第2回第2回ブラウン運動の微積分学ブラウン運動の微積分学

顕微鏡をのぞくと株価が！ブラウン運動の発見から数理ファイナンスまで

数理学研究院 谷口説男http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~taniguch/

確率積分ｰ1942年19

伊藤清；1915 2008伊藤清；1915-20081942年，『Markoff過程ヲ定メル

確率微分方程式』

ブラウン運動に基づく微積分学微積分学

Richard Feynman; 1918-1988Richard Feynman; 1918 19881942年 Feynman経路積分

確率積分(0) – その前に20

f ：微分可能f ：微分可能

スティルチェス積分

確率積分21

線形性

マルチンゲール性

連鎖定理 → 伊藤の公式22

伊藤の公式-練習問題23

微分方程式24

状態の時間発展を微分を通じて記述する方程式

位置 u(t)1. u(t)=6 exp(3t) 1. u(t) 6 exp(3t) 2. u’(t)=3u(t), u(0)=6

微積分の基本定理 微分⇔積分

積分方程式

微分方程式(2)25

1 位置 (t) 速度 ’(t)1. 位置 u(t) 速度 u’(t)速度が位置・時間に影響される u’(t)=b(u(t))

2. 年利 r 1年にn回利息が付く複利計算 各期の利率 r/n

連続複利

t年後：

複利計算 各期の利率 r/n連続複利

t年後：

確率微分方程式26

微分方程式にランダムな擾乱が加わる

ランダムな擾乱ランダムな擾乱積分方程式

例

確率微分方程式の解27

⇒確率微分方程式の解が一意的に存在する確率微分方程式の解が 意的に存在する

存在： 常微分方程式と同じ逐次近似存在： 常微分方程式と同じ逐次近似

確率微分方程式と偏微分方程式28

Kolmogorovの考察に対する別アプローチ

伊藤の公式伊藤の公式

確率微分方程式に関連した人々29

日本：丸山儀四郎 本尾実 池田信行日本：丸山儀四郎，本尾実，池田信行渡辺信三，國田寛，山田俊雄，小倉幸雄

マルチンゲ ルメソッド

H. McKean

マルチンゲールメソッドD.Stroock, S.Varadhan

ソ連 Klyrov, Skrokhod

時代に埋もれて30

Wolfgang Doeblin;1915-1940第2次世界大戦中にドイツ軍に包囲され自殺第2次世界大戦中にドイツ軍に包囲され自殺

戦場からの1940年3月12日付フレッシェ宛13日別便でノートを仏科学アカデミーに

•科学結果の発見について完全な論文を発表できない場合に

13日別便でノートを仏科学アカデミーに『封印された手紙』(Pli Cacheté)として送る

•科学結果の発見について完全な論文を発表できない場合に，『封印された手紙』を提出すれば，優先権を保証される．

•フランス科学アカデミーに古くからある制度（1701年2月1日のベルヌ イによるものまで遡れる）（1701年2月1日のベルヌーイによるものまで遡れる）

•デブリン：受付番号11.668として受理，2000年5月開封

金融工学と確率解析の邂逅(1)31

1900年バシェリエ1900年バシェリエ

高い評価

M. Kac J. Doob W. Feller1950年以前

経済学 ず経済学者には認知されず

経済学者が再発見1950年代

P E dä

経済学者が再発見

P. Erdäs

「誰かバシェリエという1914年に投資に関する

J. Savage

「誰かバシェリエという1914年に投資に関する小冊子を出版したフランス人を知っているか?」

金融工学と確率解析の邂逅（２）32

株価: 1965年 P. SamuelsonRational theory of warrant pricingIndustrial Management Review 6

1973年 F Black & M Sholes 1973年 F. Black & M. Sholes The pricing of options and corporate liabilitiesJ. Political Economy 81

1970年前半に完成

1973年 R. Merton

1970年前半に完成B&S 1970年10月に論文完成

1973年 R. MertonTheory of rational option pricingBell J. Economics and Management Science 4