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1.已知� ,则下列⽐例式成⽴的是( ).
A.�
B.
C.�
D.� 【答案】B 91501bd7b02e40cba8164dbb4180c877
【解析】∵ ,
∴� .
2.⼆次函数� 的图象的顶点坐标是( ).
A.�
B.�
C.�
D.� 【答案】A bdabaf6dc84a4f9585fec61a51252ea4
【解析】⼆次函数� 的图象的顶点坐标是� .
3.如图,⾝⾼为 � ⽶的某学⽣想测量⼀棵⼤树的⾼度,她沿着树影 � 由 � 向 � ⾛去,当⾛到点 � 时,她影⼦的顶端恰好与树影⼦的顶端重合,测得� ⽶,� ⽶,则树的⾼度为( ).
A.� ⽶
B.� ⽶
C.� ⽶
D.� ⽶ 【答案】D 3c6e122c1fa84a41a472aefb0c8adf20 【解析】如图,∵ ,
∴� ,
∴� ,
∴� ,
5 7x y=
5 7x y=
7 5x y=
57
xy=
75x
y=
5 7x y=
7 5x y=
22( 1) 3y x= − − +
(1,3)
( 1,3)−
(1, 3)−
( 1, 3)− −
22( 1) 3y x= − − + (1,3)
1.5 BA B A C3BC = 1CA =
344.56
CD BE�ACD ABE�
: :AC AB CD BE=
1: 4 1.5 : BE=
/ 1 11
解得� .
答:树的⾼度为� ⽶.
4.⼆次函数� 的图象与� 轴的⼀个交点坐标为� ,代数式� 的值为( ).
A.�
B.�
C.�
D.� 【答案】D 2a33c4948f8a48d7920ca65bc8a5c577
【解析】∵点� 在� 的图象上,
∴� ,
∴� ,
∴� .
5.如图,在 中, ,点 在边 上,且 ,连接 与对⾓线 相交于点 ,则 的值为 ff80808147342bac0147446cccc51d72 6.如图所⽰,⼩正⽅形的边长均为 ,则下列选项中阴影部分的三⾓形与 相似的是 9f743056fe164fbc8114cff5914eff12 7.如图,已知 ,那么添加下列⼀个条件后,仍⽆法判定 的是 ff8080814a39795c014a3da004ec0fe9
8.如图,⼆次函数 � 的图象与 � 轴交于 � 、 � 两点,与 � 轴交于 � 点,且对称轴为
� ,点 � 坐标为 � ,则下⾯的四个结论:① ;② ;③ ;④当 �时,� 或� ,其中正确的个数是( ).
A.�
B.�
C.�
D.� 【答案】B 40eb314966944956abfb5a1925646a2f 【解析】∵抛物线的对称轴为 � ,
∴� ,
∴� , 故①正确.
6BE =6
2 3y x x= + − x ( ,0)m 2 2016m m+ +
2016201720182019
( ,0)m 2 3y x x= + −
2 3 0m m+ − =2 3m m+ =2 2016 3 2016 2019m m+ + = + =
2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ x A B y C
1x = B ( 1,0)− 2 0a b+ = 4 2 0a b c− + < 0ac > 0y <
1x < − 2x >
1234
1x =
12ba
− =
2 0a b+ =
/ 2 11
由图象可知,当� 时,� , 故②正确. ∵函数图象开⼝口向下,
∴� .
∵图象与� 轴交于正半轴上,∴� ,
∴� ,
故③错误.
∵对称轴为� ,点� 坐标为� ,
∴点� 的坐标为� ,
∴当当� 时,� 或� ,
故④错误. 综上,正确的说法有两个.
9.如图,在 � 中,边 � ,⾼ � ,边长为 � 的正⽅形 � 的⼀边在 � 上,其余两个顶点分别在� ,� 上,则正⽅形边长为( ).
A.�
B.�
C.�
D.� 【答案】B 3b171dc799c54cd1811379b82bca7115 【解析】设 交 于 ,如图,连接 、 .
,
解得 .
10.如图,在边长为 的正⽅形 中,动点 从 点出发,以每秒 个单位长度的速度沿 ff8080814694a7d30146bc67d24040c7
11.请你写出⼀个开⼜向下,并且经过� 点的抛物线的表达式__________.
2x = − 4 2 0a b c− + <
0a <y
0c >
0ac <
1x = B ( 1,0)−
A (3,0)
0y < 1x < − 3x >
ABC 12cmBC = 6cmAD = x PQMN BC
AB AC
3cm4cm5cm6cm
PN AD E PD DN1 1 1( ) ( ) 12 62 2 2BD CD x AD PE NE+ + + = × ×
4x =
(0,3)
/ 3 11
【答案】� (答案不唯⼀)
【解析】答案不唯⼀,如� ,� 等. 8af216b24d6549579a648e8765e53908
12.把⼆次函数� 化成� 的形式,其结果为__________.
【答案】�
【解析】� .� 840fd6afdcce4dc0a70b06ab05cdb117
13.如图,要使� ,可以添加的⼀个条件是__________.
【答案】 或 或 f565168d5fde4b09be7af26331717c00 【解析】因为 为公共⾓,所以只要再找出⼀组相等的对应⾓即可, 即 或 .
或添加对应边成⽐例, .
故答案为: 或 或 .
14.某⼆次函数图象如图所⽰,可知该图象对称轴为__________.
【答案】 70eb4a8e768d43739b8ecb3fcd405148
【解析】∵点 和点 是抛物线上关于对称轴对称的两点,
∴抛物线的对称轴为直线 .
故答案为 .
15.把⼆次函数 � 的图象先向右平移 � 个单位,再向下平移 � 个单位,所得的新的抛物线表达式为
2 3y x= − +
2 3y x= − + 22 3y x x= − + +
21 52 2
y x x= − + 2( )y a x h k= − +
21 ( 1) 22
y x= − +
2 2 21 5 1 1( 2 1) 2 ( 1) 22 2 2 2
y x x x x x= − + = − + + = − +
ABC ACD�
ADC ACB∠ =∠ B ACD∠ =∠
AD ACAC AB
=
A∠ADC ACB∠ =∠ B ACD∠ =∠
AD ACAC AB
=
ADC ACB∠ =∠ B ACD∠ =∠
AD ACAC AB
=
( 1,0)− (3,0)
1x =
1
22y x= − 3 2
/ 4 11
__________.
【答案】� a4982549d9f74f7d88c9dddab4464c26
【解析】把⼆次函数 � 的图象先向右平移 � 个单位,再向下平移 � 个单位,所得的新的抛物线表达
式为� .
16.在平⾯直⾓坐标系中,正⽅形 的位置如图所⽰,点 的坐标为 ,点 的坐标为 ff8080814518d52401452108890e0ead
17.已知:如图,在� 中,� 是� 上⼀点,� 是� 上⼀点,且� .
(1)求证:� .
(2)若� ,� ,� ,求� 的长.
1c6974f38ed949af9d137a17b448aa25
【解析】(1)∵ , ,
∴ .
(2)∵ ,
∴� ,
即� ,
解得� .
18.(改编⼀下)在⼆次函数 中,函数 与⾃变量 的部分对应值如下表 58710714a7ae4095921c80e8bee3e6de
19.图中是抛物线形拱桥,当⽔⾯宽度 ⽶时,拱顶到⽔⾯的距离 ⽶, ff80808146ec1f920146f29b3ba40703
20.如图,李⼤婶要借助院墙围成⼀个矩形菜园 � ,⽤篱笆围成的另外三边总长为 � ⽶, � 的长为� ⽶,矩形⾯积为� ⽶� .
(1)求� 与� 之间的函数关系式.
22( 3) 2y x= − − −
22y x= − 3 222( 3) 2y x= − − −
ABC D AB E AC AED ABC=��
AED ABC�
5AE = 9AB = 6CB = ED
AED ABC∠ =∠ A A∠ =∠
AED ABC�
AED ABC�
AE DEAB BC
=
59 6
DE=
103
DE =
ABCD 24 BC
x y 2
y x
/ 5 11
(2)求出菜园的最⼤⾯积. 569990b9021d4f019440641ac0b9e01b 【解析】(1)∵ 的长为� ⽶,三边总长为� ⽶,
∴ ,
∴� .
(2)�
� .
当� 时,� .
答:菜园的最⼤大⾯面积为� .
21.已知⼆次函数� . (1)在所给的坐标系中画出函数图象(直接描点画图).
(2)如果� ,� 是函数图象上的两点,且� ,请直接写出� 、� 的⼤⼩关系.
1e1abf2cdac6432292bf84471b6acd97 【解析】(1)列表如下:
描点作图如下:
BC x 2424 1122 2x
AB x−
= = −
21 112 122 2
y x x x x⎛ ⎞= ⋅ − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
2 21 112 ( 24 144) 722 2
y x x x x= − + = − − + +
21 ( 12) 722x= − − +
12x = max 72y =
72
2 2 3y x x= − −
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 1x x< < 1y 2y
x
L
1−
0 4−
2
y
L
0
L 0
L 3− 3−
1 3
/ 6 11
22.在矩形 � 中, � , � , � 为 � 的中点,连接 � ,过点 � 作 � ,垂⾜为� .
(1)求证:� . (2)求� 的长.
5f42835b187949d395c2a246181cdfef (1)在矩形� 中,有� ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
(2)在矩形� 中,� ,
∴ ,
∵ 为� 的中点,
∴ ,
又∵ ,在� 中,由勾股定理得� ,
∵ ,
∴� ,
即� ,解得� .
23.如图,⼆次函数� 的图象与� 轴交于点� ,� ,与� 轴交于点� . (1)求⼆次函数表达式.
(2)若点 � 是第⼀象限内的抛物线上的⼀个动点,且点 � 的横坐标为 � ,⽤含有 � 的代数式表⽰ �的⾯积,并求出当� 为何值时,� 的⾯积最⼤,最⼤⾯积是多少?
ABCD 10AB = 12BC = E DC BE A AF BE⊥
FBEC ABF�
AF
ABCD 90C ABC ABF EBC∠ =∠ =∠ +∠ = °
AF BE⊥
90AFB C∠ =∠ = °
90ABF BAF∠ +∠ = °
BAF EBC∠ =∠
BEC ABF�
ABCD 10AB =10CD AB= =
E DC
5CE =
12BC = Rt BEC 13BE =
BEC ABF�
AF ABBC BE
=
1012 13AF
=12013
AF =
2y x bx c= − + + x ( 1,0)A − (3,0)B y C
E E m m ECB
m ECB
/ 8 11
208f6ffd91d64e5c9d07e818f194282a
【解析】(1)∵⼆次函数� 的图象与� 轴交于点� ,� ,
∴⼆二次函数的解析式为� .
(2)如图,连接� ,
易得� 的解析式为� .
设点� 的坐标为� ,则点� 的坐标为� ,
∴� ,� ,� ,
当� 时,� 的⾯积最⼤,最⼤⾯积是� .
24.阅读以下材料:
对于三个数 � , � , � .⽤ � 表⽰这三个数的平均数,⽤ � 表⽰这三个数中最⼩的数.例
如� ,� ,� .
O
y
x
C
BA
2y x bx c= − + + x ( 1,0)A − (3,0)B2( 1)( 3) 2 3y x x x x= − + − = − + +
BC
BC 3y x= − +
N
M
F
E
O
y
x
C
BA
E2( , 2 3)m m m− + + F ( , 3)m m− +
CM m= 3BN m= − 2 3EF m m= − +
1 ( )2EBCS EF CM BN= × +V
21 ( 3 ) 32
m m= × − + ×
23 9 2732 4 8m m⎛ ⎞= − − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
23 3 272 2 8m⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎝ ⎠
32
m = −ECB
278
a b c { , , }M a b c min{ , , }a b c
1 2 3 4{ 1,2,3}3 3
M − + +− = = min{ 1,2,3} 1− = −
( 1)min{ 1,2, }
1 ( 1)a a
aa−⎧
− = ⎨− >⎩
�
/ 9 11
解决下列问题:
(1)填空:� __________.
如果� ,则� 的取值范围为__________.
(2)①如果� ,那么� __________.
②根据①,你发现了结论“ ,那么__________.”(填� ,� ,� 的⼤⼩关系)
(3)通过观察 � , � , � 的图象得出 � 的最⼤值为__________. 553a33528e45445c976b5aadaf9a6884
【解析】(1)� .
∵ ,
∴� 且� ,
解得� 且� ,
即� .
(2)① .
∵
∴� ,
∴� 且� ,
∴� 且� ,
即� .
②若� ,
则� .
(3)如图,画出� ,� ,� 的图象,
观察图象可知,� 的最⼤值为� .
�
25.参考⼩腾思考问题的⽅法,解决问题 ff80808146cd4fd00146dbd0b5750cc9
min{sin30 ,cos45 , tan30 }° ° ° =
min{2,2 2,4 2 } 2x x+ − = x
{2, 1,2 } min{2, 1,2 }M x x x x+ = + x =
{ , , } min{ , , }M a b c a b c= a b c
1y x= + 2( 1)y x= − 2y x= − 2min{ 1,( 1) ,2 }x x x+ − −
1 2 3 1min{sin30 ,cos45 , tan30 } min , ,
2 2 3 2⎧ ⎫⎪ ⎪
° ° ° = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
min{2,2 2,4 2 } 2x x+ − =
2 2 2x + � 4 2 2x− �0x� 1x�
0 1x��
2 1 2{2, 1,2 } 13
x xM x x x
+ + ++ = = +
{2, 1,2 } min{2, 1,2 }M x x x x+ = +
min{2, 1,2 } 1x x x+ = +
2 1x +� 2 1x x +�1x� 1x�1x�{ , , } min{ , , }M a b c a b c=
a b c= =
1y x= + 2( 1)y x= − 2y x= −
2min{ 1,( 1) ,2 }x x x+ − − 1
1O
y
x
/ 10 11