组合数学学习笔记(2)：生成排列与组合

ssdf93

May 28, 2011

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1 知知知识识识回回回顾顾顾 1

2 生生生成成成排排排列列列 1

3 逆逆逆序序序列列列 2

4 生生生成成成组组组合合合 3

5 Gray码码码 4

6 生生生成成成r-组组组合合合 5

7 后后后记记记 6

1 知知知识识识回回回顾顾顾

上次我们讨论了排列和组合的基本内容，然后就多重集的排列和组合进行了讨论。最后归纳了盒子与球的8种情况关系，这次，让我们来讨论如何生成排列和组合。在生成排列和组合的时候，常常涉及到字典序的问题，字典序通俗的说就是

按在字典里出现的先后顺序，如字母a出现在字母b的前头，talk出现在tall的前面。

2 生生生成成成排排排列列列

生成排列的方法主要有两种。我们以生成{1, 2, 3}的3−排列作为说明

第一种，非字典序，方法如下将←−1←−2←−3顺次排列，并让其上方箭头表示方向，开始，方向都朝左。并规定，

如果整数k比它箭头指向的一个相临数要大，则它是活动的，如2，3都是活动的1,首先求出最大的活动整数m2,交换m和箭头指向的相邻数3,改变所有比m大的数的方向。

1

我们演示一遍：

←−1←−2←−3

←−1←−3←−2

←−3←−1←−2

−→3←−2←−1

←−2−→3←−1

←−2←−1−→3

第二种，字典序，方法如下顺次排列1231,从最右边开始，找到第一个比自己右边数小的数m，2,在m的右侧找到比m大的最小整数n,交换m,n3,将此时n(原来m所在位置)右侧的数的顺序反转过来我们演示一遍：123 m=2 n=3 交换132，反转3为3，得132132 m=1 n=2 交换231，反转31为13，得213213 m=1 n=3 交换231，反转1为1，得231231 m=2 n=3 交换321，反转21为12，得312312 m=1 n=2 交换321，反转1为1得，321

3 逆逆逆序序序列列列

我们对逆序列做一个介绍。

对于一个排列a1a2a3 · · · an,如果i < j，并且ai > aj那么(ai, aj)叫做一个逆序对。

我们让bi为满足j < i但aj > ai的个数，那么b1, b2, · · · , bn叫做排列a1a2a3 · · · an的逆序列。如4,2,1,3的逆序列为2,1,1,0.

逆序列有几个性质：1，令b = b1 + b2 + · · ·+ bn,则b量度排列的无序程度。2，对于bi满足，0 ≤ bi ≤ n− i。3，每一个逆序对对应唯一一个排列。4，至少通过b次交换相邻的数，使得排列a1a2a3 · · · an变成1, 2, 3, · · · , n。

根据第三点特性，我们可以根据任意给定的逆序对，求出其对应的排列方案第一种方法：写出n,然后从n到1顺次写在已写出的第bi个数字后。

第二种方法：留出n个空格，依次从1到n，将数填到第bi + 1个没有被占用的空格后。

下面给出一个例子。

2

确定{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}的排列，它的逆序列是5, 3, 4, 0, 2, 1, 1, 0.我们使用第一种方法：

8 : 8

7 : 87

6 : 867

5 : 8657

4 : 48657

3 : 486537

2 : 4862537

1 : 48625137

第二种方法：

1 : 1

2 : 2 1

3 : 2 1 3

4 : 4 2 1 3

5 : 4 2 5 1 3

6 : 4 6 2 5 1 3

7 : 4 6 2 5 1 3 7

8 : 4 8 6 2 5 1 3 7

不过，逆序列和原序列还是有一定的区别的，对于任何一个排列，其ai一旦决定，ai+1就不能再选择ai的那个数了。而逆序列不一样，每一个bi都是独立的，不受其它的影响。

4 生生生成成成组组组合合合

对于S = {xn−1, xn−2 · · · , x1},它的子集有2n个；对于每一个子集来说，xi要么属于其中，要么不属于其中，我们用1来表示属于，用0表示不属于，然后可以用一个n元组(也就是二进制数)来表示，即

(an−1, · · · , a1, ao) = an−1 · · · , a1, a0

则当n=3时，用如下方法生成组合

3

子集 二进制数 数字φ 0 0 0 0{x0} 0 0 1 1{x1} 0 1 0 2{x1, x0} 0 1 1 3{x2} 1 0 0 4{x2, x0} 1 0 1 5{x2, x1} 1 1 0 6{x2, x1, x0} 1 1 1 7

用这种方法，既可生成字典序，又可直接求出上一个或者下一个组合。如求{x6, x4, x2, x1, x0}的下一个组合。解：集合{x6, x4, x2, x1, x0}对应的二进制数为(1010111)2,下一个二进制数为(1011000)2,对应集合{x6, x4, x3}即为原组合的下一个组合。

字典序也叫压缩序，因为每一个字典序可以分为不含有xn−1的前半部分和含有xn−1的后半部分。

5 Gray码码码

Gray码是这样定义的：规定：1阶Gray码是0

1

设n阶Gray码是由n-1阶Gray码先对称复制一遍，然后在原来部分最前面加0，复制部分最前面加1。如2阶Gray码：

0 00 11 11 0

如3阶Gray码:

0 0 00 0 10 1 10 1 01 1 01 1 11 0 11 0 0

我们知道Gray码的定义是递归的，我们要知道4阶Gray码必须知道3阶，又必须知道2阶，又必须知道1阶，那么如何直接顺序写出任意n阶的Gray码呢？我们有如下算法：从n元组(an−1 · · · a1a0) = 00 · · · 0开始，当n元组(an−1 · · · a1a0) 6= 10 · · · 0时。1，计算σ(an−1 · · · a1a0) = an−1 + · · ·+ a1 + a0.2，如果σ(an−1 · · · a1a0)为偶数，则改变a0的值(0变为1，或1变为0)。3，如果σ(an−1 · · · a1a0)为奇数，则从右边开始找到第一个非0项，如ai项，改

4

变ai+1的值(0变为1，或1变为0)。上述算法生成的Gray码称为n阶反射Gray码。

这样一来，我们每个n元组对应一个组合，这样也可以用Gray码的方法生成组合。

那么如何根据字典序中n元来确定对应Gray码序表的位置呢？设：

bi =

{0 ,若an−1 + · · ·+ ai为偶数

1 ,若an−1 + · · ·+ ai为奇数

则，an−1 · · · a1a0在Gray码序表的位置和bn−1 · · · b1bn在字典序表的位置相同。换句话说an−1 · · · a1a0在Gray码表的位置在

k = bn−1 × 2n−1 + · · ·+ b1 × 2 + b0 × 20

上。

6 生生生成成成r-组组组合合合

在一个组合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}的5-组合字典序，第一个是12345,最后一个是56789.那么，如何生成r-组合呢？我们有如下算法：从r-组合a1a2 · · · ar = 12 · · · r开始。当a1a2 · · · ar 6= (n− r + 1)(n− r + 2) · · ·n时，做1，确定最大整数k,使ak + 1 ≤ n且ak + 1不是a1, a2, · · · , ar中的一个。2，用r-组合

a1 · · · ak−1(ak + 1)(ak + 2) · · · (ak + r − k + 1)

替换a1a2 · · · ar

那么，依照上面的算法，S = {1, 2, 3, 4}的3-组合为:123,124,134,234.而对于每一个3-组合，我们若将其进行排列，那么最终，我们可以得到S的所有3-排列：

123 124 134 234132 142 143 243312 412 413 423321 421 431 432231 241 341 324312 214 314 324

那么，我们已知一个r-组合，如何确定他在字典序中的位置呢？有如下公式：(

n

r

)−(n− a1r

)−(n− a2r − 1

)− · · · −

(n− ar−1

2

)−(n− ar

1

)例：在{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}的4-组合中，组合1258在字典序中的位置是？

5

解：在第 (8

4

)−(7

4

)−(6

3

)−(3

2

)−(0

1

)= 12

个位置上。

7 后后后记记记

第二部分到此就结束了，感谢大家的阅读。以上内容参考自Richarda A. Brualdi的《组合数学》如果你发现什么错误，请批评指正。我的联系方式:邮箱：ssdf93@gmail.comGoogleTalk:ssdf93@gmail.comMSN：ssdf93@hotmail.comtwitter & facebook：ssdf93@gmail.com网站：cupdish.com最后感谢大家的阅读和支持！

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