Upload
kamana
View
109
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
2. Równania różniczkowe pierwszego rzędu 2.1. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Def. 74 Równanie postaci(albo równoważnie - h(y)dy=f(x)dx ) nazywamy r. r. o zmiennych rozdzielonych. Rozwiązanie otrzymamy całkując obie strony równania. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
2. Równania różniczkowe pierwszego rzędu
2.1. Równanie o zmiennych rozdzielonych
Def. 74 Równanie postaci (albo równoważnie - h(y)dy=f(x)dx) nazywamy
r. r. o zmiennych rozdzielonych)(
)(
yg
xf
dx
dy
Rozwiązanie otrzymamy całkując obie strony równania
PrzykładRozwiązać równanie y’ =e-ycos2x przy warunku początkowym y(0)=0Mamy f(x)=cos2x, g(y)=ey Rozdzielamy zmienne eydy=cos2xdxCałka szczególna przy warunku początkowym y(0)=0
Inny sposób obliczenia całki szczególnej: znajdujemy całkę ogólnąi wyznaczamy stałą C z war. pocz.:
Cdxxfdyyg )()(
Tw. 60 Jeżeli f(x) ciągła w przedziale (a, b) a g(x) ciągła w przedziale (c, d) i różna od zera, to powyższy wzórprzedstawia całkę ogólną r.r. o stałych rozdzielonych. Ponadto przez każdy punkt tego prostokąta przechodzidokładnie jedna krzywa całkowa, którą można wyznaczyć ze wzoru
x
x
y
y
dttfdttg00
)()(
2
2sin1ln
2
2sin1
2
2sin2cos
00
00
xy
xe
tetdtdte y
xyt
xyt
Cx
e y 2
2sin
2
2sin1ln1
2
2sin101
2
02sin0 xy
xeCCCe y
2.2. Równania dające się sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych
2.2.1. Równanie jednorodneNiech f(u) będzie funkcją ciągłą w przedziale (a, b) taką, że f(u) ≠ u
Równanie o niewiadomej y(x) nazywa się równaniem różniczkowym jednorodnym
Równanie jednorodne można sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych za pomocą podstawienia u(x)=y/x
x
yf
dx
dy
PrzykładZnaleźć całkę ogólną równania
Najpierw trzeba sprawdzić, czy jest to równanie jednorodne. Wykonując wskazane dzielenie
otrzymamy . Podstawmy za y/x u(x) czyli
x
yx
dx
dy
x
y
dx
dy1
CxxxyCxux
dxdu
dx
duxxu
dx
duxxu
dx
duxxu
dx
xxud
dx
dyxxuy
lnln1)(1)(
)()]([
i )(
2.2.2. Równanie y’=f(ax+by+c)Jeżeli b≠0, równanie y’=f(ax+by+c) można sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych za pomocą podstawienia u(x)=ax+by+c
PrzykładZnaleźć całkę szczególną równania y’=(4x+y+7)2 przy warunku y(0)=-5
Podstawiamy u(x)=4x+y+7. Stąd y=u-4x-7 i
Teraz z warunku początkowego wyznaczamy stałą całkowania C
I ostatecznie szukana całka szczególna74)4/2(2
4/22725
74)2(2)2(274
)2(222
1
21
22
1
444
4 '
12222
xxtgy
CtgCtgC
xCxtgyCxtgyx
CxtguCxu
arctgdxu
ud
dxu
duu
dx
duu
dx
du
dx
du
dx
dyy
2.2.3. Równanie
Równanie takie można sprowadzić do równania jednorodnego lub do równania o zmiennych rozdzielonych
1. Jeżeli wyznacznik stosuje się podstawienia
gdzie stałe h i k wyznacza się z układu równań
Po takim podstawieniu równanie przyjmie postać (równanie jednorodne)
2. Jeżeli wyznacznik wówczas
Podstawiając otrzymamy równanie o zmiennych rozdzielonych
222
111'cybxa
cybxafy
022
11 ba
baW y-kηhxξ i
0
0
222
111
ckbha
ckbha
22
11
ba
ba
fd
d
022
11 ba
baW
2
1
2
1
b
b
a
a
ybxaz 22
2
122 cz
czfba
dx
dz
PrzykładZnaleźć całkę ogólną równania
Zachodzi przypadek 1. Rozwiązujemy układ równań
Układ ma jedno rozwiązanie h=3, k=-1
Podstawiamy co daje
Jest to równanie jednorodne, żeby je rozwiązać podstawiamy
W ten sposób otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych
Po scałkowaniu
Podstawiamy teraz
co daje ostateczne rozwiązanie
4
2
yx
yx
dx
dy
0211
11
W
04
02
kh
kh
1 i 3 yηxξ
1
1
d
d
u
d
duuu
u
12
12
222
12 )12(lnln12ln5,0 CuuCuu
3
1 i 3
x
yuxξ
Cyxyxyx 842 22
2.3. Równanie liniowe
Def. 75Równanie o niewiadomej y(x), gdzie p(x) i f(x) są to dane funkcje, ciągłe w pewnym przedziale (a, b) nazywa się równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu.
Równanie takie nazywa się jednorodnym, gdy f(x)=0 i niejednorodnym w przeciwnym przyp.
)()( xfyxpdx
dy
2.3.1. Równanie liniowe jednorodne
Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych. Jednym z rozwiązań jestJeżeli y(x)≠0, można rozdzielić zmienne
0)( yxpdx
dy
0)( xy
dxxpeCydxxpC
yCdxxpydxxp
y
dy )(
11 )(lnln)(ln)(
Tw. 61 Jeżeli p(x) ciągła w przedziale (a, b), to powyższy wzór przedstawia całkę ogólną równania liniowego jednorodnego. Ponadto przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania.
PrzykładZnaleźć całkę szczególną równania y’-y ctgx=0 przy warunku y(π /2)=2
xCCeCey
xx
xdxctgxdxdxxp
xdxxp sin
sinlnsin
cos)(
sinln)(
2.3.2. Równanie liniowe jednorodne o stałych współczynnikach
Jest to przypadek szczególny równania liniowego jednorodnego, w którym p(x)=k (stała).
y’ +ky=0
Rozwiązanie tego równania otrzymamy z rozwiązania równania liniowego jednorodnego
Teraz z warunku początkowego wyznaczamy stałą całkowania C.Ale najpierw trzeba zobaczyć, czemu jest równy . Nasz warunek początkowyjest podany dla x= π /2. Dla 0<x<π , zatem w tym przedzialecałka ogólna naszego równania y = C sinx
2 = C sinπ/2 = Cczyli C=2
i ostatecznie szukana całka szczególnay = 2 sinx
xsin
xx sinsin
kxkdxdxxp CeCeCey )(
2.3.3. Równanie liniowe niejednorodne
Rozwiązuje się w oparciu o rozwiązanie równania jednorodnego jedną z dwóch metod:1. Uzmienniania stałej2. Przewidywań
2.3.3.1. Metoda uzmienniania stałej
Polega ona na tym, że w rozwiązaniu równania jednorodnego stałą C zastępuje się nieznaną funkcją C(x), którą dobiera się tak, by wzór
przedstawiał rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego.
Jak to zrobić?Można zróżniczkować powyższy wzór:
Wstawiając oba te wzory do równania różniczkowego niejednorodnego otrzyma się
Po uporządkowaniu
czyli
a stąd
Udowodniliśmy zatem
dxxpexCy )()(
Tw. 62 Jeżeli p(x) i f(x) ciągłe w przedziale (a, b), to całka ogólna równania liniowego niejednorodnego wyraża się wzorem
Ponadto przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania.
dxexfeeCxy dxxpdxxpdxxp )()()(1 )()(
dxxpdxxp expxCexCdx
dy )()(' )]()[()(
)()()()]()[()( )()()(' xfexCxpexpxCexC dxxpdxxpdxxp
)()( )(' xfexC dxxp
dxxpexfxC )(' )()(
1)()()( CdxexfxC dxxp
PrzykładZnaleźć całkę szczególną równania y’-y ctgx=sin2x przy warunku y(-π /2)=1.Mamy zatem p(x)=-ctg x i
f(x)= sin2xMożna skorzystać z tw. 62, ale łatwiej jest wykorzystać obliczone poprzednio rozwiązanierównania jednorodnego i obliczyć C(x) jak w dowodzie tego twierdzenia.
Przyjmijmy zatem y = C(x) sin x. Różniczkując otrzymamy y’ = C’(x) sin x + C(x) cos x
a wstawiając y i y’ do równania wyjściowego dostaniemy C’(x) sin x + C(x) cos x – ctg x C(x) sin x= sin2x
Stąd C’(x) = sin xwięc C(x) = -cos x + C1
Zatem ostatecznie y(x) = C(x) sin x = -cos x sin x + C1 sin x = -0,5 sin 2x + C1 sin x
Z warunku początkowego 1=-0,5 sin(- π) + C1 sin (-π /2)= - C1
C1 =-1
i rozwiązaniem szczególnym jesty(x) = -(0,5 sin 2x + sin x)
Tw. 63 Całka ogólna równania liniowego niejednorodnego jest sumą całki ogólnej równania jednorodnego i jakiejkolwiek całki szczególnej równania niejednorodnego.
2.3.3.2. Metoda przewidywań
Oparta jest o tw. 63.Wystarczy odgadnąć jakąkolwiek całkę szczególną równania niejednorodnego.
Zakres zastosowań:1. Równanie jest równaniem o stałych współczynnikach tzn. p(x)=k i2. Funkcja f(x) jest jednej z poniższych postaci:
a. Wielomian Wn(x)b. Funkcja typu a1sinωx + a2cosωxc. Funkcji postaci a ebxy gdy b różne od –kd. Suma lub iloczyn funkcji tych trzech typów
Całkę szczególną przewidujemy w tej samej postaci co f(x) zachowując odpowiednio:a. Stopień wielomianu nb. Liczbę ωc. Liczbę b
Pozostałe stałe (współczynniki wielomianu, stałe a1, a2 i a) wyznaczmy z równania.
Przykład 1Znaleźć całkę ogólną równania
y’+4y =x3 Równanie jest o stałych współczynnikach (p(x)=4), a f(x)= x3 jest wielomianem, zatem można próbować rozwiązać to równanie metodą przewidywań.f(x) jest wielomianem stopnia 3, zatem odgadywana całka szczególna y1 też będzie wielomianem stopnia 3 czyli
y1 =Ax3 +B x2 +C x+Dy1 musi spełniać równanie y’+4y =x3 Liczymy y1’=3A x2 +2B x+CWstawiając do równania otrzymamy
3A x2 +2B x+C+4[Ax3 +B x2 +C x+D]= x3
Po uporządkowaniu 4Ax3 +(3A+4B)x2 +(2B+4C) x+(C+4D)= x3
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x otrzymamy:4A=13A+4B=02B+4C=0C+4D=0
Po rozwiązaniu tego układu równań liniowychA=1/4; B=-3/16; C=3/32; D=-3/128i całką szczególną jest y1 = 1/4 x3 -3/16 x2 + 3/32 x -3/128Całką ogólną równania jednorodnego jest y=Ce-4x
zatem całką ogólną równania jest (zgodnie z tw. 63) y=Ce-4x + 1/4 x3 -3/16 x2 + 3/32 x -3/128
Przykład 2Znaleźć całkę szczególną równania
y’+2y =xex spełniającą warunek początkowy y(0)=2
Równanie jest o stałych współczynnikach (p(x)=4), a f(x)= xex jest iloczynem wielomianu stopnia 1 i f. wykładniczej zatem można próbować rozwiązać to równanie metodą przewidywań.Odgadywana całka szczególna y1 też będzie iloczynem wielomianu stopnia 1 i funkcji wykładniczej czyli
y1 =(A x+B) ex
y1 musi spełniać równanie y’+2y =xex Liczymy y1’=Aex + (A x+B) ex
Wstawiając do równania otrzymamy Aex + (A x+B) ex +2(A x+B) ex =xex
Po podzieleniu przez ex i uporządkowaniu otrzymamy 3Ax+(A+3B)=x
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x otrzymamy:3A=1A+3B=0
Po rozwiązaniu tego układu równań liniowych A=1/3; B=-1/9i całką szczególną jest y1 = 1/3 (x-1/3) ex
Całką ogólną równania jednorodnego jest y=Ce-2x
zatem całką ogólną równania jest (zgodnie z tw. 63) y=Ce-2x + 1/3 (x-1/3) ex
Uwzględniając warunek początkowy y(0)=2 mamy 2=C e0 +1/3(0-1/3) e0 =C-1/9Stąd C=19/9 i ostatecznie szukane rozwiązanie y=19/9e-2x + 1/3 (x-1/3) ex
Tw. 64 Suma całki szczególnej równania
I całki szczególnej równania
Jest całką szczególną równania. )()()(
)()(
)()(
21
2
1
xfxfyxpdx
dy
xfyxpdx
dy
xfyxpdx
dy
Twierdzenie przydatne, gdy prawa strona jest sumą funkcji różnych dopuszczalnych typów
Porównanie metod rozwiązywania równań liniowych niejednorodnych
1. Metoda uzmienniania stałej:Uniwersalna, może być zawsze stosowana, ale często mozolna
2. Metoda przewidywań:Prostsza, zwykle mniej obliczeń, ale bardzo ograniczony zakres zastosowań
3. Równania różniczkowe drugiego rzędu
3.1. Równania sprowadzalne do równań różniczkowych pierwszego rzędu
PrzykładZnaleźć całkę ogólną i całkę szczególną przy warunkach pocz. y(0)=2, y’(0)=1 równania
y’’=y’ lny’
Po podstawieniu y’=u; y’’=u’ dostaniemyu’=u ln u
Jest to równanie pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych, więc da się rozwiązać.Rozwiązaniem jest ln u=Cex
Stąd ln y’=Cex
y’ =eCex =(eC )ex =(C1 ) ex
Z warunku y’(0)=1 można wyznaczyć stałą C1 1 =(C1 ) e0 =C1
Stąd
Z warunku y(0)=2 mamy 2=0+ C2 i ostatecznie y=x+2
21)( CdxCyxe
3.1.1. Równanie typu F(x, y’, y’’)=0Nie występuje w nim zmienna y(x)
Równanie takie można sprowadzić do równania pierwszego rzędu za pomocą podstawienia u(x)=y’
bo y’’=u’ i otrzymujemy równanie F(x, u, u’)=0
22221 11)( CxCdxCdxCdxCyxx ee
PrzykładZnaleźć całkę ogólną równania
1+(y’)2=2yy’
Po podstawieniu y’=u(y); y’’=u’y’=u’u dostaniemy 1+u 2 = 2yuu’
Jest to równanie pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych, więc da się rozwiązać.
3.1.2. Równanie typu F(y, y’, y’’)=0Nie występuje w nim zmienna x
Równanie takie można sprowadzić do równania pierwszego rzędu za pomocą podstawienia y’=u(y)
bo y’’=u’y’=u’u i otrzymujemy równanie F(y, u, uu’)=0
1'
1
lnlnlnln
ln)1ln(
1
2
1
21
11
2
2
yCyu
uyC
yCCyCy
Cyu
y
dy
u
udu
Jest to ponownie równanie o zmiennych rozdzielonych, więc da się rozwiązać.
12
1
22
1
21111
111
111
11
1
gdzie ,1
)(4
eostateczni i
) ()14( , 12
2 2 ,2
zatem
2
12 i
12mamy 1 acPodstawiaj
1
C
CC
CxC
Cy
CxCyCCxCyC
CxCzdxCdzdxdzC
dzCyC
dy
yC
dyCdzzyC
dxyC
dy
3.2. Równanie liniowe
Def. 75aRównanie y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x), gdzie p(x), q(x) i f(x) są to dane funkcje, ciągłe w pewnym przedziale (a, b) nazywa się równaniem różniczkowym liniowym drugiego rzędu.
Równanie takie, podobnie jak liniowe równanie pierwszego rzędu, rozwiązuje się rozwiązując najpierw odpowiadające mu równanie jednorodne y’’+p(x)y’+q(x)y=0
3.2.1. Równanie liniowe jednorodney’’+p(x)y’+q(x)y=0
Def. 76Dwie całki y1(x) i y2(x) równania liniowego jednorodnego nazywamy układem podstawowym całek tego równania, jeżeli wrońskianJózef Maria Wroński (1778-1853)
0)(')('
)()(
21
21 xyxy
xyxy
Tw. 65 Jeżeli dwie całki y1(x) i y2(x) równania liniowego jednorodnego stanowią układ podstawowy całek tego równania, to rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór
y=C1y1(x)+C2y2(x)
Nie istnieje ogólna metoda znajdowania układu całek podstawowychdla dowolnych funkcji p(x) i q(x). Potrafimy rozwiązać równanie liniowe jednorodne tylko w szczególnych przypadkach
z których najważniejszym jest
3.2.2. Równanie liniowe jednorodne o stałych współczynnikachy’’+py’+qy=0 (p, q – stałe)
Rozwiązanie zależy od pierwiastków tzw. równania charakterystycznego dla naszego równania różniczkowego
r2+pr+q=0
Rozwiązanie zależy od wyróżnika tego równania Δ= p2-4q
Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór
Przypadek A – Δ>0Równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste
)22
,22
( 22 212,1
pr
pr
pr
eCeCy xrxr 2121
Przypadek B – Δ=0Równanie charakterystyczne ma jeden pierwiastek rzeczywisty (podwójny)Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór
xreCxCy 0)( 21 20
pr
Przypadek C – Δ<0Równanie charakterystyczne nie ma pierwiastków rzeczywistych – ma dwa
pierwiastki zespolone sprzężone
2
4
2 ;
2
,
2
21
pqp
irir
Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór
xCxCey x )cossin( 21
PrzykładZnaleźć całkę szczególną równania
y’’+4y’+5y =0 Spełniające warunki początkowe y(0)=0, y’(0)=1Równanie charakterystyczne tego równania różniczkowego
r2 +4x+5=0 Δ=16-20<0
Przypadek CCałka ogólna tego równania
gdzie
Zatem y=e-2x(C1sin x + C2cos x)Do uwzględnienia war. pocz. trzeba policzyć pochodną y
y’=-2e-2x(C1sin x + C2cos x)+e-2x(C1cos x - C2sin x)Dostajemy układ równań 0=e0(C1sin 0 + C2cos 0)=C2
1=-2e0(C1sin 0 + C2cos 0)+e0(C1cos 0 - C2sin 0)=-2C2 +C1
Stąd C2 = 0; C1 =1
i ostatecznie y=e-2xsin x
xCxCey x )cossin( 21
12
1620
2
4 ;2
2
2
pqp
3.2.3. Równanie liniowe rzędu drugiego niejednorodney’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)
otrzymuje się z rozwiązania równania jednorodnego tymi samymi metodami, co równanie liniowe niejednorodne rzędu pierwszego, tj.
1. Uzmienniania stałej2. Przewidywań i wykorzystując tw. 63 i 64
3.3. Równanie Eulera
x2y’’+xpy’+qy=0 (p, q – stałe)
Równanie Eulera można sprowadzić do równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach przez podstawienie x=eu
0)1(2
2
qydu
dyp
du
yd
PrzykładZnaleźć całkę ogólną równania
x2 y’’+xy’-y =0 Po podstawieniu x=eu
otrzymuje się
Rozwiązaniem tego równania jest y=C1eu + C2e-u= C1x + C2/x
02
2
ydu
yd
4. Równania różniczkowe n-tego rzędu
4.1. Równanie liniowey(n) +pn-1(x)y(n-1) + ... +p2 (x)y’’+p1(x)y’+ p0(x) y=f(x)
Rozwiązuje się tak samo, jak równanie liniowe rzędu drugiego tj. rozwiązując najpierw odpowiednie równanie jednorodne, a potem otrzymując z niego rozwiązanie równania niejednorodnego metodą uzmienniania stałej lub przewidywań.
Def. 76 i tw. 65 stosuje się analogicznie:
Def. 76an całek y1(x), y2(x), ... yn(x) równania liniowego jednorodnego nazywamy układem podstawowym całek tego równania, jeżeli wrońskian
0
)()()(
)(')(')('
)()()(
)1()1(2
)1(1
21
21
xyxyxy
xyxyxy
xyxyxy
nn
nn
n
n
Tw. 65a Jeżeli całki y1(x), y2(x), ... yn(x) równania liniowego jednorodnego stanowią układ podstawowy całek tego równania, to rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór
y=C1y1(x)+C2y2(x)+ ... + Cnyn(x)
Nie istnieje ogólna metoda znajdowania układu całek podstawowych
4.1.1. Równanie liniowe o stałych współczynnikachy(n) +pn-1y(n-1) + ... +p2 y’’+p1y’+ p0y=f(x) (pn-1, ... p2, p1, p0 – stałe)
Najpierw rozwiązujemy odpowiednie równanie jednorodne. Jego rozwiązanie zależy od pierwiastków równania charakterystycznego dla naszego równania różniczkowego
rn+ pn-1rn-1+ p2 r2 +p1r +p0=0
Przypadek A – równanie charakterystyczne ma n różnych pierwiastków rzeczywistych
Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego w tym przypadku przedstawia wzór
eCeCeCy xrn
xrxr n 2121
Analogicznie postępujemy w innych przypadkach
IV. Równania różnicowe
1. Ciągi liczbowe a funkcje
1.1. Sposoby przedstawiania ciągów liczbowych
Ciąg Znany opis ciągu Inny opis ciągu
2,2 }2{ ,...16,8,4,2
1,2 }12{ ,...7,5,3,1
, }{ ,...,,,
11
11
11
yyyy
yyyny
ayyyayaaaa
nnn
n
nnn
nnn
1.2. Ciąg liczbowy jako funkcja
Ciąg liczbowy możemy uważać za funkcję, której wartość określona jest tylko dla wybranych (całkowitych) wartości argumentu, czyli funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych – D={N}
Wiele pojęć dla funkcji (pochodna, różniczka, całka, równanie różniczkowe) ma swoje odpowiedniki dla ciągów.
2)1( ,12' 2
0)0( ,4' 4
)( ),,(' )(
23
00
yxyxy
yyxy
yxyyxfyxfy
1.3. Różnica Δ
Różnicę wyrazu yn możemy uważać za odpowiednik pochodnej funkcji w punkcie x0 =n, a nowy ciąg różnic – jako odpowiednik (funkcji) pochodnej danej funkcji f(x).
Odpowiednikiem drugiej pochodnej będzie druga różnica ciągu yn
Def. 77Wyrażenie yn+1- yn nazywamy różnicą wyrazu yn, i oznaczamy Δ yn =yn+1- yn
PrzykładDany jest ciąg 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... czyli yn ={n2}
Δ y1 = y2- y1 = 4-1=3 Δ y2 = y3- y2 = 9-4=5 Δ y3 = y4- y3 = 16-9=7 Δ y4 = y5- y4 = 25-16=9
Otrzymujemy nowy ciąg (ciąg różnic) Δ y1 , Δ y2 , Δ y3 , Δ y4 ,...3, 5, 7, 9, ... czyli Δ yn ={2n+1}
Przykład poprzedni Δ (Δ y1)= Δ y2- Δ y1 = 5-3=2 Δ (Δ y2)= Δ y3- Δ y2 = 7-5=2 Δ (Δ y3 )= Δy4- Δ y3 = 9-7=2 itp.
Czyli otrzymujemy ciąg drugich różnic Δ2yn= {2}
Def. 77aWyrażenie Δk yn
= Δ (Δk-1 yn) nazywamy k-tą różnicą wyrazu yn. Δ2 yn
= Δ (Δyn)
Δ3 yn = Δ (Δ2yn)
Δ4 yn = Δ (Δ3yn) itp
Ponieważ różnicę możemy uważać za odpowiednik pochodnej funkcji, to własności różnicy są podobne do własności pochodnej, w szczególności:
Δ (yn + zn )= Δyn+ Δzn
Δ (cyn)= cΔyn
Δ (yn zn )= yn+1 Δzn+zn Δyn
1
nn
nnnn
n
n
zz
yyyz
z
y
Def. 78 operatora Δ-1
Δ (Δ-1 yn)= yn
Łatwo wykazać, że:
Analogia z sumowaniem, a dla funkcji ciągłych – z operacją odwrotną do różniczkowania czyli całkowaniem
1
1
1n
kkn yCy
Równanie różnicowe to zależność między różnicami pewnego ciągu w jednym lub kilku punktach
Każdą różnicę można wyrazić poprzez wyrazy ciągu:Δ yn =yn+1- yn Δ2 yn
= Δ (Δyn) = Δ(yn+1- yn)= Δyn+1- Δyn= (yn+2- yn+1)- (yn+1-yn )= yn+2- 2yn+1+ yn
itp., w szczególności Δk yn można wyrazić przez yn , yn+1 , yn+2 , ..., yn+k
zatem w równaniu różnicowym zamiast różnic można wstawić odpowiednie wyrazy ciągu
2. Równania różnicowe
PrzykładyΔyn+1 -n2 Δ2yn-1=1 (Δ2yn )2-yn+2 +3=0
Przykładyyn+2 - yn+1 -n2 (yn+1 - 2yn +yn-1 ) =1 (yn+1 - 2yn +yn-1 )
2-yn+2 +3=0
Def. 79 (równania różnicowego)Równaniem różnicowym k-tego rzędu nazywamy równanie
F(n, yn , yn+1
, yn+2 , … yn+k)=0
w którym niewiadomą jest ciąg yn
Por. def. 70 równania różniczkowego!!!!
Podobnie jak dla równań różniczkowych możemy poszukiwać dla równania różnicowego1. rozwiązania ogólnego2. rozwiązania szczególnego
Rozwiązanie ogólne równania różnicowego rzędu pierwszego zawiera jedną dowolną stałą C,a równania rzędu k – k dowolnych niezależnych stałych.
Aby znaleźć rozwiązanie szczególne równania różnicowego, należy podać (podobnie jak dla równania różniczkowego), odpowiednie warunki początkowe (brzegowe).
Przykładyn+1 =(n+1) yn
Rozwiązaniem ogólnym jest yn=Cn! (C- dowolna stała)Jeżeli znamy warunek brzegowy y2 =6, to C=3 i yn=3n!
Tw. 66 (por. def. Zagadnienia Cauchy’ego dla równania różniczkowego)Równanie różnicowe k-tego rzędu F(n, yn
, yn+1 , yn+2
, … yn+k)=0wraz z k niezależnymi dodatkowymi warunkami umożliwiającymi wyznaczenie k wartości ciągu yn ma jednoznaczne rozwiązanie
3. Równania różnicowe liniowe
Równaniem różnicowym liniowym k-tego rzędu nazywamy równanie postaci:yn+k+pk-1(n) yn+k-1 + ... +p2 (n) yn+2+p1(n) yn+1+ p0(n) yn=f(n)
3.1. Równania o stałych współczynnikach
yn+k+pk-1yn+k-1 + ... +p2 yn+2+p1yn+1+ p0 yn=f(n) (pk-1, ... p2, p1, p0 – stałe)
Gdy f(n)=0 – równanie jednorodne; dla dowolnego f(n) – równanie niejednorodne.
3.1.1. Równanie liniowe o stałych współczynnikach jednorodneRównanie pierwszego rzędu
yn+1+ pyn=0
yn+1=-pyn
Rozwiązanie ogólneyn=C(-p)n
Rozwiązanie szczególne przy warunku yk=ayk=C(-p)k=a
Stąd C(-p)k=a (-p)-k czyli yn=a(-p)n-k
Przykładyn+1 -3 yn =0
Rozwiązaniem ogólnym jest yn=C 3n (C- dowolna stała)Jeżeli znamy warunek brzegowy y1 =6, to C=2 i yn= 2 3n
Równanie drugiego rzęduyn+2+ pyn+1+ qyn=0
Rozwiązanie zależy od pierwiastków tzw. równania charakterystycznego dla naszego równania różnicowego
r2+pr+q=0a te pierwiastki zależą z kolei od wyróżnika tego równania Δ= p2-4q
Przypadek A – Δ>0Równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór
Przypadek B – Δ=0Równanie charakterystyczne ma jeden pierwiastek rzeczywisty (podwójny)Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór
Przypadek C – Δ<0Równanie charakterystyczne nie ma pierwiastków rzeczywistych
Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór
rCrCy nnn 2211
222,1
pr
20
pr
CnCry nn )( 210
p
pqarctg
parctg
nCnCqyn
n
2
212
42
2 gdzie
)cossin(
Przykład
Rozwiązać równanie yn+2 - 7yn+1 +10 yn =0
Równanie charakterystyczne r2-7r+10=0Δ= 49-40=9 => r1 =2, r2 =5
Rozwiązaniem ogólnym jest yn=C1 2n + C2 5n (C1, C2 - dowolne stałe)
Jeżeli znamy warunki brzegowe y1 =12, y2 =54 to y1 = C1 21 + C2 51 =12 y2 = C1 22 + C2 52 = 54,
stąd C1=1, C2 =1 i yn= 2n +2 5n
Równania wyższego rzędu
Rozwiązuje się analogicznie przez wyznaczenie pierwiastków równania charakterystycznego dla naszego równania różnicowego rk+ pk-1rk-1+ p2 r2 +p1r +p0=0
Np. gdy równanie charakterystyczne ma wszystkie różne pierwiastki rzeczywiste, to rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór
rCrCrCy nkk
nnn ...2211
3.1.2. Równanie liniowe o stałych współczynnikach niejednorodne
Rozwiązuje się tak samo jak równania różniczkowe korzystając z Tw. 63a Rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i jakiegokolwiek rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego.Rozwiązanie szczególne znajduje się metodą przewidywań
Przykład
Rozwiązać równanie yn+2 - 7yn+1 +10 yn =n-1
Rozwiązaniem ogólnym jest yn=C1 2n + C2 5n (C1, C2 - dowolne stałe)
Rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci yn=an+ba(n+2)+b-7[a(n+1)+b]+10(an+b)=n-14an+4b+2a-7a+10b=n-1
Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach n4a=1-5a+14b=-1
Stąd a=1/4, b=1/56
Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego yn=n/4+1/56
Ponieważ rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego jest yn=C1 2n + C2 5n
to rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego jest yn=C1 2n + C2 5n +n/4+1/56
3.2. Równania o współczynnikach zależnych od n
3.2.1. Równanie pierwszego rzędu
Równanie jednorodneyn+1- p(n)yn=0
yn+1=p(n)yn
Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzóryn=Cp(1)p(2)...p(n-1)
PrzykładRozwiązać równanie yn+1 -n yn =0Rozwiązaniem ogólnym jest yn=C.1.2.3...(n-1)=C(n-1)!
Równanie niejednorodneyn+1- p(n)yn=f(n)
Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór
PrzykładRozwiązać równanie yn+1 -n yn =1
Rozwiązaniem ogólnym jest
gdzie C- dowolna stała
kppp
kfCnpppy
n
kn
1
1 )(...)2()1(
)()1(...)2()1(
k
Cnyn
kn
1
1 !
1)!1(
4. Równania różnicowe nielinioweŁatwo rozwiązuje równania sprowadzalne do równań liniowych
PrzykładRozwiązać równanie
nzz
zy
nyy
nn
n
nn
nn
n
43y otrzymujem
ącPodstawiaj
43
1
2
221
KONIEC