2 Métodos de análise de recalque de grupos de estacas

2.1. Introdução

Os métodos da avaliação de fundações em grupos de estacas podem ser

divididos em seguintes categorias:

• métodos empíricos e semi-empíricos;

• métodos analíticos simplificados que envolvem a separação das cargas

aplicadas ao fuste e à base da estaca;

• método de equação integral (método dos elementos de contorno) com a

utilização das funções de transferência de carga para representar a

interação solo-estaca ou da teoria da elasticidade para representar a

resposta do maciço do solo;

• métodos dos elementos finitos nos quais uma variedade de modelos

constitutivos do solo pode ser utilizada.

2.2. Métodos empíricos

Os métodos empíricos são aqueles que não são estritamente baseados na

mecânica de solos, com obtenção de parâmetros sendo feita através de simples

ensaios de campo ou laboratório e fazendo uso de correlações.

TERZAGHI & PECK (1948) substituíram a estaca ou grupo por sapatas

flexíveis situadas na profundidade da ponta das estacas ou, alternativamente, a 2/3

desta distância.

SKEMPTON (1953) propôs a seguinte relação para o calculo de recalque de

grupos de estacas em areias:

25

2

21

(4 9)

( 12)G B

B

ρρ

+=

+ (0.1)

Gρ - recalque de grupo de estacas;

1ρ - recalque de estaca isolada;

B – largura de grupo de estacas em pés.

Para um grupo quadrado de estacas cravadas em areia MEYERHOF (1959)

desenvolveu a correlação:

21

(5 )3

1(1 )

G

ss

r

ρρ

−=

+ (0.2)

s – razão entre o espaçamento e o diâmetro das estacas;

r – número de filas do grupo de estacas quadrado.

Para areias homogêneas sem camada de material compressível subjacente

MEYERHOF (1976) propôs:

0,96

G

p BI

Nρ = (0.3)

Para areias siltosas:

1,92

G

p BI

Nρ = (0.4)

p – a pressão transferida para a fundação, kPa;

B – largura do grupo de estacas, m;

N – número médio de golpes de SPT corrigido na profundidade B abaixo do

nível das pontas das estacas;

I – fator da influência de embutimento da fundação.

26

0,5(1 ) 0,58

eDIB

= − ≥ (0.5)

De – profundidade de embutimento da fundação, m.

Utilizando os resultados de CPT:

42

G

c

pBI

qρ = (0.6)

qc – a resistência média da ponta de cone na profundidade B abaixo do nível

da base do grupo, kPa.

TERZAGHI & PECK (1967) sugeriram avaliar o recalque de grupos de

estacas nos solos coesivos introduzindo uma fundação equivalente (Fig. 2.1)

localizada na profundidade de 1/3D acima da base das estacas. A pressão é

transferida ao solo através desta fundação. A carga é distribuida dentro de um

tronco de uma pirâmide as faces da qual têm inclinação de 1:2 e causa a pressão

adicional uniforme no solo subjacente. O cálculo do recalque de consolidação

basea-se nos incrementos de pressão nas camadas subjacentes.

Figura 2.1 - O esquema da fundação equivalente. (TERZAGHI & PECK, 1967)

27

O recalque de consolidação pode ser calculado usando os resultados dos

ensaios de adensamento de laboratório.

Para os solos pre-adensados, onde a pressão transferida à fundação é maior

do que a pressão de pre-adensamento:

0 0

log log1 1

cr c c o

o c

C p C p pH H

e p e pρ

+ ∆= + + +

(0.7)

Para os solos pre-adensados, onde a pressão transferida à fundação é menor

do que a pressão de pre-adensamento:

0

log1

cr o

o

C p pH

e pρ

+ ∆= +

(0.8)

Para os solos normalmente adensados:

0

log1

c o

o

C p pH

e pρ

+ ∆= +

(0.9)

ρ - recalque total da camada, mm;

H – espessura inicial da camada, mm;

Ccr – coeficiente de recompressão;

e0 – índice de vazios inicial;

po – tensão efetiva no meio da camada devido ao aumento da carga;

pc – tensão de pre-adensamento estimada, kPa;

Cc – coeficiente de adensamento;

∆ p – a variação média de tensão na camada, kPa.

CHANEY & CHASSEY (1993) recomendaram calcular a profundidade da

fundação equivalente em função da estratigrafia e o mecanismo de transferência

de carga no solo conforme a Fig. 2.2.

28

Figura 2.2 - A distribuição de pressão abaixo da sapata equivalente. (CHENEY &

CHASSIE, 1993)

Os métodos citados são baseados na relação linear entre a tensão e

deformação do solo. JANBU (1963, 1965) sugeriu utilizar o módulo tangencial.

Neste método a relação tensão-deformação do solo é expressa através do modulo

adimensional m e a exponente de tensão j. O valor do módulo m pode ser

determinado num ensaio triaxial ou oedométrico, e o valor do j pode ser assumido

0,5 para solos não coesivos e 0 para coesivos.

VESIC et al. (1969, 1977) sugeriram calcular o recalque do grupo através do

recalque da estaca isolada da seguinte maneira:

1G

B

dρ ρ= (0.10)

Gρ - recalque do grupo;

1ρ - recalque da estaca isolada;

29

B – a menor dimensão do grupo de estacas;

d – diâmetro da estaca.

Porém, dos ensaios de modelos de grande escala foi concluído que o método

pode ser utilizado somente para os solos não coesivos e o erro pode atingir ±50%.

SCHULZE & SHERIF (1973) baseando-se nos históricos dos ensaios de

campo, estabeleceram uma expressão para a obtenção de recalque para solos

grossos granulares (areias grossas, pedregulho) através dos resultados de SPT:

0.87 0.4

(1 )

s p

DN

B

ρ⋅

=+

(0.11)

s – coeficiente de recalque;

p – a carga aplicada na fundação;

N – valor médio de N (SPT) na profundidade 2B abaixo do nível da

fundação, ou na profundidade ds se a espessura da camada do solo não coesivo é

menor do que 2B;

D – a profundidade da fundação;

B – largura da fundação.

Os valores dos coeficientes s e ds podem ser obtidos utilizando a Fig. 2.3:

BOWLES (2002) sugeriu uma expressão para avaliação do recalque de um

grupo de estacas utilizando os resultados do ensaio CPT:

2

q

c

k B

qρ

⋅∆= (0.12)

B – largura do grupo;

qc – resistência do cone na zona de influência que estende-se 2B abaixo e B

acima da ponta da estaca;

q∆ - a pressão vertical na ponta da estaca;

1 0,58

Lk

B= − ≥ (0.13)

30

L – comprimento da estaca.

Figura 2.3 - Obtenção dos valores dos coeficientes s e ds. (BOWLES, 2002)

2.3. Métodos teóricos

2.3.1. Método dos elementos de contorno

POULOS (1968) propôs um método teórico para calcular os recalques do

grupo de estacas. Umas simplificações têm que ser feitas, o solo é considerado

elástico e a aderência entre a estaca e o solo é perfeita.

2.3.1.1. Análise para estacas flutuantes

O grupo de duas estacas idênticas é considerado. Cada estaca é dividida em

n elementos cilíndricos e a base circular uniformemente carregada. Nas condições

mencionadas, o deslocamento do centro de cada elemento vai ser igual ao

deslocamento do solo. Assim, os deslocamentos do solo para uma estaca flutuante

podem ser calculados de seguinte maneira:

1 2 [ ] S

s

dI I p

Eρ = + (0.14)

31

ρS - vetor dos deslocamentos do solo;

p - vetor das tensões cisalhantes;

1 2[ ]I I+ - matriz dos fatores de influência de (n+1) filas e (n+1) colunas,

contendo os elementos ijij II 21 + ;

ijij II 21 , - fatores de influência no elemento i da estaca 1 causados pela

tensão cisalhante aplicada no elemento j da estaca 1 e estaca 2.

Os valores de 1Iij e 2Iij podem ser obtidos através da integração das equações

de Mindlin para deslocamento vertical num espaço semi-homogêneo sob

carregamento interno vertical.

Os deslocamentos do solo obtidos desta maneira podem ser igualados aos

deslocamentos das estacas e a sistema das equações resultante resolvida para

calcular os deslocamentos e as tensões cisalhantes ao longo das estacas. Assim, a

análise do grupo de duas estacas é idêntica à de uma estaca, mas a matriz da

influência de deslocamento do solo inclui a contribuição da segunda estaca.

Os resultados obtidos são representados através de fatores de interação:

ij

ij

j

ρα

ρ

∆= (0.15)

ijα - fator de interação;

jρ - recalque da estaca j sob carregamento próprio;

ijρ∆ - acrescimo do recalque na estaca i causado pela estaca j.

Os fatores de interação foram obtidos por POULOS & MATTES (1971) e

são representados como a função do espaçamento adimensional s/d em forma de

gráficos para diferentes valores da rigidez relativa K e índice de esbeltez L/d.

32

Figura 2.4 - Fator de interação vs. espaçamento relativo, L/d = 10, v = 0,5. (POULOS &

DAVIS, 1980)

Figura 2.5 - Fator de interação vs. espaçamento relativo, L/d = 25, v = 0,5. (POULOS &

DAVIS, 1980)

Figura 2.6 - Fator de interação vs. espaçamento relativo, L/d = 50, v = 0,5. (POULOS &

DAVIS, 1980)

33

POULOS (2009) sugeriu a seguinte expressão aproximada para o cálculo

dos fatores de interação:

exp( ( / ))A B s dα = ⋅ − ⋅ (0.16)

A, B – coeficientes.

Os estudos paramétricos feitos com utilização do programa DEFPIG

possibilitaram achar as aproximações para os coeficientes A e B com uma precisão

aceitável para fins gerais de engenharia:

1 b kA A A A= ⋅ ⋅ (0.17)

1 b kB B B B= ⋅ ⋅ (0.18)

A1, B1 – coeficientes dependentes da razão L/d;

Ab, Bb – coeficientes dependentes da razão entre os módulos de elasticidade

do solo ao longo da fuste e abaixo da ponta da estaca;

Ak, Bk – coeficientes dependentes da razão entre a rigidez do solo e da

estaca.

Através de ajuste de curvas foram obtidas as seguintes expressões para os

coeficientes dados acima:

21 0.376 0.0014 ( / ) 0.00002 ( / )A L d L d= + ⋅ − ⋅ (0.19)

1.254 0.326 ln( / )b b sA E E= − ⋅ (0.20)

0.099 0.126 ln( )kA K= + ⋅ (0.21)

1 0.116 0.0164 ln( / )B L d= − ⋅ (0.22)

0.865 0.164 ln( / )b b sB E E= + ⋅ (0.23)

1.409 0.055 ln( )kB k= − ⋅ (0.24)

Alternativamente, foi desenvolvida outra expressão para a obtenção do fator

de interação:

ln( / )C D s dα = + ⋅ (0.25)

34

Os coeficientes C e D podem ser aproximados da seguinte forma:

1 b kC C C C= ⋅ ⋅ (0.26)

1 b kD D D D= ⋅ ⋅ (0.27)

21 0,509 (0,0007 ( / ) 0,00002 ( / ) )C L d L d= + ⋅ − ⋅ (0.28)

1,145 0,2552 ln( / )b b sC E E= − ⋅ (0.29)

0,096 0,127 ln( / )k p sC E E= + ⋅ (0.30)

1 0,0242 ln( / ) 0, 209D L d= ⋅ − (0.31)

1, 234 0,316 ln( / )b b sD E E= − ⋅ (0.32)

0,190 0,114 ln( / )k p sD E E= + ⋅ (0.33)

2.3.1.1.1. Efeito do estrato da espessura finita

Soluções para a obtenção do fator de interação α para um grupo de duas

estacas incompressíveis em um estrato de solo de espessura h foram obtidas por

POULOS (1968). Com base nestes resultados, fatores de correção Nh podem ser

achados através do gráfico da Fig. 2.7.

Os fatores de interação para esse caso podem ser calculados da seguinte

maneira:

F hNα α= (0.34)

Fα - fator de interação para espaço semi-infinito.

Para o caso do grupo de duas estacas, o efeito de um estrato de solo é

reduzir o valor do fator de interação α .

Os valores no gráfico são para o caso de L/d = 25 e K = ∞, mas ele pode ser

aplicado para outros casos lembrando que com decremento de L/d o valor de Nh

diminui com decréscimo de K o valor de Nh aumenta.

35

Figura 2.7 - Os fatores de correção devido à espessura finita da camada. (POULOS &

DAVIS, 1980)

2.3.1.1.2. Efeito do alargamento da base da estaca

Fig. 2.8 mostra os fatores de correção devido a alargamento da base da

estaca Ndb. O fator de interação calcula-se:

db FNα α= ⋅ (0.35)

Fα - fator de interação para db/d = 1.

A interação aumenta com o aumento do diâmetro da base das estacas,

particularmente para estacas curtas. Os valores no gráfico são para estacas

incompressíveis, a compressibilidade das estacas tende a reduzir o efeito.

36

Figura 2.8 - O fator de correção devido a alargamento da base. (POULOS & DAVIS,

1980)

2.3.1.1.3. Efeito do coeficiente de Poisson

O efeito do coeficiente de Poisson pode ser levado em conta multiplicando o

fator de interação pelo fator de correção Nv, apresentado na Fig. 2.9:

0.5Nνα α= ⋅ (0.36)

5.0α - fator de interação para ν = 0.5.

O fator de correção aumenta com o decréscimo do coeficiente de Poisson, o

que é mais notável no caso do espaçamento grande.

37

Figura 2.9 - Coeficiente de correção devido ao efeito do coeficiente de Poisson.

(POULOS & DAVIS, 1980)

2.3.1.2. Fator de interação para grupo de duas estacas idênticas de ponta

Para o caso de grupos de duas estacas de ponta, o fator de interação α pode

ser relacionado com os fatores relativos a estacas flutuantes em um semi-espaço

homogêneo, elástico, aF, através de :

( )F E F EFα α α α= ⋅ − (0.37)

aF - fator de interação para estacas flutuantes em um semi-espaço;

aE - fator de interação para estacas de ponta;

FE - fator dependente de K, L/d e Eb / Es ;

Eb - módulo de elasticidade do solo abaixo da ponta das estacas.

38

Figura 2.10 - Fator de interação para estacas de ponta para L/d = 25. (POULOS &

DAVIS, 1980)

Os valores de FE para o caso de L/d = 50 são mostrados na Fig. 2.11. Esses

valores foram obtidos para espaçamentos relativos s/d = 5 e podem ser utilizados

como aproximações para outras situações de s/d.

Figura 2.11 - Fator de redução de interação para estacas de ponta. (POULOS & DAVIS,

1980)

39

2.3.1.3. Análise para duas estacas de diâmetros diferentes

Para duas estacas i e j, conforme Fig. 2.12, com diâmetros diferentes, é

razoável calcular o acréscimo no recalque da estaca i, em presença da estaca

adjacente j, aproximadamente por:

ij j ijρ ρ α∆ = ⋅ (0.38)

ijρ∆ - acréscimo de recalque da estaca i ;

jρ - recalque da estaca j devido ao seu próprio carregamento;

ijα - fator de interação dependente do espaçamento relativo s/d entre as

estacas i e j e outros parâmetros geométricos (comprimento e diâmetro) da estaca

j;

Similarmente, o aumento do recalque na estaca j causado pela estaca i,

jiρ∆ , é dado por:

ji i jiρ ρ α∆ = ⋅ (0.39)

jiρ∆ - acréscimo de recalque da estaca j;

iρ - recalque da estaca i, devido ao seu próprio carregamento;

jiα - fator de interação dependente do espaçamento relativo s/d entre as

estacas i e j e outros parâmetros geométricos (comprimento e diâmetro) da estaca

i.

Em geral, para carregamentos iguais sobre as duas estacas i e j, ijρ∆ é

diferente de jiρ∆ .

40

Figura 2.12 - Grupo de duas estacas de diâmetros diferentes.

2.3.1.4. Fator de interação modificado

Considerando o nível de deformação alto próximo às estacas e baixo no solo

entre as mesmas, POULOS (1988) propôs a correção para o calculo dos fatores de

interação. O nível da deformação influencia o valor do módulo da elasticidade,

que é mais alto para baixa deformação.

Assim, para calcular o recalque da estaca isolada é usado o módulo de

elasticidade do solo próximo a mesma (Es). Para achar o acréscimo no recalque

causado pelo carregamento das estacas vizinhas o valor médio do módulo de

elasticidade (Esav) é usado.

Fig. 2.13 mostra a distribuição do módulo de elasticidade no maciço do solo

adotada por Poulos, onde o módulo de elasticidade aumenta linearmente com a

distância a partir de um valor Es, na interface estaca-solo, até um valor Esm a uma

distância st da face da estaca. Acima de st, o módulo de elasticidade do solo

permanece constante.

Com essa distribuição do módulo de elasticidade, o valor médio do mesmo

calcula-se de seguinte maneira:

1. Para s ≤ 2st + d,

( )

1 0.25( 1)sav

s t

E s d

E sµ

−= + − (0.40)

41

Figura 2.13 - A distribuição do módulo de elasticidade no maciço de solo proposta por

POULOS (1988).

2. Para s ≥ 2st + d,

(1 )( )

sav t

s

E s

E s dµ µ= + −

− (0.41)

sm

s

E

Eµ = (0.42)

O valor do fator µ provavelmente se encontra na faixa entre 3 e 10, quando

st na faixa de 3 - 6 diâmetros da estaca.

Através dos estudos paramétricos feitos por Poulos pode ser observado que

com aumento de µ o fator de interação diminui e com aumento de s/d a redução

relativa do mesmo aumenta. Também revelou-se que a consideração do efeito do

módulo de elasticidade não uniforme causa a distribuição de carregamento no

grupo mais homogênea.

42

2.3.1.5. Análise de grupo de estacas genérico

POULOS & DAVIS (1980) propõem que a análise para o grupo de duas

estacas pode ser estendido para qualquer número de estacas no caso do

comportamento idêntico das mesmas, ou seja, o grupo deve ser “simétrico”, do

arranjo circular, as estacas devem ter a carga e o recalque iguais. A solução para

esse tipo de grupo revelou que o recalque adicional de uma estaca causado pelas

estacas vizinhas pode ser aproximadamente calculado através da superposição dos

fatores de interação individuais. Porem, a superposição não pode ser considerada

totalmente correta porque a adição de uma estaca muda o sistema elástico.

Deste modo o recalque ρi de uma estaca i em um grupo de n estacas, pode

ser determinado como:

11

n

i j ji

j

Pρ ρ α=

= ⋅∑ (0.43)

1ρ - recalque de uma estaca isolada sob carregamento unitário;

jP - carga na estaca j ;

jiα - fator de interação para o espaçamento sij (para i = j , jiα = 1).

A equação acima pode ser escrita para todas as estacas do grupo. Também,

do equilíbrio das cargas verticais:

1

n

G j

j

P P=

=∑ (0.44)

GP - carga total aplicada ao grupo de estacas.

Assim, n + 1 equações obtidas podem ser resolvidas para dois casos:

• Carregamento igual aplicado a todas as estacas, condição do bloco

flexível.

• Recalque igual de todas as estacas, bloco rígido.

Para o primeiro caso, a equação (2.45) pode ser usada diretamente para o

calculo dos recalques das estacas. Para o segundo caso as expressões para a

43

obtenção dos recalques são igualados, que junto com a equação (2.45) vai resultar

num sistema de n + 1 equações que pode ser resolvido para as cargas

desconhecidas e os recalques. Na maioria dos casos o numero de equações pode

ser reduzido devido à simetria do grupo de estacas.

Para simplificar o procedimento de cálculo no caso do bloco rígido é

sugerido que seja escolhida uma estaca representativa (que não seja no centro ou

na extremidade do grupo) e avaliado o seu recalque admitindo-se que todas as

demais estacas do grupo suportem o mesmo carregamento.

A análise representada requer o conhecimento de valores dos fatores de

interação e o recalque de uma estaca isolada. Os resultados podem ser

representados de duas formas:

Em termos do índice de recalque:

1

meds

med

Rρρ

= (0.45)

medρ - recalque médio do grupo;

med1ρ - recalque de uma estaca isolada com a mesma carga média do grupo,

1 1med medPρ ρ= (0.46)

medP - carga média do grupo.

Em termos do fator de redução do recalque,

1

medG

tot

Rρρ

= (0.47)

tot1ρ - recalque de uma estaca isolada com a mesma carga total do grupo.

Para um grupo de M estacas o índice de recalque Rs, relaciona-se com o fator de

redução do grupo RG :

sG

RR

M= (0.48)

44

O valor de RG representa a redução no valor do recalque previsto, quando se

utiliza um grupo de estacas ao invés de uma estaca isolada para suportar o mesmo

carregamento.

O índice de recalque Rs é mais utilizado na prática, mas o fator de redução

RG tem vantagens quando usado para comparar o comportamento dos grupos com

a mesma carga total e o número de estacas diferente.

Assim, o recalque do grupo de estacas pode ser calculado através das

grandezas estabelecidas acima:

1G s medR Pρ ρ= (0.49)

1G G GR Pρ ρ= (0.50)

2.3.1.6. Efeito da compressibilidade da camada subjacente

Em casos onde o solo apresenta um perfil estratificado e se verifica a

presença de uma camada de maior compressibilidade abaixo da ponta da estaca, a

parcela de recalque correspondente a esta camada deve ser considerada no cálculo

do recalque total do grupo de estacas.

POULOS & MATTES (1971) sugerem uma técnica para levar em

consideração esta contribuição na determinação do recalque:

• Calcula-se o recalque do grupo de estacas, utilizando-se as soluções

paramétricas de POULOS (1968), para estimativa do índice de recalque Rs;

• Substitui-se o grupo de estacas por um tubulão isolado equivalente (por

exemplo, de mesma seção transversal em relação ao grupo de estacas e de

comprimento equivalente Leq), de tal maneira que os recalques do grupo e

do tubulão sejam iguais;

• Calcula-se a contribuição de recalque devido às camadas subjacentes em

função do tubulão equivalente e de fatores de influência de recalque

determinados pela teoria da elasticidade.

Para um grupo de estacas situado em uma camada que está sobrejacente a n

camadas compressíveis, o recalque ρ pode ser expresso como:

45

1

1

nG k k

G

keq sk

P I I

L Eρ ρ +

=

−= + ∑ (0.51)

Gρ - recalque do grupo de estacas devido à compressibilidade das camadas

ao longo do fuste;

GP - carga total do grupo;

eqL - comprimento do tubulão equivalente;

kI - coeficiente de influência dos fatores de recalque em relação ao eixo do

tubulão equivalente, no nível da camada k;

skE - módulo da elasticidade da camada k.

POULOS (1977) comenta que o efeito de h/Leq no valor do fator de

influência I é pequeno para o caso de νs = 0.5, sendo esta influência praticamente

insignificante para h/Leq > 1.75.

2.3.1.7. Método teórico de obtenção do índice de recalque para o cálculo do recalque de grupos de estacas

Devido ao grande número de variáveis envolvidas, torna-se praticamente

impossível apresentar soluções paramétricas para todos os casos de interesse

prático. POULOS (1977) apresentou resultados paramétricos relacionando valores

dos índices de recalque Rs para grupo de estacas flutuantes em um semi-espaço

homogêneo e grupo de estacas de ponta em um estrato de espessura h.

Em geral, o índice de recalque Rs aumenta com o decréscimo do

espaçamento entre as estacas e o aumento do número das mesmas. Para grupos de

estacas flutuantes, um aumento da rigidez relativa K causa um aumento do índice

de recalque Rs, enquanto para um grupo de estacas de ponta isso tende a reduzir

Rs.

A configuração das estacas dentro de um grupo não influencia

significativamente o valor de Rs. Para os grupos que contém mais de 16 estacas

observa-se que o valor de Rs varia aproximadamente linearmente com a raiz

quadrada do número de estacas do grupo.

46

Assim, POULOS (1968), utilizando determinados valores de K e L/d,

estabelece uma formulação para o índice de recalque Rs, obtida a partir da

extrapolação de valores de grupos de 16 e 25 estacas:

25 16 25( )( 5)sR R R n R= ⋅ ⋅ + (0.52)

25R - valor do índice de recalque Rs para um grupo de 25 estacas;

16R - valor do índice de recalque Rs para um grupo de 16 estacas;

n – número de estacas do grupo.

POULOS (1968) observou que o recalque do grupo de estacas em um meio

relativamente uniforme depende inicialmente da forma geométrica do bloco e do

número de estacas. Porém verifica-se que para uma determinada geometria de

grupo, a eficiência deste tipo de fundação tende a ser pouco significativa na

redução do recalque, a menos que o espaçamento relativo entre as estacas seja

mantido em s/d ≥ 6. Diversos fatores podem também influenciar na determinação

do valor do índice de recalque Rs, tais como: a espessura do estrato de solo h, a

compressibilidade da camada de solo subjacente ao grupo de estacas de ponta, o

coeficiente de Poisson, o contato do bloco com a superfície do terreno e a

distribuição do módulo de elasticidade do solo no maciço de solo.

2.3.1.7.1. Efeito da espessura do estrato do solo

O efeito da espessura do estrato h tende a reduzir o valor do índice de

recalque Rs no caso de grupos de estacas flutuantes. O coeficiente de redução é

definido como:

h

sh

s

R

Rξ = (0.53)

shR - o índice de recalque para um estrato de espessura h;

sR - o índice de recalque para semi-espaço infinito.

47

O coeficiente de redução diminui com decréscimo de h/L e aumento de L/d.

O efeito da espessura do estrato de solo h cresce com o aumento do tamanho e

redução de rigidez relativa do grupo de estacas.

Figura 2.14 - Coeficiente de redução devido ao efeito da espessura do estrato do solo.

(POULOS & DAVIS, 1980)

2.3.1.7.2. Efeito da compressibilidade da camada subjacente

POULOS (1977) define um coeficiente de redução bξ , variável com o

índice Eb/Es, (módulo da camada abaixo da base do grupo de estacas em relação

ao módulo de elasticidade do solo ao longo do fuste das estacas), através de:

b

sb

s

R

Rξ = (0.54)

sbR - o índice de recalque de um grupo de estacas de ponta;

sR - o índice de recalque de um grupo de estacas flutuantes.

48

O valor do coeficiente bξ tende a diminuir com o aumento da rigidez

relativa da base Eb/Es, sendo este efeito mais evidente para grupos de estacas

curtas (L/d ≤ 25). Para grupos de estacas esbeltas (L/d ≥ 100), com elevados

valores de rigidez relativa K, o efeito da espessura do estrato de solo h é

praticamente insignificante no valor do recalque de grupos de estacas.

Figura 2.15 - Coeficiente de redução para o efeito da camada carregada. (POULOS &

DAVIS, 1980)

Conforme a razão Eb/Es aproxima-se ao infinito, o índice de recalque para

um grupo de estacas de ponta tende ao índice de um grupo de estacas flutuantes.

2.3.1.7.3. Efeito do coeficiente de Poisson

O valor do coeficiente de redução é definido como sendo:

s

s

R

R

ν

νξ = (0.55)

νξ aumenta com decréscimo do coeficiente de Poisson. Quando ocorre a

drenagem, o valor de sν diminui de 0.5 para o coeficiente drenado, assim o valor

49

do índice de recalque aumenta, o efeito sendo mais notável para grupos com

maiores números de estacas.

2.3.2. Análise através do método de camadas finitas

No método de camadas finitas, desenvolvido por SOUTHCOTT & SMALL

(1995), o solo é dividido em camadas de extensão horizontal infinita. O

deslocamento tem que ser obtido na interface de cada camada. Para modelar a

aplicação de carga ao longo do fuste da estaca, o anel uniformemente carregado é

usado. O carregamento da base é representado pela carga pontual da magnitude

igual à tração normal na ponta da estaca.

A estaca é idealizada como uma série de elementos lineares que possuem

nós correspondentes às interfaces das camadas.

Na representação do sistema estaca - solo os poços feitos pelas estacas não

são modelados. Esse fato é considerado desprezível porque o solo é substituído

pelas estacas que são muito mais rígidas.

Figura 2.16 - Modelo do sistema solo-estaca usado no método de camadas finitas.

(SOUTHCOTT & SMALL, 1995)

Para simplificar as equações que constituem a matriz de rigidez do solo a

transformada de Henkel foi usada. Assim o problema se reduz a uma dimensão.

Assumindo que os deslocamentos do solo sδ e da estaca pδ são iguais

nos nós e na base e as forças são iguais e opostas obtém-se:

50

[[ ] [ ]] p sK K Pδ+ = (0.56)

[ ] K Pδ = (0.57)

δ - vetor de deslocamentos dos nós;

][][][ sp KKK += - matriz de rigidez combinada solo-estaca;

T

nsp ppPPP 0...,,,0...,,0, 1=+= - o vetor dos carregamentos

aplicados;

np - carregamento aplicado à cabeça da estaca n.

O método de camadas finitas foi usado para obter o fator de interação α

entre duas estacas idênticas, uma das quais foi sujeita ao carregamento unitário.

i

j

s

sα = (0.58)

is - o recalque da estaca não carregada i causado pela estaca carregada j;

js - o recalque da estaca j sob o carregamento próprio.

Os fatores de interação obtidos são apresentados nas Figs. 2.17, 2.18 e 2.19.

Figura 2.17 - O fator de interação vs. espaçamento relativo, L/d = 25. Comparação com

os resultados de EL SHARNOUBY & NOVAK (1990) e de POULOS (1968).

(SOUTHCOTT & SMALL, 1995)

51

Figura 2.18 - O fator de interação vs. espaçamento relativo, L/d = 50. Comparação com

os resultados de EL SHARNOUBY & NOVAK (1990) e de POULOS (1968).

(SOUTHCOTT & SMALL, 1995)

Figura 2.199 - O fator de interação vs. espaçamento relativo, L/d = 100. Comparação

com os resultados de EL SHARNOUBY & NOVAK (1990) e de POULOS (1968).

(SOUTHCOTT & SMALL, 1995)

52

Os gráficos mostram a boa concordância entre os valores dos fatores de

interação para L/d = 25 e 50 obtidos por EL SHARNOUBY & NOVAK (1990) e

pelo método de camadas finitas (SOUTHCOTT & SMALL, 1995).

A Fig. 2.20 representa os fatores de interação obtidos para as estacas de

ponta pelo método de camadas finitas e por EL SHARNOUBY & NOVAK (op.

cit.) plotados contra a razão entre os módulos de elasticidade do solo Es e da base

rígida. O sistema analisado inclui a fila de cinco estacas com espaçamento s/d =

2.5, L/d = 25.

Figura 2.20 - Os fatores de interação para cinco estacas de ponta comparação entre os

resultados do método de camadas finitas e de EL SHARNOUBY & NOVAK (1990).

(SOUTHCOTT & SMALL, 1995)

2.3.3. Método de estacas fictícias

Geralmente, nos métodos de análise de recalque o efeito do aumento de

rigidez devido à instalação de estacas é desprezado. MING & LONG-ZHU (2008)

fizeram uma proposta para incluir esse efeito na análise de um grupo de estacas

usando o método de estacas fictícias.

53

O problema é modelado através da decomposição do sistema solo – estacas

em maciço de solo estendido e duas estacas fictícias. A equação integral de

Fredholm de segunda ordem determina a distribuição das deformações axiais

causadas pelas forças interativas do solo estendido ao longo dos eixos centroidais

das localizações originais das estacas. Determinadas as forças axiais nas estacas

fictícias, podem ser obtidas as distribuições de forças nas estacas reais e os

recalques do grupo de duas estacas sob cargas verticais idênticas.

Figura 2.21 - Modelo de grupo de duas estacas. (MING & LONG-ZHU, 2008)

Para resolver as equações necessárias, as estacas têm que ser divididas em n

elementos. Os autores Cao Ming e Chen Long-zhu estudaram a influência do

número dos elementos no valor do fator de interação obtido através do parâmetro

δ :

nd

Lδ = (0.59)

Foi concluído que o valor de 4≥δ é suficiente para obter os resultados

satisfatórios.

54

Figura 2.22 - A influência do número de elementos no valor do fator de interação. (MING

& LONG-ZHU, 2008)

Os fatores de interação obtidos pelos autores são representados em

dependência do espaçamento relativo para diferentes razões de Ep/Es e índice de

esbeltez na Fig. 2.23.

Figura 2.23 - Os fatores de interação vs. espaçamento relativo para L/d = 40, 50 e 60.

(MING & LONG-ZHU, 2008)

55

2.3.4. Método baseado na aproximação de Winkler

Um método simplificado para obter a solução analítica para o calculo dos

recalques da fundação profunda foi proposto por MYLONAKIS & GAZETAS

(1998). O método é baseado na aproximação de Winkler, onde o solo é

representado por um conjunto de molas. Os valores da tensão cisalhante e a

pressão na base são considerados como proporcionais ao recalque local. Esse

método mostrou uma correlação boa com os resultados das análises numéricas

mais rigorosas. Além disso, os estudos de Mylonakis (2001) revelaram uma

expressão de forma fechada que descreve a relação entre a constante da mola e do

módulo elástico cisalhante.

Na solução original de RANDOLPH & WROTH (1978) os deslocamentos

verticais foram representados através de uma função logarítmica decrescente com

o aumento da distância entre a estaca e o ponto de interesse. Assim a tensão

cisalhante no fuste da estaca pode ser representada em termos do deslocamento

local como sendo:

22

ln m

G

rd

d

ρτ =

(0.60)

mr - raio de influência, fora do qual o recalque pode ser desprezado. No

caso geral do solo não homogêneo:

1 2 (1 )mr Lχ χ ν≈ − (0.61)

21, χχ - fatores empíricos dependentes de não homogeneidade do solo.

Os valores numéricos dos fatores 1χ e 2χ são discutidos por RANDOLPH

& WROTH (1978). É recomendado usar 1χ = 2.5 para estacas em hemisfério

homogêneo e 1χ = 2 para solo com a base rígida na profundidade de 2,5L, para

solo homogêneo ≈2χ 1 e para o solo de Gibson ≈2χ 0.5. Entretanto, a rigidez

da estaca isolada não é bastante insensível ao valor exato do raio rm.

56

O coeficiente de Winkler k, que relaciona a força transferida ao solo pela

estaca por comprimento unitário e o deslocamento local, é dado por:

2

2ln m

d Gk G

rw

d

π τ πδ= = =

(0.62)

O coeficiente k não é a propriedade do solo, mas depende de caraterísticas

do solo e da estaca e muda com profundidade, inclusive numa camada

homogênea. Para fins práticos a seguinte aproximação é adotada. A razão k(z)/G é

considerada a ser constante ao longo da profundidade.

Empregando a regressão linear baseada no método de Levenberg -

Marquardt for derivada a equação a seguir:

0.025 0.6

1.3 1 7p

s

Ek L

G E dδ

− − = ≈ + (0.63)

A rigidez resultante da estaca, K = P/wt, onde P é a carga na cabeça da

estaca e wt é o deslocamento da superfície, pode ser expressa:

tanh( )

1 tanh( )p p

LK E A

L

λλ

λΩ+

=+Ω

(0.64)

O termo λppAE é igual à rigidez da estaca de comprimento infinito. Os

parâmetros Ω e λ representam a rigidez adimensional da base da estaca e o

índice de esbeltez da estaca respeitivamente:

b

b p p

P

w E A λΩ = (0.65)

p p

k

E Aλ = (0.66)

57

Adotando os argumentos de RANDOLPH & WROTH (1978), é suficiente

considerar que a base da estaca atua como um disco rígido na superfície da

camada elástica homogênea. A relação força – deslocamento correspondente é

expressa do seguinte modo:

2

1 0.651

b bb

b b b

P dE dK

W hν

= ≈ + −

(0.67)

O termo entre parênteses leva em consideração a presença da base rígida

que se encontra na profundidade bh abaixo da ponta da estaca.

Figura 2.244 - Modelo de a) um grupo de estacas no solo estratificado b) transferência

de carga ao longo da estaca. (MYLONAKIS & GAZETAS, 1998)

2.3.4.1. Interação entre duas estacas

Para achar o fator de interação entre duas estacas é preciso primeiro

determinar o campo de deslocamento ao redor de uma estaca carregada.

Assumindo como a aproximação o estado de deformação plana, obtém-se a

58

variação logarítmica do deslocamento vertical do solo Us com a distância radial s.

A função de atenuação se expressa como:

( , )

( )( / 2, )s

s

U s zs

U d zψ = (0.68)

ln( ) ln( )

ln(2 ) ln( ) 2

( )

0

mm

m

m

r s ds r

r d

s

s r

ψ

− < < −= ≥

(0.69)

A função )(sψ não depende da profundidade.

Considerando que as estacas são muito mais rígidas do que o solo e que a

estaca não carregada segue exatamente o campo de deslocamentos gerado pela

estaca carregada, o fator de interação será igual a )(sψ , o seja, a solução obtida

por RANDOLPH & WROTH (1979).

MYLONAKIS & GAZETAS (1998) apontam várias incertezas que essa

solução implica como o fato que as estacas por serem rígidas e por causa da

reação da ponta não recalcam assim como impõe o campo de deslocamentos

gerado pelas estacas vizinhas. Eles propuseram um método alternativo, que

envolve três estágios (Fig. 2.25):

1. A estaca fonte é sujeita a uma carga axial na ponta. Aplicando qualquer

método analítico, o perfil de deslocamento W11(z) ao longo da estaca é obtido.

2. É aceito que a atenuação de deslocamento com a distância radial acontece

conforme descrito pela função )(sψ . Assim, se a estaca “receptora” não existisse,

o deslocamento no lugar dela seria:

11( , ) ( ) ( )sU s z W z sψ≈ (0.70)

3. A presença da estaca receptora modifica, geralmente reduz o

deslocamento. Para representar esse efeito, a estaca receptora é modelada em

forma de uma viga suportada pelas molas de Winkler. O mecanismo de

transferência de carga aqui é invertido, ou seja, o solo impõe o deslocamento à

59

estaca. A resposta W21(z) da estaca receptora predefine um fator de interação que

pode ser expresso como:

21

21

( 0)

( 1)

W z

W zα

==

= (0.71)

No caso particular de uma camada homogênea o fator de interação obtém-se

através de uma expressão explícita:

( ) ( , )s hα ψ ζ λ= Ω (0.72)

ln( / )

ln(2 / )m

m

r s

r dα ζ

=

(0.73)

2

2

2 sinh(2 ) [sinh(2 ) 2 ] [cosh(2 ) 1]

2sinh(2 ) 2 sinh(2 ) 4 cosh(2 )

L L L L L

L L L

λ λ λ λ λζ

λ λ λ+ +Ω − +Ω −

=+ Ω + Ω

(0.74)

Figura 2.255 - Modelo proposto para o cálculo da influência de uma estaca carregada na

estaca vizinha. (MYLONAKIS & GAZETAS, 1998)

60

A função ψ define o campo de deslocamento induzido, quando a função ζ

(também chamada de fator de difração) representa o efeito de rigidez da estaca e a

interação da mesma com o solo. É interessante observar o comportamento

assintótico da função ζ . Para uma estaca de ponta o parâmetro da rigidez da

base Ω se torna infinito e a função se simplifica a:

1 2

12 sinh(2 )

h

h

λζ

λ

= −

(0.75)

No caso de uma estaca flutuante o parâmetro Ω desaparece e:

1 2

12 sinh(2 )

h

h

λζ

λ

= +

(0.76)

Para uma estaca de comprimento infinito a função ζ passa ser igual a 0,5,

ou seja o fator de interação se reduz à metade.

2.3.4.2. Interação entre as bases das estacas

Fora do caso de estacas flutuantes, o campo de deslocamentos é gerado

pelas pontas das estacas também, a função de atenuação do qual é dada como:

( , )

( )( / 2, )s

b

s

U s L ds

U d L sψ

π= ≈ (0.77)

A interação entre as estacas pode ser incluída assumindo que o

deslocamento gerado pela estaca fonte arrasta para baixo a base da “receptora”.

Criando essa condição de contorno adicional, o fator de interação complementar

bα pode ser obtido. No caso de uma camada homogênea:

( ) ( , )b b bs hα ψ ζ λ= Ω (0.78)

61

2

2

2 cosh(2 ) sinh(2 )( 1)bh h

ζλ λ

Ω=Ω + Ω +

(0.79)

Como a função )(sbψ decresce inversamente à distância radial s quando a

função )(sψ decresce logaritmicamente, o deslocamento da base da estaca afeta a

região consideravelmente menor. Além disso, a interação solo-base reduz o fator

de interação bα . Para casos práticos, o valor de bα é de ordem de 10-3,

consequentemente, a interação entre as bases pode ser desprezada.

Nas Figs. 2.26 e 2.27 o fator de interação para solo homogêneo é plotado em

termos de espaçamento relativo e comparado com os resultados correspondentes

de POULOS & DAVIS (1980).

Figura 2.26 - Os fatores de interação para estacas flutuantes para diferentes índices de

esbeltez, Ep/Es = 1000, νs = 0.5. Comparação com os resultados de POULOS & DAVIS

(1980). (MYLONAKIS & GAZETAS, 1998)

62

Figura 2.27 - Os fatores de interação para estacas flutuantes para diferentes razões de

Ep/Es, L/d = 25, νs = 0.5. Comparação com os resultados de POULOS & DAVIS (1980).

(MYLONAKIS & GAZETAS, 1998)

2.3.4.3. Fator de interação para solo estratificado

Para levar em consideração o caso do solo estratificado a seguinte equação

matricial pode ser introduzida:

[ ] [ ][ ] [ ]

11 11

11 11

21 21

21 21

( ) (0)

( ) (0)0

( ) (0)

( ) (0)i

i

W h W

P h PL

LI LW h W

P h P

=

(0.80)

[ ]L e [ ]LI são matrizes de transferência que são referentes à resposta da

estaca isolada e à interação entre as estacas respeitivamente.

No caso de n camadas do solo é necessário aplicar a equação anterior

camada por camada, impondo a condição de continuidade em cada interface:

21 11 21

21 11 211 1

(0) (0)

(0) (0)bb

FI FI FI FIW W W

FI FI FI FIP P P

αα αβ αα αβ

βα ββ βα ββ

= +

(0.81)

63

O símbolo bb denomina a base da “mola” na ponta da estaca receptora. O

primeiro produto matricial na parte direita da equação é a quantidade conhecida

correspondente ao “termo de forças” produzido pela estaca fonte. Desprezando a

interação entre as bases das estacas, o deslocamento na base da “mola” que

suporta a base da estaca receptora é nulo (W21bb = 0). Além disso, o deslocamento

unitário na cabeça da estaca fonte (W11(0)1 = 1) requer a força igual à rigidez da

estaca isolada K (P11(0)1 = K). Caso essa força seja aplicada, o deslocamento

resultante da estaca não carregada (P21(0)1 = 0) será igual ao fator de interação α

(W21(0)1 = α). Substituindo essas condições de contorno na equação matricial

anterior, obtém-se o fator de interação.

2.3.4.4. Análise para grupo de estacas

Para um caso geral de um grupo de m estacas idênticas com bloco rígido, o

recalque pode ser obtido através da força resultante:

1

1

[1 [ ] 1]m

T

G i G G G

i

P P A D K D−

=

= = =∑ (0.82)

[A] – matriz de fatores de interação de tamanho m x m ;

[1] – vetor unitário de tamanho m x 1;

PG – força resultante;

DG – recalque do grupo.

2.3.4.5. Forças adicionais internas no grupo de estacas

Os métodos de cálculo de recalque do grupo de estacas baseados nos fatores

de interação geralmente assumem que cada estaca do grupo é submetida somente

a uma parcela de carga aplicada no bloco. MYLONAKIS & GAZETAS (1998)

apontaram que a interação entre as estacas não só causa um recalque adicional

mas também induz uma tração cisalhante ao longo do fuste (Fig. 2.28).

64

Figura 2.28 - Esquema do mecanismo que impõe as forças adicionais na estaca

receptora. (MYLONAKIS & GAZETAS, 1998)

O campo de deslocamento gerado arrasta para baixo a estaca receptora

analogamente à ação da fricção negativa. A força axial adicional criada pela

tração tende a aumentar com a profundidade e, junto com a carga na cabeça da

estaca, resulta na distribuição de força axial mais uniforme ao longo do fuste. O

fato que a parcela de carga transmitida para a ponta da estaca isolada é menor do

que em um grupo pode ser explicado através de maior interação entre os fustes das

estacas do que entre as bases. Assim, certa parte de carga fica redistribuída dentro

de um grupo.

No caso de uma camada de solo a força axial adicional ao longo da estaca

receptora pode ser obtida da seguinte maneira:

1121

(0)( ) (1 )

4 4 4 4

(1 )2 4 2 4

p p z

p p p p

z z z

p p p p

P E A K KP z z e

K E A E A

K Kz e e e

E A E A

λ

λ λ λ

λ ψ ψ ψ ψλ

λ λ

α ψ α ψλ

λ λ− −

= − + − + ⋅

⋅ − − + + +

(0.83)

65

As forças adicionais são sensíveis à condição de contorno na ponta da

estaca. A rigidez da mola que representa o solo abaixo da estaca parece ser o fator

determinante de desenvolvimento da tensão adicional. Assim, para as estacas

flutuantes que não têm reação na base, as forças adicionais são insignificantes.

Entretanto, no caso das estacas de ponta a base rígida permite somente a interação

pequena assim que a força adicional passa a ser 25% da força na cabeça da estaca.

A influência da rigidez da base é ilustrada na Fig. 2.29. A força adicional

calculada depois da redução da rigidez a 80% diminuiu em 10% apesar de

aumento do fator de interação.

Figura 2.29 - A distribuição da força axial ao longo das estacas do centro e do canto de

um grupo 3 x 3 no solo homogêneo para várias condições de contorno, Ep/Es = 1000,

L/d = 20, νs = 0,5, s/d = 5. (MYLONAKIS & GAZETAS, 1998)