193.6.12.228193.6.12.228/uigtk/uipz/hallgatoi/portfolio_elmelet.pdf · 2003-12-09 · 3 dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások A fenti képlet a hozamszámítás általános

Mottó: "Ne rakj minden tojást ugyanabba a kosárba!." (angol közmondás) „Mi a hosszú távú befektetés? Az elrontott rövid távú.” (spekuláns tapasztalat)

4. Fejezet

Portfólió-elmélet

A fejezet célja, bemutatni: 1. Bemutatni a hozamszámítás fajtáit 2. Ismertetni a portfóliókialakítás néhány passzív módszerét 3. Példán keresztül bemutatni, hogyan lehet a portfólióelmélet tanulságait a vállalati

tőkeköltségvetési döntésekben alkalmazni. Az előző fejezetekben nem foglalkoztunk a kockázattal, feltételeztük, hogy az általunk becsült pénzáramoknak nincs alternatívája. A gazdasági változók azonban a jövőben nemcsak egy értéket vehetnek fel, hanem általunk előre nem látható módon változhatnak, módosulhatnak. Következésképpen a beruházásunk NPV-je is nem egyetlen értéket vehet fel, hanem különböző események függvényében szélesebb, keskenyebb sávban mozoghat. Gazdasági döntéseink szempontjából az a tény, hogy az NPV az általunk legjobb becsléshez képest milyen mértékben térhet el, egyáltalán nem közömbös. Majd később látni fogjuk, a várható értéktől való eltérés lesz a befektetés kockázatának mérőszáma. Mielőtt azonban megnéznénk azt, hogyan lehet kezelni a tőkeköltségvetési döntésekben a kockázatot, meg kell ismerkednünk a kockázatkezelés alapmódszereivel, amit pénzügyi befektetések esetében fejlesztettek ki – ennek neve a portfólióelmélet -, és a finanszírozási döntések módszereivel, amit a következő fejezetben tárgyalunk. Először meg kell határoznunk, hogy mit értünk portfólió alatt, mivel az utóbbi időben több – nemcsak pénzügyi – értelemben használják ezt a fogalmat. Minden esetben különböző dolgok összességét értik alatta. Pénzügyi értelemben portfólió különböző vagyontárgyak összessége. Ebben a fejezetben különböző, tőzsdén jegyzett értékpapírok összességét értjük alatta. A portfólióelmélet arra keresi a választ, hogy milyen módon kombináljuk ezeket az értékpapírokat, hogy az egyes befektető szempontjából az optimális portfóliót kapjuk. Mit kell optimalizálni? A befektető három jellemvonás alapján alkot ítéletet egy befektetésről. Ezek a következők:

1. Hozam – A befektetés mekkora többletpénzáramot eredményez a befektetett összegen felül. A befektetés fajlagos hozamát úgy számoljuk ki, hogy a hozamot a befektetett tőke százalékában fejezzük ki. Ezt hozamrátának nevezzük. Nagyon gyakran a hozamráta helyett is hozamot mondunk, és csak a szövegkörnyezetből derül ki, hogy abszolút összegről, vagy százalékról van-e szó. Mivel a pénzügyi befektetéseket a hozamráta alapján hasonlítják elsősorban össze, a könyvben is gyakran fogjuk a hozamot a hozamráta értelmében használni.

2

4. Fejezet – Portólió elmélet

2. Likviditás – A befektetést milyen gyorsan és mekkora költséggel lehet készpénzre váltani. Minél gyorsabban és minél kevesebb költséggel jár ez az átváltás, annál likvidebb a befektetés. A leglikvidebb befektetés ezért a készpénz.

3. Kockázat - A befektetés hozama bizonytalan is lehet. A hozam az előzetes elvárásainkhoz képest kevesebb és több is lehet. A pénzügyi befektetések világában akkor beszélünk kockázatos befektetésről, hogyha a befektetés jövőben várható hozamai egy meghatározott eloszlás szerint szóródnak, vagy más szóval a befektetésnek a jövőben több kimenete is lehetséges. Minél nagyobb sávban szóródhatnak a jövőben várható hozamok, annál nagyobb a kockázat.

A racionális befektető ezen három szempont szerint szeretné optimalizálni a portfólióját. Minél nagyobb a kockázat és minél kisebb a befektetés likviditása, a befektető annál nagyobb hozamot vár el. Mivel a továbbiakban olyan befektetésekről lesz szó, melyeket a tőzsdén forgalmaznak, így a likviditással, mint szemponttal nem fogunk foglalkozni. Feltételezzük, hogy minden értékpapír nagyon likvid befektetés, azaz a piaci árán azonnal és költségmentesen tudunk értékesíteni. Ha a likviditás, mint befektetési szempont kiesik, csak a kockázat és a hozam viszonyával kell foglalkoznunk. Ahhoz azonban, hogy e két szempont szerint optimalizálni tudjuk a portfóliónkat, tudnunk kell, hogy hogyan számszerűsítsük a hozamot és a kockázatot.

4.1. Hozam(ráta)számítás Az értékpapír-matematikával foglalkozó részben (1. fejezet) már foglalkoztunk az árfolyamszámítással. Akkor adott elvárt hozam mellett kerestük azt a maximálisan elfogadható árat, amennyit hajlandóak vagyunk megadni az adott papírért. Ebben a fejezetben a keresendő paraméter a hozam lesz. Hozamszámítás esetében keressük azt a kamatlábat, amivel ha befektetjük az értékpapír piaci árát, az értékpapír várható hozamait kapjuk eredményül a hozamok esedékességének időpontjában. Matematikailag kifejezve a fenti definíciót:

(4.1) ( )

( )∑= +

=n

ii

i

rCFEP

1 1:

Ahol, P – az értékpapír piaci ára E(CFi) – az értékpapír i-dik időpontban várható pénzárama r - éves hozamráta n – az értékpapír jövőben várható pénzáramainak darabszáma A fenti képlet ismeretében a hozamráta jelentését más módon is megfogalmazhatjuk. A hozamráta az a kamatláb, amellyel diszkontálva az értékpapír jövőbeli pénzáramait, a pénzáramok jelenértékösszege az értékpapír árfolyamával lesz egyenlő.

3

dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások

A fenti képlet a hozamszámítás általános képlete. Ha a P-t átvisszük a másik oldalra és alkalmazzuk a második fejezetben található jelölést, azaz a P helyébe P0-t írunk, a belső megtérülési ráta képletét kapjuk. A belső megtérülési rátáról megemlítettük, hogy van négy veszélyes tulajdonsága, amikor félrevezető döntéshez vezethet.

1. Szabálytalan pénzáramok esetében nem igaz az elfogadás/elutasítás szabálya. Ez nem probléma pénzügyi befektetések esetén, mivel a pénzügyi befektetések – értékpapír vásárlás, betételhelyezés – mindig szabályos pénzáramúak.

2. Abban az esetben, amikor kölcsönösen kizáró beruházásokról van szó, helytelen lehet az IRR szerint rangsorolni. Ez sem gond, mivel a pénzügyi befektetések nem egymást kölcsönösen kizáró beruházások. Egyszerre vehetek OTP és MATÁV részvényt, és helyezhetek el euró betétet.

3. A finanszírozási döntéseknél megfordul az elfogadás/elutasítás esetén az előjel. A portfóliódöntéseknél mindig befektetésekről döntünk.

4. A számításnál feltételezzük, hogy a befektetési periódus alatti hozamokat is ugyanolyan hozammal tudjuk újra befektetni, mint a belső megtérülési ráta.

A különböző újrabefektetési ráták problémájával a 4.1.2.2 rész foglalkozik. Az első három ok miatt a pénzügyi befektetéseknél az NPV és az IRR konzisztens eredményre vezet. Mivel a pénzügyi befektetések esetében gyakorlat, hogy a hozamrátát adják meg – gondoljunk csak a bankbetétek kamatlábaira – ezért az összehasonlítás kedvéért a hozamrátát, és nem az NPV-t szokták alkalmazni. 4.1.1. Tőzsdén forgó értékpapírok hozam(ráta)számítása Tételezzük fel, hogy rövid lejáratra (1 éven belül) fektetjük be pénzünket részvénybe. A befektetési időszak alatt hozamunk két részből áll, az értékpapír árfolyamnyereségéből (vagy –veszteségéből), és az osztalékhozamból. A befektetési időszak alatt elért hozam és a befektetett pénzösszeg hányadosát időszaki hozam(rátá)nak nevezzük. Matematikai jelölésekkel kifejezve:

(4.2) 0

1

0

1

0

101 1P

DivPP

PDivPPr +−=

+−= 1

Ahol, P1 – a részvény eladási ára, P0 – a részvény vételi ára, Div1 – egy részvényre fizetett osztalék nagysága, r - éves hozamráta,

1 Ezen egyszerű képlet csak akkor helyes, ha az értékpapírt közvetlenül az osztalékfizetés után adjuk el. Egyéb esetben az általános hozamszámítás képletét (4.1) kell alkalmazni a pontos hozam meghatározásához.

4


n – az értékpapír jövőben várható pénzáramainak darabszáma. A képlet első tagja az árfolyamnyereség mértékét, míg a második az osztalékhozamot mutatja. A tőzsdén forgó részvények egyik csoportosítási szempontja, hogy jellemzően magas osztalékhozamot, vagy inkább várhatóan magas árfolyamnyereséget kínálnak-e. 4.1 Példa

Matáv részvényt vettem január 20-án 850 Ft-ért. A részvényt június 10-én adtam el 910 Ft-ért. Ekkor kaptam meg a részvényre fizetett 10 Ft osztalékot is. Mekkora volt a befektetésen elért időszaki hozam?

Helyettesítsünk be a 4.2-es képletbe.

(4.3) %24,8%18,1%06,7850101

8509101

0

1

0

1 =+=+−=+−=P

DivPPr

A befektetés hozama 8,24% volt, amiből 7,06% az árfolyamnyereségnek, 1,18% az osztalékhozamnak köszönhető. Most tételezzük fel, hogy nincs osztalékfizetés. Ekkor az időszaki hozam képlete a következő kifejezésre egyszerűsödik.

(4.4) 10

1 −=PPr

4.2 Példa Richter részvényt vettem 25.000 Ft-ért, eladtam 23.000 Ft-ért. Mekkora a befektetés időszaka alatt elért hozam?

(4.5) %8125000230001

0

1 −=−=−=PPr

A befektetés időtartama alatt a befektetett összeg 8%-át vesztettem el. Az időszaki hozamnak van egy nagy hiányossága. Nevezetesen, hogy nem veszi figyelembe azt, hogy milyen hosszú volt a befektetési periódus. Nem mindegy, hogy például 5% hozamot egy év, vagy egy nap alatt realizáltam. A különböző befektetések hozamainak összehasonlításához a hozamot éves szinten szokták megadni. (Hasonlóan a bankok által követett gyakorlathoz, ahol, ha azt olvassuk, hogy a három hónapos betét kamatlába 7,25%, ez azt jelenti, hogy az évi 7,25% negyedrészét fogják a három hónap után a betétre kifizetni.) 4.1.1.1. Az időszaki hozamráta évesítése Az időszaki hozamok évesítésére három módszer kínálkozik. Mindegyik mögött más feltételezések állnak és eltérő matematikai tulajdonságokkal rendelkeznek. Az egyes módszerek nevét, képletét, alkalmazásuk közgazdasági feltételezéseit és alkalmazásuk körét a 4.1-es táblázat tartalmazza.

5


4.1. Táblázat Megnevezés Nominális vagy

lineáris hozam Effektív vagy

exponenciális hozam Kamatintenzitás

Képlete

tPPrn

110

1 ∗

−= 1

1

0

1 −

=

t

e PPr tP

Pri1ln

0

1 ∗

=

Feltételezés Az eredeti összeget (P0) fektetjük be újra.

A befektetés végén maradt összeget (P1) fektetjük be újra.

A hozam időarányos részét folyamatosan realizáljuk.

Alkalmazási köre

Olyan bankbetét, melynek kamata a folyószámlára kerül.

Minden olyan befektetés, melynek hozama meghatározott időszakonként tőkésedik.

Olyan likvid befektetéseknél, ahol a hozamot bármikor realizálni lehet.

Ahol, P1 – a részvény eladási ára, P0 – a részvény vételi ára, r - éves hozamráta, t – a befektetési periódus években. A nominális hozamszámítás gyakorlatilag egy egyenes arányosság. Ha t időszak alatt a hozam r, akkor egy év alatt mekkora lenne a hozam. Képlettel kifejezve:

(4.6) tP

Prt

PP

rtrr

nnn 11

1

11 0

10

1

∗

−=⇒

−=⇒=

A nominális hozamszámítás esetében feltételezzük, hogy mindig a kezdeti tőkeösszeget fektetik be újra, és mindig az időszaki hozamot realizálják. Ha a hozamráta pozitív, a hozamot elfogyasztják, ha a hozamráta negatív, a befektetendő tőkét újra feltöltik az eredeti összegre. Ez a feltételezés általában az olyan bankbetétekre jellemző, ahol a kamat automatikusan a folyószámlára kerül, vagy a befektető szándéka az, hogy a befektetés hozamát felélje. Ha az időszaki hozam tőkésedik, akkor alkalmazzuk a második képletet. Az effektív hozamrátát a kamatos kamatszámítás képletéből kapjuk.

(4.7) ( ) ( )0

110 11

PPrPrP tt =+⇒=+∗

A 4.7 képlet nem más, mint a jövőérték-számítás képlete. Kihasználva azt, hogy P1/P0 hányados mindig pozitív, a következőket írhatjuk:

6


(4.8) 11

1

0

1

0

1 −

=⇒=+

tt

PPr

PPr

A fenti hozamszámítást minden esetben alkalmazhatjuk, ha feltételezzük, hogy a befektető a befektetés hozamát újra be szándékozik fektetni, és egy év alatt időszakonként ugyanazt az időszaki hozamot realizálja a befektető. A kamatintenzitás esetében feltételezzük, hogy a hozam időarányos részét végtelen gyakorisággal realizálja a befektető, és fekteti be újra. A képlet az effektív kamatszámítás képletéből lehet levezetni. Tételezzük fel, hogy egy befektetőnek 100 forintja van, és több bank ajánlata közül kell választania. A bankbetét kamata mindenhol 10%, de az A banknál évente egyszer, B banknál félévente, C banknál negyedévente, D banknál havonta írják jóvá a betétszámláján a kamat időarányos részét. Ha feltételezzük, hogy a befektető 1 évre hagyja a bankban a pénzét és a kamatláb az év folyamán nem változik. A számítást a 4.2 Táblázat tartalmazza. 4.2 Táblázat Gyakoriság Szám Bank Képlet Helyettesítés Eredmény Hozam Évente 1 A bank 1

0 11

+∗

rP 1

11,01100

+∗

110,00 10,00%

Félévente 2 B bank 2

0 21

+∗

rP 2

21,01100

+∗

110,25 10,25%

Negyedévente

4 C bank 4

0 41

+∗

rP 4

41,01100

+∗

110,38 10,38%

Havonta 12 D bank 12

0 121

+∗

rP12

121,01100

+∗

110,47 10,47%

Végtelen ∞ ? ? ? ? A 4.2 Táblázatból látható, hogy a gyakoriság növekedésével nő a hozam. Azonban az is látszik, hogy a hozamnövekedés nem lineáris, hanem erősen degresszív. Ha évről félévre változik a gyakoriság, a hozam növekedése 25 bázispont2. A következő duplázódásnál (2-ról 4-re) a növekedés már csak 13 bázispont (10,25%-ról 10,38%-ra). A havi gyakoriság háromszorosa a negyedévinek, mégis a hozam növekedése csak 9 bázispont. Van-e a gyakoriság növekedésével a hozamnak határértéke. A fenti táblázatból már sejthető a válasz, hogy van.

(4.9) rn

ne

nr

=

+

∞→

1lim

Az „e” a természetes szám. Közelítő értéke: 2,72.

2 1 bázispont = 1 század százalék.

7


Az er-t kamaterőnek nevezzük. A kamaterő megmutatja, hogy hányszorosára növekszik a befektetett tőkénk, hogyha az r éves hozam időarányos része végtelen gyakorisággal tőkésedik. A végtelen gyakoriságú kamatszámítást folytonos kamatszámításnak nevezzük. Behelyettesítve a 4.9-es képletbe megkapjuk a befektető hozamának határértékét. (4.10) 52,110100 1,0 =∗ e

Ha végtelen gyakorisággal számolnánk el a 10%-os éves kamat időarányos részét, akkor az év végén 110,52 Ft-unk lenne, a hozamunk pedig 10,52%. (110,52/100-1) Látható, hogy ez a havi kamatelszámoláshoz képest már csak 5 bázispontos emelkedést jelentene. 4.3 Példa

Egy tőzsdei befektető három befektetésének az adatait mutatja az alábbi táblázat. A vételi és az eladási árfolyamok már tartalmazzák a brókercég által levont tranzakciós költségeket is. Tételezzük fel, hogy a vonatkozó időszakban osztalékfizetés nem volt. Mekkora az időszaki hozam és hány év volt az egyes befektetések időtartama? Évesítse az időszaki hozamot a három módszer szerint! Megnevezés Matáv OTP Richter Vétel 2003.05.19 878 2002.10.10 1 828 2003.06.13 16 945Eladás 2003.07.30 824 2003.07.30 2 201 2003.07.30 18 305

Először számoljuk ki az időszaki hozamokat!

(4.11)

%03,811694518305

%40,20118282201

%15,618788241

0

1

=−=

=−=

−=−=−=

Richter

OTP

Matáv

r

r

PPr

Látható, hogy a befektetési periódus alatt a Matáv-os befektetés eredeti tőkéje 6,15%-t elvesztette, az OTP és a Richter 20,40%-os, illetve 8,03%-os hozamot realizált. Az nem kérdés, hogy a vonatkozó időszak alatt a Matáv veszteséget hozott, de vajon melyik volt jobb befektetés, a Richter vagy az OTP? Az OTP-nek nagyobb az időszaki hozama, mint a Richter-nek, de a befektetési periódus is jóval hosszabb volt. Annak érdekében, hogy eldönthessük a kérdést, érdemes évesíteni a hozamokat. Először azonban számoljuk ki a befektetési periódust, angol kamatszámítást használva!

(4.12) 129,0365/)301630(

803,0365/)3030313031283131301031(197,0365/)30301931(

=+−=

=+++++++++−=

=++−=

Richter

OTP

Matáv

ttt

Most számoljuk ki a nominális hozamokat!

8


(4.13)

%25,62129,0

%03,8

%40,25803,0

%40,20

%22,31197,0

%15,6110

1

==

==

−=−

==∗

−=

Richtern

OTPn

Matávn

r

r

tr

tPPr

Ha a befektetés hozamát feléljük, (illetve negatív hozam esetén kipótoljuk a veszteséget) továbbá mindig az időszaki hozam mal fektetjük be a pénzünket, éves szinten 62,25%-os hozamot érünk el a Richterrel, 25,40%-os hozamot az OTP-vel és tőkénk 31,22%-t vesztjük el a Matávval. A nominális hozam gyakorlatilag lineáris kivetítése az időszaki hozamnak, amit a 4.1. ábra mutat. A nominális hozam alkalmazása a tőzsdei befektetések esetében nem életszerű, mivel a tőke hozamát újrabefektetik. Most számoljuk ki az effektív hozamot!

(4.14)

( ) ( )

( )( ) %98,811%03,81

%01,261%40,201

%54,271%15,61111

129,0

803,0

197,0

1

0

1

=−+=

=−+=

−=−−=−+=−

=

Richtere

OTPe

tt

Matáve

r

r

rPPr

A nominális hozamrátával összehasonlítva látható, hogy az effektív hozamráták nagyobbak, mint a nominális hozamráták. Ez azért van, mivel az új befektetési periódusban a hozammal korrigált értéket fektetjük be. Ha a hozam negatív, akkor a következő periódusban kevesebb tőkét fektetünk be, és kevesebbet vesztünk, mint a nominális hozamrátaszámítás esetén. Pozitív hozam esetében a következő periódusban

4.1 Ábra

Az időszaki hozam évesítése a nominális módszerrel

40%

20%

-20%

-40%

60%

-6,15%

8,03%20,4%

62,25%

25,40%

-31,22%

Hozam

Idő

1 Év

9


már a hozammal növelt értéket fektetjük be újra, így a következő periódusban nagyobb lesz a tőkénk növekedése, mint nominális hozamráta-számítás esetében. Az effektív hozamszámítás évesítési módszerét a 4.2. ábra mutatja. A nominális és az effektív ho zam közötti különbség annál nagyobb, minél nagyobb az időszaki hozam abszolút értéke, és minél rövidebb a befektetési periódus. Az effektív hozamot a képen látható viselkedése miatt exponenciális hozamnak is nevezik. Látható, hogy az OTP esetében a különbség csak 61 bázispont, míg a Richter esetében már 1973 bázispont. A tőzsdei befektetések esetében nem célszerű használni az effektív hozamszámítást. A befektetők ugyanis az időarányos hozamot nemcsak meghatározott időközönként, hanem gyakorlatilag bármikor realizálhatják. Végül számoljuk ki a kamatintenzitásokat!

(4.15)

( ) ( )

( )

( ) %88,59129,0

%03,81ln

%12,23803,0

%40,201ln

%22,32197,0

%15,61ln1lnln

0

1

=+

=

=+

=

−=−

=+

=

=

Richteri

OTPi

Matávi

r

tr

tPP

r

A kamatintenzitások adják a legalacsonyabb évesített hozamokat, aminek az oka az, hogy a hozamok évesítése logaritmikus függvény szerint történik.

4.2 Ábra

Az időszaki hozam évesítése az effektív hozamszámítás módszerével

40%

20%

-20%

-40%

60%

80%

1 Év

Hozam

8,03%

-6,15%

20,4%

-27,54%

26,01%

81,98%

Idő

10


Az időszaki hozam évesítése kamatintenzitással

40%

20%

-20%

-40%

60%

80%

1 Év

Hozam

8,03%

-6,15%

20,4%

-32,22%

23,12%

59,88%

Idő

Az évesített hozamok viselkedését a 4.3 ábra mutatja. A kamatintenzitás használatának fő terepe pontosan a tőzsdei befektetések (illetve minden olyan befektetés, ahol a befektetés nagyon likvid és a hozam bármikor realizálható). A kamatintenzitásnak azonban van egy nagyon hasznos tulajdonsága is, ami miatt a portfólió hozamának kiszámolásakor csak ez a hozamkategória használható. A kamatintenzitás előnyös tulajdonságát egy egyszerű példán keresztül mutatjuk be. 4.4 Példa

Tételezzük fel, hogy két éve vásároltunk egy részvényt 100-ért. 1 év múlva az ára 200 volt, és most újra lecsökkent 100-ra. A befektetés futamideje alatt osztalékfizetés nem történt. Mekkora volt a befektetés hozama az egyes években, és mekkora az átlagos hozam?

Ha a befektetés időtartama pontosan 1 év, a nominális és az effektív hozam megegyezik. Az első esetben az időszaki hozamot 1-el kell osztani, az effektív hozamszámítás esetében pedig 1-re kell emelni. A számítást a 4.3 Táblázat mutatja. 4.3 Táblázat

Megnevezés Nominális vagy lineáris hozam

Effektív vagy exponenciális hozam

Kamatintenzitás

Képlete tP

Prn11

0

1 ∗

−= 1

1

0

1 −

=

t

e PPr tP

Pri1ln

0

1 ∗

=

1. Év 100% 100% ln(2)=69,3% 2. Év -50% -50% ln(1/2)=-69,3% Átlag (100%-50)/2=25% (100%-50)/2=25% (69,3%-69,3)/2=0% A nominális és az effektív hozamszámítás nem adott helyes átlagot, hiszen a valós hozam 0%. 100-t fektettünk be és két és múlva is 100-ért tudjuk eladni a részvényt. Csak a kamatintenzitásból számolt hozamok számtani átlaga adja meg torzítatlanul az átlagos hozamot.

4.3 Ábra

11


A valós 0%-os átlagos hozamot megkaphattuk volna az effektív hozamokból is, csak akkor nem számtani, hanem mértani átlagot kell alkalmazni a következő képlet alapján:

(4.16) ( ) 111

−+= ∏=

T

n

j

tjg

jrr

Ahol rj – a befektetés j-dik időszaki hozama, tj – a j-dik befektetési periódus hossza években, T– a teljes befektetési időtartam, n – a befektetési időtartam alatt a befektetési periódusok száma. Behelyettesítve a 4.16-os képletbe megkapjuk a 0%-t.

(4.17) ( ) ( ) ( ) %01%501*%100111 2 11

1

=−−+=−+= ∏=

T

n

j

tjg

jrr

A 4.16-os képlettel nemcsak az a baj, hogy sokkal nehezebben kezelhető. Később meg fogjuk látni, hogy a befektetés kockázatát a hozamok szórásával mérjük, a szóráshoz pedig a számtani átlagra van szükségünk. De láttuk, hogy az effektív hozamokból számolt számtani átlag nem torzítatlan, így a kockázat mérőszáma is torzított lenne, ha ezt a hozamszámítást alkalmaznánk. 4.1.2. Kötvények hozamszámítása Az előzőekben olyan befektetések hozamszámítását néztük meg, melyek rövid lejáratúak, és csak egy pénzáramuk van a befektetés likvidálásakor. Mi van azonban akkor, ha a befektetést hosszú ideig szándékozunk tartani (lehet, hogy nem is tudjuk lejárat előtt értékesíteni), másrészt a futamidő alatt többször kapunk pénzáramot? Erre legjellemzőbb példa a kötvények, melyek árfolyamszámítását az 1. fejezetben tekintettük át. Azonban a kötvények mellett még a zárt végű befektetési jegyek, a unit-linked életbiztosítások, a tőzsdei forgalomba nem kerülő részvények, az ingatlanbefektetések, a hosszú lejáratú bankbetétek, azaz minden illikvid befektetés esetében megfogalmazható a probléma. A fenti problémák pontos megoldására a 4.1 képlet szolgál. Azonban manuálisan nagyon nehéz kiszámítani az összeget, ezért néhány közelítő módszer is használatos. 4.1.2.1. A hozam(ráta)számítás közelítő képletei A hozamszámítás esetében tételezzük fel, hogy ismerjük a meghatározott, szabályos időszakonként kapott pénzáramlásokat, továbbá a befektetett összeget egy összegben a lejáratkor fizetik ki az utolsó esedékes hozammal. A legjellemzőbb példája ennek a fix kamatozású államkötvény. 4.5 Példa

12


A 2003/J állampapírt 2000. január 20-án bocsátották ki. Félévente fizetett kamatot. Április 12-én 4,99%-ot, október 12-én 5,01%-ot. A kamatfizetés mértéke azért volt egy árnyalattal kisebb az első időszakban, mivel az októbertől áprilisig terjedő időszakban kevesebb nap van (182 nap), mint az áprilistól októberig tartó időintervallumban (183 nap). A kötvény lejárata 2003. április 12. volt. Tételezzük fel, hogy egy befektető 2000. április 12-én vásárolta meg a kötvényt 95%-os árfolyamon. Mekkora éves hozamot realizált a befektetésen, ha azt a lejáratig megtartotta?

Az első közelítő hozamráta az állampapír névleges hozama. A kötvényre az adott évben fizetett kamatok nagyságát osztjuk a kötvény év elején fennálló névértékével. Mivel ebben az esetben a kötvényt teljes egészében a lejáratkor törlesztik, a névértéke a futamidő alatt végig 100%. A névleges kamatszámítás számítása a következő képlet szerint történik:

(4.18) N

Ir

n

ii

n

∑== 1

Ahol, N – a kötvény névértéke (mindig 100%) Ii – a kötvény i-dik időpontban fizetett kamata a névérték %-ban rn – névleges hozam n – az adott évben fizetett kamatok száma (féléves kamatfizetési gyakoriság esetén 2) Behelyettesítve a 4.18-as képletbe, kapjuk:

(4.19) %10%100

%01,5%99,41 =+

==∑=

N

Ir

n

ii

n

A névleges hozam akkor tényleges hozama az adott értékpapírnak, ha 1. a kamatfizetés gyakorisága éves, 2. a kötvényt egy évvel a következő kamatfizetés előtt névértéken vásároljuk meg, 3. a kötvény tőkerészét egy összegben lejáratkor kapjuk meg.

Az állampapírokra Magyarországon azonban általában félévente fizetnek kamatot (mint ebben az esetben is), továbbá a kibocsátás után, mivel igen likvid másodlagos piacok van, nettó, felhalmozott kamattól tisztított árfolyamuk eltér a névértéktől. Az első fejezetben láttuk, hogyha a nettó árfolyam a névérték felett van (ázsió), akkor a tényleges hozam alacsonyabb, mint a névleges, ha a nettó árfolyam a névérték alatt van (diszázsió), a tényleges hozam a magasabb. A befektető természetesen a hozamot nem a névértékre, hanem a befektetett összegre várja el. Ha a kötvényre éves szinten kifizetett kamatokat a nettó árfolyam %-ban fejezzük ki, akkor kapjuk az egyszerű hozamot.

13


Képlettel:

(4.20) P

Ir

n

ii

s

∑== 1

Ahol, P – a kötvény nettó árfolyama a névérték százalékában Ii – a kötvény i-dik időpontban fizetett kamata a névérték %-ban rs – egyszerű hozam n – az adott évben fizetett kamatok száma A névleges hozam akkor tényleges hozama az adott értékpapírnak, ha

1. a kamatfizetés gyakorisága éves, 2. a kötvényt egy évvel a következő kamatfizetés előtt vásároljuk meg, 3. a kötvény örökjáradékos (nincs lejárata).

Behelyettesítve a 4.20-as képletbe, kapjuk:

(4.21) %52,10%95

%01,5%99,41 =+

==∑=

P

Ir

n

ii

s

Mivel a kamat nagyságát mindig a névérték százalékában határozzák meg, ha névérték alatti nettó árfolyamon vásárolunk, akkor árfolyamnyereséget is realizálunk (hiszen a kötvény a névértéket fogja visszafizetni lejáratkor.) Az egyszerű hozam eltekint az árfolyamnyereségtől (vagy –veszteségtől), ezért csak akkor ad pontos képet a tényleges hozamról, ha az árfolyamnyereséget sohasem realizáljuk, azaz a kötvény örökjáradékos. Ha a kötvény nem örökjáradékos, és tekintetbe akarjuk venni az árfolyamváltozást is a hozamráta-számítás esetén, akkor alkalmazhatjuk a korrigált hozamszámítás képletét. A korrigált hozamszámítás esetén az egyszerű hozamot korrigáljuk a lejáratkor realizált árfolyamnyereség (-veszteség) egy évre jutó részével az árfolyam százalékában. Nem mindegy ugyanis az éves hozam számítása szempontjából, hogy az árfolyamnyereség hány év között oszlik meg. Minél rövidebb az értékpapír lejárata, annál jelentősebb az árfolyamnyereség szerepe. Képlettel:

(4.22) Pn

PN

rr sc

−

+=

Ahol, P – a kötvény nettó árfolyama a névérték százalékában, N – a kötvény névértéke (mindig 100%), rs – egyszerű hozam, rc – korrigált hozam,

14


n – lejáratig hátralévő idő években. Behelyettesítve a 4.21-es képletbe, kapjuk:

(4.23) %27,12%95

3%95%100

%52,10 =

−

+=

−

+=Pn

PN

rr sc

A korrigált hozam sohasem adhat pontos eredményt, hiszen azt feltételezi, hogy az árfolyamnyereség (vagy –veszteség) időarányos részét minden évben megkapjuk. Mivel ezt csak az értékpapír lejáratakor realizáljuk, a korrigált hozam egy kicsit mindig felülbecsli az árfolyamnyereség hatását. A túlbecslés annál jelentősebb, minél hosszabb az értékpapír lejárata. A tényleges hozam kiszámításához a 4.1 képletbe kell behelyettesítenünk. A következőket írhatjuk:

(4.24) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )35,225,115,0 1%99,104

1%01,5

1%99,4

1%01,5

1%99,4

1%01,5:%95

rrrrrr ++

++

++

++

++

+=

A képletet nem tudjuk zárt alakban felírni. Használhatjuk viszont az Excel beépített függvényét az XIRR függvényt a feladat megoldására. Az XIRR függvény a nem ütemezett pénzáramok belső megtérülési rátáját is ki tudja számolni. Két bemenő paramétere van, a pénzáramok tartománya és a pénzáramok esedékességének a tartománya. Ha a kötvény árfolyamát negatív előjellel vesszük fel, iterációs eljárással az XIRR függvény kiszámítja a kötvény belső megtérülési rátáját. (Az XIRR függvény működtetéséhez szintén szükséges az Analysis Toolpack makrobővítmény.) A számítást a 4.4 Táblázat tartalmazza. 4.4 Táblázat Pénzáramok Névérték %-ban DátumÁrfolyam -95% 2000.04.12

5,01% 2000.10.124,99% 2001.04.125,01% 2001.10.124,99% 2002.04.125,01% 2002.10.12

Kamat+Tőke 104,99% 2003.04.12Belső megtérülési ráta 12,40%

Kamatok

A befektetés tényleges hozama 12,4%. A tényleges hozam azért lett magasabb, mint a korrigált hozam, mivel a kamatokat nem évente fizetik ki, hanem félévente és a képlet feltételezi, hogy a kapott kamatokat is 12,4%-os hozammal tudjuk újra befektetni. A tényleges hozamszámításra van egy közelítő képlet is, mely a névleges hozam és az árfolyamnyereség 1 évre jutó összegét osztja a névérték és az árfolyam egy súlyozott átlagával.

15


A súlyok nagyságát nem támasztja alá tudományos indoklás, ezért az alábbi képletet csak akkor alkalmazzuk, ha nincs lehetőségünk alkalmazni az XIRR függvényt. A tényleges hozam közelítő képlete a következő:

(4.25) NP

nPNr

IRRn

e *4,0*6,0 +

−+

=

Ahol, P – a kötvény nettó árfolyama a névérték százalékában, N – a kötvény névértéke (mindig 100%), rn – névleges hozam, n – lejáratig hátralévő évek száma,

IRRe – a becsült tényleges hozam. Helyettesítsünk be a 4.25-ös képletbe!

(4.26) %03,12%100*4,0%95*6,0

3%95%100%10

*4,0*6,0=

+

−+

=+

−+

=NP

nPNr

IRRn

e

A képlet rosszabb eredményt adott a tényleges hozamra, mint a korrigált hozam. 4.1.2.2. Hozamráta számítás IRR-nél különböző újrabefektetési rátánál Ha tudjuk, hogy mekkora a kapott kamatok és tőkerészletek újrabefektetési rátája, a problémát két részletben oldjuk meg:

1. A kötvény pénzáramlásait jövőértékszámítással elemi kötvénnyé transzformáljuk3. 2. Kiszámoljuk az elemi kötvény hozamát.

Nézzük meg a számítást egy konkrét példán keresztül! 4.6 Példa

2003. július 25-én vásároltunk egy 2005/E államkötvényt. A kötvény nettó eladási árfolyama 96,95% volt, a felhalmozott kamat nagysága 1,87%. A kötvény kamatlába évi 9,25%, amit két részletben fizetnek ki: május 12-én 4,59%-ot, november 12-én pedig 4,66%-ot. A kötvény 2005. május 12-én jár le. A következőt tételezzük fel a kapott kamatok befektetési rátájáról. Időszak 2003.07.25 –

2003.11.11 2003.11.12 – 2004.05.11

2004.05.12 – 2004.11.11

2004.11.12 – 2005.05.11

Újrabefektetési ráta 7,25% 7,00% 6,00% 5,50% Mekkora tényleges hozammal fektettük be a pénzünket?

Alakítsuk át a kötvény pénzáramlását elemi kötvénnyé. Ehhez feltételezzük, hogy a hozamokat valóban befektetjük a példa táblázatában szereplő éves kamatlábon. A feladat egy jövőérték-számítás, ahol figyelembe kell venni, hogy különböző időszakokban más és más az elérhető hozam. Mekkora összeg fog a rendelkezésünkre állni 2005. május 12-én? 3 Elemi kötvény olyan értékpapír, aminek csak egy kifizetése van

16


(4.27)

%34,119%59,104%79,4%86,4%10,5

%59,1042%5,51*%66,4

2%5,51*

2%00,61*%59,4

2%5,51*

2%0,61*

2%0,71*%66,4

=+++

=+

++

+

+

+

+

+

+=FV

Az első kamatot 2003. november 12-én kapjuk meg, ez három időszakot kamatozik. 2004. május 12-ig 7%-al, 2004. november 12-ig 6%-al, majd utána 2005. május 12-ig 5,5%-al. A 2004. májusi már csak két, a 2004 novemberi pedig csak egy félévet fog kamatozni. Lejáratkor a névértéket és a rá eső 4,59%-os kamatot fogjuk megkapni. Ha becsléseink pontosnak bizonyulnak, és minden fillért azonnal befektetünk, lejáratkor a névérték 119,34%-a fog a rendelkezésünkre állni. Ez a kötvény pénzáramlásának megfelelő elemi kötvény értéke. Elemi kötvény tényleges hozamát ezek után már nem nehéz meghatározni.

(4.28) 10

1 −= TPPIRR

Ahol, P1 – az elemi kötvény lejáratkori értéke, P0 – a befektetett összeg (a kötvény bruttó árfolyama), T – a befektetéstől a lejáratig eltelt idő években. Határozzuk meg a befektetési periódust! Lesz egy teljes évünk 2004. május 12-től 2005. május 12-ig, és egy tört évünk 2003. július 25-től 2004. május 12-ig. T=(31-25+31+30+31+30+31+31+28+31+30+12)/365 év + 1 év = 1,80 év. Behelyettesítve a 4.27-es képletbe, kapjuk:

(4.29) %05,111%82,98%34,119

80,1 =−=IRR

A kötvény tényleges hozama tehát 11,05% lesz, ha az újrabefektetési kamatlábakra vonatkozó becsléseink helyesek. Azt, hogy hogyan lehet a jövőbeli hozamrátákat megbecsülni, majd az 5. fejezetben fogjuk megvizsgálni. Az elemi kötvények esetében érdemes még egy hozamszámítást megnézni. Ez a diszkont kincstárjegyek hozamszámítása. A számításnak az érdekessége, hogy lejáratkor mindig 100%-ot kapunk, ezért P1=1-el. A diszkont kincstárjegy időszaki hozamát a 4.30-as képlettel számolhatjuk ki.

(4.30) PPr −

=%100

Ahol, P – a diszkont kincstárjegy árfolyama a névérték %-ban, r – időszaki hozam,

17


4.7 Példa Egy diszkont kincstárjegy árfolyama július 25-én 97,03%. A következő év január 30-án fog lejárni. Mekkora az időszaki hozam? A három évesítési módszerrel mekkora hozamokat kapunk? Melyik esetben, melyiket alkalmazzuk?


(4.31) %06,3%03,97

%03,97%100%100=

−=

−=

PPr

A diszkont kincstárjegy időszaki hozama 3,06%. A befektetési periódus értéke: (31-25+31+30+30)/365=0,266 A három évesítési módszerrel kapott hozamot a 4.5 táblázat tartalmazza. 4.5 Táblázat Megnevezés Nominális vagy

lineáris hozam Effektív vagy

exponenciális hozam Kamatintenzitás

Képlete

trrn =

( ) 11 −+= re rr ( )

trri

+=

1ln

Eredmény 3,06%/0,266=11,5% 1,03060,266-1=12,0% ln(1,0306)/0,266=11,3% Hozamot nem

forgatjuk vissza Hozamot

visszaforgatjuk Folytonosan realizáljuk

az időarányos éves hozamot.

Feltétel

Az időszaki hozam változatlan marad az év folyamán. 4.1.2.3. Az átlagos hozam kiszámítása A 4.1.1.1. alfejezetben már láttuk, hogy igazából csak a kamatintenzitás segítségével tudjuk meghatározni a befektetéseink átlagos hozamát. Most azt a problémát vizsgáljuk meg, hogyha egy időszak alatt különböző befektetésekben volt a pénzünk, akkor hogyan tudjuk kiszámolni ezen befektetések átlagos hozamát és azok szóródását. 4.8 Példa

2000. október 3-án vásároltunk 100 millió forintért 92,41%-os árfolyamon D010808 diszkont kincstárjegyet. Ezt a kincstárjegyet a következő év március 13-án eladtuk 95,09%-os árfolyamon, és vettünk D020123 diszkont kincstárjegyet 92,22%-os árfolyamon. Ezt a kincstárjegyet lejáratig megtartottuk, majd vettünk D021227 kincstárjegyet 93,24%-ért, amit szintén lejáratig tartottunk. Ekkor 92,85%-os áron vettünk D030611 kincstárjegyet, amit szintén lejáratig tartottuk. Mekkora volt a befektetésen elért átlagos hozam?

Az egyes tranzakciókat a 4.6-os táblázat mutatja: 4.6 Táblázat Vétel dátuma Vételi árfolyam Eladás

dátuma Eladási árfolyam

2000.10.03 92,41% 2001.03.13 95,09%

18


2001.03.13 92,22% 2002.01.23 100%2002.01.23 93,24% 2002.12.27 100%2002.12.27 92,85% 2003.06.11 100%

Először számoljuk ki a példát a 4.6 Példában már ismertetett módszerrel. Kiszámoljuk, hogy pénzünk mekkora összegre növekedett 2003. június 11-ig, majd behelyettesítünk a 4.28-as képletbe.

(4.32) 89,128%85,92

%100*%24,93

%100*%22,92

%100*%41,92%09,95*100 ==FV

Számoljuk ki most a befektetés időtartamát! t = (31 – 3 + 30 + 31 + 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 11)/365 + 2 = 2,69 év

(4.33) %89,91100

89,128=−= tIRR

Ha az effektív kamatszámítás képletét alkalmazzuk, akkor 9,89%-os éves hozam adódik. Használjuk most a folytonos kamatszámítás képletét! Ekkor a következő éves hozamot kapjuk.

(4.34) %44,969,2

10089,128ln

=

=ir

Ezt a 9,44%-os hozamot az egyes periódusok hozamainak átlagaként is megkaphatjuk. Jelölje tj a j-dik befektetési periódus időtartamát, rj – a j-dik periódusban elért folytonos hozamot, T a teljes befektetési időtartam hosszát, Pj

0 – a j-dik periódus kezdeti befektetett összeget, Pj

1 – a j-dik periódus végi befektetett összeget, n – a befektetési periódusok teljes számát. Használjuk ki azt, hogy a periódus végi összeg, megegyezik a következő periódus kezdeti befektetett összeggel.

(4.35) T

PP

PP

PP

TPP

PP

PP

TPP

r n

n

n

nn

i

+

+

=

=

=0

1

02

12

01

11

0

1

02

12

01

11

01

1

ln...lnln*......*lnln

Ha átrendezzük a kamatintenzitás képletét, kapjuk:

(4.36) trPP

tPP

r ii *lnln

0

10

1

=

⇒

=

Behelyettesítve a 4.35-ös képletbe a 4.36-os képletet, kapjuk:

(4.37) ∑ ∑= =

==++

=n

J

n

ijj

jj

nni rw

Tt

rT

trtrtrr1 1

2211 ***...**

19


Látható, hogy az időszaki kamatintenzitások súlyozott átlaga megadja nekünk a teljes befektetés időszakára vonatkozó kamatintenzitást. Nézzük ezt meg a konkrét példánkon. A számításokat a 4.7-es táblázat mutatja: 4.7 Táblázat Befektetés Időszaki

hozam Befektetési

periódus Kamat-

intenzitás Súly Súly *

Intenzitás I. 2,90% 0,44 6,48% 16,41% 1,06% II. 8,44% 0,87 9,36% 32,21% 3,01% III. 7,25% 0,93 7,56% 34,45% 2,60% IV. 7,70% 0,45 16,31% 16,92% 2,76%

2,69 9,44% Az egyes számok kalkulációját az I. befektetés példáján mutatom be:

1. Időszaki hozam = 95,09%/92,41%= 2,90% 2. Befektetési periódus = (31-3+30+31+31+28+13)/365=0,44 3. Kamatintenzitás = (1+2,9%)/0,44= 6,48% 4. Súly = 0,44/2,69= 16,41% 5. Súly*Intenzitás = 16,41%*6,48%= 1,06%

4.1.3. Portfólió hozamának kiszámítása Az előző alfejezetben használt átlaghozam-számítási módszerben csak a lekötési időtől függött a súly nagysága. Ez azért volt, mert a pénzünk

1. egyszerre csak egyfajta eszközben volt lekötve, 2. a befektetéseink elemi kötvények voltak, azaz a befektetési időszakok alatt nem

realizáltunk hozamot, 3. a befektetett összeg csak a hozamok miatt változott.

Most oldjuk fel ezeket a feltételezéseket! Nézzük meg, hogy egy több eszközt tartalmazó portfólió esetében hogyan tudjuk kiszámítani a portfólió hozamát, illetve meghatározni azt, hogy az egyes részbefektetéseink hogyan járultak hozzá a portfólió hozamához. 4.9 Példa

Befektetési portfóliónk alakulását 2002. július 25. és 2003. július 30. között az alábbi táblázat mutatja. A táblázat első oszlopa a befektetés sorszámát, a második az eszköz megnevezését, a harmadik a vétel dátumát, a negyedik a befektetett összeget millió forintban, az ötödik a vételi árfolyamot forintban, ami magában foglalja a felmerülő tranzakciós költségeket is (brókeri díj, kezelési költség, stb.), a hatodik az eladás dátumát, a hetedik az eladási árfolyamot levonva belőle a felmerülő tranzakciós költségeket, míg a hátralévő oszlopok az adott eszközre a befektetési periódus alatt fizetett kamatok/osztalékok nagyságát és azok esedékességét mutatja.

20


Befek-tetés Vétel dátuma

Összeg (MFt)

Vételi árfolyam

(Ft)

Eladás dátuma

Eladási árfolyam (Ft)

Kamat/oszta-

lék

Kamat/osz-talék

időpontja

1 Richter 2002.07.25 100,00 14 170 2003.05.19 15 820 2 OTP 2002.07.25 50,00 2 040 2003.03.18 2 212 3 2004/I 2002.07.25 75,00 10 327 2003.07.30 10 360 4,51%

4,49% 2002.10.12 2003.04.12

4 D030611 2002.07.25 40,00 9 285 2003.06.11 10 000 5 Bankbetét 2002.10.12 3,28 1 2003.03.18 1,03 6%* 6 Matáv 2003.03.18 57,58 772 2003.07.30 824 12% 2003.07.01 7 Richter 2003.04.14 3,26 15 075 2003.05.19 15 820 8 Matáv 2003.05.19 115,07 838 2003.07.30 824 12% 2003.07.01 9 Készpénz 2003.06.11 43,08 1 2003.07.30 1

10 Készpénz 2003.07.01 2,49 1 2003.07.31 1 11 Matáv 2003.07.30 174,60 12 Készpénz 2003.07.30 45,62 295,41 13 2004/I 2003.07.30 75,24 A táblázat a következő történetet meséli el nekünk. 2002. július 25-én 4 eszközbe fektettük a pénzünket. Vettünk Richter részvényt (1) 100 millió forintért, OTP részvényt (2) 50 millió forint értékben, 2004/I államkötvényt (3) 75 millió forintért és 2003. június 11-én lejáró diszkont kincstárjegyet (4) 40 millióért. Összesen befektettünk 265 millió forintot. Időrendben követve az eseményeket, először október 12-én megkaptuk az államkötvénynek (3) esedékes kamatát. Ennek összege 75/10327*10000*4,51%=3,28 millió forint volt. (Az állampapírok és a diszkont kincstárjegyek névértéke 10000 Ft.) Ezt bankbetétbe helyeztük, és lekötöttük 2003. március 18-ig (5). (Mivel kiemelt ügyfelek vagyunk a bank számára, lehetőségünk van egyedi lejárati terminusokat is kikötnünk.) A bankbetét kamata évi 6%. Március 18-án a számlán lévő összeg 1*6%*(31-12+30+31+31+28+18)/365=1,03 szorosára emelkedett. Március 18-án eladtuk OTP részvényeinket és a bankbetétünkkel együtt befektettük Matáv részvénybe (6). Összesen 3,28*1,03+ 50/2040*2212=57,58 millió forintot fektettünk be. Április 12-én megkaptuk az állampapír következő kamatát,75/10327*10000*4,49%=3,26 millió forintot, amiért Richter részvényt vettünk (7). A Richter részvényeket május 19-én eladtuk, és mivel úgy gondoltuk, hogy a Matáv lesz a nyerő, a Richter eladásából befolyt összeget (3,26/15075*15820 + 100/14170*15820 =115,07 millió forintot) is ebbe fektettük (8). Közben a diszkont kincstárjegy június 11-én lejárt, de elfelejtkeztünk róla, és azóta készpénzben áll a pénzünk. (10) Az összeg nagysága:40/9285*10000=43,08 millió forint, amihez jön a Matáv osztaléka, amit szintén nem fektettünk be még (115,07/838*100*12%+57,58/772*12%=2,55) (9-10).

21


A befektetési periódus végi pénzösszegeket a 11-13-as sorok tartalmazzák. Van Matáv részvényünk 174,6 MFt értékben (115,07/838*824+57,58/772*824), készpénzünk (a 9-es és a 10-es sorok összege), továbbá 2004/I kötvényünk 75,24 MFt értékben (75/10327/10360). Mekkora volt az elmúlt durva egy évben portfóliónk hozama? Melyik befektetések teljesítettek jobban és rosszabbul, mint az átlag?

A kamatintenzitással nem tudjuk a portfólió elemeinek hozamaiból összerakni a portfólió hozamát, ez sikerülhet a nominális hozammal. Igaz a következő összefüggés:

(4.38) ∑ ∑∑

= =

===

−

=∗

−=

n

j

n

Jj

jn

jjj

n

jj

n

j jj

jj

n wrTPPt

rTP

PttP

PP

TPPPr

1 10

0

0

01 0

01

0

01 **

**

*

**1*1

Ahol, P0 – a portfólió értéke a befektetési periódus kezdetén, T – a teljes befektetési periódus hossza,

P1 – a portfólió értéke a befektetési periódus végén, n – a befektetések darabszáma a befektetési periódus alatt, tj - a j-dik befektetés időtartama P0

j – a j-dik befektetés összege P1

j – a j-dik befektetés hozammal növelt összege. A portfóliónk nominális hozamát megkaphatjuk az egyes befektetések nominális hozamainak súlyozott átlagaként. Az egyes befektetések súlyai pedig az adott befektetés időtartamának és induló összegének és a teljes portfólió induló értékének és a teljes portfólió befektetési periódusának aránya lesznek. Jelen esetben nem minden befektetésünk elemi kötvény, mivel mind az államkötvény, mind a Matáv részvény fizet osztalékot, és azokat újra be tudjuk fektetni, a súlyok összege nagyobb lesz, mint 1. A befektetésünk nominális hozamát a következőképpen számolhatjuk ki:

(4.39) %34,11370365*1

26546,2951*1

0

1 =

−=

−=

TPPrn

A 4.8-as táblázat az egyes befektetések hozamait mutatja:

22


4.8 Táblázat Sor-szám

Befektetés Összeg (MFt)

Időszaki hozam

Nominá-lis hozam

Befektetési periódus

Súly Hozam

1 Richter 100,00 11,64% 14,26% 0,82 30,39% 4,33% 2 OTP 50,00 8,43% 13,04% 0,65 12,03% 1,57% 3 2004/I 75,00 9,03% 8,91% 1,01 28,30% 2,52% 4 D030611 40,00 7,70% 8,76% 0,88 13,10% 1,15% 5 Bankbetét 3,28 2,58% 6,00% 0,43 0,52% 0,03% 6 Matáv 57,58 8,29% 22,58% 0,37 7,87% 1,78% 7 Richter 3,26 4,94% 51,54% 0,10 0,12% 0,06% 8 Matáv 115,07 -0,24% -1,21% 0,20 8,45% -0,10% 9 Készpénz 43,08 0,00% 0,00% 0,13 2,15% 0,00%

10 Készpénz 2,54 0,00% 0,00% 0,08 0,08% 0,00% Összesen 103,01% 11,34%

Az időszaki hozam kiszámításáról már volt szó az előző táblázat esetében. A nominális hozamot úgy kapjuk, hogy az időszaki hozamot osztjuk a befektetési periódussal. A súlyok nagysága úgy jön ki, hogy a befektetett összeg és a befektetési periódus szorzatát osztjuk a teljes portfólió indulási értékének és befektetési periódusának a szorzatával. Az első sor esetében ez (100*0,82/265/1,014=30,39%). A nominális hozam és a súlyok szorzata adja a hozamot, melynek összegei a portfólió teljes hozamát adják. A súlyok összege azért nem 1, mivel volt kamat és osztalékfizetés is bizonyos befektetéseken (Matáv, 2004/I). 4.1.4. Várható hozam kiszámítása Az előzőekben mindig múltban történt befektetések utólagos értékelésével foglalkoztunk. Arra voltunk kíváncsiak, hogy a múltban tett befektetéseink mekkora évesített hozamot hoztak számunkra. Most jövőbeli befektetések várható hozamának kiszámolásával fogunk foglalkozni. Ennek akkor van jelentősége, ha befektetésünknek a jövőben többféle hozama is lehetséges. Nézzünk először egy egyszerű példát! 4.10 Példa

Egy portfólió esetében a következő félévben várható hozamráták várható eloszlását az alábbi táblázat mutatja. Kimenet I. II. III. Valószínűség 30% 40% 30% Hozam (évi) 15% 20% 25%

Mekkora a várható hozamráta? Ha 100 millió forintot fektetünk be a portfólióba, mekkora összeg várható egy év múlva?

Tételezzük fel, hogy a hozamráták nominális hozamráták. A hozamráták valószínűségekkel súlyozott átlaga adja a várható hozamrátát. Képlettel:

23


(4.40) ( ) ∑=

=n

i

inin rprE

1*

Ahol, rn

i– az i-dik kimenet esetén a befektetés várható nominális hozamrátája, pi – az i-dik kimenet valószínűsége,

n – a kimenetek száma E(rn) – a nominális hozamráták várható értéke.

Behelyettesítve a 4.40-es képletbe, kapjuk: (4.41) ( ) %20%5,7%0,8%5,4%25*3,0%20*4,0%15*3,0 =++=++=nrE Ha 100 millió forintot fektetünk be, akkor félév múlva 110 millió forintunk lesz várhatóan. P0*(1+E(rn)*t) = 100*(1+0,2*0,5)=110 millió forint. Ezt az értéket kapjuk akkor is, ha a befektetés várható hozamainak számoljuk ki a súlyozott átlagát. 100*(0,3*(1+0,15*0,5)+0,4*(1+0,20*0,5)+0,3*(1+0,25*0,5)) = 110. Nominális hozamszámítás esetében tehát a hozamok várható értéke (2. eset) megegyezik a várható hozamrátával számolt hozammal (1. eset). Fontos tudni, hogy a fenti összefüggés csak a nominális hozamszámítás esetében igaz. Effektív hozamszámítás esetében a következő két értéket kapjuk: (4.42)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 53,10925,01*3,020,01*4,015,01*3,0*1001**

54,109%201*1001*

5,05,05,0

101

5,001

=+++++=+=

=+=+=

∑=

tie

n

ii

te

rpPP

rPP

Látható, hogy a hozamok várható értéke kisebb, mint a várható hozamrátával számolt hozam. Ugyanezt tapasztalhatjuk fordított előjellel a kamatintenzitással számolt hozamok esetében is. (4.43)

( ) 54,110*3,0*4,0*3,0*100**

52,110*100*

1

5,0*25,05,0*20,05,0*15,0*01

5,0*2,0*01

∑=

=++==

===n

i

tri

tr

eeeepPP

eePP

ii

i

i

Az alábbiakban összefoglaljuk a hozamszámítással kapcsolatos tanulságokat:

1. Ha egy portfólió időszaki hozamainak átlagát akarjuk kiszámolni, alkalmazzuk a folytonos kamatszámítást, azaz a kamatintenzitás képletét, mivel ez adja meg a hozamok torzítatlan átlagát.

2. Ha egy portfólió adott időszaki hozamának összetevőit akarjuk elemezni, alkalmazzuk a névleges kamatszámítást, mivel az egyes részbefektetések hozamainak súlyozott átlaga így adja meg a portfólió adott időszaki hozamát.

24


3. Ha egy portfólió jövőbeli várható hozamát akarjuk kiszámolni, megint alkalmazzuk a nominális kamatszámítás módszerét, mivel ez adja meg a jövőben várható hozamok torzítatlan átlagát.

4.2. Tőzsdei értékpapír hozama és kockázata Alábbiakban próbáljuk meg számszerűsíteni egy adott tőzsdei értékpapír múltbeli hozamát és kockázatát. A fenti fogalmakat e fejezet bevezetőjében már meghatároztuk, most nézzük meg, hogy hogyan tudjuk őket számszerűsíteni. Az átlagos hozamot a napi kamatintenzitások átlagaként kapjuk. Az értékpapír kockázatát pedig a kamatintenzitások szórásaként definiáljuk. 4.11 Példa

Tételezzük fel, hogy van Matáv részvényünk. Az adott részvény 2003. január-február havi záróárfolyamadatait az alábbi táblázat tartalmazza:

Dátum Záróárfolyam 2003.01.02 842 2003.01.03 858 2003.01.06 868 2003.01.07 864 2003.01.08 835 2003.01.09 830 2003.01.10 825 2003.01.13 847 2003.01.14 844 2003.01.15 840 2003.01.16 845 2003.01.17 840 2003.01.20 834 2003.01.21 830 2003.01.22 811 2003.01.23 833 2003.01.24 821 2003.01.27 809 2003.01.28 805 2003.01.29 801 2003.01.30 808 2003.01.31 791 2003.02.03 800

25


Dátum Záróárfolyam 2003.02.04 787 2003.02.05 770 2003.02.06 753 2003.02.07 783 2003.02.10 786 2003.02.11 791 2003.02.12 790 2003.02.13 785 2003.02.14 765 2003.02.17 756 2003.02.18 768 2003.02.19 759 2003.02.20 782 2003.02.21 775 2003.02.24 775 2003.02.25 757 2003.02.26 752 2003.02.27 746 2003.02.28 736

Számoljuk ki a Matáv részvény átlagos hozamát a vonatkozó időszak alatt és számszerűsítsük a részvény kockázatát!

Mivel egy adott értékpapír időbeli (napi) hozamait kell átlagolni, a kamatintenzitás módszerét választjuk. Kihasználjuk azt, hogy az ln(P1/P0) felírható a két szám logaritmusának különbségeként is ln(P1)-ln(P0). A tőzsdei hozamszámításnál a gyakorlat az, hogy nem veszik figyelembe a bankszünnapokat (nevezetesen azt, hogy akkor az árfolyamkülönbségből eredő hozam több nap között oszlik meg), hanem 250 napos évvel számolnak, mivel durván ennyi munkanap van egy évben. Az átlagos hozamráta kiszámításának menete a következő:

1. Kiszámoljuk a záróárfolyamok természetes logaritmusát. 2. Az előző napi záróárfolyam logaritmusát kivonjuk a tárgynapi záróárfolyam

logaritmusából, így megkapjuk az adott napi kamatintenzitást. (Ha tudni akarjuk, hogy ez mekkora éves hozamnak felel meg, csak megszorozzuk az értéket 250-el.)

3. A napi kamatintenzitásokból számolt számtani átlag lesz az adott időszakban elért átlagos hozam.

4. A napi kamatintenzitások szórása lesz a kockázat mérőszáma. A számítás menetét a 4.9-es táblázat tartalmazza:

26


4.9 Táblázat Dátum Záróárfolyam Záróárfolyamok

logaritmusa Logarimusok különbsége

2003.01.02 842,00 6,7358 n.a. 2003.01.03 858,00 6,7546 1,88%2003.01.06 868,00 6,7662 1,16%2003.01.07 864,00 6,7616 -0,46%2003.01.08 835,00 6,7274 -3,41%2003.01.09 830,00 6,7214 -0,60%2003.01.10 825,00 6,7154 -0,60%2003.01.13 847,00 6,7417 2,63%2003.01.14 844,00 6,7382 -0,35%2003.01.15 840,00 6,7334 -0,48%2003.01.16 845,00 6,7393 0,59%2003.01.17 840,00 6,7334 -0,59%2003.01.20 834,00 6,7262 -0,72%2003.01.21 830,00 6,7214 -0,48%2003.01.22 811,00 6,6983 -2,32%2003.01.23 833,00 6,7250 2,68%2003.01.24 821,00 6,7105 -1,45%2003.01.27 809,00 6,6958 -1,47%2003.01.28 805,00 6,6908 -0,50%2003.01.29 801,00 6,6859 -0,50%2003.01.30 808,00 6,6946 0,87%2003.01.31 791,00 6,6733 -2,13%2003.02.03 800,00 6,6846 1,13%2003.02.04 787,00 6,6682 -1,64%2003.02.05 770,00 6,6464 -2,18%2003.02.06 753,00 6,6241 -2,23%2003.02.07 783,00 6,6631 3,91%2003.02.10 786,00 6,6670 0,38%2003.02.11 791,00 6,6733 0,63%2003.02.12 790,00 6,6720 -0,13%2003.02.13 785,00 6,6657 -0,63%2003.02.14 765,00 6,6399 -2,58%2003.02.17 756,00 6,6280 -1,18%2003.02.18 768,00 6,6438 1,57%2003.02.19 759,00 6,6320 -1,18%

27


Dátum Záróárfolyam Záróárfolyamok logaritmusa

Logarimusok különbsége

2003.02.20 782,00 6,6619 2,99%2003.02.21 775,00 6,6529 -0,90%2003.02.24 775,00 6,6529 0,00%2003.02.25 757,00 6,6294 -2,35%2003.02.26 752,00 6,6227 -0,66%2003.02.27 746,00 6,6147 -0,80%2003.02.28 736,00 6,6012 -1,35%

Átlag -0,33%Szórás 1,62%Relatív szórás

-4,92

A napi kamatintenzitások kiszámítását az első két záróárfolyam-adaton keresztül mutatjuk be. 842 (2003. január 2.-i adat), ennek természetes alapú logaritmusa 6,7358 = ln(824). A január 3-i 858-as záróárfolyam természetes alapú logaritmusa 6,7546 = ln(858). A két adat különbsége 6,7546 – 6,7358 = +1,88% a napi kamatintenzitás. A többi érték ehhez hasonlóan számítható. A kamatintenzitások számtani átlaga -0,33%, ami azt jelenti, hogy átlagosan naponta ekkora hozamot realizálunk (negatív hozam esetében, ekkora a napi veszteségünk). A számtani átlagot az Excel ÁTLAG() beépített statisztikai függvényével számolhatjuk ki, amelynek argumentuma az a tartomány, ami az átlagolandó adatokat tartalmazza. Nézzük meg, hogy ez az átlag helyes-e. A napi kamatintenzitások száma 41. Az átlagos kamatintenzitás segítségével számoljuk ki a február 28-i záróárfolyamot.

(4.44) 4,735*842* 41*0033,0*01 === −eePP nr

A tényleges 736-hoz képesti eltérés az átlag kerekítésének következménye. Most nézzük meg a Matáv részvény január-február havi kockázatát. A szórás képletét alkalmazva a hozamokra az alábbi képletet kapjuk:

(4.45) [ ]∑=

−−

=n

jjr rr

ns

1

2*

11

Ahol, sr– a hozamok tapasztalati szórása, n – a napi hozamok száma rj – a j-dik napi hozamráta nagysága r – a napi hozamok számtani átlaga 41 darab adat esetében a szórás kiszámolása manuálisan meglehetősen időigényes folyamat. Az Excel beépített SZÓRÁS() függvényével azonban ez könnyen elvégezhető.

28


A függvény egyetlen argumentuma azon adatok tartománya, aminek a szórására kíváncsiak vagyunk. A 4.9-es táblázat alján látható a szórás értéke, ami 1,62%. A szám jelentése az, hogy a napi hozam átlagosan ennyivel tér el a hozamok átlagától. Mivel a szórás mértéke erősen függ az alapadatok nagyságrendjétől is, ezért a befektetések összehasonlíthatósága érdekében a hozamok szórását osztani szokták a hozamok átlagával. Ekkor kapjuk a relatív szórást, ami a Matáv részvény esetében -4,92 (1,62/(-0,33)).

4.3. Két elemből álló portfólió hozama és szórása Ha már ismerjük, hogy hogyan tudjuk kiszámolni egy értékpapír hozamát és szórását, nézzük meg, hogy lehet kiszámolni egy portfólió hozamát és szórását. Először nézzük a legegyszerűbb esetet; két olyan tőzsdei értékpapírból álló portfólió hozamát és szórását, amelyre a vonatkozó időszak alatt nem fizetnek kamatot és osztalékot. 4.12 Példa

Tételezzük fel, hogy portfóliónk két értékpapírból áll. 40 millió forintot fektettünk Richter részvénybe, és 60 milliót fektettünk OTP részvénybe. A részvényeket 2003. július 25-én vettük, és 30-án adtuk el. A részvények vételi, eladási és a közbeeső napokon a záróárfolyamait az alábbi táblázat tartalmazza: Dátum Ár OTP Richter

Befektetett összeg (mFt) 60 402003.07.25 Vételi ár 2167 180002003.07.28 Záróár 2205 182952003.07.29 Záróár 2190 183852003.07.30 Eladási ár 2201 18305

Számolja ki a két értékpapírból álló portfólió hozamát és szórását! Számoljuk ki először a 4.11-es példában már bemutatott módon a két értékpapír hozamát és szórását külön-külön. A számításokat a 4.10 Táblázat mutatja: 4.10 Táblázat Dátum OTP Richter 2003.07.28 1,74% 1,63%2003.07.29 -0,68% 0,49%2003.07.30 0,50% -0,44%

Átlag 0,52% 0,56%Szórás 1,21% 1,03%Rel. szórás 2,33 1,84A napi kamatintenzitás értékét úgy kapjuk, hogy a tárgyidőszaki árfolyam logaritmusából kivonom az előző napi árfolyam logaritmusát. Nézzük például az OTP július 30-i hozamát.

(4.46) 0050,0)2190ln()2201ln( =−=r

A kamatintenzitások számtani átlaga a következő:

29


(4.47) %56,0

3%44,0%49,0%63,1

%52,03

%50,0%68,0%74,1

=−+

=

=+−

=

Richter

OTP

r

r

A kamatintenzitások szórását pedig a következőképpen számolhatjuk ki: (4.48)

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] %03,1%56,0%44,0%56,0%49,0%56,0%63,1*21

%21,1%52,0%50,0%52,0%68,0%52,0%75,1*21

222

222

=−−+−+−=

=−+−−+−=

Richter

OTP

s

s

A relatív szórás a szórás és az átlag hányadosa.

(4.48) 84,1

%56,0%03,1

33,2%52,0%21,1

==

==

Richter

OTP

σ

σ

Egy kockázatkerülő befektető mindig arra törekszik, hogy adott kockázat mellett a legmagasabb hozamot érje el. Ezért végeredményben portfóliója várható relatív szórását szeretné csökkenteni. Majd meglátjuk, ha van a piacon kockázatmentes befektetési lehetőség, a fenti megfogalmazás úgy alakul át, hogy a racionális befektető az egységnyi kockázatra jutó kockázati prémiumot szeretné maximalizálni. Ha a befektetőnk úgy gondolja, hogy ami a múltban igaz volt, az a jövőben is igaz lesz, és nem alkothat portfóliót, hanem csak arról dönthet, hogy OTP részvényt vagy Richter részvényt vásárol a pénzéért, akkor az alacsonyabb relatív szórású Richter részvényt fogja választani, és összes pénzét ebbe fekteti. Azonban a pénzügyi befektetések csak legritkább esetben egymást kölcsönösen kizáró befektetések. Lehetséges az is, hogy OTP és Richter részvényt is vegyünk. A portfólió hozama a benne szereplő értékpapírok hozamának súlyozott számtani átlaga. A portfólió szórása a benne szereplő értékpapírok páronkénti kovarianciáinak súlyozott számtani átlagának négyzetgyöke. Képlettel:

30


Egy n elemű portfólió szórásnégyzete

Σ

wn2*sn

2w3*wn*Cov(r1;r2)w2*wn*Cov(r1;r2)w1*wn*Cov(r1;r2)n

…....

w3*wn*Cov(r1;r2)w32*s3

2w2*w3*Cov(r1;r2)w1*w3*Cov(r1;r2)3

w2*wn*Cov(r1;r2)w2*w3*Cov(r1;r2)w22*s2

2w1*w2*Cov(r1;r2)2

w1*wn*Cov(r1;r2)w1*w3*Cov(r1;r2)w1*w2*Cov(r1;r2)w12*s1

21

n..321Érték-papír

Σ

wn2*sn

2w3*wn*Cov(r1;r2)w2*wn*Cov(r1;r2)w1*wn*Cov(r1;r2)n

…....

w3*wn*Cov(r1;r2)w32*s3

2w2*w3*Cov(r1;r2)w1*w3*Cov(r1;r2)3

w2*wn*Cov(r1;r2)w2*w3*Cov(r1;r2)w22*s2

2w1*w2*Cov(r1;r2)2

w1*wn*Cov(r1;r2)w1*w3*Cov(r1;r2)w1*w2*Cov(r1;r2)w12*s1

21

n..321Érték-papír

sp2

(4.49) ∑∑

∑

= =

=

=

=

n

i

n

jjijip

n

iiip

rrCovwws

rwr

1 1

1

);(**

*

Ahol, sp– a portfólió szórása, n – a portfólióban szereplő különböző értékpapírok száma, rp – a portfólió hozama, wi, wj – a portfóliósúlyok Cov(ri;rj) - az i-dik és a j-dik értékpapír közötti kovariancia. Az i-dik értékpapír portfóliósúlya (wi) az i-dik értékpapírba fektetett összeg és a portfólió összértékének a hányadosa. Az értékpapírok árfolyamának változásával maga a porfólió értéke, az egyes értékpapírok értéke is változik, így a portfóliósúlyok is folyamatosan módosulnak. A kovariancia egy statisztikai mérőszám, amely két változó lineáris együttmozgását méri. A két értékpapír hozamára vonatkoztatva a kovarianciát a következő képlet segítségével lehet kiszámolni:

(4.50) ( ) ( ) ( )∑=

−−−

=n

lj

lji

liji rrrr

nrrCor

1**

11;

Ahol, Cov(ri; rj) – az i-dik és a j-dik értékpapírok hozamai közötti kovariancia, n – a megfigyelt hozamok száma, ri

l – az i-dik értékpapír hozama az l-dik napon, rj

l – a j-dik értékpapír hozama az l-dik napon. Vegyük észre, hogy egy változó önmagával vett kovarianciája a változó szórásnégyzete. Egy portfólió szórásnégyzetét a vektoralgebra segítségével is könnyen felírhatjuk. Legyen w – a portfóliósúlyok vektora, w’ - a portfóliósúlyok vektorának

4.4 Ábra

31


transzponáltja, Cov – a páronkénti kovarianciák mátrixa. Ekkor a portfólió szórását az alábbi képlettel lehet leírni:

(4.51) wCovwsp *'*=

A portfólió szórásnégyzetét grafikusan is ábrázolhatjuk, amit a 4.4 ábra mutat. A kovarianciamátrixnak ugyanannyi oszlopa és sora van. Az egyes cellákban a páronkénti kovarianciák találhatók megszorozva a két értékpapír portfóliósúlyával. A mátrix fődiagonálisában az egyes értékpapírok szórásnégyzetei találhatók az adott értékpapír portfóliósúly-négyzetével szorozva. Az ábrából vastag vonal keríti körbe a kételemű portfólió szórásnégyzetének az elemeit. Az ábrából látható, hogy a kételemű portfólió szórásnégyzete a két értékpapír szórásnégyzetének a portfóliósúlyok négyzetével vett szórása, továbbá kétszer a két papír hozamai közötti kovariancia megszorozva a két portfóliósúllyal. Képlettel:

(4.52) );(***2** 212122

22

21

21 rrCovwwswswsp ++=

A kovariancia helyett gyakrabban használják két változó közötti lineáris kapcsolat mérésére a korrelációt, mivel ennek értéke -1 és 1 között változik, azaz összehasonlíthatóvá teszi a különböző változók közötti lineáris kapcsolat szorosságát. A korreláció nem más, mint a kovariancia és a két változó szórásának a hányadosa. Ha a korrelációt alkalmazzuk, a 4.52-es képlet a következőképpen módosul.

(4.53) 12212122

22

21

21 *****2** psswwswswsp ++=

Ahol, sp– a portfólió szórása, rp – a portfólió hozama, w1, w2 – az első, illetve a második értékpapír portfóliósúlya, p12 – a két értékpapír hozama közötti korreláció, s1, s2 – az első, illetve a második értékpapír szórása. A 4.49-es és a 4.52-as képlet segítségével számoljuk ki az OTP és a Richter részvényből álló portfólió hozamát és szórását. Először a portfóliósúlyokat számoljuk ki. A teljes portfólió értéke 60 mFt + 40 mFt = 100 mFt. Az OTP portfóliósúlya 60 mFt/100 mFt = 0,6, míg a Richteré 40 mFt/100 mFt = 0,4. Behelyettesítve a 4.49-es képletbe, kapjuk:

(4.54) %536,0%56,0*4,0%52,0*6,0 =+=pr

Az OTP-ből és a Richterből álló portfólió átlagos napi hozama 0,536% volt. Most számoljuk ki a két értékpapír hozamai közötti kovarianciát, majd a portfólió szórását. Először a 4.50-es, majd utána a 4.52-es képletbe helyettesítünk be. (4.55)

32


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 70,0

%56,0%44,0*%52,0%50,0%56,0%49,0*%52,0%68,0%56,0%63,1*%52,0%74,1

*21);( =

−−−+

−−−+−−=RichterOTP rrCov

A kovariancia az Excel KOVAR() függvényével is kiszámítható, aminek két paramétere van, a két változó értékeinek tartománya.

(4.56) %07,1%70,0*4,0*6,0*2%03,1*4,0%21,1*6,0 2222 =++=ps

Nézzük meg, hogy a portfólió hozama és szórása tényleg ekkora-e. A számításokat a 4.11-es táblázat tartalmazza. 4.11 Táblázat Dátum OTP Richter 100 Tényleges Számított

(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2003.07.28 61,05215 40,65556 101,7077 1,69% 2003.07.29 60,63683 40,85556 101,4924 -0,21% 2003.07.30 60,94139 40,67778 101,6192 0,12%

Átlag 0,53540% 0,53539% Szórás 1,0168% 1,0170% A táblázat első oszlopa a dátumokat tartalmazza, a második és a harmadik oszlop pedig a portfólióelemek értékét az egyes napok végén. A negyedik oszlopban pedig a portfólió teljes értékét láthatják. A portfólió tényleges hozamai az értékek természetes alapú logaritmusainak különbségei. Ezek számtani átlaga és szórása található az ötödik oszlop alján. A hatodik oszlopban látható a képletek alapján kiszámított portfólió átlaga és szórása. Látható, hogy a két érték között igen kicsi a különbség. A különbséget két tényező magyarázza:

1. A portfólió két eleme közötti arány az eltérő hozamok hatására az időszakon belül eltér az induló 60% OTP, 40% Richter aránytól.

2. A 4.1.4. alfejezetben láthattuk, hogy kamatintenzitás esetében a várható hozamrátához tartozó hozam kisebb, mint a várható hozamok átlaga. Mivel itt is a hozamráták átlagolásáról van szó (csak a súlyok nem valószínűségek, hanem értékarányok), az alfejezetben bemutatott eltérés itt is jelentkezik.

Mindazonáltal a 4.10 táblázatból látszik, hogy az eltérés igen kicsi, ezért a gyakorlati életben nyugodtan alkalmazhatjuk a 4.49-es képletet. A portfólió relatív szórása 1,07%/0,536%=1,99. Ez az érték ugyan jobb, mint az OTP relatív szórása, de elmarad a Richterétől. Ha csak az OTP-be, a Richterbe, vagy a fenti portfólióba fektethetnénk a pénzünket, és feltételezzük, hogy a jövő ugyanolyan lesz, mint a múlt, a Richter-be fektetnénk. A gyakorlatban általában nem a portfóliók múltbeli teljesítményének elemzésére alkalmazzák a 4.49-es képleteket, hanem a portfóliók jövőbeli teljesítményének modellezésére. A feltalálójáról Markowitz-modellnek is nevezett portfoliómodell adatigénye meglehetősen magas. Egy n elemű portfólió várható relatív szórásának becslésére szükségünk van:

33


1. n darab várható hozamra, 2. n darab várható szórásra, 3. n*(n-1)/2 páronkénti várható kovarianciára.

Ez mondjuk egy 10 elemből álló portfólió esetében 10 + 10 + 10*9/2 = 65 darab adat megbecslését jelenti. Láttuk, hogy az előző esetben a portfólió relatív szórása kisebb volt, mint a Richter-é, azaz nem volt érdemes a pénzünket a portfólióba fektetni. Azonban egy portfólió attraktivitása (relatív szórásának minimalizálása) három módszerrel is javítható.

1. Olyan papírok portfólióba válogatásával, amelyek jövőben várható páronkénti kovariánciái (korrelációi) minél kisebbek,

2. a portfóliósúlyok változtatásával, 3. a portfólióban szereplő értékpapírok számának növelésével.

A fenti módszerek bemutatására nézzünk egy konstruált példát. 4.13 Példa

Egy kételemű portfólió tagjainak várható évi hozamát és szórását különböző kimenetek esetében az alábbi táblázat tartalmazza:

Hozam Kimenet Való- színűség A részvény B részvény

I 0,3 10 23 II 0,4 20 18 III 0,3 30 13 Portfóliósúlyok 60% 40%

Számolja ki a kételemű portfólió várható hozamát, szórását és relatív szórását! A feladat megoldásához ki kell számolnunk az A és B részvény várható hozamát, szórását és a két értékpapír közötti kovarianciát, majd be kell helyettesítenünk a 4.49-es képletekbe. Az A és B részvény várható hozama a kimenetek hozamának valószínűségekkel súlyozott számtani átlaga lesz, ahogy a 4.1.4-es alfejezetben már láttuk.

(4.57) ( )( ) 189,32,79,613*3,018*4,023*3,0

2098330*3,020*4,010*3,0=++=++=

=++=++=

B

A

rErE

A kimenetek szórása az eltérések valószínűségekkel súlyozott négyzetes átlaga lesz. Képlettel:

(4.58) ( )[ ]∑=

−=n

iii rErps

1

2*

Ahol, s – egy értékpapír várható szórása, pi – az i-dik kimenet valószínűsége, E(r) – az értékpapír várható hozama, n – a kimenetek száma.

34



(4.59) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 87,31518*13*3,01818*4,01823*3,0

75,7601030*3,02020*4,02010*3,0222

222

==+−+−=

==−+−+−=

B

A

s

s

Mint korábban már említettük, két változó közötti lineáris kapcsolat szorosságának mérésére inkább a korrelációt használják, mint a kovarianciát, mivel ez a kovariancia értékét egy -1; és 1 közötti értékre transzformálja, így a mutatók összehasonlíthatók lesznek egymással. Számoljuk ki a két értékpapír hozamai közötti korrelációt!

(4.60) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

BA

n

iB

BiA

Aii

BA

BAAB ss

rErrErp

ssrrCovR

*

**

*; 1

∑=

−−==

Ahol, RAB – két értékpapír hozama közötti várható korreláció, pi – az i-dik kimenet valószínűsége, E(rA) – az A értékpapír várható hozama, E(rB) – a B értékpapír várható hozama, ri

A – az A értékpapír hozama az i-dik kimenet esetén, ri

B – a B értékpapír hozama az i-dik kimenet esetén, sA - az A értékpapír hozamainak szórása, sB – a B értékpapír hozamainak szórása, n – a kimenetek száma. Helyettesítsünk be a 4.60-as képletbe! (4.61)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 190030

15*601813*2030*3,01818*2020*4,01823*2010*3,0

−=−

=−−+−−+−−

=ABR

A két értékpapír hozama tehát pontosan ellentétesen mozog. Most helyettesítsünk be a 4.49-es képletekbe! (4.62) ( ) 2,1918*4,020*6,0 =+=prE A portfólió várható hozama tehát 19,2%.

(4.63) ( ) 10,36,930*4,0*6,0*215*4,060*6,0 22 ==−++=ps A portfólió várható szórása 3,10%, ami alacsonyabb az A és B részvény szórásánál is. Ennek oka az, hogy a portfólió szórásának harmadik összetevője a korreláció negatív értéke miatt csökkenti a két szórás súlyozott átlagát. Nem véletlen, hogy a portfólió relatív szórása is messze kedvezőbb, mint akár az A, akár a B részvény relatív szórása. A három befektetés jellemző adatait a 4.12 táblázat mutatja.

35


4.12 Táblázat Hozam Kimenet

A részvény B részvény Portfólió

Átlag 20 18 19,2 Szórás 7,75 3,87 3,10 Relatív szórás

0,39 0,22 0,16

Látható, hogy az A és B részvény kizárólagos birtoklása helyett érdemes a két részvényből álló portfólióba fektetni a pénzünket, mivel egységnyi várható hozamra ekkor esik a legkisebb kockázat. Tudjuk-e tovább csökkenteni a kockázatot a portfóliósúlyok változtatásával? A válasz az, hogy igen. Ehhez nem kell mást tennünk, mint az egyik portfóliósúly szerint deriválni a portfólió szórásának képletét, és a derivatívot egyenlővé téve zérussal, átrendezni a képletet a portfóliósúlyra. A képlet levezetésénél kihasználjuk azt, hogy wB = 1- wA, továbbá ahol a szórásnak minimuma van, ott a szórásnégyzetnek is minimuma van. Képlettel:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )22222

222

22222

;;*2*

0;**4;*2**2*2**2

';*1**2*1*

BABBABAA

BAABABABAA

BAAABAAAA

p

rrCovsrrCovssw

rrCovwrrCovswssw

rrCovwwswswdwds

−=−+

=−++−

=−+−+=

(4.64) ( )

( )BABA

BABMinA rrCovss

rrCovsw;*2

;22

2

−+−

=

Számoljuk ki, milyen súlyarányok mellett lesz az adott portfóliónk minimális szórású. Helyettesítsünk be a 4.64 képletbe:

(4.65) 333,030*21560

3015=

+++

=MinAw

Ha az A részvény súlya 1/3, a B részvény súlya 2/3, a portfólió szórása minimális. Nézzük meg, hogy mekkora a minimális szórás értéke.

(4.66) ( ) 0960*2

960

96030*

32*

31*215*

3260*

31 22

=−+=−+

+

=ps

Látható, hogy amennyiben optimális súlyarányban kombináljuk a két részvényt, portfóliónk szórása zérus lesz, azaz egy kockázatmentes befektetést kapunk. Azonban hozamot kapni fogunk, mégpedig várhatóan 1/3*20+2/3*18=18,67%-ot. Kételemű portfólióból csak akkor tudunk kockázatmentes portfóliót létrehozni, ha a köztük lévő korrelációs együttható minimális, azaz éppen -1-el egyenlő. A 4.5 ábra az A és B részvényekből álló portfóliókat tartalmaz, csak a két részvény közötti korrelációs együttható különbözik. Az egyes vonalak az azonos korrelációs együtthatójú részvényekből képzett portfóliókat kötik össze. Az indulópont minden esetben a B

36


értékpapír hozama és szórása (18%; 3,87%), a végpont pedig az A értékpapír hozama és szórása (20%; 7,75%). 10%-onként növelve az A súlyát kapjuk a különböző korrelációs együtthatók melletti görbéket. Látható, hogy 1 korrelációs együttható mellett, a portfóliógörbe egy egyenes. Ekkor a portfólió létrehozásával nem tudjuk csökkenteni a kockázatot. Minél kisebb azonban a korrelációs együttható nagysága, annál hasasabb a görbe. Azaz kezdetben emelkedik a hozam, miközben a szórás is csökken. A minimális szórás után már a hozam is, és a kockázat is növekszik. -1-es korrelációs együttható esetén a szórás zérusra csökken. Sajnos ez az ábrán nem látszik pontosan, mivel az 1/3-os arány a 30% és a 40% közé esik.

Ha a korrelációs együttható értéke -1, akkor a 4.64-es képlet leegyszerűsödik.

(4.67)

( )( )

( )( )

( )( ) BA

B

BA

ABB

BABA

BAB

BABA

BABMinA

sss

sssss

sssssss

rrCovssrrCovsw

+=

++

=−−+

−−=

−+−

=

2

22

2

22

2

*1***2

1**;*2

;

Behelyettesítve a 4.67-es képletbe, ugyanazt az eredményt kapjuk, mint korábban.

4.5 Ábra

Kételemű portfólió hozama és szórása különböző korrelációs együtthatók és portfóliósúlyok mellett

18

18,2

18,4

18,6

18,8

19

19,2

19,4

19,6

19,8

20

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00

Szórás

Hoz

am

-1 -0,5 0 0,5 1

37


(4.68) 333,087,375,7

87,3=

+=Min

Aw

Most nézzük a portfólió javításának harmadik lehetőségét, a portfólióban lévő értékpapírok elemszámának növelését. A portfólióban lévő befektetések fajtáinak növelését diverzifikációnak nevezzük. Tételezzük fel, hogy a portfólióban szereplő értékpapírok szórásnégyzete ugyanakkora σ2. A páronkénti kovarianciák is legyenek ugyanakkorák, értéküket jelölje Cov. Az n darab értékpapírból álló portfólióban szereplő elemek súlya legyen ugyanakkora, azaz 1/n. A portfólió szórásnégyzetét ekkor a súlyozott kovarianciamátrix elemeinek összege adja. Ebbe a kovariancimátrixban n darab szórásnégyzet szerepel, és n*(n-1) páronkénti kovariancia. Minden elem súlya n2. Képlettel kifejezve:

(4.69) ( ) Covnnn

nn

p *1** 222 −

+= σσ

Most tartson n értéke a végtelenbe. Nézzük meg, hogy hogyan alakul a 4.69-es egyenlőség értéke:

(4.70) ( ) CovCov

nCov

nCov

nnn

nn

nnp =++=

−+=

∞→∞→

*1*1*1** 22

22

2 limlim σσσ

Azaz, a portfólióban növelve az elemek számát, a portfólió szórásnégyzete a páronkénti kovarianciákhoz tart. Ha az értékpapírok hozamai egymástól függetlenül alakulnának, a diverzifikációval tökéletesen kockázatmentes befektetéshez juthatnánk. A valóságban azonban az értékpapírok hozamai nem korrelálatlanok. Vannak olyan makroökonómiai tényezők, melyek az értékpapírok árfolyamát és következésképpen hozamát, azonos irányba mozgatják. Néhány ilyen tényező hatását a 4.13-as táblázat mutatja: 4.13 Táblázat Tényező Hatás az

árfolyamra Magyarázat

Pénzpiaci kamatlábak növekedése

Csökkentő Ha a kamatlábak növekednek, minden jövőbeli pénzáram jelenértéke is csökken, és mivel az árfolyam is pénzáramok jelenértéke, ez is csökken.

Költségvetési deficit növekedése

Csökkentő A költségvetési költekezés magánberuházásokat szorít ki, vagy adóbevétel növelés, vagy kamatlábnövekedés várható.

Fizetési mérleg deficit növekedés

Csökkentő A fizetési mérleg egyensúly automatikusan leértékelődéssel állhat helyre, ami leértékeli a hazai valutában nyilvántartott befektetéseket, ha a monetáris hatóság el akarja kerülni a leértékelődést, a kamatok emelkedése várható.

Gazdasági növekedés

Növelő A konjunktúra hatására a cégek által megtermelt pénzáram várhatóan növekszik.

38


Tényező Hatás az árfolyamra

Magyarázat

gyorsulása A portfóliónak tehát vannak olyan kockázatai, amelyek diverzifikációval csökkenthetők, mivel az egyes értékpapírok kibocsátóinak gazdálkodási körülményeitől függenek – ezeket egyedi kockázatoknak nevezzük. Vannak olyan kockázatok, melyek – eltérő mértékben – minden értékpapír árfolyamát befolyásolják – ezeket piaci kockázatoknak hívjuk. A 4.6 ábra grafikusan jeleníti meg a diverzifikáció hatását. Ha azonban a diverzifikációval jelentősen csökkenthető a kockázat, akkor érdemes minél több értékpapírba befektetni. Az elemszám növekedésével azonban a Markowitz-modell adatigénye exponenciálisan emelkedik. Ezért a tudományos kutatás és a gyakorlat igénye új portfólióalkotási modellek kialakulásához vezetett.

4.4. Tőkejavak ármodellje (CAPM) A tőkejavak ármodelljét Markowitz tanítványa Sharpe alkotta meg a 60-as évek elején. Induló adatigénye jóval kisebb, mint a Markowitz-modellé, azonban több olyan feltételezéssel él, amelyek a valóságban nem, vagy csak többé-kevésbé valósulnak meg. A tőkejavak ármodelljének kiindulópontja a hatékony portfóliók görbéje. A hatékony portfóliók görbéje azon portfóliókat összekötő folyamatos vonal, amelyek adott kockázat mellett a maximális várható hozamot hozzák. A 4.5 ábrán láthattuk, hogy két értékpapír különböző portfóliói egy, a minimális szórású pontnál megtörő görbe mentén helyezkednek el. Ez igaz a több elemből álló portfóliókra is. A 4.7 ábrán a kockázat és hozam koordináta-rendszerben szerepeltessük az összes lehetséges befektetést. A lehetséges befektetések burkológörbéit vonal jelzi, ezen belül a hatékony portfóliók görbéjét vastagított vonal. A hatékony portfoliók görbéje az A portfólióban kezdődő, felfelé és jobbra tartó vonal. Az A, B, C, D portfóliók mind rajta vannak a hatékony portfóliók görbéjén. Látható az is, hogy az I portfólió szintén rajta van a portfóliók burkológörbéjén, de nem hatékony portfólió, mivel mind az E, mind a B portfólió jobb nála. Ezért nem igaz az a megállapítás, hogy hatékony portfólió az is, ami

A diverzifikáció hatása a portfólió kockázatára

Piacikockázat

Egyedikockázat

Koc-kázat

Részvények darabszáma

4.6 Ábra

A hatékony portfóliók görbéje

Várhatóhozam

Szórás

Hatékony portfólógörbéje

A

BC

D

E

F

G

IH

4.7 Ábra

39


adott hozam mellett minimális szórású. Az F, G és H portfóliók a görbe és a vízszintes tengely között helyezkednek el. CAPM 1. feltétele – A pénzügyi piacok legyenek hatékonyak. Hatékony a piac akkor, ha az értékpapírok ára azonnal és helyesen tükrözi vissza az értékpapírokra vonatkozó információkat. Ebben az esetben az értékpapír ára megfelel az értékpapírból származó pénzáramok jelenértékösszegének. Hatékony piacon az összes befektetési döntés NPV-je zérus. Hiszen minden értékpapírért annyi pénzt kell adni, amekkora a bruttó jelenértéke. Képlettel:

(4.71) ∑=

−==n

i

tri

ieCFGPVP1

**:

Ahol, GPV – az értékpapír belső értéke, avagy az értékpapírból származó várható pénzáramok jelenértéke, n – az értékpapírból származó pénzáramok száma, CFi – az értékpapír i-dik pénzárama, r – az értékpapír hozama (folytonos kamatszámítással), ti – a jelen időponttól az i-dik pénzáram esedékességéig eltelő idő években, P – az értékpapír árfolyama. A 4.71-es képletből látszik az is, hogy az értékpapír árfolyama és az értékpapír hozama egymással fordítottan arányos. Ha az árfolyam csökken, a várható hozam nő és fordítva, ha a többi tényező változatlan marad. A piac hatékonysága három dolgot jelent.

1. Informális hatékonyság – az értékpapírra vonatkozó információk azonnal, mindenki számára ingyenesen hozzáférhetők.

2. Tranzakciós hatékonyság – az értékpapírok vétele és eladása járulékos költségek nélkül véghezvihető, nincsenek értékpapírtranzakciókat terhelő adók, és akár töredékrészvényeket is lehet vásárolni, illetve eladni.

3. Allokációs hatékonyság – a befektetők racionálisak (azaz adott hozam mellett a maximális hozamú befektetést választják), és árelfogadók (azaz egyedi vásárlási és eladási szándékaikkal nem képesek befolyásolni az értékpapír árát).

Első állítás - Ha a pénzügyi piacok hatékonyak, akkor a piacon létező összes lehetséges portfólió ráilleszkedik a hatékony portfólió görbéjére. Tegyük fel, hogy van egy olyan portfólió (például az E), ami a hatékony portfóliók görbéje alatt található. Az információk nyilvánosak, tehát a befektetők tudomást szereznek arról, hogy van olyan portfólió (a B jelű), ami ugyanolyan kockázat mellett magasabb hozamot biztosít, mint az E portfólió. A befektetők racionálisak, ezért eladják az E portfóliót – miáltal az E portfólió árfolyama esik, várható hozama növekszik – és megvásárolják B portfóliót – miáltal B portfólió árfolyama nő, várható hozama csökken. A tranzakciós hatékonyság biztosítja, hogy a kiegyenlítés addig folyik, míg a két azonos kockázatú portfólió hozama azonos nem lesz.

40


A CAPM 2. feltétele – Létezzen a gazdaságban kockázatmentes befektetés. Kockázatmentes a befektetés, ha várható hozamának szórása zérus. Szintén zérus a kockázatmentes befektetés kovarianciája a többi befektetéssel. Kockázatmentes akkor a befektetés, ha csak egyetlen jövőben várható hozama lehet. Ha a lejáratig megtartjuk, akkor a fix kamatozású állampapír ilyen befektetés, mivel az államok szinte biztos, hogy teljesítik fizetési kötelezettségeiket. Azonban az állampapíroknak is van kamatkockázatuk, azaz a futamidejük során árfolyamuk a mindenkori pénzpiaci hozamoknak megfelelően ingadozhat. Mégis a gyakorlatban a megfelelő lejáratú állampapír hozamát tekintik kockázatmentes hozamnak. Ábrázoljuk a kockázatmentes hozamot a koordináta rendszerben. Ez a pont az y tengelyen fog elhelyezkedni - mivel a szórása zérus - a kockázatmentes hozam pontjában. Most húzzunk érintő egyenest a kockázatmentes befektetésből a hatékony portfólió görbéjéhez! A kockázatmentes befektetésből a hatékony portfóliók görbéjéhez húzott érintő egyenes neve tőkepiaci egyenes (CML). A CAPM 3. feltétele – Minden befektető vehessen fel kockázatmentes kamatlábon hitelt a befektetéséhez. Második állítás – A kockázatmentes befektetésből és a hatékony portfóliók görbéjén lévő érintési pontban található portfólióból képezhető portfóliókkal a tőkepiaci egyenes minden pontja lefedhető. Következésképpen minden egyes értékpapír (portfólió) rá fog illeszkedni a tőkepiaci egyenesre. Az egyenes képét a 4.8 Ábra mutatja. Látható, hogy a tőkepiaci egyenes a C portfólió pontjában érinti a hatékony portfólió görbéjét. A második állítás első része azt mondja ki, hogy ezen portfólióból és a kockázatmentes portfólióból képzett portfóliókból a CML egyenes minden pontja lefedhető. Hogyan képzelhető ez el? A portfóliósúlyok változtatásával. Ha minden pénzünket kockázatmentes eszközbe tesszük, akkor az y tengelyen vagyunk. Ha minden pénzünket a C portfólióba fektetjük, akkor a CML egyenes C érintési pontjában. A tőkepiaci egyenes kockázatmentes befektetése és a C pont közé úgy kerülhetünk, hogy

A tőkepiaci egyenes

Várhatóhozam

Szórás

Hatékony portfóliógörbéje

A

BC

D

rf

CML

4.8 Ábra

41


befektetésünket megosztjuk a kockázatmentes befektetés és a C pont között. Nézzük meg, hogy ez igaz-e. 4.14 Példa

Az alábbi táblázat a tőkepiaci egyenes két pontjának paramétereit tartalmazza. Megnevezés Kockázat

mentes Érintő portfólió

Hozam 5% 15% Szórás 0% 20%

Számolja ki annak a portfóliónak a várható hozamát és szórását, amely felerészben kockázatmentes befektetésből, felerészben az érintő portfólióból áll!

Jelölje w a kockázatos eszköz súlyát, rf a kockázatmentes befektetés hozamát, rc az érintő portfólió várható hozamát, sf a kockázatmentes befektetés szórását és sc az érintő portfólió szórását. Helyettesítsünk be a 4.49-es egyenletekbe. Használjuk ki, hogy sf=0, és Cov(rf; rc)=0. (4.72)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) %10**;**1*2**1

%10%5%15*5,0%5***1222222 ===−++−=

=−+=−+=+−=

cccfcfp

fcfcfp

swswrrCovwwswsws

rrwrrwrwr.

Vajon a portfólió (10%; 10%) rajta van-e a tőkepiaci egyenesen. Ismernünk kellene a tőkepiaci egyenes egyenletét, hogy válaszolhassunk a kérdésre. Egy a+b*X egyenes egyenletének megadásához két paraméterre van szükség, arra a pontra, ahol metszi az y tengelyt (a) és az egyenes meredekségére (b). Az a paraméter éppen a kockázatmentes hozam. A b paraméter értéke pedig (rc – rf)/sc. Behelyettesítve az egyenes egyenletébe, kapjuk:

(4.73) ( ) c

c

fcffcf

c

fcfp

sws

rrrrrwr

Xs

rrrr

***

%10%10*%20

%5%15%5*

−+=−+

=−

+=−

+=

.

Látható, hogy megkaptuk a portfólió hozamát. A képlet második sora pedig annak illusztrálása, hogy mindez nem a véletlen műve. A w értékének függvényében az egyenes bármelyik pontjára eljuthatunk. Vegyük észre azt is, hogy a w értéke nemcsak 0 és 1 közé eshet, hanem bármilyen pozitív értéket felvehet. Hogyan lehetséges ez? Úgy, hogy több pénzt fektetünk be a piaci portfólióba, mint a saját pénzünk, és a különbözetet kockázatmentes kamatlábon felvett hitelből finanszírozzuk. Tételezzük fel, hogy 10 millió forint saját pénzeszköz mellett még 3 millió forintot szeretnénk befektetni a C portfólióba. A 3 millió forintot kockázatmentes kamatlábra hitelből finanszírozzuk. A portfólió szempontjából ezt úgy

42


fogalmazzuk meg, hogy a C portfólió súlya 130% lesz, a kockázatmentes befektetésé – 30%. A portfólió hozama és szórása a következőképpen fog alakulni.

(4.74) %26%20*3,1

%18%15*3,1%5*3,0

==

=+−=

p

p

s

r.

A fentiekből viszont az következik, hogy mindenki számára előnyösebb, ha a kockázatos eszközök kombinációja helyett csak kétfajta eszközbe helyezi a pénzét, kockázatmentes eszközbe és a C portfólióba. A C portfólió az optimális kockázatos eszközöket tartalmazó portfólió mindenki számára, függetlenül kockázatviselő képességétől, hiszen az érintési pont kivételével minden esetben nagyobb hasznosságra juthat, mintha a hatékony portfóliók görbéjén fektetne be. A kockázatos eszközzel pedig aztán mindenki a kockázatviselő hajlama szerint keverheti ezt az egyetlen optimális portfóliót. Milyen tulajdonságokkal kell rendelkeznie ennek az optimális portfóliónak?

1. Ha a piacok hatékonyak, akkor az optimális portfóliónak az összes kockázatos befektetési lehetőséget tartalmaznia kell. Ha nem tennénk ezt, akkor a diverzifikációval nem szüntetnénk meg az összes lehetséges egyedi kockázatot.

2. Az optimális portfóliónak olyan arányban kell tartalmaznia a kockázatos befektetési lehetőségeket, ahogy azok értéke aránylik az összes befektetési lehetőség értékéhez. Hiszen a befektetési arányokat az allokációs hatékonyság szerint alakulnak, ha ettől eltérne az optimális portfólió, akkor a piacok nem volnának hatékonyak.

Azt a portfóliót, ami az összes kockázatos befektetési lehetőséget értékarányosan tartalmazza, piaci portfóliónak nevezzük. Hatékony piacon minden befektető számára a piaci portfólió az optimális kockázatos eszközöket tartalmazó portfólió. A CAPM 4. feltétele – Létezzen piaci portfólió és a befektetők szabadon fektethessenek be a piaci portfólióba. A piaci portfólió közelítésére általában a tőzsdeindexeket szokták alkalmazni, Magyarországon a Budapesti Értéktőzsdén a BUX indexet. A gyakorlatban természetesen a piacok nem hatékonyak, ezért az optimális portfólió nem feltétlenül egyezik meg az indexszel. A cél a gyakorlatban az, hogy minél meredekebb tőkeallokációs egyenest tudjunk létrehozni a kockázatmentes befektetés és az általunk kiválasztott portfólió kombinálásával. A tőkepiaci egyenes meredeksége egy alapvető mérőszáma a portfólió attraktivitásának és Sharpe-mutatónak nevezik. Képlete: (rp –rf)/sp. A képlet számlálója megmutatja, hogy a portfólió hozama hány %-al múlta felül a kockázatmentes hozamot, míg a nevezője a portfólió kockázatát méri. A portfólió hozama és a kockázatmentes hozam közötti különbséget kockázati prémiumnak nevezik, ami azért illeti meg a befektetőt, mert kockázatos eszközt választ kockázatmentes eszközzel szemben. A portfóliókezelők célja, hogy adott kockázat mellett maximalizálják a kockázati prémium nagyságát.

43


4.15 Példa Az alábbi táblázat néhány portfólió várható éves hozamát és a hozamok szórását mutatja. Portfólió A B C D Hozam 10% 20% 30% 40% Szórás 15% 18% 20% 30% A kockázatmentes kamatláb 5%. Mekkora az egyes portfóliók Sharpe-mutatója? Melyik portfólióba fektetné a pénzét 1. egy kockázatkedvelő, 2. egy kockázatkerülő befektető?

Számoljuk ki az egyes portfóliók Sharpe-mutatóját!

(4.75)

( )

17,1%30

%5%40

25,1%20

%5%30

83,0%18

%5%20

33,0%15

%5%10

=−

=

=−

=

=−

=

=−

=−

=

D

C

B

A

fAA

S

S

S

srrE

S

.

A második kérdésre pedig az a helyes válasz, hogy mind a kockázatkedvelő, mind a kockázatkerülő befektető C portfólióba fogja fektetni a pénzét, mivel ezzel kerül a legmeredekebb tőkepiaci egyenesre. (Ennek a legnagyobb a Sharpe-mutatója.) A különbség csak abban lesz közöttük, hogy a kockázatkerülő befektető több állampapírt fog a C portfólió mellé vásárolni, míg a kockázatkedvelő kevesebbet, vagy inkább kockázatmentes kamatlábon még hitelt is felvesz. Megjegyzés: Tehát, ha van kockázatmentes hozam, akkor nem a portfóliók relatív szórása alapján történik a portfóliók közötti választás, hanem a Sharpe-mutató szerint. A 4.8 ábra mutatja az egyes portfóliók által képzett tőkeallokációs egyeneseket. Ezek közül a legmeredekebb a C által képzett egyenes, ezért minden racionális befektető arra fog törekedni, hogy

A különböző portfóliók tőkeallokációs egyeneseV árhatóhozam

S zórás

A

D

CC

B

10%

20%

30%

40%

10% 20% 30%

4.8 Ábra

44


ennek és a kockázatmentes befektetésnek a kombinációjával képezzen portfóliókat, hogy egységnyi kockázatra a legnagyobb várható kockázati prémiumhoz juthasson. Bebizonyítottuk, hogy a kockázatmentes eszköz és a piaci portfólió kombinációival le tudjuk fedni a teljes tőkepiaci egyenest. Ha ez igaz, akkor a piaci portfólió kivételével a többi, a hatékony portfólió görbéjén lévő portfólió már nem hatékony többé. Hiszen magasabb hozamot tudunk elérni a kockázatmentes eszköz és a piaci portfólió kombinálásával, ugyanolyan kockázat vállalása mellett. Ennek hatására ezen portfóliók értéke esik, várható hozamuk pedig emelkedik, egészen addig, míg rá nem illeszkednek a tőkepiaci egyenesre. Harmadik állítás – Ha az egyedi kockázatokat a diverzifikációval meg lehet szüntetni, akkor hozam ezek után nem jár. A várható hozam csak az után a kockázat után jár, amivel az adott papír járul hozzá a piaci portfólió kockázatához. A piaci portfólió kockázatához való hozzájárulás mérőszáma a béta. Képlete:

(4.76) ( )

2

;

m

mii

rrCovσ

β = .

Ahol, Cov(ri;rm) – az i-dik értékpapír és a piaci portfólió hozama közötti kovariancia, σm

2 – a piaci portfólió varianciája, βi – i-dik értékpapír bétája. A béta megmutatja, ha a piac kockázati prémiuma 1%-al változik, várhatóan hány %-al változik az adott papír kockázati prémiuma. Tehát, ha

1. β>1, akkor ha egy százalékkal nő a piac kockázati prémiuma, akkor az adott papíré várhatóan 1%-nál nagyobb mértékben nő.

2. β=1, akkor ha egy százalékkal nő a piac kockázati prémiuma, akkor az adott papíré is várhatóan 1%-al nő.

3. 0<β<1, akkor ha egy százalékkal nő a piac kockázati prémiuma, akkor az adott papíré várhatóan 1%-nál kisebb mértékben nő.

4. β=0, akkor az adott papír hozama várhatóan teljesen függetlenül alakul a kockázatos befektetések hozamától – ez leginkább akkor fordul elő, ha a hozam előre rögzített.

5. β<0, akkor ha egy százalékkal nő a piac kockázati prémiuma, akkor az adott papíré várhatóan csökken. Mivel a makroökonómiai tényezők általában azonos módon befolyásolják az egyes befektetések árfolyamát, ezért negatív bétájú értékpapír létezése nem valószínű.

A fenti állítás üzenete az, hogy hatékony piacokon kisbefektetőnek közvetlenül nem érdemes befektetnie értékpapírokba. Ugyanis a kisbefektető nem tudja portfólióját tökéletesen diverzifikálni, és így megtisztítania az egyedi értékpapírokra jellemző egyedi kockázattól. Azonban az egyedi kockázatra hozam nem „jár”, az értékpapírok várható hozama csak piaci kockázatra való érzékenységüktől függ. A kisbefektető tehát úgy

45


realizálja a piaci kockázattal arányos hozamot, hogy nemcsak a piaci kockázatot, hanem az egyes értékpapírok egyedi kockázatát is felvállalja. Hatékony piacon csak a piaci portfólióba érdemes befektetni, amit csak a nagybefektetők tudnak alacsony tranzakciós költségek mellett megtenni. Helyettesítsük be a bétát a vízszintes tengelyen a szórás helyébe a várható hozam-szórás koordináta tengelybe! A kockázatmentes befektetés bétája zérus lesz, mivel a kockázatmentes befektetés kovarianciája minden kockázatos befektetéssel is zérus. Vegyük észre, hogy a piaci portfólió bétája éppen egységnyi!

(4.77) ( ) 1;

2

2

2 ===m

m

m

mmm

rrCovσσ

σβ

Ha az értékpapírok egyedi kockázata nem számít, mivel diverzifikálható, az egyes befeketetések tőkeallokációs egyenesen való elhelyezkedése a piaci portfólió kockázatához való hozzájárulásuktól – azaz bétájuktól – függ. Az értékpapírpiaci egyenes megmutatja, hogy adott bétájú értékpapírnak mekkora a várható hozama, ha ismert a kockázatmentes hozam és a piaci portfólió várható hozama. Az értékpapírpiaci egyenes képét a 4.9 ábra mutatja. Az értékpapírpiaci egyenes nagyon hasonlít a tőkepiaci egyeneshez, csak a koordináta rendszer vízszintes tengelyén nem az értékpapír szórása, hanem a bétája szerepel. Ahhoz, hogy megtudjuk az egyes értékpapíroknak mekkora a várható hozamuk, csak a bétájukat, illetve az értékpapír-piaci egyenes egyenletét kell ismernünk. A CAPM 5. feltétele – Minden befektető egységesen egy évre fekteti be a pénzét. Az ötödik feltétellel elkerüljük az évesítésből adódó problémákat, továbbá a kockázatmentes hozamot biztosan realizálni fogjuk. Az egyenes egyenletéhez ismernünk kell azt a pontot, ahol metszi az y tengelyt, és a meredekségét. Az értékpapír-piaci egyenes ugyanott metszi az y tengelyt, ahol a tőkeallokációs egyenes, mégpedig a kockázatmentes hozamnál. Az egyenes meredeksége az az érték, amekkorával az y növekszik, ha az x egy

Az értékpapír-piaci egyenesVárhatóhozam

Béta

M

rf

SML

10

E(rm)Hatékony portfóliók

görbéje

4.9 Ábra

46


egységgel nő. Ez pontosan a kockázati prémium értéke, hiszen az egységnyi pontban éppen a piaci portfólió van. Az egyenes egyenlete tehát:

(4.78) ( ) ( )[ ] ifmfi rrErrE β*−+=

Ahol, E(ri) – az i-dik értékpapír várható hozama, E(rm) – a piaci portfólió várható hozama,

rf – a kockázatmentes befektetés hozama, βi – i-dik értékpapír bétája. A 4.78-as képlet a CAPM modell lényege. E szerint egy értékpapír várható hozama csak egy egyedi tényezőtől függ, nevezetesen attól, hogy milyen a piaci kockázatra vonatkozó érzékenysége, azaz a bétája. Az egyenlet másik két tényezője makroszintű, ez a kockázatmentes hozam és a piac várható kockázati prémiuma. A béták fontos tulajdonsága, hogy egy portfólió bétája a béták súlyozott átlaga. Ebből következik, hogy a CAPM modell alkalmazása esetében a becsülendő paraméterek száma a Markowitz-modellhez képest drasztikusan csökken. Egy tökéletesen diverzifikált, n elemű portfólió relatív szórásának kiszámításához meg kell becsülni:

1. 1 darab várható piaci hozamot, 2. n darab bétát.

4.16 Példa Néhány értékpapír bétáját az alábbi táblázat mutatja: Értékpapír A B C D E Béta -0,5 0 0,5 1 1,5

Az egy év múlva lejáró diszkont kincstárjegy hozama 5%. A piaci index várható hozamát 25%-ra becsültük. Mekkora lesz az egyes értékpapírok várható hozama, ha feltételezzük, hogy a CAPM modell feltételezései igazak?

Helyettesítsünk be a 4.78-as képletbe!

(4.79)

( ) ( )( )( )( )( ) %355,1*%5%25%5

%251*%5%25%5%155,0*%5%25%5

%50*%5%25%5%55,0*%5%25%5

=−+==−+==−+=

=−+=−=−−+=

E

D

C

B

A

βββββ

Látható, hogy a béta minden fél egységnyi emelkedése a várható hozamot 10%-al növeli meg. Ez azért van, mivel a kockázati prémium 20%, annak fele 10%. Érdekesség, hogy a negatív bétájú értékpapír várható hozama is negatív. Felmerülhet a kérdés, hogy miért tartsunk negatív várható hozamú papírt. Az A papír értékét az adja, hogy hozama várhatóan ellentétesen fog mozogni a többi papír hozamával. Azaz, ha a piac várakozásainkkal ellentétben nem növekedni, hanem esni fog, az A papír tartásával ellensúlyozni tudjuk legalább részben portfóliónk értékvesztését.

47


4.5. Indexmodell A CAPM-modellt a portfólióbefektetők közvetlenül viszonylag ritkán használják, annak ellenére, hogy adatigénye viszonylag kevés. Ennek okai a következők:

1. A CAPM feltételezései a valóságban nem teljesülnek. Különösen a hatékony piacok feltételezése irreális. Az információk nem azonnal jutnak el minden befektetőhöz, az információkat a befektetők eltérően értékelik, és a piachoz való hozzáférésük is különböző lehet. Ezért az egyes értékpapíroknak piaci kockázatukhoz képest eltérő várható hozamuk is lehet.

2. A tőzsdeindexek nem képezik le a piacon eszközölhető összes befektetést, sőt a portfóliókezelők az alul- és túlértékelt részvényekre vadászva tudatosan is eltérnek a tőzsdeindexben levő portfólióarányoktól. Ebből következik, hogy nem tudják tökéletesen megtisztítani portfóliójukat az egyedi kockázattól, amit figyelembe kell venni.

3. A béták becslése a béták számításának eredeti képletével (4.78) statisztikai problémákat is felvet. A piaci index és az egyes értékpapírok hozamai ugyanis idősorok, a kovariancia számítás azonban egymástól független mintavételek eredményeinek összehasonlítására dolgozták ki. Ha a piacok hatékonyak, az egyes napok hozamai valóban egymástól függetlenül alakulnak, ha azonban nem azok, akkor például tendenciaszerűen alakulhatnak a pozitív és negatív hozamok, ahogy a jó, illetve a rossz hírek elterjednek a befektetők között. Ha nem tételezünk fel hatékony piacokat, akkor a béták becslésére más módszert alkalmazhatunk, aminek statisztikai szignifikanciája is jobban ellenőrizhető.

A fenti problémák orvoslására fejlesztette ki Sharpe az indexmodellt, mint a CAPM gyakorlati alkalmazását. Az indexmodell fő statisztikai eszköze az egytényezős regressziószámítás, amit az adott értékpapír kockázati prémiuma, mint függő változó, és a piaci index kockázati prémiuma, mint független változó között végeznek el. Az indexmodellben egy adott értékpapír várható hozamát az alábbi egyenlettel lehet kifejezni:

(4.80) ( ) ( )[ ] iifmifi errErrE +−+=− βα *


rf – a kockázatmentes befektetés hozama, βi – az i-dik értékpapír bétája, αi – az i-dik értékpapír CAPM által nem magyarázott, abnormális hozama, ei – az i-dik értékpapír hozamának az a része, amit véletlen tényezők magyaráznak. A CAPM-hez képest az alfa és az e paraméter az új. Ha egy olyan információ van a birtokunkban, amiről úgy gondoljuk, hogy a piac még nem vette figyelembe, a papír hozama eltérhet a CAPM által előrejelzettől. Ez az abnormális hozam, hiszen hatékony

48


piac esetén nem létzezne. Az e paraméter pedig arra utal, hogy a jövőben a hozamot különböző, előre nem látható tényezők hatása is módosíthatja. A 4.3. fejezetben már láttuk, hogy egy értékpapír kockázata egyedi és piaci kockázatra bomlik. Az egyedi kockázat a diverzifikációval megszüntethető, míg a piaci kockázat nem. Az egyedi kockázat a vállalat egyedi teljesítményétől függ, míg a piaci kockázat a vállalat teljesítményének és a piac teljesítményének hosszú távú kapcsolatától függ, amit a bétával mérünk. Tételezzük fel, hogy az egyedi kockázat és a piaci kockázat egymástól független, azaz statisztikai terminológiával élve, legyen a kovarianciájuk zérus. Egy papír szórása ekkor a következőképpen írható fel:

(4.81) 222 * emii sss += β


rf – a kockázatmentes befektetés hozama, si – az i-dik értékpapír szórása, βi – az i-dik értékpapír bétája, sm – a piaci portfólió szórása. Most nézzük ugyanezen egyenleteket egy portfólió esetében! Ha feltételezzük, hogy a portfólióban lévő értékpapírok egyedi kockázatai közötti kovariancia is zérus, továbbá a papírok egyedi és piaci kockázatai között sincs kapcsolat, akkor két értékpapír hozamai közötti kovariancia felírható bétáik és a piaci portfólió varianciájának szorzataként. Képlettel:

(4.82) ( ) 2**; mjiji srrCov ββ=

Egy portfólió hozama és szórása az alábbiakban határozható meg:

(4.83)

( ) ( )[ ]

( )∑∑

∑ ∑ ∑

==

= = =

+

=

+−+=−

n

iii

n

iimp

n

i

n

i

n

iiiiifmiifp

eswss

ewwrrEwrrE

1

222

1

2

1 1 1

**

****

β

βα

A 4.83-as táblázatból látszik, hogy az indexmodell alkalmazása esetében hány paramétert kell megbecsülni egy n-elemből álló portfólió esetén:

1. 1 darab piaci portfólió várható hozamot, 2. 1 darab piaci portfólió szórást, 3. n darab alfát, 4. n darab bétát, 5. n darab egyedi szórást.

49


Ez egy 10 elemből álló portfólió esetén összesen 32 darab adat megbecslését jelenti, nem pedig 65-t, mint a Markowitz-modell esetében. Az esetek többségében az egyedi szórást, és a bétákat pedig nem becsülik, hanem múltbeli adatokból számolják ki. A módszer leírása a következő:

1. Az elmúlt évi árfolyamadatokból meghatározzuk az adott értékpapír és a piaci index napi hozamait, majd évesítik őket.

2. Az időszak elején kibocsátott éves lejáratú diszkont kincstárjegy hozamát kivonjuk mind az index, mind az adott értékpapír hozamaiból, így meghatározzuk az index és az adott értékpapír napi kockázati prémiumait.

3. A kapott értékeket koordináta rendszerben ábrázoljuk, amelynek vízszintes tengelye az index kockázati prémiuma, a függőleges tengelye az adott értékpapír kockázati prémiuma.

4. A legkisebb négyzetek elve alapján regressziós egyenest illesztünk a pontokhoz és meghatározzuk annak jellemzőit.

Azt a regressziós egyenest, amit úgy állítunk elő, hogy a piaci index kockázati prémiumának függvényében ábrázoljuk egy értékpapír kockázati prémiumát, az adott értékpapír karakterisztikus egyenesének nevezzük. A regressziós kapcsolat kimenetét, annak statisztikai és közgazdasági értelmezését a 4.13-as táblázat mutatja. 4.13 Táblázat Kimenet Jelölése Statisztikai értelmezése Közgazdasági értelmezése Alfa α Az a pont, ahol a regressziós

egyenes metszi a függőleges tengelyt

Abnormális hozam, ami, ha szignifikánsan pozitív, akkor az értékpapír alulértékelt, ha szignifikánsan negatív, akkor az értékpapír felülértékelt.

Tapasztalati béta

β A regressziós egyenes meredeksége.

Megmutatja, hogy várhatóan az index kockázati prémiumának egységnyi növekedése esetén az adott értékpapír kockázati prémiuma hány egységgel nő (csökken).

Paraméterek standard hibája

s(α), s(β)

Regressziós egyenes paramétereinek standard hibája a t statisztika szerint segít meghatározni, hogy adott szignifikancia-szinten milyen sávban alakulhat a tényleges paraméterérték.

A paraméterek értéke 95%-os szignifikancia-szinten a kapott paraméterérték ± a standard hiba kétszeresén belül van.

50


Kimenet Jelölése Statisztikai értelmezése Közgazdasági értelmezése Determinációs együttható

R2 Függő változó varianciájának mekkora részét magyarázza a független változó varianciája. A korreláció négyzetre emelve.

Mennyiben magyarázza az adott értékpapír kockázati prémiumát a piaci kockázat.

Reziduumok varianciája

se2 A függő változó

varianciájának az a része, amit nem a független változó magyaráz.

A vállalatspecifikus, egyedi kockázat által magyarázott variancia.

Ahhoz, hogy a regressziós görbe jól illeszkedjen, a reziduumok várható értékének zérusnak kell lennie, eloszlásuknak normálisnak, és az egymást követő reziduumoknak véletlenszerűen kell elhelyezkedniük. Mivel az R2 a piaci tényezők által magyarázott részt mutatja az értékpapír hozamának varianciájában, ezért értéke a kulcs a hozam varianciájának kiszámításához. Képlettel:

(4.84) ( )2

22

2

222

1

;*

sesR

ssR m

=−

=β

Vessünk egy pillantást a Matáv 2002-es karakterisztikus egyenesére. 2002 január elsején az éves lejáratú állampapírok hozama 9% volt. Számoljuk ki a napi kockázatmentes hozamot!

(4.85) ( ) %034,0250

09,1ln109,1250 =≈−

Feltételezem, hogy az éves kockázatmentes hozam nem változott az év folyamán. Ha a fenti igen alacsony %-ot kivonom a BUX és a Matáv napi hozamaiból, megkapom a BUX és a Matáv kockázati prémiumait. A regressziós egyenest és a pontok halmazát a 4.10 ábra mutatja. A karakterisztikus egyenes statisztikájának jellemző adatai: Alfa = -0,08% St(alfa) = 0,09% Béta = 1,14 St(béta) = 0,06

A Matáv 2002-es karakterisztikus egyenese

-9,200%

-7,200%

-5,200%

-3,200%

-1,200%

0,800%

2,800%

4,800%

-8,000% -6,000% -4,000% -2,000% 0,000% 2,000% 4,000% 6,000%

Piac kockázati prémiumaM

atáv

koc

káza

ti pr

émiu

ma

6,760%

51


R2=0,61 A karakterisztikus egyenesből az alábbi következtetések állapíthatók meg a Matáv részvény esetében. A Matáv tapasztalati bétája 1,14, azaz, ha a piac kockázati prémiuma 1%-al nő, akkor a Matáv részvény kockázati prémiuma 1,14%-al változik. Ha feltételezzük, hogy a reziduumok eloszlása normális, 0 várható értékkel, akkor 95%-os szignifikancia szinten állíthatjuk, hogy a valós béta 1,02 és 1,26 között van. Az alfa értéke -0,08, ami a 0,09%-os standard hibához képest igen kicsi, ezért nem utasíthatjuk el a feltételezést, hogy az alfa 0 (azaz a részvény a CAPM szerint helyesen árazott). A piac által magyarázott variancia 61%, azaz a piaci tényezők 61%-át magyarázzák a Matáv részvény teljes varianciájának, 39%-ot a vállalatspecifikus variancia magyaráz. A karakterisztikus egyenes általánosabban használt béta-meghatározási technika, mint a közvetlen képletbehelyettesítéses módszer, mivel grafikusan szemléltethető, és a regressziószámítás miatt statisztikailag is könnyebben tesztelhető. Az Egyesült Államokban az egyes értékpapírok karakterisztikus egyenesének statisztikáját a Wall Street Journal folyóirat naponta közli. Ott számolnak úgynevezett korrigált bétát is, aminek a következő a képlete:

(4.86) 1*31*

32

+= ikorri ββ

Ahol, βi – az i-dik értékpapír bétája, βi

korr – az i-dik értékpapír korrigált bétája. A korrekció magyarázata, hogy tapasztalatok szerint a karakterisztikus egyenes bétája távolabb van az 1-től, mint az igazi béta, ezért a fenti képlettel az 1 felé térítjük. A fenti képlet 1-nél kisebb tapasztalati béta esetében növeli, 1-nél nagyobb béta esetében csökkenti a korrigált béta értékét. A Matáv esetében a korrigált béta értéke a következő:

(4.87) 09,11*3114,1*

32

=+=korriβ

Ha a standard hibákat a korrigált bétával vetjük össze, már nem vethetjük el 95%-os valószínűséggel, hogy a béta nem 1, azaz a Matáv nem átlagos kockázatú. Nézzünk egy példát az indexmodell alkalmazására! 4.17 Példa

Tételezzük fel, hogy az indexmodell az A és B részvényekre a következő becsléseket adja: Részvény Alfa Tapasztalati

béta Determinációs

együttható A 3 0,70 0,20 B 4 1,20 0,30

A piaci index szórása 25%, várható hozama 30%. Az éves kincstárjegy hozama 8%. a) Konzisztens-e a két regresszió tengelymetszete a CAPM-mel?

52


b) Mekkora az egyes részvények teljes szórása és várható hozamuk? Mekkora a papírok relatív szórása? Mekkora a Sharpe-mutatójuk?

c) Bontsa fel az egyes részvények varianciáját szisztematikus és vállalatspecifikus részekre!

d) Mekkora a két részvény kovarianciája és korrelációs együtthatója? e) Mekkora a kovariancia az egyes részvények és a piaci index között! f) Készítsen maximális Sharpe-mutatójú portfóliót az A és B részvényből, ha a

piaci indexbe való befektetés nem megengedett! A CAPM szerint nem lehetne abnormális hozama egy értékpapírnak. Itt mindkét értékpapírnak pozitív alfája, ami azt jelzi, hogy mindkét papír alulértékelt. Nézzük mekkora az egyes részvények szórása! Rendezzük át a 4.84-es képletet a teljes szórásra, és helyettesítsünk be!

(4.85) 55,0

30,025,0*20,1

39,020,0

25,0*70,0*

22

22

2

22

==

===

B

mAA

s

Rss β

A B értékpapír kockázata magasabb, mint az A értékpapír kockázata. A várható hozamot a 4.80-as képletbe történő behelyettesítéssel kapjuk.

(4.86) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) %4,382,1*%8%30%8%4

%4,267,0*%8%30%8%3*=−++=

=−++=−++=

B

AfmfAA

rErrErrE βα

A B értékpapír várható hozama nagyobb, mint az A részvényé, aminek oka a magasabb bétája és kisebb részben az, hogy az alfája is 1%-al magasabb. Az A részvény relatív szórása 0,39/0,264=1,48; a B részvény relatív szórása 0,55/0,384=1,43. Ha csak A vagy csak B részvénybe fektethetjük a pénzünket, akkor B-be érdemes, mivel ennek kisebb a relatív szórása. Ha azonban van kockázatmentes befektetés (kincstárjegy), akkor az értékpapír szórásához annak kockázati prémiumát kell vetíteni, amit a Sharpe-mutató ad meg nekünk. Az A részvény Sharpe-mutatója (26,4%-8%)/39%=0,47; a B részvény Sharpe-mutatója (38,4%-8%)/55%=0,55. A B részvény Sharpe mutatója a nagyobb, ezért a B részvényt fogjuk a kockázatmentes befektetéssel kombinálni. A szórások felbontása a 4.81-es képlet alapján történik. A piac által magyarázott szórás az egyes részvények esetén:

(4.87) 30,025,0*20,1

18,025,0*70,0*

==

===mB

mAmA

s

ss β

A vállalatspecifikus szórás kiszámítása a 4.81-es képlet átrendezésével történik:

53


(4.88) ( )( ) 46,030,055,0

35,018,039,0*22

22222

=−=

=−=−=

B

mAAA

es

sses β

A vállalatspecifikus és a piaci szórás összevetéséből látható, hogy az A papír kockázatának varianciáját jobban magyarázzák vállalatspecifikus, egyedi tényezők, mint a B értékpapírét. A kovariancia kiszámításához behelyettesítünk a 4.82-es képletbe. A korreláció kiszámításához a kovarianciát osztjuk a két részvény teljes szórásával.

(4.89)

( )( ) 24,0

55,0*39,00525,0

*;

%25,525,0*20,1*70,0**; 22

===

===

BA

BAAB

mBABA

ssrrCovR

srrCov ββ

A két értékpapír közötti alacsony korreláció már azt jelzi, hogy érdemes a két papírból portfóliót képezni. Most az optimális Sharpe-mutatójú portfóliót keressük. Az A értékpapír súlyát a 4.64-es képlet átalakításával nyerjük.

(4.90) ( )[ ] ( )[ ] ( )

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )BAfBAAfBBfA

BAfBBfAMaxA rrCovrrErEsrrEsrrE

rrCovrrEsrrEw

;**2**;**

22

2

−+−−+−

−−−=

Ahol, E(rA) – az A értékpapír várható hozama, E(rB) – a B értékpapír várható hozama,

rf – a kockázatmentes befektetés hozama, sA – az A értékpapír szórása, sB – a B értékpapír szórása,

Cov(rA;rB) – az A és a B értékpapír közötti kovariancia, wA

Max – a maximális Sharpe mutatójú portfólióban A értékpapír súlya. Mivel minden adat rendelkezésünkre áll, helyettesítsünk be a 4.90-es képletbe! (4.91)

( ) ( )( ) ( ) ( ) %54,51

25,5*%8*2%4,38%4,26%39*%8%4,38%55*%8%4,26%25,5*%8%4,38%55*%8%4,26

22

2

=−+−−+−

−−−=Max

Aw

Ha az A részvény súlya 51,54%, akkor B részvény súlya 1-51,54%=48,46% Helyettesítsünk be a 4.49-es képletekbe, hogy megkapjuk a portfólió várható hozamát és szórását!

54


(4.92) ( )

%06,37%25,5*4846,0*5154,0*2%55*4846,0%39*5154,0

%22,32%4,38*4846,0%4,26*5154,0222 =++=

=+=

p

p

s

rE

A portfólió Sharpe mutatója (32,22%-8%)/37,06%=0,65, ami tényleg jobb, mint akár az A, akár a B részvény Sharpe mutatója. De vajon jobb-e, mint a piaci indexé. A piaci index Sharpe mutatója (30%-8%)/25%=0,88, ami jobb, mint az A és B részvényből képzett legjobb portfólióé. Piaci portfólióba tehát annak ellenére érdemesebb fektetni a pénzt, hogy mind az A, mind a B részvény alulértékelt. 4.5.1. Treynor-Black modell Az előző feladatból azt láttuk, hogy a piaci index jobb, mint a két részvényből képzett maximális Sharpe-mutatójú portfólió. De mi lenne, ha a két indexből képzett portfóliónkat kombinálnánk a piaci indexével. Nem kerülhetnénk-e jobb helyzetbe? Erre a választ a Treynor-Black modell adja meg, ami az indexmodell egy alkalmazása. A modell lényege a következő:

1. Néhány értékpapírról feltételezem, hogy nem helyesen árazottak. Ezekről a papírokról igyekszem a legtöbb információt beszerezni és meghatározni karakterisztikus egyenesük jövőbeni képét. A vizsgálaton kívüli papírokról felteszem, hogy helyesen árazottak.

2. Becslést adok a piaci indexportfólió várható hozamára és szórására, továbbá megtudom az éves lejáratú állampapír hozamát.

3. Az általam elemzett értékpapírokból létrehozok egy úgynevezett aktív portfóliót. Az aktív portfóliónak előnyei és hátrányai is vannak az úgynevezett piaci portfólióval szemben. Egyrészt a papírok tartásával realizálni tudom a papírok abnormális hozamát, azaz az alfáját. Azonban, mivel piaci indexbeli súlyuknál nagyobb mértékben tartom ezeket a papírokat, a vállalatspecifikus kockázatukat nem szüntetem meg teljesen, az terhelni fogja a portfóliómat. Akkor járok el helyesen, ha egy egységnyi vállalatspecifikus varianciára a legnagyobb abnormális hozamot érem el. Ezért az aktív portfólión belül a súlyokat az α/s2(e) hányados szerint fogom képezni.

4. Ha megfelelő súlyok szerint képeztem az aktív portfóliót, akkor meghatározom az aktív portfólió alfáját, tapasztalati bétáját és az aktív portfólió vállalatspecifikus varianciáját. A Treynor-Black modell is fenntartja az indexmodell feltételezéseit a vállalatspecifikus szórások, továbbá a piaci szórás korrelálatlanságáról.

5. Egy képletpár segítségével meghatározom az aktív portfólió súlyát.

55


(4.93)

( )

( )( )

2

2

0

0

0

*11

m

fm

AA

srrEesw

www

−=

−+=

αβ

Ahol, α - az aktív portfólió abnormális hozama, E(rm) – a piaci index várható hozama,

rf – a kockázatmentes befektetés hozama, s2(e) – az aktív portfólió vállalatspecifikus varianciája, s2

m – a piaci index varianciája wA – az aktív portfólió súlya a teljes kockázatos portfólión belül.

Az aktív portfólió súlyaránya annál nagyobb lesz, minél nagyobb abnormális hozamot tudunk elérni, minél kisebb vállalatspecifikus variancia felvállalásával. A w0 súly nevezője a piaci index Sharpe-mutatója. Az aktív portfólió súlya attól függ, mennyivel tud attraktívabb lenni az aktív portfólió a piaci indexhez képest. A Treynor-Black modell működését a 4.17-es példa adataival a 4.10 ábra szemlélteti. Az ábrán bejelöltük az A és B értékpapírokat, valamint a tőkepiaci egyenest. A tőkepiaci egyenesen M-el jelöltük a piaci indexet. Az ábrán az A és B portfóliót összekötő görbe a két papírból képzett lehetséges portfóliókat jelenti. A P portfólió az az A és B papírból képzett portfólió, amelynek maximális a Sharpe-mutatója. Látható, hogy a P portfólió sem hatékony portfólió, mivel bőven a tőkepiaci egyenes alatt található. Ha azonban a P portfóliót kombináljuk a piaci portfólióval, az M és a P portfólió közötti vonalra kerülhetünk, amelynek egy kis része már a tőkepiaci egyenes felett van. Keressük azt a pontot ezen görbén, aminek maximális a Sharpe-mutatója (ezt P’-vel jelöltuk). Először kiszámoljuk az aktív portfólión belüli súlyokat, majd ezen súlyok alapján meghatározzuk az aktív portfólió alfáját, bétáját és vállalatspecifikus varianciáját. Az aktív portfólió alfája és bétája az

A Treynor-Black modellVárhatóhozam

Szórás

A

B

10%

20%

30%

40%

10% 20% 30% 40% 50% 60%

M

PP'

rf

4.10 ábra

56


alkotóelemek alfáinak, illetve bétáinak súlyozott átlaga lesz. A portfólió vállalatspecifikus varianciájának kiszámításakor azzal a feltételezéssel élünk, hogy az egyes elemek vállalatspecifikus elemei egymással és a piaci kockázattal szemben is korrelálatlanok. A portfólió vállalatspecifikus szórását akkor az alábbi képlettel lehet kiszámítani:

(4.94) ( ) ( )∑=

=n

iiip eswes

1

222 *

Ahol, wi – az i-dik értékpapír portfóliósúlya, s2(ep) – a portfólió vállalatspecifikus varianciája, s2(ei) – az i-dik értékpapír vállalatspecifikus varianciája,

n – a portfólióban lévő papírok száma. A számításokat a 4.14-es táblázat tartalmazza. 4.14 Táblázat Részvény Alfa Tapasz-

talati béta

Vállalatspec. szórás

alfa/válspec szórás-négyzet

Súly Alfa Béta Vállspec. szórás-négyzet

A 3% 0,7 35% 0,245 56,3% 1,7% 0,39 3,9% B 4% 1,2 46% 0,190 43,7% 1,8% 0,53 4,0%

0,435 100% 3,4% 0,92 7,9% A vállalatspecifikus szórást az előző fejezetben már kiszámoltuk. Az ötödik oszlopban az alfát osztottuk a vállalatspecifikus szórásnégyzettel. Ez az A részvény esetében 0,03/0,35^2=0,245; a B részvény esetben 0,04/0,46^2=0,190. A két szám arányában képezzük az aktív portfólió súlyait. A két hányadost először összeadjuk – 0,245+0,190=0,435, majd képezzük az A részvény súlyát, ami 0,245/0,435=56,3% és a B részvény súlyát, ami 0,190/0,435=43,7% lesz. Ezután kiszámoljuk az aktív portfólió alfáját, bétáját és vállalatspecifikus szórását!

(4.95)

( ) ( )∑

∑

∑

=

=

=

=+==

=+==

=+==

n

iiip

n

iiip

n

iiip

eswes

w

w

1

2222222

1

1

%9,746,0*437,035,0*563,0*

92,020,1*437,070,0*563,0*

%4,3%4*437,0%3*563,0*

ββ

αα

Most helyettesítsünk be a 4.93-as képletekbe, hogy megkapjuk az aktív portfólió súlyát a maximális Sharpe mutatójú piaci indexszel kombinált portfólióban.

57


(4.96) ( )

( ) %12%12*92,011

%12*

%1225,008,030,0

079,0034,020

=−+

=

=−

=

w

w

Mivel az aktív portfólió bétája közel van az 1-hez, a módosító képlet igen közel esik a w0 súlyhoz. Ha az aktív portfólió súlya 12%, akkor a piaci index súlya 88% lesz. Miután a súlyok megvannak, csak ki kell számolnunk ezen kombinált portfólió várható hozamát és szórását. Ehhez tudnunk kell a két alkotóelem várható hozamát és szórását, valamint a két portfólió közötti kovarianciát. A piaci index várható hozama (30%) és szórása (25%) a példában már adott volt. Az aktív portfólió várható hozama és szórása a következő:

(4.97) ( ) ( )[ ] ( )

( ) %3,36079,025,0*92,0*

%6,3192,0*%8%30%8%4,3*22222 =+=+=

=−++=−++=

AmAA

AfmfAA

esss

rrErrE

β

βα

A kovariancia kiszámolásához behelyettesítünk a 4.82-es képletbe. Kihasználjuk, hogy a piaci portfólió bétája definíciószerűen mindig 1.

(4.98) ( ) 0575,025,0*92,0**; 22 === mmAmA srrCov ββ

Most számoljuk ki a két elemű portfólió várható hozamát és szórását!

(4.99) ( )

%99,240575,0*88,0*12,0*225,0*88,0363,0*12,0

%2,30%30*88,0%6,31*12,02222

'

'

=++=

=+=

P

P

s

rE

Látható, hogy a kombinált portfólió várható hozama 20 bázisponttal magasabb a piaci indexénél, míg szórása 1 bázisponttal alacsonyabb. A kombinált portfólió Sharpe mutatója (30,2%-8%)/24,99%=0,89, ami egy árnyalatnyit kedvezőbb, mint a piaci indexé.

Documents

193.6.12.228193.6.12.228/uigtk/uipz/hallgatoi/portfolio_elmelet.pdf · 2003-12-09 · 3 dr. Bozsik Sándor: Pénzügyi számítások A fenti képlet a hozamszámítás általános