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1. Concepto de función
2. Dominio e imagen de una función
3. Gráfica de una función
4. Gráficas de algunas funciones elementales
5. Funciones definidas a trozos
6. Operaciones con funciones
7. Composición de funciones
8. Función inversa
9. Gráfica de la función inversa
10.Gráfica de la función exponencial
11.Gráfica de la función logarítmica
12.Simetrías
13.Crecimiento y decrecimiento
14.Máximos y mínimos
15.Funciones acotadas
16.Funciones periódicas: Funciones trigonométricas
Funciones.
Concepto de función.
Una función real f de variable real es una aplicación entre dos conjuntos
reales A y B, tal que a cada x A existe un solo y = f(x) B. Y que
escribimos simbólicamente
f : A ℝ B ℝ : x f(x)
Cuando se define solamente por f(x), se toma A = B = .ℝ
Una función f, puede venir expresada mediante una expresión algebraica, por
ejemplo f(x) = 2.x – 2, una tabla de valores (x,y) o un gráfica en el plano
Ejemplo.- f : [0,1] [0,1] : x y = f(x) = x, es una función real de variable
real, ya que el intervalo [0,1] ℝ, y para cada x , ℝ ! y = f(x) [0,1] ℝ
Dominio e imagen de función.
Denominamos DOMINIO de una función f (Dom f) al conjunto de valores x
para los cuales tiene sentido o está definida la función.
Ejemplos:
Si f(x) = (x -1) será, dom f = [1,+)
Si f(x) = Área cuadrado de lado x menor que 2, será dom f = (0,2)
Denominamos IMAGEN, RECORRIDO o RANGO de una función f (Im f) al
conjunto de valores y = f(x) con x Dom f.
Ejemplos:
Si f(x) = (x -1) será, Im f = [0,+)
Si f(x) = Área cuadrado de lado x menor que 2, será Im f = (0,4)
Gráfica de función.
Se denomina GRÁFICA de una función al conjunto de los puntos (x,y) tales
que y = f(x).
En la mayoría de los casos la GRÁFICA la podemos representar en el
PLANO REAL, mediante una curva continua, discontinua o una nube de
puntos, dependiendo de las características del Dom f y Im f
Gráfica de función.
Ejemplo 1.- La gráfica de f(x) = (x-1) es:
Gráfica de función.
Ejemplo 1.- La gráfica de f(x) = [x] = parte entera de x es:
Gráfica de función.
Ejemplo 1.- La gráfica de f : N N : n 1/ n es:
Gráficas de algunas funciones elementales.
Algunas Funciones elementales. Ejemplos Parámetros.
F. constante y = k k es una constante real.Dom f = R, Im f = {k}
F. lineal y = m x m es la pendiente de la rectaSi m = 0, Dom f = R, Im f = {0}.Si m 0, Dom f = R = Im f .
F. afín y = m x + n m es la pendiente y n es la ordenada en el origenSi m = 0, Dom f = R, Im f = {0}.Si m 0, Dom f = R = Im f .
Parábola y = a x2 + b x + c a, b y c son números reales (a 0)Si a > 0, Dom f = R, Im f = [f(-b/2a),+) Si a < 0, Dom f = R, Im f = (-, f(-b/2a)]
Funciones racionales y = b + k / ( x – a ) k es una constante real y a y b son números reales
Dom f = R – {a}, Im f =R – {b} Funciones exponenciales y = a x a es un número real mayor que 0 y distinto de 1
Dom f = R, Im f =(0,+)
Funciones potenciales
y = x r y = x r y = x (1/r)
r es un número real
r es un número entero
r es un número entero
Funciones definidas a trozos.
Definir una función a trozos es construir una función a partir de trozos
(habitualmente definidas en intervalos) de otras funciones.
Ejemplos.- Representar gráficamente la función
2
3 1
1 1
1 1
si x
f x x si x
x si x
0
0
x si xf x x
x si x
Operaciones con funciones. Dadas dos funciones f(x) y g(x), podemos construir la función
Suma de f y g: (f+g) (x) = f(x) + g(x), además Dom (f+g) = Dom f Dom
g
Resta de f y g: (f-g) (x) = f(x) - g(x), además Dom (f-g) = Dom f Dom
g
Producto de f y g: (f.g) (x) = f(x).g(x), además Dom (f.g) = Dom f Dom g
Cociente de f y g: (f/g) (x) = f(x)/g(x), siempre que g(x) 0.
Dom (f.g) = Dom f Dom
g Ejemplos.-
Si f(x) = 3 – x, g(x) = 1 / x, entonces: (f+g) (x) = (-x2+3x+1) / x
Si f(x) = 3 + x, g(x) = 2 x, entonces: (f.g) (x) = 2x2+6x
Si f(x) = 3x2+x, g(x) = x, entonces: (f/g) (x) = 3x+1
Composición de funciones.
Dadas dos funciones f(x) y g(x), tal que Im f Dom g, entonces podemos
definir la COMPOSICIÓN de funciones f y g (g compuesta con f), definida
como:
(g f) (x) = g(f(x)), además, Dom (g f) = Dom f
Ejemplo.- Si f(x) = x2 + 1, g(x) = 1/x, entonces:
(f g) (x) = f(g(x)) = f(1/x) = (1/x2) + 1
(g f) (x) = g(f(x)) = g(x2 + 1) = 1/(x2+1)
A la función i(x) = x, se le denomina función identidad, que además para
cualquier función f(x) cumple:
(f i) (x) = (i f) (x) = f(x)
Función inversa.
Dada la función f, se denomina FUNCIÓN INVERSA (cuando existe) f-1(x)
tal que cumple:
(f f-1) (x) = (f-1 f) (x) = i(x) = x
Ejemplo.- Si f(x) = 3x+5. Tomando y = 3x+5, intercambiando x por y en
dicha expresión, x = 3y+5, y despejando y se obtiene y = (x-5)/3, luego:
f-1 (x) = (x-5)/3
Que además, podemos comprobar que se cumple:
(f f-1) (x) = f((x-5)/3) = 3.[(x-5)/3] + 5 = x
(f-1 f) (x) = f-1(3x+5) = [(3x+5)-5]/3 = x
Una función f tiene inversa, cuando f es INYECTIVA, es decir cuando
cumple que si a b entonces f(a) f(b)
Gráfica de función inversa.
Dada una función f(x), si existe f-1(x), teniendo en cuenta que para cada
par de puntos (x,y) de la gráfica f, (y,x) pertenece a la gráfica de f-1, se
cumplirá que la gráfica f-1(x) será simétrica respecto de la bisectriz del
primer y tercer cuadrante (es decir de la recta y = x)
Ejemplo.- Si f(x) = 2x, f-1(x) log2 x
Gráfica de función exponencial.
La función exponencial es de la forma f(x) = ax, siendo a > 0.
Hay que observar que si a = 1, es la función f(x) = 1
Si a > 1, f(x) es creciente y si a < 1, f(x) es decreciente.
En particular si a = e , se denomina exponencial natural
(e = lim n (1+1/n)n 2,71828818… ) Ejemplos.-
Gráfica de función logarítmica.
La función logarítmica en base a es la función inversa de la función
exponencial de base a, por lo que sus gráficas serán simétricas respecto
de la recta y = x
Ejemplos.-
Simetrías.
Una función f(x) es PAR si es simétrica con respecto al eje Y, es decir si
para cualquier x se cumple f(x) = f(-x)
Una función f(x) es IMPAR si es simétrica con respecto del origen, es decir
si para cualquier x se cumple f(x) = - f(-x)
Ejemplo.-
f(x) = x2 es una función PAR, mientras que f(x) = x3 es impar
Crecimiento y decrecimiento.
Una función f es CRECIENTE en (a,b) cuando para cualquier par de
puntos p, q del intervalo, tal que p < q, se cumple f(p) < f(q)
Una función f es DECRECIENTE en (a,b) cuando para cualquier par de
puntos p, q del intervalo, tal que p < q, se cumple f(p) > f(q)
Ejemplo.- La función f(x) = x2 es decreciente en (-,0) y creciente en (0,+)
Máximos y mínimos.
La función f tiene un MÁXIMO RELATIVO en x0, si existe un intervalo
abierto I al que pertenece x0, tal que para todo x de este intervalo f(x) f(x0)
La función f tiene un MÍNIMO RELATIVO en x0, si existe un intervalo abierto
I al que pertenece x0, tal que para todo x de este intervalo f(x) f(x0)
La función f tiene MÁXIMO ABSOLUTO en x0, si para todo x es f(x) f(x0)
La función f tiene MÍNIMO ABSOLUTO en x0, si para todo x es f(x) f(x0)
Ejemplos.-
La función f(x) = x2 tiene un mínimo relativo y absoluto en x = 0.
La función f(x) = -x2 tiene un máximo relativo y absoluto en x = 0
Funciones acotadas.
Una función f está ACOTADA SUPERIORMENTE, si existe un número k,
tal que f(x) k para todo x del dominio de la función.
Una función f está ACOTADA INFERIORMENTE, si existe un número k, tal
que f(x) k para todo x del dominio de la función.
Ejemplo.-
La función f(x) = x2 está acotada inferiormente, ya que f(x) 0, para todo x,
mientras que la función f(x) = x3 no está acotada ni inferiormente ni
superiormente
Funciones periódicas. Funciones trigonométricas.
Una función f es periódica de periodo T si f(x+T) = f(x) para todo x
Ejemplos de funciones periódicas.-
Funciones. Ejemplos (ver gráficas)
Trigonométricasy = sen x periodo T = 2, Dom y = R, Im = [-1,1]
y = cos x periodo T = 2, Dom y = R, Im = [-1,1]
y = tag x periodo T = , Dom y = R – {/2 +k : k Z} Im = R
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de GAUSS del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
lasmatemáticas.es
Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/m
atematicas.htm)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
Manuel Sada
(figuras de GeoGebra)
(http://docentes.educacion.navarra.es/
msadaall/geogebra/)
En la siguiente diapósitiva
