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Problemi di simulazione della seconda prova di matematica Esami
di stato liceo scientifico 25 febbraio 2015
Lo studente deve svolgere un solo problema a sua scelta Tempo
massimo assegnato alla prove tre ore
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Problema 2: Un mappamondo prezioso
Lavori in un laboratorio d'arte vetraria e il responsabile del
museo civico della tua citt ti chiede di progettare un espositore
avente forma conica che possa contenere un prezioso e antico
mappamondo. Il mappamondo ha raggio R e l'espositore deve essere
ermeticamente chiuso, per impedire che il mappamondo prenda
polvere.
Il tuo collega Mario dice che, per costruire l'espositore, si
potrebbe utilizzare il quarzo ialino ma, data la preziosit del
materiale, per risparmiare necessario determinarne le dimensioni
ottimali. Inoltre per proteggere l'espositore dalla polvere
decidete di ricoprirlo con una sottile pellicola trasparente di
nuova generazione e piuttosto costosa.
1. Trascurando lo spessore dell'espositore e attraverso
unopportuna modellizzazione geometrica, determina l'altezza h e il
raggio di base r dell'espositore affinch sia minima la sua
superficie totale, allo scopo di utilizzare una quantit minima di
pellicola1.
2. Fornisci una spiegazione adeguata e convincente del
procedimento seguito, eventualmente anche con rappresentazioni
grafiche.
Ora tu e Mario dovete scegliere la pellicola da sistemare sulla
superficie esterna dell'espositore. La scelta va fatta tra due
pellicole che hanno lo stesso costo unitario ma diverse propriet:
la prima ogni anno perde il 3% della resistenza all'usura che ha a
inizio anno, mentre la seconda ogni anno perde il 2% della
resistenza all'usura iniziale.
3. Aiuta Mario nel capire quale pellicola convenga scegliere in
funzione della durata, tenendo conto del fatto che entrambe hanno
la stessa resistenza di partenza e che una pellicola va cambiata
quando la sua resistenza all'usura risulta inferiore al 30% della
sua resistenza di partenza.
1 Ricorda che la superficie totale S di un cono data
dallespressione:
222hrrrS
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PROBLEMA 2
Punto 1 e Punto 2
Consideriamo la seguente figura che rappresenta una sezione
piana del cono al cui interno c il
mappamondo sferico.
Essendo Rh laltezza CH, si ha RhCO .
I triangolo COD e CHB sono simili pertanto vale la seguente
proporzione tra lati omologhi:
Rhh
RhrrhRRRhHBCHODCD
2::::
2
22
.
La superficie totale del cono pari a:
Rh
Rh
Rhh
RhRh
Rhh
hR
Rhh
hRRhhRh
Rhh
hR
hRhh
hR
Rhh
Rh
Rhh
hRhrrrhST
2222
2
2
222
2
2
2
2
22
2
2234
2
22
2
2
22
22
22222
La minimizzazione della superficie totale la effettuiamo
mediante derivazione: la derivaat prima
pari a
22
2
2
4
2
22'
Rh
RhRh
Rh
RhRhRhhS T
La derivata prima negativa in (0,4R) e positiva in ,4R pertanto
la superficie totale minima per Rh 4 ed in questo case vale il
raggio di base misura r e la superficie totale minima
2min, 84 RRSS TT .
Punto 3
Sia iR la resistenza iniziale.
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Nel caso in cui si usi la pellicola di primo tipo, dopo il primo
anno la resistenza pari a
iii RRRR 97,003,0 ; dopo il secondo anno la resistenza
iiii RRRRR 297,097,097,003,097,097,0 ; iterando il procedimento,
dopo ln-esimo
anno la resistenza sar in RR 97,0 .
Se si usa la pellicola di secondo tipo, dopo il primo anno la
resistenza iii RRRR 98,002,0 ;
dopo il secondo anno iii RRRR 96,002,098,0 ; iterando il
procedimento, dopo ln-esimo anno
la resistenza sar iRnR 02,01 .
La pellicola di primo tipo va cambiata se iin RRR 3,097,0 ovvero
se
5,3997,0ln
3,0ln3,0ln97,0ln3,097,0 nnn ovvero 40n .
La pellicola di secondo tipo va cambiata se ii RRnR 3,002,01
ovvero se
3502,0
7,03,002,01 nn ovvero 36n .
Quindi conviene scegliere la pellicola di primo tipo che
rispetto a quella di secondo tipo dura 4 anni
in pi prima di avere una resistenza allusura inferiore al 30% di
quella iniziale.
2005-SIM2.pdf2005-SIM2s.pdf
