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Propiedades Microscpicas de los imanes

Introduccin

Las propiedades magnticas microscpicas de la materia son consecuencia de los momentos magnticos asociados con los electrones individuales. Algunos de estos conceptos son relativamente complejos e involucran principios de mecnica cuntica que sobrepasan el alcance de este laboratorio; en consecuencia, se han realizado simplificaciones y algunos de los detalles han sido omitidos.

En los tomos tenemos momentos magnticos asociados al movimiento orbital de los electrones pero tambin asociados al espn intrnseco de los mismos. El ncleo tambin tiene espn y por lo tanto momento magntico, pero a causa de su mayor masa el efecto resulta difcilmente observable. Consideraremos como momento magntico atmico el resultante de sumar (vectorialmente) los momentos magnticos orbitales e intrnsecos de sus electrones.

Momento magntico orbital

El modelo magntico orbital atmico puede ser deducido usando el modelo Bohr (semiclsico), aunque su origen es claramente cuntico.

Si modelamos al tomo como el ncleo en el centro y el electrn de masa me,

carga -e, siguiendo una orbita circular de Bohr, con velocidad Trv /.2 , tendremos un electrn en movimiento. Cargas en movimiento generan un campo magntico y el electrn es una carga en movimiento girando alrededor del ncleo, por tanto tenemos una corriente

elctrica lo que es equivalente a una espira circular. r

ev

T

e

t

qi

2

El momento magntico para una espira circular es: Si

donde S es la

superficie encerrada por la espira, en nuestro caso 2rS , el modulo del

momento magntico ser entonces

r

v

-e

o

i me

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2riiS

Remplazando el valor de i nos queda

evrrr

ev

2

1

2

2

El vector

es perpendicular al plano de la espira y aplicando la regla de la

mano derecha siguiendo el sentido de la corriente de la figura vemos que entra en el plano de la figura.

Por otra parte, el momento angular del electrn viene dado por vxmrpxrL e

cuyo mdulo ser vrmL e .

En este sistema el vector posicin r es paralelo al vector fuerza F. El momento de la

fuerza 0 Fxr

. De la relacin entre el momento de las fuerzas que acta sobre la partcula y el momento angular, (Teorema del momento angular) se concluye que :

dt

Ld

dt

pdxrFxr

Como cteL

0

El momento angular permanece constante en mdulo, direccin y sentido, r y v estarn en un plano perpendicular a la direccin fija de L. De aqu, se concluye que la trayectoria del mvil estar contenida en un plano perpendicular al vector momento angular L

Como se puede ver el vector L es opuesta a la direccin del momento magntico . Podemos relacionar las expresiones de y L

e

em

LvrvrmL

reemplazando en la expresin de ser:

Lm

e

2 .

r

v me

L

o

F

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Teniendo en cuenta y L tienen direcciones opuestas podemos escribir la relacin entre vectores como:

Lm

e

2

Este resultado, aunque ha sido obtenido para rbitas circulares, tiene validez general. Por tanto, podemos decir que la contribucin de un electrn al momento magntico de un tomo es proporcional al momento angular orbital del electrn y la constante de proporcionalidad depende exclusivamente de la

carga y masa del electrn:em

e

2 Debido al signo menos de la carga del electrn

los vectores tienen direcciones opuestas.

La descripcin cuntica del modelo del tomo de hidrgeno formulada por

Bohr- Sommerfeld propone que:

La energa de las rbitas (orbitales) de los electrones en el tomo est cuantizada, de lo que se obtiene el primer nmero cuntico n, llamado principal, que establece los valores permitidos para el nivel de las rbitas:

22

422

2

2

22 n

meZ

a

e

n

ZEn

donde n= 1,2,3,.

El mdulo del momento angular total del tomo est cuantizado con arreglo

a los valores del nmero cuntico secundario o azimutal l:

)1(2 llL

donde l= 0,1,2,3,.,n-1

La componente vertical (u otra cualquiera) del momento angular del tomo

est cuantizada segn los valores que toma el nmero cuntico magntico

ml:

lz mL

donde ml= -l,-l+1,,l-1,1

Esto sugiere que el momento magntico del tomo, asociado a la corriente

circular que crean los electrones, debera tambin estar cuantizado. Por tanto,

el modulo del momento magntico orbital de un electrn con numero cuntico

del momento angular orbital l es

2/12/1 )1()1(2

llllm

eB

e

L

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Donde se ha introducido el factor B denominado Magnetn de Bohr.

TJB /1027.924

En la mayora de los materiales el momento dipolar magntico de un electrn en un tomo se cancela con el otro tomo que orbita en la direccin opuesta. El resultado neto es que el efecto magntico producido por el movimiento orbital de los electrones es cero o muy pequeo para la mayora de los materiales.

El nombre de dipolo magntico viene por que su comportamiento es anlogo al del dipolo elctrico.

Por esto es posible imaginar el dipolo como un objeto que consiste en dos monopolos magnticos de carga magntica opuesta separadas por una pequea distancia en la misma direccin del vector S (rea).

Momento angular intrnseco o espn

Spin del electrn

A pesar del xito de la ecuacin de Schrdinger en predecir los niveles de energa del tomo de Hidrogeno, varias observaciones experimentales indicaron que no todo estaba dicho sobre el comportamiento de los electrones.

En 1925, dos estudiantes de Holanda, Samuel Goudsmidt y George Uhlenbeck, propusieron que el electrn debera tener algn movimiento adicional, aparte de girar en su rbita. Usando un modelo semiclsico, ellos sugirieron que el electrn gira tambin sobre su eje como si fuera un trompo (o spin). Si hace

r

o

i e

-

+

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esto, tendr un momento angular de spin y un momento magntico adicional. Si este momento angular de spin est cuantizado nos ayudar entonces a explicar las anomalas observadas en los niveles de energa del tomo.

En el modelo de Bohr, supongamos que el electrn no es una carga puntual sino una esfera pequea que gira sobre su eje y alrededor de su rbita. Entonces, el electrn tendr un momento angular de spin asociado con la rotacin sobre su eje y un momento angular orbital asociado al movimiento alrededor de su rbita. Al considerar al electrn como una esfera cargada, el movimiento de girar sobre su eje genera una corriente I y un momento

magntico . Ante un campo magntico B

, el momento magntico de spin tendr una interaccin con l en adicin a la del momento magntico orbital.

Como ya dije antes, estos corrimientos debidos al momento magntico de spin se observaron en anlisis espectroscpicos de alta resolucin. Estos y otros experimentos confirmaron concluyentemente que el electrn tiene momento angular de spin que no depende de su movimiento orbital y es intrnseco del electrn.

Nmero cuntico de spin

Del mismo modo que el momento angular orbital, el momento angular de spin

del electrn (que se lo indica como S

) se encontr que estaba cuantizado. Si

tuvisemos un aparato capaz de medir una componente particular de S

, por

ejemplo zS , encontraramos que los nicos valores posibles son

2

1zS (a)

Esta relacin es similar a la expresin lz mL para la componente z del

momento angular orbital, salvo que zS es la mitad de en vez de un mltiplo entero. La ecuacin (a) tambin sugiere que la magnitud S del momento angular de spin se obtiene de una expresin anloga a la correspondiente a la del momento angular orbital reemplazando el nmero cuntico orbital l por el

nmero cuntico de spin 2

1s .

4

31

2

1

2

1

S (magnitud del momento angular de spin)

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Sabemos que el modelo de Bohr es una visin simplificada del comportamiento del electrn en el tomo de H. En mecnica cuntica, donde las rbitas de Bohr

son reemplazadas por una distribucin de probabilidad 2

, no podemos

hacernos una imagen del spin del electrn. El electrn no es una esfera que pueda girar sobre su eje. La mecnica cuntica nos dice que el electrn es una onda partcula deslocalizada en el espacio con una distribucin de probabilidad

dada por 2

. En conclusin solo podemos decir que el electrn posee un

momento angular intrnseco, que no sabemos bien su origen y al que llamamos momento angular de spin.

Para definir completamente el estado de un electrn en el tomo de Hidrogeno, necesitamos ahora un cuarto nmero cuntico, que escribimos como ms , que

indica la orientacin del spin. Para un electrn le damos a ms el valor de 2

1 o

2

1 de acuerdo con (a):

sz mS con

2

1sm

El vector momento angular de spin S

puede tener entonces solo dos

orientaciones relativas al eje z: spin-up cuando la componente z vale 2

1 y

spin-down cuando la componente z vale 2

1 .

Podemos imaginar que todo electrn es un pequeo imn debido a su momento angular intrnseco. Para electrones la direccin del momento angular intrnseco es opuesto a la direccin del spin. Su magnitud es el magnetn de Bohr.

La componente z del momento magntico de spin asociado a la componente z momento angular de spin (Sz) result valer

zz Sm

e

2)00232.2( (b)

Entonces, cuando un tomo se coloca en un campo magntico, la energa de

interaccin B

del momento magntico de spin con el campo magntico

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produce una separacin (adicional a la que produce el momento magntico orbital) en las lneas espectrales.

La ecuacin (b) nos d que la relacin giromagntica S

=(2.00232)e/2m para el

spin del electrn es el doble que el valor e/2m obtenido para el momento angular orbital y su correspondiente momento magntico (ver antes). Este resultado no tiene anlogo clsico. En 1928, Paul Dirac desarroll una generalizacin relativista de la ecuacin de Schrdinger que permiti incluir al spin y obtener este valor.

Remplazando momento angular de spin (Sz) tenemos:

m

edonde BBz

2

B se denomina magnetn de Bohr.

Sabiendo que carga del electrn e=1.610-19 C, la masa m=9.110-31 kg y

=(6.6310-34 /2)Js. Obtenemos B =9.27 10

-24 Am2.

Algunos ncleos poseen tambin momento magntico pero su valor es despreciable frente a las contribuciones electrnicas. Muchos tipos de molculas poseen un momento magntico nulo, a menos que se les aplique un campo magntico externo.

Debemos pensar que en estos casos las contribuciones electrnicas se cancelan entre s debido a las diferentes direcciones de los vectores momento angular de sus electrones. Respecto a los momentos angulares de espn, la mayor parte de los electrones de una molcula tiene espn apareado con otro de sentido contrario, de forma que cada par da contribucin nula al momento magntico de espn. En algunas molculas su apareamiento es incompleto, y stas exhiben un momento magntico, por lo que poseen momento magntico permanente. La superposicin de los momentos magnticos (orbital, debido al movimiento del electrn alrededor del ncleo, e intrnseco o de espn) aportados por los electrones al tomo o molcula del cual forman parte da un momento magntico resultante o neto al tomo o molcula.

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SLm B 00232.2

Cuando hay un momento neto atmico o molecular los momentos magnticos tienden a alinearse con el campo aplicado (o con los campos creados por momentos magnticos vecinos. Simultneamente, la energa trmica omnipresente tiende a orientar al azar a los momentos magnticos, de manera que la intensidad relativa de todos estos efectos determinar en definitiva el comportamiento del material.

En la mayora de los materiales esos momentos magnticos de los tomos se orientan al azar. Si sumamos todos los momentos magnticos el resultado neto es nulo. As es la mayor parte de la materia con la que nos encontramos en el da a da. Sin embargo, hay determinados materiales en los que esos momentos magnticos de sus tomos se influyen unos a otros tendiendo a orientarse en igual direccin y sentido: un tomo ve el campo magntico generado por su vecino como un campo magntico externo y tender a orientarse con l (igual que la brjula). Si esto se extiende por todo el slido tenemos un material ferromagntico. En realidad, esta propiedad no se distribuye de forma uniforme, sino que existen zonas donde el campo magntico de un montn de tomos apunta a un sitio y zonas donde apunta a otro. Esas zonas se llaman dominios magnticos.

En el dibujo anterior suponemos que cada tomo es una flechita con su momento magntico y cada zona es un dominio. Como podemos observar, dichos dominios estn orientados en direcciones aleatorias y al sumarlos todos el resultado magntico neto es nulo. Sera ideal poder reorientar todos esos dominios para que apuntaran todos en una misma direccin y sentido, verdad?. Ya hemos dicho que se comportaran como brjulas ante un campo magntico externo orientndose con l. Y eso es precisamente lo que vamos a hacer. Aplicaremos un campo magntico externo. En el grfico siguiente el campo magntico externo va de abajo a arriba y poco a poco, vemos que todos los momentos magnticos apuntarn hacia arriba:

externoB

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Ese material, con todos sus dominios orientados igual entre ellos es un imn. El problema es que si ahora eliminamos el campo magntico, los dominios vuelven a reorientarse al azar y lo que antes era un imn, ahora ha perdido su magnetismo. Esto, por supuesto, no sucede de golpe, sino gradualmente y lo har ms deprisa comunicndole energa, por ejemplo, calentndolo o dndole golpes.

Imanacin e intensidad magntica Si hay imanes permanentes y si las sustancias en general presentan un campo inducido B, podemos suponer que en su interior hay corrientes elctricas microscpicas asociadas al movimiento de los electrones que producen un momento m, ya sea permanente o inducido por el campo externo.

Figura 2

Ampre propuso que el efecto conjunto de muchas pequeas espiras microscpicas orientadas en la misma direccin equivale a una corriente circulando por la superficie del material; y que esta corriente superficial IS pro-duce un campo magntico igual que lo hace la corriente de conduccin IC. En un caso ideal de ordenacin mxima como el de la figura 2 las corrientes microscpicas contiguas cancelan sus efectos en los puntos del interior del material, por ser de sentido contrario. Pero en la superficie no ocurre as, dando lugar a la corriente superficial o de Ampre, que crea el campo B.

Si en este material de forma cilndrica consideramos un disco de grosor dx, la corriente de Ampre asociada a su contorno forma una espira de momento magntico dm:

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dvL

IdxA

L

IAdIdm sss

Se define el vector imanacin M como el momento magntico por unidad de volumen:

ss JL

IM

dv

mdM

Es decir, la imanacin de la sustancia es igual a la corriente superficial por unidad de longitud de la muestra.