LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK, UNIVERSITÄT SIEGEN

2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung

2.1 Einführung

Arten der Gleichgewichtslagen Arten der Gleichgewichtslagen

Ein Tragwerk muss in stabiler Gleichge-

wichtslage sein. Viele Tragwerke versagen

wegen struktureller Instabilität, nicht aber

wegen Materialversagen.

Ein Tragwerk muss in stabiler Gleichge-

wichtslage sein. Viele Tragwerke versagen

wegen struktureller Instabilität, nicht aber

wegen Materialversagen.

Arten der Gleichgewichtslagen Arten der Gleichgewichtslagen

stabil

Nach einer kleinen Störung kehrt es in seine Anfangslage zurück!

instabil

Nach einer kleinen Störung kehrt es nicht in seine Anfangslage zurück!

Ausgelenkte Lage ist ebenfalls eine Gleichgewichtslage!

indifferent

Wann kommt ein Stabilitätsproblem vor? Wann kommt ein Stabilitätsproblem vor?

Stab unter Zug Stab unter Druck

Last-Verformungskurve eindeutig

Kein Stabilitätsproblem !

Last-Verformungskurve nicht mehr eindeutig

Stabilitätsproblem !

Stabilitätsprobleme Stabilitätsprobleme

Typen der Stabilitätsprobleme:

• Durchschlagprobleme

• Verzweigungsprobleme

Typen der Stabilitätsprobleme:

• Durchschlagprobleme

• Verzweigungsprobleme

Durchschlagprobleme Durchschlagprobleme

Bei einem Durchschlagproblem

schlägt ein System bei Lastkontrolle

schlagartig in eine Gleichgewichts-

lage durch.

Bei einem Durchschlagproblem

schlägt ein System bei Lastkontrolle

schlagartig in eine Gleichgewichts-

lage durch.

Durchschlagproblem Durchschlagproblem

a

b

c

F

a b

cLastkontrolle

Verschiebungskontrolle

Durchschlagpunkt

w

F

Flacher Bogen

Last-Durchbiegungs-Linie

Verzweigungsprobleme Verzweigungsprobleme

Bei einem Verzweigungsproblem ist das Gleichgewicht mehrdeutig. Das System verlässt den primären Pfad und geht in einen sekundären Ast über. Bei horizontaler oder abnehmender Verzweigung ist das System unter Lastkontrolle instabil.

Bei einem Verzweigungsproblem ist das Gleichgewicht mehrdeutig. Das System verlässt den primären Pfad und geht in einen sekundären Ast über. Bei horizontaler oder abnehmender Verzweigung ist das System unter Lastkontrolle instabil.

Verzweigungsproblem Verzweigungsproblem

a

b

c

F

a b

cVerzweigungspunkt

w

F

Durchschlag

Steiler Bogen

Last-Durchbiegungs-Linie

Stabilitätspunkte Stabilitätspunkte

Durchschlagpunkt und Verzweigungs- punkt werden häufig als Stabilitäts- punkte bezeichnet, obwohl diese Punkte nicht unbedingt zur Instabilität führen.

Bsp.: Ein System kann durch Verschiebungs- kontrolle oder bei aufgehender Verzweigung stabil bleiben, obwohl ein Durchschlagpunkt oder Verzweigungspunkt erreicht wird.

Durchschlagpunkt und Verzweigungs- punkt werden häufig als Stabilitäts- punkte bezeichnet, obwohl diese Punkte nicht unbedingt zur Instabilität führen.

Bsp.: Ein System kann durch Verschiebungs- kontrolle oder bei aufgehender Verzweigung stabil bleiben, obwohl ein Durchschlagpunkt oder Verzweigungspunkt erreicht wird.

Verzweigungsprobleme Verzweigungsprobleme

Knicken: Ebene Stabtragwerke

Kippen: Biegebalken

Drillknicken: Torsionsstäbe

Biegedrillknicken: Räumliche Stabtragwerke

Beulen: Flächentragwerke (Platten, Schalen)

Warum ist Knicken gefährlich ? Warum ist Knicken gefährlich ?

Stab unter Zug:

Versagen mit Vorankündigung !

Risse !

Stab unter Druck (Knicken):

Versagen ohne Vorankündigung ! Viel gefährlicher!

Beispiel: Knicken

Systemskizze

Eigenform 1

(Drillknicken)

Eigenform 2

(Knicken um die z-Achse)

Beispiel: Knicken

Eigenform 3

(Knicken um die y-Achse)

Eigenform 4

(Knicken um die z-Achse, 2. Eigenform)

Geometrische NichtlinearitätGeometrische Nichtlinearität

Um die Stabilität eines Systems zu analysieren, muss die geometrische Nichtlinearität berücksichtigt werden. Dies bedeutet:

• Endliche oder große Verformungen.• Nichtlinearer Zusammenhang zwischen

Dehnungen/Verzerrungen und Verschiebungen.

• Gleichgewicht am verformten System.

Um die Stabilität eines Systems zu analysieren, muss die geometrische Nichtlinearität berücksichtigt werden. Dies bedeutet:

• Endliche oder große Verformungen.• Nichtlinearer Zusammenhang zwischen

Dehnungen/Verzerrungen und Verschiebungen.

• Gleichgewicht am verformten System.

Gegenüberstellung von Stabwerkstheorien verschiedener OrdnungenGegenüberstellung von Stabwerkstheorien verschiedener Ordnungen

Theorie I. Ordnung und Theorie II. Ordnung Theorie I. Ordnung und Theorie II. Ordnung

Vergleich: Theorie I. Ordnung und Theorie II. Ordnung

FTh. I. Ordnung

Gleichgewicht am unverformten System !

! 0=IM

FTh. II. Ordnung

Gleichgewicht am verformten System !

w

! wFM II ⋅=

Th. II. Ordnung führt zu eine r Vergrößerung des Biegemomentes !

Bemerkungen zur Theorie II. Ordnung Bemerkungen zur Theorie II. Ordnung

Th. II. Ordnung ist nur eine Näherungstheorie der Theorie großer Verformungen.

Theorie großer Verformungen wird manchmal auch als Th. III. Ordnung bezeichnet.

Unter Druckkraft führt Th. II. Ordnung zu einer Vergrößerung des Biegemomentes, d.h., MI < MII.

Unter Zugkraft wird das Biegemoment nach Th. II. Ordnung reduziert, d.h., MII < MI. Hierbei führt Th. II. Ordnung zu einer wirtschaftlicheren Bemessung.