275_thiagokkk Santohhhhhhs Attias Silva

UM ESTUDO DE MEDIDAS DE CENTRALIDADE E CONFIABILIDADE EM REDES

Thiago Santos Attias Silva

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-

graduação em Tecnologia, Centro Federal de Educação Tec-

nológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ, como parte

dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em

Tecnologia.

Orientadores:

Leonardo Silva de Lima, D.Sc.

Carla Silva Oliveira, D.Sc.

Rio de Janeiro

Maio de 2010

ii

Um Estudo de Medidas de Centralidade e Confiabilidade em Redes.

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Tecnologia do Centro

Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ, como parte dos requisitos à

obtenção do título de Mestre em Tecnologia.


Aprovada por:

Presidente, Prof. Leonardo Silva de Lima, D.Sc. (orientador)

Prof. Carla Silva Oliveira, D.Sc. (ENCE/IBGE) (co-orientador)

Prof. Nair Maria Maia de Abreu, D.Sc. (UFRJ)

Prof. Lino Guimarães Marujo, D.Sc.

Rio de Janeiro

Maio de 2010

iii

Ficha catalográfica preparada pela Biblioteca Central do CEFET-RJ

S586 Silva , Thiago Santos Attias

Um estudo de medidas de centralidade e confiabilidade em redes / Thiago

Santos Attias - 2010

vi, 54f. : il., tabs, ; enc.

Dissertação (Mestrado) - Centro Federal de Educação Tecnológica

Celso Suckow da Fonseca, 2010

Bibliografia : f.52-54

Orientador: Leonardo Silva de Lima .

Co-orientadora: Carla Silva Oliveira

1.Redes modeladas por grafos 2.Teoria dos grafos 3.Redes - Confiabi-

lidade 4.Medidas de Centralidade I.Lima, Leonardo Silva de (orient)

II.Oliveira, Carla Silva (co-orient.) III.Título.

CDD 004.6

iv

RESUMO

Um Estudo de Medidas de Centralidade e Confiabilidade em Redes


Orientadores:Leonardo Silva de LimaCarla Silva Oliveira

Resumo da Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Tecnologiado Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ, como parte dosrequisistos à obtenção do título de Mestre em Tecnologia.

A confiabilidade de uma rede modelada por um grafo é dada pela probabilidade que este apresentade permanecer conexo após falha em um subconjunto de seus vértices e/ou arestas. As medidas decentralidade de um grafo são utilizadas para medir o grau de relevância de um vértice em relação aosdemais vértices do grafo. Dentre as medidas de centralidade podem ser destacadas as centralidadede grau, informação, intermediação e de autovetor. A principal questão investigada nesse trabalho éa seguinte: Qual o par de vértices não adjacentes que deve ser conectado por uma aresta de modoque o grafo resultante tenha máximo aumento na confiabilidade da rede? Os testes computacionaisapresentados nesse trabalho indicam que as medidas de centralidade podem ser úteis para responderessa questão.

Palavras-chave: Grafos; Confiabilidade; Medidas de centralidade.

Rio de JaneiroMaio / 2010

v

ABSTRACT

A Study of Centrality Measures and Network Reliability


Advisor(s):Leonardo Silva de LimaCarla Silva Oliveira

Abstract of dissertation submitted to Programa de Pós-Graduação em Tecnologia do Centro Federalde Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ, as partial fulfillment of the require-ments for the degree of Technology Master.

The reliability of a network modeled by a graph is defined as the probability to the graph remainsconnected after removing a subset of its edges and/or vertices. Centrality measures of a graph are use-ful to measure the relevance of a vertex related to the others vertices of the graph. Among all centralitymeasures one can cite degree centrality, closeness centrality, betweenness centrality and eigenvectorcentrality. The main question investigated in this work is the following: Which pair of non adjacent ver-tices must be connected by an edge such that the resulting graph has maximum reliability increment?The computational tests presented in this work pointed out that the centrality measures can be usefulto answer this question.

Keywords:Graph; Reliability; Centrality measures.

Rio de JaneiroMaio / 2010

Sumário

Introdução 1

I Conceitos Básicos 4

I.1 Teoria dos Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.2 Conceitos Básicos Aplicados em Confiabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II Confiabilidade em Redes 11

II.1 Falhas em Arestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

III Medidas de Centralidade 18

III.1 Tipologia de Fluxo em Redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

III.1.1 Tipos de Trajetória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

III.1.2 Difusão de Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

III.1.3 Processos envolvendo fluxo em redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

III.2 Medida de Proximidade (Closeness) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

III.3 Medida de Intermediação (Betweenness) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

III.4 Medida de Intermediação de Fluxo (Flow Betweenness) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

III.5 Medida de Autovetor (Eigenvector ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

III.6 Medida de Informação (Degree) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

III.7 Cálculo das Medidas de Centralidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

IV Confiabilidade em Redes e Medidas de Centralidade 36

Conclusão 50

Referências Bibliográficas 52

Introdução

O desempenho de empresas prestadoras de serviços públicos é medido por diferentes gru-

pos envolvidos como, por exemplo, os seus clientes e os órgãos reguladores competentes para cada

segmento. Por exemplo, a ANEEL (Agência Nacional de Energia Elétrica), no setor de eletricidade

e a ANATEL (Agência Nacional de Telecomunicações), no setor de telecomunicações. Indicadores

de confiabilidade e suas medidas são muito utilizados para quantificar a qualidade de um serviço, e

também estão associados, pela própria definição, à continuidade de funcionamento de um sistema.

Em alguns casos, como no setor elétrico, este indicador é utilizado como parâmetro para definição do

valor da tarifa de energia e do percentual de reajuste anual da mesma [1].

A continuidade de fornecimento de um serviço está associada, dentre outros fatores, a investimen-

tos no setor de manutenção do sistema. A gestão da manutenção se desenvolveu inicialmente, no

ambiente fabril, principalmente a partir de 1950, já no setor de serviços, seu desenvolvimento foi mais

tardio, criando uma defasagem tecnológica da manutenção em relação à fabricação. Desde então,

o avanço da manutenção, no âmbito da prestação de serviços, ocorreu em três principais linhas de

ação: métodos de gerenciamento, aumento da confiabilidade de equipamentos e sistemas, além do

desenvolvimento de alternativas tecnológicas para os equipamentos existentes [29]. Isto representa

uma forte motivação para o avanço das técnicas de análise de confiabilidade em redes. Além disto,

ao analisar a qualidade de um serviço prestado, não se pode deixar de considerar a percepção do

cliente em relação ao serviço que lhe é oferecido. Para isto, pode ser utilizada uma ferramenta de

mensuração da qualidade de serviços percebida pelo cliente chamada SERVQUAL, desenvolvida e

apresentada em [26] e utilizada em outros trabalhos, como pode ser visto em [19]. Esta ferramenta,

também considera a confiabilidade como um de seus parâmetros de análise.

Quanto maior a confiabilidade de um sistema, menor a possibilidade de falhas e mais garantida

será a manutenção da qualidade dos serviços. Entretanto, no mundo real, a construção de uma rede

considerada infalível é economicamente inviável. Neste âmbito, um dos principais objetivos ao planejar

2

a construção ou expansão de uma rede, é obter um elevado grau de confiabilidade, com o menor inves-

timento financeiro possível, ou seja, maximizar a razão entre a confiabilidade e o custo, considerando

as restrições do projeto. Em algumas situações é necessário expandir pontos específicos da rede, em

função das necessidades do sistema. A Teoria dos Grafos pode ser utilizada como uma importante

ferramenta de análise em diferentes tipos de redes existentes, como um sistema elétrico de potência,

uma rede de telecomunicações, uma malha ferroviária, dentre outros. O cálculo da confiabilidade de

um grafo que modela uma rede é um problema muito difícil de ser resolvido, do tipo NP-Hard [30].

Em determinadas situações são consideradas aproximações, visando simplificar a rede estudada e,

consequentemente, facilitar a obtenção do valor de sua confiabilidade. Em [11], são apresentados

métodos para calcular a confiabilidade de uma rede, onde considera-se que apenas as arestas pos-

sam falhar, sendo os vértices infalíveis. Em [15] são consideras falhas apenas nos vértices. Pode ser

vista em [30], uma aproximação combinatorial para o cálculo da confiabilidade de um grafo, supondo

a possibilidade de falha, tanto nos vértices, quanto nas arestas. Para isto, é necessário conhecer

e avaliar as particularidades de cada problema, visando definir qual tipo de aproximação poderá ser

aplicada a cada caso.

A identificação dos principais elementos de um sistema é importante para auxiliar a tomada de

decisão no momento de escolher em qual trecho da rede deve-se investir em determinado instante. Em

uma rede de transmissão de fluxo pode existir um ponto que seja o único ou o principal elo de ligação

entre importantes trechos. Este ponto deve ser identificado para que tenha um tratamento especial, sob

o ponto de vista da confiabilidade, visto que em caso de defeito no mesmo o impacto para o sistema

será relevante. Medidas de centralidade podem ser utilizadas para identificar os principais pontos

de uma rede, sob diferentes aspectos. Existem medidas que determinam maior grau de relevância

para elementos com maior número de relações diretas com os demais, outras indicam relevância para

pontos que se encontram mais próximos do restante dos elementos da rede, dentre outras. Ao realizar

uma análise em um caso real, através das medidas de centralidade deve-se verificar qual delas se

adequa melhor às características particulares de cada caso, conforme será apresentado no Capítulo

4. Em [13], [7] e [14] são apresentadas diferentes medidas de centralidade, com suas aplicações e

interpretações de resultados. Neste trabalho são abordadas as principais medidas de centralidade,

suas particularidades e aplicações, além de uma possível relação com o cálculo da confiabilidade em

redes.

3

Objetivo

O objetivo geral deste trabalho é apresentar os principais conceitos e aplicações de confiabili-

dade e de medidas de centralidade em redes modeladas por grafos, indicando uma possível relação

entre as medidas de centralidade e o cálculo da confiabilidade.

Metodologia

Ao longo deste trabalho, foram utilizados alguns softwares para auxiliar a apresentação e

obtenção dos dados. Para desenhar os grafos, foi utilizado o software YED [32] e para calcular os

valores das medidas de centralidade utilizou-se o software Netdraw [10]. A pesquisa bibliográfica foi

realizada em diversas fontes, com ênfase em periódicos da Capes, e nas revistas Networks e Social

Networks.

Motivação

A análise da confiabilidade de uma rede e a identificação de seus principais elementos são im-

portantes ferramentas para diversos estudos práticos, como por exemplo, a expansão e manutenção de

sistemas elétricos, de transportes e de telecomunicações. Estes estudos estão diretamente relaciona-

dos à qualidade de prestação de serviços de uma empresa e seus resultados podem ser utilizados

como importantes indicadores no auxílio a tomadas de decisão.

Estrutura do Trabalho

Foi realizada uma revisão bibliográfica sobre confiabilidade em redes e medidas de centrali-

dade em grafos. No Capítulo 2, são apresentados os conceitos básicos da Teoria de Grafos e outros

conceitos relevantes. No Capítulo 3, são apresentadas definições e métodos de cálculo da confi-

abilidade em redes, além de algumas possíveis simplificações. Já no Capítulo 4, são definidas as

principais medidas de centralidade existentes, além de apresentar exemplos sobre estes conceitos. O

capítulo 5 mostra uma possível relação entre as medidas de centralidade e a escolha do melhor ponto

para expansão de uma rede, sob o ponto de vista da confiabilidade da rede. Finalmente, o capítulo 6,

apresenta as conclusões e propostas para trabalhos futuros.

Capítulo I

Conceitos Básicos

Neste capítulo são apresentados os principais conceitos e definições, incluindo exemplos re-

ferentes à Teoria dos Grafos e Confiabilidade de redes, necessários para a compreensão dos tópicos

abordados ao longo deste trabalho.

I.1 Teoria dos Grafos

Um grafo é uma estrutura G(V ; E), onde V é um conjunto discreto cujos elementos são de-

nominados de vértices ou nós e E, um conjunto de subconjuntos a dois elementos de V , cujos ele-

mentos são denominados arestas de G. O grafo G(V ; E) é de ordem n, quando |V | = n e de tamanho

m, se |E| = m, 0 ≤m≤ n(n − 1)/2. Um grafo G(V,E) é dito valorado quando existe uma ou mais

funções relacionando V e/ou E a conjutos de números.

Um grafo com |V | = 1 e |E| = 0 é denominado trivial. Um grafo com m = 0 é denominado

totalmente desconexo ou vazio. Os vértices interligados por uma aresta são denominados adjacentes.

Um percurso ou itinerário, é uma família de ligações sucessivamente adjacentes. Um percurso é

fechado quando a última ligação da sequência for adjacente à primeira e aberto nos demais casos.

Um percurso aberto pode possuir subpercursos fechados, e se duas ou mais arestas tiverem um

vértice em comum, elas são denominadas incidentes, caso contrário são independentes.

Um grafo é um caminho se seus vértices podem ser ordenados de tal maneira que o primeiro seja

adjacente ao segundo, o segundo adjacente ao terceiro, e assim sucessivamente, até que o penúltimo

seja adjacente ao último e que não haja outras adjacências entre os vértices além dessas. Em outras

palavras, um grafo G(V ;E) é um caminho se V admite uma permutação tal que E(G)={(vi, vi+1),

5

1 ≤ i < n}. Os vértices v1 e vn são denominados extremos do caminho. Um ciclo é um caminho

que começa e termina no mesmo vértice. Quando uma aresta de ligação envolver apenas um único

vértice, ou seja, tiver como origem e destino o mesmo vértice, ela é denominada laço. As arestas de

um grafo podem possuir ou não um sentido de orientação de fluxo. Um arco é uma aresta de ligação

orientada entre dois vértices. Um grafo orientado ou digrafo é aquele cujas arestas são orientadas,

como por exemplo o grafo da Figura I.1.

Figura I.1: Digrafo.

Um grafo G′ = (V ′; E′) é um subgrafo de G = (V ; E), quando V ′ ⊆ V e E′ ⊆ E. É comum

representar G′ como subgrafo de G através de G′ ⊆ G. Um subgrafo G′ de G é gerador se V ′(G′)

= V (G) e E′(G′) ⊆ E(G), ou seja, G′ é constituído apenas pela supressão de arestas de G. Para

G′ obtido através da supressão de vértices de G, tal que ∀ νx, νy ∈ V ′, se (νx, νy) ∈ E′ então

(νx, νy) ∈ E, G′ é denominado subgrafo induzido de G.

O grau de um vértice vi ∈ V , denotado por d(vi), é o número de arestas ligadas diretamente a

ele. A partir disto, a sequência de graus de um grafo G, é dada por dG = (d(v1), ..., d(vn)), onde

d(v1) ≥ ... ≥ d(vn). O grau mínimo de G, denotado por δ(G), é definido como δ(G) = d(vn) e o

grau máximo, denotado por ∆(G) é definido por ∆(G) = d(v1). Um grafo é dito k − regular quando

d(vi) = k, 1 ≤ i ≤ n. Quando d(vi) = n − 1, 1 ≤ i ≤ n, o grafo é dito completo e denotado por

Kn. Uma clique de G é um subconjunto de vértices cujo subgrafo induzido por ele, G′, forma um grafo

completo.

Dois grafos G = (V1; E1) e H = (V2; E2) são iguais quando V1 = V2 e E1 = E2. Grafos isomorfos

são aqueles que possuem a mesma estrutura. De outro modo, dois grafos G e H são denominados

isomorfos quando existir uma bijeção f tal que, para todo vi ∈ V1 e para todo wj ∈ V2, wj = f(vi)

de modo que as relações de adjacência sejam preservadas, isto é (vk, vr) ∈ E1, se e somente se,

(wp, wq) ∈ E2, onde wp = f(vk) e wq = f(vr). A Figura I.2 exibe 3 grafos isomorfos.

6

Figura I.2: Grafos Isomorfos.

Há diversas representações matriciais associadas a grafos e o seu uso está, habitualmente, rela-

cionado à necessidade de realização de cálculos envolvendo dados estruturais. Dentre as matrizes

mais conhecidas, tem-se as matrizes de adjacência, incidência, laplaciana, laplaciana sem sinal e

outras. Neste trabalho serão utilizadas as matrizes de adjacência, denotada por, A(G) e laplaciana,

denotada por L(G). A matriz de adjacência de G, A(G), é a matriz de ordem n, cujas entradas são:

aij =

1, se (vi, vj) ∈ E para vi, vj ∈ V ;

0, nos outros casos.

É facil verificar que A(G) é simétrica, ou seja, aij = aji, 1 ≤ i, j ≤ n.

A Figura I.3 exibe um grafo com 4 vértices e 5 arestas.

Figura I.3: Grafo G.

A matriz de adjacência do grafo da Figura I.3 é:

A(G) =

0 1 1 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 0 1 0

Seja B = [bij ] uma matriz quadrada de ordem n e Mij o determinante da submatriz obtida de B

7

eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna. O número Cij = (−1)i+jMij é denominado cofator

de bij . A matriz [Cij ], ∀i, j = 1, ..., n é denominada matriz de cofatores de B e sua transposta é

denominada adjunta de B, denotada por Adj(B).

Seja D, D(G) = (dii), 1 ≤ i ≤ n, a matriz diagonal, cujos elementos de sua diagonal principal,

dii = d(vi), são os graus dos vértices do grafo G. A matriz L(G) = D(G) − A(G), onde A(G) é a

matriz de adjacência de G, é denominada matriz laplaciana ou laplaciano do grafo G, [3]. A Figura I.4

exibe um grafo com 5 vértices e 6 arestas.

Figura I.4: Grafo G.

A matriz Laplaciana do grafo da Figura I.4 é:

L(G) =

2 −1 0 0 −1

−1 3 −1 −1 0

0 −1 2 −1 0

0 −1 −1 3 −1

−1 0 0 −1 2

I.2 Conceitos Básicos Aplicados em Confiabilidade

A definição de Confiabilidade de Redes depende basicamente de dois parâmetros de vulnera-

bilidade: a conectividade de aresta e o cardinal de conectividade de aresta. O objetivo central desta

seção é apresentar as definições da Teoria dos Grafos com aplicação mais direta na de solução de

problemas de Confiabilidade de Redes.

A conexidade de um grafo está relacionada à possibilidade de transmissão de fluxo de um vértice

a outro, utilizando as arestas existentes. Um grafo conexo possibilita a ligação entre todos os seus

vértices atráves das arestas nele existentes, já em um grafo desconexo isto não é possível. O conceito

de conexidade está inteiramente associado às definições de confiabilidade e vulnerabilidade de uma

rede modelada por um grafo. É válido destacar, que a análise da conexidade em grafos orientados

8

e não orientados, não é realizada da mesma forma, visto que deve-se observar o sentido de fluxo

permitido em cada aresta de um digrafo. Uma árvore é um grafo conexo sem ciclos. A conectividade

de aresta, denotada por λ(G) ou simplesmente λ, é dada pelo menor número de arestas cuja remoção

torna o grafo G desconexo. A conectividade de vértice, denotada por, κ(G) ou simplesmente κ, por

sua vez, é dada pelo menor número de vértices cuja remoção torna o grafo G desconexo ou trivial. Um

corte de arestas em G ou conjunto separador de G é um conjunto de arestas cuja remoção desconecta

G ou o torna trivial. Se uma única aresta for responsável pelo corte, esta é chamada de ponte. De

maneira análoga, define-se o corte de vértices como o conjunto de vértices cuja remoção, juntamente

com as arestas ligadas a ele, desconecta o grafo ou o torna trivial. Se um único vértice determinar um

corte, este será denominado ponto de articulação.

O Teorema a seguir determina o máximo valor de λ(G) e κ(G) quando n e m são previamente

conhecidos.

TEOREMA I.1. [20]: Dentre todos os grafos com n vértices e m arestas, a conectividade máxima de

arestas é igual à conectividade máxima de vértices e, ambas são iguais a 0, quando m < n − 1 e

iguais a b2mn c, quando m ≥ n− 1. Recorre que se G é máximo em λ(G), então λ(G) = δ(G).

Outra observação importante e bastante útil para o cálculo de λ(G), é a relação existente entre os

valores de κ(G), λ(G) e δ(G), que é expressa através da seguinte inequação.

κ(G) ≤ λ(G) ≤ δ(G). (I.1)

O número de conjuntos de cortes de arestas com uma dada cardinalidade i, denotado por mi(G)

e o número de subgrafos geradores conexos contendo i arestas, denotado por Si(G), são parâmetros

importantes e fundamentais para os cálculos de confiabilidade, que serão apresentados nos capítulos

a seguir. Quando i for igual ao número de arestas m de um grafo G, tem-se Si = 1, pois, neste

caso, o próprio grafo G é o único subgrafo gerador conexo contendo m arestas. Abaixo é apresentado

um grafo G com 5 vértices e 6 arestas e uma tabela, contendo todos os valores de Si(G) e mi(G),

1 ≤ i ≤ 6.

Seja G o grafo dado na Figura I.5. As Figuras I.6, I.7 e I.8, mostram todos os subgrafos conexos

geradores conexos com 4, 5 e 6 arestas.

9

Figura I.5: Um grafo G e seus valores de Si e mi.

Figura I.6: S4(G) = 11.

Figura I.7: S5(G) = 6.

Figura I.8: S6(G) = 1.

10

A Figura I.5 nos permite observar que Si + m(|E|−i) = Qi(G′), 1 ≤ i ≤ n, onde:

Qi(G′) =

|E|

i

=

|E|!i!(|E| − i)!

. (I.2)

Um modo de se calcular o número de subgrafos geradores contendo exatamente n − 1 arestas é

mostrado no próximo capítulo e envolve o conceito de matriz Laplaciana do grafo G.

Capítulo II

Confiabilidade em Redes

Sabe-se que o cálculo da confiabilidade de uma rede representada através de um grafo é um

problema difícil de ser resolvido. Com isso, é importante, para facilitar os cálculos necessários, que

algumas aproximações sejam consideradas sempre que possível. De modo geral, qualquer elemento

de uma rede é passível de falha. Entretanto, pode-se considerar, em determinados casos, que apenas

as arestas possuam alguma probabilidade de falha e os vértices sejam confiáveis [11], ou os vértices

possam falhar e as arestas não [15], ou ainda, é possível considerar que qualquer elemento possa

falhar [30]. Este trabalho designa maior destaque ao primeiro caso.

No estudo de confiabilidade, é necessário definir se uma possível configuração de operação da

rede se encontra em um estado aceitável ou não, dentro de determinados critérios de classificação,

apresentados a seguir. A partir desta definição, podemos iniciar os cálculos de confiabilidade de um

referido sistema. Dentre as possíveis classificações de uma rede temos:

• K-Terminal - Uma rede deste tipo é representada por um grafo G e considerada operante, se

o subgrafo G′, formado pelas arestas em funcionamento, mantém todos os K vértices conec-

tados. Este modelo pode ser aplicado em uma rede de suprimentos, onde apenas K unidades

necessitam estar conectadas para considerar o sistema operante.

• Two-Terminal - É um caso particular da classificação K-terminal, onde apenas dois vértices, ditos

terminais, do subgrafo G′ precisam estar conectados para que o estado do sistema seja consi-

derado aceitável ou operante. Esta classificação é bastante utilizada em análise de sistemas de

transmissão, onde consideram-se os vértices de origem (fonte) e destino (carga), como os que

necessitam estar conectados, mesmo após falhas em linhas de transmissão existentes (arestas).

12

• All-Terminal - Também um caso particular da classificação K-terminal, onde K é igual ao número

total de vértices do grafo inicial G. Uma rede de distribuição elétrica ou telefônica que considere

o atendimento a todos os clientes existentes, fator fundamental para o seu funcionamento, é um

exemplo de aplicação desta classificação.

II.1 Falhas em Arestas

Uma rede é modelada por um grafo não orientado G com n vértices e m arestas. Neste

grafo cada vértice é perfeitamente confiável e somente as arestas e estão propensas à falhas, com

probabilidade de falha ρe. Para calcular a confiabilidade de uma rede, ou seja, a probabilidade desta

permanecer operante, mesmo após uma ou mais falhas, conforme o critério de classificação adotado,

é necessário determinar a probabilidade de ocorrência de cada possível estado de funcionamento da

rede considerado operante e depois somar os resultados obtidos. O número total de possíveis estados

é dado por 2m, onde m é o número de arestas da rede. A probabilidade de ocorrência de cada estado

da rede é dada pelo seguinte produtório:

∏

eεE′(1− ρe)

∏

eε(E\E′)ρe, (II.1)

onde E é o conjunto de arestas do grafo G e E′ é o conjunto formado pelas arestas do grafo que se

encontram em funcionamento.

Na Figura II.1, tem-se a representação de uma rede de suprimentos, representada pelo grafo G,

onde as probabilidades de falha nas arestas são ρe1 , ρe2 , ρe3 , ρe4 e ρe5 para as arestas e1, e2, e3, e4 e

e5, respectivamente. O sistema é considerado operante se houver qualquer ligação entre os vértices

F (fonte) e D (destino).

13

Figura II.1: Grafo G.

Considere o estado de funcionamento das arestas e1, e2, e3, e4 e e5 do grafo G da Figura II.1,

representado pela matriz linha (I(e1), I(e2), I(e3), I(e4), I(e5)), onde I(ej) = 1, se a aresta e1 está

em funcionamento e I(ej) = 0, se a aresta ej falha . Em 7 dos 32 = 25, possíveis estados do

sistema, o mesmo permanecerá operante, conforme os critérios definidos anteriormente. Os estados

considerados operantes são indicados abaixo.

(1,0,1,0,1); (1,1,1,0,1); (1,0,1,1,1); (0,1,0,1,1); (1,1,0,1,1); (0,1,1,1,1) e (1,1,1,1,1).

Sendo assim, a confiabilidade do sistema é dada por:

ρe1ρe2ρe3ρe4ρe5+ρe1ρe2ρe3ρe4ρe5+ρe1ρe2ρe3ρe4ρe5+ρe1ρe2ρe3ρe4ρe5+ρe1ρe2ρe3ρe4ρe5+ρe1ρe2ρe3ρe4ρe5+

ρe1ρe2ρe3ρe4ρe5 ,

onde ρe é a probabilidade da aresta e se manter em operação.

Em alguns casos pode-se considerar ρ = ρ1 = ρ2 = . . . = ρm. Nestas situações é possível

calcular a probabilidade de G permanecer conexo (critério de classificação All-Terminal), após a falta

de operação de algumas de suas arestas, através da expressão II.2.

R(G; ρ) =m∑

i=n−1

Si(1− ρ)iρm−i, (II.2)

onde Si é o número de subgrafos geradores conexos contendo i arestas.

Empiricamente esta consideração pode ser feita principalmente quando estamos tratando de uma

rede cujas arestas são meios de comunicação constituídos de um mesmo material e tecnologia. Para

o grafo da Figura II.2, o cálculo de R(G; ρ) é dado por:

R(G; ρ) =∑5

i=4 Si(1− ρ)iρm−i = 5(1− ρ)4ρ1 + 1(1− ρ)5ρ0.

Para ρ = 0.2, temos:

R(G; 0.2) = 5(1− 0.2)40.21 + 1(1− 0.2)50.20 = 0.745

14

Figura II.2: Grafo G.

Para pequenos valores de ρ pode-se aproximar o cálculo de R(G; ρ) pelo valor do primeiro termo

da expressão II.2 [21]. Para estes casos, tem-se:

R(G; ρ) = Sn−1(1− ρ)n−1ρm−(n−1) (II.3)

Considerando uma rede existente de qualquer natureza, pode-se aumentar o valor de sua confia-

bilidade, através da inserção de novas arestas com a mesma probabilidade de falha ρ. Para o grafo

da Figura II.2, a confiabilidade das novas redes geradas, a partir da inserção de uma aresta, entre

qualquer um de seus vértices não consecutivos, terá sempre o mesmo valor, visto que, por se tratar de

um grafo ciclo, todas as redes geradas pela inserção de uma aresta, podem ser modeladas por grafos

isomorfos, conforme mostrado na Figura II.3.

Figura II.3: Grafos gerados a partir da Figura II.2.

Neste caso R(G1; ρ) = R(G2; ρ) = R(G3; ρ) = R(G4; ρ) = R(G5; ρ) =∑6

i=4 Si(1 − ρ)iρm−i =

11(1− ρ)4ρ2 + 6(1− ρ)5ρ1 + 1(1− ρ)6ρ0.

Considerando ρ = 0.2, temos R(G1; 0.2) = 0.8355. O que representa um aumento de 12% em relação

à confiabilidade da rede inicial R(G; 0.2).

De maneira similar, ao inserir uma nova aresta em G1, com a mesma probabilidade de falha ρ, são

obtidos dois novos grafos, G11 e G12, não isomorfos, apresentados nas Figuras II.4 e II.5, respectiva-

mente. Neste caso, R(G11; ρ) 6= R(G12; ρ) e ambas são maiores que R(G1; ρ). Contudo, é importante

15

destacar que grafos não isomorfos podem possuir o mesmo valor de confiabilidade, o que não ocorreu

neste exemplo.

Figura II.4: G11.

Veja que para o grafo G11 da Figura II.4 o valor de R(G11; ρ) é dado por: R(G11; ρ) =∑7

i=4 Si(1−ρ)iρm−i. Se ρ = 0.2, R(G11; ρ) = 0.894, o que representa um aumento de 7.00% em relação à

R(G1; 0.2).

Figura II.5: G12.

Para o grafo G12 da Figura II.5, tem-se: R(G12; ρ) =∑7

i=4 Si(1− ρ)iρm−i

Para ρ = 0.2, R(G12; 0.2) = 0.917, o que representa um aumento de 9.75% em relação à R(G1; 0.2).

A inserção de novas arestas no grafo anterior, poderá aumentar o seu valor de confiabilidade, até

que o grafo se torne completo, onde não há mais possibilidade de novas inserções. Observa-se nos

exemplos anteriores, que o valor da confiabilidade de uma rede depende de sua topologia, até mesmo

se as topologias tiverem o mesmo número de vértices e arestas. Além disto, podem existir grafos

G(V ; E) e H(V ′; E′), que para determinados valores de ρ, tem-se R(G; ρ) > R(H; ρ), e para outros

valores de ρ, tem-se R(G; ρ) < R(H; ρ), conforme pode ser verificado através dos grafos da Figura

II.6 e dos cálculos apresentados abaixo.

16

Figura II.6: Grafos G(V ; E) e H(V ; E).

Os polinômios de R(G; ρ) e R(H; ρ) são dados por:

R(G; ρ) = 32(1− ρ)5ρ3 + 24(1− ρ)6ρ2 + 8(1− ρ)7ρ1 + 1(1− ρ)8ρ0.

R(H; ρ) = 30(1− ρ)5ρ3 + 25(1− ρ)6ρ2 + 8(1− ρ)7ρ1 + 1(1− ρ)8ρ0.

A partir dos polinômios acima, pode-se concluir que:

R(G; ρ) < R(H; ρ), para 0 < ρ < 1/3,

R(G; ρ) = R(H; ρ), para ρ = 1/3,

R(G; ρ) > R(H; ρ), para 1/3 < ρ < 1.

Existem ainda casos onde um grafo G(V ;E) possui o maior valor de confiabilidade, R(G; ρ), dentre

todos os outros possíveis grafos de mesma ordem |V | e tamanho |E|, para todo valor de ρ, no intervalo

(0, 1). Este grafo G(V ;E) é denominado UOR (Uniformly Optimally Reliable) [5]. Os grafos UOR vêm

sendo estudados por diversos autores em diferentes trabalhos, como pode ser visto em [2], [17] e

[23]. Uma classe de grafos também estudada, por sua baixa vulnerabilidade e forte confiabilidade, é a

classe de grafos de Harary. Os estudos mostram que para b2mn ≥ 3c, há um subconjunto dos grafos de

Harary que são os mais confiáveis dentre todos os grafos com n vértices e m arestas. Para maiores

detalhes e revisão da literatura do assunto, veja [31].

Importante observar que os estudos para melhoria da confiabilidade de uma rede, não devem

contemplar apenas a inserção de novas arestas ou melhoria do valor de confiabilidade desta aresta,

mas também qual a melhor topologia de uma determinada rede para um dado valor de ρ. Pode-se

observar que o cálculo dos Si para grafos maiores, é bastante desgastante de ser executado de forma

manual e até mesmo computacional. Este cálculo constitui um problema NP-Hard [11] e por isso são

mostradas algumas conhecidas simplificações utilizadas para o cálculo de R(G; ρ). Entretanto, o valor

de Sn−1 pode ser calculado utilizando conceitos da Teoria Espectral em Grafos. A seguir, o Teorema

3.1 apresenta um resultado interessante para o cálculo de Sn−1.

17

TEOREMA II.1. [3] Todo cofator da matriz Laplaciana de G, L(G), é igual ao número de árvores gera-

doras de G, denotado por σ(G), ou seja.

AdjL(G) = σ(G)J, (II.4)

onde J é a matriz de ordem n cujas entradas são iguais a 1 e σ(G) = Sn−1.

Considerando o grafo G e sua matriz Laplaciana, exibidos na Figura I.4, temos que Cij = σ(G) =

Sn−1 = 11, ∀ i, j = 1, ...n.

De acordo com a definição de conectividade de aresta λ(G), considerando G um grafo conexo, se

um dado número de arestas inferior ao valor de λ(G) for retirada de G, o subgrafo gerado continua

sendo conexo. Ou seja, sempre que λ(G) for maior que a quantidade de arestas a ser removida de

um dado grafo G, todos os subgrafos gerados a partir de G serão conexos e o número total desses

grafos pode ser obtido utilizando a expressão I.2.

A confiabilidade de um grafo pode ser calculada através da análise do problema de forma inversa.

Pode-se medir a confiabilidade através da função de não confiabilidade, ou seja, calculando a pro-

babilidade do grafo tornar-se desconexo após a falha de algumas arestas. Isto é dado pela seguinte

expressão:

P (G; ρ) =m∑

i=λ

mi(1− ρ)i(ρ)m−i, (II.5)

onde ρ é a probabilidade de não falha das arestas do grafo.

Pela função da propriedade complementar da probabilidade, temos

R(G; ρ) + P (G; ρ) = 1.

A análise inversa do problema é bastante útil e pode facilitar o cálculo da confiabilidade em deter-

minados casos, especialmente para valores elevados de ρ. Em [21], é mostrado que para ρ → 1, o

cálculo de P (G; ρ) pode ser aproximado pelo valor do primeiro termo de (II.5), ou seja,

P (G; ρ) ∼= mλ(1− ρ)λ. (II.6)

Capítulo III

Medidas de Centralidade

As medidas de centralidade são uma importante ferramenta, aplicada em diversos estudos,

como redes sociais [13], redes de transportes [16], mercado financeiro [12], dentre outros. No âmbito

das redes sociais é um dos conceitos mais estudados [8]. Elas podem ser utilizadas para medir o grau

de relevância dos vértices de uma rede representada através de um grafo G, ou seja, o quanto um

vértice vk é mais ou menos importante em relação aos demais vértices vi, 1 ≤ i ≤ n, i 6= k, sendo

n o número total de vértices da rede. Existem diferentes tipos de medidas de centralidade, dentre

elas destacam-se as de Proximidade (Closeness) [13], Intermediação (Betweenness) [13], Autovetor

(Eigenvector ) [7] e Informação (Degree) [25]. Além disto, em [13] também é apresentada uma medida

de centralidade de grafos, baseada na centralidade de seus vértices. A partir do resultado de cada

medida de centralidade, é possível ordenar os vértices da rede em função de sua importância relativa,

entretanto um vértice vk não estará obrigatoriamente na mesma posição de acordo com a análise de

todas as medidas. Isto ocorre pois a expressão utilizada para o cálculo de cada medida de centralidade

está associada a um significado distinto das demais. Sendo assim, ao analisar uma rede através da

centralidade de seus vértices, deve-se identificar o contexto do problema para escolher qual medida é

a mais adequada para cada análise, conforme apresentado nas seções a seguir.

III.1 Tipologia de Fluxo em Redes

O modo como o fluxo percorre e se difunde através da rede varia de acordo com o processo

que está sendo realizado. Por exemplo, um livro pode ser transferido apenas de uma pessoa para

outra a cada instante, já uma mensagem de e-mail pode ser enviada de uma pessoa para diversas

19

outras ao mesmo tempo. Este tipo de análise, possibilita a comparação e a distinção entre diferentes

processos, além de auxiliar na escolha da medida de centralidade mais indicada para analisar cada

caso. Nas seções a seguir, são apresentadas características de alguns modos de tráfego e difusão do

fluxo em redes.

III.1.1 Tipos de Trajetória

• Caminho (Path)

Processos de difusão de fluxo, cuja trajetória é considerada um caminho, são aqueles

onde o fluxo percorre a rede de um vértice a outro através de duplicação e, ao longo de sua

trajetória, este fluxo jamais retorna a um vértice já visitado anteriormente. Por exemplo, em

um processo de transmissão de infecção, onde um indivíduo vi é infectado e se torna imune

à doença, vi pode transmitir a doença aos demais membros da rede, entretanto não pode ser

infectado novamente.

• Caminho Geodésico (Geodesic Path)

Nestes casos o fluxo trafega pela rede de forma similar ao caminho, entretando flui sem-

pre através dos menores caminhos. Um motoqueiro ao entregar uma pizza busca os menores

caminhos pelas ruas desde a pizzaria até chegar ao seu destino e entregar a mercadoria, visto

que o caminho é previamente conhecido. Neste processo não pode haver repetição dos vértices

nem das arestas já utilizadas.

• Trilha (Trail)

Nestes casos o fluxo pode passar, sem restrições, pelo mesmo elemento para alcançar

novos alvos. Entretanto, isto ocorre sempre sem a utilização do mesmo canal de comuni-

cação, ou seja, o fluxo pode passar pelo mesmo vértice diversas vezes, todavia não pode haver

repetição de arestas. Por exemplo a propagação de uma notícia é considerada uma trilha, visto

que uma pessoa pode ser informada através de diferentes meios e propagar a informação, con-

tudo, a mensagem dificilmente será repetida entre as mesmas pessoas da rede.

• Percurso (Walk )

Esta trajetória não apresenta qualquer restrição de fluxo durante o processo, ou seja,

o fluxo pode voltar para um vértice já visitado, inclusive através da mesma aresta utilizada an-

teriormente. Um exemplo deste processo é o fluxo monetário, onde uma cédula recebida por

20

uma pessoa A de uma pessoa B na compra de um material, pode ser reutilizada e, futuramente,

voltar da pessoa A para a B, de forma direta ou indireta. Ou seja, a cédula pode percorrer ou-

tras pessoas até voltar para a pessoa A ou retornar diretamente da pessoa B para a pessoa A.

Todo caminho é uma trilha e toda trilha é um percurso aleatório, entretanto, nem todo percurso

aleatório é um trilha e nem toda trilha é um caminho.

III.1.2 Difusão de Fluxo

Esta classificação refere-se a maneira como o fluxo é difundido pela rede, ou seja, como ele é

expandido desde a origem até atingir os demais elementos da rede.

• Duplicação em série

Ocorre quando a cada instante o fluxo é transmitido de um vértice para um único outro,

ficando ambos os elementos, o vértice emissor e o receptor, de posse do fluxo transmitido. A

transmissão de doença de uma pessoa para outra ou a transmissão de informação através de

uma conversa particular, são exemplos deste tipo de duplicação. Em ambos os casos, a difusão

é feita de um vértice para o outro, ficando os dois vértices proprietários do fluxo após o contato.

• Duplicação paralela

Ocorre de maneira análoga à duplicação em série, entretanto o fluxo pode ser transmitido

de um vértice para diversos outros simultaneamente. É o que acontece com mensagens envi-

adas para grupos de e-mail, notícias publicadas em jornal e informações passadas em paletras

para diversos expectadores.

• Transferência

Neste caso o fluxo é transmitido de um vértice para outro sem deixar cópia no vértice

emissor. A transferência pode ser realizada para apenas um vértice ou para um conjunto deles

no mesmo instante. No fluxo econômico, por exemplo, uma cédula ou moeda é transferida de

uma pessoa A para outra B. Após isto, apenas a pessoa B mantém posse da moeda.

III.1.3 Processos envolvendo fluxo em redes

Nesta seção, são apresentados alguns exemplos de processos envolvendo fluxo em redes e os

modos de tráfego deste fluxo pelas redes, visando auxiliar a identificação e distinção entre os diversos

processos existentes.

21

• Fluxo de mercadorias

Sendo uma mercadoria um objeto indivisível, ela pode passar de uma pessoa A para

uma pessoa B, posteriormente para uma pessoa C e assim por diante. Facilmente este objeto

pode retornar para a pessoa A, visto que a N-ésima pessoa, por exemplo, pode não saber

que a pessoa A já esteve com o objeto. Entretanto, uma pessoa que entregou a mercadoria

para outra, não irá receber novamente a mesma mercadoria da mesma pessoa e nem reenviar

esta mercadoria para a mesma pessoa, caso ela receba novamente de alguém, ou seja, se

uma pessoa B entregar um livro para uma pessoa C, e depois a pessoa B receber novamente

este livro de uma pessoa H, a pessoa B certamente não irá emprestar o livro novamente para

a pessoa C, visto que ela sabe que a pessoa C já leu o livro. Sendo assim, nestes casos

a trajetória utilizada é a trilha, visto que pode haver repetição de vértice, mas não de aresta

durante o percurso do fluxo na rede.

• Moeda

Uma moeda ao circular pela economia, muda de proprietáro a cada transação efetuada.

De forma similar às mercadorias, a moeda é indivísivel e só pode estar em um lugar por vez.

Ela flui pela rede sem deixar cópias pelos vértices já visitados. Contudo, diferente de uma

mercadoria, as moedas não possuem restrições em relação à sua trajetória, que é classificada

como percurso (Walk). Sendo assim, durante o seu percurso, uma moeda pode retornar a um

vértice já visitado, inclusive através de uma aresta já utilizada.

• Informação Privada

Considere a transmissão de uma informação sigilosa. O fato de ser secreta, não impede

o fluxo da informação pela rede. Entretanto, em geral, o fluxo percorre de pessoa para pessoa

individualmente. Diferente dos casos anteriores, conforme o fluxo avança pela rede uma cópia

é deixada nos vértices já visitados, visto que todos possuem o conhecimento da informação.

Sendo assim, a tranferência se dá através de duplicação seriada. Esta notícia irá fluir de pessoa

para pessoa, sendo assim, uma pessoa G pode tornar a passar a informação para uma pessoa

A, que já sabia da notícia, considerando que a pessoa G não tinha conhecimento que a pessoa

A já havia recebido a notícia. Com isso, o fluxo percorre a rede com a restrição de não repetir

uma aresta já utilizada, mas sem restrição em relação ao vértice já visitado.

22

• Mensagens digitais

Mensagens enviadas através da internet, como publicidade para promover o uso de al-

gum produto, são enviadas a partir de uma pessoa para diversas outras e podem ser lidas por

várias pessoas ao mesmo tempo. Sendo assim, uma mensagem pode estar em diversos lu-

gares ao mesmo tempo, em função de sua transfência ocorrer por duplicação paralela. Esta

mensagem pode ser transmitida de volta para um vértice já visitado, mas dificilmente será pela

mesma aresta, de forma similar ao fluxo da informação privada.

• Comportamento pessoal e Opinião

Uma pessoa pode influenciar o comportamento de outra ou o de um grupo pessoas.

Considere o presidente de uma empresa que é admirado por seu comprometimento com o tra-

balho, este atributo indivídual pode ser transmitido para todas as pessoas a sua volta de uma só

vez, pessoas estas que por sua vez, podem transmitir este mesmo fluxo à outras, mantendo uma

cópia em si. Ao longo deste processo, as arestas e os vértices já visitados podem ser repetidos.

• Infecção

Seja uma rede de infecção, onde uma doença contagiosa é transmitida de pessoa para

pessoa por duplicação. Se considerarmos que uma vez infectada a pessoa ficará imune, durante

todo o processo de transmissão não haverá repetição de vértices já visitados nem arestas já

utilizadas.

• Rede de entrega de produtos

Um centro de distribuição de produtos possui uma característica própria que é o envio

destes produtos da origem até um destino pré-fixado. Esta transmissão de fluxo, tende a ocorrer

através do menor caminho possível. Portanto, em uma rede deste tipo, o fluxo seguirá sempre

pelo caminho geodésico, desde o ponto de origem até a chegada ao destino.

Considerando os exemplos apresentados na seção acima, pode-se construir uma tabela relacio-

nando casos práticos com as classificações refentes à tipologia do fluxo em redes. A tabela abaixo,

adaptada de [8], mostra algumas destas relações aplicadas a casos de redes sociais.

23

Tabela III.1: Classificação de processos na tipologia do fluxo em redesDuplicação Paralela Duplicação Seriada Transferência

Caminho Geodésico Não há Reprodução Mitótica Entrega de ProdutosCaminho Servidor de Internet Infecção Viral Cadeia de Medicamentos

Trilha Mensagem Digital Informação Privada Fluxo de MercadoriasPercurso Opinião Conselhos Fluxo Monenátio

Com o entendimento dos conceitos descritos acima, pode-se iniciar as definições das medidas de

centralidade. Verifica-se que certas medidas são mais indicadas para analisar processos representa-

dos por determinados tipos de trajetória e difusão do fluxo.

III.2 Medida de Proximidade (Closeness)

A medida de proximidade está relacionada com a distância total de um vértice vi aos demais

da rede. Seu valor é dado pela menor distância, ou distância geodésica, total de um vértice a todos os

outros da rede [13]. Seja D uma matriz simétrica de ordem n, cujo elemento dij representa a menor

distância do elemento i para o j, 1 ≤ i, j ≤ n. O cálculo da centralidade de proximidade do vértice vi

é dado por:

CC(vi) =n∑

j=1

dij (III.1)

De acordo com a definição acima, o elemento mais central é aquele com o menor valor de CC(vi).

A centralidade de proximidade representa a velocidade de acesso de um elemento vi aos demais

da rede. O elemento com o menor valor de centralidade de proximidade é aquele que se comunica

com maior agilidade com todos os outros. Esta medida é importante na análise da velocidade de

acesso do fluxo de dados ou de informação a partir de um vértice para todos os demais existentes

na rede. Por exemplo, em uma rede de transportes, o vértice com menor valor de centralidade de

proximidade é aquele que consegue acessar de forma mais ágil todos os demais vértices da rede.

Esta medida também pode ser utilizada para auxiliar na tomada de decisão em relação à escolha

de uma região para instalação de um centro de distribuição de mercadorias. A região com o menor

valor de centralidade de proximadade é aquela que poderá realizar com maior rapidez o processo

de descolamento das mercadorias para as outras regiões. Em [16], é realizado um estudo onde

os vértices representam algumas estações de trem do Rio de Janeiro. Neste caso, a medida de

proximidade é utilizada para apontar vértices que necessitam de melhoria em relação à qualidade dos

24

serviços.

Em redes de transmissão de fluxo, a medida de proximidade funciona como um indicador do tempo

de chegada de algo que esteja fluindo pela rede [9]. Vértices com baixo valor numérico desta medida

possuem uma distância relativa pequena para os demais vértices e por isso tendem a receber o fluxo

antecipadamente, considerando que a transmissão do fluxo é realizada através dos menores cami-

nhos e que o fluxo é gerado por todos os outros vértices com a mesma probabilidade. Organizações

com baixo valor de proximidade em uma rede de compartilhamento de tecnologia em processos de

pesquisa e desenvolvimento, estão aptas a desenvolver produtos antes de seus concorrentes. Por

outro lado, pessoas com baixo valor desta medida, em uma rede de infecção por doenças sexuais,

possuem maior probabilidade de serem contaminadas mais cedo. Outra aplicação típica é na avali-

ação do ponto mais provável de se receber primeiro a informação em um processo de difusão de

notícias, entretanto como este processo não percorre necessáriamente os menores caminhos, a or-

dem dos valores da medida de proximidade não será obrigatoriamente a mesma de recebimento da

informação.

A interpretação desta medida relacionada ao tempo de chegada do fluxo até um destino, somente

é valida nos casos onde a origem do fluxo é um ponto qualquer, porém conhecido, e o destino possa

ser qualquer vértice da rede, analogamente a um algoritmo computacional não deterministico. Se o

tráfego não fluir pelos menores caminhos, a interpretação desta medida como um indicador do tempo

até a chegada do fluxo perde o sentido. Sendo assim, pode-se aplicar esta medida a duas classes

de processos envolvendo transmissão de fluxo: processos onde o tráfego flui através dos menores

caminhos e aqueles onde o fluxo é difundido por duplicação paralela. Neste último caso, todos os

tipos de trajetórias ocorrem simultaneamente, inclusive o caminho geodésico e com isso, o efeito para

a rede será o mesmo. O uso desta medida como indicador de tempo para avaliar outros processos

não deve ser considerado [8].

Figura III.1: Grafo G.

25

Os valores da medida de proximidade dos vértices do grafo G, dado na Figura III.1 são: CC(1) =

11, CC(2) = 12, CC(3) = 13, CC(4) = 10, CC(5) = 9, CC(6) = 12 e CC(7) = 17. Assim, o vértice

mais central de G é v5.

III.3 Medida de Intermediação (Betweenness)

A centralidade de intermediação atribui importância a um vértice em função da passagem de

fluxo por ele para interligar outros dois vértices da rede, através do menor caminho possível. Pode ser

definida como a porcentagem de vezes que um vértice vk necessita do vértice vi, cuja centralidade

está sendo medida, para atingir um vértice vj , através do menor caminho possível, sendo, k 6= i 6= j

e 0 < j < k ≤ n, onde n é o número de vértices da rede. O vértice com maior centralidade de

intermediação é aquele que participa de maneira mais ativa em um processo de interação, onde os

caminhos mais curtos são percorridos. Seu valor é calculado através do somatório da quantidade de

caminhos geodésicos que passam por um determinado vértice, para interligar cada possível par de

outros vértices da rede, em relação ao total destes caminhos geodésicos que interligam os pares. O

cálculo da centralidade de intermediação para um vértice vi é dado pela expressão a seguir.

CB(vi) =∑

j<k

gjk(vi)gjk

, i 6=, j 6=, k (III.2)

onde gjk é o número de caminhos geodésicos que interligam o vértice j ao vértice k e gjk(vi) é a

quantidade destes caminhos que passam por vi.

A aplicação desta medida em processos de transmissão de fluxo deve considerar algumas obser-

vações, conforme a seguir: o fluxo deve ser indivisível, visto que pela definição quando ocorrer uma

situação onde o fluxo tenha mais de um menor caminho para seguir, ele irá escolher apenas um deles

aleatoriamente e seguirá até seu destino. A difusão do fluxo se dá através de transferência de um

vértice para outro, ao invés de duplicação, seja paralela ou seriada. Por último, o tráfego irá fluir sem-

pre através dos menores caminhos, ou seja, o fluxo possui um destino fixado e conhece os melhores

caminhos para chegar até lá.

Processos como redes de informação ou infecções, cujo fluxo é difundido através de duplicação

e não transferência e também não possuem um destino fixado, não se adequam nas características

apresentadas acima, sendo assim, não se deve utilizar a medida de intermediação como indicador de

importância de um vértice vi no processo de transmissão de doenças ou fluxo de informações, exceto

26

nos casos onde vi seja um importante ponto de articulação, que interligue grande parte dos vértices a

diversos outros. Neste caso vi exerce uma ação relevante de controle sobre o fluxo da rede.

De acordo com as definições apresentadas, esta medida possui maior aplicação em casos de

entrega de mercadorias, onde o destino e a melhor rota são conhecidos. Nestes casos, o vértice com

o maior valor de centralidade de intermediação pode controlar o fluxo da rede. Em alguns casos o

vértice com alto valor de intermediação é o ponto de articulação entre pontos isolados da rede, ou

seja, o único elo de ligação entre eles.


Na Figura III.2, é fácil verificar que o vértice 2 é um importante ponto de articulação da rede. O vér-

tice 2 participa 8 vezes dos menores caminhos para interligar todos os possíveis pares de vértices do

grafo G. Estes caminhos são para interligar os seguintes pares de vértices: (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 4),

(3, 5), (3, 6), (5, 4) e (5, 6). Os valores da medida de intermediação dos vértices do grafo G são:

CB(1) = 0, CB(2) = 8, CB(3) = 0, CB(4) = 4, CB(5) = 0, CB(6) = 0.

III.4 Medida de Intermediação de Fluxo (Flow Betweenness)

Embora o uso tradicional da medida de intermediação remeta a casos onde são considerados

apenas os caminhos mínimos, existem processos reais onde há necessidade de uma interpretação

mais ampla para esta medida. A centralidade de intermediação de fluxo foi apresentada em [14] e sua

análise é baseada no fluxo máximo em uma rede. Para obtenção de seu valor, é necessário calcular

o parâmetro CF (vi), que é dado pelo somatório dos fluxos que obrigatoriamente precisam passar

por um vértice vi, para transmitir o fluxo máximo entre todos os demais pares de vértices da rede,

considerando um ponto de origem vs e um ponto de destino, vt, i 6= s 6= t. Sendo assim, tem-se:

CF (vi) =n∑

s<t

n∑mst(vi), (III.3)

27

onde mst(vi) é o fluxo que necessita passar por vi, quando o fluxo máximo percorre a rede desde a

origem até o destino.

Dividindo o resultado de CF (vi) pelo fluxo total entre todos os outros pares de vértices da rede,

onde vi não é o vértice de origem nem de destino, é possível determinar o valor da medida de inter-

mediação de fluxo, que varia entre 0 e 1, a partir da seguinte expressão:

C ′F (vi) =

∑ns<t

∑n mst(vi)∑ns<t, s 6=i, t6=i

∑n mst, (III.4)

onde mst é o fluxo máximo que percorre a rede desde a origem até o destino.

Esta medida é interpretada como a proporção do fluxo que depende do vértice vi, durante a trans-

missão do fluxo máximo entre os demais pares de vértices da rede.

A Figura III.3 apresenta um grafo G(5, 6), valorado em suas arestas. A valoração de aresta indica

a capacidade de transmissão de fluxo pelas mesmas. Para calcular o valor de C ′F (vi) de cada um dos

vértices do grafo G, é necessário o cálculo de todos os valores dos parâmetros mst e mst(vi).


Por exemplo, o fluxo máximo entre os vértices va e vb, mab, vale 6, sendo constituído por duas

unidades de fluxo que percorrem o caminho (va, vd, vc, vb), uma que percorre o caminho (va, vc, vb) e

outras três que passam diretamente do vértice va para o vértice vb. Destas 6 unidades de fluxo máximo

entre va e vb, duas passam pelo vértice vd, logo mab(vd) = 2. De maneira análoga são calculados

os demais fluxos máximos mst, para cada par de vértice do grafo G da Figura III.3, além do fluxo que

necessita passar pelo vértice vi, mst(vi). Os resultados são apresentados nas Tabelas III.2 e III.3 a

seguir, respectivamente.

A Tabela III.4 apresenta os resultados consolidados dos parâmetros∑n

s<t

∑n mst e CF (vi), e

28

Tabela III.2: Valores de mst do grafo G.mab = 6 mac = 6 mad = 4 mae = 2mbc = 6 mbd = 4 mbe = 2 mcd = 4mce = 2 mde = 2

Tabela III.3: Valores de mst(vi) do grafo G.mbc(va) = 1 mbd(va) = 2 mbe(va) = 1 mcd(va) = 2 mce(va) = 0 mde(va) = 1mac(vb) = 3 mad(vb) = 1 mae(vb) = 0 mcd(vb) = 1 mce(vb) = 0 mde(vb) = 0mab(vc) = 3 mad(vc) = 2 mae(vc) = 2 mbd(vc) = 2 mbe(vc) = 2 mde(vc) = 2mab(vd) = 2 mac(vd) = 2 mae(vd) = 0 mbc(vd) = 2 mbe(vd) = 0 mce(vd) = 0mab(ve) = 0 mac(ve) = 0 mad(ve) = 0 mbc(ve) = 0 mbd(ve) = 0 mcd(ve) = 0

consequentemente o resultado para a medida de intermediação de fluxo de cada vértice do grafo G.

O cálculo de C ′f (va), por exemplo, é dado por:

C ′F (va) =

mbc(va) + mbd(va) + mbe(va) + mcd(va) + mce(va) + mde(va)mbc + mbd + mbe + mcd + mce + mde

= 0.35 (III.5)

Tabela III.4: Valores da medida de intermediação de fluxo dos vértices de G.Vértice

∑ns<t

∑n mst CF (vi) C ′F (vi)

a 20 7 0.35b 20 5 0.25c 20 13 0.65d 24 6 0.25e 30 0 0.00

Em [24] é apresentada uma medida, denominada Intermediação de Percurso Aleatório (random-

walk betweenness). Neste caso, de forma similar à medida de intermediação de fluxo, não são con-

siderados apenas os caminhos mínimos e sim todos os possíveis caminhos existentes entre todos os

pares de vértices. Entretanto é dado um peso maior para os caminhos geodésicos existentes. Esta

medida é baseada em percursos aleatórios e conta com qual frequência um vértice vi é atravessado

pelo fluxo aleatório que interliga um par de outros vértices vk e vj , i 6= k 6= j.

29

III.5 Medida de Autovetor (Eigenvector)

A centralidade de autovetor, definida em [7], atribui relevância para um vértice em função de

sua relação com os demais vértices da rede. Se um vértice está ligado a outros que se encontram

em uma posição central na rede, o referido vértice terá centralidade de autovetor alta, ou seja, caso

um vértice vi esteja ligado a apenas um vértice vk, que por sua vez esteja influenciando diversos

outros vértices, que também atuam sobre vários outros, certamente vi terá centralidade alta, mesmo

influenciando diretamente apenas um vértice vk. A centralidade do vértice vi é dada por xi, que

satisfaz a seguinte equação:

λxi = ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn (III.6)

Em notação matricial, temos:

Ax = λx (III.7)

As soluções de λ e (x1, ..., xn), para equação acima, correspondem respectivamente aos auto-

valores e aos autovetores da matriz de adjacência da rede. Utilizam-se os valores dos autovetores

associados ao maior autovalor da matriz para identificar os vértices de maior influência na rede [6].

Quanto maior for o valor de xi, maior será a centralidade do vértice vi, denotada por CE(vi).

Através de III.7 conclui-se que a posição de um elemento vi na rede é uma função linear dos

elementos aos quais ele está conectado.

A Figura III.4 apresenta um grafo G com 5 vértices e 6 arestas. Abaixo é apresentado exemplo do

cálculo dos valores da centralidade de autovetor para cada vértice.


A matriz de adjacência do grafo G, A(G), é dada por:

30

A(G) =

0 1 0 0 1

1 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

A matriz de autovalores de A(G) é dada por:

λA(G) =

−2.00

−1.17

0.00

0.68

2.48

A matriz de autovetores de A(G) é dada por:

xA(G) =

0.50 0.20 0.50 0.58 0.36

0.50 0.43 0.50 0.18 0.53

0.00 0.74 0.00 0.52 0.43

0.50 0.43 0.50 0.18 0.53

0.50 0.20 0.50 0.58 0.36

O quinto elemento da matriz λA(G) é o maior deles, sendo assim o valor da medida de autovetor para

cada vértice vi é dado pelo elemento correspondente da quinta coluna da matriz dos autovetores de

A(G), ou seja, o valor da centralidade de autovetor para cada vértice é: CE(v1) = 0.36, CE(v2) = 0.53,

CE(v3) = 0.43, CE(v4) = 0.53 e CE(v5) = 0.36. Neste caso, os vértices mais centrais são v2 e v4.

Esta medida é ideal para analisar casos de difusão de informação, infecção ou de comportamento

pessoal, onde consideram-se múltiplos caminhos simultâneos com percursos aleatórios. Nestes ca-

sos, um elemento conectado a vértices que por sua vez, conectam-se a um grande número de outros

vértices é um potencial transmissor indireto de informações, pensamentos ou doenças. Um vértice

31

com alto valor desta centralidade terá grande probabilidade de transmitir o fluxo para muitos outros

elementos da rede de forma indireta, através dos elementos aos quais ele se conecta.

III.6 Medida de Informação (Degree)

A medida de Informação determina um importante aspecto da posição estrutural do vértice

[28]. Inicialmente proposta em [25], atribui relevância ao vértice em função do número de relações

diretas que este vértice estabelece com os demais da rede. Seu valor é calculado pelo grau do vértice

em questão, conforme a seguinte expressão:

CD(vi) = d(vi), 1 ≤ i ≤ n. (III.8)

Cabe lembrar que CD(vi) também pode ser obtido através da soma dos elementos i− sima linha

da matriz de adjacência AG, que representa a referida rede, conforme a equação III.9 abaixo:

CD(vi) =n∑

j=1

aij (III.9)

Também pode-se definir a centralidade de informação como o número de caminhos de compri-

mento unitário que tem origem em um vértice. Sendo assim, em processos de difusão de fluxo em

redes, esta medida deve ser aplicada a casos cujas ligações indiretas entre vértices não são levadas

em consideração, visto que seu cálculo contabiliza apenas ligações diretas entre os vértices. Existem

casos onde a relação existente entre um vértice vi e outro vj é uma relação única, ou seja, o resultado

obtido em função desta relação não seria o mesmo, caso o vértice vi se relacionasse da mesma forma

com outro vértice vk, sendo k 6= j. Outras considerações referentes a este processo podem ser vistas

em [22].

Esta medida também pode ser considerada uma medida de efeito imediato, que acontece em um

tempo t + 1 [8], ou de influência, onde um vértice interfere diretamente em outros. Um vértice com

alta centralidade de informação, mantém contato direto com muitos outros. Por exemplo, em uma rede

de infecção viral, um vértice com alto valor de centralidade de informação terá grande probabilidade

de transmitir o vírus para muitas outras pessoas de forma direta e imediata, sem passar por terceiros.

Em uma análise mais ampla esta medida é similar a medida de autovetor. Em casos de trasmissão

de doenças, onde um vértice vi, ligado diretamente a vj e indiretamente a vk, está infectado com a

doença, os vértices vj e vk também podem ser infectados, entretanto em caso de infecção é provável

32

que o vértice vj seja atingido antes do vértice vk, visto que vj possui risco de contágio imediato, em

função de sua ligação direta com vi.

A Tabela III.5 sintetiza a relação entre os tipos de tráfego e difusão do fluxo e as medidas de

centralidade, considerando as características já apresentadas neste capítulo.

Tabela III.5: Fluxo em Redes e Medidas de CentralidadeDuplicação Paralela Duplicação Seriada Transferência

Caminho Geodésico Proximidade ProximidadeIntermediação

Caminho Proximidade IntermediaçãoInformação de Fluxo

Trilha ProximidadeInformação

Percurso Proximidade InformaçãoInformação Intermediação deAutovetor Percurso Aleatório

Analisando a Tabela III.5, pode-se observar que há processos onde mais de uma medida de cen-

tralidade pode ser aplicada simultaneamente, entretanto também podem existir processos onde não é

possível aplicar nenhuma das medidas vistas anteriormente. Por exemplo, em uma rede de entrega de

produtos, onde o entregador utiliza sempre os menores caminhos, é classificada pelo tipo de trajetória

como caminho geodésico e pela difusão de fluxo como transferência, conforme a Tabela III.1. As medi-

das adequadas para analisar este caso são as de proximidade e intermediação, conforme Tabela III.5.

Neste caso, a medida de proximidade indica o melhor ponto para se instalar o centro de distribuição,

tendo em vista o acesso mais ágil deste vértice aos demais vértices da rede, considerando uma dis-

tribuição uniforme entre todos os vértices. Já a medida de intermediação, indica qual vértice possui

maior influência em relação a quantidade de fluxo transmitido na rede, através dos menores caminhos.

III.7 Cálculo das Medidas de Centralidade

A Figura III.5 mostra um grafo G com 14 vértices e 15 arestas.

33


A partir do grafo da Figura III.5, pode-se calcular os valores das medidas de centralidade de cada

vértice de G e verificar quais deles são os mais relevantes, de acordo com cada medida. A Tabela III.6

apresenta os valores das diferentes medidas de centralidade de todos os vértices do grafo G da Figura

III.5, calculados utilizando o software Netdraw [10]. Pode-se observar que a ordem de relevância dos

vértices em relação às medidas, não é a mesma para todas elas, conforme destacado na Tabela III.7.

Tabela III.6: Valores das medidas de centralidade dos vértices do grafo G da Figura III.5.Informação Intermediação Proximidade Autovetor

v1 5 42 38 0.288v2 1 0 50 0.144v3 1 0 50 0.144v4 1 0 50 0.144v5 1 0 50 0.144v6 2 40 34 0.265v7 3 43 32 0.379v8 2 14 36 0.314v9 3 26 34 0.373v10 3 31 38 0.411v11 1 0 46 0.148v12 3 22 46 0.344v13 2 0 57 0.228v14 2 0 57 0.228

Pode-se verificar com os dados da Tabela III.7, a seguir, que o grau de relevância de um vértice

vi, varia em função da medida de centralidade escolhida para sua análise. Sendo assim, conclui-se

que é fundamental a escolha da medida mais adequada ao analisar cada problema, ou cada particu-

laridade dentro do mesmo problema, em função de suas características, de acordo com as definições

34

e aplicações vistas neste capítulo. Por exemplo, em uma rede de transportes, um vértice vi, com alto

valor de centralidade de autovetor pode indicar o melhor ponto para ampliação do sistema, visto que o

vértice em questão é ligado a diversos outros, o que possibilita diluir a sua importância pelos vértices

vizinhos, para evitar o seu gigantismo [16]. Por outro lado, um vértice com alto valor de intermedição

é aquele cuja interrupção irá gerar um grande impacto, visto que um grande número de passageiros

será afetado.

Tabela III.7: Ordem decrescente da relevância dos vértices do grafo G de acordo com cada medida.Informação Intermediação Proximidade Autovetor

v1 v7 v7 v10

v7 v1 v6 v7

v9 v6 v9 v9

v10 v10 v8 v12

v12 v9 v1 v8

v6 v12 v10 v1

v8 v8 v11 v6

v13 v2 v12 v13

v14 v3 v2 v14

v2 v4 v3 v11

v3 v5 v4 v2

v4 v11 v5 v3

v5 v13 v13 v4

v11 v14 v14 v5

Em [8], são realizadas simulações que atestam a aplicação das medidas de centralidade na análise

de processos relacionados às mesmas. Foi realizado um teste com a medida de intermediação para

analisar um processo de entrega de produtos, onde a origem e o destino são conhecidos e o entre-

gador percorre sempre os menores caminhos. Conforme visto anteriormente, esta medida é adequada

para analisar este caso. O resultado encontrado foi bastante satifatório, quando se compara o valor

obtido na simulação prática ao valor obtido através da expressão III.2. O desempenho desta medida

na análise de outros casos, como fluxo de informações e moeda não foi satasfatório. No caso de

fluxo monetário, por exemplo, foram observados nos experimentos práticos, desvios 20 vezes supe-

riores em relação ao valor obtido pela expressão III.2. Esta divergência já era esperada visto que

esta medida não é indicada para analisar este tipo de processo. Outra simulação foi realizada para

o mesmo processo, porém considerando a medida de proximidade para análise, que também é uma

medida apropriada para este caso. O resultado encontrado também foi satisfatório, porém, conforme

esperado, a ordem de relevância dos vértices foi alterada em relação ao resultado obtido pela medida

35

de intermediação. Com isso, deve-se observar os objetivos da análise para identificar qual medida

deverá ser utilizada para interpretação de cada objetivo. Se o interesse for identificar qual o vértice

tende a se comunicar de forma mais veloz com os demais vértices da rede, visando escolher um

ponto para instalação um centro de distribuição, a medida de proximidade deve ser considerada. Caso

queira identificar através de qual vértice a maior parte do fluxo tende a fluir, com objetivo de melhorar

a confiabilidade deste trecho, deve-se considerar os resultados da medida de intermediação.

A Figura III.6 exibe um grafo G com 12 vértices e 21 arestas. Pode-se observar que os vértices de

1 a 6 formam uma clique na rede. Calculando os valores da medida de proximidade para os vértices

da rede, temos os vértices 4 e 7, com CB(4) = CB(7) = 16, empatados como os mais centrais.

Entretanto, ao analisar a velocidade de acesso através da medida de centralidade de proximidade,

considerando que o fluxo é difundo através de percursos aleatórios, deve-se observar que o vértice 7

tem maior probabilidade de difundir o fluxo para todos os demais vértices da rede com mais agilidade

que o vértice 4. Isto se dá pelo fato do vértice 4 participar de uma clique na rede, o fluxo que passa por

ele tende a ficar bastante tempo vagando por esta clique [8], não acessando assim de forma rápida os

outros elementos da rede.

Figura III.6: Grafo G

Capítulo IV

Confiabilidade em Redes e Medidas de

Centralidade

Processos reais podem ser modelados através de redes de grafos, possibilitando o cálculo

dos valores de confiabilidade e de suas medidas de centralidade, conforme visto nos capítulos anteri-

ores. Casos empíricos, como a constante necessidade de expansão do sistema elétrico, por exemplo,

precisam ser estudados sob o ponto de vista da manutenção ou ampliação da qualidade do serviço

prestado, que possui a confiabilidade como um de seus indicadores. Sendo assim, é importante saber

qual nova interligação em uma rede irá proporcionar o maior impacto positivo na confiabilidade do

sistema.

Conforme visto no Capítulo 3, quando há necessidade de se ampliar um grafo G, através da in-

serção de uma nova aresta, interligando pares de vértices vi e vj , i 6= j, os valores da confiabilidade

Ri(Gi; ρ), dos respectivos possíveis grafos resultantes, poderão ser distintos, considerando a inserção

da aresta entre outro par de vértices. De forma geral, deve-se buscar a realização de um projeto

que satisfaça as necessidades técnicas, sob o ponto de vista da confiabilidade, com o menor custo

possível, ou seja, a avaliação do custo-benefício do projeto deve estar de acordo com a seguinte

expressão:

∆R(G)Cp

(IV.1)

onde ∆R(G) é o percentual de aumento da confiabilidade do grafo Gn em relação ao grafo original G

e Cp é o custo associado ao projeto.

37

A Figura IV.1 apresenta o grafo G43, cujo valor de confiabilidade

R(G43; 0.5) é igual a 0.28125. As Figuras IV.2 e IV.3 apresentam dois grafos G48 e G47, respectiva-

mente, gerados a partir de G43, através da inserção de uma nova aresta. Os valores de confiabilidade

dos grafos G48 e G47 são R(G48; 0.5) = 0.40625 e R(G47; 0.5) = 0.375. Conforme visto no Capítulo

3, o fato dos valores de R(G48; ρ) e R(G47; ρ) serem distintos já era esperado. No entanto, em um

caso geral, como devemos fazer para prever entre qual par de vértices deveremos inserir uma aresta

para que tenhamos um aumento mais significativo no valor da confiabilidade? Medidas de centrali-

dade podem identificar quais são os vértices mais relevantes da rede, e quem sabe também possam

apontar quais são os melhores vértices a serem interligados para se obter a confiabilidade máxima em

um novo grafo G′n, obtido a partir de Gn.

Figura IV.1: Grafo G43, R(G43; 0.5) = 0.28125.



A Tabela IV.1 apresenta os valores de 4 medidas de centralidade para os vértices do grafo G43.

É possível verificar que a inserção de uma aresta entre v2 e v4 apresenta o melhor resultado, sob o

38

ponto de vista da confiabilidade, quando comparado à inserção entre os vértices v1 e v4. Também

pode-se observar pela Tabela IV.1 que os vértices, ainda não interligados, menos centrais do grafo

G43, de acordo com todas as medidas de centralidade calculadas, são os vértices v2 e v4, ou seja,

uma ligação de aresta entre os pontos menos centrais da rede nos apresentou, neste caso, o melhor

resultado possível sob o ponto de vista da confiabilidade da nova rede gerada. A inserção de uma

aresta entre os vértices v2 e v5 também é possível, entretanto sua análise é desnecessária, visto que

o grafo gerado é isomorfo a G48.

Tabela IV.1: Valores das medidas de centralidade dos vértices do grafo G48.Informação Intermediação Proximidade Autovetor

v1 3 2 5 0.530v2 2 0 6 0.427v3 3 1.5 5 0.530v4 2 0.5 6 0.358v5 2 0.5 6 0.358

Ainda é possível expandir a rede, por exemplo, a partir do grafo G48 da Figura IV.2. Ao inserir

uma nova aresta entre os vértices v2 e v5 e os vértices v1 e v4, são obtidos os grafos G50 e G49,

apresentados nas Figuras IV.4 e IV.5, respetivamente, com valores de confiabilidade R(G50; 0.5) =

0.48433 e R(G49; 0.5) = 0.44141.

A Tabela IV.2 apresenta os valores de medidas de centralidade dos vértices do grafo G48. Nova-

mente é possível observar que a inserção de uma nova aresta entre os vértices menos centrais, v2 e

v5, apresenta o melhor resultado possível, em relação ao valor da confiabilidade do novo grafo gerado.

A análise da inserção de aresta entre os vértices v3 e v5 é desnecessária, visto que o grafo gerado é

isomorfo ao grafo G50.


39



v1 3 1 5 0.456v2 3 0.33 5 0.491v3 3 0.33 5 0.491v4 3 1 5 0.456v5 2 0.33 6 0.319

A Figura IV.6 mostra um grafo G78, com 6 vértices e 5 arestas, sua confiabilidade, R(G78; 0.5)

é 0.03125. A Tabela IV.3 apresenta os valores de medidas de centralidade dos vértices do grafo

G78. Também é possível observar, através dos grafos das Figuras IV.7 e IV.8, que a inserção de uma

nova aresta entre os vértices com menor centralidade, apresenta o maior impacto positivo no valor da

confiabilidade do novo grafo gerado.


40


v1 1 0 12 0.154v2 2 4 8 0.509v3 4 9 6 0.509v4 1 0 8 0.391v5 1 0 8 0.391v6 1 0 8 0.391

A Figura IV.8 apresenta um grafo G96, gerado a partir de G78, onde foi adicionada uma aresta

entre os vértices menos centrais, v1 e v6, enquanto no grafo da Figura IV.7 foi adiciona uma aresta

em um ponto aleatório. O resultado obtido para R(G96; 0.5) é 2.5 vezes maior do que R(G78; 0.5),

enquanto R(G95; 0.5) é apenas 2 vezes maior que R(G78; 0.5). Não é necessário analisar os casos

que consideram uma nova aresta entre v1 e v4 ou v1 e v5, visto que o grafo gerado é isomorfo a G96.



Tomando como referência o grafo G95, da Figura IV.7, ainda é possível realizar novas inserções de

arestas, visando a ampliação do grafo e melhoria da confiabilidade da rede. As Figuras IV.9, IV.10 e

IV.11, mostram três grafos gerados a partir de G95 através da inserção de uma nova aresta. Outros

41

grafos podem ser gerados, entretanto G126 apresenta o maior valor de confiabilidade possível.




Verifica-se através da Tabela IV.4 que os vértices com a menor centralidade são v1 e v5 e a inserção

de uma aresta entre eles gera a maior confiabilidade possível dentre os novos grafos criados a partir

de G95

42


v1 1 0 12 0.135v2 2 4 8 0.321v3 4 8 6 0.628v4 2 0 8 0.455v5 1 0 10 0.264v6 2 0 9 0.455

A Figura IV.12 apresenta um grafo Gx, com 14 vértices e 13 arestas. A Tabela IV.5 mostra os

valores de medidas de centralidade para todos os vértices de Gx. A partir da inserção de uma nova

aresta em Gx, podem ser gerados diversos outros grafos, sete deles apresentados nas Figuras IV.13,

IV.14, IV.15, IV.16, IV.17, IV.18 e IV.19. A função que expressa o valor da confiabilidade de cada um

destes grafos é indicada nas respectivas Figuras.

Figura IV.12: Grafo Gx.

Figura IV.13: Grafo Gx1. R(Gx1; ρ) = 8(1− ρ)13ρ1 + 1(1− ρ)14ρ0.

43



Figura IV.16: Grafo Gx4 R(Gx4; ρ) = 4(1− ρ)13ρ1 + 1(1− ρ)14ρ0.


44



Tabela IV.5: Valores das medidas de centralidade dos vértices do grafo Gx.Informação Intermediação Proximidade Autovetor

v1 5 42 42 0.485v2 1 0 54 0.333v3 1 0 54 0.333v4 1 0 54 0.333v5 1 0 54 0.333v6 2 40 38 0.455v7 2 42 36 0.178v8 2 42 36 0.202v9 2 12 48 0.097v10 3 46 38 0.115v11 1 0 60 0.026v12 3 23 46 0.126v13 1 0 58 0.034v14 1 0 58 0.034

Os valores de confiabilidade dos grafos gerados a partir de Gx, podem ser comparados através da

seguinte desigualdade.

R(Gx5; ρ) < R(Gx3; ρ) < R(Gx4; ρ) < R(Gx2; ρ) < R(Gx6; ρ) <

R(Gx1; ρ) = R(Gx7; ρ).

Neste exemplo a inserção de uma aresta entre os vértices menos centrais, v11 e v13, não nos levou

ao melhor resultado, sob o ponto de vista do maior aumento possível para o valor da confiabilidade

45

em relação ao grafo original Gx, entretanto observa-se que a inserção de uma aresta entre o vértice

menos central, v11, e o mais distante dele, v5, nos leva ao melhor resultado. Ressalta-se que o mesmo

ocorreu em todos os exemplos apresentados anteriormente neste capítulo.

A confiabilidade do grafo Gx1, R(Gx1; ρ), gerado a partir da inserção de uma aresta entre o vértice

v11, menos central, e v5, mais distante de v11, foi igual a obtida para o grafo Gx7, R(Gx7; ρ). Para

verificar uma possível relação entre a igualdade de R(Gx1; ρ) e R(Gx7; ρ), foi gerada a Figura IV.20

que apresenta um grafo Gy, com 14 vértices e 14 arestas. A Tabela IV.6 mostra os valores das medidas

de centralidade para os vértices de Gy.

Figura IV.20: Grafo Gy. R(Gy; ρ) = 8(1− ρ)13ρ1 + 1(1− ρ)14ρ0.

Figura IV.21: Grafo Gy1. R(Gy1; ρ) = 11(1− ρ)13ρ2 + 24(1− ρ)14ρ1 + 1(1− ρ)15ρ0.

Figura IV.22: Grafo Gy2. R(Gy2; ρ) = 9(1− ρ)13ρ2 + 20(1− ρ)14ρ1 + 1(1− ρ)15ρ0.

46

Tabela IV.6: Valores das medidas de centralidade dos vértices do grafo Gy.Informação Intermediação Proximidade Autovetor

v1 5 42 42 0.414v2 1 0 54 0.176v3 1 0 54 0.176v4 1 0 54 0.176v5 1 0 54 0.176v6 2 40 38 0.269v7 2 42 36 0.219v8 2 42 36 0.246v9 2 12 48 0.186v10 3 46 38 0.359v11 1 0 60 0.079v12 3 22 46 0.412v13 2 0 58 0.305v14 2 0 48 0.305

Verifica-se que embora a distância entre os vértices v5 e v11 e v4 e v14 sejam as mesmas, o valor de

R(Gy1; ρ), que interliga o vértice menos central, v11, ao mais distante dele, v5, é maior que R(Gy2; ρ).

Em todos os exemplos apresentados neste capítulo, a inserção de uma aresta entre o vértice

menos central e o mais distante dele, nos leva ao melhor resultado, em relação ao maior aumento no

valor da confiabilidade do novo grafo comparado ao original.

Para aumentar a quantidade de ensaios, o mesmo procedimento foi realizado considerando a con-

strução de todos os possíveis grafos para n = 4, 5, (n − 1 ≤ m ≤ n(n−1)2 ) e para 6, considerando

7 < m ≤ 10, os testes totalizam mais de 250 combinações. O procedimento adotado, iniciou-se com

um grafo G, onde foram calculadas as medidas de centralidade de seus vértices, foi inserida uma

aresta em cada ponto possível gerando um novo grafo G′, com R(G′; ρ) 6= 0. Após isto, a partir de um

dos grafos G′ foi inserida uma segunda aresta, também em cada ponto possível para que a confiabili-

dade fosse calculada e comparada com as demais. O processo iterativo foi repetido até que o grafo se

tornasse completo. Em mais de 98% dos casos analisados o menor grau indicou entre quais vértices

deveria ser inserida uma nova aresta para obtenção da máxima confiabilidade possível. Entretanto,

em 19% destes casos, esta indicação não definiu o novo grafo, pois há mais de uma possibilidade

de interligação que gera diferentes grafos, com valores de confiabilidade distintos. Dos casos não

resolvidos diretamente pela medida de informação (menor grau), foram realizados alguns experimen-

tos e verificado que a interligação entre o vértice com menor valor de centralidade de proximidade

e o vértice mais distante deste, indicou, em todos os casos, a melhor interligação a ser feita e em

47

71% destes, definiu diretamente quais vértices deveriam ser ligados para formação do novo grafo com

confiabilidade máxima. Assim, utilizando estes dois critérios em conjunto, 93% dos casos analisados

tiveram os vértices que geram a melhor confiabilidade da nova rede identificados, 5.5% tiveram os

vértices apenas apontados e 1.5% não foram solucionados. A Tabela IV.7 resume a assertividade de

alguns critérios identificados durante estes experimentos, realizados após a primeira análise executada

através do critério de seleção dos vértices com menor valor de centralidade de informação. O critério

"Proximidade e Distância", considera a interligação entre o vértice com menor centralidade de proxi-

midade e o mais distante dele, já os critérios "Proximidade", "Intermediação"e "Autovetor", consideram

as interligações entre os vértices de menor centralidade de proximidade, intermediação e autovetor,

respectivamente. Pode-se observar que o critério "Proximidade e Distância" foi o mais assertivo.

Tabela IV.7: Análise dos critérios propostos considerando os dados obtidos após análise dos menoresgraus.

Critério Indicação IndicaçãoCorreta Exata

Proximidade e Distância 100% 71%Proximidade 96% 63%

Intermediação 88% 50%Autovetor 75% 67%

As Tabelas IV.8, IV.9 e IV.10, a seguir, resumem os resultados obtidos para alguns casos testados.

A notação dos grafos utilizados no teste está de acordo com os grafos exibidos em [27]. A primeira

coluna de cada Tabela indica o critério utilizado para identificar os melhores vértices a serem interli-

gados, a segunda indica o grafo utilizado como origem nestes testes, as demais colunas apresentam

grafos gerados e a indicação de cada critério para formação do suposto grafo mais confiável, a partir

do grafo de origem. Já a última linha, exibe o valor da confiabilidade de cada grafo contido na Tabela.

48

Tabela IV.8: Análise dos grafos gerados a partir de G119.G119 G144 G148 G150

Intermediação - - G148 G150

Autovetor - - G148 -Proximidade - - G148

Proximidade e Distância - - G148 -R(Gn, 0.5) 0.125 0.218 0.253 0.226

Tabela IV.9: Análise dos grafos gerados a partir de G143.Grafos G143 G159 G172 G173

Intermediação - - G173

Autovetor - - G172

Proximidade - - - G173

Proximidade e Distância - - G173

R(Gn, 0.5) 0.203 0.261 0.353 0.363

Tabela IV.10: Análise dos grafos gerados a partir de G79.G79 G93 G98 G100

Intermediação - - G98 G100

Autovetor - - G98 G100

Proximidade - - G98 G100

Proximidade e Distância - - G98

R(Gn, 0.5) 0.0313 0.0625 0.0781 0.0625

Podem haver casos onde o objetivo da expansão de uma rede seja melhorar o valor da centralidade

de algum vértice específico, em função de uma necessidade particular da mesma. Entretanto, executar

esta expansão também pode aumentar o valor de sua confiabilidade. Por isso, em muitos casos a

análise destes dois indicadores, centralidade e confiabilidade de rede, deve ser realizada em conjunto.

Considere o grafo G122 da Figura IV.23, ele representa uma rede de entrega de mercadorias de uma

empresa distribuidora. Neste exemplo, o vértice v6, cuja centralidade de proximidade vale CC(v6) =

11, passará a fornecer mercadorias para os demais elementos da rede. Com isso o sistema deve

ser ampliado visando melhorar a centralidade de proximidade deste vértice, adequando-se às novas

atividades da empresa. Ao realizar esta ampliação também tem-se como objetivo que a rede obtenha

a maior confiabilidade possível, considerando a inserção de apenas uma aresta entre v6 e qualquer

outro vértice da rede.

49

Figura IV.23: Grafo G122, R(G122; 0.5) = 0.14, CC(v6) = 11.

A partir das restrições de projeto descritas acima, a melhor possibilidade de ampliação do grafo

G122 é a interligação dos vértices v6 e v1, que são os vértices com menor centralidade de informação

da rede, além de v6 possuir a menor centralidade de proximidade e v1 ser o mais distante dele. Esta

ligação resulta no grafo G151, cujo valor de confiabilidade, R(G151; 0.5) = 0.28, é o maior possível, ou

seja, a interligação atende aos critérios apresentados anteriormente neste capítulo. A centralidade de

intermediação de v6 passou para CC(v6) = 8.

Figura IV.24: Grafo G151, R(G151; 0.5) = 0.28, CC(v6) = 8.

Com isso, conclui-se que a análise conjunta dos indicadores de confiabilidade e de centralidade

pode ser aplicada na resolução de casos empíricos, visando identificar os principais pontos de uma

rede e auxiliar na obtenção dos melhores vértices a serem interligados para gerar a máxima confiabili-

dade da nova rede. Os resultados obtidos a partir dos testes realizados foram satisfatórios, em função

da quantidade de ensaios ter sido razoável e ao alto percentual de assertividade. É válido destacar

que o cálculo da confiabilidade de um grafo é um problema difícil de ser solucionado, do tipo NP-Hard,

e que os valores das medidas de centralidade, principalmente as de informação, podem ser obtidos de

forma menos complexa.

Conclusão

Este último capítulo encontra-se estruturado em duas partes: na primeira, as principais con-

tribuições desta dissertação são apresentadas e, na segunda, são propostas possíveis linhas de

pesquisa para trabalhos futuros.

A principal contribuição desta dissertação consiste em disponibilizar, em um mesmo documento,

estudos e aplicações da Teoria de Grafos, Confiabilidade em Redes e Medidas de Centralidade. No

capítulo 2, foram apresentados conceitos da Teoria de Grafos dentre outros conceitos necessários à

compreensão deste trabalho. No capítulo 3, foram reapresentados os conceitos e diferentes métodos

de análise e cálculo da Confiabilidade em Redes, dando ênfase ao cálculo considerando a possibil-

idade de falhas apenas em arestas. No capítulo 4, foram apresentadas definições e interpretações

sobre as Medidas de Centralidade e também indicadas possíveis aplicações de cada medida. Já no

capítulo 5, foi apresentada uma relação, constatada através de simulações práticas, entre as medidas

de centralidade e a confiabilidade em redes. Observou-se que as medidas de centralidade indicaram,

na grande maioria dos casos testados, os melhores vértices a serem interligados, no caso da ampli-

ação de uma rede, visando o maior aumento possível no valor de sua confiabilidade. Foi apresentado

um exemplo de aplicação prática considerando a análise da ampliação de uma rede de entrega de

mercadorias, modelada por um grafo de uma suposta empresa distribuidora.

Propostas de Trabalhos Futuros

Uma proposta de continuação deste trabalho é estender a análise apresentada no capítulo 5

a outros grafos de classes específicas ou contendo um número maior de vértices. Também é possível

verificar a permanência da relação observada entre a centralidade e a confiabilidade, se for consider-

ada, para o cálculo da confiabilidade, a possibilidade de falhas apenas em vértices ou em arestas e

vértices simultaneamente.

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Outra sugestão de prosseguimento, consiste em utilizar os conceitos aqui apresentados, em um

estudo de caso real, que tenha como o objetivo ampliar uma rede existente, visando a obtenção da

máxima confiabilidade da nova rede com o menor custo possível. Sendo assim, a análise técnica-

econômica, deve considerar a maximização da razão entre o aumento da confiabilidade da rede e os

custos envolvidos no projeto para expansão da referida rede.

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