(2437-GE-A) Intersection Corrigé Man Chap1 p1-20.qxd … · Section1 La notation scientifique et les lois des exposants Une goutte dans l’océan Plusieurs démarches sont possibles

Entrée en matièreLes nombres dans les médias

1. a) Nombre Ordre de grandeur

4 500 103

108 000 105

39 millions 107

3 milliards 109

5 100

950 102

60 101

2 500 milliards 1012

b) 10–6

2. a) 2,64 ×11 ≈ 29 buts

b) 100 – 92,1 = 7,9

= 367 tirs au but au cours des 11 parties

c) 367 – 29 = 338 tirs au but arrêtés

3. = 908,853 6

Il y aurait eu environ 909 faillites.

4. a) 218 × 909 = 238 288 896 faillites

b) ≈ 1649,96

Il y aurait eu environ 1650 faillites.

c) La phrase «Depuis 1987, le nombre de faillitesdes jeunes Québécois a doublé chaqueannée» devrait plutôt être : « Le taux de faillitespar année des jeunes Québécois a doublédepuis 1987. »

(2,41 × 684 631)1000

(1,14 × 797 240)1000

(100 × 29)7,9

Manuel • p. 3

Manuel • p. 2

Réactivation

1. a) 3,75 d) 0,2–

b) 0,04 e) 0,125

c) –0,187 5

2. a) d)

b) e)

c)

3. a) 0,125 km c) 7 000 cm

b) 80 dm d) 0,3 mm

4. a) 9,8 d)

b) 39,90 $ e)

c) –32 f ) 49π ≈ 153,94 cm2

Remarque : À la question 44bb, s’assurer que les élèves ont comprisque 31,92 $ correspond au prix du chandail après réduction de20%; autrement dit, que ce prix équivaut à 80% du prix courant.Une façon de s’en assurer est de leur demander si le prix à chercherdevrait être supérieur ou inférieur à 31,92 $.

5. a) –1 b) = –1 c) 9

6. a) 105 e) 104

b) 101 f ) 103

c) 10–3 g) 10–2

d) 100

77.. × 10–1 = 10–3

102 × 10–5 = 10–3

10–4 × 10 = 10–3

× 102 = 1

102 × 10–2 = 1

10–4 × 104 = 1

× 104 = 100

102 × 100 = 100

10–4 × 106 = 100

1100

1100

1100

23

—53

1009

1119

111 2= = , unités

4 15 15 492 2cm cm≈ ,

–1250

65

78

13

325

Manuel • p. 4

Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc. 1Intersection Guide d’enseignement A Corrigé du manuel

Chapitre

1Les nombres réels et leurs propriétés

(2437-GE-A) Intersection Corrigé Man Chap1 p1-20.qxd 19/06/08 22:21 Page 1

Section1 La notation scientifique et les lois des exposants

Une goutte dans l’océan

Plusieurs démarches sont possibles. Exemple :

– On trouve le nombre de gouttes correspondant au volume des océans :

1 goutte d’eau → 2,5 × 10–5 litres

⇒ ? → 1,4 × 1021 litres ⇒ ? = 0,56 × 1026 gouttes d’eau

ou 5,6 × 1025 gouttes d’eau

– On trouve ensuite le nombre de planètes(identiques à la Terre) nécessaire pour totaliserun gogol de gouttes d’eau :

10100 ÷ 5,6 × 1025 gouttes = 1,79 × 1074 planètes

Il faudrait 1,79 × 1074 planètes identiques à la Terrepour totaliser un gogol de gouttes d’eau.

1) 1 mm → 6 000 000 mm39 mm → 234 000 000 mmLa distance entre Baie-Comeau et Sept-Îles estde 234 km.

Remarque : 39 mm est une mesure approxi-mative de la ligne courbe et non de la lignedroite reliant les 2 villes.

2) ≈ 230 km (160 + × (80))

Les deux méthodes fournissent des résultatsproches.

1) 3 à 4 chiffres

2) Non

3 chiffres significatifs

Diamètre de la Terre ≈ 64 mm; diamètre du virus ≈ 38 mm

1) Diamètre réel de la Terre ≈ 12 000 000 m

2) Diamètre réel du virus ≈ 0,000 000 15 m

Ordre de grandeur du diamètre de la Terre: 107 mOrdre de grandeur du diamètre du virus : 10–7 m

1,28 × 107 m; 1,5 × 10–7H

G

F

E

Manuel • p. 7

D

C

B

78

A

Manuel • p. 6

Une question de précisionACTIVITÉD’EXPLORATION 1

Manuel • p. 5

Ai-je bien compris?

1. a) 1 × 107 e) 9 × 10–7

b) 5,02 × 106 f ) 3,2 × 10–4

c) 1,1 × 1011 g) 2,34 × 108

d) 3 × 10–6 h) 4,5 × 10–4

2. a) 1,74 × 106 m b) 1,36 × 10–10 m

1) 23

2) 28

3) 20 (Dans ce cas, Alice conserve sa taille.)

1) Le produit de deux puissances ayant lamême base s’obtient en conservant la mêmebase affectée de la somme des exposants : bm × bn = bm + n

2) Le quotient de deux puissances ayant la mêmebase s’obtient en conservant la même base affec-tée de la différence de l’exposant du dividende etde celui du diviseur: bm ÷ bn = bm − n

La puissance d’une puissance s’obtient en conservantla même base affectée du produit des exposants:(bm)n = bmn

36 56 2–6 (0,5)

–2

E

Croissance d’Alicepar jour Nombre de jours Croissance totale

d’Alice

23 5 (23)5 = 215

24 7 228

22 8 216

D

Manuel • p. 9

36 ÷ = ÷ =−3 3 81 5 5 5 31252 4 3 2 5( ) ( )

88-2 ÷ = ( ) ÷( ) = ( )−8 8 64 15

15

15

4 26 3 3

( ) ( , )0 008

4

5

2

-1

× = × =−4 4 1024 3 3 3 7293 5 8 2 6( ) ( )

×× = ( ) ×( ) =− −−

5 5 0 008 12

12

12

2 33 2

( , ) ( , )0 5

C

Croissance d’Alice (1re fois)

Croissance d’Alice (2e fois)

Croissance totaled’Alice

23 24 27

25 23 28

21 24 25

B

A

Manuel • p. 8

L’aventure exponentielleACTIVITÉD’EXPLORATION 2

Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc. 2 Corrigé du manuel Intersection Guide d’enseignement A


Ai-je bien compris?

1. a) 1) 103 × 105

2) 10–4 × 10

–7

3) 105 × 10–4

4) 103 × 10–7

b) 1) 105 × 10–7

2) 10–7 × 105

3) 105 × 103

4) 10–7 × 103

c) 1) 105 × 105 × 105 × 103

2) 103 × 103 × 105 × 10–7 ou 105 × 103 × 10

–4

3) 10–4 × 10

–4 × 10–7 × 10

–7

4) 10–7 × 10

–4 × 103 × 103 ou 10–4 × 10

–4 × 103

2. a) 56 e) 3–9

b) f )

c) 64 g) 212

d) 23 h) 5–15

3. a) Faux; contre-exemple: 24 + 23 ≠ 27 (16 + 8 ≠ 128)

b)

c) Faux; contre-exemple: (24)3 ≠ 27 (4 096 ≠ 128)

d)

e) Faux; contre-exemple: 24 – 23 ≠ 21 (16 – 8 ≠ 2)

1) 25 × 106 km = 25 × 106 × 103 m = 2,5 × 1010 m

130 µm = 130 × 10–6 m = 1,30 x 102 × 10

–6 m =1,30 × 10

–4 m

2) Aire = π (65 × 10–6)2 m2 = π (4 225 × 10

–12) m2

≈ 132 73 × 10–12 m2

≈ 1,327 3 × 10–8 m2

– Le nombre d’octets transmis en une heure :1,75 × 1012 × 60 × 60 = 6,3 × 1015 octets

– Le nombre de DVD transférés : (6,3 × 1015) ÷ (60 × 106) = 1,05 × 108 DVD

Le débit permet de transférer 1,05 × 108 DVD en une heure.

B

A

Manuel • p. 10

L’immensité dans le minuscule

ACTIVITÉD’EXPLORATION 3

= × × ×× ×

=aa

a a a aa a a

a4

31Vrai;

Vrai; a a a a a a a a aa a

a

4 3

4 3

7

× = × × × × × ×� ��

� �� = a7

14

6( )25

11( )

Ai-je bien compris?

1. a) 2,1 × 1010

b) 5,75 × 103

c) 2,698 × 103

d) 6,349 206 × 1011 ≈ 6 × 1011

2. a) Soit un mois de 30 jours60 × 60 × 24 × 30 = 2 592 000 secondesdans un mois de 30 jours

1,2 × 10–9 m = 1,2 × 10

–7 cm

1,2 × 10–7 × 2 592 000

= 3,110 4 × 10–1 cm/mois ≈ 0,3 cm par mois

b) Dans environ un mois (en utilisant directement laréponse de la question 2a).

Par le calcul:

On a une vitesse de croissance de 1,2 × 10

–9 m/seconde = 1,2 × 10

–6 mm/seconde

Pour une poussée de 3 mm, on obtient (3 ÷ 1,2 x 10

–6) secondes= 2,5 × 106 secondes = 28 jours, 22 heures et

40 secondes

Mise en pratique

1. Niveau de difficulté : faible

a) 8 400 000 000 000

b) 0,000 033 3

c) 0,125

d) 6 155,3

e) 0,000 01

f ) 4

2. Niveau de difficulté : moyen

a) 2,4 × 1010

b) 8,3 × 109

c) 3,8 × 10–8

d) 3 × 10–7

e) 6,22 × 104

f ) 1,25 × 10–5

g) 3 × 101

h) 2,92 × 102

i ) 8 × 10100

j ) 1,40 × 107

Manuel • p. 13




a) 9,1 × 107 m

b) 8 × 1026 m

c) 8 × 10–6 m

d) 6 × 10–5 m


a) 2,3 × 105

b) 7,5 × 10–1

c) 3,21 × 100

d) 2 × 10–8

e) 4 × 107

f ) 1,4 × 10–3


a) Le nombre de sièges dans le Stade olympiquede Montréal→ 5 × 104

b) La population mondiale→ 7 × 109

c) L’âge, en secondes, d’une ou d’un élève detroisième secondaire→ 4,5 × 108

d) La distance, en mètres, entre Montréal et Québec→ 2,5 × 105

e) La longueur d’un marathon, en mètres→ 4,22 × 104


a) + c) + e) +

b) − d) −


a) 31

b) 23

c) 28

d) 211

e) 5–1

f ) 1010

g) 5–6

h) 10 (n’importe quel nombre non nul exposant zéro)

Manuel • p. 14


a) Faux ; (2 + 3)5 = 55

b) Faux ; (34)2 = 38

c) Faux ; (–9)2 = (9)2

d) Vrai

e) Vrai

f ) Faux ; 106 ÷ 54 = = 26 × 52

g) Faux ; 52 × 53 = 55

h) Faux ; (32)3 = 36

i ) Faux ; 23 + 24 = 24


a) 3–2

b) 5–5

c) 104


a) 53 × 56 = 59

b)

c) 3–6 × 36 = 30 = 1

d)


a) 2,3 × 105

b) 6 × 100

c) 5 × 10–2

d) 6,327 9 × 1065

e) 8,8 × 1013

f ) 1,66 × 1036


Plusieurs réponses sont possibles.

Exemples :

2 284 163 personnes → 2,3 millions de personnes

15 000 mm → 0,015 mm

0,04 × 107 $ → 400 mille $

3,2 × 108 ¢ → 3,2 millions de $

1010

1011

213

− =

22

29

817

− =

26 × 56

54




a) 280 000 ou 2,8 × 105

b) 84 000 050

c) 0,000 011 ou 1,1 × 10–5

d) 2 590 000 ou 2,59 × 106


a) Non, car 65 000 000 est une approximationqui nous informe de l’ordre de grandeur.

b) Dans environ 1 million d’années, le guidepourra alors dire 66 000 000 années.

15. Niveau de difficulté : élevé

a) 5(2)4 = 80 bactéries

b) 5(2)12 × 3 = 5(2)36

≈ 3,436 × 1011 bactéries

c)


a) = x ⇒ 21 000 jours (57 ans 195 jours)≈ 57,5 ans

b)

c) Estimons le nombre de cheveux de Michel à 135 000.

=

x = 109,5 mm135 000 × 109,5= 14 782 500 mm = 14 782,5 m ≈ 15 000 m ou 1,5 km


a) (500 × 10–9) × (380 × 10

–9) = 1,9 × 10–13 m2

L’ordre de grandeur est donc de 10–13 m2.

b) (500 × 10–9) × 210 000 000 = 105 m

(380 × 10–9) × 210 000 000 = 79,8 m

Un terrain de soccer grandeur nature mesure105 m sur 79,8 m.

x365 jours

0,3 mmjour

0 3 0 3 10 1 25 106 8, , ,mmjour

km24h

kmh

= × = ×− −

6 300 mmx

0,3 mmjour

Manuel • p. 16

2 2 2 2 512243 8( ) ( )= = bactéries

Manuel • p. 15Section2 Les nombres rationnels

et irrationnels

Est-ce possible ?

1.

2. La valeur de π trouvée à la question 11 n’est pasexacte, il s’agit d’une approximation seulement.


Exemple de classement : Avoir un développement décimal périodique :

(voir au haut de la page suivante)

Conjecture : Le développement décimal illimité detoute fraction (nombre rationnel) est périodique.Justification : Lorsqu’on divise le numérateur parle dénominateur d’une fraction, on a toujours desrestes plus petits que le dénominateur. Donc, aubout d’un nombre fini d’opérations, ou bien onobtient un reste nul et la division s’arrête, ou bienon retombe sur un même reste déjà trouvé et,dès lors, les mêmes décimales apparaissent.

F

0153846,E

D

13

16

29

17

111

C

BA

Manuel • p. 18

Soyons rationnels !ACTIVITÉD’EXPLORATION 1

π

π

92

9 19

9 8

8 92

25681

3160 49

2 22

22

( ) = − ×( ) =

= ÷ ( ) = ≈ ,

ππ ≈ 316,

Manuel • p. 17


11112017291613153

1014

111

0 09

120

0 0

,

,

=

= 55

17

0142857,=

229

0 2

16

016

=

=

,

,

,

,

13

0 3

15

0 2

3

=

=

1100 3

14

0 25

=

=

,

,


1) = 0,2

= 0,5

= 1,4

2) = 0,01

= 0,74

= 1,0210199

7499

199

139

59

29

H

0,4705882352941176G

Manuel • p. 19 3) = 0,008

= 0,052

= 1,125

= 1,005

Plusieurs remarques sont possibles :

– le numérateur est utilisé dans la période ;

– il y a autant de chiffres composant la périodeque le nombre de chiffres 9 dans le dénomi-nateur.

1004999

125999

52999

8999


Réponse à la question , page 10D

D

2 13— 0 0

22

2 13— 0 0 1

20— 13

77

2 13— 0 0 15

20— 13

70— 65

55

2 13— 0 0 153

20— 13

70— 65

50— 39

1111

2 13— 0 0 1538

20— 13

70— 65

50— 39

110— 104

662 13

— 0 0 1538420

— 1370

— 6550

— 39110

— 10460

— 5288

2 13— 0 0 153846

20— 13

70— 65

50— 39

110— 104

60— 52

80— 78

22

2 13— 0 0 1538461

20— 13

70— 65

50— 39

110— 104

60— 52

80— 78

20— 13

77Remarque : Après 6 restes, on retombe sur le premier reste obtenu et conséquemment, à partir de ce moment, on retrouve une même succession de chiffres dans le quotient. Ce processus se répète indéfiniment.


1) 0,7 =

2) 0,37 =

3) 0,071 =

4) 0,256 =

1) = 0,1

2) = 0,01

3) = 0,01

4) = 0,001

5) = 0,001

1) 0,037 = ÷ 10 =

2) 3,7 = 3 =

3) 0,37 = 3,7 ÷ 10 = ÷ 10 =

4) 3,037 =

Oui, il sera toujours possible de trouver une frac-tion équivalente en établissant un rapport entre lenombre de chiffres dans la période et le dénominateur de la fraction.

Ai-je bien compris?

1. a) = 0,375

b) =

c) = 33,3

2. a) 0,8 = c) 2,5 = 2 =

b) 0,52 = d) 1,23 = 1 =

3. a) = 0,015 d) = 0,15

b) = 0,015 e) = 1,15

c) = 1 = 1,559

149

10490

15990

1599

15999

12299

2399

5299

239

59

89

1003

0,71428557

38

L

37999

3490

349

349

79

37990

3799

K

1999

1990

199

190

19

J

256999

71999

3799

79

I


Exemple :

L’aire du carré ABCD est une unité carrée.

L’aire du carré ACEF vaut 4 fois l’aire du triangleACD. Or, l’aire de ce triangle vaut la moitié de l’airedu carré ABCD. On a donc :

où c est la mesure du côté du carré ACEF (qui estaussi la mesure de la diagonale AC). D’où c2 = 2

L’aire du carré ACEF vaut 2 unités carrées.

. Impossible de représenter ce nombre sous laforme d’une fraction. Si c’était possible, ce nombreserait un nombre rationnel dont le carré est égal à 2.Autrement dit, un nombre ayant un développementdécimal fini ou périodique (sa dernière décimaleserait un des chiffres 1 à 9). Le carré de ce nombreserait un nombre dont la dernière décimale seraitforcément l’un des chiffres suivants : 1, 4, 9, 6 et 5.Ainsi, dans tous les cas, il n’est pas égal à 2.

Ai-je bien compris?

1. a) c)e)

2. a) Vrai b) Vraic) Faux

Justification:Les réponses aux questions 2a et 2b sont vraies, car,si l’on considère le développement décimal qui est infi-ni et non périodique, il reste tel quel, qu’on le doubleou qu’on le divise en quatre.

La réponse à la question 2c est fausse; contre-exemple:prendre (1 + ) comme nombre irrationnel.2

7 5,53

π, , , , .3 5 6 etcF

2E

2D

c2 4 12

= × ( )

C

Manuel • p. 21

157

B

A

Manuel • p. 20

Tout un choc !ACTIVITÉD’EXPLORATION 2



4

1,732

Le développement décimal d’un nombreirrationnel est infini et non périodique.

Oui, c’est un nombre irrationnel, car sondéveloppement décimal n’est pas périodique.

Ai-je bien compris?

Non. Limitée par le nombre de caractères à afficher,la calculatrice arrondit le dernier chiffre à afficher.Avec une calculatrice plus puissante, on aurait3,1622776601683793…

Mise en pratique


a) 0,46

b) 2,8

c) 0,437 5

d) 51,51

e) 2,27

f ) –0,162 5

g)

h) 0,05


a) = 2 = 2,5

b) = 0,023

c) = ÷ 10 = 2,5 ÷ 10 = 0,25

d) = 0,23

e) = ÷ 10 = 0,23 ÷ 10 = 0,023

f ) = 2 = 2,3


a)

b) = 130

390

3100

13

73

2399

23990

2399

239

2390

23999

59

239

3,142857

Manuel • p. 25

D

C

B

A

Manuel • p. 22

De plus en plus précisACTIVITÉD’EXPLORATION 3

c) =

d) =

e) 3 =

f ) 3 =

g) 31 ÷ 10 = =

h) 3,125 ÷ 100 =


a) Rationnel, car

b) Irrationnel, car ne peut pas se

représenter sous forme de fraction.c) Irrationnel, car on ne fait qu’augmenter les

unités de 1 de la racine carrée de 3, qui est unnombre irrationnel, étant donné l’impossibilitéde représenter ce nombre par une fraction.

d) Rationnel, car la racine carrée de 4 est 2.

e) Irrationnel, car le double de π reste irrationnel (impossibilité de représenter le nombre parune fraction).

f ) Rationnel, car est une fraction.


a) 0,8 + 0,4 = + = = = 1 = 1,3

b) 0,8 − 0,4 = − = = 0,4

c) − = = −0,4

d) 0,8 × 0,4 = × = =

e) 0,8 ÷ 0,4 = ÷ = 2

f ) 0,4 ÷ 0,8 = ÷ = 0,5


a) Faux

b) Faux

c) Vrai

d) Vrai


, avec a et b positifs

, avec a positif et b positif non nula b ab

÷ =

a b a b× = ×

89

49

49

89

0,3950617283281

49

89

–49

89

49

49

49

89

13

43

129

49

89

32

2 5 52

, =

0 25 14

12

, = =

154749500

1547495

3094990

2599

3122999

125999

258

18

1033

3099

133

399




a) z, q et r

b) q et r

c) n, z, q et r

d) qæ et r

e) qæ et r

f ) n, z, q et r

g) q et r

h) q et r

i ) n, z, q et r

j ) n, z, q et r

k) n, z, q et r

l ) n, z, q et r


a) z e) q

b) n f ) r

c) z g) n

d) { } h) r


a) 1) 2) 3)

b) En 1, il existe une unité de mesure commune(1 par exemple) ; par contre, en 2 et en 3, lescouples de segments sont incommensurables :ils n’ont pas d’unité de mesure communeparce que est un nombre irrationnel.


a) Vrai

b) Faux, car 0 n’appartient pas à l’ensembledes nombres irrationnels.

3

323

12

Manuel • p. 26

c) Vrai

d) Vrai

e) Vrai


Plusieurs réponses sont possibles. Exemples :

a) c) e)

b) d) f )


a) 2 cm2, 4 cm2 et 8 cm2

b)

c)

d)


a) ∈ f ) ∈

b) ∈ g) ∉

c) ∉ h) ∉

d) ∉ i ) ∈

e) ∈ j ) ∉

15. Niveau de difficulté : faible(voir au bas de la page)


0,9 = 1 0,9 = 0,3 + 0,3 + 0,3

= + +

= 1

17. Niveau de difficulté : moyen(voir au bas de la page)

13

13

13

Manuel • p. 27

2 12

ou( )12

2 ou( )4 2 8 8 2cm cmet cm,

9 9,17−26

21,10112


Réponse aux questions 15 et 17, page 10

15.

17.

–2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

– 5 – 2 3 5 6 8

10

π

0 π1 2π 3π 4π



Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

a)

b)

c) Oui, car


a) Vrai, car la somme de deux fractions sereprésente toujours par une fraction.

b) Faux ; contre-exemple : −π + π = 0


La somme d’un nombre rationnel et d’un nombreirrationnel est un nombre irrationnel.


Longueur d’un côté : cm; demi-circonférence :

cm; aire d’un demi-disque :


a) = 3. Or, le rapport est π

et non 3.

b) d = pas

c) a = pas2225π

30π

circonférencediamètre

3010

14

2cmπ22

π

2

Manuel • p. 28

1 2 222 2 2

= =×

ont une même approximation.710

1 222

. et

710

Section3 Les racines de nombres etleur notation exponentielle

Du carré au cube

1.

2.

Les Athéniens se sont trompés en pensantqu’en doublant les mesures des arêtes de l’autel,ils doubleraient le volume.

Volume = c3, où c désigne la mesure de l’arête (dans l’exemple, c est égal à 2).

Trouver un nombre tel que, élevé à la puissance 3,on obtiendrait le volume donné.

1) 2

2)

3)

… Ce n’est pas un nombrerationnel, car son développement décimal n’estpas périodique.

Voici une démarche possible.

Supposons que 2 unités est la longueur de l’arêtedu premier cube, 8 unités-cubes son volume et16 unités-cubes le volume du plus grand cube.Il faut donc trouver un nombre n tel que : (2 × n)3 = 16, c’est-à-dire n3 = 2, donc n =

Ai-je bien compris?

1. 1, 8, 27, 64, 125, …

2. a) 8 et 9

b) 10 et 11

c) 13 et 14

d) 17 et 18

3. Volume donc, arête cm= = ( ) =278

32

32

3

,

23

2 1 2599213 ≈ ,E

16 2 51983 ≈ ,

10 2154 43 ≈ ,

D

C

B

A

Manuel • p. 30

La duplication du cubeACTIVITÉD’EXPLORATION 1

cm× = =2 4 8 23 3 3 2

m cm;

m cm ou 2 2 cm

Donc, m = 2 c

BG

DE

CE

=

=

+( )

2

8

8 mm ou 3 2 cm

4,2426…≈( )

Manuel • p. 29


Périmètre (en cm)

Aire(en cm2)

Première figure (gauche)

Deuxième figure (droite)

Troisième figure (en bas, à gauche)

Quatrième figure (en bas, à droite)

3 2 22

6 4641× + ≈π ( , )

3 2 22

6 46× + ≈π ( , 441)

4 22

2 2 8 885 8( , )× = ≈π π

× + × ≈2 2 3 22

9 492 8π ( , )

2 14

2 785 4+ ≈π ( , )

2 14

1 214 6( , )− ≈π

2 14

−( π)) + ×( ) = + ≈3 14

22

3 570 8π π ( , )

2++ × ≈3 14

4 356 2π ( , )


1) Après 5 ans, il y aura 645 cellules cancéreuses.

2) Aujourd’hui, il y a 640 cellule (une cellule).

3) Après année, il y a 64 cellules.

4) Après 4 mois, il y aura 64 = 64 cellules.

5) Après 18 mois, il y aura 64 = 64 cellules.

1) , pour qu’après une année, il y ait 8 × 8 (64) cellules cancéreuses.

2) Après 18 mois, il y a 8 × 8 × 8 ou 512 cellules cancéreuses.

3) Après 6 mois, il y en a 64 . Après 12 mois, il y en a 641. Après 18 mois, il y en a 64 .

1)

Remarque : le facteur multiplicatif (× 4) est équivalent à (× ).On remarque que :

l’exposant correspond à la racine carrée ; exemple :

et l’exposant correspond à la racine cubique ; exemple : .

l’exposant correspond à la racine carrée ;

l’exposant correspond à la racine cubique.

1) 64 = 64 ou 85 2) 64 = 64 ou 48 3) 64 = 6433612

83

3212

52

3012E

1364 64 4

13 3= = :

1264 64 8

12 = = :

64 6413 3=1

3

64 6412 =1

2

D

643

0 12 164

1 64

8

16 2564

Nombrede cellules

cancéreuses

Nombre de mois depuis la formation de la première cellule cancéreuse

� 4 � 4 � 4 � 4C

Manuel • p. 32

32

12

0 12 186

1 64 5128

Nombrede cellules

cancéreuses


� 8 � 8 � 8

64 8=B

32

1812

13

412

121

2

A

Manuel • p. 31

Multiplication d’anomaliesACTIVITÉD’EXPLORATION 2


0 12 164

43

8

42 4441

Nombrede cellules

cancéreuses


6413 64

23 64

33 64

432)


2,768 années ≈ 24 + 9 mois ≈ 33 mois

Ai-je bien compris?

1. a) b) c) d) e)

2. a) b) c) d)

3. a) b) c) d) 6 62323=7 73

32=44 443

13=23 23

12=

13 13 219732 3= =5 5

12 =11 11 121

23 23 3= =9 9

13 3=

10 1022 =10 10

12 =10 1000

32 =10 10

13 3=10 100

23 3=

F

26 × 56 = (2 × 5)6 = 106 réponses possibles

45 × 55 = (4 × 5)5 = 205 réponses possibles

1) Test 1 : 610 réponses possibles

2) Test 2 : 310 réponses possibles

610 ÷ 310 = 210

1) am × bm = (a × b)m

43 × 253 = (4 × 25)3 = (100)3 = 1 000 000

18 × 2 = (18 × 2) = 6

2) am ÷ bm = (a ÷ b)m

204 ÷ 24 = (20 ÷ 2)4 = 104 =10 000

128 ÷ 2 = (128 ÷ 2) = 4

13

3 13

3 19

18

22

2 2( ) ÷ = ÷( ) = ( ) =11

13

13

13

2 12

2 12

177 7

× ( ) = ×( ) =

12

12

12

D

C

B

A

Manuel • p. 33

Des tas de possibilitésACTIVITÉD’EXPLORATION 3

Ai-je bien compris?

1. a)

b)

c)

d)

2. a)

b)

c) 10 413

1

× 3313

13

135 10 4 5 8 2÷ = × ÷ = =( )

40 2 5 40 2 5 16 412

12

12

12÷ = ÷ = =, ( , )

8 50 8 50 412

12

12× = × =( ) 000 20

12 =

20 5 4 4 212

12÷( ) = = =

25 2 5 13÷( ) =, 00 10003 =

9 3 27 27 313

13 3×( ) = = =

8 14

2 1287

7×( ) = =


Nombre d’années

Nombrede cellules

0 1

1 64

2 4 0963 262 144

4 16 777 216

5 1 073 741 824

6 68 719 476 736

Nombre d’années

Nombrede cellules

2,1 6 208,375 056

2,2 9 410,136 924

2,3 14 263,100 43

2,4 21 618,817 61

2,5 32 768

2,6 49 667,000 45

2,7 75 281,095 392,8 114 104,803 4

Nombre d’années

Nombrede cellules

2,71 78 477,964 39

2,72 81 810,590 85

2,73 85 284,739 84

2,74 88 906,421 2

2,75 5 931 641,602

2,76 96 617,707 422,77 100 720,651 9


Mise en pratique


a) 1 et 2

b) 7 et 8

c) 3 et 4

d) 15 et 16

e) 5 et 6

f ) 20 et 21


a) 5 cm

b) 100 cm

c) cm

d) cm


a) 5

b) 6

c)

d) –

e) 9

f )

g) = 0,1

h) –1


a) ≈ 2,24

b) ≈ 1,82

c) ≈ 129,64

d) ≈ 21,54


a)

b) 64

c) = = 0,2

d) 4

e)

f ) 16

g)

h) 19

43

116

15

210

25

110

14

12

17

52

13

Manuel • p. 36


a) Faux b) Vrai c) Faux d) Vrai


a) (4 × 5)3 = 203 = 8 000

b)

c) (20 × 5)3 × 34 = 1003 × 34

= 1 000 000 × 81 = 81 000 000

d)

e) (2 × 72) = 144 = 12

f )

g) (100 × 80) = 8 000 = (8 × 1 000)

= (23 × 103) = 20

h) (2 × 200) = 400 = (4 × 100) = (22 × 102)

= 203 = 8 000

i ) (25 × 40) = 1 000 = (103) = 102 = 100


a) Impossible, car il n’existe pas de nombre réel dont le carré est négatif.

b) –4

c) 16

d) Impossible, car il n’existe pas de nombre réel dont le carré est négatif.


a) Rationnels c) Rationnels

b) Irrationnels d) Rationnels


a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h) ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ( ) = =40

58 2 43

23 2 2

4812

52( ) == =4 32

52

756

18

12

3 3= =

502

25 5= =

37753

125 513

13( ) = =

30015

20 4002

2( ) = =

805

16 412

12( ) = =

287

4 643

3( ) = =

Manuel • p. 37

23

23

23

32

32

32

32

13

13

13

13

12 3 36 36× = =

12

12

6 36 6 6 6 6 63 3 33× = × × = =

3 27 81 9× = =




Le nombre qui, multiplié 4 fois par lui-même, donne 16 ; donc 2, car 2 × 2 × 2 × 2 = 16


a)

b)

c)

d)

e)

f )

g)

h)


Démarche (sans calculatrice)

(un peu moins que 8)

(un peu plus que 8)


a)

b)

c)

15. Niveau de difficulté : moyen (sans calculatrice)

Niveau de difficulté : faible (avec calculatrice)

a)

b)

c)

d) ≠ = = =20125

425

25

, car 00 4 016

20125

016 016

, ,

, ,

≠

= ≠ou

6427

13

13= ( ) = ( ), car 128

54== ( )⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= =4

343

113

313

= ×, car 2 3 55 6 10 18 10 9 2 30 2= = × =

= = = =− − −

, car 1 et2

2 42

2 23

13

3 23

1 13

6

6

12

13

13

1

×

×22

16

16

6

61= =

12 12 132

32

0 0× ×= =

3 3 912

13

2 3 2 2× × × ×= =

2 27 2 3 63× ≈ × ≈ × =2 253

2 17 2 16 2 4 8× ≈ × = × =

4 73× ≈ 44 8 4 2 83× ≈ × =

3 8 3 9 3 3 9× ≈ × ≈ × =

2 25 4 7 2 17 3 813

13

12

12× × × ×, , ,

253

53

3032 2= =

−2210

23

103

123 42 2 2= =

+

16 14 22 2=−

2 5 +− −33 82= −

2 25 1 6+ =

2 2 232 8

192× =

2 210 1

2212

+=

2 252

2 12

−=


a) 2,073 6 × 1020

b) 1,897 366 596 1 × 10–1

c) 1,6 × 1019

d) 3 × 103


La deuxième expression n’est pas équivalente

aux trois autres


a)

b) Faux ; contre-exemple : Prenons

c) Vrai ;

d) Faux ; contre-exemple : a = b = 1: le membre de gauche égale et celui de droite égale 2.


a) 1 000 × = 14 142,14 $

b) 1 000 × 2 = 15 874,01 $ c) Oui


a)

b)


a) Faux ; contre-exemple : a = 2 et n = –3 ; 2–3

est inférieur à 2.

b) Vrai, car la racine de n’importe quel nombre supérieur à 1est toujours inférieur à ce nombre.

c) Faux, contre-exemple : 2 est inférieur à 2.


a)

b)

c)

d) − −× ≈ ×16 7111 10 1 05 10,

45 10 6 7 108× ≈ ×− , −−4

55 10 7 4 108 4× ≈ ×,

32 10 5 7 1010 5× ≈ ×,

12

+ ÷ =900 2 32 32( )ou332 32 32

32 32= ××

= =32 32 4 232

= × × + ÷ =3 2 5 2 32( )

18 50 2 32 9 2 25 2× + ÷ = × × ÷( ) ( ) ÷÷ 32

2 8 48 12 16 4 4 2 6× + ÷ = + = + =

23

2

12

2 13

72= =

+a a

23

53

73 2 3× = ×a a a a aet

: ( )a 331 8 1 9= + = 33 2 1≠ +

Vrai, car a b a b a b313

33

13 3( ) = × =

Manuel • p. 38

56253

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

15

15

15

153; ; ;




a)

b)


Faux ;

contre-exemple :


L’aire d’une surface du cube


a) Rayon = 190 km, donc diamètre = 2 × 190 km

Si D = 380 km, t =

b) D3 = 830 × 182 ; D ≈ 64,55 km

c) D3 = 830 × 202 ; D ≈ 69,24 km

Donc, superficie (aire) =

Consolidation

1.Niveau de difficulté : moyen

a) 5,4 × 107

b) 6 × 105

c) 5 × 10–2

d) 1,2 × 106

e) 7,27 × 107

f ) 3 × 10

2.

Niveau de difficulté : faible

Plusieurs réponses sont possibles. Exemples :

a)

b)

c)

d) 2etπ

8 2et

3 2et

2 2et

Différence entre nombre rationnel

et nombre irrationnel

Loi des exposants, notation scientifique et calculs

Manuel • p. 40

× 6π 99,242

km⎛⎝

⎞⎠ ≈

223765 73,

380830

257123

≈ heures,

64 64 8 4 32 64 23 6× = × = =et

=6 a a116

56≠ a

× = × =312

13

56a a a a a

Manuel • p. 39

6 6 673

6 13

6 33

3= =+ +

cmm2

6 36 6 6 6 623

43

33

43

73 2× = × = =

+cm

3.Niveau de difficulté : moyen


a) (2 × 5)6 = 106 = 1 000 000

b)

c) 51 × 52 = 53 = 125

d) 5 × 5 = 52 = 25

e) 3 × 3 = 32 = 9

f )

g) 125 = 5

h)


a) 40040 = (202)40 = 2080

2080 < 20100 ; 20100 est le plus grand.

b) 942 = (32)42 = 384

2730 = (33)30 = 390 ; 2730 est le plus grand.

c) 880 = (23)80 = 2240

1660 = (24)60 = 2240 ; 880 = 1660

6.Niveau de difficulté : faible

a) La majorité des calculatrices actuelles ne sont pas assez puissantes pour afficher un «gogol ».

b) Cela dépend de la calculatrice, mais en notationdécimale, ce sera une série de 9.

c) Cela dépend de la calculatrice, mais en notationdécimale, ce sera 0, suivi d’une série de 0 qui se termine par 1.

d) Le rapport serait infiniment grand.


a) Il n’existe pas de nombre réel dont le carréest négatif.

b) Le résultat est un nombre trop grand pour la capacité de la calculatrice.

Carré, racine carrée

Notation scientifique et calculs

Loi des exposants

1000 10 10 123 3

23 2= =

=( ) 000

13

324

8 23 3= =

32

12

32

12

4214

3 814

4( ) = =

Loi des exposants

Classsement :7513 < < < < <130 45 60 4 283

12

32

23

≈ =( )75 4 413 3

13 (unpeuplus)

432 == = =( )2 2 82

32 3

28 27 (unpeuplus)23

23≈ ≈ = ≈( )3 3 93

23 2

5≈ =130 125 (unpeup3 3 llus)

4512 ≈ 449 7

12 = (unpeumoins)

60 64 8(unpeumoins)≈ =

Nombre irrationnel et exposant fractionnaire



8. Pas très rationnel

Niveau de difficulté : moyen

1,464 591 888 est une approximation d’unnombre irrationnel, car le cube de ce nombrene donne pas π.

9. Faire les tours du monde


40 075 ÷ 12 756 = 3,141 658 827 22

39 939 ÷ 12 713 = 3,141 587 351 53

Or π = 3,141 592 65… Donc, la courbe duméridien est la plus près du cercle parfait.

10. Mieux vaut proche que pas du tout


La meilleure approximation de π est 1,8 + .

11. Discussion de couple

Niveau de difficulté : élevé

a) Ian a raison.

Preuve : où π est irrationnel et A (aire)

est rationnel (par hypothèse) ; donc, R (rayon)

est nécessairement irrationnel (on peut

procéder aussi par l’absurde).

2=π AR



1 8,

34

3 6 3136155 413

24 2135

3142 337 619

403

3 2

+( ) ≈

≈

−

,

,

≈≈

+ ≈

≈

3 015 077 552

1 8 1 8 3141640 786

19 716

3141

,

, , ,

, 8829 682



Nombre irrationnel π , circonférence d’un cercle

Différence entre nombre rationnel et nombre

irrationnel, cube et racine cubique

Manuel • p. 41 b) Geneviève a tort.

Contre-exemple : Si rayon = unités, alors

aire = 1 unité carrée, un nombre entier et non

irrationnel.

12. Facile à dire


a) Faux ; contre-exemple : (1)2 = (1)4

ou (–1)2 = (–1)6

Nouvelle conjecture : Des puissances de mêmebase non nulle et autre que 1 ou –1, maisd’exposants différents, ne peuvent être égales.

b) Faux ; contre-exemple : 4 = 2

Nouvelle conjecture : Une base correspondantà un nombre premier affectée d’un exposantfractionnaire est une puissance irrationnelle.

c) Faux ; contre-exemple :

Nouvelle conjecture : Plus l’exposant qui affecteune base supérieure à 1 est grand, plus lapuissance est élevée.

d) Faux ; contre-exemple :

Nouvelle conjecture : Le quotient d’un nombreirrationnel par un nombre rationnel est unnombre irrationnel.

e) Faux ; contre-exemple : – π + π = 0

Nouvelle conjecture : Le double d’un nombreirrationnel est un nombre irrationnel.

13. Lune à TIC


a) 25 000 000 000 ÷ 384 402 000 ≈ 65,04 fois ou 25 × 109 ÷ 3,844 02 × 108≈ 65,04 fois

Un peu plus de 65 fois

b) 384 402 ÷ (3 × 105) = 1,28 secondes

Un peu plus qu’une seconde


8 22

=

12

12

2( ) ( )>

12

Loi des exposants, différence entre

nombre rationnel et nombre irrationnel

Manuel • p. 42

1π



14. Double zéro


Les deux ont raison. À cause de ces résultatscontradictoires, on dit que 00 est « indéterminé»(on ne lui attribue a priori aucune valeur).

15. Hors de tout doute


an ÷ an = an – n = a0

Or, an ÷ an = 1 Ainsi, a0 = 1

16. Sous zéro


a) (–a)n = an, lorsque n est pair

(–a)n = –an, lorsque n est impair

b)

17. Dans les deux sens


a) Vrai. Chaque nombre peut être arrondi audixième près, il peut donc s’écrire avecdeux chiffres significatifs et un ordre degrandeur exprimé par une puissance de 10.

b) Faux. La notation scientifique fournit un ordrede grandeur du nombre et non la valeur exactedu nombre. Exemple : 1,1 × 102 peut être uneapproximation de 110, 111, 112…

18. Tendons la main


Supposons que chaque personne occupe 1,5 men tendant les mains.

2,45 × 104 km = 2,45 × 107 m d’autoroute

La population pourrait occuper 3,1 × 107 × 1,5= 4,65 × 107 m

C’est donc possible !


Chiffres significatifs, notation scientifique

Manuel • p. 43

1

1 11 1

aa

a aa a a

nn

n n

n

n

n

nn

( ) =

( ) = = = =

−

− −

−

Loi des exposants

Loi des exposants

Base 0, exposant 0, nombre indéterminé

19. Salaire en poche


a) Supposons qu’ils commencent leur journée detravail à 9 h. La salaire moyen de la personneriche : 38 100 ÷ 46 ≈ 828,26 $/minute

b) Supposons qu’ils travaillent 35 heures/semaine…réparties sur 7 jours, cela fait 5 heures par jour.

365 jours × 5 heures × 60 minutes= 109 500 minutes

109 500 minutes × 828,26 = 9 094 470 $

Le salaire annuel moyen est de 9 094 470 $.

c) =

x ≈ 19,233 4 min

S’il commence à travailler le 2 janvier à 9 h, à 9 h19 min 14 sec, il aura fait 15 931 $.

20. Plus grand que 2 222


2222 ; ordre de grandeur : 1066

21. La grande plage d’Archimède


Si j’ai 1063 grains dans un cube, j’ai grainssur une arête.

a) 1021 × 1 mm = 1021 mm

b) 1021 × mm = 5 × 1020 mm

c) 1021 × = 3,3 × 1020 mm

d) 1021 × = 2,5 × 1025 mm14

13

12

10633

Cube et racine cubique

Manuel • p. 44

Ordre de grandeur, notation scientifique

15 931 $x

828,26 $min

Ordre de grandeur, manipulation de grands nombres



22. Exactement Niveau de difficulté : moyen

23. x et fractions: tout un duo!


a) b) x x= =162

1632

32

3

32

22162

43

23

2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= =( )( )

x = = ( ) = =225

75

22575

3 3

12

12

12

12

Loi des exposants

–1 0 1 22–1 0 1 22–1 0 1 22 8 = 2 2

f )

3 2

22

–1 0 1 2 222

e)

3 2–1 0 1 2 2

d)

–1 0 1 2 2 1− 2

c)

–1 0 1 2 2 1+ 2

b)

–1 0 1 22 2

a)

Nombre irrationnel2



24. Carré solaire


25. Records à battre


a) 7,17 592 × 10–4 × 24 × 60 × 60 ≈ 62 s. Le chirurgien a complété

le jeu Opération en 62 secondes.

b) 71,3 × 106 ÷ 45 000 ≈ 1 584. Environ 1 584 personnes se sont couchées sur la neige.

c) 2π × ( ) × 18 ÷ 360 = 169 m. Le pont pédestre de Coaticook est le plus long du monde, il mesure 169 m.

26. Une spirale en construction


a) Réponse visuelle

b) de circonférence d’un cercle de rayon de 1 cm = × 2π × 1 =

de circonférence d’un cercle de rayon de 1 cm = × 2π × 1 =

de circonférence d’un cercle de rayon de 2 cm = × 2π × 2 = π



de circonférence d’un cercle de rayon de 8 cm = × 2π × 8 = 4π14

14

5π2

14

14

3π2

14

14

14

14

π2

14

14

π2

14

14

Nombre irrationnel, circonférence d’un cercle

1690


50 01

500 500 22 362

,,= ≈cm cm

Carré et racine carrée

Manuel • p. 45


13

8

8 5

5

3

3

13 21

21

2

2

11




de circonférence d’un cercle de rayon de 34 cm = × 2π × 34 = 17π


Ainsi, la somme de tout cela égale :

(1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55)

= 143 cm

≈ 224, 62 cm

27. Le poids des responsabilités


Ingénieur : 1 000 (99 – 70 ) = 99 000 – 70 000 = 5,05 tonnes

Panneau : 1 000 (99 – 70 × 1,4) = 1 000 (99 – 98) = 1 000 tonnes

28. En orbite


Une année = 365 × 24 = 8 760 heures

11 052,71 × 8 760 = 96 821 739,6 km en une année

v = × ≈, ,515 1042157

11052 7112

km/h


22

Nombre irrationnel

Manuel • p. 46

π2

π2

55π2

14

14

14

14

21π2

14

14

13π2

14

14



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(2437-GE-A) Intersection Corrigé Man Chap1 p1-20.qxd … · Section1 La notation scientifique et les lois des exposants Une goutte dans l’océan Plusieurs démarches sont possibles