116

2.2.Sınırlı DizilerKümelerin sınırlılığı kavramını daha önce görmüştük. Bir dizinin sınırlılığı kavramı ise dizinin

değerler kümesinin sınırlılığı olarak verilecektir. Önce üstten ve alttan sınırlı dizi kavramlarını verelim:

2.2.1.Tanım. (Üstten sınırlı dizi). Eğer her n pozitif tamsayısı için a£na olacak

şekilde bir a sabit sayısı bulunabiliyorsa )( na dizisine üstten sınırlıdır denir ve a sayısına da

)( na dizisinin bir üst sınırı adı verilir. O halde bir )( na dizisinin üstten sınırlı olması demek

}:{ INnan Î değerler kümesinin üstten sınırlı olması demektir. Tamlık aksiyomundan dolayı reel

sayılar kümesinin üstten sınırlı boş olmayan her kümesinin en küçük üst sınırı var olacağından, reel

terimli bir )( na dizisinin üstten sınırlı olması için gerek ve yeter koşul }:{ INnan Î kümesinin

supremumunun var olmasıdır. }:sup{ INnan Î ifadesi yerine nINn aÎsup veya nasup

sembollerinden birisi kullanılır. Buna göre bir )( na dizisinin üstten sınırlı olması için gerek ve

yeter koşul a£nasup olacak şekilde bir a sabit sayısının var olmasıdır.

Örnek ))1(()( nna -= , )1()(

nnbn+

= , ))1(1()(n

cn

n-+

= dizileri üstten sınırlıdır ve

1sup =na , 2sup =nb , 1sup =nc dir, fakat )()( 2ndn = üstten sınırsızdır.

2.2.2.Tanım. (Alttan sınırlı dizi). Eğer her n pozitif tamsayısı için b³na olacak

şekilde bir b sabit sayısı bulunabiliyorsa )( na dizisine alttan sınırlıdır denir ve b sayısına da

)( na dizisinin bir alt sınırı adı verilir. O halde bir )( na dizisinin alttan sınırlı olması demek

}:{ INnan Î değerler kümesinin alttan sınırlı olması demektir. Reel sayılar kümesinin alttan sınırlı

boş olmayan her alt kümesinin en büyük alt sınırı var olacağından, reel terimli bir )( na dizisinin

alttan sınırlı olması için gerek ve yeter koşul }:{ INnan Î kümesinin infimumunun var olmasıdır.

}:inf{ INnan Î ifadesi yerine nINn aÎinf veya nainf sembollerinden birsi kullanılır. Buna

göre bir )( na dizisinin alttan sınırlı olması için gerek ve yeter koşul b³nainf olacak şekilde

bir b sabit sayısının var olmasıdır.

Örnek. ))1(()( nna -= , )1()(

nbn = , ))1(1()(

nc

n

n-+

= , )()( 2ndn = , ))(()( nn ne =

)()( 3nf n = dizileri alttan sınırlıdır ve 1inf -=na , 0inf =nb , 0inf =nc , 1inf =nd ve

1inf =ne ve 1inf =nf dir, fakat )()( ng n -= dizisi alttan sınırsızdır. Bu dizilerden )( nd

ve (fn) dizileri hariç diğerleri üstten de sınırlıdır.

2.2.3.Tanım. (Sınırlı dizi). Eğer her n pozitif tamsayısı için Kan £ olacak şekilde bir

K sabit sayısı bulunabiliyorsa )( na dizisine sınırlıdır denir.

Buna göre bir )( na dizisinin sınırlı olması için gerek ve yeter koşul Kann =sup olacak

şekilde negatif olmayan bir K sabit sayısının var olmasıdır.

MatematikNet.Com

117

O halde bir )( na dizisinin sınırlı olması demek }:{ INnan Î değerler kümesinin sınırlı

olması demektir. Tamlık aksiyomundan dolayı, reel sayılar kümesinin üstten sınırlı boş olmayan her

alt kümesinin bir en küçük üst sınırı var olacağından ve reel sayılar kümesinin alttan sınırlı boş

olmayan her alt kümesinin bir en büyük alt sınırı var olacağından, reel terimli bir )( na dizisinin

sınırlı olması için gerek ve yeter koşul }:{ INnan Î kümesinin infimumunun ve supremumunun

var olmasıdır. Buna göre bir )( na dizisinin sınırlı olması için gerek ve yeter koşul b=nainf

ve a=nn asup olacak şekilde b ve a sabit sayılarının var olmasıdır. Buradan da bir )( na

dizisinin sınırlı olması için gerek ve yeter koşulun hem alttan hem de üstten sınırlı olması olduğu

görülmektedir.

Örnek 1. ))1(()( nna -= , )1()(

nbn = , ))1(1()(

nc

n

n-+

= , )()( nn nd = dizileri

sınırlıdır ve 1sup =na , 1sup =nb , 1sup =nc ve 3 3sup =nd dir, fakat )()( 2nen =

üstten sınırsız olduğundan sınırsızdır.

Örnek 2. ( ) ))11(( nn n

e += dizisi sınırlıdır. Gerçekten, her n pozitif tamsayısı için

0>ne olduğundan )( ne alttan sınırlıdır. Her n pozitif tamsayısı için

n

n

nn

n

n

nnnn

nnnnn11...11)11( 1

12

210÷÷ø

öççè

æ+÷÷

ø

öççè

æ++÷÷

ø

öççè

æ+÷÷

ø

öççè

æ+÷÷

ø

öççè

æ=+

--

nn nnnnnn

nnnnnn

nnn

nn 1

!))1()...(1(1

)!1())2()...(1(...1.

2.1)1(11 12

---+

----

++-

++= -

nnn

nnn

nnn

nnn

nnn ).1....(3.2.1

)11)...(21)(11(

)1).(2....(3.2.1

)21)...(21)(11(...)21)(11.(1.

3.21)11.(1.

2.1111

-

----

+--

----

++--+-++=

nnnn )1(1

)1)(2(1...

3.21

2.1111

-+

--+++++<

313)1)1(

1()1

12

1(...)31

21()

211(11 <-=-

-+

--

-++-+-++£

nnnnn

olup, )( ne dizisi üstten sınırlıdır. Hem üstten hem de alttan sınırlı olduğu için bu dizi sınırlıdır.

2.2.4.Teorem. Yakınsak diziler sınırlıdır.

İspat. Yakınsak herhangi bir dizi ( )na olsun. aann =¥®lim diyelim. Î=1 pozitif sayısı için

1nn > olduğunda 1<- aan olacak şekilde , 1 sayısına bağlı bir 1n pozitif tam sayısı vardır.

Her INnÎ için

aaaa nn -£-

olduğundan

118

aaaa nn +-<

dır, dolayısıyla 1nn > olduğunda 1+< aan dir. Şimdi

{ } Kaaaa n =+1,,...,,max121

yazalım. Bu takdirde her n pozitif tamsayısı için Kan £ elde edilir. Bu ise

( )na dizisinin sınırlı olmasını verir ki bu da teoremin ispatını tamamlar.

Bu teoremin karşıtı her zaman doğru olmak zorunda değildir. Yani sınırlı her dizi yakınsak

olmak zorunda değildir. Bununla ilgili aşağıdaki örneği veriyoruz.

Örnek. ))1(()( nna -= dizisi sınırlı fakat yakınsak değildir.

2.2.5.Teorem. Sınırlı her reel sayı dizisinin en az bir yakınsak alt dizisi vardır.

İspat. ( )na herhangi bir sınırlı reel sayı dizisi olsun. O halde Kann =sup olacak şekilde bir

0³K sayısı vardır. Şimdi

þýü

îíì

³= dirsaiçinindisinçokluktaSonsuzsS n:

kümesini gözönüne alalım. SK Î- dir, dolayısıyla f¹S dır. Her n pozitif tamsayısı için

Kan £ olduğundan, KasiseSs n ££Î özelliğini sağlayan sonsuz çoklukta n indisi

vardır. Buna göre her KsiçinSs £Î dır. O halde S kümesi üstten sınırlıdır. Tamlık

aksiyomundan dolayı S kümesinin en küçük üst sınırı vardır, yani a=Ssup olacak şekilde bir

IRÎa vardır. Bu takdirde her a£Î siçinSs dır ve her 0Î> için sÎ<-a olacak

şekilde bir s vardır. Özel olarak 1Î= sayısı için 111

+<<- aa ka olacak şekilde bir1ka

terimi vardır.21

Î= sayısı için21

21

2+<<- aa ka olacak şekilde ve 12 kk > özelliği

sağlanacak şekilde bir2ka terimi vardır.

31

Î= sayısı için31

31

3+<<- aa ka olacak şekilde

ve 23 kk > özelliği sağlanacak şekilde bir3ka terimi vardır. Benzer şekilde devam ederek, her n

pozitif tam sayısı için,n1

Î= sayısı içinn

an nk

11+<<- aa olacak şekilde ve 1-> nn kk

özelliği sağlanacak şekilde birnka terimi vardır. Bu işleme ardışık olarak devam ederek, ( )na

dizisinin bir ( )nka alt dizisini elde ederiz. Her n pozitif tamsayısı için

na

n nk11

+<<- aa

119

eşitsizliği sağlanır. ( ) )1(n

bn -= a , ( ) )1(n

cn += a yazarsak, nkn cabn<< eşitsizliği sağlanır

ve a== ¥®¥® nnnn cb limlim dır. Sıkıştırma teoreminden dolayı a=¥® nkn alim elde

edilir. Böylece sınırlı ( )na dizisinin yakınsak bir ( )nka alt dizisini bulduk. Bu da teoremin

ispatını tamamlar.

2.2.6.Teorem. ( )na ve ( )nb yakınsak iki dizi ise

)).(lim(limlim nnnnnnn baba ¥®¥®¥® =

dir. (Çarpımın limiti limitler çarpımına eşittir.).

İspat. ( )na ve ( )nb yakınsak herhangi iki dizi olsun. aann =¥®lim ve bbnn =¥®lim

diyelim. Her yakınsak dizi sınırlı olacağından, yakınsak olan ( )na dizisi sınırlıdır, dolayısıyla her

pozitif n tamsayısı için Kan £ olacak şekilde bir pozitif sabit K sayısı vardır. Şimdi herhangi

bir 0Î> verilsin.

Eğer 0=b ise 0nn > olduğundaK

bnÎ

< olacak şekilde bir 0n sayısı bulunur ki

=ÎÎ

<£=K

KbKbaba nnnnn .. eşitsizliği elde edilir ve dolayısıyla

)).(lim(limlim nnnnnnn baba ¥®¥®¥® = bulunur ki bu da iddianın doğruluğunu verir.

Şimdi 0¹b kabul edelim. bbnn =¥®lim olmasından dolayı 1nn > olduğunda

Kbbn 2

Î<- olacak şekilde bir 1n doğal sayısı vardır. Diğer taraftan aann =¥®lim

olduğundan 02

>Îb

sayısı için 2nn > olduğundab

aan 2Î

<- olacak şekilde bir 2n

sayısı vardır. { } 021 ,max nnn = diyelim. Bu takdirde 0nn > olduğunda

)()( aabbbaabbababaabba nnnnnnnnn -+-=-+-=-

aabbbaaabbba nnnnnn -+-=-+-£ )()(

=ÎÎ

+Î

=Î

+Î

<-+-£222

.2 b

bK

KaabbbK nn

bulunur. Bu da teoremin ispatını tamamlar.

Örnek. 11.1)11(lim).11(lim)11).(11(lim ==--=-- ¥®¥®¥® nnnn nnn dir.

2.2.7.Teorem. ( )nb yakınsak dizi, her n pozitif tamsayısı için 0¹nb ve

0lim ¹¥® nn b ise )1(nb

dizisi sınırlıdır.

120

İspat. bbnn =¥®lim diyelim ve her n pozitif tamsayısı için 0¹nb ve 0¹b olsun. 0>b

varsayalım. bbnn =¥®lim olduğundan dolayı, her 0Î> sayısı için 0nn > olduğunda

<Î- bbn olacak şekilde bir 0n sayısı vardır. Özel olarak,2b

Î= sayısı için de 1nn >

olduğunda2bbbn <- olacak şekilde bir 1n pozitif tamsayısı vardır. Buradan 1nn >

olduğunda22bbbb

n <-<- olur, dolayısıyla

1nn > olduğunda22bbbbb n +<<- olur ve dolayısıyla 1nn > olduğunda

23

2bbb

n <<

olur. Buradan 1nn > olduğundann bbb

2132

<< elde edilir. Şimdi

Kbbbb n

=ïþ

ïýü

ïî

ïíì 2,1,...,1,1max

121

yazalım. Bu

takdirde her n pozitif tamsayısı için Kbn

£1

olur. O halde )1(nb

dizisi sınırlıdır.

Şimdi de 0<b varsayalım. Her nÎIN için nn bc -= yazalım. Bu takdirde

0lim)(limlim 1 >=-=-=-= ¥®¥®¥® bbbbc nnnnnn dır. 01 >b olduğundan yukarıda

yaptığımız ispat dolayısıyla, Kbbc nnn

£=-

=111

olacak şekilde bir K sabiti vardır. O halde

)1(nb

dizisi bu durumda da sınırlıdır. Bu da ispatı tamamlar. 2.2.8.Teorem. ( )nb yakınsak dizi,

her n pozitif tamsayısı için 0¹nb ve 0lim ¹¥® nn b ise )1(nb

dizisi de yakınsaktır ve

bbnn

11lim =¥® dir.

İspat. )( nb dizisi yakınsak olduğundan ve her n pozitif tamsayısı için 0¹nb ve

0lim ¹¥® nn b olduğu için bir önceki teoremden dolayı )1(nb

dizisi sınırlıdır, yani

her n pozitif tamsayısı için Kbn

£1

olacak şekilde bir K pozitif sabit sayısı vardır.

0lim ¹¥® nn b olduğundan, 0Î> verildiğinde 0.Î>Kb

sayısına karşılık 0nn > olduğu

121

zaman Î<- .Kb

bbn olacak şekilde bir 0n sayısı vardır. Bu takdirde 0nn > olduğu zaman

Î=Î<-£-=-

=- ..1..1..1.1.

11Kb

bKbb

bKbb

bbbbbb

bb nnnn

n

n

olur. Bu dannn

n bbb ¥®¥¬ ==

lim111lim olmasını gerektirir ki böylece teoremin ispatı

tamamlanmış olur.

MatematikNet.Com