25ms041.pdf

1

Zadatak 041 (Josip, gimnazija)

Zadani su vektori 3 2 i 2 . Izračunajte 2 .a i j k b i j k a b b→ → → → → → → → → → →

= ⋅ − − ⋅ = + ⋅ − ⋅ + ×

Rješenje 041 Ponovimo!

Vektorski produkt dvaju vektora je vektor i definira se samo za vektore u trodimenzionalnom prostoru.

Ako su zadani vektori i ,a a i a j a k b b i b j b kz zx y x y

→ → → → → → → →= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ njihov vektorski

produkt glasi:

i j ka a a aa azy x yzx

a b a a a i j kzx yb bb b b bzxzy x y

b b bzx y

→ → →

→ → → → →× = = ⋅ − ⋅ + ⋅ =

( ) ( ) ( )i a b a b j a b a b k a b a bz z z zy y x x x y y x

→ → →= ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =

( ) ( ) ( ) .a b a b i a b a b j a b a b kz z z zy y x x x y y x

→ → →= ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅

0 .a a→ → →

× =

2 2 2 0 2 2 3 1 2

1 2 1

i j k

a b b a b b b a b a b

→ → →

→ → → → → → → → → → → → ⋅ + × = ⋅ × + × = ⋅ × + = ⋅ × = ⋅ − − =

−

1 2 3 2 3 12

2 1 1 1 1 2i j k

→ → → − − − −= ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ =

− −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 1 1 2 2 3 1 2 1 3 2 1 1i j k→ → →

= ⋅ ⋅ − ⋅ − − − ⋅ − ⋅ ⋅ − − − ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ =

( ) ( ) ( )2 1 4 3 2 6 1 2 5 7 10 2 14 .i j k i j k i j k→ → → → → → → → →

= ⋅ ⋅ + − ⋅ − + + ⋅ + = ⋅ ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

Vježba 041

Zadani su vektori 3 2 2 . Izračunajte 3 .a i j k i b i j k a b b→ → → → → → → → → → →

= ⋅ − − ⋅ = + ⋅ − ⋅ + ×

Rezultat: 15 3 21 .i j k→ → →

⋅ + ⋅ + ⋅

Zadatak 042 (Gaby, maturantica)

Pojednostavnite izraz: 2 .a b c a b c a b→ → → → → → → →

⋅ + × − + + × +


0,a b c a c b c a a→ → → → → → → → → →

+ × = × + × × =

, .a b b a a b a bλ λ→ → → → → → → →

× = − × ⋅ × = ⋅ ×

2 a b c a b c a b→ → → → → → → →

⋅ + × − + + × + =

2

2 2a c a a b c b a b a b b c a c b→ → → → → → → → → → → → → → → →

⋅ × − ⋅ × + × − × + × + × + × + × =

2 2 b aa c a a b ab c b b c a c b→ → → →

− × +→ → → → → → → → → → → →

= ⋅ × − ⋅ × + × + × + × + ×× =

0

2

0

2a c a a b c b b c a c b→ → → → → → → → → → → →

= ⋅ × − ⋅ × + × + × + × + × =

→ →��

2 2a c b c c a c b a c b c a c b c→ → → → → → → → → → → → → → → →

= ⋅ × + × + × + × = ⋅ × + × − × − × =

2 2 .b ca c a c a c a c a cb c→ → → →

+ × − ×→ → → → → → → → → →

= ⋅ × − × = ⋅ × − × = ×

Vježba 042

Pojednostavnite izraz: .a b a b→ → → →

+ × −

Rezultat: 2 .b a→ →

⋅ ×

Zadatak 043 (Ante, maturant) Nađi kut između prostornih dijagonala kocke.


,

22

0, .x x x x x x x x y x y→ → → → → → → → →

= = = ⊥ ⇒ =� � �

cos , , .x y x y x yϕ ϕ→ → → → → →

= ⋅ ⋅ = ∠

�

Sa slike vidi se:

, , , , , .AB a BC b AE c CG AE c HD AE c DA BC b→ → → → → → → → → → → → → → →

= = = = = = − = − = − = −

, 0 , 0 , 0.a b c a a b a b a c a c b c b c→ → → → → → → → → → → → → → →

= = = ⊥ ⇒ = ⊥ ⇒ = ⊥ ⇒ =� � �

Prostorne dijagonale kocke:

f

e

c

b

a

ϕϕϕϕ

F

H

CD

E

A B

G

3

• e AG AB BC CG AB BC AE a b c→ → → → → → → → → → →

= = + + = + + = + +

• .f HB HD DA AB AE BC AB c b a a b c→ → → → → → → → → → → → → →

= = + + = − − + = − − + = + +

Računamo skalarni produkt:

e f a b c a b c→ → → → → → → →

= + + − − =

� �

2 2 2

a a a b a c b a b b b c c a c b c c a b c→ → → → → → → → → → → → → → → → → → → → →

= − − + − − + − − = − − =� � � � � � � � �

2 2 2 2 2 2 22 2.

2a b c a a a a a a a= − − = − − = − = −−

Duljine vektora prostornih dijagonala:

• e e e a b c a b c→ → → → → → → → →

= = + + + + =

� �

2 2 2


= + + + + + + + + = + + =� � � � � � � � �

2 2 2 2 2 2 23 3.a b c a a a a a= + + = + + = ⋅ = ⋅

• f f f a b c a b c→ → → → → → → → →

= = − − − − =

� �

2 2 2


= − − − + + − + + = + + =� � � � � � � � �

2 2 2 2 2 2 23 3.a b c a a a a a= + + = + + = ⋅ = ⋅

Kut između prostornih dijagonala kocke iznosi:

2 2

cos cos cos cos23 3 3

e f a ae f e f

a a ae f

ϕ ϕ ϕ ϕ

→ →→ → → →

= ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒→ → ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

��

1 1 0 ' ''1cos cos cos 109 28 16 .3 33

2

2

a

aϕ ϕ ϕ ϕ

−⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⋅

Vježba 043 Nađi kut između dijagonala kvadrata.

Rezultat: 90º.

Zadatak 044 (Nina, studentica)

Ako sile i1 2

F F→ →

zatvaraju kut 0, i ako je 15 , 20 ,1 2

F N F N→ →

= = onda je duljina njihove

rezultante jednaka?


Ako vektori ia b→ →

, čije su duljine ia b→ →

, zatvaraju međusobno kut od 0 radijana ili 0° onda

4

duljina njihove rezultante c→

glasi

.c a b→ → →

= +

Budući da sile i1 2

F F→ →

zatvaraju kut 0, onda je duljina njihove rezultante F→

jednaka

15 , 201 2

15 20 35 .

1 2

F N F N

F N N N

F F F

→ → = = →

⇒ = + =→ → →= +

Gledaj slike!

Vektori i1 2

F F→ →

zatvaraju kut od 0 radijana. Hvatište vektora je točka H.

F2F1

H

Na kraj vektora 1

F→

''nadoveže se'' hvatište (početak) vektora .2

F→

F2F1

H

Rezultanta vektora i1 2

F F→ →

je vektor .F→

F

F1 + F2

H

Vježba 044

Ako sile i1 2

F F→ →

zatvaraju kut 0, i ako je 25 , 30 ,1 2

F N F N→ →

= = onda je duljina njihove

rezultante jednaka?

Rezultat: 55 N.

Zadatak 045 (Lucija, gimnazija)

Zadana su dva vektora i 5 2 . Koliki je kut među njima?a i j k b i j k→ → → → → → → →

= + + = − ⋅ + ⋅


Ako su i dva vektora, tada vrijedi:a a i a j a k b b i b j b kz zx y x y

→ → → → → → → →= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

2 2 2 2 2, , .

2a b a b a b a b a a a a b b b bz z z zx x y y x y x y

→ → → →= ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + = + +�

cos cos2 2 2

.2 2 2

a b a b a ba b x x y y z z

a a a b b ba b x y z x y z

α α

→ →⋅ + ⋅ + ⋅

= ⇒ =→ →+ + ⋅ + +⋅

�

5

Izračunamo najprije skalarni produkt vektora i ,a b→ →

te njihove duljine i .a b→ →

( )5 2 1 1 1 5 1 2 1 5 2 2.

a i j k

b i j k a b a b a b

a b a b a b a bz zx x y y

→ → → → = + +

→ → → → → → → → → →= − ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⇒ = − + ⇒ = −

→ →= ⋅ + ⋅ + ⋅

� � �

�

2 2 21 1 1 1 1 1 3.

2 2 2

a i j k

a a aa a a azx y

→ → → → = + + → → →

⇒ = + + ⇒ = + + ⇒ =→ = + +

( )5 2

22 21 5 2 1 25 4 30.

2 2 2

b i j k

b b bb b b bzx y

→ → → → = − ⋅ + ⋅ → → →

⇒ = + − + ⇒ = + + ⇒ =→ = + +

Kut među vektorima iznosi:

2 , 3 , 30

2 2cos cos

3 30 90cos

a b a b

a b

a b

α αα

→ → → →= − = =

− −→ →⇒ = ⇒ = ⇒

⋅= → →⋅

�

�

2 01cos 102.1703233643 .

90α α

−−⇒ = ⇒ =

Preračunavamo u stupnjeve, minute i sekunde (ako nemamo računalo koje se može nabaviti u svakoj

boljoj trgovini ☺):

0 0.1703233643 0.170323364

0102 1 2 30 .α α= ⇒ = +

' '0.1703233643 60 10.219401858

1α = ⋅ =

' '.219401858 0.219401858 .

1 1'

10 10α α= ⇒ = +

'' ''0.219401858 60 13.16411148 .

2α = ⋅ =

'' ''.16411148 0.16411148 .

2 2''

13 13α α= ⇒ = +

Dakle, kut među vektorima ima vrijednost:

0 ' ''102 10 13 .α =

Vježba 045

Zadana su dva vektora 2 3 i . Koliki je kut među njima?a i j k b i j k→ → → → → → → →

= + ⋅ + ⋅ = − −

Rezultat: 0 ' ''

128 6 47 .α =

Zadatak 046 (Lucija, gimnazija)

Zadana su tri vektora: 3 2 , 5 2 , 3 2 .a i j k b i j k c i j k→ → → → → → → → → → → →

= ⋅ + ⋅ + = − ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ +

Nađi .a b c→ → →

× �

6


Ako su i dva vektora, tada vrijedi:a a i a j a k b b i b j b kz zx y x y

→ → → → → → → →= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

.a b a b a b a bz zx x y y

→ →= ⋅ + ⋅ + ⋅�

Formula za vektorski produkt vektora = i =a a i a j a k b b i b j b kz zx y x y

→ → → → → → → →⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

pomoću njihovih komponenata u pravokutnom koordinatnom sustavu (Kartezijevom koordinatnom

sustavu) glasi:

( ) ( ) ( ).a b i a b a b j a b a b k a b a bz z z zy y x x x y y x

→ → → → →× = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅

Najprije izračunamo vektorski produkt u zagradi:

5 2

3 2

b i j k

c i j k

→ → → → = − ⋅ + ⋅

⇒→ → → →= ⋅ + ⋅ +

( ) ( ) ( )b c i b c b c j b c b c k b c b cz z z zy y x x x y y x

→ → → → →⇒ × = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )5 1 2 2 2 3 1 1 1 2 5 3 5 4 6 1 2 15i j k i j k→ → → → → →

= ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ = ⋅ − − + ⋅ − + ⋅ + =

9 5 17 .i j k→ → →

= − ⋅ + ⋅ + ⋅

Sada računamo .a b c→ → →

× �

3 2

9 5 17 3 2 9 5 17

a i j k

b c i j k a b c i j k i j k

a b c

→ → → → = ⋅ + ⋅ +

→ → → → → → → → → → → → → → × = − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ × = ⋅ + ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒

→ → → ×

� �

�

( )3 9 2 5 1 17 27 10 17 0.a b c a b c a b c→ → → → → → → → →

⇒ × = ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⇒ × = − + + ⇒ × = � � �

Vježba 046

Zadana su tri vektora: 3 2 , 5 2 , 3 2 .a i j k b i j k c i j k→ → → → → → → → → → → →

= ⋅ + ⋅ + = − ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ +

Nađi .b c a→ → →

×

�

Rezultat: 0.

Zadatak 047 (Kata, srednja škola)

Nađi kut među vektorima: 3 4 i 3 4 .AB i j CD i j→ → → → → →

= − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅


Ako su i dva vektora, tada za kut među njima vrijedi:a a i a j b b i b jx y x y α→ → → → → →

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

cos2 2 2 2

.a b a bx x y y

a a b bx y x y

α⋅ + ⋅

=

+ ⋅ +

7

Kut među zadanim vektorima iznosi:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 4 , 3 43 3 4 4

coscos 2 2 22

3 4 3 42 2 2 2

AB i j CD i j

a b a bx x y y

a a b bx y x y

αα

→ → → → → → = − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅

− ⋅ + − ⋅ −⋅ + ⋅ ⇒ = ⇒= − + − ⋅ + −

+ ⋅ +

9 16 7 7 7cos cos cos cos

5 5 259 16 9 16 25 25α α α α

− +⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅+ ⋅ + ⋅

71 0 ' ''cos 73 44 23 .25

α α −

⇒ = ⇒ =

Vježba 047

Nađi kut među vektorima: 3 4 i 3 4 .AB i j CD i j→ → → → → →

= ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅

Rezultat: 0 ' ''73 44 23 .α =

Zadatak 048 (Rockvampirica, matematička gimnazija)

Dokaži da su dijagonale romba međusobno okomite.


Četverokut s okomitim dijagonalama koji ima barem jednu os simetrije zove se deltoid. Romb je

deltoid kojemu sjecište dijagonala raspolavlja dijagonale.

• Stranice romba su sukladne.

• Nasuprotni kutovi romba su sukladni.

• Kutovi uza svaku stranicu romba su suplementni (zbroj im je 180°).

• Romb ima dvije osi simetrije.

Skalarni produkt vektora ia b→ →

je skalar (broj) koji označavamo sa a b→ →� i definiramo ovako:

co ,sa b a b ϕ→ → → →

= ⋅ ⋅�

gdje je φ kut između vektora ia b→ →

i uzimamo da je 0 ≤ φ ≤ π. Vrijedi:

2

cos0 1 .a a a a a a a a a a a a a a a→ → → → → → → → → → → → → → →

= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =� � � �

Dva su vektora međusobno okomita ako je njihov skalarni produkt jednak nuli.

0.a b a b→ → → →

⊥ ⇒ =�

DB = a - b

AC = a + b

b

a

C

A B

D

8

Sa slike vidi se da je:

, .AC a b DB a b→ → → → → →

= + = −

Budući da su kod romba sve stranice sukladne, slijedi:

2 2

.a b a b→ → → →

= ⇒ =

Dijagonale romba su okomite ako je njihov skalarni produkt jednak nuli, tj. ako vrijedi:

0.AC DB→ →

=�

Provjeravamo:

AC DB a b a b a a a b b a b b→ → → → → → → → → → → → → →

= + − = − + − =

� � � � � �

2 2

a a b b aa b b a b b a ba→ → → → →→ → → → → → → →

= − = −→

+ − =− =� � � ��

0.a b→ →

== =

Vježba 048 Dokaži da su dijagonale kvadrata međusobno okomite.

Rezultat: Dokaz analogan.

Zadatak 049 (Maja, gimnazija)

U koordinatnom sustavu zadane su točke A(5, 1) i B(6, 3).

a) Prikaži vektor AB→

kao linearnu kombinaciju jediničnih okomitih vektora ii j→ →

te odredi

duljine vektora i .OA AB→ →

b) Odredi točku C tako da je .OC AB→ →

=

c) Odredi mjeru kuta .AOC∠ (Zaokruži rezultat na najbliži cijeli stupanj.)


Ako su dane točke A(x1, y1) i B(x2, y2), onda su koordinate vektora koji ih spaja:

( ) ( )2 1 1.

2AB x x i y y j→ → →

= − ⋅ + − ⋅

Ako su ,a a i a j b b i b jx y x y

→ → → → → →= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ dva vektora, oni su jednaki ako i samo ako su im

odgovarajuće koordinate jednake, tj. i .a b a bx x y y= =

Ako su ,a a i a j b b i b jx y x y

→ → → → → →= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ dva vektora, tada vrijedi:

,2 2 2 2

cos2 2 2 2

, , ,a b a bx x y y

a b a b a b a a a b b bx x y y x y x ya a b bx y x y

ϕ→ → → → ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ = + = + =

+ ⋅ +

�

gdje je φ kut koji međusobno zatvaraju vektori i .a b→ →

Budući da je duljina vektora AB→

jednaka duljini dužine ,AB vrijedi:

( ) ( )2

1,

2

2 2 1AB x x y y→

= − + −

9

gdje su A(x1, y1), B(x2, y2).

a) Prikazi vektora iOA AB→ →

kao linearne kombinacije jediničnih okomitih vektora ii j→ →

glase:

•

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

, 0, 01 1

, 5, 1 5 0 1 0 5 .2 2

2 1 2 1

O x y O

A x y A OA i j OA i j

OA x x i y y j

=

→ → → → → →= ⇒ = − ⋅ + − ⋅ ⇒ = ⋅ +

→ → → = − ⋅ + − ⋅

•

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

, 5, 11 1

, 6, 3 6 5 3 1 2 .2 2

2 1 2 1

A x y A

B x y B AB i j AB i j

AB x x i y y j

=

→ → → → → →= ⇒ = − ⋅ + − ⋅ ⇒ = + ⋅

→ → → = − ⋅ + − ⋅

Računamo duljine vektora i .OA AB→ →

• 2 2

5 5 1 25 1 26.OA i j OA OA OA→ → → → → →

= ⋅ + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =

• 2 2

2 1 2 1 4 5.AB i j AB AB AB→ → → → → →

= + ⋅ ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =

b) Računamo koordinate točke C(x, y) tako da vrijedi:

.OC AB→ →

=

Prikazi vektora iOC AB→ →

kao linearne kombinacije jediničnih okomitih vektora ii j→ →

glase:

•

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

, 0, 01 1

, , 0 0 .2 2

2 1 2 1

O x y O

C x y C x y OC x i y j OC x i y j

OC x x i y y j

=

→ → → → → →= ⇒ = − ⋅ + − ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅

→ → → = − ⋅ + − ⋅

•

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

, 5, 11 1

, 6, 3 6 5 3 1 2 .2 2

2 1 2 1

A x y A

B x y B AB i j AB i j

AB x x i y y j

=

→ → → → → →= ⇒ = − ⋅ + − ⋅ ⇒ = + ⋅

→ → → = − ⋅ + − ⋅

Budući da mora biti

,OC AB→ →

=

slijedi:

( ) ( )1

2 2 , 1, 2 .2

OC x i y j

xAB i j x i y j i j C x y C

y

OC AB

→ → → = ⋅ + ⋅

→ → → → → → → = = + ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⇒ ⇒ =

= → →=

c) Određujemo mjeru kuta .AOC∠ Uočimo vektore i .OA OC→ →

10

5.

2

OA i j

OC i j

→ → → = ⋅ +

→ → →= + ⋅

Budući da je φ kut između tih vektora, pomoću formule za skalarni produkt dobije se:

5 25 1 1 2

cos cos cos2 2 2 2

5 1 1 25 2

i j i jOA OC

OA OC i j i j

ϕ ϕ ϕ

→ → → → → → ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒→ → → → → →+ ⋅ +⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

��

5 2 7 7 7cos cos cos cos

25 1 1 4 26 5 26 5 130ϕ ϕ ϕ ϕ

+⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

+ ⋅ + ⋅ ⋅

71 0cos 52 .

130ϕ ϕ

−⇒ = ⇒ =

j

i

ϕϕϕϕ

y

x

C

A

O

Vježba 049 U koordinatnom sustavu zadane su točke A(6, 2) i B(7, 4).

Prikaži vektor AB→

kao linearnu kombinaciju jediničnih okomitih vektora i .i j→ →

Rezultat: 2 .AB i j→ → →

= + ⋅

Zadatak 050 (Sanja, gimnazija)

Odredi parametar λ tako da vektori ( ) ( )1 2 1 i 3 2a p q b p qλ λ→ → → → → →

= − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ budu

okomiti, ako je 0

1, 2, , 120 .p q p q→ → → →

= = ∠ =


,

22

cos ,, , ,x x x x x x x y x y x yϕ ϕ→ → → → → → → → → → → →

= = = ⋅ ⋅ = ∠

� � �

gdje je φ kut koji međusobno zatvaraju vektori i .x y→ →

.x y y x→ → → →

=� �

Računamo.

2 22 22 2

1 1 , 2 4 , cos ,p p q q p q p q p q→ → → → → → → → → →

= = = = = = = ⋅ ⋅ ∠ =

�

101 2 cos120 1 2 1.

2

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = −

11

Budući da su vektori ia b→ →

međusobno okomiti, njihov je skalarni produkt jednak nuli pa slijedi:

( ) ( )0 1 2 1 3 2 0a b p q p qλ λ→ → → → → →

= ⇒ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⇒

� �

( ) ( ) ( ) ( )2 2

3 1 2 1 3 2 1 2 2 1 0p p q q p qλ λ λ λ→ → → → → →

⇒ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⇒� �

( ) ( ) ( ) ( )2 2

3 1 2 1 3 2 1 2 2 1 0p p q p q qλ λ λ λ→ → → → → →

⇒ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⇒� �

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 1 2 1 1 3 2 1 1 2 2 1 4 0λ λ λ λ⇒ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − − ⋅ ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 1 3 2 1 8 2 1 0 5 1 11 2 1 0λ λ λ λ λ λ⇒ − ⋅ − − ⋅ − + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = ⇒ − ⋅ − + ⋅ ⋅ + = ⇒

165 5 22 11 0 17 16 0 17 16 17 16 .

17/:17λ λ λ λ λ λ⇒ − ⋅ + + ⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ = −

Vježba 050

Odredi parametar λ tako da vektori ( ) ( )1 2 1 i 3 2a p q b p qλ λ→ → → → → →

= − − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ budu

okomiti, ako je 0

1, 2, , 240 .p q p q→ → → →

= = ∠ =

Rezultat: 16

.17

λ = −

Zadatak 051 (Sanja, gimnazija)

Izračunati kut , ,a bϕ→ →

= ∠

ako je 2, 3 i 2 2 .a b a b a b→ → → → → →

= = + ⋅ = ⋅ −


( )222

co, , , ,s, ,x x x x x x x x x y x y x yϕ ϕ→ → → → → → → → → → → →

= = = = ⋅ ⋅ = ∠

� � �

gdje je φ kut koji međusobno zatvaraju vektori i .x y→ →

( ) ( )2 22 2 2 2

cos 2, 2, , .x y

x x x x y x x y y x y x x y y

x y

ϕ

→ →→ → →

= = + = + ⋅ ⋅ + − = − ⋅ ⋅ +→ →⋅

��

Skalarni produkt vektora a b→ →� nalazimo iz uvjeta zadatka:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2/a b a b a b a b a b a b→ → → → → → → → → → → →

+ ⋅ = ⋅ − ⇒ + ⋅ = ⋅ − ⇒ + ⋅ = ⋅ − ⇒

2 22 2 2 2

2 2 2 2a b a b a b a b

→ → → → → → → → ⇒ + ⋅ = ⋅ − ⇒ + ⋅ = ⋅ − ⇒

2 2 2 2

4 4 4 4a a b b a a b b→ → → → → → → →

⇒ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⇒� �

2 2 2 2

4 4 4 4a a b b a a b b→ → → → → → → →

⇒ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⇒� �

12

2 2 2 22 4 4 3 4 2 4 3 4 4 4 9 4 4 4 9a b a b a b a b

→ → → → → → → →⇒ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⇒ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⇒� � � �

4 4 36 16 4 9 4 4 16 9 4 36a b a b a b a b→ → → → → → → →

⇒ + ⋅ + = − ⋅ + ⇒ ⋅ + ⋅ = + − − ⇒� � � �

158 15 8 1 /: .

885a b a b a b

→ → → → → →⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ = −� � �

Sada računamo kut φ.

15 15 15 5

8 8 8 8cos cos cos cos cos6 22

1

3 6

1

a b

a b

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

→ → − − − −= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒→ → ⋅

⋅

�

5 51 0cos cos 108 12'36''.

16 16ϕ ϕ ϕ

−⇒ = − ⇒ = − ⇒ =

Vježba 051

Izračunati kut , ,a bϕ→ →

= ∠

ako je 2, 3 i 2 2 .a b b a b a→ → → → → →

= = ⋅ + = − ⋅

Rezultat: 0108 12'36''.ϕ =

Zadatak 052 (Matija, Josipa, TUPŠ)

Vektor AB→

jednak je:

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

y

x

B

A

. 3 4 . 4 3A AB i j B AB i j→ → → → → →

= − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅

. 3 4 . 4 3C AB i j D AB i j→ → → → → →

= ⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅



( ) ( )2 1 1.


= − ⋅ + − ⋅

Sa slike očitaju se koordinate točke A (koja je početna točka vektora) i točke B (koja je završna točka

vektora).

13

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

- 1

- 1

3

2

y

x

B

A

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

, 2, 3 , , 1, 11 1 2 2

1 2 1 3

2 1 2 1

A x y A B x y B

AB i j

AB x x i y y j

= = − − → → →⇒ = − − ⋅ + − − ⋅ ⇒→ → →

= − ⋅ + − ⋅

3 4 .AB i j→ → →

⇒ = − ⋅ − ⋅

Odgovor je pod A.

Vježba 052

Vektor BA→

jednak je:

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

y

x

B

A

. 3 4 . 4 3A BA i j B BA i j→ → → → → →

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

. 3 4 . 4 3C BA i j D BA i j→ → → → → →

= − ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅

Rezultat: A.

Zadatak 053 (Pavle, gimnazija)

Odredite realan broj k tako da vektori ( )6 4 i 2 2 5a i j b i k j→ → → → → →

= ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ budu

okomiti.


14

Ako su vektori zadani u koordinatnom sustavu, tada se skalarni produkt definira na ovaj način:

.a a i a jx y

a b a b a bx x y y

b b i b jx y

→ → →= ⋅ + ⋅ → →

⇒ = ⋅ + ⋅→ → →

= ⋅ + ⋅

�

Dva su vektora a→

i b→

okomita ako im je skalarni produkt jednak nuli:

0.a b a b a bx x y y

→ →⊥ ⇒ ⋅ + ⋅ =

Računamo parametar k.

( ) ( )

6 4

2 2 5 0 6 4 2 2 5 0

a i j

b i k j a b i j i k j

a b

→ → →= ⋅ − ⋅

→ → → → → → → → →= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ = ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒

→ →⊥

� �

( ) ( )6 2 4 2 5 0 12 8 20 0 8 12 20 8 8k k k k⇒ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = ⇒ − ⋅ − = ⇒ − ⋅ = − + ⇒ − ⋅ = ⇒

( )/ :8 .88 1k k−⇒ − ⋅ = ⇒ = −

Vježba 053

Odredite realan broj k tako da vektori ( )3 2 i 2 2 5a i j b i k j→ → → → → →

= ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ budu

okomiti.

Rezultat: k = – 1.

Zadatak 054 (Vedra Tea ☺☺☺☺, gimnazija)

Zadani su vektori ( ) ( ) ( )1, 2, 1 , 1, 1, 2 i 1, , . Ako je i ,a b c y z c a c b→ → → → → → →

= − = − = ⊥ ⊥

izračunajte y i z.



.a a i a j a kx y z

a b a b a b a bx x y y z z

b b i b j b kx y z

→ → → →= ⋅ + ⋅ + ⋅ → →

⇒ = ⋅ + ⋅ + ⋅→ → → →

= ⋅ + ⋅ + ⋅

�

Dva su vektora a→

i b→


0.a b a b a b a bx x y y z z

→ →⊥ ⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Računamo y i z.

( )

( )

( )

1, ,

1,0

2, 1

1, 1, 20

c a c a

c b c

y z

a

bb

c→

→=

→= −

→

→ → →⊥ =

⇒ ⇒ ⇒→

==

→ →

−

→⊥

�

�

( )

( )

1 1 2 1 0 1 2 0 2 1

1 2 0

metoda suprotnih

koe2 11 1 1 ficijen2 a0 ta

y z y z y z

y z y zy z

⋅ + ⋅ − + ⋅ = − ⋅ + = − ⋅ + = −⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

− + + ⋅ = + ⋅ =⋅ − + ⋅ + ⋅ =

15

2 1 2 1 1 15 1 5 1 .

2 1 2 4 2

2/ : 5

2 4 2 5/ 2

yy z y z zz z z

y z y yz z

− ⋅ + = − − ⋅ + = − + = −⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

+ ⋅ = ⋅ + ⋅ = + ⋅⋅ =

− ⋅

⋅

Računamo y.

metoda

supstituci

2 11 2 2

2 1 1 1je

15 5 5

5

y z

y y yz

+ ⋅ =

⇒ ⇒ + ⋅ = ⇒ + = ⇒ = − ⇒=

1 2 5 2 3.

1 5 5 5y y y

−⇒ = − ⇒ = ⇒ =

Vježba 054

Zadani su vektori ( ) ( ) ( )1, , , 1, 1, 2 i 1, 2, 1 . Ako je i ,a y z b c a b a c→ → → → → → →

= = − = − ⊥ ⊥

izračunajte y i z.

Rezultat: 3 1

, .5 5

y z= =

Zadatak 055 (Mario, gimnazija)

Zadane su točke M(2, 3), N(– 1, 4) i P(7, – 3). Vektor MN MP→ →

+ prikaži kao linearnu

kombinaciju jediničnih okomitih vektora i .i j→ →



( ) ( )2 1 1.


= − ⋅ + − ⋅

Najprije odredimo vektore.

• Vektor MN→

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

, 2, 31 1

, 1, 4 1 2 4 3 3 .2 2

2 1 2 1

M x y M

N x y N MN i j MN i j

MN x x i y y j

=

→ → → → → →= − ⇒ = − − ⋅ + − ⋅ ⇒ = − ⋅ +

→ → → = − ⋅ + − ⋅

• Vektor MP→

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

, 2, 31 1

, 7, 3 7 2 3 3 5 6 .2 2

2 1 2 1

M x y M

P x y P MP i j MP i j

MP x x i y y j

=

→ → → → → →= − ⇒ = − ⋅ + − − ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅

→ → → = − ⋅ + − ⋅

Sada je:

3 5 6 2 5 .MN MP i j i j i j→ → → → → → → →

+ = − ⋅ + + ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅

Vježba 055

Zadane su točke M(2, 3), N(– 1, 4) i P(7, – 3). Vektor MN MP→ →

− prikaži kao linearnu

kombinaciju jediničnih okomitih vektora i .i j→ →

16

Rezultat: 8 7 .MN MP i j→ → → →

− = − ⋅ + ⋅


Dane su točke A(– 1, – 3), B(2, – 1), C(0, 4), D(1, y). Vektori iAB CD→ →

su okomiti ako je

1 3 5 7. . . .

2 2 2 2A y B y C y D y= = = =


Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

( ) ( ) ( ) ( )Neka su A , i B , dvije točke ravnine. Tada vrijedi: .1 11 2 22 12

AB x x i yx x y jy y→ → →

= − ⋅ + − ⋅


.a a i a jx y

a b a b a bx x y y

b b i b jx y

→ → →= ⋅ + ⋅ → →

⇒ = ⋅ + ⋅→ → →

= ⋅ + ⋅

�

Dva su vektora a→

i b→


0.a b a b a bx x y y

→ →⊥ ⇒ ⋅ + ⋅ =

Budući da su zadane točke A(– 1, – 3), B(2, – 1), C(0, 4), D(1, y) vektori iAB CD→ →

glase:

•

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

, 1, 31 1

, 2, 1 2 1 1 32 2

2 1 2 1

A x y A

B x y B AB i j

AB x x i y y j

= − −

→ → →= − ⇒ = − − ⋅ + − − − ⋅ ⇒

→ → → = − ⋅ + − ⋅

( ) ( )2 1 1 3 3 2 .AB i j AB i j→ → → → → →

⇒ = + ⋅ + − + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅

•

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

, 0, 41 1

, 1, 1 0 4 4 .2 2

2 1 2 1

C x y C

D x y D y CD i y j CD i y j

CD x x i y y j

=

→ → → → → →= ⇒ = − ⋅ + − ⋅ ⇒ = + − ⋅

→ → → = − ⋅ + − ⋅

Vektori iAB CD→ →

su okomiti pa je njihov skalarni produkt jednak nuli.

( )

uvjet okomitos, 3 2

,

t

04

iAB a i a j AB i jx y

CD b i b j CD i y jx ya b a bx x y y

→ → → → → → = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

⇒ ⇒ → → → → → → = ⋅ + ⋅ = +⋅ =

− ⋅⋅

+

( )5

3 1 2 4 0 3 2 8 0 2 /3 8 2 5 2 .: 252

y y y y y y⇒ ⋅ + ⋅ − = ⇒ + ⋅ − = ⇒ ⋅ = − + ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Odgovor je pod C.

17

Vježba 056

Dane su točke A(– 1, – 3), B(2, – 1), C(0, 4), D(2, y). Vektori iAB CD→ →

su okomiti ako je

. 1 . 2 . 3 . 4A y B y C y D y= = = =

Rezultat: A.


Kut između vektora ia b→ →

iznosi 120º. Ako je 4 i 5,a b→ →

= = onda je

. 12 . 4 7 . 10 . 21A a b B a b C a b D a b→ → → → → → → →

+ = + = ⋅ + = + =


10c s120

2.o = −

Skalarni produkt vektora i : , gdje je α kut između vektorcos a i .a b a ba b a bα→ → → →

= ⋅→ → →

⋅→

�

2 2

cos0 1 .a a a a a a a a a→ → → → → → → → →

= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⇒ =� �

2 2

2 .a b a b a a a b b a b b a a b b→ → → → → → → → → → → → → → → →

+ + = + + + = + ⋅ +

� � � � � �

a b a b a b a b a a a b b a b b→ → → → → → → → → → → → → → → →

+ = + + ⇒ + = + + + ⇒

� � � � �

2 2 2 2

2 2 cosa b a a b b a b a a b bα→ → → → → → → → → → → →

⇒ + = + ⋅ + ⇒ + = + ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒�

12 0 24 2 4 5 cos120 5 16 2 4 5 25

2a b a b→ → → →

⇒ + = + ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒ + = + ⋅ ⋅ ⋅ − + ⇒

116 4 5 25 16 20 25 22 1.

2a b a b a b→ → → → → →

⇒ + = + ⋅ ⋅ ⋅ − + ⇒ + = − + ⇒ + =

Odgovor je pod D.

Vježba 057

Kut između vektora ia b→ →

iznosi 60º. Ako je 4 i 5,a b→ →

= = onda je

. 12 . 3 7 . 25 . 61A a b B a b C a b D a b→ → → → → → → →

+ = + = ⋅ + = + =

Rezultat: D.

Zadatak 058 (Gabi, ekonomska škola)

Zadani su vektori 2 3 , 2 .a i j b i j→ → → → → →

= ⋅ − ⋅ = − + ⋅ Odredi 2 .a b→ →

+ ⋅



18

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

2 2Duljina vektora = definira se .a a i a j a a ax y x y

→ → → →⋅ + ⋅ = +

2 2 3 2 2 2 3 2 3 42 24a b i j i j i j i j ji i j→ → → → → → → → → → → →

+ ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ =→ →

− ⋅

⋅

2 23 4 1 1 10 0 1 .j j j i j

→ → → → →= − ⋅ + ⋅ = = ⋅ + ⋅ = + = =

Vježba 058

Zadani su vektori 4 6 , 2 4 .a i j b i j→ → → → → →

= ⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅ Odredi 2 .a b→ →

+ ⋅

Rezultat: 2.

Zadatak 059 (Darko, gimnazija)

Odredite površinu trokuta ABC ako je točka O ishodište koordinatnoga sustava, vektor

2 ,OA i j→ → →

= − ⋅ + vektor 5 3 ,AB i j→ → →

= ⋅ − ⋅ vektor AC→

je usporedan s vektorom i→

, a skalarni

umnožak 0.AB BC→ →

⋅ = Napomena: Po potrebi skicu nacrtajte u koordinatnom sustavu.

Rješenje 059

Ponovimo!

Ako je zadana točka A(x, y) pripadni radijus vektor glasi: .r x i y j→ → →

= ⋅ + ⋅


( ) ( )2 1 1.


= − ⋅ + − ⋅

Ako je ,a i b j c i d j→ → → →

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ onda je a = c i b = d.

Dva su vektora jednaka ako i samo ako su im odgovarajuće koordinate jednake. Dva su vektora međusobno okomita ako je njihov skalarni produkt jednak nuli, tj. ako vrijedi

0.

a a i a jx y

b b i b j a b a bx y x x y y

a b

→ → → = ⋅ + ⋅

→ → → = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ =

→ →⊥


( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.

Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,

a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

Ploština pravokutnog trokuta čije su katete a i b dana je formulom

2.

a bP

⋅=

Budući da je duljina vektora AB→

jednaka duljini dužine ,AB vrijedi:

( ) ( )2

1,

2

2 2 1AB x x y y→

= − + −

19

.a b a b⋅ = ⋅

Površina trokuta ABC zadanog vrhovima A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) računa se po formuli:

( ) ( ) ( )1

1 2 3 2 3 1 3 1 22.P x y y x y y x y y

ABC= ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji određujemo na ovaj način:

, .

, 0

0

x xx

x x

≥=

− <

Ako je broj x pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki x, x ≥ 0,

vrijedi │x│= x.

Ako je x negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj – x koji je pozitivan. Za svaki x,

x < 0, je │x│= – x.

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Koordinate točke A odredimo iz radijusa vektora OA→

.

( ) ( )2 2 1

, 2, 1 .OA i j OA i j

A x y A

OA x i y j OA x i y j

→ → → → → → = − ⋅ + = − ⋅ + ⋅

⇒ ⇒ = − → → → → → → = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

Koordinate točke B nađemo pomoću vektora .AB→

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

, 2, 11 1

2 1,

2 1,

22 2

1

A x y AAB x i y j

B x y B x yAB x x i y y j→ → →

= − ⋅

= − → → → ⇒ ⇒ = − − ⋅ + − ⋅ ⇒

=

+ − ⋅

( ) ( )2 1 .AB x i y j→ → →

⇒ = + ⋅ + − ⋅

Dalje slijedi:

( ) ( )( ) ( )

2 1 2 5 5 2 3, 3, 2 .

1 3 3 1 25 3

AB x i y j x x xB x y B

y y yAB i j

→ → → = + ⋅ + − ⋅ + = = − =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = − → → → − = − = − + = − = ⋅ − ⋅

Budući da je vektor AC→

usporedan s vektorom i→

(s koordinatnom osi x), koordinate točke C su

( ) ( )

( ) ( )

, 2, 1

, , 1

A x y A

C x y C x

= −

=

pa vektor BC→

glasi:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

, 3, 21 1

3 1 2, , 1

2 22 1 2 1

B x y BBC x i j

C x y C xBC x x i y y j→ → →

= − ⋅

= − → → → ⇒ ⇒ = − ⋅ + − − ⋅ ⇒

=

+ − ⋅

( ) ( ) ( )3 1 2 3 3 .BC x i j BC x i j→ → → → → →

⇒ = − ⋅ + + ⋅ ⇒ = − ⋅ + ⋅

Koordinate točke C izračunamo iz skalarnog produkta.

( )( )

5 35 3 3 3 0 5 15 9 0

3

0

3

AB i jx x

BC x i

C

j

AB B→

→ → → = ⋅ − ⋅

⇒ ⇒ ⋅ − − ⋅ = ⇒ ⋅ − − = ⇒ → → → = − ⋅ +

→=

⋅

�

20

5 15 9 5 24 5 24 4.8./: 5x x x x⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =

Koordinate točke C su:

( ) ( ), 4.8, 1 .C x y C=

Računamo površinu trokuta ABC.

1.inačica

Zbog skalarnog produkta

0AB BC→ →

=�

trokut ABC je pravokutan pa njegova površina glasi:

.2

AB BCP

⋅=

Odredimo duljine │AB│ i │BC│.

• ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

, 2, 11 1

, 3, 2

2

2 2 12

2

12

AAB x x y y

x y A

B x y B

= − ⇒ ⇒

= − − + −

→=

( )( ) ( )2 2

3 2 2 1AB→

⇒ = − − + − − ⇒

( ) ( ) ( )2 2 22

3 2 3 5 3 25 9 34AB AB AB AB→ → → →

⇒ = + + − ⇒ = + − ⇒ = + ⇒ =

• ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

, 3, 21 1

, 4.8, 12 2

2 2

2 1 2 1

B xBC x

y B

C x yx

Cy y

= − ⇒ ⇒

=

→= − + −

( ) ( )( )22

4.8 3 1 2BC→

⇒ = − + − − ⇒

( )22 2 2

1.8 1 2 1.8 3 3.24 9 12.24.BC BC BC BC→ → → →

⇒ = + + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =

Površina trokuta ABC iznosi:

34 12.24 34 12.24 416.1610.2.

2 2 2 2

AB BCP P P P P

⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

2.inačica

Budući da su zadani vrhovi trokuta ABC njegova površina iznosi:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

, 2, 11 1

, 3, 22 2

, 4.8, 1

1

1 2 3 2 3 1 2

3

3 1

3

2P x y y x y y x y y

AB

A x y A

B x y B

C x y C

C

= −

= − ⇒ ⇒

= ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −

=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1

2 2 1 3 1 1 4.8 1 2 2 3 3 0 4.8 1 22 2

P PABC ABC

⇒ = ⋅ − ⋅ − − + ⋅ − + ⋅ − − ⇒ = ⋅ − ⋅ − + ⋅ + ⋅ + ⇒

1 1 16 0 4.8 3 6 14.4 20.4

2 2 2P P P

ABC ABC ABC⇒ = ⋅ + + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ ⇒

1 120.4 20. 2.4

210.

2P P P

ABC ABC ABC⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

21

3

2,5

2

1,5

1

0,5

-0,5

-1

-1,5

-2

-2,5

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

OOOO

yyyy

xxxx

CCCC

BBBB

AAAA

Vježba 059

Odredite opseg trokuta ABC ako je točka O ishodište koordinatnoga sustava, vektor

2 ,OA i j→ → →

= − ⋅ + vektor 5 3 ,AB i j→ → →

= ⋅ − ⋅ vektor AC→

je usporedan s vektorom i→

, a skalarni

umnožak 0.AB BC→ →

⋅ = Napomena: Po potrebi skicu nacrtajte u koordinatnom sustavu.

Rezultat: 16.13.

Zadatak 060 (Iva, gimnazija)

Zadani su vektori 2 4 i 5 .a i j b i k j→ → → → → →

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ Odredite sve realne brojeve k za koje

je kut između vektora ia b→ →

šiljast.

Rješenje 060

Ponovimo!

Ako su i dva vektora, tada njihov skalarni produkt glasi:a a i a j b b i b jx y x y

→ → → → → →= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

.a b a b a bx x y y

→ →= ⋅ + ⋅�

Kut je skup točaka ravnine određen dvama polupravcima sa zajedničkim početkom. Kutovi koji su

manji od pravog kuta zovu se šiljasti ili oštri kutovi. Kut među vektorima je šiljast ako i samo ako je skalarni produkt veći od nule.

bbbb

aaaa

aaaa °°°° b b b b > 0> 0> 0> 0

αααα < 90 < 90 < 90 < 90°°°°

22

Budući da kut između vektora ia b→ →

mora biti šiljast, skalarni produkt bit će veći od nule pa slijedi:

2 42 5 4 0 10 4

5

00

0

a i jk k

b i

a b

a b a bx x y yk j

→ →>

⋅

→ → → = ⋅ + ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ > ⇒ + ⋅ > ⇒→ → → = ⋅ + >⋅ + ⋅

�

4 10 /: 44 10 2.5.k k k⇒ ⋅ > − ⇒ ⋅ > − ⇒ > −

Vježba 060

Zadani su vektori 5 4 i 2 .a i j b i k j→ → → → → →

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ Odredite sve realne brojeve k za koje

je kut između vektora ia b→ →

šiljast.

Rezultat: 2.5.k > −

Documents

25ms041.pdf