10장. 고정축에 대한 강체의 회전(Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis)

10.1 각위치, 각속도, 각가속도10.2 분석 모형: 각가속도가 일정한 강체10.3 회전 운동과 병진운동의 물리량10.4 회전 운동 에너지10.5 관성 모멘트 계산10.6 토크10.7 분석 모형: 알짜 토크를 받는 강체10.8 회전 운동에서의 에너지 고찰10.9 강체의 굴림 운동

1

o Rotations of Rigid Bodies

- 바퀴, 회전 톱날, 선풍기등의 회전 :

- 각 질점들은 각각의 다른 운동!

- 그러나 각 질점들의 운동의 모양은 한가지!

cf) Dyanmic Quantities in a Rotational Problem :

Force F → Torque τ

Mass M → Moment Of Inertia I

Momentum p → Angular Momentum L

10.1 각위치, 각속도, 각가속도(Angular Position, Velocity and Acceleration)

10.1 각위치, 각속도, 각가속도(Angular Position, Velocity and Acceleration)

바퀴처럼 부피를 갖는 물체가 한 축을 중심으로 회전할 때는, 물체를하나의 입자로 취급하여 그 운동을 분석할 수 없다.물체의 각 부분들이 주어진 시각에 각각 다른 선 속도와 선 가속도를

갖기 때문이다.

회전하는 물체를 다룰 때 그 물체를 강체라 가정하면 분석이 아주 단순화된다. 강체(rigid body)는 변형이 없는 물체를 말한다.

rs

rs

단위: 라디안(radian)

◎ 각변위

- 물체의 회전 운동 → 각 질점은 원운동

- P점의 위치 [x(t), y(t)] → [r, θ(t)]

- 이 경우 r 은 고정 된다

◎ Define Radian

- 질점 P 가 움직인 거리 = 호의 길이 S

]1[][][

LL

각 θ 의 Unit (Dimension) = 1(단위가 없다, Dimensionless)

- Define) 1 Radian : If r = s → θ = 1 ⇒ 1 rad (Radian)

∴ 1 rad = 원 궤적의 반지름 r 과 호의 길이가 같아질 경우 이루어지는 각

)deg(180

)rad(

o Radian .vs. Degree

- 한 바퀴 : 원주의 길이 = 2πr, 한 바퀴 도는 각도 = 360°

)(22)(360 radrrrad

rS

3.572

3601

rad

)(6

30180

30 rad

)(4

45180

45 rad

)(3

60180

60 rad

)(2

90180

90 rad

)(180180

180 rad

기준선으로부터 각 θ만큼 이동하면 강체에 속한 모든다른 입자들도 같은 각도 θ만큼 회전한다. 각 입자와마찬가지로 전체 강체에 각 θ를 부여할 수 있으므로, 회전하는 강체의 각위치(angular position)를 정의할수 있다. 이 때 각변위는

if

ttt if

if

dtd

tt

0

lim

평균 각속력:(average angular speed)

순간 각속력:(instantaneous angular speed)

단위: rad/s 또는 s-1

ttt if

if

avg

dtd

tt

0

lim

o 강체내의 각 질점의 각 가속도:

- 고정축에 대한 강체내의 모든 질점들은같은 크기의 각속도와 각가속도를 가진다.

평균 각가속도(average angular acceleration)

순간 각가속도(instantaneous angular acceleration)

강체가 고정축에 대하여 회전할 때,

물체 위의 모든 입자는 주어진 시간 간격

동안에 같은 각만큼 회전하고 같은

각속력과 같은 각가속도를 갖는다.

보다 일반적인 회전 운동에서 각속도와

각가속도는 벡터량이다.

동일한 강체가 회전축이 바뀌면 회전 운동

의 형태도 바뀌기 때문이다.

o 각속도( ) 의 방향 : 오른손의 법칙을 따른다

반시계 방향 →

시계 방향 → zˆ zˆ

tif

221 ttiif

)(222ifif

tfiif )(21

10.2 분석 모형: 각가속도가 일정한 강체(Analysis Model: The Rigid Object Under Constant Angular Acceleration)

10.2 분석 모형: 각가속도가 일정한 강체(Analysis Model: The Rigid Object Under Constant Angular Acceleration)

고정축을 중심으로 회전하는 강체의 운동은 각가속도가 일정한 경우

가 많다. 따라서 ‘각가속도가 일정한 강체’라고 하는 회전 운동에 대한

분석 모형을 만들자. 이 모형은 등가속도 선운동의 경우와 유사하다.

각가속도 α가 일정한 경우,

회전 바퀴예제 10.1

바퀴가 3.50rad/s2의 일정한 각가속도로 회전하고 있다.(A) 만일 ti=0에서 바퀴의 각속력이 2.00rad/s라면, 2.00초 동안 이 바퀴가 회전한 각변위를 구하라.

풀이

(B) 이 시간 간격 동안에 바퀴는 몇 바퀴 회전하였는가?

t=2.00s일 때

221 ttiif

270rev1630)/rad57.3(11.0rad)(rad0.11

)00.2)(rad/s50.3()초00.2)(rad/s00.2( 2221

초

rev75.1360

rev1630

(C) t =2.00s에서 바퀴의 각속력을 구하라.

rad/s00.9

)00.2)(rad/s50.3(rad/s00.2 2

초tif

☆

10.3 회전 운동과 선운동의 물리량(Angular and Translational Quantities)

10.3 회전 운동과 선운동의 물리량(Angular and Translational Quantities)

속도에 대한 식을 미분하면

dtdr

dtdsv

rv

dtdr

dtdvat

rat

22

rrvac

42222222 rrraaa rt

강체가 고정축에 대해서 회전할 때 이 강체의 모든 입자들은회전축을 중심으로 원운동을 한다.

10.4 회전 운동 에너지(Rotational Kinetic Energy)

10.4 회전 운동 에너지(Rotational Kinetic Energy)

전체 운동 에너지는

221

iii vmK

i

iii

iii

iR rmvmKK 22212

21

22122

21 IvmK

iiiR

강체를 작은 입자들의 집합으로 생각하고, 이 강체가 고정된 z-축을 중심으로각속력 ω 로 회전한다고 가정하자. 먼저, 질량 mi인 입자가 회전축으로부터ri 떨어진 점에서 접선 속력 vi 로 운동하는 경우

◀ 회전 운동 에너지

i

iirmI 2 ◀ 관성 모멘트

(Rotational Inertia, or Moment of Inertia)

221 IKR

회전하는 네 개의 물체예제 10.3

네 개의 작은 구가 xy 평면에서 질량을 무시할 수 있는 두 막대의 끝에 묶여 있다. 구의반지름은 막대기의 크기에 비해 아주 작다고 가정한다.(A) 계가 y축을 중심으로 ω의 각속력으로 회전할 때, 이 축에 대한 관성 모멘트와 회전운동 에너지를 구하라.

풀이

2

222

2Ma

MaMarmIi

iiy

2222212

21 )2( MaMaIK yR

회전 운동 에너지는 새로운 형태의 에너지가 아니다. 강체를 이루는 입자들의 각각의 운동 에너지의 합으로부터유도하였으므로 일반적인 운동 에너지이다.

(B) 이 계가 O를 관통하는 축(z축)을 중심으로 xy 평면에서 회전한다고 가정하자. 이 축에 대한 관성 모멘트 및 회전 운동 에너지를 구하라.

2222222 22 mbMambmbMaMarmIi

iiz 222222

212

21 )()22( mbMambMaIK zR

☆

여기서, dldAdvdm

◎ 강체의 관성 모멘트 (Moments of Inertia for Rigid Body)- 질량소 Δm → 0 :

10.5 관성 모멘트 계산 (Calculation of Moments of Inertia)10.5 관성 모멘트 계산 (Calculation of Moments of Inertia)

dmrmrIi

iimi

22

0lim

여기서 r 은 위치벡터가 아니라 회전축으로부터의 직선 거리이다.

i

ii mrI 2

dmrI 2

cf) dm ? - 밀도 (질량 밀도 : Density Of Mass)

· 체(적) 밀도 : 단위 체적(부피)당의 질량

dVdm

Vm

V

lim0

dVdm dVrdmrI 22

dAdm

Am

A

lim0

dAdm dArdmrI 22

dxdm

dLdm

Lm

L

lim0

dxdm dxrdmrI 22

· 면(적) 밀도 : 단위 면적당의 질량

· 선밀도 : 단위 길이당의 질량

▣ 평행축 정리(parallel-axis theorem)

dmyx

dmrI

)( 22

2

dmyxdmyydmxxdmyx

dmyyxxI

)(22])()[(

])()[(2

CM2

CMCMCM22

2CM

2CM

2CM MDII

삼차원 물체를 평평한 물체로 압축

시킨다고 가정하면

O좌표계에서 질량 중심의 좌표가이라면

이므로0',',' zzyyyxxx CMCM

D2ICM

)0,,( CMCM yx

16

◎ 평행축 정리 (The Parallel-Axis Theorem)

- 임의의 축에 대한 관성 모멘트 (계산시 유용하게 사용)= 질량 중심에 대한 관성 모멘트 (ICM)

+ CM과의 거리 d에 대한 관성모멘트(I') cf )

222 MddmddmrI Mdm ∵

∴2' MdIIII CMCM "평행축 정리

(The Parallel-Axis Theorem)"

Aside) o Proof of the Parallel-Axis Theorem

균일한 강체 막대예제 10.4

길이가 L이고, 질량이 M인 균일한 강체 막대가 있다. 막대에 수직이고 질량 중심을 지나는 축(y축)에 대한 관성 모멘트를 구하라.

풀이

dxLMdxdm

2

2/

2/

32/

2/

2

2/

2/

22

121

3

ML

xLMdxx

LM

dxLMxdmrI

L

L

L

L

L

LCM

2

121 MLICM

☆

dxdm

dldm

lm

LM

o 막대의 한 끝(y)에 대한 관성 모멘트 I끝

2

0

3

0

2

0

22

31

3

ML

xLMdxx

LMdx

LMxdmrI

LLL

끝

cf)

- CM은 막대의 중심에 위치 :

- 막대의 한끝에서의 관성 모멘트 I :

· CM에서 막대의 끝까지의 거리 :

2

121 MLICM

2Ld

22

41

2' MLLMI

2222

31

123

121

41

121' MLMLMLMLIII CM

∴

평행축 정리의 이용예제 10.6 2' MdIIII CMCM

o 얇은 고리, 굴렁쇠 (Hoop) : 두께를 무시

- z-축에 대한 관성 모멘트 Iz

cf) Hoop에서의 반경 R 은 고정된 값

o 원판 (Disk) cf )

dmrI z 2 Rr 0

dAdm rdrrddA 2)( 2

222 MRdmRdmrI z

24

0

4

322

21

21

412

22

MRRr

drrrdrrdmrIR

z

dAdm

Am

AM

o (도넛) 내부 반경이 R1, R2 이면,

dmrI z 221 RrR

dAdm rdrrddA 2)( 2

))((21)(

21

412

22

21

22

21

22

41

42

4

322

2

1

RRRRRRr

drrrdrrdmrIR

R

z

)( 21

22 RRAM - 도넛의 질량 :

∴ )(21 2

22

1 RRMIz

균일하게 속이 찬 실린더예제 10.5

반지름은 R, 질량이 M 그리고 길이가 L인 속이 찬 균일한 실린더가 있다. 중심축(z축)에대한 관성 모멘트를 구하라.

풀이 LrdrdVdm 2

421

0

3

22

2

)2(

LRdrrL

drLrrdmrIR

z

LRM

ALM

VM

2

2214

221 MRLR

LRMIz

이므로

◎ 수직축 이론 (Perpendicular-Axis Theorem)

- xy 평면에서 대칭을 이루는 강체의 경우

-

pf)

cf) 대칭성이 있는 강체 :

ex) Hoop

yx

z

IIdmydmx

dmyxdmrI

22

222

yxz III

zyx III21

2MRIz 2

21 MRII yx

10.6 토크(Torque)

10.6 토크(Torque)

o Torque : 물체를 회전시키는 힘의 능력

cf) 원운동 → 접선 성분의 힘만 작용

∴ Torque τ = 접선 성분의 힘 × 힘의 작용점까지의 거리(r)

ex) wrench에 작용하는 Torque :

Wrench는 원운동 → 접선 성분의 힘만 작용 (F sinΦ)

FdrF sin

sinrd : 팔의 길이

∴ τ = 힘 × 기준점에서의 수직 거리(팔의 길이)

축이 고정되어 있는 강체에 힘을 작용하면, 강체는 그 축에 대하여 회전하려

한다. 이와 같이 어떤 축에 대하여 물체를 회전시키고자 하는 힘의 능률을

토크(또는 돌림힘, torque)라 하며 벡터량이다.

단위: Nm (Joule이 아님)

221121 dFdFNet

둘 이상의 힘이 한 물체에 작용할 때 각 힘이 물체에 토크를 작용한다. 토크는 벡터량이므로 회전 방향을 고려해야 한다.

※ Torque는 기준점(작용점)이 정해져야만 적용할 수 있다

- Torque에서 τ 는 두 개의 Vectors r, F 의 곱이고 결과가 벡터이므로

where Φ : r 와 F 와의 사이각 "Vector Product"or "Cross Product"

)(sin 방향 rFFr

o Net Torque :

cf) Torque Sign !

반시계방향 (Counter Clockwise) : "+"

시계방향 (Clockwise) : "-" Sign

원통에 작용하는 알짜 토크예제 10.7

큰 원통에서 가운데 부분이 튀어나온 2단 실린더가 있다. 실린더는 중심축에 대하여 자유롭게 회전하고 있다. 그림과 같이 힘 T1 및 T2가 작용한다.(A) 회전축(z축)에 대하여 실린더에 작용하는 알짜 토크를 구하라.

풀이

221121 TRTR

m2.5Nm)(15N)50.0(N)(1.0m)(5.0

(B) T1=5.0N, R1=1.0m이 고 , T2=15.0N, R2=0.50m라고 하자. 회전축에 대한 알짜 토크를 구하라. 그리고 정지 상태에서 시작하였다면 어느 방향으로 원통이 회전하겠는가?

두 힘이 실린더를 각각 시계 방향과 반시계 방향으로 회전시키려 하므로 토크의 방향도 반대 방향이다. 반시계방향을 (+)방향으로 정하면

※ Torque의 단위 : [τ]=[Nm] cf) 일의 단위 : W = Fd = [Nm]

- Torque는 일(Work)과 같은 단위를 가진다.

- Torque는 힘(Force)이 아니다

☆

입자에 작용하는 알짜 토크는 각가속도에 비례하고, 그 비례상수는 관성 모멘트이다.

tt maF rmarF tt )(

cc maF

이므로rat

- 토크와 각가속도 사이의 관계 : 토크에 대한 뉴턴의 제2법칙

- 강체에 대한 돌림힘과 각가속도

10.7 분석 모형: 알짜 토크를 받는 강체(Analysis Model: Rigid Object Under a Net Torque)

10.7 분석 모형: 알짜 토크를 받는 강체(Analysis Model: Rigid Object Under a Net Torque)

외력의 영향을 받아 고정된 점을 중심으로 원을 따라 회전하는 입자의경우를 생각해 보자. 접선 방향의 알짜힘과 지름 방향의 알짜힘에 의하여반지름 r 인 원주 위를 회전하는 질량 m인 입자의 경우

)()( 2mrrmr I )( maF

tt admdF )(

rdmardFd tt

dmrd 2

dmrdmr 22

이 결과를 고정축을 중심으로 회전하는 임의의 모양의 강체에 관해 확장하자.

강체는 아주 작은 크기의 질량 요소 dm 이 무한히 많이 모여 있는 것으로

생각할 수 있다

강체에 작용하는 알짜 토크는 각가속도에 비례하고,

그 비례상수는 강체 전체의 관성 모멘트이다.

INet )( maF

회전하는 막대예제 10.8

길이가 L이고 질량이 M인 균일한 막대의 한쪽 끝이 마찰이 없는 회전축에 연결되어 있고, 수직인 평면에서 이 회전축에 대하여 자유롭게 회전한다. 막대가 수평 위치에서 가만히 놓여진다. (A)막대의 처음 각가속도와 막대의 오른쪽 끝의 처음 선가속도를 구하라.

풀이 회전축을 통과하는 축에 대한 토크에 기여하는 유일한 힘은 막대에 작용하는 중력 Mg 뿐이다.

2sin LMgrF

Lg

ML

LMgI 2

3

31

)2/(2

ggLat 23

· 각가속도는 오른쪽 끝점에 대하여 고려하여야 한다

2

31 MLI 끝

※ 막대의 모든 점에대하여 각가속도는 같다

오른쪽 끝에서의(접)선 가속도

(c) 막대 한 끝에 동전을 올려놓은 후, 막대를 놓으면 어떻게 될까? 동전이 막대에 계속붙어 있을까?

rLggat 2

3

앞에서 가속도가 g보다 크므로 막대의 끝은 동전보다 빨리 떨어진다. 따라서동전은 막대에 붙어있지 않는다. 계속 붙어있을 수 있는 점을 구하면(접선가속도 = g 인 위치)

rLgrat 2

3 Lr

32

(b) 막대의 CM에서의 접선가속도는?

ggLgLra

CMt 43

23

2

바퀴의 각가속도예제 10.10

반지름 R, 질량 M 그리고 관성 모멘트가 I 인 바퀴가 마찰이 없는 수평 축에 설치되어있다. 바퀴에 감긴 가벼운 줄에 질량 m인 물체가 달려 있다. 바퀴의 각가속도, 물체의 선가속도, 줄에 걸린 장력을 구하라.

풀이 회전축을 통과하는 축에 대한 토크에 기여하는 유일한 힘은 바퀴에 작용하는 중력 mg 뿐이다.

☆

i) 각가속도 α : F =T, r =R, r⊥T

zRTTrFr ˆ

I ITR

)1(

ii) (접)선가속도 at :

tNet mamgTF m

Tmgat

2

,)/(1 2 ImR

mgT

,)/(1 2mRI

gat

)/( mRIRg

Ra

ii) Also at : Rat m

TmgI

TRRRat

3

10.8 회전 운동에서의 에너지 고찰(Energy Considerations in Rotational Motion)

10.8 회전 운동에서의 에너지 고찰(Energy Considerations in Rotational Motion)

회전 운동의 에너지의 관점에서 접근해보자. 힘 F가 작용하여 회전축O에 대해 작은 거리 ds=rdθ 만큼 회전시킬 때 한 일은

rdFddW )sin( sF

이므로 rF sin

dtd

dtdW

dtdWP

“Chain Rule”

ddW

강체가 고정축에 대해서 회전할 때, 외부 힘이 한 일은 회전 운동 에너지의

변화와 같다: 회전 운동에 대한 일-운동 에너지 정리

ddI

dtd

ddI

dtdII

dIdWd )( ddW

2212

21

if IIdIW f

i

회전 운동에 대한 일-운동 에너지 정리

(work-kinetic energy theorem for rotational motion)

회전하는 막대 다시 보기예제 10.11

길이가 L이고 질량이 M인 균일한 막대의 한쪽 끝이 통과하는 마찰이 없는 핀을 중심으로 회전하고 있다. 정지 상태에 있던 이 막대를 수평 위치에서 놓는다.(A) 막대가 가장 낮은 위치에 도달했을 때 각속력을 구하라.

풀이

(B) 수직 위치에 있는 경우, 질량 중심의 접선 속력과 막대의 가장 낮은 점의 접선 속력을 구하라.

에너지 보존 법칙에 따라

iiff UKUK

)21(00

21 2 LMgI

Lg

MLMgL

IMgL 3

231

gLLrv 321

2CM gLvv 32 CM

에너지와 애트우드 기계예제 10.12

도르래를 통하여 줄로 연결된 서로 다른 질량 m1 과 m2 를 가진 두 실린더를 생각해 보자. 도르래의 반지름은 R 이고, 관성 모멘트는 I 이다. 줄은 도르래에서 미끄러지지 않고전체 계는 정지 상태에서 시작하였다. 실린더 2가 거리 h 만큼 내려 왔을 때, 각 실린더의 선속력을 구하고, 이때 도르래의 각속력도 함께 구하라.

☆

풀이 에너지 종류를 보면

에너지 보존 법칙에 따라

RTot KEKEPEKEPEE 2211

cf) 실린더 2가 내려올 때 1은 올라간다

22212

1

222

1222

1212

1

2212

2212

121

12

f

fff

fff

vRImm

vRIvmvm

Ivmvmghmghm

2/1

221

12

/)(2

RImmghmmv f

2/1

221

12

/)(21

RImmghmm

RRv f

f

cf) 도르래의 회전 운동의 무시한 예제 (5.9)와 비교해보라.

10.9 강체의 굴림 운동(Rolling Motion of a Rigid Object)

10.9 강체의 굴림 운동(Rolling Motion of a Rigid Object)

회전 운동과 병진 운동을 동시에 하는 경우를 생각해보자.

- 움직이는 축에 대한 강체의 회전

- 강체의 굴림 운동의 해석 (Rolling Motion of a Rigid Body)

- 각 θ 회전시 굴러간 거리 S =Rθ

- CM (질량 중심)의 속도와 가속도 :

미끄러지지 않고 수평면 위에서굴러가고 있는 반지름 R 의 원통을 고려하면

RdtdR

dtdsv CM

RdtdR

dtdva CM

CM

속력 vCM 으로 구르는 물체를 따라 움직이고 있다고 가정하면, 물체의 질량중심은 마치 정지해 있는 것 같다.

- 접지점 P 점에서의 해석

마지막 그림에서 물체는 P 점을 중심으로 회전 운동하는 것으로 생각할 수있으므로

2

21 PIK

2CM

2CM 2

121 MvIK

222CM 2

121 MRIK

※ 전체 운동 에너지 = 질량 중심의 회전 운동에너지+ 질량 중심의 병진 운동에너지

2P MRII CM (평행축 정리)

◎ 경사면을 굴러가는 원통의 해석 (미끄러짐이 없는 경우)

- 높이 h에서의 원통의 PE =mgh

- Energy 보존을 고려하면 : PE=KEtotal

구르는 물체의 전체 운동 에너지는 질량 중심에대한 회전 운동 에너지와 질량 중심의 병진 운동에너지의 합이다

순수 굴림 운동의 경우 vCM =Rω 이므로

2CM

2CM

CM2CM

2CM 2

121

21

21 Mv

RvIMvIK

2

CM2CM

21 vM

RIK

iiff UKUK

구가 경사면 바닥에 있을 때 중력 위치 에너지가 영이라고 하면

MghvMRI

00

21 2

CM2CM

구르지 않고 미끄러지는 경우보다느리다!

2/1

2CM

CM )/(12

MRI

ghv

- 원통의 경우 :2

21 MRI 원통

Mgh

MvvMMRR

vMRIKE

2

CM2CM

22

2CM2

CM

43

211

21

21

ghvCM 34

- 구의 경우 :2

52 MRI 구

Mgh

MvvMMRR

vMRIKE

2

CM2CM

22

2CM2

CM

107

521

21

21

ghvCM 710

※ 경사면을 구르는 굴림 운동의 경우,질량과 반경에 무관하게,구르는 물질의 형태에 따라 속도가 정해진다.

cf) 미끄러지는 경우:- 마찰이 없다면 구르지를 못하고 미끄러지게 된다.

-

- v미끄러짐 > v굴림

MghMv 2

21

ghv 2

o 굴림 운동시 마찰에 의한 일 :- 매 순간마다 접촉점이 달라진다.- 접촉점의 방향은 접촉면에 수직이다.

- 접촉점에서 정지마찰력에 의한 일

- 굴림 운동시 정지 마찰력에 의한 일은 0 이다.- 굴림 마찰(력 or 계수)에 의해서만 마찰이 작용

090cos dFdFW frfrfr

둥근 실패 당기기예제 10.14

실패가 마찰이 있는 수평 탁자 위에 정지해 있다. 반지름 r인 축에 감긴 질량이 없는 줄을 손으로 잡고, 수평 방향으로 크기 T인 일정한 힘을 사용하여 오른쪽으로 당기고 있다. 그 결과, 실패는 굴림 마찰이 없는 탁자를 따라 길이 L 만큼 미끄러지지 않고 굴러간다.(A) 실패의 질량 중심의 나중 선속력을 구하라.

풀이 에너지 보존 법칙에 따라, 손이 한 일 W는

rottrans1 KKKW

RLrr 축이 회전한 호의 전체 길이는

)/1( RrLL 손이 당기는 힘의 작용점이 움직인 거리는

RrTLW 12 2

212

CM211 Imv

RrTL

)/(1 2

2CM

212

CM21 Rv

RvImv

RrTL CM

정지 상태에서 출발하여 등가속도로 운동하는 입자의 경우, 질량 중심의 평균 속도가 나중 속도의 절반임을 알 수 있다.

)/1(

/123 2CM mRImRrTLv

(B) 마찰력 f의 값을 구하라.

CMCM )0()(4 mvvmtfT

CMavgCM,

25v

Lv

Lt

CMCM

2)( mvv

LfT L

mvTf2

2CM

)/1(

)/1(1)/1(

)/1()/1()/1(2

2 222 mRIRrT

mRIRrTT

mRImRrTL

LmTf