Uvod u simulaciju sistema u energetskoj elektronici

Predrag Pejovi

13. mart 2011

1 DiskretizacijaPretpostavimo da je potrebno da numeriki reimo (simuliramo) diferencijalnu jednainu

oblikadx

dt= f(x, t)

za koju je dat odgovarajui poetni uslov. Jednaina je skalarna (po jednoj promenljivoj),prvog reda, u normalnoj formi. Da bi gornja jednaina, data u kontinualnom vremenu, bilasimulirana pomou digitalnog raunara, potrebno je prei na diskretizovano vreme

tn = nt

poto digitalni raunar moe da da podatke o odzivu samo u diskretnim trenucima vremena.Prelazak na diskretizovano vreme zahteva zamenu polazne diferencijalne jednaine diferencnomjednainom. Zamena diferencijalne jednaine diferencnom se zove diskretizacija.

Razmatraemo tri metoda diskretizacije. Kod svih metoda koji e ovde biti razmatrani,izvod e biti aproksimiran sa

dx

dt=xn+1 xn

t

Ovo je samo jedan od moguih naina aproksimacije izvoda.

2 Forward-EulerPrvi metod koji e biti razmatran je forward-Euler. Kod njega se funkcija tokom razmatra-

nog vremenskog koraka aproksimira svojom vrednou na poetku koraka

xn+1 xnt

= f(xn, tn) = fn.

Reenje ovako dobijene diferencne jednaine u diskretnim takama vremena se nee poklapatisa odbircima reenja polazne diferencijalne jednaine. U cilju poreenja ta dva reenja u du-gom periodu vremena (ne na nivou jednog vremenskog koraka simulacije, takva analiza se zoveanaliza greke numerike integracije) razmatraemo oblast stabilnosti reenja polazne diferen-cijalne jednaine i korespodentne diferencne jednaine ako je polazna diferencijalna jednainalinearna, homogena, sa konstantnim koeficijentom

dx

dt= x.

Ova jednaina ima reenjex(t) = x(0) et.

1

Ako dopustimo da je kompleksan broj, sa

2

1

0

1

2

2 1 0 1 2

it

r t

Slika 1: Oblast stabilnosti forward-Euler algoritma

3 Backward-EulerDrugi metod koji e biti razmatran je backward-Euler. Kod njega se funkcija tokom razma-

tranog vremenskog koraka aproksimira svojom vrednou na kraju korakaxn+1 xn

t= f(xn+1, tn+1) = fn+1.

Vrednost xn+1 je nepoznata, a javlja se sa leve strane jednaine, u aproksimaciji izvoda, kao i sadesne strane jednaine, kao argument funkcije f(x, t). Ova osobina svrstava backward-Euler me-tod u implicitne metode, za razliku od metoda kod kojih se nepoznata vrednost xn+1 javlja smosa leve strane, nikako kao argument funkcije f(x, t), koji su eksplicitni. Prethodno razmatranforward-Euler metod je eksplicitan. Implicitni metodi mogu da budu teki za implementacijuzbog potrebe da se reava algebarska jednaina po xn+1, to je u nekim sluajevima teak nu-meriki problem, sklon problemima konvergencije. Ovde emo analizirati linearne jednaine,pa odreivanje xn+1 po implicitnim metodima nee biti problem.

U cilju poreenja sa ostalim algoritmima, razmatraemo oblast stabilnosti reenja korespo-dentne diferencne jednaine dobijene po backward-Euler metodu ako je polazna diferencijalnajednaina linearna, homogena, sa konstantnim koeficijentom, ista kao i u sluaju razmatranjaoblasti stabilnosti forward-Euler metoda

dx

dt= x.

Primenom diskretizacije po backward-Euler metodu dobija sexn+1 xn

t= xn+1

3

odnosnoxn+1 = xn + t xn+1

odakle se zbog linearnosti jednaine xn+1 lako odreuje kao

xn+1 =xn

1 tSukscesivna primena dobijene diferencne jednaine daje

x1 = (1 t)1 x0x2 = (1 t)1 x1 = (1 t)2 x0x3 = (1 t)1 x2 = (1 t)3 x0. . .

xn = (1 t)1 xn1 = (1 t)n x0. . .

odakle se reenje dobijene diferencne jednaine u zatvorenoj formi identifikuje kao

xn = (1 t)n x0.Reenje dobijene diferencne jednaine je stabilno ako

limn

(1 t)n = 0

to je zadovoljeno kada je|1 t| > 1.

Pod istim pretpostavkama kao i u sluaju analize forward-Euler metoda dobija se

|1 r t j i t| > 1to u razvijenoj formi ima oblik

(1 r t)2 + (i t)2 > 1Dobijena oblast u ravni predstavlja spoljanjost kruga sa centrom u = 1

tpoluprenika 1

t,

kako je prikazano na slici 2. Dobijena oblast stabilnosti je znatno vea nego u sluaju forward-Euler metoda, ali se i dalje ne poklapa sa oblau stabilnosti polazne diferencijalne jednaine.Eventualne numerike greke nastale usled konane duine rei backward-Euler metod e pri-guiti znatno bolje nego forward-Euler metod, ali e osim toga priguiti i stvarno reenje, toe biti ilustrovano u primeru koji e biti prikazan.

4 Trapezno praviloTrei metod koji e biti razmatran je trapezno pravilo. Kod trapeznog pravila se funkcija

tokom vremenskog koraka aproksimira aritmetikom sredinom svojih vrednosti na poetku i nakraju posmatranog vremenskog koraka

xn+1 xnt

=1

2(f(xn, tn) + f(xn+1, tn+1)) =

1

2(fn + fn+1) .

Vrednost xn+1 je nepoznata, a javlja u aproksimaciji izvoda i kao argument funkcije f(x, t).Ova osobina svrstava trapezno pravilo, isto kao i backward-Euler metod, u implicitne metode.

4

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

it

r t

Slika 2: Oblast stabilnosti backward-Euler algoritma

Ako je funkcija f(x, t) linearna, primena implicitnih metoda ne uzrokuje vee tekoe. Meu-tim, ako je f(x, t) nelinearna funkcija, u svakom vremenskom koraku simulacije neophodno jereavanje nelinearne jednaine ili sistema nelinearnih jednaina. Ovaj zahtev predstavlja do-datno raunsko optereenje, a moe biti i uzrok problema ako iterativni postupak za reavanjenelinearnih jednaina nema zagarantovanu konvergenciju.

U cilju poreenja sa ostalim algoritmima, razmatraemo oblast stabilnosti reenja kore-spodentne diferencne jednaine dobijene po trapeznom pravilu ako je polazna diferencijalnajednaina linearna, homogena, sa konstantnim koeficijentom, ista kao i u sluaju razmatranjaoblasti stabilnosti Ojlerovih metoda

dx

dt= x.

Primenom diskretizacije po trapeznom pravilu dobija se

xn+1 xnt

=1

2 (xn + xn+1)

odnosnoxn+1

(1 t

2

)= xn

(1 +

t

2

)odakle se zbog linearnosti jednaine xn+1 lako odreuje kao

xn+1 =1 + t

2

1 t2

xn

5

Sukscesivna primena dobijene diferencne jednaine daje reenje u zatvorenoj formi

xn =

(1 + t

2

1 t2

)nx0.

Reenje je stabilno ako

limn

(1 + t

2

1 t2

)n= 0

to je zadovoljeno kada je 1 + t21 t2

< 1.Pod pretpostavkom da moe biti kompleksan broj, kao i u prethodnim sluajevima, dobija se1 + r t

2+ j i t

2

1 r t2 j i t

2

< 1to se svodi na 1 + r t2 + j i t2

< 1 r t2 j i t2 .

U razvijenoj formi gornja jednaina ima oblik

(1 + r t)2 + (i t)

2 < (1 r t)2 + (i t)2

to se svodi na(1 + r t)

2 < (1 r t)2 .Razvojem kvadrata binoma dobija se

1 + 2r t+ (r t)2 < 1 2r t+ (r t)2

to se svodi nar < 0

jer t > 0. Oblast stabilnosti dobijene diferencne jednaine se poklapa sa oblau stabilnostipolazne diferencijalne jednaine. Oblast stabilnosti je prikazana na slici 3.

5 PrimerU cilju ilustrovanja numerikog reavanja diferencijalnih jednaina, razmatraemo kao pri-

mer paralelno oscilatorno kolo prikazano na slici 4. Kolo sa slike 4 je autonomno poto nemanezavisne generatore. Autonomna kola imaju samo sopstveni odziv, poto zbog odsustva neza-visnih izvora nemaju prinudni odziv. Diferencijalne jednaine koje opisuju autonomna kola suhomogene.

U analizi kola sa slike 4 smatraemo da su vrednosti elemenata L = 1 H i C = 1 F, todaje rezonantnu krunu frekvenciju 0 = 1LC = 1 M

rads

i karakteristinu otpornost oscilatornog

kola R0 =

LC

= 1 . Simulacijom e biti odreen odziv kola za poetne uslove vC(0) = 10 Vi iL(0) = 0.

Pri zadatim uslovima odziv razmatranog kola se analitiki dobija kao

vC(t) = 10 V cost

1 s

6

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

it

r t

Slika 3: Oblast stabilnosti trapeznog pravila

vC

iC

vL

iL

+ +

Slika 4: Primer, LC oscilatorno kolo

iiL(t) = 10 A sin

t

1 s.

Sistem jednaina stanja kola sa slike 4 je

d

dt

[vCiL

]=

[0 1

C1L

0

] [vCiL

].

Vremenski korak za simulacije iji e rezultati biti prikazani u ovom tekstu izabran je kaot = 0.2 s. Izbor je motivisan ciljem da se jasno ilustruju osobine predstavljenih algoritama,kao i da se algoritmi uporede. U prilogu je dat izvorni kod Octave programa za simulaciju, aitaocima se preporuuje da sami probaju nekoliko veih i manjih koraka od izabranog kako bistekli oseaj za uticaj izbora vremenskog koraka na rezultat simulacije.

7

Sopstvene frekvencije kola su 1,2 = jLC = j M rads , to daje proizvode 1,2 t = 0.2 j.Sopstvene frekvencije kola i izabrani vremenski korak daju proizvode koji su u oblasti nesta-bilnosti forward-Euler algoritma, stabilnosti backward-Euler algoritma, i na granici stabilnostiza trapezno pravilo diskretizacije. Simulirani sistem je granino stabilan.

Jednaine stanja autonomnog sistema imaju oblik

ddtx = Ax.

Generalizacijom prethodnih izvoenja koja su se odnosila na skalarne funkcije na viedimenzionisluaj, po forward-Euler diskretizacionom pravilu se dobija diferencna jednaina

xn+1 = (I+ tA) xn

po backward-Euler diskretizacionom pravilu se dobija

xn+1 = (ItA)1 xndok diskretizacija po trapeznom pravilu daje

xn+1 =

(I t

2A

)1 (I+

t

2A

)xn

gde je I jedinina matrica dimenzije 2 2.U sva tri sluaja promenljive stanja na kraju vremenskog koraka se dobijaju mnoenjem

vektora promenljivih stanja na poetku koraka sa matricom prelaza T

xn+1 = Txn

pri emu je T konstantna matrica zavisna od izabranog algoritma diskretizacije.Rezultati simulacije po forward-Euler diskretizacionom pravilu su prikazani na slikama 5 i

6. Rezultat simulacije ukazuje na nestabilan sistem, iako je originalni sistem granino stabilan.

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 10 20 30 40 50

v C[A

]

t [s]

Slika 5: Dijagram vC , forward-Euler

Rezultati simulacije po backward-Euler diskretizacionom pravilu su prikazani na slikama 7i 8. Rezultat simulacije ukazuje na stabilan sistem, iako je originalni sistem granino stabilan.

Rezultati simulacije po trapeznom pravilu su prikazani na slikama 9 i 10. Rezultat simulacijeukazuje na granino stabilan sistem, kakav je i originalni sistem. Ipak, greka simulacije seuoava u faznom odstupanju rezultata simulacije u odnosu na egzaktno reenje.

Na osnovu prikazanih rezultata simulacije moe se zakljuiti da je trapezno pravilo dalonajbolje rezultate u pogledu tanosi i saglasnosti stabilnosti sa stabilnou reenja originalne

8

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 10 20 30 40 50

i L[A

]

t [s]

Slika 6: Dijagram iL, forward-Euler

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 10 20 30 40 50

v C[A

]

t [s]

Slika 7: Dijagram vC , backward-Euler

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 10 20 30 40 50

i L[A

]

t [s]

Slika 8: Dijagram iL, backward-Euler

diferencijalne jednaine. Ovde valja naglasiti da najvei deo raunskog optereenja predstavljamnoenje matrice prelaza T prethodnim vektorom stanja u svakom koraku simulacije, a tooptereenje je isto za sva tri razmatrana metoda, pa trapezno pravilo daje najbolji rezultatsimulacije pri praktino istom raunarskom optereenju za sva tri poreena algoritma.

itaocima se savetuje, ukoliko su zainteresovani, da proue greku diskretizacije na nivoujednog koraka, kao i adaptivne algoritme za izbor vremenskog koraka.

9

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 10 20 30 40 50

v C[A

]

t [s]

Slika 9: Dijagram vC , trapezno pravilo

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 10 20 30 40 50

i L[A

]

t [s]

Slika 10: Dijagram iL, trapezno pravilo

10