見つけなければならない．これは常に容易なことで

あるとは限らない．そこで，系統的に（天下り的ではなく）正準変換を与える方法として，母関数の方法を

説明する．この方法では，正準方程式そのものを扱うのではなく，作用積分に対するHamiltonの変分原理を

Hamiltonianを使って書き換えたものを用いる．

5.2.1 Hamiltonianによる変分原理

Hamiltonの変分原理によると力学法則は

δ

∫ t2

t1

L(qi, qi, t)dt = 0 (5.52)

の形で与えられたことを思い出そう．ただし，変分は全ての iに対して δqi(t1) = δqi(t2) = 0 という境界条

件のもとにとるものとする．ここで Lagrangianを Hamiltonianで

L(qi, qi, t) =∑i

piqi −H(qi, pi, t) (5.53)

と表して変分原理を書き変えると

δ

∫ t2

t1

[∑i

piqi −H(qi, pi, t)

]dt =

∫ t2

t1

∑i

[δpiqi + piδqi −

∂H

∂qiδqi −

∂H

∂piδpi

]dt = 0 (5.54)

となる．積分の第二項目を部分積分して書き換えると∫ t2

t1

piδqidt = [piδqi]t2t1−∫ t2

t1

piδqidt = −∫ t2

t1

piδqidt (5.55)

となる．以上をまとめると，Hamiltonの変分原理を Hamiltonianを使って表すと∫ t2

t1

∑i

[(qi −

∂H

∂pi

)δpi −

(pi +

∂H

∂qi

)δqi

]dt = 0 (5.56)

となる．ここで，上式の変分において qiと piを独立に変分をとることにすると，δpiと δqiの係数が独

立に 0でなければならないことから，Hamiltonの正準方程式

qi =∂H

∂pi, pi = −∂H

∂qi(5.57)

が導かれる．Hamiltonの変分原理では積分の上，下限で δqi(t1) = δqi(t2) = 0としていた．ここではさらに

運動量に対しても同様の条件 δpi(t1) = δpi(t2) = 0を要求することにする．これにより qiと piは対等になり，これから考えるような座標と運動量を混ぜるような変換に対しても変分原理を用いることができる．

これは，位相空間における変分原理とみなすことが出来る．

5.2.2 母関数による正準変換

正準変数 (qi, pi)から新しい変数 (Qi, Pi)への正準変換を考えよう．

Qi = Qi(qi, pi, t), Pi = Pi(qi, pi, t), (5.58)

qi = qi(Qi, Pi, t), pi = pi(Qi, Pi, t), (5.59)

90

正準変数 (qi, pi)は正準運動方程式に従うので，変分原理

δ

∫ t2

t1

[∑i

piqi −H(qi, pi, t)

]dt = 0 (5.60)

に従う．ここで，新しい正準変数 (Qi, Pi)に対する正準運動方程式

Qi =∂H ′

∂Pi, Pi = −∂H

′

∂Qi(5.61)

を変分原理の形で表すと

δ

∫ t2

t1

[∑i

PiQi −H ′(Qi, Pi, t)

]dt = 0 (5.62)

となる．変分原理 (5.62)より正準運動方程式 (5.61)を導くには，(5.56)式を導くのと同様な手続きにより∫ t2

t1

∑i

[(Qi −

∂H ′

∂Pi

)δPi −

(Pi +

∂H ′

∂Qi

)δQi

]dt = 0 (5.63)

と変形して，任意の δQi, δPiに対して変分が 0になることを要請すればよい．(5.62)から導かれる正準運動

方程式が (5.60)から導かれる正準運動方程式と等価なものであるためには，非積分関数が全微分項を除いて

一致していなければならない．具体的には，Lagrangianを新しい変数 (Qi, Pi)を使って

L =∑i

pi(Qi, Pi, t)qi(Qi, Pi, t)−H(qi(Qi, Pi, t), pi(Qi, Pi, t), t) (5.64)

のように表したとき，新しい HamiltonianH ′(Qi, Pi, t)と適当な関数W (qi, Qi, t)を用いて

L =∑i

PiQi −H ′(Qi, Pi, t) +d

dtW (qi, Qi, t) (5.65)

であることが要請される．ここで，最後の全微分項は以下に示す様に変分に寄与しない．まず，(5.60)の変

分原理を (Qi, Pi)で書き換えると

δ

∫ t2

t1

Ldt = δ

∫ t2

t1

[∑i

PiQi −H ′(Qi, Pi, t) +d

dtW (qi, Qi, t)

]dt = 0 (5.66)

となる．W の寄与は∫ t2

t1

d

dtW (qi, Qi, t)dt =

[W (qi, Qi, t)

]t2t1

=W (qi(t2), Qi(t2), t2)−W (qi(t1), Qi(t1), t)

(5.67)

であるが，境界条件より δqi(t1) = δqi(t2) = δQi(t1) = δQi(t2) = 0なので上式は消える．よって，((5.62)式

を得る，

以上の考察より，ある適当な関数（これを母関数 と呼ぶ）W によって∑i

piqi −H =∑i

PiQi −H ′(Qi, Pi, t) +d

dtW (qi, Qi, t) (5.68)

の関係が成立すれば (qi, pi) → (Qi, Pi)の変換は正準変換である．上式を書き換えると次の関係式を得る．

dW

dt=∑i

piqi −∑i

PiQi +H ′ −H (5.69)

ところで，dW

dt=∑i

∂W

∂qiqi +

∑i

∂W

∂QiQi +

∂W

∂t(5.70)

91

であるから， ∑i

(pi −

∂W

∂qi

)qi −

∑i

(Pi +

∂W

∂Qi

)Qi +H ′ −H − ∂W

∂t= 0 (5.71)

となる．これが恒等的に成り立つためには qi, Qi の係数がそれぞれ 0 となり，さらに余分な項も 0となる必

要がある．よって，以下の変換の公式を導くことができる．

Pi = − ∂

∂QiW (qi, Qi, t), pi =

∂

∂qiW (qi, Qi, t)

H ′(Qi, Pi, t) = H(qi, pi, t) +∂

∂tW (qi, Qi, t) (5.72)

特に，変換が時間に陽に依存しないときはH ′ = H である．この母関数の方法では，変換関係が

pi = pi(qi, Qi, t), Pi = Pi(qi, Qi, t) (5.73)

のような形で与えられる．上式の関係を (Qi, Pi)について解き直すことによって (qi, pi) → (Qi, Pi)の変換が求められる．

【例題 5-2-a】一次元調和振動子について具体的に母関数による正準変換を考えてみよう．Hamiltonianが

H =p2

2m+k

2q2 (5.74)

で与えられているものとする．

(1)母関数がW (Q, q) = Qqのときの正準変換を与え，変換後の Hamiltonianを求めよ．

(2)母関数がW (Q, q) =√mkQqのときの正準変換を与え，変換後の Hamiltonianを求めよ．

【解答】

(1)

P = −∂W∂Q

= −q, p =∂W

∂q= Q (5.75)

⇒ Q = p, P = −q, H ′(Q,P ) =Q2

2m+k

2P 2 (5.76)

これは座標と運動量の入れ替えを表す．

(2)

P = −∂W∂Q

= −√mkq, p =

∂W

∂q=

√mkQ (5.77)

⇒ Q =p√mk

, P = −√mkq, H ′(Q,P ) =

P 2

2m+k

2Q2 (5.78)

座標と運動量を入れ替えてさらに定数倍しているため，Hamiltonianの関数形が変換前と同じ形になる．

5.2.3 正準変換の形式と母関数

前節で導入した母関数の方法では，W を (qi, Qi)の関数として与えた．しかし，母関数の独立変数として別の変数の組を使うことも可能であり，その方が便利なこともある．例えば，以下の４組の変数を母関

数の独立変数に用いることができる．

I. (qi, Qi) II. (qi, Pi) III. (pi, Qi) IV. (pi, Pi) (5.79)

92

これまでに説明したやり方は上の Iの場合である．これを正準変換 I型と呼ぶことにしよう．I型以外の方法

で母関数を表して正準変換を求めるためには，適当な変換（Legendre変換）をほどこす必要がある．通常，

次の形の母関数を用いる．

I型 W =WI(qi, Qi, t) (5.80)

II型 W =WII(qi, Pi, t)−∑i

PiQi (5.81)

III型 W =WIII(pi, Qi, t) +∑i

piqi (5.82)

IV型 W =WIV(pi, Pi, t) +∑i

piqi −∑i

PiQi (5.83)

上で与えた母関数を，関係式 (5.69) に用いることにより，正準変換の公式を求めることができる．例えば II

型の場合，

dW

dt=dWII

dt−∑i

(PiQi + PiQi) =∑i

∂WII

∂qiqi +

∑i

∂WII

∂PiPi −

∑i

(PiQi + PiQi) +∂WII

∂t(5.84)

であるから∑i

∂WII

∂qiqi +

∑i

∂WII

∂PiPi −

∑i

(PiQi + PiQi) +∂WII

∂t=∑i

piqi −∑i

PiQi +H ′ −H (5.85)

である．よって ∑i

(pi −

∂WII

∂qi

)qi +

∑i

(Qi −

∂WII

∂Pi

)Pi +H ′ −H − ∂WII

∂t= 0 (5.86)

が成り立つ．qiと Piの係数および余分な項が恒等的に 0であるとおくと，正準変換の公式を得ることができ

る．III型，IV型についても同様の手続きを行えばよい．以下に，最終的な結果のみを示す．

正準変換 I型 W =WI(qi, Qi, t) Pi = − ∂

∂QiWI(qi, Qi, t)

pi =∂

∂qiWI(qi, Qi, t)

H ′(Qi, Pi, t) = H(qi, pi, t) +∂

∂tWI(qi, Qi, t) (5.87)

正準変換 II型 W =WII(qi, Pi, t)−∑

i PiQi Qi =

∂

∂PiWII(qi, Pi, t)

pi =∂

∂qiWII(qi, Pi, t)

H ′(Qi, Pi, t) = H(qi, pi, t) +∂

∂tWII(qi, Pi, t) (5.88)

93

正準変換 III型 W =WIII(pi, Qi, t) +∑

i piqi qi = − ∂

∂piWIII(pi, Qi, t)

Pi = − ∂

∂QiWIII(pi, Qi, t)

H ′(Qi, Pi, t) = H(qi, pi, t) +∂

∂tWIII(pi, Qi, t) (5.89)

正準変換 IV型 W =WIV(pi, Pi, t) +∑

i piqi −∑

i PiQi qi = − ∂

∂piWIV(pi, Pi, t)

Qi =∂

∂PiWIV(pi, Pi, t)

H ′(Qi, Pi, t) = H(qi, pi, t) +∂

∂tWIV(pi, Pi, t) (5.90)

94

演習問題

【問題 5-2-a】一次元調和振動子の Hamiltonianを

H(x, p) =p2

2m+

1

2mω2x2 (5.91)

とするとき，母関数W (x,X) = mω2 x2 cotX による正準変換を求め，新しい変数 X,P に対する運動方程式

を解け。

【問題 5-2-b】座標変数 qiと Qiの間の変換が与えられている場合を考えよう．

qi = fi(Qi, t) (5.92)

この場合は III型の正準変換を考えて，母関数を

WIII((pi, Qi, t) = −∑i

pifi(Qi, t) (5.93)

以下のように与えればよいことを示し，正準変換の公式を fi を使って表せ．

【問題 5-2-c】以下のような二次元極座標変換 (x, y) → (r, ϕ)を考える．

x = r cosϕ, y = r sinϕ (5.94)

III型の正準変換を考えて母関数WIII を与え，正準変換の公式及び変換後の Hamiltonianの表式を導け．

【問題 5-2-d】回転座標系への座標変換を考える。

X = x cosωt+ y sinωt (5.95)

Y = −x sinωt+ y cosωt (5.96)

III型の正準変換を考えて母関数WIIIの表式を与え正準変換の公式及び変換後のHamiltonianの表式を導け．

95

5.3 正準変換の性質

5.3.1 正準変換の必要十分条件

変数変換

Qi = Qi(qi, pi, t), Pi = Pi(qi, pi, t) (5.97)

が正準変換であるための条件は，正準変数の Poisson括弧式が

qi, qj = 0, pi, pj = 0, qi, pj = δij (5.98)

Qi, Qj = 0, Pi, Pj = 0, Qi, Pj = δij (5.99)

のように不変であることを示そう．古い変数が正準変数であり，運動方程式が Hamiltonian Hを用いて正準

運動方程式によって与えられているものとする．

qi =∂H

∂pi, pi = −∂H

∂qi(5.100)

もしもこの変数変換が正準変換であれば，新しい変数も正準運動方程式に従う．

Qi =∂H ′

∂Pi, Pi = −∂H

′

∂Qi(5.101)

新しい変数に対する運動方程式は，演習問題 5-1-a(2)の結果 (5.45)式より

Qi =∑k

Qi, Qk∂H

∂Qk+∑k

Qi, Pk∂H

∂Pk+∂Qi

∂t, (5.102)

Pi =∑k

Pi, Qk∂H

∂Qk+∑k

Pi, Pk∂H

∂Pk+∂Pi

∂t(5.103)

と書くことができる．一方で，変換後の Hamiltonianが母関数W を用いて

H ′ = H +∂W

∂t(5.104)

で与えられることから，新しい変数に対する正準運動方程式は

Qi =∂H

∂Pi+

∂

∂Pi

(∂W

∂t

)(5.105)

Pi = − ∂H

∂Qi− ∂

∂Qi

(∂W

∂t

)(5.106)

と書ける．任意の Hamiltonianに対して (5.102)と (5.105)，(5.103)と (5.106)が等価であるためには

Qi, Qj = 0, Pi, Pj = 0, Qi, Pj = δij (5.107)

∂Qi

∂t=

∂

∂Pi

(∂W

∂t

),

∂Pi

∂t= − ∂

∂Qi

(∂W

∂t

)(5.108)

である必要がある．逆に，ある変数の組 (Qi, Pi)のPoisson括弧式が (5.99)式を満たしていれば，(5.108)

式を満足する適当な関数Wによって新しい HamiltonianをH = H ′ + ∂W∂t と定義することによって正準運

動方程式 (5.101)式を満足するようにできる．以上より，(5.107)式は正準変換の必要十分条件であることが

示された．

5.3.2 正準変換不変量

正準変換において不変に保たれる量がいくつかある．

96

Poisson括弧式

正準変換後の正準変数による Poisson括弧式を

A,BQP ≡∑i

(∂A

∂Qi

∂B

∂Pi− ∂A

∂Pi

∂B

∂Qi

)(5.109)

と定義し，これに対応して，変換前の変数による Poisson括弧式を

A,Bqp =∑i

(∂A

∂qi

∂B

∂pi− ∂A

∂pi

∂B

∂qi

)(5.110)

と書くことにする．任意の力学量 A,B に対して

A,Bqp = A,BQP (5.111)

が成立すること，つまり正準変換において Poisson括弧式が不変に保たれることを示すことができる．特に

正準変数については

Qi, Pjqp = Qi, PjQP = δij (5.112)

Qi, Qjqp = Qi, QjQP = 0 (5.113)

Pi, Pjqp = Pi, PjQP = 0 (5.114)

が成り立つことをすでに示した．任意の力学量に対して Poisson括弧式が不変であることを示すためには，以

下を用いる．

∂A

∂qj=∑k

(∂Qk

∂qj

∂A

∂Qk+∂Pk

∂qj

∂A

∂Pk

),

∂A

∂pj=∑k

(∂Qk

∂pj

∂A

∂Qk+∂Pk

∂pj

∂A

∂Pk

)(5.115)

これらを用いて Poisson括弧式を書き換えると，以下を得る．

A,Bqp =∑jk

[Qj , Pkqp

(∂A

∂Qj

∂B

∂Pk− ∂A

∂Pj

∂B

∂Qk

)

+Qj , Qkqp∂A

∂Qj

∂B

∂Qk+ Pj , Pkqp

∂A

∂Pj

∂B

∂Pk

](5.116)

したがって，(Qi, Pi)が正準変数であれば第二項，第三項が消えて，第二項の j = kの項だけが残り

A,Bqp =∑j

(∂A

∂Qj

∂B

∂Pj− ∂A

∂Pj

∂B

∂Qj

)= A,BQP (5.117)

が示される．よって，任意の力学量について，Poisson括弧式が正準変換において不変に保たれることを示す

ことができた．

位相空間の体積

正準変換のその他の性質として，(qi, pi)から (Qi, Pi)への変換が正準変換であれば，対応する位相空間の 体積は不変に保たれること，つまり（系の自由度を N とする）∫

dq1 · · ·∫

dqN

∫dp1 · · ·

∫dqN =

∫dQ1 · · ·

∫dQN

∫dP1 · · ·

∫dPN (5.118)

を示すことができる．簡単な例として，１自由度の場合の正準変換 (q, p) → (Q,P )の場合を考えよう．位相

空間の面積素片はヤコビアンを用いて，以下のように変換される．

dqdp =

∣∣∣∣ ∂(q, p)∂(Q,P )

∣∣∣∣ dQdP (5.119)

97

ここで

∂(q, p)

∂(Q,P )= det

∂q

∂Q

∂q

∂P

∂p

∂Q

∂p

∂P

=∂q

∂Q

∂p

∂P− ∂q

∂P

∂p

∂Q= q, pQP (5.120)

であるが，Poisson括弧式が正準変換に対して不変であることから q, pQP = 1である．よって

dqdp = dQdP (5.121)

が導かれる．

一般のN 自由度の場合の正準変換 (qi, pi) → (Qi, Pi) において，位相空間の体積素片はヤコビアンを用いて以下のように変換される．

dq1 · · · dqNdp1 · · · dqN =

∣∣∣∣ ∂(q1, · · · , qN , p1, · · · , pN )

∂(Q1, · · · , QN , P1, · · · , PN )

∣∣∣∣ dQ1 · · · dQNdP1 · · · dPN (5.122)

正準変数に対してはヤコビアンが必ず１になること

∂(q1, · · · , qN , p1, · · · , pN )

∂(Q1, · · · , QN , P1, · · · , PN )= 1 (5.123)

を示せる．（【問題 5-3-b】）よって正準変換は位相空間の体積を変えないことが示される．この性質は，統計

力学への応用の際に非常に重要になる．

98

演習問題

【問題 5-3-a】正準変換 (qi, pi) → (Qi, Pi)において以下の関係式が成り立つことを示せ．

(1)∂Pi

∂qj= − ∂pj

∂Qi(2)

∂Qi

∂qj=∂pj∂Pi

(3)∂Pi

∂pj=

∂qj∂Qi

(4)∂Qi

∂pj= − ∂qj

∂Pi

Hint：母関数による正準変換の公式を用いる．問 (1)は I型，問 (2)は II型，問 (3)は III型，問 (4)は IV

型をそれぞれ用いればよい．

【問題 5-3-b】正準変換 (qi, pi) → (Qi, Pi)に対して (5.123)式が成り立つことを示せ．

Hint：合成された変換に対するヤコビアンの性質

∂(q1, · · · , q3N , p1, · · · , p3N )

∂(Q1, · · · , Q3N , P1, · · · , P3N )=

∂(q1, · · · , q3N , p1, · · · , p3N )

∂(Q1, · · · , Q3N , p1, · · · , p3N )

∂(Q1, · · · , Q3N , p1, · · · , p3N )

∂(Q1, · · · , Q3N , P1, · · · , P3N )

（割り算） (5.124)

∂(q1, · · · , q3N , p1, · · · , p3N )

∂(Q1, · · · , Q3N , p1, · · · , p3N )=

∂(q1, · · · , q3N )

∂(Q1, · · · , Q3N )（約分） (5.125)

∂(Q1, · · · , Q3N , p1, · · · , p3N )

∂(Q1, · · · , Q3N , P1, · · · , P3N )=

∂(p1, · · · , p3N )

∂(P1, · · · , P3N )（約分） (5.126)

および，前問の結果を用いて，さらに転置行列の行列式はもとの行列式に等しい事（detA = detAT）を用い

ればよい．

【問題 5-3-c】以下の正準変換について，ヤコビアンが１であることを具体的に確かめよ．

(1) 円柱座標への変換 (x, y, z, px, py, pz) → (s, ϕ, z, ps, pϕ, pz)

(2) 極座標への変換 (x, y, z, px, py, pz) → (r, θ, ϕ, pr, pθ, pϕ)

99

5.4 無限小変換と保存則

5.4.1 無限小変換の生成子

5.2節でみたように、正準変換 (qi, pi) → (Qi, Pi)は母関数によって生成される．II型の正準変換

では

Qi =∂

∂PiWII(qi, Pi, t), pi =

∂

∂qiWII(qi, Pi, t) (5.127)

で与えられる．特に，WII =∑

i qiPi は恒等変換を生成する母関数である．つまり

WII =∑i

qiPi ⇒ Qi =∂

∂Pi

∑j

qjPj

= qi, pi =∂

∂qi

∑j

qjPj

= Pi (5.128)

そこで ϵを微小パラメータとして、恒等変換と少しだけ異なる正準変換

WII =∑i

qiPi + ϵG(qi, Pi) (5.129)

を考える．このような変換を無限小変換とよび，Gを無限小変換の生成子という．一般にはGの引数は ϵの

ゼロ次をとって (qi, pi)と書いても ϵの一次までは同じ変換を与える．このとき，(5.127)式より

Qi = qi + ϵ∂G

∂Pi, pi = Pi + ϵ

∂G

∂qi(5.130)

となる．ここで Gの Pi 微分は∂G

∂Pi≃ ∂G

∂pi+ o(ϵ) (5.131)

であるから，pi 微分に置き換えても ϵの一次までは正しい変換が得られる．従って Gによる無限小変換

Qi = qi + ϵ∂G

∂pi, Pi = pi − ϵ

∂G

∂qi(5.132)

を得る．以下に，いくつかの無限小変換の例を示そう．

1. 空間並進：デカルト直交座標を用いて母関数を

G =∑i

Pix =∑i

pix + o(ϵ) (5.133)

おくと

Xi = xi + ϵ, Pi = pi (5.134)

を得る．つまり，空間並進の生成子は運動量である．

2. 空間回転：簡単のため一粒子の運動を考える．xy座標を角度 ϕ回転する場合の変換は

X = x cosϕ− y sinϕ, Y = x sinϕ+ y cosϕ (5.135)

で与えられる．無限小回転 ϕ = ϵ≪ 1のとき，これは

X = x− ϵy, Y = y + ϵx (5.136)

となる．このよう変換を引き起こすためには，Gを以下のように与えればよい．

G = xPy − yPx = xPy − yPx + o(ϵ) = Lz + o(ϵ) (5.137)

つまり，空間回転の生成子は角運動量である．

100

3. 時間並進（時間発展）t→ t+ ϵを考えて，

Qi(t) = qi(t+ ϵ), Pi(t) = pi(t+ ϵ) (5.138)

とすると，正準運動方程式より

Qi = qi + ϵqi = qi + ϵ∂H

∂pi, Pi = pi + ϵpi = pi − ϵ

∂H

∂qi(5.139)

となる．よって，無限小変換の式においてG = H とすればよい．つまり，時間発展の生成子はHamil-

tonianである．

5.4.2 ネーターの定理

生成子Gによる無限小変換 (qi, pi) → (Qi, Pi)に対して任意の物理量A(qi, pi)は以下のような変換を受ける．

A(Qi, Pi) = A

(qi + ϵ

∂G

∂pi

,

pi − ϵ

∂G

∂qi

)= A(qi, pi) + ϵ

∑i

(∂A

∂qi

∂G

∂pi− ∂A

∂pi

∂G

∂qi

)= A(qi, pi) + ϵA,G (5.140)

特に物理量 Aとして A = H（Hamiltonian）とすれば

H(Qi, Pi) = H(qi, pi) + ϵH,G = H(qi, pi)− ϵdG

dt(5.141)

が成り立つ．もしもH(Qi, Pi) = H(qi, pi)，つまり生成子Gによって引き起こされる無限小変換に

関して Hamiltonianが不変であれば，dG/dt = 0，つまり Gは保存量となる．つまり 無限小変換によって Hamiltonianが不変であれば、変換の生成子 Gは保存量である．

これをネーター（Noether）の定理という．一般に，系に何かの操作（例えば座標軸の回転）をしてもHamil-

tonianが不変であるとき，この Hamiltonianはこの操作に関して対称であるという．ネーターの定理は，系

の対称性と物理量の保存則の関係を表すもので，非常に重要な定理である．

対称性と保存則の例

1. 空間が一様（並進対称）ならば、運動量が保存する．

H(ri + a, pi) = H(ri, pi)

⇒ d

dt

∑i

pi = 0 (5.142)

2. 空間が等方的（回転対称）ならば、角運動量が保存する．

H(x− ϵy, ϵx+ y, z, px − ϵy, ϵpx + py, pz) = H(x, y, z, px, py, pz)

⇒ d

dtLz =

d

dt(xpx − ypx) = 0 (5.143)

3. 時間が一様（時間並進対称）ならば、エネルギーが保存する．

H(ri(t+ ϵ), pi(t+ ϵ)) = H(ri, pi)

⇒ d

dtH = 0 (5.144)

101

第6章 微小振動

力学系が行う運動の中でよく見られるのは，系が安定なつり合いの位置の近くで行う微小振動とよばれる

運動である．系の安定なつり合いはポテンシャルエネルギー U(qi)が極小になる位置に対応する．系がその位置からわずかにずれると復元力−∂U/∂qiが働き振動を行うのである．この章では力学系の微小振動の一般的な取り扱いについて説明する．

6.1 １次元の微小振動

ポテンシャル U(x)の中を１次元的に運動している質量mの質点を考える．この系の Lagrangianは

L(x, x) =m

2x2 − U(x) (6.1)

で与えられる．ポテンシャル U(x)は x = x0 で極小値をとるものとしよう．点 x0 近傍でポテンシャルは

U(x) ≃ U(x0) +dU

dx

∣∣∣∣x=x0

(x− x0) +1

2

d2U

dx2

∣∣∣∣x=x0

(x− x0)2 + · (6.2)

と展開できる．ここで，ポテンシャルが極小であることより

dU

dx

∣∣∣∣x=x0

= 0 (6.3)

d2U

dx2

∣∣∣∣x=x0

> 0 (6.4)

となる．よって，極小点近傍でのポテンシャルは

U(x) = U(x0) +k

2(x− x0)

2, k =d2U

dx2

∣∣∣∣x=x0

> 0 (6.5)

と書ける．ここで，ポテンシャルエネルギーと位置の原点をずらして U(x0) = 0, x0 = 0と置けば

U(x) =k

2x2 (6.6)

となる．Lagrangianは

L(x, x) =m

2x2 − k

2x2 (6.7)

となる．これは調和振動子の Lagrangianである．これに対応する運動方程式は

mx = −kx (6.8)

であり，一般解は以下で与えられる．

x = A sin(ωt+ α), ω =

√k

m(6.9)

今までの話を，より一般的な１自由度の系に拡張することができる．一般化座標を用いて Lagrangianを書

き下すと，一般には

L(q, q) =1

2a(q)q2 − U(q) (6.10)

102

という形になる．第一項目は運動エネルギーを表す．ポテンシャルが q = q0 付近で極小とすると，q0 付近

では

U(q) = U(q0) +1

2

d2U

dq2

∣∣∣∣q=q0

(q − q0)2 (6.11)

となる．ポテンシャルエネルギーの原点をずらして U(q0) = 0とおき，一般化座標の極小点からの変位を

x = q − q0 と書くと，ポテンシャルは

U ≃ k

2x2, k ≡ d2U

dq2

∣∣∣∣q=q0

> 0 (6.12)

となる．運動エネルギーは q = xより

T =1

2a(q)x2 (6.13)

となるが，係数 a(q)も平衡点 q0 の周りで展開できて

a ≃ a(q0) +da

dq

∣∣∣∣q=q0

x+ · · · (6.14)

と展開することができる．しかし運動エネルギーの表式 (6.13)はすでに xについて２次である．したがって

微小変位で展開した場合の最低次の近似としては aは最初の定数項のみとればよい．よって

a(q) ≃ a(q0) = m (6.15)

と書く事にすると，運動エネルギーは

T ≃ m

2x2 (6.16)

となり，一般的な１自由度系の微小振動はやはり調和振動子の Lagrangian

L(x, x) =m

2x2 − k

2x2 (6.17)

によって記述される，この Lagrangianから導かれる運動方程式の一般解は (6.9)で与えられる．以上のこと

からわかることは，１自由度の系の安定な平衡点近傍での運動は１次元調和振動子の運動と等価になる，と

いうことである．

6.2 多自由度系の微小振動

6.2.1 微小振動のLagrange方程式

次に多自由度の力学系の微小振動を考えよう．Lagrangianは

L(qi, qi) = T (qi, qi)− U(qi) (6.18)

という形で与えられるが，以前にも述べたように，一般的に運動エネルギーは速度の二次形式で

T =1

2

∑i

∑j

Tij(qi)qiqj (6.19)

という形に書ける．一方，ポテンシャルが qi = q(0)i において極小値をとるとすると

∂U

∂qi

∣∣∣∣qi=q

(0)i

= 0 (6.20)

が成り立つ．微小変位 xi を

xi = qi − q(0)i (6.21)

103

によって導入し、ポテンシャル U を２次まで展開すると

U =1

2

∑i

∑j

Uijxixj , Uij =∂2U

∂qi∂qj

∣∣∣∣qi=q

(0)i

(6.22)

と書ける．ただしポテンシャルは極小値からはかることにする．定義より明らかに係数行列 Uij は対称行列

Uij = Uji (6.23)

である．線形代数で学んだように，対称行列は必ず実数の固有値を持つ．さらに，ポテンシャルの極小付近

で展開した場合，Uij の固有値は必ず正でなければならない（つまり Uij は正定値行列である）．運動エネル

ギーは qi = xi より

T =1

2

∑i

∑j

Tij(qi)xixj (6.24)

と書ける．係数 Tij については１自由度の場合と同様にポテンシャル極小の位置における値をとればよいので

Tij(q(0)i ) = Tij (6.25)

と書くことにすると，運動エネルギーは

T ≃ 1

2

∑i

∑j

Tij xixj (6.26)

となる．よって微小振動の Lagrangianとして

L =1

2

∑i,j

Tij xixj −1

2

∑i,j

Uijxixj (6.27)

を得る．運動方程式はd

dt

∂L

∂xi− ∂L

∂xi=∑j

Tij xj +∑j

Uijxj = 0 (6.28)

となる．以上の結果は，多自由度系の微小振動についてポテンシャルの関数形や座標系の取り方によらず一

般的に成り立つ．

6.2.2 基準振動と基準座標

特性方程式と固有振動数

微小振動の運動方程式 ∑j

Tij xj +∑j

Uijxj = 0 (6.29)

の解を求めるために，解の形を

xi(t) = aieiωt (6.30)

に仮定する．これを (6.29)式に代入すると∑j

(−ω2Tij + Uij)aj = 0 (6.31)

を得る．これを行列とベクトル

T =

T11 T12 T1n

T21 T22 T2n. . .

Tn1 Tn2 Tnn

, U =

U11 U12 U1n

U21 U22 U2n

. . .

Un1 Un2 Unn

, a =

a1

a2...

an

(6.32)

104

を用いて表すと

(−ω2T + U)a = 0 (6.33)

となる．これが a = 0の非自明な解を持つためには，係数行列−ω2T +U が逆行列を持たないことが必要と

なる．すなわち，その行列式がゼロでなければならない．

det(−ω2T + U) = 0 (6.34)

この方程式は，特性方程式，永年方程式などと呼ばれる．その解として得られた ωは固有振動数と呼ばれる．

この方程式は ω2について n次の代数方程式であり，n個の解を持つ．特性方程式の解 ω21 , · · · , ωnは全て実数

であることが示される．また，これらが全て正であるとき，系は xi = 0のまわりで微小振動を行い，xi = 0

は安定な平衡点である．もしも ω2i < 0となる固有振動数がある場合は，運動が指数関数的に増大するため微

小振動を行わず不安定な平衡点となる．

固有ベクトルの直交性

特性方程式の固有値 ω2i に対する固有ベクトルを a(i) とする．このとき二つの異なる固有値 ω2

k = ω2l に対

して

(−ω2kT + U)a(k) = 0 (6.35)

(−ω2l T + U)a(l) = 0 (6.36)

(6.35)式と a(l) の内積および (6.36)式と a(k) の内積をとると

−ω2k

∑ij

a(l)i Tija

(k)j +

∑ij

a(l)i Uija

(k)j = 0 (6.37)

−ω2l

∑ij

a(k)i Tija

(l)j +

∑ij

a(k)i Uija

(l)j = 0 (6.38)

ここで (6.38)式において T と U が実対称行列であることを用いると

−ω2l

∑ij

a(l)i Tija

(k)j +

∑ij

a(l)i Uija

(k)j = 0 (6.39)

よって (6.37)式から (6.39)式を引くと

(ω2l − ω2

k)∑ij

a(l)i Tija

(k)j = 0 (6.40)

となる．ここで ω2l = ω2

k を仮定しているので∑ij

a(l)i Tija

(k)j = 0 (6.41)

を得る．このような関係式を直交性という．k = lに対しては∑ij

a(k)i Tija

(k)j = 1 (6.42)

となるように規格化しておくと ∑ij

a(l)i Tija

(k)j = δlk (6.43)

となる．これを正規直交条件という．また，(6.43)式を (6.37)式に代入すると∑ij

a(l)i Uija

(k)j = δklω

2k (6.44)

を得る．

105

基準座標

x1, x2, · · · , xn の代わりに新しい座標X1, X2, · · · , Xn を

xi =n∑

k=1

a(k)i Xk (6.45)

により導入する．ただし a(k)i は規格化された固有ベクトルである．この新しい座標を使って Lagrangianを

表してみよう．まず運動エネルギーは

T =1

2

∑ij

∑k

∑l

Tija(k)i a

(l)j XkXl =

1

2

∑k

∑l

δklXkXl =1

2

∑k

X2k (6.46)

となる．また，ポテンシャルは

U =1

2

∑ij

Uijxixj =1

2

∑ij

∑k

∑l

Uija(k)i a

(l)j XkXl =

1

2

∑k

∑l

δklω2kXkXl =

1

2

∑k

ω2kX

2k (6.47)

となる．よって Langrangianは

L =1

2

∑k

(X2k − ω2

kX2k) (6.48)

となり n個の独立な調和振動子の Lagrangianの形に書ける．Lagrange方程式より

Xk + ω2kXk = 0 (6.49)

となり，その一般解は

Xk = Ak cos(ωkt+ αk) (6.50)

で与えられる．これを用いて xi は

xi =∑k

a(k)i Ak cos(ωkt+ αk) (6.51)

と与えられる．2n個の定数A1, · · · , An, α1, · · · , αnは初期条件より決まる．初期条件としては，例えば t = 0

における位置と速度

x1(0), x2(0), · · · , xn(0), x1(0), x2(0), · · · , xn(0) (6.52)

を与えればよい．このように，一般化座標 Xk は系の微小振動を求める際に基本的な役割を果たす．これを

基準座標と呼び，対応する固有振動を基準振動と呼ぶ．

二次形式の対角化

基準座標で Lagrangianを表すことは，二次形式を対角化することと等価であることを示そう．座標変数を

ベクトルで表して

x =

x1...

xn

(6.53)

とすると，Lagrangianは

L =1

2xTT x− 1

2xTUx (6.54)

と書ける．ただし，T,U は前に定義した行列である．新しい座標変数をベクトル

X =

X1

...

Xn

(6.55)

106

で表し，特性方程式の固有ベクトル a(k) を n個並べて作った n× n正方行列

A =

a(1)1 a

(2)1 a

(n)1

a(1)2 a

(2)2 a

(n)2

. . .

a(1)n a

(2)n a

(n)n

(6.56)

を考えると，(6.45)式の変数変換は

x = AX (6.57)

と書ける．よって，Lagrangianを新しい座標変数で表すと

L =1

2XTATTAX− 1

2XTATUAX (6.58)

となる．ここで，(6.43)式と (6.44)式が

ATTA = I ≡

1 0 0

0 1 0

. . .

0 0 1

, ATUA =

ω21 0 0

0 ω22 0

. . .

0 0 ω2n

(6.59)

と書けることより (6.48)式を得る．

6.2.3 Hamiltonianによる記述

多自由度系の微小振動を Hamiltonianによって記述することもできる．微小振動の Lagrangian (6.27)か

ら出発しよう．一般化運動量は

pi =∂L

∂xi=∑j

Tij xj (6.60)

と書ける．行列 T の逆行列を T とすると

xi =∑j

Tijpj ,∑lk

TilTlj = δij (6.61)

と書けるので，運動エネルギーは

T =1

2

∑ij

Tij∑k

Tikpk∑l

Tjlpl =1

2

∑ij

Tijpipj (6.62)

となる．よって Hamiltonianは

H =1

2

∑ij

Tijpipj +1

2

∑ij

Uijxixj (6.63)

となる．

正準運動方程式は

xi =∂H

∂pi=∑j

Tijpj (6.64)

pi = −∂H∂xi

= −∑j

Uijxj (6.65)

となる．(6.64)をもう一度時間微分して (6.65)を使うと

xi =∑j

Tij pj = −∑jk

TijUjkxi (6.66)

107

を得る．これをベクトル方程式の形に表すと

x = −T−1Ux (6.67)

となる．両辺に行列 T をかければ，これは Lagrange方程式から導いた運動方程式と全く同じ形になる．

新しい正準変数への変換を

x = AX, p = BP (6.68)

によって与える．ここで Aは (6.56)式で定義された行列である．行列BはPがXに共役な正準運動量にな

るように定める．すなわち，Poisson括弧式が xi, pj = Xi, Pj = δij であることより

xi, pj =∑k

∑l

AikBjlXk, Pl =∑k

AikBjk = δij (6.69)

したがって

ABT = 1 ⇒ B = (AT )−1 (6.70)

を得る．(6.68)式を Hamiltonian (6.63)に代入すると，運動エネルギー項は

T =1

2

∑ij

∑k

∑l

TijBikBjlPkPl =1

2

∑ij

(BT TB)ijPiPj (6.71)

となるが，ここで

BT TB = [(AT )−1]TT−1(AT )−1 = (ATTA)−1 = I (6.72)

であるから

T =1

2

∑i

P 2i (6.73)

となる．ポテンシャルの表式はすでに (6.47)式で与えられているので，Hamiltonianは

H =1

2

∑i

(P 2i + ω2

iX2i ) (6.74)

となる．これは，二次形式の Hamiltonianが線形変換（正準変換）によって「対角化」されたことを表して

いる．

108

演習問題

【6-2-a】質量mの二つの質点が図 6.1のようにバネ定数 kのバネにつながれている．両端は壁に固定されて

いる．質点の平衡位置からの変位をそれぞれ x1, x2とする（右向きの変位を正，左向きの変位を負とする）．

図 6.1:

(1) Lagrangianを x1, x2, x1, x2 の関数として与えよ．ただし平衡位置をポテンシャルの原点とする．x1, x2に対する運動方程式を求めよ．

(2) 上で求めた運動方程式の基準振動解として x1 = a1eiωt, x2 = a2e

iωt を仮定し，a1, a2 が満たすべき方程

式を求めよ．

(3) a1, a2 がどちらもゼロでない解（非自明解）が存在するための条件より，ω が満たすべき方程式を導け．

また，その解として固有振動数（基準振動数）ω1, ω2 を求めよ．ただし ω1 < ω2 とする．

(4) 上で求めた固有振動数 ω1, ω2に対応する固有ベクトル（基準モード）a(i)1 , a

(i)2 (i = 1, 2) を求めよ．ただ

し |a(i)1 |2 + |a(i)2 |2 = 1となるように規格化すること．

(5) 上で求めた固有ベクトルを用いて，新しい座標変数を x1(t) = a(1)1 X1(t)+a

(2)1 X2(t), x2(t) = a

(1)2 X1(t)+

a(2)2 X2(t)によって定義する．問 (1)で求めた LagrangianをX1, X2, X1, X2の関数として与え，固有振動数

ω1, ω2 を用いて表せ．

【6-2-b】固体中の原子の振動（格子振動）を表す簡単な模型（デバイモデル）を考えよう．簡単のため，N

個の原子が直線上にに並んでいるとする１次元格子模型を考える（図 6.2）．平衡状態では原子は間隔 lで並

んでいるものとして，時刻 tにおける j 番目の原子の変位を ψj(t)とする．各原子は互いに隣り合う原子と

のみ相互作用をし，その相互作用は調和振動子で近似できるものとする．そのばね定数をK と書くと，全系

のポテンシャルエネルギーは

U =N∑j=0

1

2K(ψj+1 − ψj)

2 (6.75)

となる．ただし 0番目と N + 1番目については両端が固定されているので時刻によらず ψ0 = ψN+1 と定義

する．一方，原子の質量をmとすると運動エネルギーは

T =

N∑j=1

1

2mψ2

j (6.76)

109

図 6.2: １次元格子模型．

で与えられる．（定義より ψ0 = ψN+1 = 0であるから j = 0, N + 1を和に含めても含めなくても変わりは無

い．）よって，この系の Lagrangianは

L = T − U =N∑j=1

1

2mψ2

j −N∑i=0

1

2K(ψj+1 − ψj)

2 (6.77)

で与えられる．

(1) Lagrange方程式d

dt

∂L

∂ψj

− ∂L

∂ψj(6.78)

より ψj に対する運動方程式を導け．

【略解】

mψj = K(ψj−1 − 2ψj + ψj+1) (6.79)

(2) 上で導いた運動方程式の固有振動解として

ψj(t) = A sin(kj)eiωt (6.80)

を仮定する．これを運動方程式に代入することによってωと kの関係を求めよ．また，境界条件ψ0 = ψN+1 = 0

より kとして取り得る値は以下に限られることを示せ．

kn =π

N + 1n, n = 1, 2, · · · , N (6.81)

特に，nの上限が原子数N によって制限される理由を説明せよ．

110

【略解】

ω2k =

2K

m(1− cos k) (6.82)

境界条件より

sin[k(N + 1)] = 0, ⇒ k(N + 1) = πn (n = 1, 2, 3, · · ·) (6.83)

n = 0は恒等的に ψi = 0を与えるので除外する．また，

kn+N+1 = π2N + 2 + n− 1−N

N + 1= 2π − π

N + 1− n

N + 1= 2π − kN+1−n (6.84)

よって任意の j に対して

sin kn+N j = − sin kN+1−nj (6.85)

が成り立つので，n→ n+N +1としても同じ固有振動解を表す．n = 1, 2, 3, ·と変化するときN +1− nは

N,N − 1, N − 2 · · ·と変化するので 1からN までとれば十分である．

(3) ψj(t)を固有モードで展開して，

ψj(t) =

√2

N + 1

∑k

qk(t) sin(kj) (6.86)

としよう．qk(t)は基準座標である．このとき，固有モードには以下の「直交性」が成り立つことを証明せよ．

N∑j=0

sin(knj) sin(kmj) =1

2δnm(N + 1) (6.87)

【略解】

N∑j=0

sin knj sin kmj =1

2

N∑j=1

[cos(kn − km)j − cos(kn + km)j] =1

2

N∑j=0

(cos kn−mj − cos kn+mj) (6.88)

まず，以下を証明する．N∑j=0

cos(knj) =

1− (−1)n

2(kn = 0)

N + 1 (kn = 0)(6.89)

そのために，以下の和を考える．

N∑j=0

eiknj =N∑j=0

(eikn

)j=

1− (eikn)N+1

1− eikn(6.90)

分子は kn = πn/(N + 1)であることから

1− eikn(N+1) = 1− exp

[i

π

N + 1n(N + 1)

]= 1− (−1)n (6.91)

となる．ただし n = 0のときは∑N

j=0 1 = N + 1となるので

N∑j=0

eiknj =

1− (−1)n

1− eikn(kn = 0)

N + 1 kn = 0

(6.92)

となる．この式の実部をとれば (6.89)が得られる．(6.89)を (6.88)に用いると，kn = kmのとき任意の自然数

(n,m)に対して (−1)n−m = (−1)n+mより和はゼロとなる．kn = kmのときは (−1)n+m = 1より cos kn+mj

の和はゼロとなりN∑j=0

sin2(knj) =N + 1

2(6.93)

111

を得る．よって直交関係 (6.87)を得る．

(4) Lagrangianを qk を使って書き直せ．

【略解】運動エネルギーは

T =1

2

N∑j=1

m

2ψ2j =

1

2

2

N + 1

N∑j=1

∑k

∑k′

qkqk′ sin(kj) sin(k′j) =1

2

2

N + 1

∑k

∑k′

qk qk′N + 1

2δkk′

=1

2

∑k

q2k (6.94)

ポテンシャルエネルギーは

U =1

2

N∑j=0

K(ψj+1 − ψj)2 =

1

2

N∑j=0

K(ψ2j+1 + ψ2

j − 2ψjψj+1) =N∑j=0

K(ψ2j − ψjψj+1) (6.95)

N∑j=0

ψ2j =

2

N + 1

N∑j=0

∑k

∑k′

qkqk′ sin(kj) sin(k′j) =∑k

q2k (6.96)

N∑j=0

ψjψj+1 =1

2

N∑j=1

(ψjψj+1 + ψj−1ψj) =1

2

N∑j

ψj(ψj+1 + ψj−1) (6.97)

ψj+1 + ψj =

√2

N + 1

∑k

qk[sin k(j + 1) + sin k(j − 1)] = 2

√2

N + 1

∑k

qk cos k sin(kj) (6.98)

N∑j=0

ψjψj+1 =2

N + 1

∑k

∑k′

qkqk′ cos k′N∑j=1

sin(kj) sin(k′j) =∑k

q2k cos k (6.99)

よって

U =∑k

K(1− cos k)q2k =∑k

m

2

2K

m(1− cos k)q2k =

∑k

m

2ω2kq

2k (6.100)

以上より Lagrangianは

L =∑k

(1

2mq2k − 1

2mω2

kq2k

)(6.101)

となる．これは角振動数 ωk を持つ N 個の独立な調和振動子の Lagrangianと同じ形を持つ．

(5) 正準運動量を

pk =∂L

∂qk(6.102)

で定義し，Hamiltonianを

H =∑k

pk qk − L (6.103)

によって与えよ．

【略解】

H =∑k

(1

2mp2k +

1

2mω2

kq2k

)(6.104)

角振動数 ωk を持つ N 個の独立な調和振動子の Hamiltonianと同じ形になる．

112

6.3 連続体の振動

演習問題で考えた１次元格子模型において，原子数N が非常に大きく振動が空間的に十分にゆるやかであ

るとき，この系を連続体とみなすことができる．Lagrangian (6.77) において原子数N を無限に持っていき，

かつ質点の間隔 lをゼロに持って行く極限（連続体極限）を考えてみよう．このとき，線密度 σ = m/l を一

定にし，さらに e = Klも一定に保つような極限を考える．そこで，Lagrangianを以下のように書き直す．

L = lN∑j=0

[1

2

m

lψ2j −

1

2Kl

(ψj+1 − ψj

l

)2]= l

N∑j=1

[1

2σψ2

i −1

2e

(ψj+1 − ψj

l

)2]

(6.105)

ここで，原子の番号 j を連続変数 x = jlに置き換えて，差分を微分で置き換えると

ψj+1 − ψj

l=ψ(x+ l)− ψ(x)

l→ ∂ψ

∂x(l → 0) (6.106)

とすることができる．また，j についての和を積分に置き換えると∑j

→ 1

l

∫ L

0

dx

ただし，Lは全系の長さである．よって Lagrangianは

L =

∫ L

0

1

2

[σ

(∂ψ

∂t

)2

− e

(∂ψ

∂x

)2]dx (6.107)

となる．

ψに対する運動方程式を導こう．これには，作用

S =

∫ t2

t1

Ldt (6.108)

の停留条件（Hamiltonの変分原理，または最小作用の原理）より導かれる．ψ → ψ+ δψとしたときの Sの

変分は

δS =

∫ t2

t1

dt

∫ L

0

dx

[σ

(∂ψ

∂t

)∂δψ

∂t− e

(∂ψ

∂x

)∂δψ

∂x

](6.109)

第一項を tで，第二項を xで部分積分すると

δS =

∫ L

0

dx

[σ∂ψ

∂tδψ

]t2t1

−∫ t2

t1

dt

[e∂ψ

∂xδψ

]L0

−∫ t2

t1

dt

∫ L

0

dx

[σ

(∂2ψ

∂t2

)− e

(∂2ψ

∂x2

)]δψ (6.110)

通常の変分原理のときと同様に，時間方向の境界条件として

δψ(t1) = δψ(t2) = 0 (6.111)

を仮定する．空間方向については固定端境界条件

ψ(0, t) = ψ(L, t) = 0

または周期的境界条件

ψ(x, t) = ψ(x+ L, t)

を仮定することにしよう（後者は一次元格子をリング状にしたと考えればよい）．すると，(6.110)式の第一

項目，第二項目はゼロとなり，結局

δS = −∫ t2

t1

dt

∫ L

0

dx

[σ

(∂2ψ

∂t2

)− e

(∂2ψ

∂x2

)]δψ (6.112)

113

を得る．これが任意の δψに対して成り立つための条件は波動方程式

∂2ψ

∂t2= c2s

∂2ψ

∂x2, cs =

√e/σ（音速） (6.113)

で与えられる．

音速 cs を用いて Lagrangianを書き直すと

L =

∫ L

0

1

2

[σ

(∂ψ

∂t

)2

− σc2s

(∂ψ

∂x

)2]dx (6.114)

となる．ここで，ψ(x, t) = (1/√σ)φ(x, t)とおけば

L =

∫ L

0

1

2

[(∂φ

∂t

)2

− c2s

(∂φ

∂x

)2]dx (6.115)

φに対する波動方程式は∂2φ

∂t2= c2s

∂2φ

∂x2(6.116)

となる．(6.79)に直接連続体近似 ψi−1 − 2ψi + ψi+1 → ∂2ψ/∂x2 を施しても同じ波動方程式を導くことが

できる．

114