Pembentukan persamaan Dalam dunia usaha dan ekonomi berkenaan dengan alokasi sumber-sumber yang terbatas. Berhubungan dengan maksimasi sejumlah hasil atau minimasi sejumlah biaya. Teknik matematika untuk menentukan alokasi, dimana sejumlah hasil atau biasa berbentuk persamaan linier, disebut pemograman linier.

Pemograman linier mencakup: Maksimasi atau minimasi fungsi linier dari beberapa variabel utama yang disebut fungsi tujuan. Batasan-batasan yang berbentuk persamaan atau pertidak samaan linier yang disebut kendala.

Bentuk dasar maksimasi dan minimasin

Z ! cj X j Maksimasi fungsi tujuan j !1 Batasan a X e b untuki ! 1,2,...mn ij j i j !1

Xj uo

untukj ! 1,2,....n

Dengan notasi matriks Maksimasi Z=CX Batasan AX e B dimana:C ! c1 , c 2 ,...c n x1 x X ! 2 : xn

X u0 b1 b B! 2 : bm

a11 A! : a m1

a12 : am2

... a1n : : ... a mn

n

Minimasi fungsi tujuan Batasan/kendala

Z ! cj X jj !1n

aj !1

ij

X j u bi

untuki ! 1,2,...m untukj ! 1,2,....n

Xj uo

Dalam notasi matriks Minimasi Z = CX Batasan/kendala AX u BX u0

Kendala untuk maksimasi dalam bentuk . Kendala untuk minimasi dalam bentuk . Pemograman linier yang tidak lebih dari 2 variabel dapat diselesaikan dengan metoda grafik. Untuk variabel dan batasan yang lebih banyak digunakan metode simplex.

Metode grafik Sebuah pabrik memproduksi meja(X1) bangku (X2). Setiap meja memerlukan 2,5 jam untuk perakitan (A), 3 jam untuk pemolesan(B), dan 1 jam untuk pengepakan(C). Setiap bangku memerlukan 1 jam untuk perakitan, 3 jam untuk pemolesan, dan 2 jam untuk pengepakan. Perusahaan tersebut tidak dapat menggunakn lebih dari 20 jam untuk perakitan, 30 jam untuk pemolesan, dan 16 jam untuk pengepakan setiap minggu.marjin laba meja adalah Rp.3 perminggu, dan Rp 4 per bangku. Barapa besarnya output yang harus dihasilkan untuk memaksimalkan laba?

Contoh Model Memaksimumkan Tujuan maksimumkan Kendala/batasankendala A : 2,5 x1 x 2 e 20 kendala B : 3 x1 3x 2 e 30 kendala C : x1 2 x 2 e 16 kendala ketidaknegatifan : x1 , x 2 u 0

Z ! 3x1 4 x 2

dariA x 2 ! 20 2,5 x1 dariB dariC x 2 ! 10 x1 x 2 ! 8 0,5 x1

20

18

Grafik:

16

14

kendala A

12

10 kendala B 8 E 6

4 kendala C 2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Keterangan Gambar Fungsi tujuan dapat digambarkan sebagai suatu garis isoprofit(untuk masalah maksimalisasi) atau isocost(untuk masalah minimalisasi). Sedangkan daerah fisibel dibatasi oleh garis isoquant yang merupakan gabungan dari beberapa pembatas/kendala. Pemecahan optimal terjadi pada titik ekstrim yang fisibel, yaitu titik tertinggi/terendah dari isoquant yang menyinggung garis isoprofit/isocost.

Penyelesaian Seperti yang terlihat dalam gambar daerah yang diarsir dibatasi oleh garis Isoquant, maka diperlukan titik-titik ekstrim yang membatasinya yaitu: Perpotongan antara kendala A dengan sumbu X : (8,0) Perpotongan antara kendala C dengan sumbu Y : (0,8) Perpotongan antara kendala A dengan kendala B : (6.5 , 3.5) Perpotongan anatara kendala B dengan kendala C : (4,6)

Lanjutan...Masukan titik-titik tersebut pada persamaan tujuan. (0,8) 3x0+4x8 = 32 (4,6) 3x4+4x6 = 36 (6.5,3.5) 3x6.5+4x3.5 = 33.5 (8,0) 3x8+4x0 = 24

Karena tujuannya memaksimumkan maka akan tercapai pada saat x1 = 4 dan x2 = 6

Apabila fungsi tujuan mengalami perubahan, maka solusi optimum dalam hal ini titik optimumnya, akan mengalami perubahan baik untuk tujuan memaksimalkan atau meminimalkan

Latihan 1 Garuda Furniture merupakan suatu perusahaan yang memproduksi mebel dari kayu.bahan baku utama yang digunakan berupa kayu jati dan kayu kamper. Karena persaingan yang semakin tajam manajemen perusahaan bermaksud meningkatkan efisiensi penggunaan sumber daya produksi sehingga dapat mencapai hasil optimal. Jumlah kebutuhan bahan baku dan waktu mesin yang diperlukan untuk membuat setiap unit mebel (meja dan kursi) serta kapasitas yang tersedia sbb:

Sumber DayaKayu kamper (unit) Kayu Jati (unit) Mesin (jammesin)

Model A 4 2 1

Model B 2 2 3

Kapasitas 120 100 90

Perusahaan tersebut menginginkan keuntungan yang maksimum dengan menjual mebel model A dengan harga Rp 10.000.000 dan mebel model B dengan harga Rp 7.000.000

Contoh Model Meminumkan Seorang petani menyiapkan lahan untuk menanam pada musim semi dan membutuhkan pemupukan lahan tersebut. Terdapat dua merek pupuk untuk dipilih, Super-gro dan Crop-quick. Setiap merek menghasilkan jumlah nitrogen dan fosfat tertentu.Kandungan Merek Super-gro Crop-quick Nitrogen (pon/sak) 2 4 Fosfat (pon/sak) 4 3

ModelMeminimalkan Z = $ 6x1 + $ 3x2 Batasan 2x1 + 4x2 16 pon nitrogen 4x1 + 3x2 24 pon fosfat x1,x2 0

Grafik

Titik Minimum Titik pertama ( 0,8) maka x1 = 0 dan x2 = 8 sehingga akan diperoleh Z = 24 Titik kedua adalah perpotongan diantara dua garis sehingga diperoleh ( 24/5 , 8/5) sehingga akan diperoleh nilai Z = 168/5 Titik ketiga (8,0) maka x1 = 8 dan x2 = 0 sehingga akan diperoleh nilai Z = 48

Kesimpulan Berdasarkan nilai Z yang terkecil maka petani sebaiknya tidak membeli Super-gro tetapi membeli 8 kantong Crop-quick dengan total biaya $ 24

Latihan 2 Munchies Cereal Company membuat sereal dari tujuh bahan makanan. Dua diantaranya gandum dan beras, yang merupakan sumber vitamin A dan B. Perusahaan ini ingin mengetahui berapa ons gandum dan beras yang harus dicakup dalam sereal ini untuk dapat memberikan kandungan 48 mg vit A dan 12 mg vit B sekaligus meminimalkan biaya. Satu ons gandum mengandung 8 mg vit A dan 1 mg vit B. Sementara satu ons beras mengandung 6mg vit A dan 2 mg vit B. Harga satu ons gandum adalah $0,05 dan harga satu ons beras adalah $0,03 Formulasikan model program liniernya Selesaikan model ini dengan analisis grafik

Bentuk Masalah Program Linier yang Tidak Teratur (Irreguler) Apabila garis fungsi tujuan menjadi sejajar dengan garis batasan, sehingga slope atau kemiringannya sama. Kertika garis fungsi tujuan tersebut bergerak menuju ke luar dari daerah fisibel, garis tersebut bukan akan menyentuh satu titik ektrim, tetapi menyentuh dua titik ekstrim sekaligus yaitu B dan C, sehingga dua titik ekstrim itu membentuk garis BC. Maka garis BC diantara 2 titik ekstrim tersebut sebagai solusi optimal alternatif, terdiri dari beberapa titik yang mungkin (solusi majemuk)

Grafik Masalah Tidak Teratur

Masalah yang Tidak Fisibel Apabila tidak adanya perpotongan diantara fungsi kendala, maka tidak ada daerah yang fisibel. Hal tersebut dikarenakan kesalahan dalam pembentukan model matematikanya.

Masalah Tidak Terbatas Apabila fungsi kendala tidak tertutup. Dalam hal ini fungsi tujuan mungkin saja akan terus menerus naik tidak terbatas, sehingga tidak akan mencapai suatu solusi. Masalah tidak terbatas tersebut tidak mungkin terjadi di dunia nyata, biasanya kesalahan dalam bembentukan model matematiknya.

Grafik Masalah Tidak Terbatas