ANÁLISIS MATEMÁTICO IRESUMEN Y EJERCICIOS

RESUELTOS

1. ESPACIOS MÉTRICOS

PROYECTO CLAVEMAT

2 (1)

Fascículos de Matemática

del Proyecto CLAVEMAT

FASCÍCULOS DE MATEMÁTICA

DEL PROYECTO CLAVEMAT

PROYECTO CLAVEMAT

ANÁLISIS MATEMÁTICO IRESUMEN Y EJERCICIOS RESUELTOS

1. Espacios métricos

Fascículo de Matemática No. 2 (1)

ANÁLISIS MATEMÁTICO I: RESUMEN Y EJERCICIOS RESUELTOS

1. ESPACIOS MÉTRICOS

PROYECTO CLAVEMAT

Escrito por: Cristian Guachamín, Roque Miño, Luis Pozo

Responsable de la Edición: Andrés Merino

Revisión Académica: el texto aún no cuenta con revisión académica de pares

Registro de derecho autoral No.ISBN: 978-0000-000-00-0

Publicado por el proyecto CLAVEMAT de la Escuela Politécnica Nacional, Ladrón deGuevara E11-253, Quito, Ecuador.

Primera edición: 2016Primera impresión: 2016

c© Proyecto CLAVEMAT 2016

ÍNDICE GENERAL

1. Espacios métricos 1

1.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2. Métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3. Interior, clausura, derivado y frontera . . . . . . . . . . . 3

1.1.4. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.5. Completación de espacios métricos . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

III

FASCÍCULO 1

ESPACIOS MÉTRICOS

1.1. Resumen

1.1.1. Topología

DEFINICIÓN 1.1 (Espacio topológico). Sean E un conjunto y τ ⊆ P(E), sedice que τ es una topología de E si se verifica que

i) ∅, E ∈ τ;

ii) si A, B ∈ τ, entonces A ∩ B ∈ τ; y

iii) si {Ai}i∈I es una familia de elementos de τ, entonces⋃

i∈I

Ai ∈ τ.

Al par (E, τ) se lo llama espacio topológico y a los elementos de τ se losllama abiertos de E.

PROPOSICIÓN 1.1. Sean (E, τ) un espacio topológico y A1, . . . , An ∈ τ, enton-

cesn⋂

i=1

Ai ∈ τ.

DEFINICIÓN 1.2 (Vecindad). Sean (E, τ) un espacio topológico y x ∈ E.Un conjunto Vx ⊆ E es una vecindad de x si existe U ∈ τ tal que

x ∈ U ⊆ Vx .

DEFINICIÓN 1.3 (Conjunto cerrado). Sea (E, τ) un espacio topológico, en-tonces F ⊆ E se dice cerrado si Fc ∈ τ.

PROPOSICIÓN 1.2. Sea (E, τ) un espacio topológico. Entonces

1

2 Espacios métricos

i) ∅ y E son cerrados;

ii) si A y B son cerrados, entonces A ∪ B son cerrados; y

iii) si {Ai}i∈I es una familia arbitraria de conjuntos cerrados, entonces⋂

i∈I

Ai

es también un conjunto cerrado.

PROPOSICIÓN 1.3. Sean (E, τ) un espacio topológico y A1, . . . , An conjuntos

cerrados. Entoncesn⋃

i=1

Ai es un conjunto cerrado.

1.1.2. Métrica

DEFINICIÓN 1.4 (Espacio métrico). Sean E un conjunto y una función

d : E × E −→ R

(x, y) 7−→ d(x, y)

tal que para todo x, y, z ∈ E verifique que

i) d(x, y) ≥ 0;

ii) d(x, y) = 0 si y solo si x = y;

iii) d(x, y) = d(y, x); y

iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Entonces, se dice que d es una métrica sobre E y al par (E, d) se lo llamaespacio métrico.

DEFINICIÓN 1.5 (Bola abierta). Sean (E, d) un espacio métrico, x ∈ E yr > 0, se define el conjunto

B(x, r) = {y ∈ E : d(x, y) < r},

y se lo llama bola abierta de centro x y radio r.

PROPOSICIÓN 1.4. Sean (E, d) un espacio métrico, x ∈ E y r > 0. EntoncesB(x, r) es un conjunto abierto.

1.1 Resumen 3

DEFINICIÓN 1.6. Sean (E, d) un espacio métrico, x ∈ E y r > 0. Se definen

i) B[x, r] = {y ∈ E : d(x, y) ≤ r} como la bola cerrada de centro x yradio r; y

ii) S(x, r) = {y ∈ E : d(x, y) = r} como la esfera de centro x y radio r.

PROPOSICIÓN 1.5. Sean (E, d) un espacio métrico y r > 0. Entonces, para todox ∈ E, B[x, r] y S(x, r) son conjuntos cerrados.

DEFINICIÓN 1.7. Sea (E, d) un espacio métrico. Al conjunto

τ = {A ⊆ E : (∀x ∈ A)(∃r > 0)(B(x, r) ⊆ A)},

se lo conoce como la topología inducida por d.

DEFINICIÓN 1.8. Sean (E, d) una espacio métrico y A ⊆ E. Se dice que A

es acotado si se verifica alguna de las siguientes condiciones:

i) Existen x ∈ E y R ≥ 0 tales que A ⊆ B(x, R).

ii) El conjunto {d(y, z) : y, z ∈ A} es acotado en R, es decir, existe M >

0 tal que (d(y, z) ≤ M), para todo y, z ∈ A.

DEFINICIÓN 1.9. Sean (E, d) un espacio métrico y A ⊆ E. Se define eldiámetro de A como

diam(A) := sup{d(x, y) : x, y ∈ A}.

DEFINICIÓN 1.10. Sean (E, d) un espacio métrico, x ∈ E y A ⊆ E. Sedefine la distancia desde x hacia A como

d(x, A) = ınf {d(x, y) : y ∈ A} .

1.1.3. Interior, clausura, derivado y frontera

DEFINICIÓN 1.11 (Interior y clausura). Sean (E, τ) un espacio topológicoy A ⊆ E. Se definen

4 Espacios métricos

i) el interior de A, notado por int(A), como el abierto más grande queestá contenido en A; y

ii) la clausura de A, notado por A, como el cerrado más pequeño quecontiene a A.

OBSERVACIÓN. Sean (E, τ) un espacio topológico y A ⊆ E, se tiene que

i) si U es un conjunto abierto tal que U ⊆ A, entonces U ⊆ int(A) ⊆ A; y

ii) si F es un conjunto cerrado tal que A ⊆ F, entonces A ⊆ A ⊆ F.

PROPOSICIÓN 1.6. Sean (E, τ) un espacio topológico y A ⊆ E. Definamos losconjuntos

U = {U ⊆ E : U es abierto y U ⊆ A} y F = {F ⊆ E : F es cerrado y A ⊆ F}.

Entoncesint(A) =

⋃

U∈U

U y A =⋂

F∈F

F.

DEFINICIÓN 1.12 (Punto interior). Sean (E, τ) un espacio topológico, A ⊆

E y x ∈ A. Se dice que x es punto interior de A si A es una vecindad de x,es decir, existe U ∈ τ tal que x ∈ U ⊆ A.

PROPOSICIÓN 1.7. Sean (E, τ) un espacio topológico y A ⊆ E. Se tiene que x

es un punto interior de A si y solo si x ∈ int(A).

PROPOSICIÓN 1.8. Sean (E, d) un espacio métrico, A ⊆ E y x ∈ A. Se dice quex es punto interior de A si existe r > 0 tal que B(x, r) ⊆ A

PROPOSICIÓN 1.9. Sean (E, τ) un espacio topológico y A ⊆ E. Se tiene que A

es un conjunto abierto si y sólo si todo punto x de A es un punto interior de A.

PROPOSICIÓN 1.10. Sea (E, τ) un espacio topológico. Se tiene que A ⊆ E es unconjunto abierto si y sólo si A = int(A).

DEFINICIÓN 1.13 (Punto de clausura). Sean (E, τ) un espacio topológico,A ⊆ E y x ∈ E. Se dice que x es punto de clausura de A si para toda

1.1 Resumen 5

vecindad Vx del punto x se tiene que

Vx ∩ A 6= ∅.

PROPOSICIÓN 1.11. Sean (E, τ) un espacio topológico y A ⊆ E. Se tiene que x

es un punto de clausura de A si y solo si x ∈ A.

PROPOSICIÓN 1.12. Sean (E, d) un espacio métrico, A ⊆ E y x ∈ E. Se tieneque x es un punto de clausura de A si para todo r > 0 se verifica que

B(x, r)∩ A 6= ∅.

PROPOSICIÓN 1.13. Sea (E, τ) un espacio topológico. Se dice que A ⊆ E es unconjunto cerrado si y sólo si A = A.

DEFINICIÓN 1.14 (Punto de acumulación). Sean (E, τ) un espacio topoló-gico, A ⊆ E y x ∈ E. Se dice que x es punto de acumulación de A si paratoda vecindad Vx del punto x se tiene que

(Vx r {x}) ∩ A 6= ∅.

Al conjunto de puntos de acumulación de A, se lo nota A′, y se lo llama elderivado de A.

PROPOSICIÓN 1.14. Sean (E, d) un espacio métrico, A ⊆ E y x ∈ E. Se tieneque x es un punto de acumulación de A si para todo r > 0 se verifica que

(B(x, r)r {x}) ∩ A 6= ∅.

DEFINICIÓN 1.15 (Punto aislado). Sean (E, τ) un espacio topológico, A ⊆

E y x ∈ A. Se dice que x es un punto aislado de A si x 6∈ A′.

DEFINICIÓN 1.16. Sean (E, τ) un espacio topológico y A ⊆ E. Se define lafrontera de A como el conjunto

∂A = {x ∈ E : para toda Vx vecindad de x Vx ∩ A 6= ∅ y Vx ∩ Ac 6= ∅}.

PROPOSICIÓN 1.15. Sean (E, d) un espacio métrico y A ⊆ E. Se tiene que

∂A = {x ∈ E : (∀r > 0)(B(x, r)∩ A 6= ∅ ∧ B(x, r) ∩ Ac 6= ∅)}.

6 Espacios métricos

DEFINICIÓN 1.17. Sea (E, d) un espacio métrico. Un conjunto M ⊆ E sedice denso en E si M = E.

1.1.4. Sucesiones

DEFINICIÓN 1.18 (Sucesión). Sea E un conjunto no vacío, una sucesión esuna función x : N → E. Para todo n ∈ N, se nota x(n) = xn y a la funciónx se la nota por:

x = (xn)n∈N.

DEFINICIÓN 1.19. Sean (E, d) un espacio métrico, x = (xn)n∈Nuna suce-

sión en E y φ : N → N una función estrictamente creciente. A la funciónx ◦ φ : N → E se la llama subsucesión de (xn)n∈N

y se la representa por(xφ(n))n∈N.

DEFINICIÓN 1.20 (Límite). Sean (E, d) un espacio métrico, (xn)n∈Nuna

sucesión en E y x ∈ E. Se dice que (xn)n∈Nconverge a x si

(∀ε > 0)(∃N ∈ N)(n ≥ N =⇒ d(xn, x) < ε).

Se representa por xn → x, cuando n → +∞.

PROPOSICIÓN 1.16. Sean (E, d) un espacio métrico, (xn)n∈Nuna sucesión de

E y x ∈ E. Se tiene que xn → x cuando n → +∞ si y solo si d(xn, x) → 0cuando n → +∞.

PROPOSICIÓN 1.17. Sean (E, d) un espacio métrico, A ⊆ E y x ∈ E. Se tieneque x es un punto de clausura si y sólo si existe alguna sucesión (xn)n∈N

deelementos de A tal que xn → x cuando n → +∞.

PROPOSICIÓN 1.18. Sean (E, d) un espacio métrico y F ⊆ E. Se tiene que F escerrado si y sólo si toda sucesión convergente de elementos de F converge enF.

DEFINICIÓN 1.21 (Sucesión acotada). Sean (E, d) un espacio métrico y(xn)n∈N

una sucesión en E. Se dice que (xn)n∈Nestá acotada si el conjunto

{xn : n ∈ N} es acotado.

1.2 Ejercicios 7

DEFINICIÓN 1.22 (Sucesión de Cauchy). Sean (E, d) un espacio métrico y(xn)n∈N

una sucesión en E. Se dice que (xn)n∈Nes de Cauchy si

(∀ε > 0)(∃N ∈ N)(n, m > N =⇒ d(xn, xm) < ε).

DEFINICIÓN 1.23 (Espacio métrico completo). Un espacio métrico (E, d)

se dice completo si toda sucesión de Cauchy converge.

PROPOSICIÓN 1.19. El espacio (R, d) es un espacio métrico completo con

d : R × R −→ R

(x, y) 7−→ d(x, y) = |x − y|.

1.1.5. Completación de espacios métricos

DEFINICIÓN 1.24 (Isometría). Sean (E, d1) y (F, d2) dos espacios métricosy f : E → F una función. Se dice que f es una isometría si

d2( f (x), f (y)) = d1(x, y),

para todo x, y ∈ E.

TEOREMA 1.20. Todo espacio métrico puede ser completado. Es decir, sea(E, d) un espacio métrico, existe un espacio métrico completo (F, δ) tal que

i) existe una isometría f : E → F; y

ii) f (E) = F.

Además, F es único, salvo isomorfismos.

1.2. Ejercicios

EJERCICIO 1.1. Sean (E, τ) un espacio topológico y F ⊆ E, se define

τF = {A ∩ F : A ∈ τ} ,

demostrar que (F, τF) es un espacio topológico.

8 Espacios métricos

Demostración. Demostremos que τF define una topología sobre F probando lascuatro propiedades de la Definición 1.1.

i) Notemos que ∅ ∈ τF. En efecto, sabemos que ∅ = ∅ ∩ F y que además∅ ∈ τ. De igual manera, sabemos que F = E ∩ F y que E ∈ τ, por lo tantoF ∈ τF.

ii) Supongamos que A, B ∈ τF, entonces tenemos que A = U ∩ F y B =

V ∩ F, con U, V ∈ τ. Ahora, A ∩ B = (U ∩ V) ∩ F, pero U ∩ V ∈ τ, por lotanto, se tiene que A ∩ B ∈ τF.

iii) Sea {Ai}i∈I una familia de elementos de τF, entonces se tiene que Ai =

Ui ∩ F, con Ui ∈ τ para todo i ∈ I. Por lo tanto,

⋃

i∈I

Ai =⋃

i∈I

(Ui ∩ F) =

(

⋃

i∈I

Ui

)

∩ F,

pero⋃

i∈I Ui ∈ τ, por lo tanto

⋃

i∈I

Ai ∈ τF.

De lo anterior, se sigue que (F, τF) es un espacio topológico.

EJERCICIO 1.2. Sea (E, d) un espacio métrico. Demostrar que el conjunto

τ = {A ⊆ E : (∀x ∈ A)(∃r > 0)(B(x, r) ⊆ A)},

define una topología sobre E.

Demostración. Demostremos las cuatro propiedades de la Definición 1.1.

i) Notemos que E ∈ τ, pues siempre se tiene que B(x, r) ⊆ E, indepen-dientemente del punto x y del radio r. Además ∅ ∈ τ, pues de no serasí tendríamos que existe x ∈ ∅ tal que para todo r > 0 se verifique queB(x, r) 6⊆ ∅, lo cual contradice el hecho de que el vacío no tiene elemen-tos.

ii) Sean A, B ∈ τ y x ∈ A ∩ B. Notemos que x ∈ A y x ∈ B, entoncesexisten r1 y r2 tales que B(x, r1) ⊆ A y B(x, r2) ⊆ B, de donde se tiene queB(x, r1) ∩ B(x, r2) ⊆ A ∩ B. Tomemos entonces r = mın{r1, r2}, así

B(x, r) = B(x, r1) ∩ B(x, r2) ⊆ A ∩ B,

1.2 Ejercicios 9

por lo tanto A ∩ B ∈ τ.

iii) Sean {Ai}i∈I una familia de elementos de τ y x ∈⋃

i∈I Ai. Entonces existej ∈ I tal que x ∈ Aj, pero ya que Aj ∈ τ, existe r > 0 tal que B(x, r) ⊆ Aj.Por otro lado, Aj ⊆

⋃

i∈I Ai y por lo tanto B(x, r) ⊆⋃

i∈I Ai. Se sigueentonces que

⋃

i∈I Ai ∈ τ.

De lo anterior, se sigue que τ es una topología sobre E.

EJERCICIO 1.3. Sea F un conjunto infinito, se define:

ρ = {A ⊆ F : Ac es finito} ∪ {∅}.

Demostrar que (F, ρ) es un espacio topológico.

Demostración. Demostraremos las propiedades de la Definición 1.1.

i) Notemos que F ∈ ρ, pues Fc = ∅ es un conjunto finito. Además ∅ ∈ ρ

por definición.

ii) Sean A, B ∈ τ, si uno de estos conjuntos es vacío, se concluye directamen-te que A ∩ B ∈ ρ. Por otro lado, si ambos son no vacío, por definiciónde ρ, tenemos que Ac y Bc son finitos. Ahora, dado que la unión de dosconjuntos finitos es un conjunto finito, entonces Ac ∪ Bc es finito; es decir,(A ∩ B)c es finito y por tanto A ∩ B ∈ ρ

iii) Sea {Ai}i∈I una familia de elementos de ρ. Sabemos que Ai ∈ τ, para todoi ∈ I, entonces Ac

i es finito o Ai = ∅, para todo i ∈ I. Consideremos doscasos:

• Si Ai es vacío para todo i ∈ I, entonces⋃

i∈I

Ai = ∅ ∈ ρ.

• Si existe j ∈ I tal que Aj 6= ∅, entonces Acj es finito. Ahora, tenemos

que(

⋃

i∈I

Ai

)c

=⋂

i∈I

(Ai)c ⊆ Ac

j ,

por lo tanto,

(

⋃

i∈I

Ai

)c

es finito y esto implica que⋃

i∈I

Ai ∈ ρ.

Así, se tiene que ρ es una topología sobre F.

10 Espacios métricos

EJERCICIO 1.4. Bajo el enunciado del ejercicio anterior:

a) ¿Cómo son los conjuntos cerrados de esta topología?

b) Calcule D para cualquier D ⊆ F.

c) Si C y D son abiertos no vacíos en esta topología, demostrar que C ∩

D 6= ∅

Solución.

a) Sea D ⊆ F se tiene que D es un conjunto cerrado si y solo si se tiene queDc ∈ ρ, es decir, si y solo si o Dc = ∅ o (Dc)c es finito. Por lo tanto, D es uncerrado si y solo si o D = F o D es un conjunto finito.

b) Sea D ⊆ F. Si D es finito, entonces D es cerrado y por tanto D = D. Si D esinfinito, entonces D ⊆ D y por lo tanto D es infinito; es decir D = F.

c) Procedamos por reducción al absurdo, es decir, supongamos que C ∩ D =

∅. Puesto que C y D ∈ ρ, se tiene que Cc y Dc son finitos, por otro lado, setiene que

Cc ∪ Dc = (C ∩ D)c = ∅c = F,

por lo tanto, F es la unión de dos conjuntos finitos, lo cual es contradictorio,pues F es infinito, por lo tanto, C ∩ D 6= ∅.

EJERCICIO 1.5. Sean (E, τ) un espacio topológico y A, B ⊆ E. Si A ⊆ B,demostrar que int(A) ⊆ int(B).

Demostración. Notemos que int(A) ⊆ A y por lo tanto int(A) ⊆ B. Ahora,puesto que int(A) es un conjunto abierto y que int(B) es el abierto más grandecontenido en B, se sigue que int(A) ⊆ int(B).

EJERCICIO 1.6. Sean (E, τ) un espacio topológico y A ⊆ E, Demostrar queint(int(A)) = int(A).

Demostración. Sabemos que int(A) es un conjunto abierto, además int(A) ⊆

int(A), por lo tanto int(A) ⊆ int(int(A)) ⊆ int(A).

1.2 Ejercicios 11

EJERCICIO 1.7. Sean (E, τ) un espacio topológico y A, B ⊆ E. Si A ⊆ B,demostrar que A ⊆ B.

Demostración. Ya que B ⊆ B, entonces A ⊆ B y puesto que B es un cerrado quecontiene a A, se sigue que A ⊆ B.

EJERCICIO 1.8. Sean (E, τ) un espacio topológico y A ⊆ E. Demostrar queA = A.

Demostración. Sabemos que A es un cerrado, además A ⊆ A, por lo tanto A ⊆

A ⊆ A.

EJERCICIO 1.9. Sean (E, τ) un espacio topológico y {Ai}i∈I una familia desubconjuntos de E.

a) Demostrar que⋃

i∈I

Ai ⊆⋃

i∈I

Ai.

b) Demostrar que, si I es finito, entonces⋃

i∈I

Ai =⋃

i∈I

Ai.

c) Demostrar que⋂

i∈I

Ai ⊆⋂

i∈I

Ai.

Demostración.

a) Notemos que Aj ⊆⋃

i∈I

Ai ⊆⋃

i∈I

Ai, para todo j ∈ I. Como⋃

i∈I

Ai es cerrado,

se tiene que Aj ⊆⋃

i∈I

Ai, para todo j ∈ I. Por lo tanto

⋃

i∈I

Ai ⊆⋃

i∈I

Ai.

b) Gracias al literal anterior, ya tenemos una inclusión, por lo cual, resta pro-

bar que⋃

i∈I

Ai ⊆⋃

i∈I

Ai. Se tiene que Ai ⊆ Ai, para todo i ∈ I, de donde,

⋃

i∈I

Ai ⊆⋃

i∈I

Ai.

12 Espacios métricos

Dado que I es finito, concluimos que⋃

i∈I

Ai es un cerrado. Entonces, por

definición de clausura, tenemos que

⋃

i∈I

Ai ⊆⋃

i∈I

Ai.

c) Tenemos que Ai ⊆ Ai, para todo i ∈ I, por lo tanto

⋂

i∈I

Ai ⊆⋂

i∈I

Ai.

Ahora, como la intersección de una familia arbitraria de conjuntos cerra-dos, es un cerrado, entonces

⋂

i∈I

Ai es un conjunto cerrado. Luego, por defi-

nición de clausura, colegimos que

⋂

i∈I

Ai ⊆⋂

i∈I

Ai.

EJERCICIO 1.10. Bajo el enunciado del ejercicio anterior:

i) Dar un ejemplo en que la igualdad en a) no se cumple.

ii) Dar un ejemplo en el que la igualdad en c) no se cumple, incluso si I

es finito.

Demostración.

i) Tomemos, para n ∈ I = N∗, los conjuntos An =

(

1n

, 2)

. Así,

An =

[

1n

, 2]

y⋃

n∈I

An = (0, 2],

por lo tanto⋃

n∈I

An = (0, 2) y⋃

n∈I

An = [0, 2]

Así, se tiene que la igualdad no siempre se verifica.

ii) Tomemos, ahora, los conjuntos

A1 = (0, 1) y A2 = (1, 2).

1.2 Ejercicios 13

Tenemos que A1 ∩ A2 = ∅, por lo tanto

A1 ∩ A2 = ∅

Por otro lado, se tiene que

A1 = [0, 1] y A2 = [1, 2],

entonces A1 ∩ A2 = {1}, de donde se sigue que la igualdad no se verifica.

EJERCICIO 1.11. Sea {Ai}i∈I una familia de subconjuntos de un espaciotopológico E.

1. Demostrar que⋃

i∈I

int(Ai) ⊆ int

(

⋃

i∈I

Ai

)

.

2. Demostrar que, si I es finito, entonces⋂

i∈I

int(Ai) = int

(

⋂

i∈I

Ai

)

.

Demostración.

1. Notemos que int(Ai) ⊆ Ai, para todo i ∈ I. Entonces⋃

i∈I

int(Ai) ⊆⋃

i∈I

Ai, y

puesto que⋃

i∈I

int(Ai) es un conjunto abierto, se sigue que

⋃

i∈I

int(Ai) ⊆ int

(

⋃

i∈I

Ai

)

.

2. Supongamos que I es finito. Se tiene que int(Ai) ⊆ Ai para todo i ∈ I,por lo tanto

⋂

i∈I

int(Ai) ⊆⋂

i∈I

Ai. Ahora, puesto que I es finito, se tiene que

⋂

i∈I

int(Ai) es un conjunto abierto, lo que implica que

⋂

i∈I

int(Ai) ⊆ int

(

⋂

i∈I

Ai

)

. (1.1)

14 Espacios métricos

Por otro lado, notemos que⋂

i∈I

Ai ⊆ Aj para todo j ∈ I, por lo tanto

int

(

⋂

i∈I

Ai

)

⊆ int(Aj).

para todo j ∈ I. Esto implica que

int

(

⋂

i∈I

Ai

)

⊆⋂

i∈I

int(Ai). (1.2)

De (1.1) y (1.2) se sigue que

⋂

i∈I

int(Ai) = int

(

⋂

i∈I

Ai

)

.

EJERCICIO 1.12. Sean (E, τ) un epacio topológico, y F ⊆ E.Demostrar que

int(F) ⊆ int(int(F))

Demostración. Sabemos, por definición de clausura, que int(F) ⊆ int(F); comoint(F) es una bierto contenido en int(F), concluimos que

int(F) ⊆ int int(F)

EJERCICIO 1.13. Sean (E, τ) un espacio topológico, y F un cerrado de E.Demostrar que

int(F) = int(int(F)).

Demostración. La primera implicación se verifica por el enunciado anterior.Ahora, por la definición de se tiene que int(F) ⊆ F, entonces,

int(F) ⊆ F,

pero como F es cerrado, es decir, F = F, de donde int(A) ⊆ F, por lo tanto,

int(int(F)) ⊆ int(F).

De esta manera se verifica la igualdad.

1.2 Ejercicios 15

EJERCICIO 1.14. Sean (E, τ) un espacio topológico y A ⊆ E. Demostrarque A

c= int(Ac).

Demostración. Sabemos que int(Ac) ⊆ Ac, por lo tanto A ⊆ int(Ac)c. Comoint(Ac)c es cerrado, entonces A ⊆ A ⊆ int(Ac)c, de donde

int(Ac) ⊆ Ac.

Por otro lado, tenemos que A ⊆ A, así, Ac⊆ Ac. Como A

ces abierto, entonces

Ac⊆ int(Ac) ⊆ Ac, de donde

Ac⊆ int(Ac).

Con esto, tenemos que Ac= int(Ac).

EJERCICIO 1.15. Sean (E, τ) un espacio topológico y A, B ⊆ E. ¿En quérelación están ∂A y ∂B?

Solución. Consideremos los conjuntos

A = (1, 4] y B = (2, 3).

Notemos que B ⊆ A y que además

∂A = {1, 4} y ∂B = {2, 3}.

En efecto, sea r > 0 entonces B(1, r) = (1 − r, 1 + r) y B(4, r) = (4 − r, 4 + r).Analicemos dos casos:

i) Si r ≤ 3, entonces

B(1, r)∩ A = (1, 1+ r) 6= ∅ y B(1, r) ∩ Ac = (1 − r, 1] 6= ∅,

además

B(4, r)∩ A = (4 − r, 4] 6= ∅ y B(4, r)∩ Ac = (4, 4+ r) 6= ∅.

ii) Si r > 3, entonces

B(1, r)∩ A = A 6= ∅ y B(1, r)∩ Ac = (1 − r, 1]∪ (4, 1+ r) 6= ∅,

16 Espacios métricos

además

B(4, r)∩ A = A 6= ∅ y B(4, r)∩ Ac = (4 − r, 1] ∪ (4, 4+ r) 6= ∅.

De lo anterior podemos concluir que 1 y 4 son puntos de frontera de A.

Probemos ahora que 1 y 4 son los únicos puntos de frontera de A. Supon-gamos que existe algún x ∈ (−∞, 1) ∪ A \ {0} ∪ (4,+∞) tal que x ∈ ∂A.Notemos que si x ∈ A \ {0}, puesto que A es abierto, existe r > 0 tal queB(x, r) ⊆ A y por lo tanto B(x, r) ∩ Ac = ∅, es decir x 6∈ ∂A. Por otro lado,si x ∈ (−∞, 1) ∪ (4,+∞), puesto que este conjunto es abierto, existe r > 0 talque B(x, r) ⊆ (−∞, 1)∪ (4,+∞) y por tanto B(x, r)∩ A = ∅, lo que contradicenuevamente nuestra suposición. Así, tenemos que ningún otro punto puedeser punto de frontera de A.

Siguiendo este mismo razonamiento se puede probar que ∂B = {2, 3}. Porúltimo, se puede ver que no existe ninguna relación entre ∂A y ∂B.

EJERCICIO 1.16. Sea (E, d) un espacio métrico. Para x, y ∈ E se define

δ(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y).

Demostrar que esta funcion también es una métrica sobre E.

Demostración. Probaremos las cuatro propiedades de la Definición 1.4. Sean x,y, z ∈ E.

i) Puesto que d es una métrica se verifica que d(x, y) ≥ 0, por lo tanto 1 +

d(x, y) > 0. Luego, se tiene que

0 ≤d(x, y)

1 + d(x, y)= δ(x, y).

ii) Supongamos que δ(x, y) = 0. Se tiene que d(x,y)1+d(x,y) = 0, lo cual implica

que d(x, y) = 0, por lo tanto, puesto que d es una métrica, se sigue quex = y. Recíprocamente, supongamos que x = y, entonces d(x, y) = 0.Ahora, notemos que 1 + d(x, y) > 0, entonces d(x,y)

1+d(x,y) = 0. Por lo tantoδ(x, y) = 0.

1.2 Ejercicios 17

iii) Puesto que d es una métrica, se tiene que d(x, y) = d(y, x) y por lo tanto

δ(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y)=

d(y, x)

1 + d(y, x)= δ(y, x).

iv) Para demostrar esta propiedad consideremos la función

f : [0, ∞) −→ R

t 7−→ f (t) = t1+t .

Si derivamos f , tenemos que f ′(t) = 1(1+t)2 > 0 para todo t ∈ [0, ∞),

lo que significa que f es estrictamente creciente. Por otro lado, como d

es métrica, se tiene que d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). Si aplicamos f a estaúltima desigualdad, esta se mantiene. Así,

f (d(x, y)) ≤ f (d(x, z) + d(z, y)) =d(x, z) + d(z, y)

1 + d(x, z) + d(z, y).

Ahora, notemos que

d(x, z) + d(z, y)

1 + d(x, z) + d(z, y)=

d(x, z)

1 + d(x, z) + d(z, y)+

d(z, y)

1 + d(x, z) + d(z, y)

≤d(x, z)

1 + d(x, z)+

d(z, y)

1 + d(z, y).

Por lo tanto δ(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y)≤

d(x, z)

1 + d(x, z)+

d(z, y)

1 + d(z, y)= δ(x, z) +

δ(z, y) .

De lo anterior se tiene que δ es una métrica sobre E.

EJERCICIO 1.17. Sea {(Ei, di)}i∈I una familia de espacios métricos, dondeI = {1, 2, ..., n} y sea F = E1 × E2×, · · · ,×En. Para x = (x1, x2, · · · , xn) yy = (y1, y2, · · · , yn), elementos de F, se define

d+(x, y) =n

∑i=1

di(xi, yi).

Demostrar que esta función es una métrica sobre F.

Demostración. Sean x, y, z ∈ F.

18 Espacios métricos

i) Notemos que di(xi, yi) ≥ 0, para todo i ∈ I. Por lo tanto

d+(x, y) =n

∑i=1

di(xi, yi) ≥ 0.

ii) Supongamos que d+(x, y) = 0, es decir, ∑ni=1 di(xi, yi) = 0. Ahora, puesto

que di(xi, yi) ≥ 0, para todo i ∈ i, tenemos que di(xi, yi) = 0, para todoi ∈ I y por lo tanto xi = yi, para todo i ∈ I. Así x = y.

Recíprocamente, si x = y, tenemos que xi = yi para todo i ∈ I, lo queimplica que di(xi, yi) = 0, para todo i ∈ I. Por lo tanto d+(x, y) = 0.

iii) Ahora, notemos que di(xi, yi) = di(yi, xi), para todo i ∈ I entonces

d+(x, y) =n

∑i=1

di(xi, yi) =n

∑i=1

di(yi, xi) = d+(y, x).

iv) Finalmente di(xi, yi) ≤ di(xi, zi) + di(zi, yi), para todo i ∈ I, se tiene que

n

∑i=1

di(xi, yi) ≤n

∑i=1

(di(xi, zi) + di(zi, yi))

=n

∑i=1

di(xi, zi) +n

∑i=1

di(zi, yi).

Así, tenemos que

d+(x, y) ≤ d+(x, z) + d+(y, z).

Por lo tanto, d+ es una métrica sobre F.

EJERCICIO 1.18. Sea {(Ei, di)}i∈I una familia de espacios métricos, dondeI = 1, 2, ..., n y sea F = E1 × E2×, · · · ,×En. Para x = (x1, x2, · · · , xn) yy = (y1, y2, · · · , yn), elementos de F, se definen

d∞(x, y) = maxi∈I

di(xi, yi).

Demostrar que esta función es una métrica sobre F.

Demostración. Sean x, y, z ∈ F.

1. Como di(xi, yi) ≥ 0, para todo i ∈ I, se tiene que

maxi∈I

di(xi, yi) ≥ 0.

1.2 Ejercicios 19

Por lo tanto d∞(x, y) ≥ 0.

2. Supongamos que d∞(x, y) = maxi∈I

di(xi, yi) = 0, dado que di(xi, yi) ≥ 0,

para todo i ∈ I , entonces

di(xi, yi) = 0.

Por lo tanto xi = yi,para todo i ∈ I, es decir x = y. Recíprocamentesupongamos que x = y, entonces xi = yi, para todo i ∈ I, por lo tan-to di(xi, yi) = 0, para todo i ∈ I. Entonces, max

i∈Idi(xi, yi) = 0, es decir

d∞(x, y) = 0.

3. Ahora, notemos que di(xi, yi) = di(yi, xi), para todo i ∈ I, entonces

d∞(x, y) = maxi∈I

di(xi, yi) = maxi∈I

di(yi, xi) = d∞(y, x).

4. Finalmente, puesto que

di(xi, yi) ≤ di(xi, zi) + di(zi, yi),

para todo i ∈ I. Por otro lado

di(xi, zi) ≤ maxi∈I

di(xi, zi) y di(zi, yi) ≤ maxi∈I

di(zi, yi).

para todo i ∈ I, entonces

di(xi, yi) ≤ maxi∈I

di(xi, zi) + maxi∈I

di(zi, yi)

para todo i ∈ I, por lo tanto

maxi∈I

di(xi, yi) ≤ maxi∈I

di(xi, zi) + maxi∈I

di(zi, yi),

es decird∞(x, y) ≤ d∞(x, z) + d∞(z, y).

Por lo tanto, d∞ es una métrica sobre F.

EJERCICIO 1.19. Sea (E, d) un espacio métrico. Demostrar que para todox, y, z ∈ E se verifica la desigualdad:

|d(x, z)− d(y, z)| ≤ d(x, y).

20 Espacios métricos

Demostración. Sean x, y, z ∈ E. Por la desigualdad triangular tenemos que

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) y d(y, z) ≤ d(y, x) + d(x, z).

Entonces

d(x, z)− d(y, z) ≤ d(x, y) y − (d(x, z)− d(y, z)) ≤ d(x, y).

De las desigualdades anteriores, y por propiedades del valor absoluto, tene-mos que

|d(x, z)− d(y, z)| ≤ d(x, y).

EJERCICIO 1.20. Sean (E, d) un espacio métrico, x ∈ E y r > 0. Demostrarque B(x, r) es un conjunto abierto.

Demostración. Sea y ∈ B(x, r), debemos probar que existe ρ > 0 tal que B(y, ρ) ⊆

B(x, r). Notemos que si y = x, entonces basta tomar ρ = r, pues tendríamos

B(y, ρ) = B(x, r) ⊆ B(x, r).

Ahora, si y 6= x, entonces d(x, y) > 0, pero como y ∈ B(x, r), tenemos que0 < d(x, y) < r y por lo tanto r − d(x, y) > 0. Tomemos ρ = r − d(x, y) yz ∈ B(y, ρ), entonces, por la desigualdad triangular, tenemos que

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

< d(x, y) + ρ

= d(x, y) + r − d(x, y)

= r

y por lo tanto z ∈ B(x, r), es decir B(y, ρ) ⊆ B(x, r), lo que implica que B(x, r)

es un conjunto abierto.

EJERCICIO 1.21. Sean (E, d) un espacio métrico, x ∈ E y r > 0. Demostrarque B[x, r] es un conjunto cerrado.

Demostración. Para demostrar que B[x, r] es un cerrado vamos a probar que(B[x, r])c es un conjunto abierto. Sea y ∈ (B[x, r])c, entonces d(x, y) > r > 0 ypor tanto d(x, y)− r > 0. Tomemos ρ = d(x, y)− r y z ∈ B(y, ρ), entonces, por

1.2 Ejercicios 21

la desigualdad triangular, tenemos que d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) y además

d(x, z) ≥ d(x, y)− d(z, y)

> d(x, y)− ρ

= d(x, y)− d(x, y) + r

= r.

Por lo tanto z ∈ (B[x, r])c. Es decir, B(y, ρ) ⊆ (B[x, r])c, lo que implica que(B[x, r])c es abierto.

EJERCICIO 1.22. Sean (E, d) un espacio métrico y (xn)n∈Nuna sucesión

convergente de elementos de E. Demostrar que (xn)n∈Nes acotada. ¿Se

tiene el recíproco de este resultado?

Demostración. Puesto que (xn)n∈Nes una sucesión convergente, para un ε > 0,

existen x ∈ E y N ∈ N tal que para todo n > N se tiene que

d(xn, x) < ε.

Definamos entonces M = max{ε, d(x0, x), . . . , d(xN, x)}, entonces tenemos quexn ∈ B(x, M) para todo n ∈ N, es decir, el conjunto {xn ∈ E : n ∈ N} ⊆

B(x, M) está acotado, es decir, la sucesión (xn)n∈Nestá acotada.

Notemos que el recíproco de esta proposición no se verifica, pues si toma-mos la sucesión (xn)n∈N

, donde

xn =

1 si n es par,

−1 si n es impar,

tenemos que (xn)n∈Nestá acotada, pero no converge.

EJERCICIO 1.23. Sean (E, d) un espacio métrico, (xn)n∈Nuna sucesión

convergente y φ : N → N una función biyectiva. Demostrar que (xφ(n))n∈N

es también convergente.

Demostración. Sean L el límite de (xn)n∈Ny ε > 0. Se tiene que existe N ∈ N

tal que n > N implica |xn − L| < ε.

22 Espacios métricos

Definamos el conjunto

A = {n ∈ N : φ(n) ≤ N} = φ−1({0, 1, . . . , N}),

como φ es biyectiva, entonces A es finito, por lo tanto podemos tomar M =

max(A), con esto, tenemos que, si n > M, se tiene que n 6∈ A, por lo tantoφ(n) > N, de dónde |xφ(n) − L| < ε. Así, (xφ(n))n∈N también converge.

EJERCICIO 1.24. Sean (E, d) un espacio métrico y F ⊆ E. Se tiene que F escerrado si y solo si toda sucesión convergente de elementos de F tiene sulímite en F.

Demostración. Primero, supongamos que toda sucesión sucesión convergentede elementos de F tiene su límite en F. Demostraremos que F es cerrado, esdecir demostraremos que

F = F.

La inclusión F ⊆ F se verifica por definición de clausura de un conjunto. Aho-ra, analicemos la inclusión contraria.

Supongamos que x ∈ F, se tiene que

(∀ε > 0)(B(x, ε)∩ F 6= ∅).

Por lo tanto, para cada n ∈ N∗ se sigue que

B

(

x,1n

)

∩ F 6= ∅,

es decir,{

B(x, 1n ) ∩ F

}

n∈N∗ es una familia de conjuntos no vacíos. De donde,gracias al Axioma de Elección, existe una sucesión (xn)n∈N∗ en F tal que

xn ∈ B

(

x,1n

)

∩ F,

para todo n ∈ N∗. Por lo tanto,

0 ≤ d(xn, x) <1n

para todo n ∈ N∗. Así, concluimos que d(xn, x) → 0, cuando n → +∞. Por

lo tanto, dado que (xn)n∈N∗ es una sucesión en F, su límite está en F, es decirx ∈ F.

1.2 Ejercicios 23

Recíprocamente, supongamos que F es cerrado, demostraremos que paratoda sucesión convergente de elementos de F tiene su límite en F. Sea (xn)n∈N

una sucesión de elementos de F tal que

xn → x,

cuando n → +∞, para algún x ∈ E. Debemos demostrar que x ∈ F. Como F

es cerrado, basta con demostrar que x ∈ F.

Dado que xn → x, cuando n → +∞, se tiene que

(∀ε > 0)(∃N ∈ N)(n ≥ N =⇒ d(xn, x) < ε).

Sea ε > 0, existe N ∈ N tal que si n ≥ N, entonces d(xn, x) < ε. Sabemos queN + 1 > N por lo tanto, d(xN+1, x) < ε, así,

xN+1 ∈ B(x, ε) y xN+1 ∈ F.

Por lo tanto, xN+1 ∈ B(x, ε)∩ F, se donde, concluimos que

B(x, ε)∩ F 6= ∅.

EJERCICIO 1.25. Sean (E, d) un espacio métrico, x ∈ E y A ⊆ E. Entonces

d(x, A) = 0 si y solo si x ∈ A.

Demostración. Supongamos que d(x, A) = 0, es decir

d(x, A) = ınf{d(x, y) : y ∈ A} = 0.

Por la caracterización de ínfimo, tenemos que

(∀ε > 0)(∃y ∈ A)(d(x, y) < ε),

por lo tanto, para n ∈ N∗, existe y ∈ A tal que d(x, y) < 1

n , es decir,

An =

{

y ∈ A : d(x, y) <1n

}

6= ∅,

de donde, se obtiene que {An}n∈N∗ es una familia de conjuntos no vacíos.Gracias al Axioma de Elección, existe una sucesión (yn)n∈N∗ tal que, para todon ∈ N

∗,

yn ∈ A y 0 ≤ d(yn, x) <1n

.

24 Espacios métricos

Así, se tiene que yn → x cuando n → ∞. Por lo tanto x ∈ A.

Recíprocamente, supongamos que x ∈ A, dado que para todo y ∈ A,d(x, y) ≥ 0, basta demostrar que

(∀ε > 0)(∃y ∈ A)(d(x, y) < ε).

Por lo tanto, sea ε > 0, dado que x ∈ A, existe una sucesión (xn)n∈Nen A tal

que xn → x cuando n → +∞. Así, existe N ∈ N tal que

n > N =⇒ d(xn, x) < ε.

Dado que N + 1 > N, se tiene que d(xN+1, x) < ε, además, xN+1 ∈ A. Por lotanto, se cumple que d(x, A) = 0.

EJERCICIO 1.26. Demostrar que (R2, d) es un espacio métrico completo si

d : R2 × R

2 −→ R

(x, y) 7−→ d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2,

donde x = (x1, x2) y y = (y1, y2).

Demostración. Para probar que R2 es completo, debemos demostrar que toda

sucesión de Cauchy sobre R2 es convergente en R

2. Sean (zn)n∈N= ((xn, yn))n∈N

una sucesión de Cauchy en R2 y ε > 0, entonces existe N ∈ N tal que si n ≥ N,

entoncesd(zn, zm) =

√

(xn − xm)2 + (yn − ym)2 < ε.

Ahora, puesto que

|xn − xm| =√

(xn − xm)2 ≤√

(xn − xm)2 + (yn − ym)2 < ε

y que

|yn − ym| =√

(yn − ym)2 ≤√

(xn − xm)2 + (yn − ym)2 < ε,

tenemos que (xn)n∈Ny (yn)n∈N

son sucesiones de Cauchy en R; y ya que R

es completo con la métrica usual, se sigue que existen x, y ∈ R tales que

xn → x y yn → y,

cuando n → +∞. Esto implica que (xn, yn) → (x, y), cuando n → +∞. Por lo

1.2 Ejercicios 25

tanto ((xn, yn))n∈Nes convergente. Se sigue entonces que (R2, d) es completo.

EJERCICIO 1.27. Sea C([0, 1]) = { f : [0, 1] → R : f es continua}, se define,para f , g ∈ C([0, 1]), la métrica

d∞( f , g) = maxx∈[0,1]

| f (x)− g(x)|.

Demostrar que (C([0, 1]), d∞) es un espacio métrico completo.

Demostración. Sea ( fn) una sucesión de Cauchy en C([0, 1]), para todo x ∈ [0, 1]se tiene la sucesión ( fn(x)) en R, demostraremos que esta última es de Cauchy.Sea ε > 0, al ser ( fn) una sucesión de Cauchy existe N ∈ N tal que

n, m > N =⇒ d∞( fn, fm) < ε.

Tomando n, m > N se tiene que

| fn(x)− fm(x)| ≤ maxx∈[0,1]

| fn(x)− fm(x)|

≤ d∞( fn, fm)

< ε.

Por lo tanto, para todo x ∈ [0, 1], la sucesión ( fn(x)) es de Cauchy. Al ser R

completo, existe lımn→∞

fn(x), por lo tanto podemos definir

f : [0, 1] −→ R

x 7−→ f (x) = lımn→∞

fn(x).

Puesto que las funciones fn son continuas sobre un intervalo cerrado y acota-do, son uniformemente continuas, por tanto convergen a f uniformemente, esdecir

d∞( fn, f ) → 0,

cuando n → +∞. Además, se tiene que f es continua, es decir f ∈ C([0, 1]).Por lo tanto (C([0, 1]), d∞) es un espacio métrico completo.

EJERCICIO 1.28. Sea C([0, 1]) = { f : [0, 1] → R : f es continua}, se define,

26 Espacios métricos

para f , g ∈ C([0, 1]), la métrica

d( f , g) =∫ 1

0| f (x)− g(x)|dx.

Demostrar que (C([0, 1]), d) no es un espacio métrico completo.

Demostración. Tomemos la siguiente sucesión de funciones, sea n ∈ N:

fn(x) =

0 0 ≤ x <12 − 1

n+1

n+12 x + 1−n

412 − 1

n+1 ≤ x <12 +

1n+1

1 12 + 1

n+1 ≤ x ≤ 1.

Demostraremos que ( fn)n∈Nes una sucesión de Cauchy pero no converge.

Sea ε > 0 para n > m > 0 se muestra en la siguiente figura el gráfico de lasfunciones fn y fm, en rojo y azul respectivamente.

12

112 −

1m+1

12 +

1m+1

12 −

1n+1

12 +

1n+1

12

1

Se tiene que el área sombreada representa d( fn, fm), por lo tanto se tiene:

d( fn, fm) =

∣

∣

∣

∣

1n + 1

−1

m + 1

∣

∣

∣

∣

.

Puesto que la sucesión(

1n+1

)

n∈N

converge, entonces es de Cauchy, por lo tan-

to existe N ∈ N tal que

n, m > N =⇒

∣

∣

∣

∣

1n + 1

−1

m + 1

∣

∣

∣

∣

< ε,

por lo tanto, si n, m > N se tiene

d( fn, fm) < ε,

1.2 Ejercicios 27

es decir, ( fn)n∈Nes de Cauchy.

Por lo tanto tenemos una sucesión de Cauchy pero que no converge enC([0, 1]) pues, tomemos la función:

f : [0, 1] −→ R

x 7−→ f (x) =

0 0 ≤ x <12

1 12 ≤ x ≤ 1.

Sea ε > 0, para n > 0 se muestra en la siguiente figura el gráfico de las funcio-nes fn y f , en azul y rojo respectivamente.

12

112 −

1n+1

12 +

1n+1

12

1

Así, el área sombreada representa d( f , fn). Por lo tanto se tiene que

‖ fn − f‖ =

∣

∣

∣

∣

1n + 1

∣

∣

∣

∣

.

Puesto que la sucesión(

1n+1

)

n∈N

converge a 0, existe N1 ∈ N tal que

n > N1 =⇒

∣

∣

∣

∣

1n + 1

∣

∣

∣

∣

< ε,

por lo tanto, si n > N1 se tiene

d( fn, f ) < ε,

pero f 6∈ C([0, 1]), por lo tanto (C([0, 1]), d) no es un espacio métrico completo.

El presente fascículo recolecta las principales definiciones, proposiciones yteoremas sobre Espacios Métricos, vistos en el curso de Análisis Matemáti-co I, dictado en la carrera de Matemática de la Escuela Politécnica Nacional.Además, presenta un compendio de ejercicios resueltos referentes a este te-ma, los cuales han sido desarrollados por Cristian Guachamín, Roque Miño,Luis Pozo, estudiantes de la Facultad de Ciencias, bajo la supervisión de An-drés Merino, profesor del Departamento de Matemática, quien ha dictadodicha asignatura.Cualquier corrección, propuesta de cambio o mejora del presente trabajo sela puede realizar al correo: mat.andresmerino@gmail.com .

9 780000 000002

ISBN 978-0000-000-00-2

Proyecto CLAVEMAT

Análisis Matemático I