2da ley de newton =)

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE

CULIACAN

NAVARRO HERNANDEZ ALMA GPE.

FISICA II

SEGUNDA LEY DE NEWTON

PROFESORA: ROCIO SAINZ

CULIACAN, SINALOA A 14 DE

DICIEMBRE DEL 2010



F2

F1

F3

a1

a2

a3

A)

B)

C)

CI E ICA E AS PARTICULAS SE UNDA LEY DE NE TON

La primera y la tercera leyes de Newton del movimiento se emplearon de

manera amplia en estática para estudiar cuerpos en reposo y las fuerzas que

actúan sobre ellos. Estas dos leyes también se utilizan en dinámica en realidad,

son suficientes para el estudio del movimiento de cuerpos que no tienen

aceleración. Sin embargo, cuando los cuerpos están acelerados, esto es

cuando cambia la magnitud o la dirección de su velocidad, es necesario recurrir

a la segunda ley de movimiento de Newton para relacionar el movimiento del

cuerpo con las fuerzas que actúan sobre él.

Segunda Ley de Movimiento de Newton

La segunda ley de Newton se puede enunciar de la manera siguiente:

Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, la partícula

tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en la

dirección de esta fuerza resultante.

Una partícula se somete a una fuerza F de dirección constante y magnitud

constante F. Bajo la acción de esa fuerza, se observa que la partícula se

mueve en línea recta y en la dirección de la fuerza.

Al determinar la posición de la partícula en diferentes instantes, se encuentra

que su aceleración tiene una magnitud constante a . Si el experimento se repite

con fuerzas F, F,« o de diferente magnitud o dirección, se descubre que

cada vez que la partícula se mueve en la dirección de la fuerza que actúa sobre

ella y que las magnitudes a , a , a ,«, de las aceleraciones son

proporcionales a las magnitudes F , F, F,«, de las fuerzas correspondientes

El valor constante se obtiene para el cociente de las magnitudes de las fuerzas

y aceleraciones es característico de la partícula que se considera; se denomina

la masa de la partícula y se denota mediante m. Cuando sobre una partícula de

masa m actúa una fuerza F, la fuerza F y la aceleración a de la partícula deben

satisfacer entonces la relación

� (1)



Esta relación proporciona una formulación completa de la segunda ley de

Newton; no solo expresa que la magnitud de F y a son proporcionales, sino

también (puesto que m es un escalar positivo) que los vectores F y a tienen la

misma dirección.

Debe advertirse que la ecuación (1) sigue cumpliéndose cuando F no es una

constante sino que varia con el tiempo de magnitud o dirección. Las

magnitudes de F y a permanecen proporcionales, y los dos vectores tienen la

misma dirección en cualquier instante determinado. Sin embargo, en general,

no son tangentes a la trayectoria de la partícula.

Cuando una partícula se somete de manera simultánea a varias fuerzas, la

ecuación (1) debe sustituirse por

(2)

Donde representa la sumatoria, o resultante, de todas las fuerzas que

actúan sobre la partícula.

Debe notarse que el sistema de ejes con respecto al cual se determina la

aceleración a no es arbitrario. Estos ejes deben tener una orientación constante

con respecto a las estrellas, y es necesario que su origen esté unido al sol o

se mueva con velocidad constante con respecto al sol.

Un sistema de ejes de estas características recibe el nombre de sistema de

referencia newtoniano. Un sistema de ejes unido a la Tierra no constituye un

sistema de referencia newtoniano, ya que a tierra gira con respecto a las

estrellas y esta acelerada con respecto al Sol.

CANTIDAD DE OVI IENTO LINEAL DE UNA PARTICULA. RAZON DE

CAMBIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL

Si se remplaza la aceleración a por la derivada dv/dt en la ecuación (2) se

escribe:

o, ya que la masa m de la partícula es constante,

(3)

a

F=ma

m



El vector mv se denomina como la cantidad de movimiento lineal, o

simplemente cantidad de movimiento de la partícula. Tiene la misma dirección

que la velocidad de la partícula, y su magnitud es igual al pr oducto de la masa

m y la velocidad v de la partícula (figura 3).

La ecuación (3) expresa que la resultante de las fuerzas que actúan sobre la

partícula es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal de

la partícula. En esta forma fue que Newton enunció originalmente la segunda

ley de movimiento. Al denotar por L la cantidad de movimiento lineal de la

partícula,

L=mv (4)

Y por L su derivada con respecto a t, es posible escribir la ecuación (3) en la

forma alternativa

L (5)

Debe notarse que la masa m de la partícula se supone constante en las

ecuaciones (3) a (5). La ecuación (3) o (5) no deben usarse para resolver problemas que impliquen el movimiento de cuerpos como cohetes, que ganan

o pierden masa.

Se entiende de la ecuación (3) que la razón de cambio de la cantidad de

movimiento lineal mv es cero cuando . De tal modo, si la fuerza

resultante que actúa sobre una partícula es cero, la cantidad de movimiento

lineal de la partícula 1permanece constante, tanto en magnitud como en

dirección. Este es el principio de conservación de la cantidad de movimiento

lineal para una partícula, el cual puede re conocerse como un enunciado

alternativo de la primera ley de Newton.

ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Considérese una partícula de masa m sobre la que actúan varias fuerzas. Se

tiene anteriormente que la segunda ley de Newton puede expresarse mediante

la ecuación

m

mv

v





Donde g es 9.81m/s² o 32.2 ft/s². las ecuaciones ue se obtienen se integran

de manera dependiente, como se muestra en la secci n 11.11, para obtener la

velocidad y el desplazamiento del proyectil en cual uier instante.

Cuando un problema implica dos o mas cuerpos las ecuaciones de movimiento

deben descr ibirse para cada uno de ellos. En la mayor ía de las aplicaciones de

ingenier ía, es posible determinar las aceleraciones con respecto a e jes móviles,

como los e jes unidos al cuerpo acelerado, no pueden sustituirse en lugar de a

en las ecuaciones de movimiento.

Componentes tangencial y normal.

al descomponer las f uerzas y la aceleración de la par tícula en componentes a

lo largo de la tangente ala trayector ia en la dirección de movimiento y nomal

acia el inter ior . De la trayector ia y sustituir ala ecuación, se obtienen las dos

ecuaciones escalares.

� t mat � n=man

Al sustituir at y an de las ecuaciones (11.40), se tiene

Las ecuaciones ue se obtienen pueden resolverse para dos incógnitas.

Equilibrio dinámico.

Al volver a la ecuación (2) y trasponer el miembro del lado derecho, se escr ibe la segunda ley de ewton en la f orma alternativa.

En la ue se expresa ue si se suma el vector -ma a las f uerzas ue se act an

sobre la par tícula, se obtiene un sistema de vectores equivalente a cero. El

vector ±ma, de magnitud ma y de dirección opuesta a la de la aceleración, se

denomina vector de inercia. De tal modo, es f actible considerar que la par t ícula

esta en equilibr io ba jo la acción de las f uerzas dadas y del vector de inercia. Se

afirma que la par tícula esta en equilibr io dinámico, y el problema que se

considera puede resolverse mediante los métodos que se desarrollaron antes

en estática.



mF1

F2

-ma

=0

-��

F1

F2

F3

En el caso de f uerzas coplanares, todos los vectores que se muestran en la

figura

incluyendo al vector de inercia, pueden trazarse uno después del otro para

f ormar un polígono vector ial cerrado. ambién es posible igualar a cero la suma

de los componentes de todos los vectores en la figura 12.10 incluyendo de

nuevo al vector de inercia. En consecuencia. tilizando componentes

rectangulares, se escr ibe.

�f =0 � =0 incluyendo el vector de inercia.

Cuando se usan las componentes tangencial y normal, resulta más

conveniente representar el vector de inercia por medio de sus compon entes ±

ma, y ±man en el mismo dibu jo.

la componente tangencial del vector de inercia of rece una medida que la

resistencia de la par ticula presenta a un cambio en la velocidad, en tanto que

su componente normal (también llamada f uerza centr if uga) representa la

tendencia de la par tícula a abandonar su trayector ia curva. Es necesar io

adver tir que cualquiera de estas dos componentes pueden ser cero en

condiciones especiales:

1) Si la par tícula par te del reposo, su velocidad inicial es cero y la

componente normal del vector de inercia es cero en t=0;2) Si la par tícula se mueve con la velocidad constante a lo largo de su

trayector ia, la componente tangencial del vector de inercia es cero y solo

es necesar io considerar su componente normal.

Debido a que mide la resistencia que la par tícula of rece cuando se trata de

poner la en movimiento, o cuando se intenta cambiar las condiciones de este

mismo, los vectores de inercia a menudo se denominan f uerzas de inercia. Sin



embargo, las f uerzas de contacto o f uerzas gravitacionales (pesos). Por

consiguiente, muchas personas ob jetan el uso de la palabra f uerza cuando se

refieren al vector ±ma o incluso evitan e l concepto de equilibr io dinámico. Otros

afirman que las f uerzas de inercia y las f uerzas reales, como las

gravitacionales, af ectan nuestros sentidos en la misma f orma u no es posible

distinguir las por mediciones físicas.

n hombre que via ja en un elevador que se acelera hacia arr iba puede sentir

que su peso se ha incrementado de manera repentina; y ninguna medida

ef ectuada dentro del elevador podr ía establecer si este en verdad esta

acelerado o si se ha incrementado de manera repentina la f uerza de at racción

e jercida por la tierra.

Se ha llegado a las soluciones de los problemas resultados de este texto

mediante la aplicación directa de la segunda ley de ewton y no mediante el

método de equilibr io dinámico.

Problemas resueltos

n bloque de 200 lb descansa sobre un plano hor izontal. Determine, la

magnitud de la f uerza p que se requiere para dar al bloque una aceleración de

10 ft/s² hacia la derecha. El coeficiente de f r icción cinética entre el bloque y el

plano es

k=0.25.

Solución

La masa del bloque es:

Se tiene que f =kn-0.25N y que a=10 ft/s². al expresar que las f uerzas que

act an sobre el bloque son equivalentes al vector ma, se escr ibe.

30º

200lb

P



+ � =ma: p��

p�� (1)

-P�� (2)

Al resolver (2) para y sustituir el resultado en (1), se obtiene.

= P��

P��

P=151 lb

Problema resuelto

Un bloque de 80 kg descansa sobre un plano hor izontal. Determine la magnitud

de la f uerza P requer ida para dar al bloque una aceleración de 2.5 m/s² hacia la

derecha. El coeficiente de f r icción cinética entre el bloque y el plano es

k= 0.25.

Solución:

El peso del bloque es

W=

Se tiene que = =0.25N y que a=2.5 m/s². al expresar que las f uerzas que

act an sobre el bloque son equivalentes al vector ma, se escr ibe.

+ � =ma: p��

W= 200Lb

ma

M= 6.21 lb*s2/ft

30º

80 Kg

P

F N

30º

=



p�� (1)

n -P�� (2)

Al resolver el (2) para N y sustituir el resultado en (1), se obtiene

N= P��

P��

P=535N

CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UNA PARTICULA. RAZON DE

CAMBIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR.

Considérese una par tícula P de masa m que se mueve con respecto a un

sistema de ref erencia newtoniano - O, la cantidad de movimiento lineal de la

par tícula en un instante determinándose define como el vector v obtenido al

multiplicar la velocidad v de la par tícula por su masa m. el momento alrededor de o del vector mv se denomina momento de la cantidad de movimiento, o la

cantidad de movimiento angular de la par tícula en torno a o en ese instante y

se denota por medio de Ho. Al recordar la definición del momento de un vector

(sección 3.6) y denotar mediante r el vect or de posición de P, se escr ibe.

Ho=r x mv

Se tiene que Ho es un vector perpendicular al plano que contiene r y m y de

magnitud.

Ho= rmv sen

Donde es el angulo entre r y mv. El sentido de Ho puede determinarse a

par tir del sentido de mv aplicando la regla de la mano derecha. La unidad de

cantidad de movimiento angular se obtiene al multiplicar las unidades de

longitud y de cantidad de movimiento lineal (sección 12.4) con unidades del SI

se tiene.

(m)(kg.m/s)=kg.m²/s

N

30º

W= 785N

F

= ma

M= 80 Kg



Con unidades de uso común en Estados Unidos, se escr ibe.

(ft)(lb.s)=ft.il.s

Al descomponer los vectores r y mv en componentes y aplicar la f ormula (3.10),

se escr ibe.

Ho=

Las componentes de Ho las cuales representan también los momentos de la

cantidad de movimiento lineal mv alrededor de los e jes de coordenadas se

obtienen expandiendo el determinante en (12.4). se tiene

En el caso de una par tícula que se mueve en el plano x, se tiene z= v=0 y

las componentes H y H ��

=m (xv-v)

Que será positivo o negativo de acuerdo con el sentido en el cual se observa que la par ticula se mueve desde O. si se recurre a coordenadas polares, se

descompone la cantidad de movimiento lineal de la par ticula e n las

componentes radial y transversal (figura 12.13) y se escr ibe

Ho=rmv sen = rmv

O al recordar de (11.45) que v =r

HO= mr²

A continuación se calcula la der ivada con respecto a t de una cantidad de

movimiento angular Ho de la par ticula P que se mue ve en el espacio.

Al dif erenciar ambos miembros de la ecuación (12.12), y recordar la regla para

la dif erenciación de una producto vector ial (sección 11.10), se escr ibe.

Ho= r x mv + r x mv = v x mv +r x ma.

Puesto que los vectores v y mv son colineales, e l pr imer termino de la

expresión que se obtiene es cero; y mediante la segunda ley de Newton, ma es



igual ala suma de � de las f uerzas que actúan sobre P. si r x � representa la

suma � o de los momentos alrededor de O de estas f uerzas, se escr ibe

� o=Ho

La ecuación (12.9), resulta directamente de la segunda ley de Newton,

establece que la suma de los momentos de O de las f uerzas que actúan sobre la par tícula es igual a la razón de cambio del momento de la cantidad de

movimiento, o cantidad de movimiento angular , de la par tícula alrededor de O.

Ecuaciones de movimiento en términos de las componentes r adial y

tr asversal.

Considérese una par tícula P, de coordenadas polares r y , que se mueve en

un plano ba jo la acción de var ias f uerzas. Al descomponer las f uerzas y la

aceleración de la par tícula en las componentes radial y transversal (figura

12.14) y sustituir la ecuación (12.2) se obtiene las dos ecuaciones escalares.

Al sustituir ar y a de acuerdo con las ecuaciones

²)

²)

Las ecuaciones se puede resolver por dos incógnitas

r � = )

=m(r² ��

Movimiento ba jo una fuerza centr al conservación de la cantidad de

movimiento.

Cuando la única f uerza que actua sobre una par ticula P es una f uerza dir igida

hacia O ale jándose de un punto fijo O, se dice que la par ticula se esta

moviendo ba jo una f uerza central.

Al recordar la definición de la cantitad de movimiento angular de una par ticula

se escr ibe.

R x mv=Ho= constante.

Puesto que la magnitud Ho de la cantidad de movimiento angular de la

par ticula P es constante, por lo tanto

Rmv sen =rmvo seno

De manera alternativa, al recordar la ecuación es posible expresar el hecho de

que la magnitud Ho de la cantidad de movimiento angular de la par tícula p es

constante.



mr²=Ho=constante.

Por consiguiente se concluye que cuando una par tícula se mueve ba jo una

f uerza central, su velocidad de área es constante.

BIBLIOGRA IA

erdinand P., Russell, J, et al. ecánica Vector ial para Ingenieros. Dinámica.

Séptima edición.

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