2020 MKE 4 · 2020. 10. 21. · Modul: KONSTRUKCIJE Godina/Semestar: IV/VII semestar ... 4. Q4 konačni element ‐prirodne koordinate GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU,

Beograd, 2020.

Sva autorska prava autora prezentacije i/ili video snimaka su zaštićena. Snimak ili prezentacija se mogu koristiti samo za nastavu nadaljinu studenta Građevinskog fakulteta Univerziteta u Beogradu u školskoj 2020/2021 i ne mogu se koristiti za druge svrhe bez pismene

saglasnosti autora materijala.

Studijski program: GRAĐEVINARSTVO

Modul: KONSTRUKCIJEGodina/Semestar: IV/VII semestar

Naziv predmeta (šifra):METOD KONAČNIH ELEMENATA (B2K4KE)

Nastavnik: V. prof. dr Marija Nefovska‐Danilović

Naslov predavanja: Četvrta nedeljaDatum : 26.10.2020.

Univerzitet u Beogradu – Građevinski fakultet www.grf.bg.ac.rs

Katedra za tehničku mehaniku i teoriju konstrukcijawww.inp.grf.bg.ac.rs

Q4 (bilinearni) konačni element

GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU, 2020

𝐮 𝑥, 𝑦 𝑢 𝑥, 𝑦𝑣 𝑥, 𝑦

1u1

v1

x

yA(x,y)

1. Vektor pomeranja u čvorovima

2. Vektor pomeranja u tački A

3. Polje pomeranja

4. Polje napona

5. Osnovna jednačina KE

𝐪 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣

2u2

v2

3u3

v34

u4

v4

a

b


Q4 konačni element ‐ polje pomeranja

𝑢 𝑥, 𝑦 𝛼 𝛼 𝑥 𝛼 𝑦 𝛼 𝑥𝑦𝑣 𝑥, 𝑦 𝛼 𝛼 𝑥 𝛼 𝑦 𝛼 𝑥𝑦 𝐮 𝑥, 𝑦 𝐀 𝑥, 𝑦 ⋅ 𝛂

𝐪 𝐂 ⋅ 𝛂𝛂 𝐂 ⋅ 𝐪

𝐮 𝑥, 𝑦 𝐍 𝑥, 𝑦 ⋅ 𝐪𝑢 0,0 𝑢 𝛼𝑣 0,0 𝑣 𝛼⋮𝑢 0, 𝑏 𝛼 𝛼 𝑏 𝑣 0, 𝑏 𝛼 + 𝛼 𝑏

Paskalov trougao


𝐮 𝑥, 𝑦 𝐍 𝑥, 𝑦 ⋅ 𝐪

Q4 konačni element – interpolacione funkcije Definišu vezu između pomeranja u proizvoljnoj tački konačnog elementa i pomeranja čvorova

𝐍 𝑥, 𝑦 𝑁 0 𝑁 0 𝑁 0 𝑁 00 𝑁 0 𝑁 0 𝑁 0 𝑁

𝑁 𝑥, 𝑦1

𝑎𝑏 𝑎 𝑥 𝑏 𝑦 𝑁 𝑥, 𝑦1

𝑎𝑏 𝑥 𝑏 𝑦

𝑁 𝑥, 𝑦1

𝑎𝑏 𝑥𝑦 𝑁 𝑥, 𝑦1

𝑎𝑏 𝑎 𝑥 𝑦


𝜀 = 𝛼 𝛼 𝑦

𝜀 = 𝛼 𝛼 𝑥

𝛾 = 𝛼 𝛼 𝑥 𝛼 𝛼 𝑦

𝛆 𝑥, 𝑦𝜀𝜀𝛾

𝐋𝐮

𝐮 𝑥, 𝑦 𝐍 𝑥, 𝑦 ⋅ 𝐪

𝛆 𝐋 𝐍𝐪 𝐋𝐍 𝐪 𝐁𝐪

Q4 konačni element – polje deformacija

x, u

y, v

x

y

y

y

x x

𝐁

𝜕𝑁𝜕𝑥 0

𝜕𝑁𝜕𝑥 0

𝜕𝑁𝜕𝑥 0

𝜕𝑁𝜕𝑥 0

0𝜕𝑁𝜕𝑦 0

𝜕𝑁𝜕𝑦 0

𝜕𝑁𝜕𝑦 0

𝜕𝑁𝜕𝑦

𝜕𝑁𝜕𝑦

𝜕𝑁𝜕𝑥

𝜕𝑁𝜕𝑦

𝜕𝑁𝜕𝑥

𝜕𝑁𝜕𝑦

𝜕𝑁𝜕𝑥

𝜕𝑁𝜕𝑦

𝜕𝑁𝜕𝑥

𝐁1

𝑎𝑏 𝑦 𝑏 0 𝑦 𝑏 0 𝑦 0 𝑦 0

0 𝑥 𝑎 0 𝑥 0 𝑥 0 𝑥 𝑎𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝑥 𝑦 𝑏 𝑥 𝑦 𝑥 𝑎 𝑦


Q4 konačni element – polje napona

Stanje napona i deformacija je LINEARNO unutar konačnog elementa

Nedostatak: Mogućnost aproksimacije samo pravolinijskih kontura


Q4 konačni element – osnovna jednačina MKE

𝐊 𝐪 𝐐

Kako dolazimo do ove jednačine?

Primenom PVR ili PMPE

Fizičko značenje osnovne jednačine MKE?

Ravnoteža u čvorovima konačnog elementa

Matrica krutosti

Vektor čvornih sila

𝐊 𝑡 𝐁 𝐄𝐁𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐐 𝐍 𝐩 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

Q4 konačni element ‐ prirodne koordinate


1

y

2

34

a

b





Nedostaci konačnog elementa Q4


Q4 konačni element nije u stanju da opiše naponsko‐deformacijsko stanje pri čistom savijanju

“Shear locking”

Stvarna deformacija Deformacija konačnog elementa

Stvarno naponsko‐deformacijsko stanje pri čistom savijanju


𝜎 𝐸𝜃2𝑎 𝑦

𝜎 𝜏 0

𝑢 𝑦𝜕𝑣𝜕𝑥

𝜀 𝜅𝑦𝜕 𝑣𝜕𝑥 𝑦

𝜅1𝜌

𝜃2𝑎

𝜀𝜃2𝑎 𝑦

𝜀 𝜈𝜀 𝜈𝜃2𝑎 𝑦

𝛾 0

𝐴12 𝜎 𝜀 𝜎 𝜀 𝜏 𝛾 𝑑𝑉

12 𝜎 𝜀 𝑑𝑉 𝐸𝑡

23

𝜃2𝑎 𝑎𝑏

𝑊 𝑀 𝜃

Polje pomeranja Q4 elementa


Pomeranje kao krutog tela

𝑢 𝛼 𝑣 𝛼 𝑢 𝛼 𝑦 𝑣 𝛼 𝑥𝛼 𝛼

Stanje konstantne deformacije

𝑢 𝛼 𝑥 𝑣 𝛼 𝑦 𝑢 𝛼 𝑦 𝑣 𝛼 𝑥 Savijanje

𝑢 𝛼 𝑥𝑦 𝑣 𝛼 𝑥𝑦

Deformacija konačnog elementa


𝑢 𝑥, 𝑦𝜃2𝑎 𝑥 ⋅ 𝑦

𝑣 𝑥, 𝑦 0

𝜀𝜃2𝑎 𝑦

𝜀 0

𝛾𝜃2𝑎 𝑥

𝜎𝐸

1 𝜈𝜃2𝑎 𝑦

𝜎 𝜈𝐸

1 𝜈𝜃2𝑎 𝑦

𝜏𝐸

2 1 𝜈𝜃2𝑎 𝑥

𝐴12 𝜎 𝜀 𝜎 𝜀 𝜏 𝛾 𝑑𝑉

12 𝜎 𝜀 𝜏 𝛾 𝑑𝑉

𝐸𝑡1 𝜈

𝜃2𝑎

2𝑎𝑏3 1

1 𝜈2

𝑎𝑏

𝑊 𝑀 𝜃

“Shear locking”


𝐴𝐴

𝜃𝜃

11 𝜈

12 1 𝜈

𝑎𝑏

𝑊𝑊

𝑀 𝜃𝑀 𝜃

𝑀𝑀

𝜃𝜃

11 𝜈

12 1 𝜈

𝑎𝑏

𝜃 𝜃 ⇒ 𝑀𝑀

11 𝜈

12 1 𝜈

𝑎𝑏 1 ⇒ 𝑀 𝑀

𝑀 𝑀 ⇒ 𝜃𝜃

1 𝜈

1 1 𝜈2

𝑎𝑏

1 ⇒ 𝜃 𝜃

Primer


4 x 1.0

1.0

M = 1

1D matematički model M


F = 1

F = 1

Primer

2D matematički model

4 x 1.0

1.0

M = 1

Rezultati – 2D model (4x1)


6max 3,081 10v m

2max 44 /x kN m

Rezultati – 2D model (4x1)


2max 15,6 /xy kN m

2max 13,3 /y kN m

Analiza i zaključak – 2D model (4x1)


Da li smo zadovoljni rezultatima numeričkeanalize?

Kako se rezultati mogu popraviti? Progušćenjem mreže konačnih elemenataPromenom tipa konačnog elementa Promenommatematičkog modela

2D model – progušćenje mreže konačnih elemenata (16x4)


𝑣 = 4,0431 · 10 𝑚

max 𝜎 59,7𝑘𝑁/𝑚


max 𝜏 5,6𝑘𝑁/𝑚





𝑣4,516 · 10 𝑚




max 𝜏 2,9𝑘𝑁/𝑚


Elementi sa kvadratnom aproksimacijom

LST – Linear Strain Triangle

Q8 – Serendipity

Q9 – Lagrange‐ov

Q6 – Incompatible modes



LST konačni element

1

2

3

4

56 v2

v5

u2

u5

u3v3

u6v6

u4v4

u1

v1

LST – Linear Strain Triangle

Element sa kvadratnom interpolacijom polja pomeranja ilinearnom aproksimacijom polja deformacija


LST konačni element Interpolacione funkcije

Q8 konačni element (Serendipity)


Q9 konačni element (Lagrange‐ov)


Q6 nekompatibilni konačni element


su dodatni (unutrašnji) parametri pomeranja

Polje pomeranja sadrži 6 interpolacionih funkcija

Pored osnovnih modova elementa Q4, ovaj element sadržimodove koji opisuju stanje konstantne krivine

𝑔 𝑔


Q6 nekompatibilni konačni element

Element je nekompatibilan

Za neke slučajeve opterećenja neće biti ispunjenkontinuitet na granici između konačnih elemenata


2D model–model sa Q6 elementima

𝑣 4,571 · 10 𝑚

F = 1

F = 1


2D model–model sa Q6 elementima

max 𝜎 60𝑘𝑁/𝑚

max 𝜏 0𝑘𝑁/𝑚

max 𝜎 0𝑘𝑁/𝑚



𝐐 𝐍 𝐩 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

Šta je sa zapreminskim silama?






Vektor čvornih sila – linijsko opterećenje


Vektor čvornih sila – linijsko opterećenje

Vektor čvornih sila – koncentirisana sila


Domaći zadatak


Documents

2020 MKE 4 · 2020. 10. 21. · Modul: KONSTRUKCIJE Godina/Semestar: IV/VII semestar ... 4. Q4 konačni element ‐prirodne koordinate GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU,