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2019年7月2日小テスト解答
〆 、
'-(1);-(W)'-(1)ゞします(1)L(",6)の正規'貞交基底風ｳ．を求めましょう．
(2) (1)を使ってざのL("j)への直交射影価'を求めましょう(3)5－⑯2を使ってL(6,61E)の正規直交基底を求めましよう
、 ノ
→
解答(1)6の5方向への直交射影t万は
(5，6）
| |51 12
↓α
２’４
千７④
一〃し
１４｜ワ会
→
uノー＝ 二二二
と求めら…≦蝿と譽厨の皿直なべ外ﾙとして‘-噸=(り-;G｣)-このとき厨と6－価を正規化した
１１１’３３
／ｊ１１、
１’２
が求まります
'=向圃-3(j,) (#!）1 1
ﾏ赤り
－１１
↓ｂｉ
→
9= →
' '6－価| ’
がL(",6)の正規直交基底となります
(2)ざのL(亙り6)への直交射影が
→
uﾉ2＝ (ap)"+/→一へ→
(c,9ﾉ9
-((I);G));G{H(1)v;s(#'))‐:(恥茄(#‘)一命(;‘）
となります． L(",6)に亜直なL(5,6,司中のベクトルとして
〃-m｡-(I)-h(i!)-h(*)
ｊｌｌｌ３３ｉ
l
ﾏ元
を考えると， これを正規化して
’-, ,言湿曾Iに-m,'-vfr(÷）
密…蔭ゞ｡…と定めると夙晶F
Lcf)こぎ}-{)《西ベ →
ｕノf6~B をcfIR
Dく/;[te lR 上
82
L(司辱）1
一八 →
‐－、
f戸 6１１１１〆
（α０
ｒ
１Ｉ１１１ 、
ノし
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ノ
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一一
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一~PL－
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一一
一一、
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一角八Ｕ
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一
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Ｊ
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ｌ罰司り
十言叩飛
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う
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狐～司り
↓
ｚ
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一・
く
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ＩＩ「吃
Ｉ‐‐迄
『凶
一「ｃ
一価１
１
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息
一一
一一両
蓉ノ
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=O
○一
一７マベｂｒＬ○一
一
一一
７
Ｊ司りｌ「ｑＯ
／「雷し
「卜
乙
Ｃ‘---う
の未定乗数法Lagrange
戸瀬信之
November29,2017
ロ 旬 壜 ＝ 三二 OQe'
1／11
戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法
制約条件付き極値問題
U~．
3)=oUをR2の開集合とする. 2関数
f,9:U→R
が与えられているとき
問題
9(",I/)=0の下でz=f(",z/)を極大化（極小化）する--．一
口 包 ＝ 三二 OQG
2／1
二
’ 戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法
心(（ 1君｡『,初二つG十丁-Iご◎一一
(q(C- う
"II 'L－一二
工一○卜 --やﾒｰｰ冠活=O
工一Ｐ
制約条件付き極値問題一例
例1
9(",I/)="2+z/2-1=0の下でz=f(",I/)=2"+z/
例21,p,q>0とする.予算制約
9(",I/)=I-p躯一qz/=0 (",zﾉ>0)
の下で効用関数
u(",I/)=､/W
を最大化する． この問題は第1財，第2財の価格がplqのときに,予算Iをすべて支出して第1財を錘,第2財をg購入して効用を最大化するという問題である．
ロ 罰 ＝暉晉,
三二 ､OQG'
3／1
｛
ｂ
一
一
戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法
陰関数定理
::c'=31
8』 cCL C2-
Ｆ岫眺ＰＦＦＢ
一一Ｊ
１３／
ｘ
）ず
～冬ｌｑ
ｌ〔
定理
9(a,b)=0, 9"(q,b)≠0
ならば, (q,b)の近くで{(",")EU;9(",")=0}は0
"=P(")
と表すことができる．
口 包 三二
F昌OQG
4／1戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法
陰関数定理一例
33＝21-
単位円
9(",")="2+I/2_1=0
において考える。除一ぅDI-
ツー､/'一範2
上の点(q,b)b>0のとき
ご祷外
b<0のとき
ツー－､/1－麺2
画 印 壜 ＝＝
三＝ ､")QG'
5／1戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法
l
i
解法
9(q,b)=0, 99(q,b)≠0
を仮定して,陰関数定理を適用する. (q,6)の近くで
ツーや(錘）
と曲線9((E,")=0を表す．
）
（
(q,b)で極大（極小）ならば
F(t)=f(t,P(t))
とするとF'(α)＝0が従う．
ロ 旬 ~二睡三
三三 OQG'
戸瀬信之 の未定乗数法Lagrang ／16e
雷輝 露､瀞 一一一一
解法(2)
ChainRuleを使うと F(-(.)-ず｢も，ざ〔十')
F'(t)=/Z(t,P(t))･1+jiJ(t,P(t))･P'(t)
から
0=F'(a)=fc(q,b)+fg(q,6
が分かります。 さらに9(t, (P(t))=0の両辺をtt) ･紀奴Lで微分して
g"(t,<P(t))･1+9y(t,P(t)) ・ <P'(t)=0
から -t-=A-了慌>、
g錘(a,b)g錘(q,6)+ )＝0すなわちP'(α） 二＝＝－
g似(q,b)
が分かります．ロ 鄙 ＝
崔璽昼
三二 ､OQO'
7／11
声
戸瀬信之 Lagl'angeの未定乗数法
P'(Q)の別の求め方
(Q,6)における曲線9(",zJ)=0の接線は
c､）
(ナ
接線の傾きを考えると
で (ｻﾆ:}）[8)[q{6)ノ 二○▽c87(91a)g"(q,b)
P'(α)＝－gg(q,6)Ｚ
ＩＯ
ｃＶＱｖＬ
、一一一一
９ｖＲＵ４ 要ロ 旬 芦 薑
二 ､OQO'
8／1戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法
’ ’陶狸W靴、 ．:,霊-i及丞塩露 認
鈴>、 角去3弱 （ ）
ｊｊ
ｂｂ
う，
ααく
錘ｙ
ｇｇ九(q,b)+fy(q,b) ･ を代入して
九(a,6) =二0
、ヘを得ます． ここでLagrangeの未定乗数
入＝－ん(Q,6)
通1雑,b)
申I細時の才釦〈 易汽ムrCI,)<Q(6)1，、､、
を定めると
吃ｊｊ
ｂｂ
ｌ，
ａαく
九九
７７
ａαＩ
韮〃
９９
入入
b)b)丁
＋＋詞閑eIR
bい．宿徒｛
が導けます．
(L)－
0ﾆーニ
口 鄙 鐸一一一一一 OQG'
9／11
一』｛
’ I Lagrang戸瀬信之
■
定理
→
▽(;)(q1･a)=oマ(r)(qIt')十入
穂懲蜘毒(帝
定理
9(Q,b)=0,99(q,b)≠0を満たす(fm,b)EUにおいて制約条件付き極値問題が極大値（極小値）をとるとします． このとき(L)を満たす入ERが存在します． 口
ロ 罰 二二 三
二 ｏ１
ＱＪＪ
ｏｍ戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法
－一
_lLagrangeの未定乗数法（その2)
戸瀬信之
DecemberO6, 2017
鄙一
一
一
一
三 三三 ､OQG'
1／16
ロ
戸瀬信之 の未定乗数法（その 2）Lagrange
制約条件付き極値問題
UをR2の開集合とする. 2関数
ノ,9:U→R
が与えられているとき
問題
9(",z/)=0の下でZ 」/(躯,〃)を極大化（極小化）するニーニ
ロ 旬 弓二 弓二一 ､OQG'
2／16
一
岬
一
一
戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法（その2)
復習一定理
定理
9(Q,b)=0,9y(q,6)≠0を満たす(cm,b)EUにおいて制約条件付き極値問題が極大値（極小値）をとるとします． このとき次の(L)を満たす入ERが存在します．
出
ｊｊｊ
(L)
l' 9("'b){=0 (3ここで(')と(2)を接線条件と呼びます． 、
－､
▽q>(cf(則十八▽(8)"(､e･)=、
ロ 鄙 薑 ~二.言
~三一 ､OQO'
3／16戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法（その2)
接線条件
接線条件は
▽(9)(Q,b)=－入．▽(/)(Q,b)
と表せます．▽(/)(q,b)はノの等高線
f(錘,〃)-f(q,b)=0
の(q,b)における法線ベクトルです． /(Ⅲ
2曲線g(",zﾉ)=0とf(",")－ノ(q,b)=0は接線を共有しますから，接していることが分かります．
口 包 一 弓三 三三 ､OQG
4/16戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法（その2)
制約条件付き極値問題一ミクロ経済学の例
1，L:=－や
例I,p,q>0とする．予算制約 83－‐＄
9(",")=I-p犯一qz/=0 (",l/>0)
の下で効用関数
u(",z/)=､/河
を最大化する． この問題は第1財，第2財の価格がp9qのときに，予算Iをすべて支出して第1財を躯,第2財をツ購入して効用を最大化するという問題である．
“※-鵲,"､一等ロ 罰 堂
F二三 三二 OQG'
5／16戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法（その2)
制約条件付き極値問題一ミクロ経済学の例(2)
(",zﾉ)で極大・極小であるとすると
｜ , " ｜を満たす入ERが存在します. (1)×錘, (2)×〃を考えると
１１聖１４１９
ー一ーーー ‐
x(po
、/あす＝2入p"=2入”
であることが分かります． (1)を考えると入≠0であることが分かりますから
p"=9"
さらに(3)から
，錘="=；従つ “=上, 〃=圭2p口 タ ミ 三 三 oQOQO'
6／16戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法（その2)
’
制約条件付き極値問題一ミクロ経済学の例(3)
1 1
"(p'9'I)==' y(p｡''I)="を需要関数と呼びます． さらに(1)からLagrangeの未定乗数が
／~了
V万 1１｜助
入 二＝＝
I/¥ 2，/両と求まります． この状況で入(p,9,1)を所得の限界効用と呼びます．
一侃
偏’一零
入一一↓い）
三一1も
三二ロ 鄙
一
二
歪 OQO'
7／16’ 戸瀬信之 Laglangeの未定乗数法（その2)
’
所得の限界効用
"し×,;)=FE一
剛(…="{…"川”"川=崎伝I
ﾆーニ
2､/両
を間接効用関数と呼びます． このとき
at) 1ニーニ
となります． これが入(p,9,1)が所得の限界効用と呼ばれる理由です．の等式
a"
訂＝入(p,9,1)
一」
は一般的に成立します．
ロ 旬 再三 三二 ､OQO'
8／16
医。
’戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法（その2)
砿
解法(3)
Cz-
『い:＝↑外ァさらに9(t,P(t))=0の両辺をtで微分して(13),し=3い．
9"(t, <P(t)) ・1+9y(t,P(t))･ (P'(t)=0〆、-〆ヘー〆、-／～ ／=､-〆～_ノーーノ、-ヶ
g錘錘(t,P (t))+29""(t, (P(t)) ･や'(t)+9"(t,P(t))･ (P'(t)2gy(t,<P(t))･ <P''(t)=0
(℃ｲ3(T-')･1十$,L3Lt'!w'f)) ' ff 'r)十＄'賎,(3),‘い,『‘州{『“〕州ャ 3腓 (も‘rIf､》･手‘ (+)三。
ロ 旬 ‘垂 三 三 のQG'
を得ます．
1，‘,《．,
戸瀬信之 Lagrangoの未定乗数法(その2) 11/16
蕊噸 涯
P｡(cI(t,） 解法(4)
1,f>L(P｡)十堅:,L8(P&)･r(《､｝十$;3 (P｡).f((q)2u
+36(PJ)、了cG,1=ot==αとするとき凡(a,6)と定めて
や'(.)=-9""gy(H)
1
や"(α） (9鰯錘(H)+29"U(R)･P'(Q)+9"(R)･ (P'(")2)二二二一
g沙(a,b)
となります．
ロ 己 三三
三三 ､OqG'
12／16戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法（その2)
定理
定理
士 ' 三を満たす入ERが存在するとします． さらに
(1)
(2)
(3)
０００
(L)
’g麺(q,6)
L錘錘(Q,b,入）
Lg"(cm,b,入）
gり(q,b)L"g(q,b,入）L"(q,6,入）
ｊｊ
ｂｂ
７？
（Ｕαα
くＩ
妃ｇ
ｇｇ
B(fm,b,入) :=
に対してB(q,b,入)<0ならば(q,6)で極小となります．B(q,6,入)>0ならば(q,b)で極大となります． ここで
L(",",入) :=ノ(”,")+入9(",z/)
と定めています。一一一一
＝＝
三二ロ 鄙 ､")QO'
15／16‘’戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法（その2)
｜ 〆I⑳…二』( ｡…祐〕 寺'‘｡,=-－36(ハ〕
g"(:､6) ('嘩側+29"y(R)･P'(Q)+ggy(R)(P"(Q)=-
g,I&6,｡('"(PbM(Ph''-2,"(PbMIH冒＝＝
+9"(Fb).g"(H)21
g鎚錘(局) ．g似(H)2-29錘沙(局)･9"(H
,)p"(Pb)2)
P'(α)2）
)9"(R)
0 9"(q,6)
g"(fz,6) 9…(q,b)
gｼ(a,b) 99"(q,b)１１
句ｂｂ
９７
りαα
αｒＩｆｌ
刎迦伽
1ニーニ
g沙(q,b)3
口 包一一一
言
三三 ､OQO'
16／16
一一一
戸瀬信之 Lagrangeの未定乗数法（その2)
工 ＄ (X/可〕=Xﾕﾔf--I=o と 式ろ
ざ (q(e-)=o -e>o
(cI(い、小EI,- Ef(ﾒ)=旧苣弓とゞ
3，写何宝令い{嵜豆／華､L
､'(",こつ．
エェノP,診〉。と刑so州)=r--"－Ⅷ=o. '[@3>・
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