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Résolution Algébrique equation polynomiales

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Text of Résolution Algébrique equation polynomiales

Rsolution Algbrique des Equations du 3 degrDmonstration de Cardan Soit l'quation (1) : ax3 + bx2 + cx + d = 0

On sait que :(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab (a + b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 = (3ab)(a+b) + a3 + b3

On pose : L'quation revient :

(1)

z3 + pz + q = 0 Si on pose z = u + v on a alors :

quation (2)

z3 = u3 + v3 + 3u2v + 3uv2 = (3uv)(u + v) + u3 + v3 z3 peut donc s'crire de 2 faons : 1 : z3 = - pz - q

2 : z3 = (3uv)(u + v) + u3 + v3 D'aprs le thorme des fonctions symtriques des racines, u et v sont solutions de l'quation :

On aboutit la formule dite de Cardan !!!

L'quation (2) admettra donc 3 solutions.

Discussion1 Cas :

L'quation (2) admet une solution relle : z1 = u + v

Elle admet aussi deux solutions imaginaires :

2 Cas :

Dans ce cas u3 = v3 L'quation (2) admet une solution relle simple :

Elle admet aussi une solution relle double :

3 Cas :

Les nombres u et v sont des complexes conjugus. Leur somme sera donc relle. L'quation (2) admet 3 solutions relles : z1 = u + v z2 = ju + j2v z3 = j2u + jv

Dmonstration de Viete

Soit l'quation (1): ax3 + bx2 + cx + d = 0 On sait que : (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab (a + b)3 = a3 + b3+ 3a2b + 3ab2

On pose :

L'quation (1) revient z3 + pz + q = 0 quation (2)

En posant U = u3, on se ramne une quation du second degr

On aboutit la formule dite de Viete !!!

Il y aura 6 solutions telles que :

Finalement, elles sont identiques 2 2. Il reste donc 3 solutions : z1,z2,z3. L'quation (2) admettra donc 3 solutions.

Rsolution Algbrique des Equations du 4 degrRduction Soit l'quation gnrale (1): ax4 + bx3 + cx + dx + e = 0 Si on pose :

On aura donc :

On sait que : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Calculons part chaque terme de l'quation

Finalement l'quation (1) revient : Pour simplifier on pose :

On ramne le cas gnral la forme rduite : z4 + Az2 + Bz + C = 0

Mthode de Ferrari Soit l'quation (2): z4 + Az2 + Bz + C = 0 Avec B 0 z4 + Az2 + Bz + C = 0 z4 = - Az - Bz - C Equation (2)

On pose Z = z + t pour introduire une inconnue auxiliaire t

Z = (z + t) = z4 + 2tz + t En mettant (2) dans (3) on limine z4

Equation (3)

Z = (z + t) = - Az - Bz - C + 2tz + t Z = (z + t) = (2t- A)z - Bz + t - C Equation (4)

On voudrais que le membre de droite soit de la forme (z + D).

Z = (z + t) = (2t- A)z - Bz + t - C = (z + D)Pour cela, on dit que D est la racine double du polynme en rouge.

Donc le discriminant est nul. Ce qui revient crire que : =0 B - 4(2t - A)(t- C) = 0 Equation (5)

B - 4(2t3 - 2tC - At + AC) = 0 B - 8t3 + 8tC + 4At - 4AC = 0 - 8t3 + 4At + 8tC + B - 4AC = 0 On aboutit une quation du 3 degr que l'on appelle quation rsolvante de Ferrari. On obtiendra t (une de ses racines de l'quation (5) par la mthode de Cardan). Une fois t trouve, on calculera D et on aura: (z + t) = (z + D) (z + t) - (z + D) = 0 on reconnat l'identit remarquable : a- b = (a + b) (a - b) (z + t) - (z + D) = 0 (z + t + z + D) (z + t - z - D) = 0 (z + z + t + D) (z - z + t - D) = 0

D'o 2 cas de figure : 1 Cas : z + z + t + D = 0 z1 et z2 seront solution de cette quation du second degr 2 Cas : z - z + t - D = 0 z3 et z4 seront solution de cette quation du second degr Dou les 4 solutions de l'quation (2) :

On reviendra x par la relation :

Mthode de Descartes Soit l'quation (2): z4 + Az2 + Bz + C = 0 ici B 0 On considre que l'quation est un produit de 2 polynmes du second degr z4 + Az2 + Bz + C = ( z + az + b ) (z + cz + d) = 0 En dveloppant ce produit on arrive : z4 + Az2 + Bz + C = z4 + cz3 + dz + az3 + acz + adz + bz + bcz + bd = 0 z4 + Az2 + Bz + C = z4 + (a + c)z3 + (ac + b + d)z + (ad + bc)z + bd = 0 Par identification, on obtient les 4 conditions suivantes :

On arrive

Puis, on aboutit enfin une quation de degr 6 : a6 + 2Aa4 + (A- 4C)a - B = 0 On pose t = a t3 + 2At + (A- 4C)t - B = 0 C'est l'quation de Descartes ! On obtiendra 3 valeurs distinctes de t, donc 6 valeurs distinctes de a qui donneront 3 factorisations diffrentes (changer a en -a donne la mme factorisation). On prend une valeur de a et on obtient : ( z + az + b ) (z + cz + d) = 0 D'o 2 cas de figure : 1 Cas : z + az + b = 0 z1 et z2 seront solution de cette quation du second degr 2 Cas : z + cz + d = 0 z3 et z4 seront solution de cette quation du second degr

Dou les 4 solutions de l'quation (2) :

On reviendra x par la relation :