Upload
mochamad-nur-qomarudin
View
38
Download
13
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Terjemah dari Articel Introduction to Discrete Kalman Filter, Greg Welch, Gary Bishop
Citation preview
1
Pengantar Penerjemah
Saya awali tulisan ini dengan Nama Alloh Sang Maha Pengasih Sang Maha Penyayang. Segala
Puji bagi-Nya yang telah mengajarkan ilmu kepada siapa saja yang dikehendaki-Nya.
Sungguh, saya merasa terbantu dengan dokumen “Introduction to Kalman Filter” oleh Greg
Welch & Gary Bishop, 2012, dalam memahami esensi kalman filter diskrit. Saya coba
terjemahkan, mungkin dapat membantu pembaca yang enggan berlama-lama dengan bahasa
Inggris namun tertarik memahami konsep kalman filter diskrit. Bagian tentang Extended
Kalman Filter belum sempat saya terjemahkan, semoga bisa dilanjutkan di lain waktu. Semoga
bermanfaat.
Surabaya, 4 Maret 2014 / 2 Jumadil ula 1435H
Penerjemah: mochamad nur qomarudin, [email protected]
Dokumen ini saya publish di: mnurqomarudin.blogspot.com
Daftar Istilah
Beberapa istilah yang banyak disebut dalam dokumen ini
Estimasi: pencarian nilai sebenarnya dari nilai yang sudah tercampur dengan noise
Filter: alat/algoritma untuk estimasi
Step: waktu diskrit, bilangan bulat, disimbolkan dengan k
Diskrit: sinyal yang hanya memiliki nilai pada saat-saat tertentu, dengan interval waktu yang
konstan, cth. memiliki nilai setiap 5 detik
Noise: gangguan yang menimpa sinyal
Kovarian: yg dimaksud dalam dokumen ini adalah Varian, yaitu besaran statistik yang
menyatakan kuadrat dari standar deviasi
Momen: istilah lain dari fungsi ekspektasi, cth. ekspektasi orde satu disebut momen pertama
White noise: noise yang memiliki magnitude yang tetap untuk semua frekuensi
2
[TERJEMAHAN]
Pengenalan Kalman Filter
Greg Welch1 Gary Bishop2
19 Juni 2012
TR 95-041 Department of Computer Science
University of North Carolina Chapel Hill Chapel Hill, NC 27599-3175
Diperbarui: Senin, 24 Juli 2006
Abstrak
Di tahun 1960, R. E. Kalman mempublikasikan makalahnya yang menjelaskan sebuah solusi
rekursif terhadap persoalan filter linier untuk data diskrit. Sejak saat itu, Kalman Filter menjadi
topik penelitian dan terapan yang luas, terutama di bidang navigasi otomatis atau terpandu.
Kalman Filter merupakan sekumpulan persamaan matematik yang menawarkan cara
komputasi rekursif dan efisien untuk mengestimasi state dari sebuah proses, sedemikian rupa
sehingga meminimumkan rata-rata dari kuadrat error. Filter ini sangat berguna dalam
beberapa aspek: mendukung estimasi state yang telah lalu, saat ini, dan juga state masa
depan, dan mampu bekerja meskipun sifat-sifat model sistem tidak diketahui.
Tujuan dari makalah ini adalah untuk memberi pengenalan praktis tentang Kalman Filter
diskrit. Pengenalan ini meliputi deskripsi dan beberapa diskusi tentang dasar Kalman Filter
diskrit, penurunan, deskripsi dan beberapa diskusi tentang Extended Kalman Filter, dan
contoh sederhana dengan bilangan nyata beserta hasilnya.
Kalman Filter Diskrit
Di tahun 1960, Kalman mempublikasikan makalahnya yang menjelaskan sebuah persoalan
penyaringan linier data diskrit [Kalman, 60]. Sejak saat itu, Kalman Filter menjadi topik
penelitian dan terapan yang luas, terutama di bidang navigasi otomatis atau terpandu.
Pengenalan tentang gagasan umum Kalman Filter yang paling mudah dipahami dapat disimak
dalam Bab 1 dari [Maybeck79], sedangkan pengenalan yang lebih kompleks dapat dibaca di
dalam [Sorenson70], yang juga memuat beberapa cerita sejarah yang menarik. Pustaka lain
untuk lebih lanjut meliputi [Gelb74; Grewal93; Maybeck79; Lewis86; Brown92; Jacobs93].
1 [email protected], http://www.cs.unc.edu/welch 2 [email protected], http://www.cs.unc.edu/gb
3
Proses yang Diestimasi
Persoalan umum untuk Kalman Filter diskrit adalah mencoba untuk mengestimasi state 𝑥 ∈
ℜ𝑛 dari sebuah proses waktu diskrit yang dinyatakan oleh persamaan beda stokastik linier
111 kkkk wBuAxx (1.1)
dengan pengukuran 𝑧 ∈ ℜ𝑚 yang dinyatakan
kkk vHxz (1.2)
wk dan vk adalah variabel acak yang mewakili noise proses dan noise pengukuran, keduanya
independen, jenis white noise, dengan probabilitas berdistribusi normal.
),0(~)( QNwp (1.3)
),0(~)( RNvp (1.4)
Dalam praktik, kovarian noise proses Q dan kovarian noise pengukuran R bisa berubah dalam
tiap waktu atau pengukuran, namun di sini keduanya diasumsikan konstan.
Matriks A (nxn) dalam persamaan beda (1.1) menghubungkan state pada waktu diskrit
sebelumnya, yaitu k-1, dengan state pada waktu diskrit sekarang, yaitu k, tanpa pengaruh
fungsi pemicu u atau noise proses w. Dalam praktik, A bisa berubah dalam tiap waktu, tapi di
sini kita asumsikan konstan. Matriks B (nxl) menghubungkan input kontrol u ϵ Rl dengan state
x, u bersifat opsional (bisa ada / tidak). Matriks H (mxn) dalam persamaan pengukuran (1.2)
menghubungkan state dengan pengukuran 𝑧𝑘 . Dalam praktik, H bisa berubah dalam tiap
waktu atau pengukuran, tapi di sini kita asumsikan konstan.
Komputasi Filter
Kita definisikan �̂�𝑘− ∈ ℜ𝑛 (perhatikan notasi “minus” di atas) sebagai pra-estimasi state pada
step k berdasarkan data dari proses (1.1) sebelum step k, dan �̂�𝑘 ∈ ℜ𝑛 sebagai pasca estimasi
state pada step k berdasarkan nilai 𝑧𝑘. Lalu, kita definisikan pra dan pasca estimasi untuk error
sebagai
kkk xxe
, dan
kkk xxe
Kovarian pra-estimasi error adalah
]E[ Tkkk eeP (1.5)
dan kovarian pasca-estimasi error adalah
4
]E[ Tkkk eeP (1.6)
Dalam menurunkan persamaan untuk kalman filter, kita mulai dengan persamaan yang
menghitung pasca-estimasi state �̂�𝑘 yang dibangun dari kombinasi pra-estimasi �̂�𝑘− dan
selisih antara nilai ukur aktual 𝑧𝑘 dan prediksi nilai ukur 𝐻�̂�𝑘− sebagai berikut (1.7). Beberapa
pertimbangan untuk (1.7) dapat dibaca dalam buku “The Probabilistic Origins of the Filter”
kami sertakan di bawah
�̂�𝑘 = �̂�𝑘− + K(𝑧𝑘 − 𝐻�̂�𝑘
−) (1.7)
selisih (𝑧𝑘 − 𝐻�̂�𝑘−) di (1.7) disebut perbaikan atau selisih pengukuran. Selisih ini mewakili
ketidaksesuaian antara nilai ukur yang diprediksi 𝐻�̂�𝑘− dan nilai ukur sebenarnya 𝑧𝑘. Selisih
nol berarti nilai keduanya sama persis.
Matrix K (nxm) di (1.7) dipilih sebagai faktor penguat (gain) yang meminimumkan kovarian
pasca-estimasi error (1.6). Untuk penjelasan detil, lihat [Maybeck79; Brown92; Jacobs93].
Salah satu formulasi K yang meminimumkan (1.6) adalah3
𝐾𝑘 = 𝑃𝑘−𝐻𝑇(𝐻𝑃𝑘
−𝐻𝑇 + 𝑅)−1 (1.8)
𝐾𝑘 =𝑃𝑘−𝐻𝑇
𝐻𝑃𝑘−𝐻𝑇 + 𝑅
Pada (1.8) kita lihat bahwa kovarian error pengukuran R mendekati nol, sehingga gain K
membuat selisih pengukuran berpengaruh lebih besar. Secara matematis,
lim𝑅𝑘→0
𝐾𝑘 = 𝐻−1
Di sisi lain, bila kovarian pra-estimasi error 𝑃𝑘− mendekati nol, maka gain K membuat selisih
pengukuran berpengaruh lebih kecil. Secara matematis,
lim𝑃𝑘−→0
𝐾𝑘 = 0
Cara lain untuk memahami peran gain K adalah: bila kovarian error pengukuran R mendekati
nol, nilai ukur aktual 𝑧𝑘 jauh lebih dipercaya kebenarannya, sedangkan prediksi nilai ukur
𝐻�̂�𝑘− semakin tidak dapat dipercaya kebenarannya. Bila kovarian pra-estimasi error 𝑃𝑘
−
mendekati nol, nilai ukur aktual 𝑧𝑘 semakin tidak dapat dipercaya, sedangkan prediksi nilai
ukur 𝐻�̂�𝑘− semakin dapat dipercaya kebenarannya.
3 Semua persamaan Kalman filter dapat direkayasa menjadi beberapa bentuk. Persamaan (1.8) mewakili salah satu formulasi Kalman gain yang populer.
5
Konsep Probabilitas dalam Filter
Pertimbangan dalam penentuan (1.7) berakar pada probabilitas pra-estimasi �̂�𝑘− yang
bersyarat pada semua nilai ukur 𝑧𝑘 sebelumnya (aturan Bayes). Kalman filter melibatkan dua
momen pertama dari distribusi variabel state,
𝐸[𝑥𝑘] = �̂�𝑘
𝐸[(𝑥𝑘 − �̂�𝑘)(𝑥𝑘 − �̂�𝑘)𝑇] = 𝑃𝑘
Nilai pasca-estimasi state (1.7) mewakili rata-rata / mean (momen pertama) dari distribusi
state – nilai ini berdistribusi normal bila kondisi (1.3) dan (1.4) dipenuhi. Kovarian pasca-
estimasi error (1.6) mewakili varian dari distribusi state (momen ke dua non-sentral). Dengan
kalimat lain,
𝑝(𝑥𝑘|𝑧𝑘)~𝑁(𝐸[𝑥𝑘], 𝐸[(𝑥𝑘 − �̂�𝑘)(𝑥𝑘 − �̂�𝑘)𝑇])
𝑝(𝑥𝑘|𝑧𝑘) = 𝑁(�̂�𝑘, 𝑃𝑘)
Penjelasan lebih lanjut, baca [Maybeck79; Brown92; Jacobs93].
Algoritma Kalman Filter Diskrit
Kita awali bagian ini dengan pengantar ringkas, memuat konsep operasional umum dari salah
satu tipe Kalman filter diskrit (lihat catatan kaki sebelumnya). Selanjutnya, kita akan fokus
pada persamaan-persamaan spesifik dan kegunaannya untuk tipe ini.
Kalman filter mengestimasi satu proses melalui mekanisme kontrol umpan-balik: Filter
mengestimasi state dari proses kemudian mendapat umpan balik berupa nilai hasil
pengukuran yang bercampur noise. Persamaan untuk Kalman filter dikelompokkan dalam dua
bagian: persamaan update waktu dan persamaan update pengukuran. Persamaan update
waktu bertugas untuk mendapatkan nilai pra-estimasi untuk waktu step selanjutnya.
Persamaan update pengukuran bertugas untuk keperluan umpan balik, seperti memadukan
hasil pengukuran terbaru dengan nilai pra-estimasi untuk mendapatkan nilai pasca-estimasi
yang lebih baik.
Persamaan update waktu disebut juga persamaan prediksi, sedangkan persamaan update
pengukuran disebut persamaan koreksi. Algoritma estimasi Kalman filter menyerupai
algoritma prediksi-koreksi untuk menyelesaikan masalah numerik sebagaimana pada Gambar
1-1.
6
Gambar 1-1. Siklus kerja Kalman filter diskrit. Update waktu membuat prediksi nilai
state. Update pengukuran, menyesuaikan nilai prediksi dengan nilai ukur aktual.
Persamaan spesifik untuk update waktu dan pengukuran disertakan dalam Tabel 1-1 dan
Tabel 1-2.
Tabel 1-1: Persamaan update waktu untuk Kalman filter diskrit
�̂�𝑘− = 𝐴�̂�𝑘−1 + 𝐵𝑢𝑘−1 (1.9)
𝑃𝑘− = 𝐴𝑃𝑘−1𝐴
𝑇 + 𝑄 (1.10)
Perhatikan, persamaan update waktu memproyeksikan (memprediksi) nilai state dan estimasi
kovarian dari waktu step k-1 menuju step k. A dan B dari (1.1), dan Q dari (1.3). Kondisi awal
untuk filter telah dibahas pada referensi terdahulu.
Tabel 1-2: Persamaan update pengukuran untuk Kalman filter diskrit
𝐾𝑘 = 𝑃𝑘−𝐻𝑇(𝐻𝑃𝑘
−𝐻𝑇 + 𝑅)−1 (1.11)
�̂�𝑘 = �̂�𝑘− + K(𝑧𝑘 − 𝐻�̂�𝑘
−) (1.12)
𝑃𝑘 = (1 − 𝐾𝑘𝐻)𝑃𝑘− (1.13)
Tugas pertama dalam Update pengukuran adalah menghitung Kalman Gain, Kk. Persamaan
Kalman gain di sini (1.11) sama dengan (1.8). Selanjutnya mengukur nilai proses aktual 𝑧𝑘,
kemudian menghitung pasca-estimasi state dengan melibatkan nilai hasil pengukuran
sebagaimana (1.12). Persamaan (1.12) sama dengan (1.7). Tugas terakhir adalah
mendapatkan nilai pasca-estimasi kovarian error melalui (1.13).
Setelah menjalani satu siklus update waktu dan pengukuran, siklus ini diulang yang mana nilai
pasca-estimasi sebelumnya digunakan untuk memprediksi nilai pra-estimasi yang baru. Sifat
rekursif ini adalah satu sifat penting dari Kalman filter – membuat implementasi praktis jauh
lebih sederhana daripada implementasi Wiener filter [Brown92] yang dirancang untuk
beroperasi dengan melibatkan semua data secara langsung dalam setiap kali estimasi.
Gambar 1-2 menampilkan operasi Kalman filter secara menyeluruh.
Parameter Filter dan Penyesuaiannya
Dalam implementasi filter, kovarian noise pengukuran R biasanya diukur sebelum filter
dioperasikan. Pengukuran koverian error pengukuran R umumnya dapat dilakukan karena
7
kita dapat mengambil sampel pengukuran secara offline untuk menentukan varian dari noise
pengukuran.
Penentuan kovarian noise proses Q umumnya lebih sulit, karena kita tidak dapat mengamati
proses secara langsung. Terkadang satu model proses yang sederhana dapat menghasilkan
estimasi yang baik dengan pemilihan Q yang tepat, bila pengukuran terhadap proses dapat
diandalkan.
Pada keadaan yang lain, seringkali penyesuaian (tuning) parameter filter Q dan R dapat
menghasilkan performansi filter yang “superior” (secara statistik). Mekanisme penyesuaian
ini biasanya dijalankan secara offline, terkadang dengan bantuan Kalman filter tipe yang lain.
Proses penyesuaian ini disebut identifikasi sistem.
Gambar 1-2: Skema lengkap Operasi Kalman filter, menggabungkan diagram pada
Gambar 1-1 dan persamaan pada Tabel 1-1 dan Tabel 1-2.
Karena Q dan R adalah konstan, kovarian error estimasi Pk dan Kalman gain Kk akan stabil
dengan cepat kemudian bernilai konstan (lihat persamaan update filter di Gambar 1-2). Jika
demikian, kedua parameter ini dapat dihitung dulu dengan menjalankan filter secara offline,
atau (misal) dengan menentukan nilai steady-state dari Pk sebagaimana pada [Grewal93].
Seringkali, error pengukuran tidak bernilai konstan, demikian juga noise proses, ada kala tidak
bernilai konstan atau berubah secara dinamis selama filter sedang bekerja – menjadi Qk –
untuk menyesuaikan dengan dinamika proses yang berbeda. Contoh, dalam pelacakan posisi
kepala seorang user di lingkungan virtual 3D, kita perlu mengurangi magnitud Qk bila user
bergerak lambat, dan menignkatkan magnitudnya bila bergerak cepat. Pada kasus ini, Qk
8
dipilih dengan mempertimbangkan ketidakpastian pada kehendak user dan ketidakpastian
pada model.
Aplikasi Kalman Filter: Estimasi Nilai Konstan
Kita akan coba untuk mengestimasi satu nilai konstan acak skalar, misalnya nilai tegangan.
Anggaplah kita mampu mengukur nilai konstan tersebut, tetapi pengukuran yang dilakukan
terganggu dengan noise pengukuran sebesar 0,1 volt RMS dengan tipe white noise (misal,
konverter analog ke digital yang digunakan tidak cukup akurat). Dalam contoh ini, proses
dinyatakan dengan persamaan beda linier
𝑥𝑘 = 𝐴𝑥𝑘−1 + 𝐵𝑢𝑘−1 +𝑤𝑘
𝑥𝑘 = 𝑥𝑘−1 + 𝑤𝑘
dengan pengukuran 𝑧 ∈ ℜ1, yaitu
𝑧𝑘 = 𝐻𝑥𝑘 + 𝑣𝑘
𝑧𝑘 = 𝑥𝑘 + 𝑣𝑘
State x tidak berubah dari step ke step, jadi A=1. Tidak ada input kontrol, jadi u=0.
Pengukuran yang bercampur noise langsung didapatkan dari state x, jadi H=1.
Parameter dan Persamaan Filter
Persamaan update waktu adalah
�̂�𝑘− = �̂�𝑘−1
𝑃𝑘− = 𝑃𝑘−1 + 𝑄
dan persamaan update pengukuran adalah
𝐾𝑘 = 𝑃𝑘−(𝑃𝑘
− + 𝑅)−1 (3.1)
𝐾𝑘 =𝑃𝑘−
𝑃𝑘− + 𝑅
�̂�𝑘 = �̂�𝑘− + 𝐾(𝑧𝑘 − �̂�𝑘
−)
𝑃𝑘 = (1 − 𝐾𝑘)𝑃𝑘−
Anggaplah varian noise proses sangat kecil, Q = 1x105. (Kita bisa saja menetapkan Q = 0, tapi
menetapkan Q yang kecil namun tidak nol akan memberikan fleksibilas dalam “tuning” atau
penyesuaian parameter filter, akan kita contohkan di bawah). Anggaplah, berdasarkan
pengalaman yang kami tahu, nilai sebenarnya dari nilai konstan acak tersebut berdistribusi
probabilitas normal, jadi kita beri filter kita dengan nilai tebakan nol. Dengan kata lain,
sebelum menjalankan filter, kita tetapkan �̂�𝑘−1 = 0
9
Kita juga perlu menetapkan nilai awal untuk Pk-1, sebut saja P0. Bila kita yakin bahwa nilai awal
estimasi state �̂�0 = 0 adalah benar, kita boleh menetapkan P0 = 0. Tetapi bila ada
ketidakpastian pada nilai awal estimasi �̂�0 yang kita tetapkan, maka memilih P0 = 0
mengakibatkan filter percaya sejak awal bahwa �̂�𝑘 = 0 . Dengan demikian, kita perlu
menetapkan P0 dengan nilai yang lain. Kita bisa menetapkan sembaran nilai 𝑃0 ≠ 0 dan filter
pada akhirnya akan konvergen. Kita mulai dengan menetapkan P0 = 1.
Simulasi
Untuk permulaan, kita tetapkan secara acak satu nilai konstan x = -0,37727 (tidak ada “topi”
di atas x karena ini mewakili “nilai sebenarnya”). Lalu kita simulasikan 50 pengukuran 𝑧𝑘 yang
memiliki error berdistribusi normal di sekitar nol dengan standar deviasi 0.1 (ingat, kita
anggap pengukuran terganggu dengan white noise pengukuran sebesar 0.1 volt rms).
Sebenarnya, kami bisa saja melakukan pengukuran ketika filter sedang bekerja, tapi dengan
melakukan pengukuran 50 data sebelum filter dijalankan, kami dapat menjalankan beberapa
macam simulasi dengan data pengukuran yang sama persis (maksudnya, dengan noise
pengukuran yang sama) sehingga perbandingan antara beberapa simulasi dengan parameter
yang berbeda akan lebih bermakna.
Dalam simulasi pertama, kami tetapkan varian error pengukuran R=(0,1)2=0,01. Karena ini
adalah nilai varian error pengukuran sebenarnya, maka kami berharap mendapat performansi
filter “terbaik” dalam arti keseimbangan antara kecepatan respon filter dan varian estimasi.
Hal ini akan nampak jelas pada simulasi ke dua dan ke tiga. Gambar 3-1 menampilkan hasil
simulasi pertama. Nilai konstan acak yang sebenarnya x = -0,37727, ditampilkan dalam garis
lurus tebal, pengukuran yang bercampur noise diwakili tanda plus, dan estimasi filter diwakili
dengan kurva.
Gambar 3-1. Simulasi pertama: R=(0,1)2=0,01. Nilai konstan acak yang sebenarnya x=-
0,37727 dinyatakan dengan garis lurus tebal, pengukuran yang bercampur noise
diwakili tanda plus, dan estimasi filter diwakili kurva.
10
Ketika pemilihan P0, kami nyatakan bahwa pemilihan ini tidak terlalu penting selama 𝑃0 ≠ 0,
karena pada akhirnya estimasi filter akan konvergen (menuju pada satu nilai). Gambar 3-2 di
bawah, kami telah plot nilai Pk terhadap iterasi. Pada iterasi ke-50, nilai Pk, yang semula
ditetapkan 1 (volt2), bergerak konvergen dan menetap di sekitar 0,0002 (volt2).
Gambar 3-2. Setelah 50 iterasi, nilai awal kovarian error Pk=1 bergerak konvergen dan
menetap di sekitar 0,0002 (volt2).
Dalam bagian 1, topik “Parameter Filter dan Penyesuaiannya” kami paparkan secara singkat
tentang pengubahan dan “penyesuaian” parameter Q dan R untuk mendapatkan
performansi filter yang berbeda. Dalam Gambar 3-3 dan Gambar 3-4 di bawah, kita dapat
amati apa yang terjadi ketika R diperbesar atau diperkecil dengan faktor 100. Di Gambar 3-3,
filter diberi tahu bahwa varian error pengukuran adalah 100 kali lebih besar (maksudnya R=1)
jadi filter “lebih lambat” dalam mempercayai data pengukuran.
Gambar 3-3. Simulasi ke dua: R=1. Filter lebih lambat dalam merespon data
pengukuran, akibatnya varian estimasi filter berkurang.
11
Pada Gambar 3-4, Filter diberi tahu bahwa varian error pengukuran adalah 100 kali lebih kecil
(maksudnya R=0,0001), jadi filter “sangat cepat” mempercayai data pengukuran yang
bercampur noise.
Gambar 3-4. Simulasi ke empat: R=0,0001. Filter merespon data pengukuran dengan
cepat sekali, akibatnya varian estimasi filter meningkat.
Meskipun estimasi satu nilai konstan adalah topik yang relatif sederhana, namun mampu
mendemonstrasikan unjuk kerja Kalman filter dengan jelas. Pada Gambar 3-3 nampak jelas
bahwa estimasi Kalman filter lebih halus daripada data pengukuran yang bercampur noise.
12
Daftar Pustaka
[Brown92] Brown, R. G. and P. Y. C. Hwang. 1992. Introduction to Random Signals and Applied
Kalman Filtering, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc.
[Gelb74] Gelb, A. 1974. Applied Optimal Estimation, MIT Press, Cambridge, MA.
[Grewal93] Grewal, Mohinder S., and Angus P. Andrews (1993). Kalman Filtering Theory and
Practice. Upper Saddle River, NJ USA, Prentice Hall.
[Jacobs93] Jacobs, O. L. R. 1993. Introduction to Control Theory, 2nd Edition. Oxford
University Press.
[Julier96] Julier, Simon and Jeffrey Uhlman. “A General Method of Approximating Nonlinear
Transformations of Probability Distributions,” Robotics Research Group, Department of
Engineering Science, University of Oxford [cited 14 November 1995]. Available from
http://www.robots.ox.ac.uk/~siju/work/publications/Unscented.zip. Also see: “A New
Approach for Filtering Nonlinear Systems” by S. J. Julier, J. K. Uhlmann, and H. F. Durrant-
Whyte, Proceedings of the 1995 American Control Conference, Seattle, Washington,
Pages:1628-1632.
Available from http://www.robots.ox.ac.uk/~siju/work/publications/ACC95_pr.zip. Also see
Simon Julier's home page at http://www.robots.ox.ac.uk/~siju/.
[Kalman60] Kalman, R. E. 1960. “A New Approach to Linear Filtering and Prediction
Problems,” Transaction of the ASME—Journal of Basic Engineering, pp. 35-45 (March 1960).
[Lewis86] Lewis, Richard. 1986. Optimal Estimation with an Introduction to Stochastic Control
Theory, John Wiley & Sons, Inc.
[Maybeck79] Maybeck, Peter S. 1979. Stochastic Models, Estimation, and Control, Volume 1,
Academic Press, Inc.
[Sorenson70] Sorenson, H. W. 1970. “Least-Squares estimation: from Gauss to Kalman,” IEEE
Spectrum, vol. 7, pp. 63-68, July 1970