UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA MATANZADEPARTAMENTO DE INGENIERIA E INVESTIGACIONES TECNOLOGICASALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA I (1027) - 2009COMISION 71 - SEGUNDO PARCIAL FECHA: 22 de Julio del 2008ALUMNO:________________________________________________________DIRECCION DE e-mail:________________________________________________________________________________________________Ejercicio N 1Ej 1-a)Dados los puntos A3,1,1 B2,3,1 y C1,0,2. Halle un vector paralelo aAB tal que dicho vector y AC determinen un paralelogramo de rea igual a 5.Desarrollo Ejercicio N 1-a1 Vector AB AB OB OA; AB 2,3,1 3,1,1;AB 1,2,2

CD//AB CD k1,2,2AC OC OA; AC 1,0,2 3,1,1; AC 2,1,1

Area paralelogramo deti

j

k

k 2k 2k2 1 1

5;

Area paralelogramo 3kk 3kj 5 3k2 3k2 518k2 5; 18k2 25 ; k2 2518

k 2518 ;k1 56 2k2 56 2

CD k1,2,2

CD k1,2,2 CD1 56 2 1,2,2CD2 56 2 1,2,2

CD1 56 2 , 53 2 , 53 2CD2 56 2 , 53 2 , 53 2

_______________Ej 1-b) Diga si es Verdadero o Falso y justifique que:Siendo u , v ,w y r vectores coplanares u v w r 0Desarrollo Ejercicio N 1-bu , v ,w, r u v w r u v w r 0

1caso- u v // w r u v w r 02caso- u v 0 w r 0 u v w r 0 w r 0

Desarrollo 2 parcial Algebra y geometria Analtica 1 Matanza 2009 22/07/2009 Hoja N:1

3caso- u v 0 w r 0 u v w r u v 0 04caso- u v 0 w r 0 u v w r 0 0 0La proposicin es falsa___________________________________________________Ejercicio N 2Sean las rectas:

r1 : x,y, z 1,1,2 1,2,3 r2 : y z hy z x 1

Halle h, si existe, tal que las rectas r1 r2 determinen un plano y obtenga laecuacin de tal plano.Desarrollo Ejercicio N 2

r2 :y z h

y z x 1 Se trata de la interseccion de 2 planos

0 1 1 h1 1 1 1

0 1 1 h1 0 2 1 h

y z hx 2z 1 h

x,y, z 2z 1 h, z h, zx,y, z 2z, z, z 1 h,h, 0 x,y, z 2,1,1 1 h,h, 0

r2 :x 1 h 2

y h z

Para quer 2 rectas definan un plano es necesario que se corten en un punto.P r1 r2 r1 r2

r1 :x 1

y 1 2z 2 3

r2 :x 1 h 2

y h z

r1 r2 1 1 h 21 2 h 2 3

; r1 r2 1 1 2 h1 2 h 2 3

r1 r2 2 h

1 2 h 2 3

; r1 r2 22 3 h

1 2 h 2 32 3

r1 r2 4 6 h

1 2 h 3 22 3

; r1 r2 7 4 h h 12 3

;

Desarrollo 2 parcial Algebra y geometria Analtica 1 Matanza 2009 22/07/2009 Hoja N:2

r1 r2 7 4 h h 12 3

; r1 r2 7h 1 4 h

h 12 3

;

r1 r2 7 7h 4 h h 12 3

; r1 r2 6h 3

h 12 3

;

r1 r2 h 12

h 12 3

r1 r2 h 12

12 12 3

;

r1 r2 h 12 12

2 3 ; r1 r2

h 12 12

2 3 12 ;

c h 12 12 12

; r1 :x 1

y 1 2z 2 3

; r2 :x 1 h 2

y h z

r1 :

x 1 12y 1 2 12z 2 3 12

; r2 :

x 1 12 2 12

y 12 12

z 12

r1 :

x 32y 0

z 12

; r2 :

x 32y 0

z 12

h 12 12 12

P 32 ,0,12 r1 r2

Ecuacin del plano que definen las rectas r1 y r2Definimos primero r1 y r2

r1 :x 1

y 1 2z 2 3

; r2 :

x 1 12 2y 12

z

Desarrollo 2 parcial Algebra y geometria Analtica 1 Matanza 2009 22/07/2009 Hoja N:3

r1 :x 1

y 1 2z 2 3

; r2 :

x 12 2y 12

z Para la ecuacin del plano buscamos un vector normal al plano.n 1,2,3 2,1,1n 1,7,5

: Ax By Cz D 0 A 1B 7C 5

: x 7y 5z D 0 P 32 ,0,12

32 7 0 5 12 D 0; 4 D 0; D 4

: x 7y 5z 4 0___________________________________________________Ejercicio N 3Ej 3-a) Determinar para que valores de k el conjunto de vectores1,2,k; 1,k, 3; 1,k, 0no constituyen base de 3.Desarrollo Ejercicio N 3-a1,2,k 1,k, 3 1,k, 0 0,0,0 , 2 k k, 3 k 0,0,0

02 k k 0

3 k 0

1 1 1 02 k k 0k 3 0 0

f2 f2 2f1f3 f3 kf1

1 1 1 00 k 2 k 2 00 3 k k 0

f2 f2 f3 1 1 1 00 2k 5 2 00 3 k k 0

f2 12 f2

1 1 1 00 k 52 1 00 3 k k 0 f3 f3 kf2

1 1 1 00 k 52 1 00 3 k k k 52 0 0

1 1 1 00 k 52 1 00 k2 32 k 3 0 0

Desarrollo 2 parcial Algebra y geometria Analtica 1 Matanza 2009 22/07/2009 Hoja N:4

det1 1 12 k kk 3 0

2k2 3k 6 0, No solution found.

2k2 3k 6 0, k1 14 57 34 ,k2 14 57 34Para que el conjunto de vectores no constituyan base es necesario que sean unconjunto LD, por lo tanto debe verificarse que:k2 32 k 3 0, k1 14 57 34 ,k2 14 57 34_______________Ej 3-b) Si k 1 no cumple con el apartado anterior , encuentre las coordenadas decualquier vector genrico de 3 en el conjunto 1,2,k; 1,k, 3; 1,k, 0Desarrollo Ejercicio N 3-b1,2,k; 1,k, 3; 1,k, 0k1; 1,2,1; 1,1,3; 1,1,01,2,1 1,1,3 1,1,0 x,y, z

x2 y 3 z

1 1 1 x2 1 1 y1 3 0 z

1 0 0 3y 3x 2z0 1 0 x y z0 0 1 5x 4y 3z

1,2,1 1,1,3 1,1,0 x,y, z3y 3x 2z1,2,1 x y z1,1,3 5x 4y 3z1,1,0 x,y, z___________________________________________________Ejercicio N 4Sea S el subconjunto de 3 definido por S x,y, z/2x y zEj 4-i) Es S un subespacio de 3? . Justifique su respuesta.Desarrollo Ejercicio N 4-i1) 0,0,0 S 2x y z; 2 0 0 0 Verdadero 0,0,0 S2) x1,y1, z1 S 2x1 y1 z1 x2,y2, z2 S 2x2 y2 z2 x1,y1, z1 x2,y2, z2 S; x1 x2,y1 y2, z1 z2 S2x1 x2 y1 y2 z1 z2; 2x1 y1 2x2 y2 z1 z2;

z1

2x1 y1 z2

2x2 y2 z1 z2 La proposicin es verdadera

3) x1,y1, z1 S 2x1 y1 z1 k kx1,y1, z1 k x1,k y1,k z1 S 2k x1 k y1 k z1;k2x1 y1 k z1 La proposicin es verdadera_______________Ej 4-ii) En caso de que su respuesta al punto anterior haya sido afirmativa , hallardimensin y base de S.Desarrollo Ejercicio N 4-ii

Desarrollo 2 parcial Algebra y geometria Analtica 1 Matanza 2009 22/07/2009 Hoja N:5

x,y, z/2x y z y z 2x x,y, z x,z 2x, zx,y, z x,2x, 0 0,z, z; x,y, z 1,2,0 0,1,1Una base del subespacio es:Base 1,2,0, 0,1,1; Dim 2___________________________________________________Ejercicio N 5Encontrar la ecuacin cannica de la siguiente cnica , determine sus elementos ygrafiquela.3x2 5x y2 3 0Desarrollo Ejercicio N 53x2 5x y2 3 0; 3 x2 53 x y

2 3 0;3 x2 53 x

56

2 562 y2 3 0

3 x 562 56

2 y2 3 03 x 56

2 3 562 y2 3 0

3 x 562 y2 3 3 56

2 03 x 56

2 y2 6112 03 x 56

2 y2 611236112

x 562 161

12y2 1

x 562

6112 3

y26112

1

x 562

6136

y26112

1

a2 6112b2 6136

a 6112b 6136

c2 a2 b2

c2 6112 6136 ; c2 6118 c 6118Coordenadas del centro:

xC x 56yC yC

0 x 56

yC yC x

56yC yC

VerticesV1 56 , 6112 ; V2 56 , 6112V3 56 6136 , 0 ; V4 56 6136 , 0

Desarrollo 2 parcial Algebra y geometria Analtica 1 Matanza 2009 22/07/2009 Hoja N:6

V1 56 , 6112 V2 56 , 6112V3 16 61 56 , 0 V4 16 61 56 , 0Posicin de los focosF1 56 , 6118 ; F2 56 , 6118Excentricidad

e ca e 6118

6112

; e 13 2 3Directrices

d1 ae ; d1 6112

13 2 3

; d1 14 2 61

-2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

___________________________________________________

Desarrollo 2 parcial Algebra y geometria Analtica 1 Matanza 2009 22/07/2009 Hoja N:7