SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNGKÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013- 2014Môn thi: TOÁN (không chuyên)

Thời gian làm bài: 120 phútNgày thi 19 tháng 6 năm 2013

Đề thi gồm : 01 trang

Câu I (2,0 điểm)1) Giải phương trình (2x + 1)2 + (x – 3)2 = 10

2) Xác định các hệ số m và n biết hệ phương trình có nghiệm (1; -2)

Câu II ( 2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức với

2) Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 6 ngày xong việc. Nếu họ làm riêng thì người thợ thứ nhất hoàn thành công việc chậm hơn người thợ thứ hai là 9 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người thợ phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc.Câu III (2,0 điểm) Cho phương trình

1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1; x2 với mọi m.2) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện:

Câu IV (3,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (O; R) thay đổi đi qua B và C sao cho O không thuộc BC. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của BC, E là giao điểm của MN và BC, H là giao điểm của đường thẳng OI và đường thẳng MN.

1) Chứng minh bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn.2) Chứng minh OI.OH = R2. 3) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Câu V ( 1,0 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức .

----------------------- Hết ----------------------

Họ và tên thí sinh : ................................................ Số báo danh .....................................Chữ ký của giám thị 1 ........................................... Chữ ký của giám thị 2 ..........................

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN GIẢICâu I:

1) Pt: (2x + 1)2 + (x – 3)2 = 10 5x2 – 2x = 0 .

2) Hệ phương trình có nghiệm (1; – 2)

Câu II:

1) A = =

= = (với

).2) + Gọi x (ngày) là thời gian người thứ nhất làm riêng xong công việc (x > 9)+ Thời gian người thứ hai làm riêng xong công việc: x – 9 (nga).

+ Trong một ngày người thứ nhất làm được: (công việc).

+ Trong một ngày người thứ hai làm được: (công việc).

+ Vì họ cùng làm thì trong 6 ngày xong việc nên ta có pt: + =

x2 – 21x + 54 = 0

+ Vậy: - Người thứ nhất làm riêng xong công việc tron 18 ngày. - Người thứ hai làm riêng xong công việc tron 9 ngày.

Câu III:1) = m2 – 4m + 6 = (m – 2)2 + 2 > 0, m pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với

mọi m.

2) Phương trình có hai nghiệm x1; x2 nên:

Theo định lí Vi-et ta có :

Theo bài ra ta có :

Câu IV:1) + (O) có :

= 900 nhìn đoạn OA (1)

I là trung điểm của BC OI BC = 900 nhìn đoạn OA (2) Từ (1) và (2) Bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn2) Chứng minh OI.OH = R2:

+ và có : = . (1)

+ Đường tròn đường kính OA có :

= (2)

+ Từ (1) và (2) =

+ OMH và OIM có: OMH OIM (g-g)

OI. OH = OM2 = R2.

3) + (g-g)

+ (g-g)

AB.AC = AI.AE (*) + Do A, B, C cố định nên trung điểm I của BC cố định nên từ (*) suy ra E cố định. Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm E cố định

Câu V: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 nên .

+ Đặt

+ Do a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên : .

+ Suy ra (do ) và .

Khi đó

+ Ta có:

IEBA O

M

N

C

H

Dấu “=” xảy ra khi

. Khi đó: vuông

Vậy vuông .

Hướng dẫn câu III:2) phương trình có hai nghiệm x1; x2 nên

Theo định lí Vi-et ta có :

Theo bài ra ta có :

Hướng dẫn câu IVc :

+ ∽ (g-g)

+ ∽ (g-g)

AB.AC = AI.AE (*)Do A, B, C cố định nên trung điểm I của BC cố địnhnên từ (*) suy ra E cố định.Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm E cố định

Hướng dẫn giải câu V:

H

EI

B

N

OA

M

C

Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 nên .Đặt do a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên

.

Suy ra (do ) và .

Khi đó

Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi

Khi đó: vuông

Vậy vuông .

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOHẢI DƯƠNG

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊNNGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014

Môn thi: TOÁN (chuyên)Thời gian làm bài: 150 phút

Đề thi gồm : 01 trang

Câu I (2,0 điểm)1) Phân tích đa thức thành nhân tử.

2) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện .

Tính giá trị của biểu thức:

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu II ( 2,0 điểm)

1) Giải phương trình .

2) Giải hệ phương trình .

Câu III (2,0 điểm)1) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện .

2) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho là số hữu tỷ.

Câu IV (3,0 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A thay

đổi trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD,

BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

1) Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

2) Chứng minh .

3) Xác định vị trí của điểm A để chu vi của tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất.

Câu V (1,0 điểm)Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

----------------------------Hết----------------------------

Họ và tên thí sinh................................................Số báo danh........................................Chữ kí của giám thị 1: ....................................Chữ kí của giám thị 2: ...........................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOHẢI DƯƠNG

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤMĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014Môn thi: TOÁN (chuyên)

Câu Ý Nội dung ĐiểmI 1 Phân tích thành nhân tử 1,00

Đặt 0,25

0,25

0,25

0,25

I 2 1,00

0,25

0,25

0,25

Tương tự 0,25

II 1 Giải phương trình 1,00

ĐK: . Pt 0,25

0,25

Giải pt (Loại) 0,25

Giải pt (TM). Vậy x = -2 0,25

II 2 Giải hệ phương trình 1,00

Hệ

Đặt ta được hệ

0,25

Giải hệ pt này ta được 0,25

TH 1.

0,25

TH 2. 0,25

Vậy hệ pt có tám nghiệm là

III 1 Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 1,00

Pt

Tồn tại x 0,25

0,25

Do y là số nguyên nên 0,25

Vậy các cặp số nguyên cần tìm là

0,25

III 2 Tìm các số nguyên tố p sao cho là số hữu tỷ 1,00

là số hữu tỷ 0,25

0,25

. Thế vào (1) ta được0,25

Giải pt tìm được (loại) và

Với . Vậy 0,25

IV 1 Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF 1,00

Tứ giác DCEH nội tiếp suy ra 0,25

Tứ giác DBFH nội tiếp suy ra 0,25

Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra

Suy ra DH là tia phân giác của góc 0,25

Tương tự EH là tia phân giác của góc . Vậy H là tâm đường tròn 0,25

nội tiếp tam giác DEF.

IV 2 Chứng minh 1,00

Vẽ tiếp tuyến xAy của đường tròn (O) tại điểm A

Tứ giác AEHF nội tiếp suy ra

Tứ giác EHDC nội tiếp suy ra

0,25

(góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung cùng

chắn một cung)0,25

Suy ra 0,25

AO xAy AO EF 0,25

IV 3 Chứng minh 1,00

AO EF SAEOF = 0,25

Tương tự

0,25

0,25

Vậy chu vi tam giác DEF lớn nhất lớn nhất khoảng cách từ

A đến BC lớn nhất A là điểm chính giữa của cung lớn BC.0,25

V Tìm GTNN của 1,00

Ta có 0,25

Tương tự suy ra 0,25

Đặt 0,25

0,25

Do đó . Đẳng thức xảy ra . Vậy GTNN của S là

H

F

E

D

H

F

E

D

O O

B C

A

B C

A

X

Y

Hình vẽ câu a Hình vẽ câu b