Debemos intentar resolver la conjetura de Markoff?

La Gaceta de la RSME, Vol. 16 (2013), Núm. 2, Págs. 313–330 313

El Diablo de los NúmerosSección a cargo de

Javier Cilleruelo

¿Debemos intentar resolver la conjetura de Markoff?

por

Anitha Srinivasan

Resumen. En este artículo explicaremos en qué consiste la conjetura deMarkoff, una conjetura de casi 100 años de antigüedad, y muy difícil de resol-ver, sobre las soluciones enteras de la ecuación x2 + y2 + z2 = 3xyz. Daremosuna breve historia donde veremos los resultados principales empezando conel célebre teorema de Markoff, su relación con varios temas de naturaleza di-versa (espectros de Markoff y Lagrange, fracciones continuas, aproximacionespor racionales, árboles, palabras de Christoffel, grupos de ideales,. . . ), y fina-lizando con algunos casos particulares de la conjetura cuya demostración esparticularmente sencilla.

1. Introducción

Richard Guy empezó su artículo «¡No intentéis resolver estos problemas!» ([13] o[16, p. 231]) diciendo «Tal exhortación probablemente producirá un efecto contrario,pero lo digo en serio y explicare por qué», y procedió a describir cinco conjeturasconsideradas extremadamente difíciles de resolver. Una de estas conjeturas es lafascinante conjetura de Markoff sobre las soluciones de la ecuación diofántica

x2 + y2 + z2 = 3xyz, (1)

llamada ecuación de Markoff.Una terna de enteros positivos (a, b, c) tal que a, b, c satisfacen esta ecuación se

denomina terna de Markoff. Los números a, b, c se llaman números de Markoff. Si laterna satisface a ≤ b ≤ c se dice que es una terna ordenada.

La conjetura de Markoff dice que si c es un número de Markoff y (a, b, c) y (a′, b′, c)son dos ternas de Markoff tales que a ≤ b ≤ c y a′ ≤ b′ ≤ c, entonces a = a′ y b = b′.En otras palabras —y teniendo en cuenta que de los resultados de la sección 4 sesigue que todo número de Markoff aparece como maximal en alguna terna—, dado

314 El Diablo de los Números

un número de Markoff c, hay exactamente una terna de Markoff ordenada (a, b, c)con el elemento maximal igual a c.

Andrei Andreyevich Markoff(1856–1922)

Los números de Markoff aparecieron por pri-mera vez en el artículo [18], publicado por AndreiAndreyevich Markoff en 1879 y donde demostra-ba un teorema impresionante, ahora conocido co-mo teorema de Markoff, sobre el valor mínimo deuna forma cuadrática binaria real. En cuanto alnombre, es también muy común verlo escrito co-mo Markov. Dado que Markoff era un matemáticoruso, las dos maneras de escribirlo pueden consi-derarse correctas o, más bien, incorrectas. En laliteratura parece que Markoff se usa en los traba-jos más relacionados con lo que trataremos aquí, yse suele usar Markov en otras áreas como la Pro-babilidad, donde da nombre a las cadenas y losprocesos de Markov.

Markoff, en ese trabajo fenomenal, no trató laconjetura, pues su prueba solo necesitaba los nú-meros de Markoff sin importar la conjetura. FueFrobenius [12], en 1913, quien la enunció, y por eso también se conoce a veces comoconjetura de Frobenius. La conjetura no está resuelta a día de hoy. Sin embargo,está demostrada en algunos casos especiales.

Cuando el número de Markoff es o bien una potencia de un número primo impar,c = pn, o bien dos veces una potencia de un número primo impar, c = 2pn, entoncesla conjetura es cierta. Los primeros resultados en esta dirección son de Baragar [2]cuando c = pn, y Button [4] y Schmutz [21] en el caso c = pn o 2pn. Otras pruebasde estos mismos casos aparecen en [17], [24] y [28]. También se sabe que la conjeturaes verdad cuando el mayor divisor impar de 3c − 2 o 3c + 2 es una potencia de unprimo. Baragar [2] dio la prueba en el caso en que 3c − 2 o 3c + 2 es un primo ocuatro veces un primo, y Zhang [27] completó los casos restantes. Jorge Jiménez diootra demostración sencilla de este caso (véase el teorema 7.2). Button, en [5], mostróque la conjetura es cierta para números de Markoff que tienen la forma kpn, dondep es un primo y k < 1035. Este resultado es una consecuencia del hecho de que laconjetura ha sido verificada para los números de Markoff c ≤ 10140.

La prueba más sencilla del caso c = pn o 2pn, que reproducimos en la sección 7,está dada en [24]. Esta demostración es completamente elemental, pues usa solamenteel concepto de máximo común divisor y algunas propiedades básicas bien conocidasde los números de Markoff. ¡Así que se podía haber dado en la época de Frobenius!Las otras pruebas conocidas en estos casos usan una variedad de métodos de áreascomo Geometría Aritmética y Geometría Hiperbólica, lo que muestra la importanciade los números de Markoff y sus ramificaciones a muchas áreas de Matemáticas.Quizás también muestra que se consideraba muy difícil probar la conjetura inclusoen estos casos sencillos. Dado que existe la demostración elemental de [24] paraestos casos, es lógico preguntarse si quizás también existe una prueba sencilla de la

La Gaceta ? Secciones 315

conjetura en el caso general. Antes de que el lector empiece con todo ánimo, dejandocualquier otra tarea, a tratar de resolver esta conjetura, se le ruega que tenga encuenta los comentarios de matemáticos maduros como Richard Guy. Por otra parte,y en opinión de esta autora, esta conjetura toca tantas áreas de estudio, en manerastan inesperadas, que cualquier intento serio de resolverla tendría como consecuenciaun enriquecimiento del conocimiento. Para ver más resultados sobre esta conjetura,se pueden consultar los artículos [5], [9] y [23].

2. El teorema de Markoff

En esta sección veremos el teorema de Markoff, en cuya prueba surgieron porprimera vez los números de Markoff. No trataremos de demostrarlo, pues, ademásde ser sumamente no trivial, no está relacionado directamente con la conjetura. Loque sí que es interesante es ver cómo entran los números de Markoff en este teorema.Markoff escribió dos artículos ([18] y [19]) en los que probaba el teorema usandola teoría de fracciones continuas y la teoría de formas cuadráticas binarias. Unaexcelente exposición de la demostración usando fracciones continuas está dada porCusick y Flahive [10]. Además, tanto Cassels como Bombieri dieron pruebas mássencillas y fáciles de entender que las originales de Markoff; la de Cassels [6] usabaformas, y la de Bombieri [3] utilizaba fracciones continuas y cierto tipo de palabrasprimitivas.

Una forma cuadrática binaria real es una función f(x, y) = ax2+bxy+cy2, dondea, b, c son números reales. A partir de ahora, la palabra forma siempre significa unaforma cuadrática binaria. Si los numeros a, b, c son enteros entonces se denominaforma entera; y, también en este caso, si mcd(a, b, c) = 1, hablamos de una formaprimitiva. El número b2 − 4ac = d(f) es el discriminante de la forma f = f(x, y).Cuando d(f) > 0, la forma se llama indefinida. El valor mínimo de la forma f es elnúmero

m(f) = ınf{|f(x, y)|},

donde x, y son enteros y no ambos iguales a 0. Nótese que m(f) = m(−f). Unmúltiplo de una forma f(x, y) = ax2+bxy+cy2 es una forma rax2+rbxy+rcy2 donder 6= 0 es un número real. Se puede comprobar que si la forma f tiene discriminanted, entonces el discriminante de la forma rf es r2d; también que m(rf) = |r|m(f).Por ejemplo, si f = x2 + xy − y2, entonces m(f) = 1 y m(rf) = |r|.

Dos formas f(x, y) = ax2 + bxy + cy2 y g(x, y) = a′x2 + b′xy + c′y2 se dicenequivalentes si hay una matriz A =

(α βγ δ

), donde α, β, γ, δ son enteros y satisfacen

αδ− βγ = ±1, tal que f(αx+ βy, γx+ δy) = g(x, y). Es fácil probar que las formasequivalentes tienen el mismo valor mínimo.

Korkine y Zolatareff mostraron que el valor mínimo de cualquier forma cuadráticabinaria real f con discriminante d > 0 cumple m(f) ≤

√d√5 ; y, si f es equivalente

a un múltiplo de F1(x, y) = x2 + xy − y2, su valor mínimo es m(f) = 1 =√d√5 .

También probaron que, si f no es equivalente a un múltiplo de F1, entonces m(f) ≤


√d√8 , mientras que m(f) = 1 =

√d√8 si f es equivalente a un múltiplo de la forma

F2(x, y) = x2 + 2xy − y2.Markoff, inspirado por este resultado, se puso a pensar sobre el valor que debe

reemplazar a√d√8 para las formas no equivalentes a los múltiplos de F1(x, y) o F2(x, y),

y así descubrió una sucesión infinita de formas, donde F1(x, y) y F2(x, y) son las dosprimeras. Esta sucesión de formas, ahora llamadas formas de Markoff, se correspondecon los números de Markoff de modo que, para cada número de Markoff m, hay unaforma de Markoff Fm = Fm(x, y). La sucesión de las formas de Markoff es, entonces,F1, F2, F5, F13, F29, . . . . Usando estas formas, Markoff dio el siguiente teorema.Teorema 2.1 (Markoff). Sea f(x, y) = ax2+bxy+cy2 una forma con discriminanted = b2 − 4ac > 0 y m(f) = ınf{|f(x, y)| : x, y ∈ Z, no ambos nulos}. Entoncesm(f) >

√d

3 si y solo si f es equivalente a un múltiplo de una forma de MarkoffFm(x, y).

Obsérvese que el discriminante de la forma de Markoff Fm es d(Fm) = 9− 4/m2

y su mínimo cumple m(Fm) = 1 =√d(Fm)√

9−4/m2>

√d(Fm)

3 . En particular, las formasde Markoff satisfacen

m(f) >√d(f)3 .

Lo que Markoff probó es que son esencialmente las únicas para las que esta desigual-dad es cierta.

Con su teorema, Markoff extendió el resultado de Korkine y Zolatareff antesmencionado en la siguiente manera. Korkine y Zolatareff habían probado que, si fno es equivalente a un múltiplo de F1(x, y) = x2 + xy − y2, entonces m(f) ≤

√d√8 ,

mientras quem(f) =√d√8 si f es equivalente a un múltiplo de F2(x, y) = x2+2xy−y2.

Del teorema de Markoff se desprende que, si f no es equivalente a un múltiplo de F1

o F2, entonces m(f) ≤√d√

221/25y, en caso de que f sea equivalente a un múltiplo de

F5(x, y) = x2 + 95xy −

75y

2, se tiene m(f) =√d√

221/25. Procediendo de este modo, si

m < m′ son dos números de Markoff consecutivos y f es una forma no equivalentea un múltiplo de ninguna de las formas de Markoff F1, F2, F5, F13, . . . , Fm, donde1, 2, 5, . . . ,m son los números de Markoff menores o iguales que m, entonces m(f) ≤√

d√9−4/m′2

.

Hemos descrito aquí el resultado de Markoff tal como lo explica Cassels en [6].Cassels hizo la observación de que hay una ambigüedad al definir las formas deMarkoff, y la razón es que la definición de una forma de Markoff Fm(x, y) dependede la terna ordenada (a, b,m) (cada número de Markoff es el elemento maximalde una terna ordenada). Entonces, si la conjetura de Markoff no es cierta para m,tenemos dos ternas de Markoff ordenadas y distintas con el elemento maximal iguala m, lo que quiere decir que habría dos formas Fm(x, y). Sin embargo, el teorema deMarkoff no se ve afectado por este punto, pues solo trata de los números de Markoff


(más bien, de las soluciones de la ecuación de Markoff), sin importar las ternas deMarkoff.

El teorema 2.1 tiene una forma equivalente en la que, en vez del valor mínimo deformas cuadráticas, se habla de las aproximaciones de los números irracionales pornúmeros racionales; dado un número irracional α, el objetivo es conocer para quéconstantes C existen infinitos números racionales p

q tales que∣∣∣∣α− p

q

∣∣∣∣ < C1q2 .

Dos números irracionales α y β son equivalentes si α = aβ+bcβ+d donde a, b, c, d son

enteros y satisfacen ad− bc = ±1. En este contexto, el teorema de Markoff dice quecada número irracional α admite un número infinito de aproximaciones racionales p

qtales que ∣∣∣∣α− p

q

∣∣∣∣ < 1√5q2

,

y, si α es equivalente a w1 = 1+√

52 , entonces la constante 1√

5 no se puede reemplazarpor un número menor. Si α no es equivalente a w1 entonces hay un número infinitode aproximaciones racionales p

q tales que∣∣∣∣α− p

q

∣∣∣∣ < 1√8q2

,

y, esta vez, si α es equivalente a w2 = 1 +√

2, la constante 1√8 no se puede mejorar.

Prosiguiendo, se puede llegar a un enunciado general similar al del teorema 2.1, conla diferencia de que, en lugar de una sucesión de formas Fm, tenemos una sucesiónde números irracionales wm donde m es un número de Markoff.

Terminamos esta sección con un resultado de mucho interés y relevancia en elárea de los grupos de clases de ideales en los cuerpos cuadráticos.Teorema 2.2 ([25]). El grupo de clases de ideales de un cuerpo cuadrático real dediscriminante d está generado por ideales con normas menores o iguales que 1+b

√d

3 c.El teorema 2.2 es una consecuencia directa del teorema de Markoff aplicado a

las formas binarias enteras. Si Fm es una forma de Markoff entonces mFm, si m esimpar, o m

2 Fm, cuando m es par, es una forma entera con discriminante 9m2 − 4 o9(m2 )2−1 respectivamente. Se sabe que las formas enteras primitivas de discriminanted forman un grupo, llamado el grupo de clases de ideales. El teorema 2.2 muestraque si hay una clase de ideales donde cada ideal en la clase tiene norma mayor que√d

3 , entonces esta clase corresponde a una forma de Markoff Fm y la norma mínimaen esta clase es igual a 1 + b

√d

3 c.

3. Los espectros de Markoff y Lagrange

En la sección anterior vimos dos maneras de entender el teorema de Markoff, unausando formas y la otra con números irracionales. Hay una relación íntima entre estos


dos temas, lo cual ha suscitado gran interés y mucha investigación. Así pues, y pesea que nos estamos apartando un poco de nuestro objetivo de analizar la conjetura deMarkoff, en esta sección nos vamos a detener brevemente para profundizar en estarelación.

Empecemos con unas definiciones adicionales relacionadas con los conceptos quehemos usado en la sección anterior. Para una forma cuadrática real f(x, y) condiscriminante d > 0, definimos la constante de Markoff

M(f) =√d

m(f) ,

donde m(f) es el valor mínimo de f . El conjunto de todos los valores M(f) sedenomina espectro de Markoff. Si α es un número irracional, entonces la constantede Lagrange L(α) se define como el supremo de los números L tales que∣∣∣∣α− p

q

∣∣∣∣ < 1Lq2 (2)

es cierto para un número infinito de aproximaciones racionales pq . El conjunto de

todos los valores L(α) se denomina espectro de Lagrange. Nótese que las formasequivalentes tienen el mismo valor de la constante de Markoff, y los números irra-cionales equivalentes tienen el mismo valor de la constante de Lagrange.

Es bien conocido que las fracciones continuas se utilizan para dar aproximacionesracionales de los números irracionales. Una fracción continua (simple) es

[a0, a1, a2, . . . ] = a0 + 1

a1 + 1a2 + · · ·

donde a0 es un entero y, para i ≥ 1, los ai son enteros positivos. Cada númeroreal tiene una representación como fracción continua. Los números ai se llaman loscocientes incompletos de α y, por definición, el enésimo convergente a α es

pnqn

= [a0, a1, . . . , an] = a0 + 1

a1 + 1

a2 + · · · 1an

.

La sucesión (pn

qn) converge a α y se puede mostrar que, si n ≥ 1,∣∣∣∣α− pn

qn

∣∣∣∣ = 1(αn+1 + 1

βn)q2n

(3)

donde αn+1 = [an+1, an+1, . . . ] y βn = [an, an−1, . . . , a1].Es conocido que el espectro de Markoff contiene al espectro de Lagrange y que

M(f) ≥√

5 para todas las formas f . Por tanto L(α) ≥√

5 > 2 y de (2) deducimosque ∣∣∣∣α− p

q

∣∣∣∣ < 12q2 (4)


para un número infinito de fracciones pq . Un resultado clásico dice que si (4) es

cierto para un racional pq , entonces este es un convergente de α, lo que quiere decirque, para hallar L(α), en (2) necesitamos considerar solamente las fracciones p

q queson convergentes de α; en particular, por esta razón, y teniendo en cuenta (3), laconstante de Lagrange también se define como

L(α) = lım supn

(αn+1 + 1

βn

). (5)

Si α = 1+√

52 = [1, 1, . . . ] es la razón áurea, es fácil ahora calcular L(α). Tenemos

αn+1 = α y βn = pn

qny por lo tanto (αn+1 + 1

βn) converge a α + 1

α =√

5, luego de(5) se sigue que L

( 1+√

52)

=√

5.El teorema de Markoff (teorema 2.1) dice que, si M(f) < 3, entonces f es equi-

valente a una forma de Markoff Fm y, por lo tanto, M(f) = M(Fm) =√

9− 4m2 ,

donde m es un número de Markoff. En términos de los números α irracionales te-nemos que, si L(α) < 3, entonces L(α) =

√9− 4

m2 , lo que quiere decir que, en elintervalo (0, 3), los espectros de Markoff y Lagrange coinciden; más aún, toman unacantidad numerable de valores que se corresponden con los números de Markoff.

La parte de los espectros para valores mayores que 3 todavía no se entiendecompletamente, y sigue siendo un área de investigación activa. Un número que estáen el espectro de Markoff pero no está en el espectro de Lagrange, dado por Freiman,es

[2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 2] + [0, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2] = 3.293 . . . ,

donde estamos denotando n = n, n, n, n, . . . . Se sabe que los dos espectros son con-juntos cerrados y por eso se buscan los intervalos abiertos llamados huecos maxi-males, es decir, que no tienen ningún valor del espectro de Markoff y cuyos puntosextremos pertenecen al espectro de Markoff. El primer hueco maximal descubiertofue (√

12,√

13). Freiman [11, teorema 1, p. 66, teorema 2, p. 95] mostró que, a partirdel número

f = 693746111282512153640040533216− 19623586058

√462

= 4.5278 . . . ,

todos los números pertenecen a los dos espectros, lo que deja solamente el intervalo(3, f) donde los espectros no coinciden; quizás es esta la razón por la cual muchasveces se intercambian los nombres de los dos espectros. Freiman hizo extensos cálcu-los para probar este resultado, y más de 100 páginas de su libro antes mencionadoestán dedicadas a él. Para leer más detalles de este tema se puede consultar [10],donde se da una bonita y detallada descripción.

4. El árbol de Markoff

Markoff mostró que hay una manera fácil de generar todos los números de Markoffy que se pueden representar en un árbol. Observemos primero que, si en una terna de


a

b

c 3ab− c

Figura 1: La regla de construcción del árbol de Markoff.

Markoff (a, b, c), que en principio no consideramos ordenada, dos de los tres númerosson iguales, entonces 2a2 + b2 = 3a2b, lo que quiere decir que a2 divide a b2, o adivide a b. Si b = ak, donde k en un entero, la ecuación queda 2 + k2 = 3ak, y portanto k divide a 2, así que forzosamente k = 1 o 2. En ambos casos tenemos a = 1 yobtenemos las dos ternas (1, 1, 1) y (1, 1, 2), llamados ternas de Markoff singulares.

Dada una terna de Markoff (a, b, c), queremos ahora hallar todas las ternas deMarkoff (a, b, x). Eso requiere resolver la ecuación a2 +b2 +x2 = 3abx. Considerandoesta ecuación como una cuadrática en x obtenemos dos soluciones, x = c y x =3ab − c. Hemos descubierto una nueva terna (a, b, 3ab − c). De la misma manera,fijando a y c, o b y c, obtendremos las ternas de Markoff (a, c, 3ac−b) y (b, c, 3bc−a).Por lo tanto, de una terna de Markoff no singular (a, b, c) obtenemos tres nuevasternas de Markoff, de las que se dice que son las ternas vecinas de (a, b, c). Porejemplo, de la terna (1, 2, 5) obtenemos sus vecinas (1, 1, 2), (1, 5, 13) y (2, 5, 29).

Las ternas de Markoff no singulares se pueden disponer en un árbol donde cadavértice representa una terna de Markoff. Si dos ternas de Markoff son vecinas en-tonces hay una arista entre los vértices que las representan. Dado que cada terna deMarkoff no singular tiene tres vecinas, de cada vértice del árbol de Markoff salen tresaristas. Cada vértice, entonces, es el punto de intersección de tres regiones; y las tresregiones que se intersecan en un vértice representan los tres números de Markoff dela terna de Markoff representada por este vértice. En la figura 1 se puede observarla regla por la que se construye el árbol para los dos vecinos (a, b, c) y (a, b, 3ab− c),y en la figura 2 la parte del árbol en la que aparecen todas las ternas vecinas de(a, b, c). Empezando con la terna de Markoff (1, 2, 5) podemos construir el árbol deMarkoff (figura 3) usando la regla de construcción de la figura 1.

De los tres vecinos de una terna no singular de Markoff (a, b, c), solamente unotiene el elemento maximal (el número más grande de los tres números de la terna)menor que el elemento maximal de la terna (a, b, c). Para ver este hecho supongamosque (a, b, c) está ordenado. Está claro que los dos vecinos (b, c, 3cb−a) y (a, c, 3ac−b)tienen el elemento maximal mayor que c. Usemos ahora que la ecuación de Markoff(1) se puede escribir como

a

bc+ b

ac+ c

ab= 3.

Observamos que si a < b < c, entonces abc + b

ac < 1c + 1

a ≤32 , lo que nos da

cab > 3− 3

2 = 32 , esto es,

3ab− c < c. (6)

Por lo tanto, el vecino (a, b, 3ab− c) tiene el elemento maximal menor que c y es el


a

b

3ab− c c

3ac− b

3bc− a

Figura 2: Las ternas vecinas de (a, b, c).

único vecino con esta propiedad. Markoff usó este hecho para mostrar que todas lasternas de Markoff se encuentran en el árbol (figura 3). Dada una terna de Markoff(a, b, c) podemos generar una sucesión de ternas cuyos elementos maximales sondecrecientes, y donde cada terna es vecina de la terna anterior. Eso quiere decir quedespués de un número fijo de pasos llegaremos a la terna (1, 2, 5), lo que a su vezimplica que la terna de Markoff dada está en el árbol de Markoff, porque con lamisma sucesión de vecinos podemos llegar de (1, 2, 5) a (a, b, c) en el árbol. De estemodo, la conjetura de Markoff dice simplemente que, en el árbol de Markoff, unnúmero de Markoff no aparece en dos sitios distintos.

Quizás el lector agudo haya notado algo interesante de los números que aparecenen la rama inferior del árbol, 1, 5, 13, 34, 89, . . . ; son los números de Fibonacci con ín-dices impares. Los números de Markoff tienen muchas más propiedades interesantes,algunas de cuales damos a continuación.Teorema 4.1 (Propiedades de los números de Markoff).

1. Los tres números de cada terna de Markoff son coprimos dos a dos.2. Todos los divisores impares de un número de Markoff son congruentes con 1

módulo 4. Todo número de Markoff par es congruente con 2 módulo 4.3. Si c es un número de Markoff, entonces todos los divisores impares de 9c2 − 4

son congruentes con 1 módulo 4.4. Si c es un número de Markoff par, entonces los números 3c+2

8 y 3c−24 son

impares.

Demostración. La prueba de la primera parte es igual que la prueba antes vistade que cada terna de Markoff aparece en el árbol. Empezando con la terna (a, b, c)producimos una sucesión de ternas de Markoff donde cada terna es vecina de laterna anterior con el elemento maximal menor. Está claro que, después de un número


2

1

5

13

29

433

194

34

169

6466

985

89

2897

14701

37666

7561

1325

Figura 3: El árbol de Markoff.

finito de pasos, llegamos a la terna (1, 2, 5). Ahora, notando que para cualquier terna(a, b, c) se cumple mcd(a, b) = mcd(a, c) = mcd(b, c) = mcd(a, b, c) y que, si (a, b, c)y (a′, b′, c′) son dos ternas vecinas, entonces mcd(a, b, c) = mcd(a′, b′, c′), concluimosque mcd(a, b) = mcd(a, c) = mcd(b, c) = mcd(a, b, c) = mcd(1, 2, 5) = 1.

Para probar las partes 2 y 3 usaremos que las soluciones de la ecuación de Mar-koff (1) cumplen

((a+ b)2 + c2)((a− b)2 + c2) = (9c2 − 4)(ab)2. (7)

Un resultado clásico es que todos los divisores impares de una suma de dos cuadradoscoprimos son congruentes con 1 módulo 4. También que, si esta suma es par, entonceses congruente con 2 módulo 4, esto es, 4 no divide a una suma par de dos cuadradoscoprimos. En la ecuación (7), y si c es impar, en el lado izquierdo tenemos el productode dos sumas de cuadrados coprimos (de la parte 1 se deduce que mcd(a + b, c) =mcd(a− b, c) = 1). Por lo tanto, cada divisor impar del lado derecho es congruente


con 1 módulo 4, lo que nos da el resultado observando que, por simetría, podemosintercambiar los papeles de a, b, y c. El caso c par es similar; observemos simplementeque, en este caso, (a+b

2 )2 ± ( c2 )2 son sumas de cuadrados coprimos.Analicemos ahora la parte 4. Si c es par, entonces, por las partes anteriores, tene-

mos c ≡ 2 mod 4 y a ≡ b ≡ 1 mod 4, lo que quiere decir que 25 es la mayor potenciade 2 que divide al lado izquierdo de la ecuación (7) y, por lo tanto, (3c+2)(3c−2)

32 esimpar. Los dos números 3c − 2 y 3c + 2 son divisibles por 4 porque c ≡ 2 mod 4.Si 3c − 2 ≡ 0 mod 8, entonces 3c − 2 = 8(2k + 1) para algún entero k, con lo cual3c + 2 = 16k + 12 = 4(4k + 3), lo que no es posible por la parte 3, luego 3c + 2 esdivisible por 8 y 3c− 2 por 4.

5. El número de números de Markoff menores que x

En el árbol de Markoff (figura 3) vemos que los números de Markoff parecen crecerrápidamente, y es natural preguntarse cuántos números de Markoff son menoresque un número fijo x. Denotaremos por N(x) esta cantidad. Zagier [26] dio unabonita demostración de que, cuando x es grande, N(x) ∼ C(log x)2, donde C es unaconstante explícita y la notación f(x) ∼ g(x) significa que f(x)

g(x) tiende a 1 cuando xtiende a∞. Para estimar N(x), lo que Zagier cuenta no son los números de Markoff,sino las ternas de Markoff (a, b, c) tales que a < b < c y c ≤ x. Si la conjetura deMarkoff es cierta, está claro que el número de estas ternas es igual a N(x); y, en casoque la conjetura no sea cierta, este número es mayor que N(x). Se usa el árbol deMarkoff para contar estas ternas porque sabemos (según hemos visto en la sección 4)que todas las ternas de Markoff se encuentran en el árbol.

Para analizar el comportamiento asintótico del árbol de Markoff, observemosprimero que se puede asumir que a crece con x, pues se puede ver que los valorespequeños de a contribuyen k log x a N(x). Dividiendo la ecuación de Markoff (1)por (3ab)2, tenemos

19a2 + 1

9b2 +( c

3ab

)2= c

3ab ,

con lo cual ( c3ab )

2 ∼ c3ab , esto es, c

3ab ∼ 1 o 3ab ∼ c. Mutiplicando por 3 y tomandologaritmos llegamos a que, para a grande,

log(3a) + log(3b) = log(3c) + ε

donde ε tiende a 0 cuando c tiende a ∞. La expresión anterior sugiere usar laaplicación Φ(x) = log(3x), que lleva una terna de Markoff (a, b, c) a una soluciónaproximada (p, q, r) de la ecuación

p+ q = r.

Observamos que p + r = log(3a) + log(3c) = log(9ac) ∼ log(3(3ac − b)) porque3ac− b ∼ 3ac, lo que quiere decir que la terna vecina (a, c, 3ac− b) será enviada a laterna (p, r, p + r) y, haciendo lo mismo con las demás ternas vecinas, vemos que laaplicación Φ lleva la figura 2 con los vecinos de (a, b, c) a la figura 5 con los vecinos


p

q

r p+ q

Figura 4: La regla de construcción del árbol de Euclides.

p

q

p+ q r

p+ r

q + r

Figura 5: Los vecinos en el árbol de Euclides.

de (p, q, r). Así pues, la aplicación Φ transforma el árbol de Markoff en otro árbol,el llamado árbol de Euclides, con la regla de construcción dada en la figura 4, demodo que, si dos ternas son vecinas en el árbol de Markoff, entonces sus imágenesbajo Φ son vecinas en el árbol de Euclides. Por lo tanto, hay una correspondenciabiyectiva entre los dos árboles, donde (1, 2, 5), la primera terna del árbol de Markoff,es enviada a (1, 2, 3), la primera terna en el árbol de Euclides; y utilizando la regladada en la figura 4, podemos construir el árbol de Euclides fácilmente (véase lafigura 6). Observemos finalmente que, al igual que en el árbol de Markoff, todaslas ternas (a, b, c) en el árbol de Euclides satisfacen mcd(a, b, c) = 1 pues lo cumple(1, 2, 3).

Si E(x) es el número de ternas (a, b, c) en el árbol de Euclides con c ≤ x, entoncesE(x) es el número de soluciones (a, b, c) tal que a + b = c con mcd(a, b) = 1 y1 ≤ a < b < c ≤ x. Eso es fácil de contar usando la función φ de Euler (recordemosque φ(n) es el número de enteros positivos m menores o iguales que n tales quemcd(m,n) = 1), y obtenemos

E(x) = −1 + 12∑c≤x

φ(c) ∼ 32π2x

2,

donde hemos usado el hecho bien conocido de que∑c≤x φ(c) ∼ 3

π2x2 (véanse, por


2

1

5

13

29

433

194

34

169

2

1

3

4

5

8

7

5

7

Φ

Figura 6: La biyección entre los árboles de Markoff y Euclides.

ejemplo, [1, teorema 3.7] o [14, teorema 330]). Utilizando argumentos más precisos,y dado que el árbol de Euclides es aproximadamente la imagen bajo la aplicaciónΦ(x) = log(3x) del árbol de Markoff, Zagier llegó a su resultado de que

N(x) ∼ C(log x)2

donde C es cierta constante explícita.

6. Las palabras de Christoffel y las matrices de Markoff

Una pregunta muy interesante sobre el valor 3 en la ecuación de Markoff es lasiguiente. Si remplazamos el 3 en (1) por otro número, digamos 5, ¿hay soluciones?La respuesta es no y en general sabemos, como consecuencia de un teorema de Atiyahy Singer [15], que si n es un entero positivo entonces la ecuación

x2 + y2 + z2 = nxyz (8)

tiene soluciones en enteros x, y, z solo cuando n = 1 o n = 3. Cuando n = 1 se puededemostrar que una solución (x, y, z) de (8) satisface mcd(x, y, z) = 3 y, por lo tanto,(x3 ,

y3 ,

z3 ) es una solución de la ecuación de Markoff (1). Inversamente, si (a, b, c) es

una solución de (1), la terna (3a, 3b, 3c) es una solución de (8) con n = 1, lo quequiere decir que hay una biyección entre las soluciones (x, y, z) de (8) con n = 1 ylas soluciones (a, b, c) de la ecuación de Markoff (1).


De hecho, Cohn trabajó únicamente con la ecuación x2 + y2 + z2 = xyz, usandolas denominadas matrices de Markoff o de Cohn-Markoff, cuyas trazas (la suma delos elementos en la diagonal principal) son tres veces un número de Markoff. Damosa continuación solo la idea principal de Cohn, sin precisar ni los términos ni laspruebas, para las cuales remitimos al lector a [8].

Sea SL2(Z) el grupo formado por las matrices con coeficientes enteros y deter-minante 1 y F el subgrupo de SL2(Z) generado libremente por las matrices

A =(

1 11 2

)y B =

(2 11 1

).

Si X e Y son dos generadores cualesquiera de F, entonces Fricke demostró que

(trX)2 + (trY )2 + (trXY )2 = (trX)(trY )(trXY ), (9)

donde trM denota la traza de la matrizM . Cohn mostró que a cada terna de Markoff(a, b, c) corresponde una terna de matrices de Markoff (X,Y,XY ) tal que

trX = 3a, trY = 3b, trXY = 3c, (10)

y por lo tanto estas matrices satisfacen (9).Las matrices de Markoff están íntimamente relacionadas con las palabras de

Christoffel. Usando palabras de Christoffel, se puede dar una hermosa interpretacióngeométrica de los números de Markoff. El concepto que da lugar a las palabrasde Christoffel no es nada nuevo, sino que fue introducido por Christoffel en 1875,unos años antes del trabajo de Markoff, aunque su denominación como palabras deChristoffel es más reciente. Para construir las palabras de Christoffel consideremosun retículo de puntos con coordenadas enteras. Un camino entero consiste en unaserie de pasos consecutivos elementales, donde un paso elemental es el segmento[(a, b), (a+ 1, b)] o [(a, b), (a, b+ 1)]. Denotemos un paso elemental horizontal por x,y un paso elemental vertical por y.

Sean p y q enteros positivos coprimos. Consideramos el segmento que va desdeel origen (0, 0) al punto (p, q), y el camino entero entre estos dos puntos, por debajodel segmento, tal que el polígono formado por este camino y el segmento no tienepuntos interiores con coordenadas enteras. La palabra de Christoffel de pendiente q

p

es una palabra escrita con el alfabeto {x, y} definido por este camino. Por ejemplo, lafigura 7 muestra la palabra de Christoffel de pendiente 5

3 . Cada palabra de Christoffeltiene una descomposición en dos palabras de Christoffel obtenidas al descomponerel camino en dos partes, donde la primera parte es la que une (0, 0) con el punto decoordenadas enteras más cercano al segmento. Por ejemplo, la descomposición de lapalabra w = xyxyyxyy de la figura 7 es w = w1w2 con w1 = xyxyy y w2 = xyy.

Dada una palabra de Christoffel, al reemplazar cada x por la matriz A = ( 1 11 2 ) ,

y cada y por B = ( 2 11 1 ) , obtenemos una matriz cuya traza es tres veces un número

de Markoff, esto es, una matriz de Markoff. Por ejemplo, la matriz que correspondea la palabra w = xyxyyxyy dada en la figura 7 esM = ABABBABB, cuya traza estrM = 3 · 37666. También tenemos M1 = ABABB y M2 = ABB que corresponden


(0, 0)

(3, 5)

Figura 7: La palabra de Christoffel xyxyyxyy con pendiente 53 .

a las palabras w1 y w2, y está claro ahora que la terna de Markoff correspondientea w = w1w2 es ( trM1

3 , trM23 , trM

3 ) = (433, 29, 37666). Reutenauer, en [20], demostróque existe una correspondencia entre las ternas de Markoff y las palabras de Chris-toffel. Lo que acabamos de ver es cómo conseguir la terna de Markoff correspondientea una palabra de Christoffel.

Para ver el inverso, es decir, dada una terna de Markoff (a, b, c) obtener la pala-bra de Christoffel correspondiente, usamos el resultado de Cohn que da una terna dematrices de Markoff (X,Y,XY ) que corresponde a (a, b, c), donde X,Y son genera-dores de F. Las matrices X y Y son elementos del grupo generado por A y B, de locual se deduce fácilmente (intercambiando los papeles de A,B por x, y) la palabrade Christoffel correspondiente a la terna de Markoff (a, b, c).

7. Pruebas elementales

La conjetura de Markoff solamente está probada en el caso en que el número deMarkoff c es una potencia o dos veces una potencia de un primo, o cuando el divisorimpar más grande de 3c − 2 o 3c + 2 es una potencia de un primo. Reproducimosaquí las pruebas completamente elementales dadas en [24] (el teorema 7.2 es debidoa Jorge Jiménez). Empezamos con una identidad fácil de verificar. Si (a1, b1, c) y(a2, b2, c) son dos ternas de Markoff, entonces

(a1a2 − b1b2)(a1b2 − b1a2) = c2(a1b1 − a2b2). (11)

Teorema 7.1. Si un número de Markoff c es una potencia de un primo o dos vecesuna potencia de un primo, entonces la conjetura de Markoff es verdad para c.

Demostración. Sean (a1, b1, c) y (a2, b2, c) dos ternas de Markoff que satisfacenai ≤ bi ≤ c para i = 1, 2. Supongamos que a1b1 − a2b2 = 0. De la identidad (11) sededuce que a1a2 = b1b2 o a1b2 = b1a2. Si a1a2 = b1b2 entonces, por ser mcd(a1, b1) =


mcd(a2, b2) = 1, tenemos a1 = b2 y a2 = b1. De la misma manera, si a1b2 = b1a2tenemos a2 = a1 y b2 = b1. Podemos por tanto asumir que a1b1 − a2b2 6= 0.

Sea g > 2 un primo impar que divide a c. Demostraremos, por reducción alabsurdo, que g no puede dividir a los dos números a1a2−b1b2 y a1b2−b1a2. Asumimoslo contrario, es decir, que a1a2 ≡ b1b2 mod g y a1b2 ≡ b1a2 mod g. Multiplicandoesas dos congruencias obtenemos a2

1a2b2 ≡ b21a2b2 mod g, lo que da a2

1 ≡ b21 mod g

porque mcd(a2b2, c) = 1. Combinando esta última congruencia con g | (a21 + b2

1) (porla ecuación (1)) tenemos g | b1, lo que no es verdad porque mcd(c, b1) = 1. Hemosdemostrado que mcd(a1a2−b1b2, a1b2−b1a2, c

′) = 1, donde c′ = c cuando c es impary c

2 cuando c es par (nótese además que, por la parte 2 del teorema 4.1, si c es par,entonces c

2 es impar). Podemos entonces escribir c = pq o 2pq, dependiendo de si ces impar o par respectivamente, con p y q coprimos y de modo que se verifica

a1a2 − b1b2 ≡ 0 mod p2 y a1b2 − b1a2 ≡ 0 mod q2.

Ahora, si c es una potencia de un primo impar o dos veces una potencia de un primoimpar, concluimos que uno de los dos números p o q, digamos que q, es igual a 1. Porlo tanto p = c o c

2 , dependiendo de si c es impar o par respectivamente. Si c es impartenemos a1a2 − b1b2 ≡ 0 mod c2. Dado que ai, bi ≤ c, sigue que a1a2 − b1b2 = 0 ypor eso a2 = b1 y b2 = a1 (porque mcd(ai, bi) = 1), lo que es imposible.

Si c es par, entonces ai, bi son impares, y como todos los números de Markoffimpares son congruentes con 1 módulo 4 (parte 2 del teorema 4.1), tenemos a1a2 −b1b2 ≡ 0 mod 4. También a1a2 − b1b2 ≡ 0 mod c2

4 (porque p = c2 ), y como c2

4 esimpar (c ≡ 2 mod 4), se deduce como en el caso anterior que a1a2−b1b2 ≡ 0 mod c2,y hemos terminado la demostración.

Teorema 7.2. Si c es un número de Markoff tal que el mayor divisor impar de3c − 2 o 3c + 2 es una potencia de un primo, entonces la conjetura de Markoff esverdad para c.

Demostración. Sean (a1, b1, c) y (a2, b2, c) dos ternas de Markoff, y Ai = ai+bi

2 yBi = ai−bi

2 , para i = 1, 2. De la ecuación de Markoff (1) tenemos

(2− 3c)(2Ai)2 + (2 + 3c)(2Bi)2 = −4c2. (12)

Restando las dos ecuaciones para i = 1, 2 en (12) obtenemos

(3c− 2)((2A1)2 − (2A2)2) = (3c+ 2)((2B1)2 − (2B2)2). (13)

Supongamos que p es un primo impar que divide a 3c + 2. Asumimos que p |mcd(2(A1 + A2), 2(A1 − A2)). Entonces p | 2A1 y de (12) se sigue p | c, lo queno es posible, y por lo tanto de (13) obtenemos que p divide a 2(A1 + A2) o a2(A1−A2). En la misma manera, si p | (3c−2) llegamos a que p divide a 2(B1 +B2)o a 2(B1 −B2).

Analicemos ahora qué ocurre cuando c es impar y 3c + 2 es una potencia deun primo p. Entonces, (3c + 2) | 2(A1 + A2) o 2(A1 − A2), lo que no es posible siai ≤ bi ≤ c, porque entonces de (1) tendríamos ab < c o a <

√c, lo que conduciría


a 3c+ 2 ≤ 2(A1 + A2) = b1 + b2 + a1 + a2 ≤ 2(c− 1) + 2√c. El caso en que 3c− 2

es una potencia de un primo se trata de la misma manera.Finalmente, asumamos que c es par. Por el teorema 4.1 tenemos que c no es

divisible por 4, y 3c−24 y 3c+2

8 son impares. También que A1, A2 son enteros impares yB1, B2 son enteros pares. Por lo tanto, si 3c−2

4 es una potencia de un primo, entonces3c−2

4 divide a B1−B22 o a B1+B2

2 , y por eso 3c−24 ≤ |B1+B2

2 | ≤ c2 si ai ≤ bi ≤ c, lo cual

es una contradicción. El caso en que 3c+28 es una potencia de un primo es similar.

Las pruebas que hemos dado son elementales. ¿Podemos conseguir algo semejanteen otros casos, por ejemplo cuando el número de Markoff es un producto de dosprimos? Dejamos al lector decidir, puesto que ya conoce un poco mejor esta conjeturatan difícil de ignorar.

Agradecimientos. Me gustaría dar las gracias a Jorge Jiménez por su lecturacuidadosa del manuscrito, que ha ayudado a eliminar varias imprecisiones.

Referencias

[1] T. M. Apostol, Introducción a la teoría analítica de números, Reverté, 1980.[2] A. Baragar, On the unicity conjecture for Markoff numbers, Canad. Math.

Bull. 39 (1996), 3–9.[3] E. Bombieri, Continued fractions and the Markoff tree, Expo. Math. 25 (2007),

no. 3, 187–213.[4] J. O. Button, The uniqueness of prime Markoff numbers, Bull. London Math.

Soc. 58 (1998), 9–17.[5] J. O. Button, Markoff numbers, principal ideals and continued fraction ex-

pansions, J. Number Theory 87 (2001), 77–95.[6] J. W. S. Cassels, An introduction to Diophantine approximation, Cambridge

University Press, 1957.[7] E. B. Christoffel, Observatio arithmetica, Annali di Matematica 6 (1875),

145–152.[8] H. Cohn, Markoff forms and primitive words, Math. Ann. 196 (1972), 8–22.[9] P. Corvaja y U. Zannier, On the greatest prime factor of Markov pairs,

Rend. Sem. Mat. Univ. Padora 116 (2006), 253–260.[10] T. W. Cusick y M. E. Flahive, The Markoff and Lagrange spectra, Bull.

Amer. Math. Soc. (N.S.) 24 (1991), no. 2, 419–424.[11] G. A. Freiman, Diophantine approximations and the geometry of numbers

(Markov’s problem) [en ruso], Kalinin. Gosudarstv. Univ., Kalinin, 1975.[12] F. G. Frobenius, Über die Markoffschen Zahlen, Sitzungsberichte der Köni-

glich Preußischen Akadamie der Wissenschaften zu Berlin, 1913, pp. 458–487.[13] R. Guy, Don’t try to solve these problems!, Amer. Math. Monthly 90 (1983),

no. 1, 35–41.


[14] G. H. Hardy y E. M. Wright, An introduction to the theory of numbers,5.a ed., Oxford University Press, 1979.

[15] F. Hirzebruch y D. Zagier, The Atiyah-Singer theorem and elementarynumber theory, Mathematics Lecture Series, no. 3, Publish or Perish Inc., Bos-ton, Mass., 1974.

[16] J. C. Lagarias, The ultimate challenge: the 3x + 1 problem, American Mat-hematical Society, 2010.

[17] M. L. Lang y S. P. Tan, A simple proof of the Markoff conjecture for primepowers, Geom. Dedicata 129 (2007), 15–22.

[18] A. A. Markoff, Sur les formes quadratiques binaires indéfinies I, Math. Ann.15 (1879), 381–409.

[19] A. A. Markoff, Sur les formes quadratiques binaires indéfinies II, Math. Ann.17 (1880), 379–399.

[20] C. Reutenauer, Christoffel words and Markoff triples, Integers 9 (2009), 327–332.

[21] P. Schmutz, Systoles of arithmetic surfaces and the Markoff spectrum, Math.Ann. 305 (1996), no. 1, 191–203.

[22] C. Series, The geometry of Markoff numbers, Math. Intelligencer 7 (1985),no. 3, 20–29.

[23] A. Srinivasan, A note on the Markoff conjecture, Proceedings of the “SegundasJornadas de Teoría de Números” (Madrid, 2007), pp. 253–260, Biblioteca de laRevista Matemática Iberoamericana, 2008.

[24] A. Srinivasan, Markoff numbers and ambiguous classes, J. Théor. NombresBordeaux 21 (2009), no. 3, 755–768.

[25] A. Srinivasan, An improvement of the Minkowski bound for real quadraticorders using the Markoff theorem, J. Number Theory 131 (2011), no. 8, 1420–1428.

[26] D. Zagier, On the number of Markoff numbers below a given bound, Math.Comp. 39 (1982), 709–723.

[27] Y. Zhang, Congruence and uniqueness of certain Markoff numbers, Acta Arith.128 (2007), no. 3, 295–301.

[28] Y. Zhang, An elementary proof of uniqueness of Markoff numbers which areprime powers, http://arxiv.org/abs/math/0606283 (versión 2), 2007.

Anitha Srinivasan, Department of Mathematics, Saint Louis University – Madrid Campus,Avenida del Valle 34, 28003 Madrid, SpainCorreo electrónico: [email protected]ágina web: https://sites.google.com/site/rsrinivasananitha/

http://arxiv.org/abs/math/0606283

Documents

Debemos intentar resolver la conjetura de Markoff?