1. Penjumlahan  dan  Pengurangan  Vektor    a. Aturan  Segitiga  

 Vektor  𝑎  dan  vektor  𝑏  membentuk  sudut  𝛼  jika  dijumlahkan  secara  grafis    

Gambar  5    Pindahkan    awal  vektor  𝑏  ke  ujung  vektor  𝑎    

Gambar  6    Tarik  garis  dari  awal  vektor  𝑎  ke  ujung  vektor  𝑏      

Gambar  7    Sesuai  dengan  aturan  cosinus  pada  pembahasan  trigonometri    

𝑎 + 𝑏 = 𝑎 ! + 𝑏!− 2 𝑎 𝑏 cos 180! − 𝛼

𝑎 + 𝑏 = 𝑎 ! + 𝑏!− 2 𝑎 𝑏 − cos𝛼

𝑎 + 𝑏 = 𝑎 ! + 𝑏!+ 2 𝑎 𝑏 cos𝛼

   

 

   

   Secara  matriks  𝑎 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ  dijumlahkan  dengan  𝑏 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ    𝑎 + 𝑏 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ + 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ𝑎 + 𝑏 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ+ 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ𝑎 + 𝑏 = 𝑥!ı+ 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ+ 𝑦!ȷ𝑎 + 𝑏 = 𝑥! + 𝑥! ı+ 𝑦! + 𝑦! ȷ

   

 

Gambar  8      

   

   

Panjang  vektor  hasil  penjumlahan  vektor  𝑎  dan  𝑏  adalah    

𝑎 + 𝑏 = 𝑎 ! + 𝑏!+ 2 𝑎 𝑏 cos𝛼  

Jika  vektor  𝑎 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ  dijumlahkan  dengan  vektor  𝑏 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ  maka    

𝑎 + 𝑏 = 𝑥! + 𝑥! ı+ 𝑦! + 𝑦! ȷ  

 

Untuk  pengurangan    𝑎 − 𝑏  sama  dengan  penjumlahan  lawan  vektor  𝑏  maka    𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + −𝑏

𝑎 − 𝑏 = 𝑎 ! + − 𝑏!+ 2 𝑎 − 𝑏 cos𝛼

𝑎 − 𝑏 = 𝑎 ! + 𝑏!− 2 𝑎 𝑏 cos𝛼

   

   

           

 

Gambar  9    Secara  matriks  𝑎 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ  dijumlahkan  dengan  𝑏 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ    𝑎 − 𝑏 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ − 𝑥!i+ 𝑦!j𝑎 − 𝑏 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ− 𝑥!ı− 𝑦!ȷ𝑎 − 𝑏 = 𝑥!ı− 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ− 𝑦!ȷ𝑎 − 𝑏 = 𝑥! − 𝑥! ı+ 𝑦! − 𝑦! ȷ

   

   

Panjang  vektor  hasil  pengurangan  vektor  𝑎  dengan  𝑏  adalah    

𝑎 − 𝑏 = 𝑎 ! + 𝑏!− 2 𝑎 𝑏 cos𝛼  

 

 

     

Gambar  10    

 Karena  sifat  komutatif  tidak  berlaku  pada  pengurangan  maka    𝑥! − 𝑥! ≠ 𝑥! − 𝑥!  dan  𝑦! − 𝑦! ≠ 𝑦! − 𝑦!  sehingga    

𝑎 − 𝑏 ≠ 𝑏 − 𝑎    

Gambar  11    Dari  gambar  11  di  atas  dapat  disimpulkan    Vektor  𝑎 − 𝑏  sama  dengan  vektor  dari  ujung  𝑏  ke  ujung  𝑎      Vektor  𝑏 − 𝑎  sama  dengan  vektor  dari  ujung  𝑎  ke  ujung  𝑏    

 

Jika  vektor  𝑎 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ  dikurangkan  dengan  vektor  𝑏 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ  maka    

𝑎 − 𝑏 = 𝑥! − 𝑥! ı+ 𝑦! − 𝑦! ȷ  

 

b. Aturan  Jajaran  Genjang    

Gambar  12    Pada  aturan  jajaran  genjang  titik  awal  kedua  vektor  sama  kemudian  dibuat  jajaran  genjang  seperti  pada  gambar    Hasil  penjumlahan  adalah  vektor  yang  merupakan  diagonal  jajaran  genjang  yang  berasal  dari  titik  awal  kedua  vektor      

Gambar  13    Pengurangan  sama  dengan  penjumlahan  lawan  atau  negatif  vektor  pengurang    

   

 

Perhatikan  penjumlahan  dua  vektor  dengan  metode  jajaran  genjang    

Gambar  14    Pada  bagian  atas  dari  ujung  𝑏  digambarkan  awal  𝑎  sehingga  hasilnya  adalah  𝑏 + 𝑎    Pada  bagian  bawah  dari  ujung  𝑎  digambarkan  awal  𝑏  sehingga  hasilnya  adalah  𝑎 + 𝑏    Hasilnya  sama  yaitu  diagonal  jajaran  genjang  dari  titik  awal  kedua  vektor  sehingga    

   

       

       

   

Pada  penjumlahan  vektor  berlaku  sifat  komutatif  penjumlahan    

𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎  

 

c. Aturan  Poligon    Jika  vektor  yang  akan  dijumlahkan  lebih  dari  dua    

Gambar  15    Awal  vektor  kedua  dipindahkan  ke  akhir  vektor  pertama  kemuadian  awal  vektor  ketiga  dipindahkan  ke  ujung  vektor  kedua  begitu  seterusnya  sampai  semua  vektor  sudah  digambarkan    Hasil  penjumlahan  adalah  vektor  yang  ditarik  dari  awal  vektor  pertama  ke  ujung  vektor  terakhir    Untuk  jelasnya  lihat  gambar  16      

Gambar  16      

 

d. Vektor  Antara  Dua  Titik    Vektor  digambarkan  dengan  titik  awal  dan  titik  akhir/ujung  berarti  untuk  menggambarkan  vektor  di  butuhkan  dua  titik    Vektor  posisi  titik  𝐴 𝑥!,𝑦!  adalah  𝑎 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ    Vektor  posisi  titik  𝐵 𝑥! ,𝑦!  adalah  𝑏 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ      

Gambar  17    Sesuai  aturan  penjumlahan  dengan  metode  segitiga    𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵𝑎 + 𝐴𝐵 = 𝑏𝐴𝐵 = 𝑏 − 𝑎        

𝐴𝐵 = 𝑏 − 𝑎𝐴𝐵 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ − 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ𝐴𝐵 = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ− 𝑥!ı− 𝑦!ȷ𝐴𝐵 = 𝑥!ı− 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ− 𝑦!ȷ𝐴𝐵 = 𝑥! − 𝑥! ı+ 𝑦! − 𝑦! ȷ

 

   

       

 

Jika  𝑎  dan  𝑏  adalah  masing  masing  vektor  posisi  titik  𝐴  dan  𝐵  maka  vektor  𝐴𝐵  adalah    

𝐴𝐵 = 𝑏 − 𝑎 = 𝑥! − 𝑥! ı+ 𝑦! − 𝑦! ȷ    Panjang  vektor  𝐴𝐵  adalah    

𝐴𝐵 = 𝑥! − 𝑥! ! + 𝑦! − 𝑦! !