2ο Γενικό Λύκειο Λευκάδας – «Άγγελος Σικελιανός»2lyk-lefkad.lef.sch.gr/new/_files/_physics/_test/test_fys_g.pdf · 2ο Γενικ Λ `κειο

2ο Γενικό Λύκειο Λευκάδας – «Άγγελος Σικελιανός» 07 Μαΐου 2014

Σ ε λ ί δ α 1 | 14

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ −ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διάρκεια: 3 Ώρες ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτη-σης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση. Α1. Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις 1, 2 που εξελίσσονται γύρω από το ίδιο σημείο, έχουν την ίδια διεύθυνση και εξισώσεις: x1 = Aημωt και x2 = Aημ(ωt + π/2) αντίστοιχα. Τις στιγμές που οι απομακρύνσεις των ταλαντώσεων 1 και 2 είναι αντίθετες μεταξύ τους η ταχύτητα του σώματος έχει μέτρο:

α. υ ωΑ β. υ 2ωΑ γ. υ 3ωΑ δ. υ 2ωΑ (Μονάδες 5 )

Α2. Στην επιφάνεια ενός υγρού διαδίδονται δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα που παράγονται από σύγχρονες πηγές Π1, Π2 ίδιου πλάτους Α και περιόδου Τ. Σε ένα σημείο Κ της επιφάνειας του υγρού το κύμα από την πηγή Π2 φτά-νει με χρονική διαφορά Δt = 2,5T μετά την άφιξη του κύματος από την πηγή Π1. Το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Κ είναι ίσο με:

α. μηδέν β. Α γ. 2Α δ. 2A (Μονάδες 5 )

Α3. Αν σε ένα στερεό σώμα που περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα η συνισταμένη των ροπών είναι σταθερή και διαφορετική του μηδενός τότε: α. το σώμα είναι ακίνητο. β. το σώμα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. γ. η στροφορμή του σώματος είναι σταθερή. δ. ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος είναι σταθερός.

(Μονάδες 5 )

Α4. Μια σφαίρα Σ1 μάζας m1 συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με αρχικά ακίνητη σφαίρα Σ2 μάζας m2. Η σφαίρα Σ1:

α. θα αλλάξει φορά κίνησης αν m1 < m2. β. θα ακινητοποιηθεί αν m1 = m2. γ. θα έχει μείωση κινητικής ενέργειας ίση με την αύξηση της κινητικής ενέρ-γειας της Σ2. δ. ισχύουν όλα τα παραπάνω.

(Μονάδες 5 )


Σ ε λ ί δ α 2 | 14

Οδηγία: Στην παρακάτω ερώτηση 5 να γράψετε στο τετράδιο σας το γράμμα κάθε

πρότασης και δίπλα την λέξη Σωστό για την σωστή πρόταση και την λέξη Λάθος

για την λανθασμένη.

Α5. α. Σε ένα ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων η ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου είναι ίση με την ενέργεια μαγνητικού πεδίου όταν το

φορτίο του πυκνωτή είναι Q

q2

όπου Q είναι το μέγιστο φορτίο του

πυκνωτή. β. Όταν αυξάνουμε την χωρητικότητα του κυκλώματος επιλογής σταθμών ενός ραδιοφώνου συντονιζόμαστε με ραδιοφωνικούς σταθμούς που εκπέμπουν σε μεγαλύτερη συχνότητα. γ. Σε ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα που διαδίδεται σε μία χορδή τα σημεία της χορδής που έχουν κάθε στιγμή ίδια απομάκρυνση απέχουν μεταξύ τους απόσταση ίση με ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος. δ. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του

επιπέδου που ορίζουν.

ε. Κατά την πλαστική κρούση δύο σωμάτων η μηχανική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή.

(Μονάδες 5 )

ΘΕΜΑ Β

Β1. Σώμα μάζας m = 1Kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς K = 400 N/m. Η εξίσωση απομάκρυνσης του σώματος από την θέση ισορροπίας είναι: x = Α1 ημ10πt (S.I.). Αν μεταβάλουμε την συχνότητα του διεγέρτη σε 10 Hz το πλάτος ταλά-ντωσης του σώματος είναι Α2 για το οποίο ισχύει: α. Α1 = Α2 β. Α1 > Α2 γ. Α1 < Α2 Επιλέξτε την σωστή απάντηση.

(Μονάδες 2 ) Αιτιολογείστε την επιλογή σας.

(Μονάδες 5 ) Β2. Μια ακτίνα μονοχρωματικής ακτινοβολίας που διαδίδεται στον αέρα και στην κατεύθυνση του ά-ξονα x προσπίπτει κάθετα στην μια πλευρά ενός τριγωνικού πρί-σματος ΑΒΓ όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα με κάθετες πλευ-ρές (ΑΒ) = 3 cm και (AΓ) = 4 cm.

Γ

Β

Α


Σ ε λ ί δ α 3 | 14

Το ηλεκτρικό πεδίο της ακτινοβολίας στον αέρα περιγράφεται από την εξί-σωση:

72 10

E 9 10 ημ2π ft x6

(S.I.)

Αν το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στο πρίσμα είναι λ = 450 nm τότε η

ακτίνα όταν προσπίπτει στην πλευρά ΒΓ:

α. θα εξέλθει στον αέρα. β. θα διαδοθεί στην διεύθυνση της πλευράς ΒΓ. γ. θα υποστεί ολική ανάκλαση. Επιλέξτε την σωστή απάντηση.

(Μονάδες 2 ) Αιτιολογείστε την επιλογή σας.

(Μονάδες 6 ) Ο δείκτης διάθλασης του αέρα είναι: nα = 1. Β3. Ένα ομογενές στερεό μάζας Μ και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης μέ-τρου F που ασκείται συνεχώς στο κέντρο του. Αν στο στερεό ασκείται στατική τριβή μέτρου

s

2FT

5 το στερεό είναι:

α. Ομογενής κύλινδρος ( 21I MR

2 ).

β. Ομογενής συμπαγής σφαίρα ( 22I MR

5 ).

γ. Λεπτός σφαιρικός φλοιός ( 22I MR

3 ).

Επιλέξτε την σωστή απάντηση. (Μονάδες 2 )

Αιτιολογείστε την επιλογή σας. (Μονάδες 8 )

ΘΕΜΑ Γ

Κατά μήκος μιας ελαστικής χορδής ΒΓ που εκτείνεται στην διεύθυνση του

άξονα x διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα της μορφής:

𝑭


Σ ε λ ί δ α 4 | 14

y 10ημ2π 5t 0,2x όπου x, y είναι σε cm και t σε s.

Το δεξιό άκρο Γ της χορδής είναι στερεωμένο ακλόνητα, με αποτέλεσμα το

κύμα να ανακλαστεί και να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Μεταξύ των άκρων

της χορδής υπάρχουν, εκτός από το δεξιό άκρο, 5 ακίνητα σημεία. Το αρι-

στερό άκρο Β της χορδής που βρίσκεται στη θέση x = 0 είναι ελεύθερο, δη-

μιουργείται σε αυτό κοιλία και θεωρούμε ότι εκτελεί απλή αρμονική ταλά-

ντωση χωρίς αρχική φάση. Να βρείτε:

Γ1. την ταχύτητα διάδοσης του κύματος και να γράψετε την εξίσωση του

στασίμου κύματος. (Μονάδες 6 )

Γ2. το μήκος της χορδής. (Μονάδες 6 )

Γ3. την εξίσωση της ταχύτητας σαν συνάρτηση του χρόνου για την κοιλία Κ

που είναι κοντινότερη στο αριστερό άκρο Β της χορδής. (Μονάδες 6 )

Γ4. τις θέσεις των σημείων της χορδής που έχουν το ίδιο πλάτος ταλάντωσης

με το μέσον Μ της χορδής. (Μονάδες 7 )

Δίνεται: π 2

συν4 2 .

ΘΕΜΑ Δ Μία κυκλική πλατφόρμα μάζας Μ = 100 Kg

και ακτίνας R περιστρέφεται χωρίς τριβές

γύρω από ακλόνητο κατακόρυφο άξονα με την

φορά που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Πάνω

στην πλατφόρμα βρίσκεται στο σημείο Α σε α-

πόσταση R

d2

από τον άξονα ένας άνθρω-

πος μάζας m = 70 Kg. Ο άνθρωπος αρχίζει να

μετακινείται κατά μήκος μίας ακτίνας και φτά-

νει σε σημείο Β της περιφέρειας της πλατφόρ-

μας. Την t = 0 στην εφαπτόμενη που περνά

από το σημείο Β βρίσκεται ακίνητη πηγή ήχου

S συχνότητας fs = 680 Hz όπως φαίνεται στο S

R

Α Β

d


Σ ε λ ί δ α 5 | 14

σχήμα. Στο σημείο Β η γραμμική ταχύτητα του ανθρώπου είναι Β

mυ 9

s .

Να βρείτε:

Δ1. Την συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο άνθρωπος την στιγμή t = 0.

(Μονάδες 6 ) Δ2. Την γραμμική ταχύτητα του ανθρώπου όταν βρίσκονταν στο σημείο Α.

(Μονάδες 6 ) Την στιγμή t = 0 ασκείται στην πλατφόρμα σταθερή εξωτερική ροπή και η πλατφόρμα σταματά μετά από 25 πλήρεις περιστροφές. Να βρείτε: Δ3. To μέτρο της εξωτερικής ροπής.

(Μονάδες 6 ) Δ4. Την συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο άνθρωπος την στιγμή που η πλατφόρμα έχει πραγματοποιήσει 16 πλήρεις περιστροφές μετά την στιγμή t = 0.

(Μονάδες 7 ) Δίνεται η ροπή αδράνειας της πλατφόρμας ως προς τον άξονα περιστρο-

φής: 21I MR

2 και η ταχύτητα του ήχου:

mυ 340

s .

Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα

Καλή Επιτυχία!

Εισηγητές:

Κοψιδάς Δημήτριος

Σωτήρης Χόρτης


Σ ε λ ί δ α 6 | 14

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ Α

Α1 β Αιτιολόγηση: Όταν οι απομακρύνσεις των συνιστωσών ταλαντώσεων είναι αντίθετες

(x1 = − x2) από την αρχή της επαλληλίας προκύπτει: 1 2x x x 0 , δηλαδή το σώμα βρί-

σκεται στην θέση ισορροπίας.

Άρα: 2 2

max ολ

πυ υ ωΑ ω Α Α 2ΑΑ συν

2

0

2ω 2Α 2ωΑ

Α2 α, Α3 δ, Α4 δ Α5 α Λάθος, β Λάθος, γ Σωστή, δ Σωστή, ε Λάθος.

ΘΕΜΑ Β

Β1. Σωστή είναι η β.

Η ιδιοσυχνότητα του συστήματος είναι: 0

1 Kf

2π m ή αντικαθιστώντας:

0

1 400 20f Hz= Hz

2π 1 2π ή

0

10f Hz

π

Από την δοσμένη εξίσωση προκύπτει ότι για πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης Α1 η γω-

νιακή συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης είναι: ω1 = 10π rad/s. Συνεπώς αν f1 είναι

η συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης (που είναι ίση με την συχνότητα του διεγέρτη) θα

ισχύει:

ω1 = 2πf1 ή 11

ωf

2π ή 1

10πf Hz

2π

ή 1f 5 Hz

Επειδή για τις συχνότητες του διεγέρτη f1 , f2 και την

ιδιοσυχνότητα f0 ισχύει: 0 1 2f f f από το διά-

γραμμα μεταβολής του πλάτους σαν συνάρτηση της συ-

χνότητας του διεγέρτη προκύπτει ότι για τα πλάτη ισχύει:

2 1A A

Β2. Σωστή είναι η γ.

Συγκρίνοντας την δοσμένη εξίσωση με την εξίσωση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος στον αέρα:

max max

a a

t x xE E ημ2π E ημ2π ft

T λ λ

προκύπτει:

7

a

x 10x

λ 6 ή

7

a 7

6λ m=6 10 m

10

ή aλ 600 nm

Α

f f1 f0 f2

Α2

Α1


Σ ε λ ί δ α 7 | 14

Επειδή η ακτίνα προσπίπτει κάθετα στην

πλευρά ΑΒ του πρίσματος δεν διαθλάται. Άρα

αν φ είναι η γωνία B τότε η γωνία πρόσπτω-

σης στην διαχωριστική επιφάνεια πρίσματος-

αέρα ΒΓ είναι θa = φ. Για την γωνία πρό-

σπτωσης ισχύει λοιπόν:

α

ΑΓημθ ημφ

ΒΓ (1)

Η ΒΓ θα υπολογιστεί από το πυθαγόρειο θεώρημα:

2 2 2ΒΓ ΑΒ ΑΓ ή 2 2 2 2 2 2ΒΓ (3cm) (4cm) 9cm 16cm 25cm ή ΒΓ = 5 cm

Άρα α

4 cmημθ

5 cm ή

α

4ημθ

5 (2)

Για την κρίσιμη γωνία στην διαχωριστική επιφάνεια πρίσματος-αέρα ΒΓ ισχύει:

acrit

nημθ

n (3)

όπου na , n είναι οι δείκτες διάθλασης αέρα και πρίσματος αντίστοιχα. Αν λ0 είναι το μήκος

κύματος της ακτινοβολίας στον κενό θα ισχύουν:

0a

α

λn

λ (4) και 0λ

nλ

(5)

Η (3) λόγω των (4), (5) δίνει:

0

αcrit

0

λ

λημθ

λ

λ

ή crit

α

λημθ

λ ή αντικαθιστώντας:

crit

450 nmημθ

600 nm ή crit

3ημθ

4 (6)

Από τις (2), (6) προκύπτει τελικά: α critημθ ημθ ή α critθ θ

δηλαδή η ακτίνα θα υποστεί ολική ανάκλαση.

Παρατήρηση. Το δεδομένο ότι nα=1 δεν είναι απαραίτητο.

Β3. Σωστή είναι η γ.

Επειδή το στερεό κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει θα ισχύει για την επιτάχυνση του κέντρου μάζας

(αcm) και την γωνιακή επιτάχυνση της στροφικής κίνησης ως προς τον άξονα του (αγων):

Γ

Β

Α

φ

φ


Σ ε λ ί δ α 8 | 14

αcm = αγων R ή cmγων

αa

R (1)

Για σύνθετη κίνηση του στερεού ισχύουν:

Μεταφορική κίνηση.

x cmΣF Ma ή s cmF T Ma ή cm

2FF Ma

5

ή cm

3FMa

5 ή

cm

3Fa

5M (2)

Στροφική κίνηση.

γωνΣτ Ιa ή Fτ

s

0

Τ wτ τ 0

Nτ0

γωνΙa ή s γωνT R Ιa ή γων

2FR Ιa

5

ή λόγω της (1): cmα2FR Ι

5 R ή

2

cm

2FRΙ

5α ή λόγω της (2):

22FRΙ

3F5

5M

ή τελικά: 22

Ι MR3

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. Συγκρίνοντας την δοσμένη εξίσωση με την γενική εξίσωση του κύματος:

t xy Aημ2π

T λ

προκύπτουν:

A 10 cm=0,1 m , t

5tT ή T 0,2 s και

x0,2x

λ ή

2λ 5 cm=5 10 m

Η συχνότητα f του κύματος είναι: 1

fT

ή 1

f Hz0,2

ή f 5 Hz

Συνεπώς η ταχύτητα διάδοσης του κύματος στην χορδή είναι:

υ λf ή αντικαθιστώντας: cm

υ 5 5 s

ή cm

υ 25 s

ή στο S.I.: m

υ 0,25 s

Επειδή στην θέση x=0 σχηματίζεται κοιλία και την στιγμή t=0 η κοιλία αυτή βρίσκεται στην

θέση ισορροπίας και κινείται κατά την θετική φορά (υ>0) η εξίσωση του στάσιμου κύματος που

προκύπτει θα είναι:

x 2πy 2Aσυν 2π ημ t

λ T

𝑭 𝑵

𝒘

𝑻 𝒔 x

y


Σ ε λ ί δ α 9 | 14

ή αντικαθιστώντας: x 2π

y 2 10συν 2π ημ t5 0,2

ή

2πxy 20συν ημ 10πt

5

(1)

όπου τα x, y είναι σε cm και το t σε s.

Παρατήρηση: Η εξίσωση του στασίμου κύματος στο S.I. είναι:

2

x 2πy 2 0,1συν 2π ημ t

5 10 0,2

ή y 0,2συν 40πx ημ 10πt

Γ2. Σχεδιάζουμε ένα στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος όπου όλα τα σημεία της χορδής βρίσκο-

νται στις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης τους. Επειδή στο στάσιμο υπάρχουν 5 δεσμοί μεταξύ

των άκρων Β (κοιλία) και Γ (δεσμός) το στιγμιότυπο θα έχει την μορφή:

Επειδή η απόσταση μεταξύ δυο διαδοχικών δεσμών είναι ΔΔ

λΔx

2 και η απόσταση μεταξύ

δεσμού και της γειτονικής του κοιλίας είναι ΔΚ

λΔx

4 το μήκος της χορδής θα είναι:

λ λL 5

4 2 ή

11λL

4

και αντικαθιστώντας προκύπτει:

11 5

L cm4

ή

55L cm=13,75 cm

4

Διαφορετικά: Οι θέσεις των δεσμών στο στάσιμο κύμα είναι: Δ

λx ( 2K 1)

4 (1)

Για Κ = 0 προκύπτει ο κοντινότερος δεσμός στην κοιλία Β (x = 0). Επειδή το άλλο άκρο Γ, όπου

xΓ = L, είναι ο 6ος δεσμός θα είναι Κ = 5. Άρα θα είναι:

Γ

λx L ( 2 5 1)

4 ή

11λL

4

y

x

M

Γ B

Κ


Σ ε λ ί δ α 10 | 14

Γ3. Η κοντινότερη κοιλία Κ στο άκρο Β βρίσκεται στην θέση: Κ

λx

2 ή Κ

5x cm

2

Άρα από την (1) προκύπτει:

KK

K

52π

2πx 2y 20συν ημ 10πt 20συν ημ 10πt 20συν( π )ημ 10πt5 5

20ημ 10πt ή y 20ημ 10πt π

Συνεπώς ή εξίσωση της ταχύτητας της κοιλίας Κ είναι:

Κ Κ(max) 0 Κ 0υ υ συν( ωt φ ) ωΑ συν( ωt φ ) ή αντικαθιστώντας:

Kυ 10π 20συν 10πt π ή Kυ 200πσυν 10πt π

όπου το υΚ είναι σε cm/s και το t σε s.

Στο S.I. η εξίσωση της ταχύτητας είναι: Kυ 2πσυν 10πt π

Γ4. Το μέσον Μ της χορδής βρίσκεται στην θέση: M

Lx

2 ή M

55 cm

4x2

ή M

55x cm

8

Συνεπώς το πλάτος του μέσου Μ της χορδής είναι:

MM

xA 2A συν 2π

λ

ή αντικαθιστώντας:

M

M

55 cm

11π 3π8A 2 10 συν 2π cm=20 συν cm=20 συν 2π cm=5 cm 4 4

3π π 220 συν cm=20 συν cm=20 cm ή A 10 2 cm

4 4 2

Το πλάτος του στάσιμου κύματος είναι: 2πx

Α΄ 20 συν cm5

όπου το x είναι σε cm. Για

τα σημεία της χορδής που έχουν το ίδιο πλάτος με το Μ είναι:

2πx 2πx 2 2πx 220 συν 10 2 ή συν ή συν

5 5 2 5 2


Σ ε λ ί δ α 11 | 14

2πx 2 2πx 2

ή συν ή συν 5 2 5 2

⦁ 2πx 2 2πx π 2πx π

συν ή συν συν ή 2κπ ή 5 2 5 4 5 4

2πx ( 8κ 1)π ( 8κ 1)5 ή x cm

5 4 8

(3)

⦁ 2πx 2 2πx 3π 2πx 3π

συν ή συν συν ή 2κπ ή 5 2 5 4 5 4

2πx ( 8κ 3 )π ( 8κ 3 )5 ή x cm

5 4 8

(4)

Φυσικά πρέπει να ισχύει: 55

0 x L ή 0 x cm4

Αναλυτικότερα:

Λύσεις της (3)

( 8κ 1)5x cm

8

( 8κ 1)5x cm

8

κ=0: ( 8 0 1)5 5

x cm ή x= cm8 8

κ=0:

( 8 0 1)5 5x cm ή x= cm

8 8

(απορρίπτεται)

κ=1: ( 8 1 1)5 45

x cm ή x= cm8 8

κ=1:

( 8 1 1)5 35x cm ή x= cm

8 8

κ=2: ( 8 2 1)5 85

x cm ή x= cm8 8

κ=2:

( 8 2 1)5 75x cm ή x= cm

8 8

κ≥3: ( 8 3 1)5 125

x cm ή x cm8 8


κ≥3: ( 8 3 1)5 115

x cm ή x cm8 8



Σ ε λ ί δ α 12 | 14

Λύσεις της (4)

( 8κ 3 )5x cm

8

( 8κ 3 )5x cm

8

κ=0: ( 8 0 3 )5 15

x cm ή x= cm8 8

κ=0:

( 8 0 3 )5 15x cm ή x= cm

8 8


κ=1: ( 8 1 3 )5 55

x cm ή x= cm8 8

κ=1:

( 8 1 3 )5 25x cm ή x= cm

8 8

κ=2: ( 8 2 3 )5 95

x cm ή x= cm8 8

κ=2:

( 8 2 3 )5 65x cm ή x= cm

8 8

κ≥3: ( 8 3 3 )5 135

x cm ή x cm8 8


κ=3 :( 8 3 3 )5 105

x cm ή x= cm8 8

κ≥4:

( 8 4 3 )5 145x cm ή x cm

8 8


Υπάρχουν λοιπόν 11 συνολικά σημεία που έχουν το ίδιο πλάτος με το μέσον Μ της χορδής.

ΘΕΜΑ Δ

Δ1.

Την στιγμή t = 0 ο άνθρωπος – παρατηρητής πλησιάζει την ακίνητη πηγή με ταχύτητα μέτρου

υΒ. Άρα η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο άνθρωπος είναι:

ΒA s

υ υf f

υ

ή αντικαθιστώντας: A

340 9f 680 Hz

340

ή

Af 698 Hz

S

R

Α

d

𝜐 𝛢

S

R Β

𝜐 𝛣

𝜔 2 𝜔 1


Σ ε λ ί δ α 13 | 14

Δ2. Οι εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται στο σύστημα πλατφόρμα-άνθρωπος είναι τα βάρη

της πλατφόρμας και του ανθρώπου και η δύναμη του άξονα οι οποίες δεν έχουν ροπή ως προς

τον άξονα περιστροφής. Συνεπώς η στροφορμή του συστήματος πλατφόρμα-άνθρωπος διατηρεί-

ται:

1 2 1 1 2 2L L ή Ι ω L ω (1)

όπου ο δείκτης 1 αναφέρεται στην αρχική κατάσταση του συστήματος όταν ο άνθρωπος είναι

στην θέση Α και ο δείκτης 2 αναφέρεται στην τελική κατάσταση του συστήματος όταν ο άνθρωπος

είναι στην θέση Β. Συνεπώς θα ισχύουν:

2 22 2 2 2

1 1

1 R 1 R 2Μ mΙ Ι md MR m MR m ή Ι R (2)

2 2 2 4 4

2 2 2 2

2 2

1 Μ 2mΙ Ι md MR mR ή Ι R (3)

2 2

Επίσης ισχύουν: ΑΑ 1 1 1

R 2υυ ω d ω ή ω (4)

2 R και B

B 2 2

υυ ω R ή ω (5)

R

Συνεπώς η (1) λόγω των (2), (3), (4), (5) δίνει:

2 2Α B

Α Β

2Μ m 2υ Μ 2m υR R ή (2Μ+m)Rυ =(Μ+2m)Rυ

4 R 2 R

ή τελικά:

Α Β

Μ 2mυ = υ

2Μ+m

ή αντικαθιστώντας: Α Α

100 2 70 m 240 m mυ = 9 9 ή τελικά: υ =8

2 100+70 s 270 s s

Δ3. Έστω τ το μέτρο της σταθερής ροπής που πρέπει να ασκηθεί στην πλατφόρμα ώστε να

σταματήσει μετά από Νολ = 25 πλήρεις στροφές. Η συνισταμένη ροπή έχει αλγεβρική τιμή:

Στ = − τ και η συνολική γωνία στροφής είναι: ολ ολθ Ν 2π rad .

Το Θεώρημα έργου - ενέργειας για την κίνηση του συστήματος άνθρωπος - πλατφόρμα από την

στιγμή t = 0 μέχρι να σταματήσει δίνει:

τελΣW K2

0 2 2 2 2αρχ ολ 2 2 ολ 2 2

ολ

1 1 Ι ωΚ ή Στθ Ι ω ή τΝ 2π Ι ω ή τ = (6)

2 2 4πΝ

ή λόγω των (3), (5) προκύπτει:

22

2 Β 2 Β22Β

ολ ολ ολ

Μ 2m υ Μ 2m υR R( Μ 2m )υ2 R 2 Rτ = ή τ =

4πΝ 4πΝ 8πΝ


Σ ε λ ί δ α 14 | 14


2(100 2 70 )9 240 81 486τ = Nm = Nm ή τ = Nm

8π 25 200π 5π

Δ4. Μετά από Ν = 16 πλήρεις στροφές ο άνθρωπος βρίσκεται στην ίδια θέση και έχει γραμμική

ταχύτητα υΒ΄. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο άνθρωπος είναι τότε:

ΒA s

υ υ ΄f ΄ f

υ

(7)

Το Θεώρημα έργου - ενέργειας για την κίνηση του συστήματος άνθρωπος – πλατφόρμα από την

στιγμή t = 0 μέχρι την ολοκλήρωση των 16 πλήρων στροφών δίνει:

2 2 2 2

αρχ 2 2 2 2 2 2

22 2 2 22 2

2 2 2 2

ολ

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

ολ ολ ο

1 1 1 1ΣW K Κ ή Στθ Ι ω Ι ω ή τΝ 2π Ι ω Ι ω ή

2 2 2 2

1 Ι ω 1τΝ 2π Ι ( ω ω ) ή λόγω της (6): Ν 2π Ι ( ω ω ) ή

2 4πΝ 2

Ν Ν Νω ω ω ή ω ω ω ή ω ω 1

Ν Ν Ν

λ

2 2 2

2 2 2


16 9 3ω ω 1 ω ή ω= ω (8)

25 25 5

Όμως ισχύει: BB

υ ΄υ ΄ ωR ή ω (9)

R

Παρατήρηση. Θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε το Θεώρημα έργου - ενέργειας για την κίνηση

του συστήματος στις τελευταίες ΔΝ = Νολ – Ν = 25 – 19 = 9 στροφές:

τελΣW K0 2 2

2 2

22 2 2 22 2

2 2 2

ολ ολ

1 1Κ ή ΣτΔθ Ι ω ή τΔΝ2π Ι ω ή

2 2

1 Ι ω 1 ΔΝτΔΝ2π Ι ω ή λόγω της (6): ΔΝ2π Ι ω ή ω ω κτλ.

2 4πΝ 2 Ν

Η (8) λόγω των (5), (9) δίνει:

B BB B B B

υ ΄ 3 υ 3 3 m m ή υ ΄ υ ή αντικαθιστώντας: υ ΄ 9 ή υ ΄ 5,4

R 5 R 5 5 s s

Τελικά αντικαθιστώντας η (7) δίνει: A

340 5,4f 680 Hz

340

ή

Af 690,8 Hz

Documents

2ο Γενικό Λύκειο Λευκάδας – «Άγγελος Σικελιανός»2lyk-lefkad.lef.sch.gr/new/_files/_physics/_test/test_fys_g.pdf · 2ο Γενικ Λ `κειο