รายงานเร��อง

ทฤษฎี�กราฟจั�ดท�าโดย นางสาว ชนน�กานต์� ว��ง

เดชช��นมั�ธยมัศึ กษาปี"ท��5/2

เสนออาจัารย� อ$เทน น�นสมับั�ต์�โรงเร�ยนจัระเข้(ว�ทยายนส�าน�กงานเข้ต์พื้��นท��การ

ศึ กษามั�ธยมัศึ กษาข้อนแก+น เข้ต์25

คำ�าน�า รายงานเล่�มน�เป็ นสาระการเรยนร� �คณิ�ตศาสตร�ได้�จั�ด้ทำ�าขึ้ �นไว้�เพื่#$อใช้�ในการ

จั�ด้การเรยนการสอนหร#อบอกแนว้ขึ้�อสอบในเร#$องทำฤษฎีกราฟเบ#�องต�น จั $งได้�เรยบเรยงรายงานเล่�มน�ขึ้ �นไว้�เพื่#$อให�ผู้��ทำ$ศ กษาได้�เป็0ด้อ�านแล่ะทำ�าคว้ามเขึ้�าใจัเป็ นการฝึ2ก

กระบว้นการค�ด้ ว้�เคราะห� เพื่#$อเป็ นการเป็0ด้โอกาสทำ$ผู้��ศ กษาจัะได้�ฝึ2กกระบว้นการ สร�างสรรค�สมองให�ฉล่าด้แล่ะเก�ด้ป็ระโยช้น�มากทำ$ส5ด้ เราคณิะผู้��จั�ด้ทำ�าจั งหว้�งเป็ น

อย�างย�$งว้�าน�องๆผู้��ศ กษาต�อจัะใช้�รายงานเล่�มน�ให�เป็ นป็ระโยช้น�ต�อการเรยนการศ กษา เป็ นอย�างด้ย�$ง จั งเรยบเรยงไว้� ณิ โอกาสน�

ผู้.(จั�ดท�า

นางสาวชนน�กานต์� ว��งเดช

- กราฟเบ#�องต�น 9 - ด้กรขึ้องจั5ด้ยอด้ 45- กราฟออยเล่อร�-การป็ระย5กต�ขึ้องกราฟ

เร��อง หน(า

สารบั�ญ

ทำฤษฎีกราฟเบ#�องต�น

ผู้ลการเร�ยนร.(ท��คำาดหว�ง 1. เขึ้ยนกราฟเม#$อก�าหนด้จั5ด้ยอด้(vertex)แล่ะเส�นเช้#$อม(edge)ให� แล่ะระบ5ได้�ว้�ากราฟทำ$ก�าหนด้ให�เป็ นกราฟออยเล่อร�หร#อไม� 2. น�าคว้ามร� �เร#$องกราฟไป็ใช้�แก�ป็8ญหาบางป็ระการได้�

เน#�อหา- กราฟเบั��องต์(น- ด�กร�ข้องจั$ดยอด - กราฟออยเลอร�-การปีระย$กต์�ข้องกราฟ

คว้ามเป็ นมาป็8ญหาช้ว้นฉงน (puzzle)

ป็8ญหาสะพื่านเม#องเคอน�กส�เบอร�ก(Konigsburg)

สะพื่านทำ��งเจั:ด้แห�งเม#องเคอน�กส�แบร�ก(Seven Bridges of Königsberg)

ต�ว้อย�าง 1 ก�าหนด้สถานการณิ�ว้�าจั�งหว้�ด้หน $งม 6

อ�าเภอ ค#อ A , B , C , D , E แล่ะ F โด้ยทำ$อ�าเภอ A , B แล่ะ F มถนนเช้#$อม

ต�ด้ต�อก�น อ�าเภอ C มถนนเช้#$อมไป็ย�งอ�าเภอ B , E

แล่ะ D อ�าเภอ A แล่ะ E มถนนเช้#$อมต�ด้ต�อก�น แล่ะอ�าเภอ D แล่ะ F มถนนเช้#$อมต�ด้ต�อ

ก�นเขึ้ยนแผู้นภาพื่โด้ยให�จั5ด้แทำนอ�าเภอ

แล่ะเส�น เช้#$อมโยงระหว้�างจั5ด้สองจั5ด้แทำนถนน

A

B

C

DF

E

AB

C

DFE

กราฟเด้ยว้ก�นตามเง#$อนไขึ้

ล่องทำ�ากราฟแบบอ#$นๆตามเง#$อนไขึ้น�ล่งในเอกสารป็ระกอบการเรยนนะ

จั=ะ

บทำน�ยามกราฟ G ป็ระกอบด้�ว้ยเซตจั�าก�ด้ 2 เซต 1. เซตทำ$ไม�เป็ นเซตว้�างขึ้องจั5ด้ยอด้ (Vertex) แทำนด้�ว้ยส�ญล่�กษณิ� V(G)2.เซตขึ้องเส�นเช้#$อม (edge) ทำ$เช้#$อมระหว้�างจั5ด้ยอด้ แทำนด้�ว้ยส�ญล่�กษณิ�E(G)

ต์�วอย+างข้องกราฟ

จัากกราฟ G ทำ$ก�าหนด้ให� จัะได้�ว้�าV(G) = {A , B ,

C , D}E(G) =

พื่�จัารณิากราฟทำ$ก�าหนด้ A B

C

D

ได้�

ข้(อส�งเกต์-V(G) ได(

หร�อไมั+

ไม�ได้� เพื่ราะถ�าไม�มจั5ด้ยอด้เล่ยก:ไม�มอะไรให�พื่�จัารณิาเป็ นกราฟได้�เล่ย -E(G) ได(หร�อไมั+

จัากกราฟ G ทำ$ก�าหนด้ให� จัะได้�ว้�าV(G) = {A , B , C , D}E(G) = {e1 , e2 , e3 , e4 } หร#อE(G) = {AB , AC , BC , BD}

ก�าหนด้กราฟ G ด้�งร�ป็

ต�ว้อย�างก�าหนด้ V(G) = {a , b , c} แล่ะ E(G) = {ab , ac , bc} สามารถเขึ้ยนกราฟได้�ด้�งน� a

bc

กราฟน�ถ#อเป็ นกราฟเด้ยว้ก�น

ขึ้�อส�งเกต-เส(นเช��อมั เปี3นส+วนข้องเส(นต์รง,เส(นโคำ(ง หร�อ เส(นคำดก4ได(

ขึ้�อส�งเกต-เส(นเช��อมัสองเส(นอาจัต์�ดก�นได( โดยจั$ดต์�ดไมั+ถื�อเปี3นจั$ดยอด

ต์�วอย+าง จังพื่�จัารณิาเส�นในกราฟ G ต�อไป็น�ว้�าเส�นใด้เป็ นว้กว้น แล่ะเส�นใด้เป็ นเส�นเช้#$อมขึ้นาน

เส�น e1 หร#อ ab เส�น e2 หร#อ ab เส�น e3 หร#อ ab

เส�นเช้#$อมขึ้นาน

ว้งว้น

เส�น e5 หร#อ cc

เส�น e5 หร#อ cc

-วงวน (loop)

ล�กษณะข้องเส(นเช��อมั-เส(นเช��อมัข้นาน (parallel edges)

กราฟ R มว้ง ว้น

ส�งเกต์ก�นหน+อย

H

กราฟ H มเส�นเช้#$อมขึ้นานกราฟหลาย

เช�ง R

G

กราฟ Gไม�มเส�นเช้#$อมขึ้นานไม�มว้งว้นกราฟ

เช้�งเด้ยว้

บทำน�ยาม กราฟทำ$ไม�มเส�นเช้#$อมขึ้นานแล่ะไม�มว้งว้น

เรยกว้�า กราฟเช้�งเด้ยว้ (simple graph)กราฟทำ$มเส�น

เช้#$อมขึ้นาน หร#อมว้งว้นเรยกว้�ากราฟหล่ายเช้�ง(multi graph)

G2 G1 เป็ นกราฟเช้�งเด้ยว้ เน#$องจัากกราฟ G1 ไม�มเส�นเช้#$อมขึ้นาน แล่ะไม�มว้งว้น G2 เป็ นกราฟหล่ายเช้�ง เน#$องจัาก G2 มว้งว้น

G3 เป็ นกราฟหล่ายเช้�ง เน#$องจัาก G3 มเส�นเช้#$อมขึ้นาน

G4 เป็ นกราฟหล่ายเช้�ง เน#$องจัาก G4 มว้งว้น แล่ะเส�นเช้#$อมขึ้นาน

กราฟใดเปี3นกราฟเช�งเด�ยว และกราฟใดเปี3นกราฟหลายเช�ง

4G 5G 6G

4G 5G 6G

แบบจั�าล่องสถานการณิ�ด้�ว้ยกราฟ

ต�ว้อย�าง

บร�ษ�ทำ เสยงใสจัร�งๆ มต�าแหน�งว้�าง4 ต�าแหน�ง น�กร�อง 1 ต�าแหน�ง

น�กพื่ากษ� 1 ต�าแหน�ง น�กแสด้ง 1

ต�าแหน�ง น�กจั�ด้รายการ 1

ต�าแหน�ง มผู้��มาสม�คร 4 คนซ $งมคว้ามสามารถแตกต�างก�นด้�งน� แด้น มคว้ามสามารถด้�านน�กร�อง บม มคว้ามสามารถด้�านน�กร�องน�กแสด้งแล่ะจั�ด้รายการ กอล่�ฟ มคว้ามสามารถด้�านน�กพื่ากษ�แล่ะจั�ด้รายการ ไมค� มคว้ามสามารถด้�านน�กร�องน�กแสด้ง ต�องการให�แต�ล่ะคนได้�งานตามคว้าม

สามารถในต�าแหน�งทำ$ว้�างเพื่ยงคนล่ะ1 ต�าแหน�งเทำ�าน��น

จั�าล่องป็8ญหาสถานการณิ�น�ด้�ว้ยกราฟ G โด้ยทำ$V(G) = {แด้น , บม , กอล่�ฟ , ไมค�, น�กร�อง , น�กแสด้ง , น�กพื่ากษ� , น�กจั�ด้รายการ}

E(G) ={แด้นน�กร�อง, บมน�กร�อง , บมน�กแสด้ง, บมน�กจั�ด้รายการ , กอล่�ฟน�กพื่ากษ� ,กอล่ฟ?น�กจั�ด้รายการ ,ไมค�น�กร�อง , ไมค� น�กแสด้ง}

แด้นบมกอล่�ฟไมค�

น�กร�องน�กแสด้งน�กพื่ากษ�น�กจั�ด้รายการ

สร5ป็ว้�าแด้น เป็ น น�กร�องบม เป็ น น�กจั�ด้รายการกอล่�ฟ เป็ น น�กพื่ากษ�ไมค� เป็ น น�กแสด้ง

ในการจั�ด้ตารางสอบขึ้องว้�ช้า 6 ว้�ช้า ค#อ ว้�ช้าคณิ�ตศาสตร� ว้�ช้าภาษาอ�งกฤษ ว้�ช้าภาษาไทำย ว้�ช้าว้�ทำยาศาสตร� ว้�ช้าส�งคมศ กษา ว้�ช้าส5ขึ้ศ กษา โด้ยทำ$ทำราบว้�า

มน�กเรยนบางคนเรยนว้�ช้าคณิ�ตศาสตร� แล่ะว้�ช้าภาษาอ�งกฤษมน�กเรยนบางคนเรยนว้�ช้าคณิ�ตศาสตร� แล่ะว้�ช้าภาษาไทำยมน�กเรยนบางคนเรยนว้�ช้าคณิ�ตศาสตร� แล่ะว้�ช้าส5ขึ้ศ กษามน�กเรยนบางคนเรยนว้�ช้าส�งคมศ กษา แล่ะว้�ช้าส5ขึ้ศ กษามน�กเรยนบางคนเรยนว้�ช้าส�งคมศ กษา แล่ะว้�ช้าว้�ทำยาศาสตร�มน�กเรยนบางคนเรยนว้�ช้าภาษาไทำย แล่ะว้�ช้าว้�ทำยาศาสตร�มน�กเรยนบางคนเรยนว้�ช้าภาษาไทำย แล่ะว้�ช้าภาษาอ�งกฤษ

จัะสามารถจั�ด้ตารางสอบทำ��ง 6 ว้�ช้าใช้�เว้ล่าสอบ 3 คาบได้�อย�างไรน�กเรยนจั งสามารถจั งจัะสอบได้�ครบทำ��ง 6 ว้�ช้า

จั�าล่องป็8ญหาด้�ว้ยกราฟ

คณิ�ต

คาบทำ$1

คาบทำ$2

คาบทำ$3

คณิ�ต ว้�ทำย�

ส5ขึ้ศ กษาอ�งกฤษ

ส�งคม ไทำย

คาบ1 คณิ�ต , ไทำย อ�งกฤษ สอบพื่ร�อมก�นได้�หร#อไม� ไม�ได้�

ว้�ช้าทำ$สอบ พื่ร�อมก�นได้� ม

ว้�ช้าใด้บ�าง คณิ�ต ก�บว้�ทำย�

คณิ�ต แล่ะส�งคม

1. ทำ$จัอด้รถแห�งหน $งมรถทำ$จัอด้ป็ระจั�า 6 ค�น ในช้�ว้งเว้ล่าต�างๆ ด้�งน�

ค�นทำ$ 1 จัอด้เฉพื่าะช้�ว้งเว้ล่า 7 นาฬิ�กา ถ ง 15 นาฬิ�กา

ค�นทำ$ 2 จัอด้เฉพื่าะช้�ว้งเว้ล่า 12 นาฬิ�กา ถ ง 21 นาฬิ�กา

ค�นทำ$ 3 จัอด้เฉพื่าะช้�ว้งเว้ล่า 9 นาฬิ�กา ถ ง 13 นาฬิ�กา

ค�นทำ$ 4 จัอด้เฉพื่าะช้�ว้งเว้ล่า 6 นาฬิ�กา ถ ง 24 นาฬิ�กา

ค�นทำ$ 5 จัอด้เฉพื่าะช้�ว้งเว้ล่า 8 นาฬิ�กา ถ ง 18 นาฬิ�กา

ค�นทำ$ 2 จัอด้เฉพื่าะช้�ว้งเว้ล่า 22 นาฬิ�กา ถ ง 8 นาฬิ�กาขึ้องว้�นถ�ด้ไป็

1.1 จังจั�าล่องป็8ญหาน�ด้�ว้ยกราฟ โด้ยให�จั5ด้ยอด้แทำนรถแต�ล่ะค�น แล่ะจั5ด้ยอด้สองจั5ด้มเส�นเช้#$อมก:ต�อเม#$อรถทำ$แทำนด้�ว้ยจั5ด้ทำ��งสอง มช้�ว้งเว้ล่าจัอด้รถซ�อนก�นจั�าลองปี8ญหาด(วยกราฟ G

ให(จั$ดยอด 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 แทนรถืคำ�นท�� 1 ถื ง รถืคำ�นท�� 6

จัะได้� V(G) = { 1, 2, 3 ,4 , 5, 6} E(G) = {12 , 13 , 15 , 16 , 23 ,24 , 25 ,35 45 ,46}

1

2

45

ต�องเตรยมพื่#�นทำ$จัอด้รถไว้�อย�างน�อย 4 ค�น

จั5ด้ยอด้ u แล่ะจั5ด้ยอด้ v ขึ้องกราฟ เป็ นจั5ด้ยอด้ป็ระช้�ด้ (adjacent vertices) ก:ต�อเม#$อมเส�นเช้#$อมระหว้�างจั5ด้ทำ��งสองเส�นเช้#$อม e ขึ้องกราฟเก�ด้ก�บ(incident) จั5ด้ยอด้ vถ�าจั5ด้ยอด้ v เป็ นจั5ด้ป็ล่ายจั5ด้หน $งขึ้องเส�นเช้#$อม e

a

e1 e2

b

e

c

d

e3

e4 e5

e6ได้�แก� จั5ด้ b ป็ระช้�ด้ก�บ จั5ด้ a แล่ะ จั5ด้ eจั5ด้ e ป็ระช้�ด้ก�บ จั5ด้ b จั5ด้ c แล่ะ จั5ด้ d จั5ด้ c ป็ระช้�ด้ก�บ จั5ด้ e แล่ะ จั5ด้ d

a

e1

e2

b

e

c

d

e3

e4

e5

e6

เน#$องจัากไม�มเส�นเช้#$อมระหว้�างจั5ด้แต�ล่ะค��น�

จั5ด้ทำ$ไม�เป็ นจั5ด้ป็ระช้�ด้ เช้�น จั5ด้ b แล่ะ c จั5ด้ aแล่ะ e

เป็ นต�น

พื้�จัารณากราฟต์+อไปีน��

จั$ดยอด

จั�านวนคำร��งท��งหมัดท��

เส(นเช��อมัเก�ดก�บัจั$ดยอด

abcd

2442

บัทน�ยามั

ด�กร� (degree) ข้องจั$ดยอด v ในกราฟ คำ�อ จั�านวนคำร��งท��งหมัดท��เส(นเช��อมัเก�ดก�บัจั$ดยอด v

•ใช้�ส�ญล่�กษณิ� deg v แทำน ด้กรขึ้อง v

ด้กรขึ้องจั5ด้ยอด้

พื่�จัารณิากราฟทำ$ก�าหนด้ แล่�ว้เต�มค�าตอบล่งในตาราง

12

พื่�จัารณิากราฟต�อไป็น�

deg A = 2deg B = 3deg C = 2deg D = 3deg E = 0

deg A =

deg B =

deg C =

deg D =

deg E =

2

3

2

3

0

ผู้ล่รว้มขึ้องด้กรขึ้องจั5ด้ยอด้ทำ5กจั5ด้ = 2+3+2+3+0

10v

GVv

deg

หาจั�านว้นเส�นเช้#$อม แล่ะผู้ล่รว้มขึ้องด้กรขึ้องจั5ด้ยอด้ทำ5กจั5ด้ในกราฟแต�ล่ะกราฟต�อไป็น�

จั�านว้นเส�นเช้#$อม =4

( )

degv V G

v = 8

จั�านว้นเส�นเช้#$อม =5

( )

degv V G

v = 10

จั�านว้นเส�นเช้#$อม =

6

( )

degv V G

v =12

ผู้ล่รว้มขึ้องด้กร ก�บ จั�านว้นเส�นเช้#$อมขึ้องกราฟมคว้ามส�มพื่�นธ์�ก�นอย�างไร

ผู้ล่รว้มขึ้องด้กรขึ้องจั5ด้ยอด้ทำ5กจั5ด้ในกราฟเทำ�าก�บ

สองเทำ�าขึ้องจั�านว้นเส�นเช้#$อมในกราฟ

ทฤษฎี�บัทท�� 1 ทำฤษฎีบทำทำ$ส�าค�ญ

ผู้ลรวมัข้องด�กร�ข้องจั$ดยอดท$กจั$ดในกราฟ

เท+าก�บัสองเท+าข้องจั�านวนเส(นเช��อมัในกราฟ

หร�อจั�านว้นเส�นเช้#$อมในกราฟ เป็ นคร $งหน $ง

ขึ้องผู้ล่รว้มขึ้องด้กรขึ้องจั5ด้ยอด้ทำ5กจั5ด้ใน

กราฟ

ผู้ล่รว้มขึ้องด้กรขึ้องจั5ด้ยอด้ทำ5กจั5ด้ในกราฟ

เทำ�าก�บสองเทำ�าขึ้องจั�านว้นเส�นเช้#$อมในกราฟ

พื่�ส�จัน� เน#$องจัากเส�นเช้#$อมแต�ล่ะเส�นในกราฟเก�ด้ก�บจั5ด้ยอด้เป็ นจั�านว้น 2 คร��งด้�งน��นเส�นเช้#$อมแต�ล่ะเส�นจัะถ�กน�บ 2 คร��งในผู้ล่รว้มขึ้องด้กรขึ้องจั5ด้ยอด้ทำ5กจั5ด้

น�$นค#อ ผู้ล่รว้มขึ้องด้กรขึ้องจั5ด้ยอด้ทำ5กจั5ด้ในกราฟ เทำ�าก�บ สองเทำ�าขึ้องจั�านว้นเส�นเช้#$อมในกราฟ

1. จังหาจั�านว้นเส�นเช้#$อมขึ้องกราฟทำ$มผู้ล่รว้มขึ้องด้กรขึ้อง จั5ด้ยอด้ทำ5กจั5ด้ในกราฟเทำ�าก�บ 22

ว้�ธ์ทำ�า สมมต�ว้�ากราฟมเส�นเช้#$อม n เส�น

จัากทำฤษฎีบทำทำ$ 1 “ผู้ล่รว้มขึ้องด้กรขึ้องจั5ด้ยอด้ทำ5กจั5ด้

ในกราฟ เทำ�าก�บ สองเทำ�าขึ้องจั�านว้นเส�นเช้#$อมในกราฟ” ด้�งน��น 22 = 2n

n = 11 กราฟมเส�นเช้#$อม 11

เส�น

2. จังพื่�จัารณิาว้�าเป็ นไป็ได้�หร#อไม�ว้�าจัะมกราฟทำ$มจั5ด้ยอด้ 4 จั5ด้ แล่ะด้กรขึ้องจั5ด้ยอด้ ค#อ 1 , 1 , 2 แล่ะ 3 ตามล่�าด้�บว้�ธ์ทำ�า

สมมต�ว้�ามกราฟทำ$มจั5ด้ยอด้ 4 จั5ด้ ด้กรขึ้องจั5ด้ยอด้เทำ�าก�บ 1 , 1 , 2 แล่ะ 3

ผู้ล่รว้มขึ้องด้กรขึ้องจั5ด้ยอด้ทำ5กจั5ด้ ค#อ 1 + 1 + 2 + 3 = 7

7

เป็ นจั�านว้นค$ ขึ้�ด้แย�งก�บทำฤษฎีบทำทำ$1ด้�งน��น เป็ นไป็ไม�ได้�ทำ$จัะมกราฟด้�งกล่�าว้

จั$ดยอดท��มั�ด�กร�เปี3นจั�านวนคำ.+ เร�ยกว+า จั$ดยอดคำ.+

จั$ดยอดท��มั�ด�กร�เปี3นจั�านวนคำ�� เร�ยกว+า จั$ดยอดคำ�� จั5ด้ยอด้ค�� : A แล่ะ D

จั5ด้ยอด้ค$ : B แล่ะ C

G1

aG2 a b

G3

a dc

eb G4

a

b

c d

ef

กราฟ

จั�านว้นเส�น

เช้#$อม

ผู้ล่บว้กขึ้องด้กรขึ้องจั5ด้ยอด้ทำ5กจั5ด้ขึ้องกราฟ

จั�านว้นจั5ด้

ยอด้ค$

จั�านว้นจั5ด้ยอด้ค��

G1G2G3G4

ทฤษฎี�บัทท�� 2

ท$กกราฟจัะมั�จั$ดยอดคำ��เปี3นจั�านวนคำ.+

พื้�ส.จัน� ให� G เป็ นกราฟ ถ�า G ไม�มจั5ด้ยอด้ค$ น�$นค#อ G มจั�านว้นจั5ด้ยอด้ค$เป็ นศ�นย�

จัะได้�ว้�า G มจั�านว้นจั5ด้ยอด้ค$เป็ นจั�านว้นค��ต�อไป็ สมม5ต�ว้�า กราฟ G มจั5ด้ยอด้ค$ k จั5ด้ ค#อ v1 , v2 , v3 , . . . ,

vk แล่ะ มจั5ด้ยอด้ค�� n จั5ด้ ค#อ u1 , u2 , u3 , . . . ,un จัากทำฤษฎีบทำทำ$ 1 จัะได้�ว้�า (degv1 + deg v2 + deg v3 + . . .+ deg vk ) + (degu1 + deg u2 + degu3 + . . . + deguk) = 2q เม#$อ q ค#อจั�านว้นเส�นเช้#$อมขึ้อง Gด้�งน��น (degv1 + deg v2 + deg v3 + . . deg vk ) = 2q – (degu1 + deg u2 + degu3+ . . . degun) เน#$องจัาก degu1 , deg u2 , degu3 , . . . , deguk ต�างก:เป็ นจั�านว้นค��ด้�งน��น 2q – (degu1 + deg u2 + degu3 + . . . degun) เป็ นจั�านว้นค�� น�$นค#อ degv1 + deg v2 + deg v3 + . . .+ deg vk เป็ นจั�านว้นค��แต�เน#$องจัาก degv1 , deg v2 , deg v3 , . . . , deg vk เป็ นจั�านว้นค$เพื่ราะฉะน��น k จัะต�องเป็ นจั�านว้นค�� จั งจัะทำ�าให� degv1 + deg v2 + deg v3 + . . .+ degvk เป็ นจั�านว้นค��สร5ป็ได้�ว้�า กราฟ G มจั5ด้ยอด้ค$เป็ นจั�านว้นค��

1) จังพื่�จัารณิาว้�าเป็ นไป็ได้�หร#อไม�ว้�าจัะมกราฟทำ$มจั5ด้ยอด้ 4 จั5ด้ แล่ะด้กรขึ้องจั5ด้ยอด้ ค#อ 1 , 1 , 2 แล่ะ 3 ตามล่�าด้�บ

ว้�ธ์ทำ�า สมม5ต�ว้�ามกราฟทำ$มจั5ด้ยอด้ 4 จั5ด้ ด้กรขึ้องจั5ด้ยอด้ ค#อ 1 , 1 , 2

แล่ะ 3 ตามล่�าด้�บ จัะได้�ว้�ากราฟมจั5ด้ยอด้ค$เป็ นจั�านว้น 3 จั5ด้ ซ $งขึ้�ด้แย�งก�บทำฤษฎีบทำทำ$ 2

สร5ป็ว้�า ไม�มกราฟทำ$มสมบ�ต�ด้�งกล่�าว้

ทำ5กกราฟจัะมจั5ด้ยอด้ค$เป็ นจั�านว้นค��

2) ในห(องปีระช$มัแห+งหน �งมั�ผู้.(เข้(าร+วมัปีระช$มัท��งหมัด 23 คำน เปี3นไปีได(หร�อไมั+ว+าผู้.(เข้(าร+วมัปีระช$มัแต์+ละคำนจั�บัมั�อท�กทายผู้.(เข้(าร+วมัปีระช$มัคำนอ��นเพื้�ยง 7 คำนเท+าน��น

แนว้ค�ด้ ให�จั5ด้ยอด้แทำนผู้��เขึ้�าร�ว้มป็ระช้5ม แล่ะเส�นเช้#$อมแทำนการจั�บม#อทำ�กทำาย

จัะได้� กราฟมจั5ด้ยอด้ 23 จั5ด้ แต�ล่ะจั5ด้มด้กร 7 น�$นค#อ กราฟมจั5ด้ยอด้ค$เป็ น

จั�านว้น 23 จั5ด้ 23 เป็ นจั�านว้นค$ ขึ้�ด้แย�งก�บ ทำฤษฎีบทำทำ$ 2

3) จังพื่�จัารณิาว้�าเป็ นไป็ได้�หร#อไม�ทำ$จั�งหว้�ด้หน $ง ซ $งม 5 อ�าเภอ ค#อ อ�าเภอเม#อง แล่ะ อ�าเภออ#$นๆอก 4 เม#อง ม 3 อ�าเภอ ทำ$แต�ล่ะอ�าเภอมถนนเช้#$อมก�บอ�าเภออ#$นอ�าเภอล่ะ 3 สาย ม 1 อ�าเภอ มถนนเช้#$อมก�บอ�าเภออ#$น 2 สาย ม 1 อ�าเภอ มถนนเช้#$อมก�บอ�าเภออ#$นทำ5กอ�าเภอ 1 สาย

อ�าเภอเม#อง อ�าเภอ ขึ้ อ�าเภอ ค อ�าเภอ ง อ�าเภอ จั

ถนน3

สาย

ถนน3

สาย

ถนน3

สาย

ถนน2

สาย

ถนน4

สาย

จั5ด้ยอด้ค$ เป็ นจั�านว้นค��

4. ผู้ล่การส�ารว้จัขึ้�อม�ล่การใช้�โทำรศ�พื่ทำ�ม#อถ#อขึ้องพื่น�กงานในบร�ษ�ทำแห�งหน $งซ $งม พื่น�กงาน 20 คน ในเด้#อนทำ$ผู้�านมา พื่บว้�า มพื่น�กงาน 15 คน แต�ล่ะคนค5ย โทำรศ�พื่ทำ�ม#อถ#อก�บเพื่#$อนในบร�ษ�ทำ 5 คร��ง มพื่น�กงาน 5 คนแต�ล่ะคนค5ยโทำรศ�พื่ทำ�ม#อถ#อ ก�บเพื่#$อนในบร�ษ�ทำ 3 คร��ง จังหาจั�านว้นการใช้�โทำรศ�พื่ทำ�ม#อถ#อขึ้องพื่น�กงานบร�ษ�ทำน�ว้�ธ์ทำ�า ให�จั5ด้ยอด้ แทำนพื่น�กงาน เส�นเช้#$อมแทำนการค5ยโทำรศ�พื่ทำ�ม#อถ#อขึ้องพื่น�กงาน จัะได้�ว้�า กราฟมจั5ด้ยอด้ทำ$มด้กร 5 จั�านว้น 15 จั5ด้ จั5ด้ยอด้ทำ$มด้กร 3 มจั�านว้น 5จั5ด้ จั�านว้นการใช้�โทำรศ�พื่ทำ�ม#อถ#อขึ้องพื่น�กงานในบร�ษ�ทำ ค#อจั�านว้นเส�นเช้#$อมทำ��งหมด้ขึ้องกราฟให�กราฟมเส�นเช้#$อม n เส�น

จัากทำฤษฎีบทำทำ$ 1 ผู้ล่รว้มขึ้องด้กรขึ้องจั5ด้ยอด้ทำ5กจั5ด้ในกราฟ เทำ�าก�บสองเทำ�าขึ้องจั�านว้นเส�นเช้#$อมในกราฟ

ด้�งน��น 5(15) + 3 (5) = 2n75 + 15 = 2n

n = 45ด้�งน��น จั�านว้นการใช้�โทำรศ�พื่ทำ�ม#อถ#อขึ้องพื่น�กงานบร�ษ�ทำแห�งน�

ค#อ 45 คร��ง

5. การแขึ้�งขึ้�นฟ5ตบอล่มทำมสม�ครแขึ้�งขึ้�น 10 ทำม ในการจั�ด้แขึ้�งขึ้�นคร��งน�จัะจั�ด้การแขึ้�งขึ้�นเป็ นแบบ

พื่บก�นหมด้ จังหาจั�านว้นคร��งทำ$จั�ด้การแขึ้�งขึ้�นว�ธ�ท�า แป็ล่งป็8ญหาเป็ นกราฟ โด้ยให�จั5ด้ยอด้ แทำนทำมฟ5ตบอล่ เส�นเช้#$อมแทำนการแขึ้�งขึ้�นทำมฟ5ตบอล่ 10 ทำม จั�ด้แขึ้�งขึ้�นแบบพื่บก�นหมด้ แสด้งว้�าแต�ล่ะทำมต�องแขึ้�งขึ้�นก�บทำม อ#$นๆอก 9 ทำมน�$นค#อแต�ล่ะจั5ด้ยอด้ขึ้องกราฟมด้กร 9 จั�านว้นคร��งทำ$จั�ด้การแขึ้�งขึ้�น ค#อ จั�านว้นเส�นเช้#$อมในกราฟ ให�กราฟมเส�นเช้#$อม n เส�น

ด้�งน��น 9(10) = 2 n 90 = 2n

n = 45 ด้�งน��นต�องจั�ด้การแขึ้�งขึ้�นฟ5ตบอล่ 45 คร��ง หร#อ 45 ค��

1. ในงานเล่�ยงแห�งหน $ง ผู้��ทำ$มาถ งงานคนแรกได้�จั�บม#อทำ�กทำายก�บเจั�าภาพื่ (มคนเด้ยว้) แล่ะคนทำ$มาถ งงานเป็ นคนทำ$สอง ได้�จั�บม#อทำ�กทำายก�บเจั�าภาพื่ แล่ะผู้��มาถ งงานคนแรก ผู้��มาถ งงานคนทำ$สามได้�จั�บม#อทำ�กทำายก�บเจั�าภาพื่แล่ะผู้��มาถ งงานคนแรก แล่ะคนทำ$สองในทำ�านองเด้ยว้ก�นผู้��ทำ$มาถ งคน ต�อๆมาก:จัะได้�จั�บม#อทำ�กทำายก�บเจั�าภาพื่ แล่ะก�บผู้��ทำ$มาถ งในงาน ก�อนเขึ้าทำ��งหมด้ ถ�าในงานเล่�ยงน�มผู้��มาร�ว้มงาน 8 คน

1.1 จังแป็ล่งป็8ญหาขึ้�างต�นเป็ นกราฟ1.2 จังหาจั�านว้นคร��งทำ��งหมด้ทำ$มการจั�บม#อก�น

2. ก�าหนด้ให�กราฟมด้กรขึ้องจั5ด้ยอด้ต�างๆ ด้�งน� 1 , 1 , 4 , 4 แล่ะ 6 จังหาจั�านว้นเส�นเช้#$อมขึ้องกราฟน�3. จังพื่�จัารณิาว้�ากราฟน�มจั5ด้ยอด้ 7 จั5ด้ แล่ะด้กร 5 , 4 , 2 , 2 , 2 , 1 แล่ะ 1 หร#อไม�

4. จังเขึ้ยนแผู้นภาพื่ขึ้องกราฟ G ทำ$มจั5ด้ยอด้ 5 จั5ด้ ค#อ v1 , v2 , v3 , v4 , v5 แล่ะ deg v1 = 3 , v2 เป็ นจั5ด้ยอด้ค$ deg v3 = 2 แล่ะ v4 แล่ะ v5 เป็ นจั5ด้ยอด้ป็ระช้�ด้5. จังหาจั�านว้นจั5ด้ยอด้ขึ้องกราฟทำ$มากทำ$ส5ด้ทำ$เป็ นไป็ได้�ขึ้องกราฟทำ$มเส�นเช้#$อม 35 เส�น แล่ะจั5ด้ยอด้ทำ5กจั5ด้มด้กรอย�างน�อย 3 6. จังพื่�จัารณิาว้�าจัะมกราฟทำ$มจั5ด้ยอด้ 13 จั5ด้ แล่ะเส�นเช้#$อม 31 เส�น โด้ยทำ$มจั5ด้ยอด้ 3 จั5ด้ มด้กร 1 แล่ะ จั5ด้ยอด้ 7 จั5ด้ มด้กร 4 พื่ร�อมให�เหต5ผู้ล่ป็ระกอบ

ปีระว�ต์�โดยย+อ นางสาว้ ช้นน�กานต� ว้�$งเด้ช้ ช้#$อเล่�น

หล่า เก�ด้ว้�น ทำ$ 12 เด้#อน ส�งหาคม พื่.ศ.

25375/2 หม��ทำ$ 2 บ�านกงกล่าง ต�าบล่บ�าน

กง อ�าเภอหนองเร#อ จั�งหว้�ด้ ขึ้อนแก�น 40240

เบอร�โทำรศ�พื่ทำร� 08-77239583

การศ กษา -อน5บาล่1-2 โรงเรยนบ�านกงป็ระช้าน5ก�ล่ -ช้��นป็ระถมศ กษาป็Bทำ$1-6 โรงเรยนบ�านกง

ป็ะช้าน5ก�ล่ -ช้��นม�ธ์ยมศ กษาป็B$ ทำ$1-3โรงเรยนบ�านบ�าน

กงป็ระช้าน5ก�ล่-ป็8จัจั5บ�นศ กษาทำ$โรงเรยนจัระเขึ้�ว้�ทำยายนช้��นม�ธ์ยมศ กษาป็Bทำ$5/2