1Roland Charnay - 2007 Apprentissage des mathématiques Résolution de problèmes

11Roland Charnay - 2007Roland Charnay - 2007

Apprentissage des Apprentissage des mathématiquesmathématiques

Résolution de problèmesRésolution de problèmes

Roland Charnay - 2007Roland Charnay - 2007 22

Des enjeux complémentairesDes enjeux complémentaires

• Acquérir des outils mathématiques…

• Etre capable de les utiliser dans différents domaines, en autonomie

• Préparer la suite des apprentissages (collège…)

• Développer des compétences générales


PlanPlan

• Etat des lieux : quelques données sur les acquis des élèves

• Analyse des difficultés

• Pistes pour l’action pédagogique


Etat des lieuxEtat des lieux

Quelques donnéesQuelques données


Evaluation sixième 2004

• Plus d'1 élève sur 5 a des difficultés avec les "compétences nécessaires pour profiter pleinement des situations pédagogiques de sixième" (pour plus de 2/3 des items considérés).

• Deux domaines particuliers de difficultés– le calcul mental – la résolution de problèmes


CE2 6e

24 + 6 83 % 33 + 27 88 % 36 + 11 79 % Moitié de 9 87 % 32 + 9 77 % ? + 15 = 60 80 % 10 x 9 68 % 3,5 + 1,5 78 %

45 + 15 64 % 14 x 4 77 % 21 x 2 55 % 57 - 9 75 % 48 - 11 52 % Quart de 100 66 % 51 - 30 49 % 2,3 x 10 56 % 43 - 5 49 % 4 x 2,5 49 %

52 : 4 37 %

Calcul mental – Evaluations CE2 et 6e

2004 : 28 % d'échec aux "questions de base"


PrioritéPriorité au calcul mental au calcul mentalparmi tous les moyens de calculparmi tous les moyens de calcul

sous ses 2 aspects

Mémoriser des résultats et des procédures

Construire des résultats


La résolution de La résolution de problèmesproblèmes


Evaluation 6Evaluation 6ee - 2003 - 2003

Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur.

Chaque page contient 6 photos.

a) Combien y a-t-il de pages complètes ?

b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ?

Il y a ……… pages complètes. 54 %

Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 %


Procédures possiblesProblème des photos

• Division par 6• Division (CM1)

• Essais de produits par 6• Table de multiplication (CE2)

• Addition de 6 en 6• Addition (CE1)

• Schématisation des pages et des photos• Dénombrement (CP)


Une questionUne question

Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème…- ne pensent-ils pas…- n’osent-ils pas…- ne se croient-ils pas autorisés…

… (à) les utiliser pour répondre à la question?


Comparaison internationale Comparaison internationale (PISA 2003)(PISA 2003) Deux points faibles caractéristiquesDeux points faibles caractéristiques

• "Les élèves ont des connaissances, mais elles sont peu disponibles. Pour la plupart d'entre eux, si on ne leur dit pas explicitement quelles connaissances mathématiques il convient d'utiliser dans une situation donnée, ils ne la trouveront pas d'eux-mêmes, même s'ils possèdent le ou les éléments de connaissance correspondants".

• Manque d'autonomie : "Ils ne s'attaquent qu'aux questions qu'ils pensent pouvoir résoudre, ils ne disposent pas de stratégies pour aborder un problème qui ne leur est pas familier : essayer, expérimenter, bricoler… ne font pas partie des modes d'approche possibles".

• Antoine Bodin, Les mathématiques face aux évaluations, revue Repères (IREM), octobre 2006


Un exempleUn exempleUn menuisier dispose de 32 m de planches et souhaite s'en servir pour faire la bordure d'une plate-bande dans un jardin. Il envisage d'utiliser un des tracés suivants pour cette bordure :

Indiquez pour chacun des tracés s'il peut être réalisé avec les 32 m de planches.


Analyse des difficultésAnalyse des difficultés

Quelques pistesQuelques pistes


Julie Julie (éva 6(éva 6ee))

Julie a acheté pour un goûter :- deux tablettes de chocolat à 8 F. chacune- quatre bouteilles de limonade à 6 F. chacune- un sac de brioches.Elle a payé 56 F.Quel est le prix du sac de brioches ?

8 F x 6 F = 54 FLe prix du sac de brioches est 2 F.


Schéma d’analyse sommaireSchéma d’analyse sommaire

Connaissances- en lecture- sur le contexte- mathématiques

- sens des notions- raisonnement- calcul

Connaissances- sur ce qui est attendu- sur ce qui est permis- sur ce qui marche souvent- sur "l'accueil" des erreurs


A la bonne place A la bonne place (éva CE2)(éva CE2)

Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient.

367 582 309

600500400300

600582500367400309300


Quelques pistes…Quelques pistes…

… … pour le travail avec les pour le travail avec les élèvesélèves


Apprendre ce qu’est Apprendre ce qu’est chercherchercher

Un mot à double sens

• Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées

• Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur


Exemples en GS

Exemple 1 : Résolution à l'aide du matériel

– 24 objets, 6 pochettes

– mettre 3 ou 4 ou 5 objets par pochette

– Contrainte supplémentaire : il doit y avoir tous les types de pochettes

– Autre contrainte : même nombre d'objets dans chaque pochette

Exemple 2 : Résolution à l'aide du matériel

– Trouver toutes les répartitions de 12 objets dans 3 pochettes


Aide à la prise de conscience du comportement de chercheur et de stratégies efficaces

• Narration de recherche– Rédiger un compte-rendu de sa recherche, en décrivant toutes les

idées, toutes les pistes, y compris celles qui n'ont pas abouti (IREM de Montpellier)

– Faire des mathématiques, chest accepter de tâtonner, de faire des hypothèses, d'essayer, de se tromper, de corriger, de recommencer…

• Mise en commun– Comprendre et discuter d'autres démarches

• Synthèse sur des stratégies efficaces– Faire une hypothèse, la tester (pour voir)– Faire un schéma (pour comprendre, pour chercher)– Déduire de l'information d'un essai– Systématiser des essais…


Aider à Aider à l’appropriationl’appropriation du du problèmeproblème

• Plusieurs supports de présentation– Vécu– Dessin, schéma, document– Oral– Ecrit

• Aux cycles 1 et 2, le travail sur fiche est peu favorable, dans la phase d’apprentissage


Dix dans la boîte (Cap maths CP)

- deux joueurs

- 1, 2 ou 3 jetons dans la boîte à chaque coup.


Dix dans la boîte : 3 problèmes

• Se souvenir de ce qui est mis dans la boîte à chaque coup

• Plusieurs solutions… dont les nombres

• Connaître le contenu de la boîte• Vers l’addition

• Savoir s’il est possible de gagner au coup suivant

• Vers le complément


ANTICIPER / VALIDER : un aspect essentiel de ce type de situation

Situation réelleFavorise

l’appropriation de la situation et du

problème

Anticiper

Incite à l'expérience mentale

Permet la validation de la réponse ou d'une

procédure

Oblige à élaborer des procédures


Limiter Limiter les références possibles à des les références possibles à des indices « extérieurs »indices « extérieurs » au problème. au problème.

• Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours

• Se méfier des aides « de surface »


Exploiter Exploiter la diversitéla diversité des des procéduresprocédures

• Favoriser la diversité

• Exploiter la diversité

• Aider au progrès des élèves


Correction ou mise en commun ?Correction ou mise en commun ?

Correction• Aboutir au corrigé, à

LA solution• Conséquence :

« résolution » unique dont il faut s’approcher le plus possible

Mise en commun• Inventorier les

« résolutions »• Débattre de leur

validité• Les comparer• Conséquence : la

diversité est possible


Trace écrite ?Trace écrite ?

• Pas de trace écrite cette fois-ci

• Une « résolution » correcte, au choix de chaque élève

• Un montage de différentes « résolutions » correctes


Aider à progresser…Aider à progresser…

• Prise de conscience au cours de la mise en commun

• Mise en lien, établissement de ponts entre des « résolutions » en apparence différentes

• Choix des variablesExemple : 250 passagers, 240 adultes

• Expérience mettant en évidence l’équivalence de 2 « résolutions » (ici validation expérimentale)


Accorder un autre statut àAccorder un autre statut à l'erreurl'erreur

• Se tromper est « normal », dans la phase d'apprentissage

• Dans cette phase, l'erreur ne doit donc pas être sanctionnée

• On apprend aussi en travaillant sur les erreurs


Un exemple en calcul mentalUn exemple en calcul mental

Question : calculer "6 fois 15"

Réponse sur l'ardoise : 36

Analyse (hypothèse confirmée par l'explication de l'élève)

L'élève a calculé 6 x 5 = 30 et 6 x 1 = 6,

puis 30 + 6 = 36


Travail possibleTravail possible

• Faire expliciter la procédure utilisée

• Pourquoi est-on sûr que cette réponse est fausse (sans refaire le calcul) ?

– Parce que chest plus grand que 6 x 10

• Faire expliciter (éventuellement de plusieurs manières) une procédure correcte qui s'appuie sur une décomposition de 15


Exemples d'explicitations…Exemples d'explicitations…

• Oralement– 15 chest 10 + 5, pour avoir 6 fois 15, il faut prendre 6

fois 10 et 6 fois 5

• Oralement, avec appui sur un dessin– 6 fois ça

et 6 fois ça

• Essentiellement par le dessin (ou matériel, doigts)


Et retour sur la procédure erronéeEt retour sur la procédure erronée

Quel calcul réalise-t-on en faisant6 fois 5 plus 6 fois 1 ?

Explications du même type que précédemment (oral, dessin…)


La culture mathématique, chest …La culture mathématique, chest …

• Des connaissances

• Des connaissances utilisables (donc qui ont du sens)

• Des connaissances cohérentes (reliées entre elles)

• La capacité à les utiliser pour justifier

• L'initiation à une pratique "mathématisante"

Documents

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