Problemi di simulazione della seconda prova di matematica Esami di stato liceo scientifico 25 febbraio 2015

Lo studente deve svolgere un solo problema a sua scelta Tempo massimo assegnato alla prove tre ore

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Problema 1: Una collisione tra meteoriti

Marco e Luca, durante la visita guidata ad un museo scientifico interattivo, osservano su un monitor la simulazione della collisione tra due meteoriti, effettuata da un videogioco. Sul monitor sono rappresentate la traiettoria del primo meteorite e il grafico della sua velocit in funzione del tempo, mostrato in figura.

Problemi di simulazione della seconda prova di matematica Esami di stato liceo scientifico 25 febbraio 2015

Lo studente deve svolgere un solo problema a sua scelta Tempo massimo assegnato alla prove tre ore

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In base alle loro conoscenze di matematica, discutono sul tipo di curva geometrica rappresentata dal grafico e cercano di determinarne lequazione, necessaria per procedere nella simulazione.

1. Aiuta Marco e Luca a determinare lequazione che rappresenta la curva, spiegando il procedimento seguito.

Dopo che Marco e Luca hanno scritto sul terminale lequazione trovata, il videogioco si complimenta con loro e sul monitor appare la seguente espressione:

Viene quindi chiesto loro di verificare se la funzione data rappresenta lo spazio percorso dal meteorite in funzione del tempo (legge oraria del moto).

2. Aiuta Marco e Luca a verificare che la funzione apparsa sul monitor rappresenta la legge oraria del moto, spiegando il procedimento seguito.

A questo punto sul monitor appare un secondo meteorite, la cui traiettoria interseca quella del primo meteorite in un punto P. Il videogioco chiede quale condizione deve essere verificata affinch avvenga lurto.

3. Aiuta Marco e Luca a rispondere in modo qualitativo. Marco e Luca rispondono correttamente e il primo meteorite viene colpito dal secondo e devia dalla traiettoria originaria modificando il suo moto. Dopo lurto il monitor indica che il primo meteorite si muove ora con la nuova legge oraria:

Il videogioco chiede quindi di determinare il tempo turto in cui avvenuto lurto. Aiuta Marco e Luca a:

4. determinare il tempo turto; 5. studiare la legge oraria del primo meteorite nellintervallo tra 0 e 3turto secondi, evidenziando

la presenza di eventuali punti di discontinuit e/o di non derivabilit e tracciandone il grafico.

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SIMULAZIONE MATURITA SCIENTIFICA 2015

PROBLEMA 1

Punto 1

La funzione velocit non altro che un ramo di parabola con vertice in V=(5,30) passante per il

punto (0,5) di equazione cbtattv 2 con 100 t .

Sapendo che lascissa del vertice 5 e imponendo il passaggio per (0,5) e per il vertice V=(5,30) si

ricava:

5

10

1

3055025

5

10

30525

5

52

c

b

a

aa

c

ab

cba

c

a

b

Pertanto lequazione della funzione velocit 5102 tttv con 100 t .

Punto 2

In base alle leggi della fisica, lo spazio percorso pari allintegrale indefinito della velocit ovvero

Ktttdtttdttvts 553510 2

32 con 0, tRK

Supponendo che allistante iniziale si ha 00 s si ricava 0K ovvero tttts 553

23

con

0t .

Avremmo potuto procedere in senso inverso a partire da ttt

ts 553

23

, farne la derivata e

trovare che coincideva con la velocit 5102 tttv .

Punto 3

Per trovare listante in cui urtano sufficiente trovare il punto di intersezione tra le due traiettorie

tsts 1, rappresentanti lo spazio percorso nel tempo dai due meteoriti, ovvero si traccia il grafico di ambedue nello stesso riferimento cartesiano e si individua la loro intersezione cio quando

tsts 1 .

Punto 4

Per urtarsi allistante urtot necessario che urtourto tsts 1 , quindi per calcolare urtot necessario

risolvere lequazione

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2

1001

0110109

3

5255

323

22

3

urtourtourto

urtourtourtourtourtourto

urtourtourtourto

urto

ttt

tttttt

ttttt

Scartando 1urtot si ottiene che listante dellurto o 0urtot o 10urtot .

La soluzione 0urtot corrisponde al caso in cui i meteoriti sono a riposo ovvero quando non

hanno ancora percorso alcuno spazio. Pertanto la soluzione accettabile 10urtot .

Punto 5

Nellintervallo 30,03,0 urtot , il primo meteorite ha quindi la seguente legge oraria:

30103

52

100553

2

23

t t t

tt tt

ts

Tale funzione sempre continua in quanto composizione di funzioni continua ed inoltre perch

3

650

3

52limlim

3

65055

3limlim

2

1010

23

1010

ttts

ttt

ts

tt

tt

.

La derivata, ovvero la velocit del moto orario pari a

3010

3

54

1005102

t t

t tt

tv

Controlliamo se la funzione velocit continua in 10t , si ha:

3

125

3

54limlim

5510limlim

1010

2

1010

ttv

tttv

tt

tt

pertanto la funzione velocit non continua in 10t e di conseguenza la legge oraria non

derivabile in 10t ; in pratica

3

650,10 un punto angoloso .

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3

La cubica t tt

tf 553

23

nellintervallo [0,10] interseca lasse delle ascisse solo in (0,0),

sempre crescente ed ha un flesso in

3

325,5 .

La funzione t ttf3

52 21 in [10,30] un ramo di parabola sempre crescente.

Di seguito il grafico di

30103

52

100553

2

23

t t t

tt tt

ts .

2005-SIM1.pdf2005-SIM1s.pdf