Provjera valjanosti, zadovoljivosti i istovrijednosti

metodom

REDUCTIO AD ABSURDUMRAA

Reductio ad absurdum svođenje na nemoguće

Postupak istinitosnih vrednovanja bez ispisivanja istinitosnih tablica:

• Ovim postupkom se na početku dokaza pretpostavlja suprotno od onoga što se želi dokazati. Ako se na kraju dokaza (u slijedu istinitih tvrdnji) dođe do kontradikcije, znači da je početna pretpostavka neodrživa i time je dokaz završen.

• Dijete: Svi moji prijatelji to smiju raditi, zašto ne i ja?• Mama: A da svi tvoji prijatelji skoče sa zgrade, bi li i ti?

Ovdje se implicitno koristi zakon kontradikcije (odnosno zakon o neproturječnosti) koji tvrdi da jedna kategorična izjava ne može biti istovremeno i istinita i neistinita.

Također je ovdje bitan i zakon isključenja treće mogućnosti: Dakle jedna kategorična izjava ne može biti istovremeno ni istinita ni neistinita. Drugim riječima, ako nije istinita, ona mora biti neistinita i obrnuto.

a) Provjera valjanosti iskaza valjan iskaz (općevaljan – tautologija) je onaj koji je istinit za svako istinitosno vrjednovanje.

Andrija ili Stjepan znaju talijanski ili ni Andrija ni Stjepan ne znaju talijanski: (A S) (A S)

I. način provjere: Provjera se može izvesti preko istinosne tablice:(postupak je ponekad nespretan i dugotrajan)

II. način provjere: metoda reductio ad absurdun RAA (dovođenjem do apsurda)

Valjanost iskaza provjeravamo gradeći redak za neistinitost cijeloga iskaza. Dovede li to do nesklada među istinitosnim vrijednostima, iskaz je valjan, a u protivnom slučaju nije valjan:

(Iako je ovdje opisani postupak razdvojen u zasebne korake, sve opisano izvodi se u jednom retku.)

1. označimo cijeli iskaz neistinitim: (stavljamo n ispod “glavnog” poveznika koji spaja dijelove formule u cjelinu poštujući zagrade)

(A S) (A S) n 2. upišemo istinitosne vrijednosti pod poveznike po kojima bi taj cijeli iskaz bio n (neistinit):

(A S) (A S) n n n 3. upišemo istinitosne vrijednosti pod sudove koji zadovoljavaju već upisane ispod poveznika:

(tako ste “otkrili” istinitosnu vrijednost pojedinih sudova, koju prenosite kroz cijeli iskaz)

(A S) (A S) n n n n i n n i n

4. prekrižimo onu stranu izraza koja ne zadovoljava:(A S) (A S)

n n n n i n n i n 5. zaključimo da je (ili nije) došlo do nesklada (apsurda) pa je iskaz valjan (ili nije valjan ukoliko je došlo do sklada)

A S (AS) (A S)

i i i i n n n

i n i i n n i

n i i i i n n

n n n i i i i

primjer 1) B (A B) n i n n n i

Desna bi disjunkcija trebala biti neistinita što je nemoguće (apsurdno) jer je jedan disjunkt (B) istinit. Zadani iskaz valjan, tj. iskaz je tautologija.

primjer 2) Metodom RAA provjerite je li iskaz valjan (tautologija) a provjerite to i gradnjom istinosne tablice.

p q (p q) (p q)

i i i i i i i i i

i n i n n i i i n

n i n n i i n i i

n n n n n i n n n

(p q) (p q) i i i n i n i

Iskaz je valjan jer je disjunkcija neistinita a trebala bi biti istinita.

primjer 3) Da li je navedeni iskaz tautologija; a kakav je provjerite tablicom:

((p q) q p)

n i i i n n i i n izaključimo da je došlo do sklada pa iskaz nije valjan, tj.

nije tautologija.

Iz tablice je vidljivo da je iskaz nezadovoljiv, tj. kontradikcija.

p q (p q) q p

i i n i i i n n i i n i

i n i i n n n i n n n i

n i n n i i n n i i i n

n n n n i n n i n i i n

provjera ekvivalencije

Ekvivalenciju također možemo provjeriti metodom RAA ali u dva koraka, jer prema tablici ekvivalencije, ona je istinita u dva slučaja.

primjer 4) Da li je navedeni iskaz tautologija:

(AB) (A B)

1. korak i i n n n i n n

2. korak i n n n n i i n

zaključimo da je iskaz tautologija jer se u oba slučaja došlo do apsurda.

b) Provjera zadovoljivosti iskazaIskaz koji je istinit barem za jedno istinitosno

vrjednovanje, jest zadovoljiv!

• Za zadovoljivost iskaza, ili nekoga skupa iskaza, dosta je izgraditi jedan redak u kojem je dotični iskaz, odnosno svi iskazi koji su članovi zadanoga skupa, istinit.

• Ne uspijemo li izgraditi takav redak, iskaz je, odnosno skup iskaza, nezadovoljiv.

primjer: Provjerite da li je skup ovih triju iskaza zadovoljiv:

A B A B A B n i i n i n i i n i i

Sva tri iskaza mogu biti istiniti u istom istinitosnom

vrjednovanju. Stoga je skup što ga čine - zadovoljiv.

Anica nije otputovala u Španjolsku, nego u Portugal. S P

i n i iIskaz je zadovoljiv jer postoji redak u kojem je iskaz

istinit.

Vinko je otputovao, iako nije ponio svoj kovčeg.O P

i i i nIskaz je zadovoljiv jer postoji redak u kojem je iskaz

istinit.

Matija i Andrija ne žive i žive u Varaždinu. (M A) (M A)

n i i i i i i iIskaz nije za zadovoljiv jer ne postojiredak koji bi bio istinit.

P S S P

i i n n i

i n i i i

n i n n n

n n i n n

O P O P

i i i n n

i n i i i

n i n n n

n n n n i

A M (M A) (M A)

i i n i i i n i i i

i n i n n i n n n i

n i n i n n n i n n

n n i n n n n n n n

primjeri: Provjerite da li su slijedeći iskazi zadovoljivi. Provjerite to i izgradnjom istinosne tablice.

c) Provjera istovrijednost iskazaIskazi koji za svako istinitosno vrjednovanje

imaju međusobno jednake istinitosne vrijednosti, jesu istovrijedni (ekvivalentni).

• Za istovrijednost iskaza (metodom RAA) gradimo retke u kojima iskazi imaju različitu istinitosnu vrijednost. Vodi li to uvijek do nesklada, iskazi su istovrijedni. Izgradimo li uspješno već i samo jedan redak, iskazi nisu istovrijedni.

primjer 1)

P (Q Q) Pi n i i n i ii i i i n i n U oba slučaja to vodi do nesklada pa su oba para istovrijedni.

primjer 2)

P (Q Q) Pi n i n n i ii i i n n i n U oba slučaja to vodi do nesklada pa su oba para istovrijedni.

primjer 3)

P (Q Q) Pi i i n n i ii n i n n i n U oba slučaja to vodi do sklada pa su oba para neistovrijedni.

primjer 4)

Poznata istovrijednost je svođenje konjunkcije na disjunkciju (jedan De Morganov zakon): (P Q) P Q. Provjerimo ga metodom RAA i kroz tablicu.

(P Q) P Q i i n i n i n n i

• U lijevome bi iskazu konjunkcija trebala biti neistinita, a oba konjunkta istiniti.

(P Q) P Q n i i i n i i n i

• U desnome bi iskazu disjunkcija trebala biti istinita a oba disjunkta neistiniti.

U oba slučaja to vodi do nesklada. Iskaz (P Q) i iskaz P Q, su istovrijedni.

P Q   (P Q) P Q

i i  n i i i  n i n n i

i n i i n n n i i i n

n i  i n n i  i n i n i

n n  i n n n  i n i i n

(P Q) P Q